高中数学人教版选修导数及其应用知识点总结

数学选修2-2导数及其应用知识点1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：6.用导数求函数单调区间的环节是什么？答：①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的环节是什么？答：(1)拟定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间提成若干小开区间，并f x在方程根左右的值的符号，假如左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；列成表格，检查/()假如左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；假如左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.运用导数求函数的最值的环节是什么？a,上的最大值与最小值的环节如下：答：求)(xf在[]b⑴求)(xf在[]b a,上的极值；⑵将)f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

描述：例题：高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用一、学习任务1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值、最大（小）与导数的关系；会求函数的极大（小）值，以及在指定区间上函数的最大（小）值．二、知识清单导数与函数的图象 利用导数研究函数的单调性 利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值三、知识讲解1.导数与函数的图象（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,b )(x )=0f′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选项中的（ ）解：C导函数的图象在 轴的上方，表示导函数大于零，原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在 轴的下方，表示导函数小于零，原函数的图象呈下降趋势．由 时导函数图象在 轴的上方，表示在此区间上，原函数图象呈上升趋势，可排除 B、D 选项；由 时导函数图象在 轴的下方，表示在此区间上，原函数的图象呈下降趋势，可排除 A 选项．(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )x x x ∈(−∞,0)x x ∈(0,1)xy=f(x)已知函数 的图象如图所示，则导函数f(x)(a,b)则函数 在开区间答案：解析：3. 已知函数 ， 的导函数的图象如下图，那么 ， 的图象可能是．A．B ．C ．D ．D 和 都是单调递增的，但 增长的越来越慢， 增长的越来越快，并且在 处， 的切线的斜率应该相等．y =f (x )y =g (x )y =f (x )y =g (x )()f (x )g (x )f (x )g (x )x 0f (x ),g (x)高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

第一章导数及其应用知识点及练习题知识点1：导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点：导数的几何意义及其应用[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．知识点2：导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5 若()xf x a =,则()ln x f x a a '=6 若()x f x e =,则()xf x e '=7 若()log xa f x =,则1()ln f x x a '=8 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•考点：导数的求导及运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a=（ ）319.316.313.310.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )41,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2932y x =+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =知识点3：导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.考点：1.导数在研究函数单调性中的应用2.导数在求函数极值与最值中的应用题型一：导数在研究函数单调性中的应用[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．题型二：导数在求函数极值与最值中的应用[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取极小值，当x＝23时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．知识点4：解决实际问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用题型一：导数在切线方程中的运用1.曲线3x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）C.（2，8）D.（－21，－81）2.曲线53123+-=x x y ，过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π43题型二：导数在单调性中的运用1.函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）4、（2010年山东21）（本小题满分12分）已知函数).(111)(R a xaax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a=-=（Ⅱ）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性．题型三：导数在最值、极值中的运用1.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2B. 3C. 4D.52．函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 163.已知函数)0()(3≠++=adcxaxxf是R上的奇函数，当1=x时)(xf取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求)(xf的单调区间和极大值；4.设函数2312)(bxaxexxf x++=-，已知12=-=xx和为)(xf的极值点。

第三章 导数及其应用本章概览内容提要1.导数概念及其几何意义(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义求函数y =c ,y =x ,y =x 2,y =x 3,y =x1,y =x 等的导数. (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b ))的导数.(3)会使用导数公式表.3.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助几何直观探索了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.4.生活中的优化问题举例例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用.学法指导1.本章中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.学习中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，使自己认识由平均变化率到瞬时变化率的过程，知道瞬时变化率就是导数.通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵.这样学习的目的是使自己直观理解导数的背景、思想和作用.2.在学习中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值.要认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述.3.在解决具体问题的过程中，要对函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.。

第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1. 函数旳平均变化率是什么？答: 平均变化率为注1：其中是自变量旳变化量, 可正, 可负, 可零。

注2: 函数旳平均变化率可以看作是物体运动旳平均速度。

2.导函数旳概念是什么？答：函数在处旳瞬时变化率是, 则称函数在点处可导, 并把这个极限叫做在处旳导数, 记作或, 即= .3.平均变化率和导数旳几何意义是什么？答: 函数旳平均变化率旳几何意义是割线旳斜率；函数旳导数旳几何意义是切线旳斜率。

4导数旳背景是什么？答: （1）切线旳斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

6.用导数求函数单调区间旳环节是什么？答: ①求函数f(x)旳导数②令>0,解不等式, 得x旳范围就是递增区间.③令<0,解不等式, 得x旳范围, 就是递减区间；注: 求单调区间之前一定要先看原函数旳定义域。

7.求可导函数f(x)旳极值旳环节是什么？ 答: (1)确定函数旳定义域。

(2) 求函数f(x)旳导数 (3)求方程'()f x =0旳根(4) 用函数旳导数为0旳点, 顺次将函数旳定义区间提成若干小开区间, 并列成表格, 检查 在方程根左右旳值旳符号, 假如左正右负, 那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正, 那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不变化符号, 那么f(x)在这个根处无极值8.运用导数求函数旳最值旳环节是什么？ 答: 求 在 上旳最大值与最小值旳环节如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上旳极值；⑵将 旳各极值与 比较, 其中最大旳一种是最大值, 最小旳一种是最小值。

注: 实际问题旳开区间唯一极值点就是所求旳最值点； 9. 求曲边梯形旳思想和环节是什么？答: 分割 近似替代 求和 取极限 （“以直代曲”旳思想） 10.定积分旳性质有哪些？根据定积分旳定义, 不难得出定积分旳如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若 , 则 ①推广:②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰11定积分旳取值状况有哪几种？答: 定积分旳值也许取正值, 也也许取负值, 还也许是0. ( l ）当对应旳曲边梯形位于 x 轴上方时, 定积分旳值取正值, 且等于x 轴上方旳图形面积；（2）当对应旳曲边梯形位于 x 轴下方时, 定积分旳值取负值, 且等于x 轴上方图形面积旳相反数；（3）当位于x 轴上方旳曲边梯形面积等于位于x 轴下方旳曲边梯形面积时, 定积分旳值为0, 且等于x轴上方图形旳面积减去下方旳图形旳面积.12. 物理中常用旳微积分知识有哪些？答：（1）位移旳导数为速度, 速度旳导数为加速度。

【金版教案】2015-2016高中数学第一章导数及其应用章末小结新人教 A 版选修 2-2知识点一导数的观点与几何意义求曲线的切线的方法求曲线的切线分两种状况(1)求点P(x0， y0)处的切线，该点在曲线上，且点是切点，切线斜率k＝ y′|x＝x0.(2)求过点P(x1， y1)的切线方程，此点在切线上不必定是切点，需设出切点(x0， y0)，求出切线斜率k＝ y′ |x＝ x0，利用点斜式方程写出切线方程，再依据点在切线上求出切点坐标即可求出切线方程．已知函数 y＝ x3－ x，求函数图象(1)在点 (1， 0)处的切线方程；(2)过点 (1， 0)的切线方程．分析： (1)函数 y＝ x3－ x 的图象在点 (1， 0)处的切线斜率为k＝ y′|＝＝ (3x2－ 1)| ＝＝ 2，x 1x 1所以函数的图象在点(1， 0)处的切线方程为y＝ 2x－ 2.(2)设函数 y＝ x3－x 图象上切点的坐标为P(x0， x03－ x0)，则切线斜率为 k＝y′|x＝ x0＝ 3x02－1，切线方程为 y－ (x03－ x0)＝ (3x02－ 1)(x－x0)，因为切线经过点 (1，0)，32所以 0－ (x0－x0)＝(3x0－ 1)(1－ x0)，3232整理，得 2x0－ 3x0＋ 1＝0，即 2(x0－ 1)－ 3(x0－ 1)＝ 0，所以 (x0－ 1)2(2 x0＋ 1)＝ 0，1解得 x0＝ 1 或 x0＝－2.所以 P(1， 0)或 P －12，38，1 1所以切线方程为 y＝ 2x－ 2 或 y＝－ x＋4.4知识点二导数与函数的单一性求函数 f(x)的单一区间的方法步骤(1)确立函数 f(x)的定义域；(2)计算函数 f(x)的导数 f ′(x)；(3)解不等式 f ′(x)>0 ，获取函数 f(x)的递加区间；解不等式 f ′(x)<0 ，获取函数 f(x)的递减区间．提示：求函数单一区间必定要先确立函数定义域，常常因忽略函数定义域而致使错误．(2014 ·高考纲领卷 )函数 f(x)＝ ax 3＋ 3x 2＋ 3x(a ≠0)．(1)议论函数 f(x)的单一性；(2)若函数 f(x)在区间 (1， 2)是增函数，求 a 的取值范围．分析： (1)因为函数 f(x) ＝ax 3＋ 3x 2＋ 3x ，所以 f ′(x)＝ 3ax 2＋6x ＋ 3.令 f ′(x)＝ 0，即 3ax 2＋ 6x ＋ 3＝ 0，则 ＝ 36(1 － a)。

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

第五章一元函数的导数及其应用章末总结体系构建题型整合题型1 导数的几何意义与应用例1（2020课标Ⅰ理,6,5分）函数f(x)=x4−2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( ) A.y=−2x−1B.y=−2x+1C.y=2x−3D.y=2x+1答案：B解析：f(x)=x4−2x3,f′(x)=4x3−6x2,∴f(1)=−1,f′(1)=−2,因此,所求切线的方程为y+1=−2(x−1),即y=−2x+1.故选B.方法归纳1.函数的导数的几何意义就是函数f(x)的图象在x=x0处的切线斜率,即k=f′(x0),是历年高考考查的重点.2.求曲线的切线方程的注意事项：（1）曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线的方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)（2）求曲线y=f(x)过点P（x0,f(x0)）的切线方程时,若P（x0,f(x0)）是切点,则切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0);若P（x0,f(x0)）不是切点,设切点为Q（x1,y1）,则切线方程为y−y1=f′(x1)(x−x1),再由切线过P点得f(x0)−y1=f′(x1)(x0−x1)①,又y1=f(x1)②,由①②求出x1,y1的值,即可得出过点P（x0,f(x0)）的切线方程.迁移应用1.（2020山东青岛高二检测）已知直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为. 答案：3解析：设曲线y=ln(x+a)上的切点坐标为(x0,y0),因为直线y=x+2与曲线y=ln(x+a)相切,=1,且x0+2=ln(x0+a)=0,所以切线斜率为y′=1x0+a所以x0=−2,a=3.题型2 导数在研究函数单调性和极值中的应用例2 （2021山东威海高二期中）设f(x)=xlnx−ax2+(2a−1)x,a∈R.（1）令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;（2）已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.答案：（1）由f(x)=xlnx−ax2+(2a−1)x,a∈R,得f′(x)=lnx−2ax+2a,g(x)=f′(x)=lnx−2ax+2a,x＞0,得g′(x)=1x −2a=1−2axx.当a≤0时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增;当a＞0,x∈(0,12a )时,g′(x)＞0,函数g(x)单调递增,x∈(12a,+∞)时,g′(x)＜0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,函数g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a＞0时,函数g(x)的单调增区间为(0,12a ),单调减区间为(12a,+∞).（2）由（1）知,f′（1）=0.①当a≤0时,f′(x)单调递增.所以当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0＜a＜12时,12a＞1,由（1）知f′(x)在(0,12a)内单调递增,则当x∈(0,1)时,f′(x)＜0,x∈(1,12a)时,f′(x)＞0,所以f(x)在（0,1）内单调递减,在(1,12a)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.③当a=12,即12a=1时,f′(x)在（0,1）内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不符合题意.④当a＞12时,0＜12a＜1,当x∈(12a,1)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上所述,实数a的取值范围是(12,+∞).方法归纳利用导数判断函数单调性的方法步骤（1）坚持定义域优先原则：确定函数f(x)的定义域,确定函数有意义;（2）计算函数的导函数并确定其零点与符号：求导函数f′(x),解导数方程和导数不等式,确定f′(x)在对应区间内的符号;（3）判断函数的单调性：若函数含有参数,需对参数进行分类讨论,分类讨论坚持不重不漏原则,由函数的单调性计算极值和最值,得出结论.迁移应用2.已知函数f(x)=lnx−12ax2+x,a∈R.（1）当a=0时,求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;（2）令g(x)=f(x)−(ax−1),求函数g(x)的极值.答案：（1）当a=0时,f(x)=lnx+x,则f(1)=1,所以切点为（1,1）.又f′(x)=1x+1,所以切线斜率k=f′（1）=2,故切线方程为y−1=2(x−1),即2x−y−1=0.（2）因为g(x)=f(x)−(ax−1)=lnx−12ax2+(1−a)x+1(x＞0),所以g′(x)=1x −ax+(1−a)=−ax2+(1−a)x+1x.当a≤0时,因为x＞0,所以g′(x)＞0, 所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值.当a＞0时,g′(x)=−a(x−1a)(x+1)x,令g′(x)=0,得x=1a或x=−1（舍去）,所以当x∈(0,1a )时,g′(x)＞0;当x∈(1a,+∞)时,g′(x)＜0,因此函数g(x)的单调递增区间是(0,1a ),单调递减区间是(1a,+∞),所以当x=1a 时,g(x)取得极大值,极大值为g(1a)=12a−lna.综上可知,当a≤0时,函数g(x)无极值;当a＞0时,函数g(x)有极大值12a−lna,无极小值.题型3 导数在函数零点问题中的应用例3（2021江苏南京高二检测）已知函数f(x)=te tx(t＞0),g(x)=lnx.（1）若f(x)的图象在x=0处的切线与g(x)的图象在x=1处的切线平行,求实数t的值; （2）设函数φ(x)=f(x)−g(x).①当t=1时,求证：φ(x)在定义域内有唯一极小值点x0,且φ(x0)∈(2,52);②若φ(x)恰有两个零点,求实数t的取值范围.答案：（1）f′(x)=t2e tx,g′(x)=1x,设f(x)的图象在x=0处的切线的斜率为k1=t2,g(x)的图象在x=1处的切线的斜率为k2=1,∵两切线平行,∴t2=1,解得t=±1,∵t＞0,∴t=1.（2）φ(x)=te tx−lnx.①证明：当t=1时,φ(x)=e x−lnx,φ′(x)=e x−1x,令ℎ(x)=e x−1x ,ℎ′(x)=e x+1x2＞0,∴ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.又ℎ(12)=√e−2＜0,ℎ(1)=e−1＞0,∴存在唯一的x0∈(12,1)使ℎ(x0)=0,即e x0=1x0,x0=−lnx,当0＜x＜x0时,ℎ(x)<0,φ′(x)<0,φ(x)单调递减; 当x＞x0时,ℎ(x)>0,φ′(x)>0,φ(x)单调递增.∴φ(x)有唯一的极小值点x0,且φ(x0)=e x0−lnx0=1x0+x0∈(2,52).②当t≥1时,φ(x)=te tx−lnx≥e x−lnx>0,φ(x)无零点,舍去;当0＜t＜1时,令φ(x)=0⇒txe tx=xlnx=lnx⋅e lnx.令F(x)=xe x,F′(x)=(x+1)e x,∴F(x)在(−∞,−1)上单调递减;在(−1,+∞)上单调递增,且F(0)=0.当−1＜x ＜0 时,F(x)＜0 ,当x ＞0 时,F(x)＞0 ,且F(x) 单调递增, ∵F(tx)=F(lnx) 而tx ＞0,∴tx =lnx , 令G(x)=tx −lnx,G ′(x)=t −1x , 令G ′(x)=0 ,得x =1t ,且当0＜x ＜1t时,G ′(x)＜0,G(x) 单调递减;当x ＞1t 时,G ′(x)＞0,G(x) 单调递增.∴G(x)min =1−ln 1t , 要使G(x) 在(0,+∞) 上有两个零点,则1−ln 1t＜0⇒0＜t ＜1e,此时G(1)=t ＞0 ,G(1t2)=1t −ln1t 2＞1t −1t =0 , ∴G(x) 在(1,1t ) 和(1t ,1t 2) 上各有一个零点,此时0＜t ＜1e 成立.综上,实数t 的取值范围是(0,1e ) . 方法归纳1.函数的零点是函数图象与x 轴交点的横坐标,函数的零点与函数的单调性密不可分,判断函数的单调性,确定函数零点的个数是导数的重要应用之一.2.利用导数确定函数零点的方法步骤：（1）确定函数的定义域,求函数的导数,判断函数的单调性、极值和最值,结合函数图象确定函数零点的个数.（2）对于含有参数的函数零点的判断问题,通常需要对参数的取值范围进行分类讨论. 迁移应用3.已知函数f(x)=asin x −x +b （a,b 均为正实数）. （1）证明:函数f(x) 在（0,a +b] 内至少有一个零点;（2）设函数f(x) 在x =π3处有极值,对于一切x ∈[0,π2] ,不等式f(x)＞sin x +cos x 总成立,求实数b的取值范围.答案：（1）证明：∵f(0)=b ＞0,f(a +b)=asin(a +b)−(a +b)+b =a[sin(a +b)−1]≤0 , ∴f(0)⋅f(a +b)≤0 ,∴ 函数f(x) 在（0,a +b] 内至少有一个零点. （2）∵f(x)=asin x −x +b ,∴f ′(x)=acos x −1 .由题意得f ′(π3)=0 ,即acos π3−1=0 ,得a =2 ,则问题等价于b ＞x +cos x −sin x 对于一切x ∈[0,π2] 恒成立.记g(x)=x +cos x −sin x,x ∈[0,π2] ,则g ′(x)=1−sin x −cos x =1−√2sin(x +π4) . ∵0≤x ≤π2,∴π4≤x +π4≤3 π4,∴√22≤sin(x +π4)≤1 ,即1≤√2sin(x +π4)≤√2,∴g ′(x)≤0 ,即g(x) 在[0,π2] 上单调递减,∴g(x)max =g(0)=1. 故实数b 的取值范围是(1,+∞) .题型4 导数的实际应用例4 某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m 的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的浓度y （毫克/升）满足y =mf(x) ,其中f(x)={x 225+2,0＜x ≤5,x+192x−2,x ＞5. .当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化;当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂的质量m =5 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?（2）如果投放的药剂质量为m ,为了使在9天（从投放药剂算起包括第9天）之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.答案：（1）当m =5 时,y ={x 25+10,0＜x ≤5,5x+952x−2,x ＞5.当0＜x ≤5 时,x 25+10≥5 ,显然符合题意; 当x ＞5 时,由5x+952x−2≥5 ,得5＜x ≤21 .综上可知,0＜x ≤21 ,所以自来水达到有效净化一共可持续21天. （2）y =mf(x)={mx 225+2m,0＜x ≤5,m(x+19)2x−2,x ＞5. 当0＜x ≤5 时,y =mx 225+2m 在（0,5] 上单调递增,所以2 m ＜y ≤3 m ;当x ＞5 时,y ′=−40m(2x−2)2＜0 ,所以函数y =m(x+19)(2x−2)在（5,9] 上单调递减,所以7 m 4≤y ＜3 m .综上可知,7 m 4≤y ≤3 m .为使5≤y ≤10 恒成立,只要{7m4≥5,3m ≤10, 解得207≤m ≤103,故应该投放的药剂质量m 的最小值为207. 方法归纳建立函数模型解题的方法步骤（1）认真审题:实际应用题文字叙述长,数量关系众多,所以首先要认真读题审题,理顺已知量、未知量与问题的联系,必要时可以将数量整理成简表的形式,便于分析数量之间的关系.（2）数学建模:明确实际问题对应的函数模型,确定定义域,将实际问题转化为数学问题.（3）求最优解:利用导数研究函数的单调性、极值和最值,得到目标函数的最值.（4）验证结果:验证数学问题的解是不是原实际问题的解.上述步骤用框图表示为迁移应用4.学校举行运动会需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm 2 ,上、下两边各空2 dm ,左、右两边各空1 dm .如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小？答案：设版心的高为x dm ,则版心的宽为128x dm . 此时四周空白面积为s(x)=(x +4)⋅(128x+2)−128=2x +512x+8(x ＞0) ,求导数得s ′(x)=2−512x 2, 令s ′(x)=2−512x 2=0 ,解得x =16 或x =−16 （舍去）,于是版心的宽为128x=12816=8 ,当x ∈(0,16) 时,s ′(x)＜0 ;当x ∈(16,+∞) 时,s ′(x)＞0 ,因此,x =16 是函数s(x) 的极小值点,也是最小值点． 所以当版心高为16 dm ,宽为8 dm 时,能使四周空白面积最小．高考链接1.（2019全国课标Ⅱ,10,5分）曲线y =2 sin x +cos x 在点(π,−1) 处的切线方程为( ) A.x −y −π−1=0 B.2x −y −2 π−1=0 C.2x +y −2 π+1=0 D.x +y −π+1=0 答案： C解析：设y =f(x)=2 sin x +cos x ,则f ′(x)=2 cos x −sin x,∴f ′(π)=−2 , ∴ 曲线在点(π,−1) 处的切线方程为y −(−1)=−2(x −π) ,即2x +y −2 π+1=0 .故选C.2.（2018全国课标Ⅰ,5,5分）设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax .若f(x) 为奇函数,则曲线y =f(x) 在点（0,0）处的切线方程为( ) A.y =−2x B.y =−x C.y =2x D.y =x 答案：D解析：因为f(x) 为奇函数,所以f(−x)=−f(x) ,由此可得a =1 ,故f(x)=x 3+x , f ′(x)=3x 2+1,f ′ （0）=1,所以曲线y =f(x) 在点（0,0）处的切线方程为y =x . 3.（2020天津,3,5分）函数y =4xx 2+1 的图象大致为( )A. B.C. D.答案：A=−f(x),则函数f(x)为奇函数,其图象关于坐标原点对称,解析：由函数的解析式得f(−x)=−4xx2+1选项C,D错误;易知f(1)=2,排除B,故选A.4.（2019全国课标Ⅰ,13,5分）曲线y=3(x2+x)e x在点（0,0）处的切线方程为. 答案：y=3x解析：因为y′=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,所以曲线在点（0,0）处的切线的斜率k=y′|x=0=3,所以所求的切线方程为y=3x.5.（2020北京,15,5分）为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未的大小评达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用f(b)−f(a)b−a价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是.答案：①②③解析：设y=−f(b)−f(a)b−a,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为−f(t2)−f(t1)t2−t1,由题图易知y甲＞y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;由计算式−f(b)−f(a)b−a可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.6.（2018全国课标Ⅰ,16,5分）已知函数f(x)=2 sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.答案：−3√32解析：解法一：因为f(x)=2 sin x+sin 2x,所以f′(x)=2 cos x+2 cos 2x=4 cos2x+2 cos x−2=4(cos x−12)(cos x+1),由f′(x)≥0得12≤cos x≤1,即2kπ−π3≤x≤2kπ+π3,k∈Z,由f′(x)≤0得−1≤cos x≤12,即2kπ+π3≤x≤2kπ+π或2kπ−π≤x≤2kπ−π3,k∈Z,所以当x=2kπ−π3(k∈Z)时,f(x)取得最小值,且f(x)min=f(2kπ−π3)=2 sin(2kπ−π3)+sin 2(2kπ−π3)=−3√32.解法二：因为f(x)=2 sin x+sin 2x=2 sin x(1+cos x)=4 sin x2⋅cos x2⋅2 cos2x2=8 sin x2⋅cos3x2=√33 sin2x2cos6x2,所以[f(x)]2=643×3 sin2x2cos6x2≤643⋅(3 sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x24)4=274，当且仅当3 sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14时取等号,所以0≤[f(x)]2≤274,所以−3√32≤f(x)≤3√32,所以f(x)的最小值为−3√32.7.（2020新高考Ⅰ,21,12分）已知函数f(x)=ae x−1−lnx+lna.（1）当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; （2）若f(x)≥1,求a的取值范围.答案：（1）当a=e时,f(x)=e x−lnx+1,f′(x)=e x−1x,曲线在点(1,f(1))处的切线斜率k= f′=e−1.∵f(1)=e+1,∴切点坐标为(1,1+e),∴函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y−e−1=(e−1)(x−1),即y=(e−1)x+ 2,∴切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(−2e−1,0),∴所求三角形面积为12×2×|−2e−1|=2e−1.（2）解法一：由f(x)≥1得f(x)=ae x−1−lnx+lna=e lna+x−1−lnx+lna≥1, 不等式等价于e lna+x−1+lna+x−1≥lnx+x=e lnx+lnx,令g(x)=e x+x,上述不等式等价于g(lna+x−1)≥g(lnx),显然g(x)为单调增函数,∴不等式又等价于lna+x−1≥lnx,即lna≥lnx−x+1,令ℎ(x)=lnx−x+1,x＞0,则ℎ′(x)=1x −1=1−xx,在（0,1）上ℎ′(x)＞0,ℎ(x)单调递增;在(1,+∞)上ℎ′(x)＜0,ℎ(x)单调递减,∴ℎ(x)max=ℎ(1)=0, ∴lna≥0,即a≥1,∴a的取值范围是[1,+∞）.解法二：∵f(x)=ae x−1−lnx+lna,∴f′(x)=ae x−1−1x,且a＞0.设g(x)=f′(x),则g′(x)=ae x−1+1x2＞0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递增,即f′(x)在(0,+∞)上单调递增,当a=1时,f′=0,∴f(x)min=f(1)=1,∴f(x)≥1成立.当a＞1时,1a ＜1,∴e1a−1＜1,∴f′(1a)⋅f′(1)=a(e1a−1−1)(a−1)＜0,∴存在唯一的x0＞0,使得f′(x0)=ae x0−1−1x0=0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)＜0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)＞0,∴ae x0−1=1x0,两边取自然对数,得lna+x0−1=−lnx0,因此f(x)min=f(x0)=ae x0−1−lnx0+lna=1x0+lna+x0−1+lna≥2 lna−1+2√1x0⋅x0=2 lna+1＞1,∴f(x)＞1,∴f(x)≥1恒成立.当0＜a＜1时,f(1)=a+lna＜a＜1,∴f(1)＜1,所以f(x)≥1不恒成立.综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞).8.（2019全国课标Ⅱ,20,12分）已知函数f(x)=lnx−x+1x−1.（1）讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;（2）设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线. 答案：（1）f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞) .因为f′(x)=1x +2(x−1)2＞0,所以f(x)在（0,1）和(1,+∞)上单调递增.因为f(e)=1−e+1e−1＜0,f(e2)=2−e2+1e−1=e2−3e2−1＞0,所以f(x)在(1,+∞)上有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0＜1x1＜1,f(1x1)=−lnx1+x1+1x1−1=−f(x1)=0,故f(x)在（0,1）上有唯一零点1x1. 综上,f(x)有且仅有两个零点.（2）证明：因为1x0=e−lnx0,所以点B(−lnx0,1x0)在曲线y=e x上.由题设知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0−1,故直线AB的斜率k=1x0−lnx0−lnx0−x0=1x0−x0+1x0−1−x0+1x0−1−x0=1x0.又曲线y=e x在点B(−lnx0,1x0)处切线的斜率是1x0,曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处切线的斜率也是1x0,所以曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=e x的切线.。

导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。

导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：6.用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。