高一数学试卷附答案解析

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。

高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)一、选择题1. 若集合A={2,4,6,8}，集合B={1,3,5,7}，则A∪B=（）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C. {2, 4, 6, 8}D. {1, 3, 5, 7}解析：集合的并就是包含所有元素的集合，所以A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，选项A正确。

2. 已知二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（1，2），则a+b+c的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6解析：二次函数的顶点坐标为（h，k），所以a+b+c=a(h²)+b(h)+c=a(1²)+b(1)+c=a+b+c=k=2，选项B正确。

3. 若点P(3,4)在直线5x-ky=3上，则k的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：点P(3,4)在直线5x-ky=3上，代入坐标得到5(3)-k(4)=3，化简得15-4k=3，解得k=3，选项C正确。

二、填空题4. 根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，已知a1=3，a4=9，求公差d为_____。

解析：代入已知条件，9=3+(4-1)d，化简得3=3d，解得d=1。

公差d为1。

5. 在△ABC中，∠A=60°，BC=8，AB=4，则∠B=_____。

解析：根据三角形内角和为180°，∠B+60°+∠C=180°，化简得∠B+∠C=120°。

由已知BC=8，AB=4，利用正弦定理sinB=BC/AB=8/4=2，所以∠B=30°。

三、解答题6. 已知集合A={x|2x+1<5}，求A的解集。

解析：将不等式2x+1<5移项得到2x<4，再除以2得到x<2。

所以集合A的解集为{x|x<2}。

高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.用表示a ，b 两个数中的最小值，设，则的最大值为（ ）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-6 2.函数在一个周期内的图像如图，此函数的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．3.从椭圆的短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，那么此椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．4.下列直线中与直线2x+y+1=0垂直的一条是（ ）A ．2x ﹣y ﹣1=0 B．x ﹣2y+1=0 C ．x+2y+1=0 D ．x+y ﹣1=05.定义在R 上的函数f(x)满足，当x>2时，f(x)单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f(x 1)＋f(x 2)的值( ) A ．恒小于0 B ．恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负6.函数的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.已知为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．B ．C ．D ．8.一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ） A ．B ．C ．D ．9.ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是 （ ）A ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、A 1、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、B 1、O 、M 四点共面 10.计算 （ ） A ．B ．C ．D ．311.若函数y ＝sin(2x ＋θ)(0≤θ≤π)是R 上的偶函数，则θ的值可以是( ) A ．0 B ．C ．D ．π 12.函数的图像为（ ）13.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是（ ）A ．总偏差平方和B ．残差平方和C ．回归平方和D ．相关指数 14.已知全集，集合，，那么集合( ) A ． B ． C ．D ．15.已知中，且，，则此三角形是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若3a＝2b，则的值为（）A．－ B． C．1 D．17.若则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．18.若集合,,则（）A．B．C．D．19.已知，则等于（）A．0 B． C． D．920.某小礼堂有25座位,每排有20个座位.一次心理讲座时礼堂中坐满了学生,讲座后为了了解有关情况,留下了座位号是15的25名学生进行测试,这里运用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数表法 C．系统抽样法 D．分层抽样法二、填空题21.若 .22.（2015秋•安庆校级期中）给出下列五个命题：①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x，当x＞x时，有2x＞x2成立；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．其中正确的序号是．23.若为锐角，且sin ＝，则sin 的值为________．24.如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP=3，则=25.给出下列四个命题： ①函数为奇函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点； ③函数的值域是；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤函数的单调递增区间是.其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确命题的序号）26.（2012•杨浦区二模）若线性方程组的增广矩阵为，则其对应的线性方程组是 ． 27.已知是集合到集合的一个映射，则集合中的元素最多有_______个．28.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角等于________.29.如图，正方形ABCD 中，M 是边CD 的中点， 设，那么的值等于 。

高一数学试卷含答案、解析以及知识点分类 （数学1必修）第一章（上） 集合[基础训练A 组]一、选择题1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ）A ．()()A CBC B ．()()A B A C C ．()()A B B CD ．()A B C 4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个二、填空题1．用符号“∈”或“∉”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N（2）1______,_______,______2R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈A B C2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C AB =，则C 的非空子集的个数为 。

3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则AB =_____________．4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 。

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

高一数学试题及答案解析高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上。

）1.XXXα、β满足−90°<α<β<90°，则是（）。

A。

第一象限角B。

第二象限角C。

第三象限角D。

第四象限角2.若点P(3,y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cosα=1/2，则tanα=（）。

A。

−1B。

−√3C。

√3D。

13.设f(x)=cos(30°x)，g(x)=2cos2x−1，且f(30°)=3/4，则g(x)可以是（）。

A。

cosxB。

sinxC。

2cosxD。

2sinx4.满足tanα≥cotα的一个取值区间为（）。

A。

(0,π)B。

[0,π/4)C。

(π/4,π/2)D。

[π/2,π)5.已知sinx=−√2/2，则用反正弦表示出区间[XXXπ,−π/2]中的角x为（）。

A。

arcsin(−√2/2)B。

−π+arcsin(−√2/2)C。

−arcsin(−√2/2)D。

π+arcsin(−√2/2)6.设|α|<π/4，则下列不等式中一定成立的是（）。

A。

sin2α>sinαB。

cos2α<cosαC。

tan2α>tanαD。

cot2α<cotα7.△ABC中，若cotAcotB>1，则△ABC一定是（）。

A。

钝角三角形B。

直角三角形C。

锐角三角形D。

以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t的函数：IA=Isinωt，IB=Isin(ωt+2π/3)，IC=Isin(ωt+4π/3)，且IA+IB+IC=0，π/3≤ϕ<2π/3，则ϕ=（）。

A。

πB。

高一数学上册期末考试试卷及答案解析一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()U A B =（ ）A ．{}01， B ．{}0,1,2 C ．{}1,1,2- D ．{}0,1,1,2-2．“5x >”是“3x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．下列命题中正确的（ ） ①0与{0}表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}； ③方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． A ．只有①和④ B ．只有②和③ C ．只有②D ．以上语句都不对 4．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ） A ．矩形的两条对角线垂直 B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2≥ 2（a ﹣b ﹣1） C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0 D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤2成立5．已知02x <<，则y = ）A ．2B ．4C ．5D ．66．若110a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A ．22a b <B ．1ba <C ．2b aa b +>D ．2ab b <7．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤8．集合{1,2,4}A =，{}2B x x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是（ ） A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知集合222{2,1,4},{0,2}A a a a B a a =+-=--，5A ∈，则a 为（ ） A ．2B ．2-C ．5D ．1-10．若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最小值14 B C ．1122a b a b +++有最小值43D ．22a b +有最小值1211．下列命题为真命题的是（ ）. A ．若a b >，则11b a >B ．若0a b >>，0c d <<，则abd c < C ．若0a b >>，且0c <，则22cc a b > D ．若a b >，且11a b>，则0ab < 12．若“x M x x ∀∈>，”为真命题，“3x M x ∃∈>，”为假命题，则集合M 可以是（ ）A ．()5-∞-，B ．(]31--，C ．()3+∞，D ．[]03，三、填空题13．若命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>，则其否定为p ⌝：__________________．14．已知:282p x -≤-≤，:1q x >，:2r a x a <<．若r 是p 的必要不充分条件，且r 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为______． 15．设集合{}{}21,2,R (1)0A B x x a x a ==∈-++=，若集合C = A B ，且C 的子集有4个，则实数a 的取值集合为______________. 16．若a ∈R ，0b >，3a b +=，则当=a ______时，1||3||a a b +取得最小值．四、解答题17．求解下列问题：(1)已知0b a <<，比较1a 与1b 的大小； (2)比较()()37x x ++和()()46x x ++的大小．18．已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-． (1)求A B ，R ()A B ⋃： (2)若BC C =，求实数m 的取值范围．19．已知不等式20x ax b -+<的解集为{}17x x <<. （1）求实数,a b 的值.（2）求不等式101ax bx +>-的解集.20．已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，求（1）xy 的最小值； （2）x y +的最小值． 21．22．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （单位：万元）与处理量x （单位：吨）之间的函数关系可近似表示为2401600y x x =-+，3050x ≤≤，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品.(1)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？(2)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？参考答案：1．A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1UB =-，故(){}0,1UAB =，故选：A.2．A 【分析】根据集合与充分必要条件的关系，判断选项. 【详解】{}5x x > {}3x x >，所以“5x >”是“3x >”的充分不必要条件. 故选：A3．C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．【详解】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；②符合集合中元素的无序性，正确； ③不符合集合中元素的互异性，错误；④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示． 故选：C .4．B 【分析】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误.C,D 选项是特称量词命题，故错误. B 选项是全称量词命题，用反证法证明， 因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确.故选:B. 5．【答案】A 【分析】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，由此可得2225x y +=，又面积1=2S xy ，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两个直角边为x ，y ，则2225x y +=， 又1=2S xy由基本不等式可得221125=2224x y S xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭(当且仅当x =y 立) 故选：A.6．B 【分析】由110a b <<得出0b a <<，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误. 【详解】110a b<<，0b a ∴<<，0b a ∴->->，22a b ∴<，A 选项正确；1b b a a-=>-，B 选项错误；由基本不等式可得2baa b +≥=，当且仅当1b a =时等号成立，1b a >，则等号不成立，所以2baa b +>，C 选项正确；0b a <<，2b ab ∴>，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.7．C 【分析】由题意，p ⌝为真命题，进而可得p ⌝为真命题时的充要条件，再根据充分与必要条件的性质判断选项即可. 【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题.首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意； 其次0a ≠时，则0a <且2(2)160a a ∆=+<，即40a ，综上可知，40a .结合选项可得，{}{}3040a a a a -≤≤⊆-<≤，即：30a -≤≤是40a 的一个充分不必要条件. 故选：C8．C 【分析】记U A B =⋃，然后分析每个选项对应的集合的运算并求解出结果进行判断即可.【详解】因为{}1,2,4A =，{}2B x x A=∈，所以{}2,B =--，记{}2,U AB ==--，对于A 选项，其表示(){}4U A B =，不满足；对于B 选项，其表示(){}2,U A B =--，不满足；对于C 选项，其表示(){2,U A B =--，满足；对于D 选项，其表示{}1,2A B =，不满足；故选：C.9．BC 【分析】结合元素与集合的关系，集合元素的互异性来求得a 的值.【详解】依题意5A ∈，当215a+=时，2a =或2a =-，若2a =-，则{}{}2,5,12,0,4A B ==，符合题意；若2a =，则220a a --=，对于集合B ，不满足集合元素的互异性，所以2a =不符合.当245a a -=时，1a =-或5a =，若1a =-，则212a +=，对于集合A ，不满足集合元素的互异性，所以1a =-不符合.若5a =，则{}{}2,26,5,0,18A B ==，符合题意. 综上所述，a 的值为2-或5. 故选：BC10．BCD 【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断.【详解】由正实数,a b 满足1a b +=，则2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为14，故A 选项错误；由()222a b a b =+++=12a b ==时，，故B 选项正确；由11111(33)22322a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪++++⎝⎭111[(2)(2)]3221222322a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭++⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭14233⎛≥+= ⎝，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以1122a b a b +++有最小值43，故C 选项正确；由222222()1()2()2222a b a b a b a b ab a b ++⎛⎫+=+-≥+-⨯== ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以22a b +有最小值12，故D 选项正确. 故选：BCD.11．BCD 【解析】举反例说明选项A 错误；利用不等式的性质证明出选项B ，C 正确；利用作差法证明出选项D 正确．【详解】选项A ：当取1a =，1b =-时，11b a <，∴本命题是假命题. 选项B ：已知0a b >>，0cd <<，所以110dc->->，∴abd c ->-，故abd c <，∴本命题是真命题. 选项C ：222211000a b a b a b >>⇒>>⇒<<，∵0c <，∴22cca b >，∴本命题是真命题. 选项D ：111100b aa b a b ab->⇒->⇒>， ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab <，∴本命题是真命题. 故选：BCD【点睛】本题考查不等式的性质，考查命题的真假，属于基础题． 12．AB 【解析】根据假命题的否定为真命题可知3x M x ∀∈≤，，又x M x x ∀∈>，，求出命题成立的条件，求交集即可知M 满足的条件.【详解】3x M x ∃∈>，为假命题,3x M x ∴∀∈≤，为真命题，可得(,3]M ⊆-∞，又x M x x ∀∈>，为真命题， 可得(,0)M ⊆-∞， 所以(,0)M ⊆-∞，故选：AB【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.13．20,30x x ax ∃≥-+≤【分析】直接利用存在量词写出其否定即可. 【详解】因为命题2:0,30p x x ax ∀≥-+>， 所以其否定p ⌝：20,30x x ax ∃≥-+≤.故答案为：20,30x x ax ∃≥-+≤.14．()5,6【分析】根据充分与必要条件，可得p ，q ，r 中集合的包含关系，再根据区间端点列式求解即可.【详解】易得:610p x ≤≤．记p ，q ，r 中x 的取值构成的集合分别为A ，B ，C ，由于r 是p 的必要不充分条件，r 是q 的充分不必要条件，则AC ，CB ，则016210a a a >⎧⎪≤<⎨⎪>⎩，解得56a <<，即实数a 的取值范围是()5,6．故答案为：()5,615．{}1,2【分析】先求出集合B 中的元素，再由C 的子集有4个，可知集合C 中只有2个元素，然后分1,2a a ==和1a ≠且2a ≠三种情况求解即可.【详解】由2(1)0x a x a -++=，得1x =或x a =， 因为集合C = A B ，且C 的子集有4个， 所以集合C 中只有2个元素， ①当1a =时，{}1B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以1a =满足题意，②当2a =时，{}1,2B =，因为{}1,2A =，所以{}1,2A B ⋃=，即{}1,2C =，所以2a =满足题意， ③当1a ≠且2a ≠时，{}1,B a =， 因为{}1,2A =，所以{}1,2,A B a =，即{}1,2,C a =，不合题意，综上，1a =或2a =，所以实数a 的取值集合为{}1,2， 故答案为：{}1,216．32-【分析】由题知3a <，进而分0<<3a 和0a <两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3a b +=，0b >，所以30b a =->，即3a <．当0<<3a 时，11173||99999a ab a b a a b a b a b ++=+=++≥+， 当且仅当34a =时取等号，所以当34a =时，13a a b+取得最小值79；当0a <时，11139999a a b a b a a ba b a b ++=--=---≥-+59=， 当且仅当32a =-时取等号，所以当32a =-时，13a a b+取得最小值59．综上所述，当32a =-时，13a a b+取得最小值．故答案为：32-17．(1)11a b <(2)()()()()3746x x x x ++<++【分析】（1）利用差比较法比较大小. （2）利用差比较法比较大小.(1)11110,0,0,0,b a b a ab b a a b ab a b-<<>-<-=<<.(2)()()()()()()()()4630,737634x x x x x x x x ++=-<-+<+++++.18．(1){|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或；(2)52m ≤． 【分析】（1）由并集的定义及补集的定义进行计算即可； （2）BC C =等价于C B ⊆，按B =∅和B ≠∅讨论，分别列出不等式，解出实数m 的取值范围． (1)∵集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<， ∴{|05}A B x x ⋃=<≤；R(){05}A B x x x ⋃=≤>∣或.(2) 因为BC C =，所以C B ⊆，当B =∅时，则121m m +≥-，即2m ≤；当B ≠∅时，则12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，解得522m <≤；综上，实数m 的取值范围为52m ≤.19．（1）8,7a b ==；（2）11(,)(,)87-∞-⋃+∞【分析】（1）由解集得到方程20x ax b -+=的根，利用韦达定理可求,a b ．（2）利用（1）中的结果并把分式不等式转化为一元二次不等式可求解集．【详解】（1）因为不等式20x ax b -+<的解集是{}17x x <<． 所以20x ax b -+=的解是1和7．故1771ab +=⎧⎨⨯=⎩，解得 87a b =⎧⎨=⎩． （2）由101ax bx +>-得81071x x +>-，即()()81710x x +->， 解得18x <-或17x >，故原不等式的解集为11(,)(,)87-∞-⋃+∞． 20．（1）64；（2）18.【解析】（1）由280x y xy +-=，得到821x y +=，利用基本不等式，即可求解. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，根据8282()()10y xx y x y x y x y +=++=++，结合不等式，即可求解.【详解】（1）由280x y xy +-=，可得821x y +=，又由0,0x y >>，可得821x y =+≥，当且仅当82x y =，即4x y =时，等号成立，即64xy ≥， 所以xy 的最小值为64. （2）由280x y xy +-=，得821x y +=，因为0,0x y >>，可得8282()()101018y x x y x y x y x y +=++=++≥+， 当且仅当82y xx y =，即12,6x y ==时等号成立，所以x y +的最小值为18.【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 21．(1)[0，254] (2){}|2a a <【分析】（1）首先求解集合A ，再求二次函数的值域；（2）首先将不等式，参变分离得2452x x a x -+-<-，转化为求函数的最值，即可求解. （1）2230x x --≤等价于()()2310x x -⋅+≤，．解得312x -≤≤所以3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭． ∴二次函数223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， 函数在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当32x =时，y 取最大值为254， 当1x =-时，y 取最小值为0，所以二次函数234y x x =-++．x A ∈的值域是[0，254]． （2）由（1）知3|12A x x ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ∵()24520x a x a +-+->恒成立． 即24520x ax x a +-+->恒成立．∴()2245x a x x -⋅>-+-恒成立． ．∵312x -≤≤．∴20x -<．()()222214545122222x x x x x a x x x x x-+-+--+∴<===-+----∵20x ->，∴()1222x x-+≥-．． 当且仅当122x x -=-且312x -≤≤时，即1x =时，等号成立，． ∴2a <，故a 的取值范围为{}|2a a < 22．(1)31a b ==， (2)32a -≤<-或45a <≤ (3)53a ≥-【分析】（1）根据二次函数与对应不等式和方程的关系，利用根与系数的关系，即可求出a 、b 的值；（2）由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<，令()()2322h x x a x a =-+++，求出()0h x <解集中恰有3个整数时a 的取值范围即可．（3）由()f x b ≥在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立，化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，，()2111t t g t t t t+-==-+，求出()g t 的最大值，进一步求出实数a 的取值范围；(1)解：因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，又()0f x >的解集为{2|x x <或4}x >，所以2，4方程()23210x a x a b -++++=的两根，由()2432421a a b ⎧+=+⎨⨯=++⎩， 解得31;a b ==， (2)由()1f x b <-得()23220x a x a -+++<， 令()()2322h x x a x a =-+++，则()()()()12h x x a x =-+-，知()20h =，故()0h x <解集中的3个整数只能是3，4，5或1-，0，1；①若解集中的3个整数是3，4，5，则516a <+≤，得45a <≤；②解集中的3个整数是1-，0，1；则211a -≤+<-，得32a -≤<-；综上，由①②知，实数a 的取值范围为32a -≤<-或45a <≤． (3)因为函数()()2321f x x a x a b =-++++，a ，b R ∈，由()f x b 在[]31x ∈--，上恒成立，知()23210x a x a -+++在[]31x ∈--，上恒成立， 化简得()()222213122x x x x a x x -+---+=--，设[]253t x =-∈--，， 设()2111t t g t t t t +-==-+，因为在()g t 在[]53--，上单调递增， 即()153133g t --+=--，所以53a ≥-． 23．(1)40吨(2)不会获利，700万元【分析】（1）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.（2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ，则()2220401600(30)700S x x x x =--+=---，再结合二次函数的性质，即可求解. （1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本1600()40yP x x x x==+-，3050x ≤≤，当3050x ≤≤时，1600()404040P x x x =+-≥=， 当且仅当1600x x=，即40x =等号成立， 故()P x 取得最小值为(40)40P =，故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少. （2）当3050x ≤≤时，该工厂获利S ， 则()2220401600(30)700S x xx x =--+=---，当3050x ≤≤时，max 7000S =-<，故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损.。

2C．D ．和的定义域和值域都是集合，其定义如下4.已知两个函数表：题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上则方程的解集是()A．B．C．D ．5.已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的为()A．20B．60C．90D．1002.若A、B、C为三个集合，，则一定有()高一数学试卷含答案解析姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分1.设等差数列{a}的前n项和为S，若a＋a＝10，则S等于()n n51418一、选择题(A)(B)(C)(D)3.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A．B．C．D．6.函数的图像大致是() A．1B．A ．m ＝2B ．m ＝－1C ．m ＝2或m ＝－1D ．11.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为，中位数为，众数为，则有A ．B ．C ．D ．12.在中，若，则的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形A ．1B ．2C ．3D ．414.下列各组平面向量中，可以作为基底的是10.当时，幂函数为减函数，则实数()A ．13.已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且，则的值=().A.B.C.D.9.如图所示，E 是正方形ABCD 所在平面外一点，E 在面ABCD 上的正投影F 恰在AC 上，FG ∥BC ，AB=AE=2，∠EAB=60°．有以下四个命题：(1)CD ⊥面GEF ；(2)AG=1；(3)以AC ，AE 作为邻边的平行四边形面积是8；(4)∠EAD=60°．其中正确命题的个数为()7.若为第三象限角，则()A ．B ．C ．D ．8.已知圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分12别是圆C ，C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为12()A ．5－4B ．－1C ．6－2D ．15.函数的定义域是()A ．3B ．4C ．6D ．718.下列关于的不等式解集是实数集R 的为()A ．B ．C ．D ．19.已知锐角是的一个内角，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是()A ．B ．C ．D ．20.不等式的解集为()A ．(－5，1)B ．(－1，5)C ．(－∞，－5)U (1，＋∞)D ．(－∞，－1)U (5，＋∞)评卷人得分二、填空题21.若，则，22.已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，则实数m 的取值范围为。

河南高一高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.等于A．B．C．D．2.若且是，则是A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3.函数y=sin2x的最小正周期是A．B．C．D．4.化简的结果是A．B．C．D．5.已知A．B．C．D．6.函数是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数7.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形8.有下列四种变换方式:①向左平移,再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）；②横坐标变为原来的（纵坐标不变）,再向左平移；③横坐标变为原来的（纵坐标不变）,再向左平移；④向左平移,再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）；其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是A．①和③B．①和②C．②和③D．②和④9.函数的单调递减区间是A．B．C．D．10.如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为A．B．C．-D．二、填空题1.将化为弧度为__________.2.已知向量，，，若∥，则= ．3.已知tan=4,tan=3，,则tan(a+)=_________.4.函数的最小值是__________.5.已知在平面直角坐标系中，A(-2,0),B(1,3),O为原点，且，（其中+="1," ,均为实数），若N(1,0)，则的最小值是______________.三、解答题1.（10分）求值：（1）；（2）2.（10分）已知, 计算：（1）（2）3.（10分）已知向量, 的夹角为, 且, , 若, , 求（1）·；（2）.4.（10分）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值以及取得最大值、最小值时x的值.5.（附加题）（10分）已知函数，的最大值是1，其图像经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．6.（附加题）（10分）已知∈R，k∈R),（1）若，且，求x的值；（2）若，是否存在实数k，使⊥? 若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。

2024-2025学年天津市高一数学上学期9月考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．已知集合2{|2}A x x =<，{|1}B x y x =+，则A B = A ．[0,2)B ．2)C ．[1,2)-D ．[2)-2．命题“x ∃∈R ，210x kx --≥”的否定是（）A ．x ∃∈R ，210x kx --<B ．x ∃∈R ，210x kx --≤C ．x ∀∈R ，210x kx --≥D ．x ∀∈R ，210x kx --<3．已知{|53}U x x =-≤<，{|23}A x x =-≤<，则图中阴影表示的集合是（）A ．{|52}x x -≤≤-B ．{|5x x ≤-或3}x ≥C ．{|52}x x -≤<-D ．{|2}x x ≤-4．集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,xB y y x ==∈N ，则 R A B ⋂ð中元素个数为（）．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知非空集合M 满足:对任意x M ∈，总有2x M ∉x M .若{0,1,2,3,4,5}M ⊆，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．166．集合{}|52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,Z P x x n n ==+∈，{}|103,Z S x x m m ==+∈的关系是（）A ．S P M ⊆⊆B ．S P M =⊆C ．S P M ⊆=D ．P M S=⊆7．若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知,0x y >，且51x y +=，则54x y+的最小值为（）A ．45B ．42C ．40D ．389．下列说法正确的是（）.A ．若a b >，则22a b >B ．若0a b >>，0c d <<，则a b d c>C ．若a b >，c d <，则a c b d +>+D ．若0a b >>，0c <，则b c ba c a->-二、填空题10．集合，，则11．已知正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为.12．若命题“2000R,(1)(1)10x m x m x ∃∈-+-+≤”是假命题，则实数m 的取值范围是.13．集合{}230A x x x =-<，集合{}2B x x =<，则A B =．14．若命题“R x ∃∈，使得240ax ax +-≥”是假命题，则实数a 的取值范围为．15．已知正实数,a b 满足223ab a b ++=，则1121a b++的最小值为.第II 卷（非选择题）三、解答题16．已知集合{|14}A x x =-≤≤，{|1B x x =<或5}x >.(1)若全集R U =，求A B 、()U A B ð；(2)若全集R U =，求()U A B ð.17．已知全集U R =,集合{}20A x x a =+>，{}2230B x x x =-->.(1)当=2时，求集合A B ⋂;(2)若()R A C B ⋂=∅,求实数a 的取值范围．18．已知2:10p x mx ++=有两个不等的负根，2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p 、q 一真一假，求m 的取值范围．19．已知集合{|215}A x x =-≤-≤、集合{|121}B x m x m =+≤≤-（m ∈R ）.(1)若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；(2)设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.20．已知实数a 、b 满足：229410a b ab ++=.(1)求ab 和3a b +的最大值；(2)求229a b +的最小值和最大值.参考答案：题号123456789答案DDCBACBAD1．D【解析】先计算集合{|A x x =<<，{|1}B x x =≥-，再由交集运算即可得A B ⋂.【详解】由2{|2}{|A x x x x =<=，{|{|1}B x y x x ===≥-，得{|1A B x x =-≤ .故选D ．【点睛】本题考查了集合的交集运算，不等式的解法，属于基础题.2．D【分析】由特称命题的否定为全称命题即可得答案.【详解】解：因为命题“x ∃∈R ，210x kx --≥”为特称命题，所以其否定为：x ∀∈R ，210x kx --<.故选：D.3．C【分析】根据补集的定义即得.【详解】因为{|53}U x x =-≤<，{|23}A x x =-≤<，所以{|52}U A x x =-≤<ð，即图中阴影表示的集合是{|52}x x -≤<.故选：C.4．B【分析】根据集合的定义求得B ，再由集合运算法则计算．【详解】由已知{1,2,4,8,}B = ，{3,5}R A B = ð，有2个元素．故选：B ．5．A【分析】由题意得，集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当M 中有元素0时，2000M M =∈=∈，当M 中有元素1时，2111M M =∈=∈，所以0,1M M ∉∉，所以集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M 有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,，{}3,4,5共11个.故选：A.6．C【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断,,M P S 的关系可得结论.【详解】任取a M ∈，则()1152513a k k =-=-+，1k Z ∈，所以a P ∈，所以M P ⊆，任取b P ∈，则()1153512b n n =+=+-，1Z n ∈，所以a M ∈，所以P M ⊆，所以M P =，任取c S ∈，则()11103523c m m =+=⋅+，1Z m ∈，所以c P ∈，所以S P ⊆，又8P ∈，8S ∉，所以S P ≠，所以S P M ⊆=，故选：C.7．B【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

高一数学试卷本试卷分第I 卷(选择题选择题))和第n 卷(非选择题非选择题))两部分间120分钟.第I 卷(选择题，满分50分)一、选择题一、选择题((本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的答案填在指定位置上.) .)1.若角、满足90o 90o,则是() 2A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2. 若点P(3 , y)是角是角终边上的一点，且满足y 0, cos2 则tan ()5A. 3B. 3C. 4D.:3. 设f(x) cos30og(x) 1,且f(30o ) 1,则g(x)可以是可以是()()2A cosx Bsinx C. 2cosx D. 2sin x2 24.满足tan cot 的一个取值区间为的一个取值区间为() ()A .(O ,4]B ・[0, 4]C・[4,2)D ・ [7,-] 5.已知sinx ｝则用反正弦表示出区间[,-]^的角x 为()A. arcsin^B. arcsin^C. arcsin ；D.6.设0 | |；,则下列不等式中一定成立的是：()4sin B. cos2 cos I.\ ! 1tan D. cot 2 cot7. ABC 中，若cotAcotB 1,贝U ABC 一定是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能8.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是关于时间t 的函.满分150分.考试时arcsin 1A. sin 2 C. tan 2数：I AI sin t I BI sin( t —) I CI sin( t )且 I A I B I C0,0 2 ,3则 () () A. —B.—D.-333229. 当x (0,)时，函数f(x) 1 cos x sn x的最小值为的最小值为() ()sin xA. 2龙B. 3C. 273D . 410. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函数y f(x )的图象恰好经过k 个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数阶格点函数..下列函数中为一阶格点函下列函数中为一阶格点函 数的是()A ・ C/ \ C ■ C2A. y sin xB. y cos(x g )C. y lgxD. y x第皿卷第皿卷((非选择题，共计100分)二、填空题二、填空题((本大题共本大题共 5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指分，把正确的答案填在指定位置上定位置上.) .),311 .已知cos2 g ，则sin cos 的值为的值为12.若x ；是方程2cos(x ) 1的解的解,,j 其中其中 (0,2),贝U = 3 13 .函数f(x) log 〔tan(2x 甘)的单调递减区间为的单调递减区间为3■ \ \ Y I14. 函数y匝唉的值域是匝唉的值域是 2 cosx 15. 设集合设集合 M 平面内的点(a,b) ,N f(x)| f(x) acos3x bsin3x .给出M 到N 的映射的映射 f : (a, b) f (x) acos3x bsin3 x .关于点(V2, V2)的象的象 f(x)有下列命题：有下列命题： 3 ① f (x) 2sin(3x —)；4② 其图象可由y 2sin3 x 向左平移一个单位得到；向左平移一个单位得到；4③点(.,0)是其图象的一个对称中心④ 其最小正周期是其最小正周期是 其中正确的有其中正确的有三. . 解答题解答题解答题((本大题共本大题共 5个小题，共计75分，解答应写出文字说明，证明过程分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤或演算步骤.) .)16.(本题满分本题满分 12 分)已知， 已，)，tan( —) 2 ,sin( )-.417.(本题满分本题满分 12 分)已知函数已知函数 f (x) 2^3sinxcosx 2cos 2x m .(1) 求函数f(x)在[0,]上的单调递增区间；上的单调递增区间； (2)当x [03时，|f(x)| 4恒成立，求实数m的取值范围的取值范围18. (本题满分12分)已知函数f(x)切 J J——5sin x 4(1) 求f(x)的定义域并判断它的奇偶性；的定义域并判断它的奇偶性；(2) 求 f(x)的值域的值域..1| ■ ■■ Lj 19.(本题满分12分)已知某海滨浴场的海浪高度浴场的海浪高度y(m)是时间t (时)(0 t 24)的函数，记作y f(t)下表是某日各时的浪高数据：下表是某日各时的浪高数据：经长期观察，y f(t)的曲线可近似的看成函数的曲线可近似的看成函数 y Acos t b( 0).(1) 根据表中数据，求出函数y Acos t b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达及函数表达 式；式； (2)依据规定，当海浪高度高于依据规定，当海浪高度高于 1m 时才对冲浪者开放，请根据放，请根据((1)中的结中的结 论，判断一天中的上午论，判断一天中的上午 8: 00到晚上20: 00之间，有多少时间⑤在x [―,—]±为减函数为减函数12 4445(1) 求sin2的值；的值；(2)求 tan(的值的值. .cos2xt (时) 0 3 6 9 \ L 】/ 1.5 10 0.5 1.0 12 15 18 21 24 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5可供冲浪者运 可供冲浪者运动？动？20.(本题满分13分)关于函数f(x)的性质叙述如下：①f(x 2 ) f(x)；②f(x) 没有最大值；③f(x)在区间在区间((。

2023-2024学年银川一中高一数学上学期9月考试卷考试时间：90分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合{1,0,1}A =-，集合{}2N 1B x x =∈=，那A B = （）A ．{1}B ．{0,1}C ．{1,1}-D ．{1,0,1}-2．命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，2220x x -+≥B ．x ∃∈R ，2220x x -+>C ．x ∀∈R ，2220x x -+≤D ．x ∀∈R ，2220x x -+>3．已知:1p x >，1y >，:2q x y +>，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 既是q的充分条件，也是q的必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q的必要条件4．已知集合{}2,0A =-，{}20,,NB x ax bx a b =+=∈，A B =，则a b +的值为（）A ．3B ．3-C ．1D ．1-5．已知2x >，那么函数42y xx =+-的最小值是（）A ．5B ．6C ．4D ．86．已知11x y -≤+≤，15x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是（）A ．036x y ≤-≤B ．1311x y ≤-≤C ．239x y -≤-≤D ．0311x y ≤-≤7．学校举办运动会时，高一（1）班有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛．则同时参加田径和球类比赛的人数是．A ．3B ．4C ．5D ．68．已知集合{}11,Z A x x x =-<≤∈，{}23,N B x x x =≤≤∈，定义集合(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,3A =，集合A 与B 的关系如图，则集合B 可能是（）A ．{}2,4,5B ．{}1,3C ．{}1,6D ．{}2,310．设计如图所示的四个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q的充分不必要条件的电路图是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）11．下列说法正确的有（）．A ．若a b >，则22ac bc >B ．若22a b cc >，则a b >C ．若a b >，则a c b c ->-D ．若a b >，则22a b>12．下列命题中，真命题是（）A ．若,R x y ∈且2x y +>，则,x y 至少有一个大于1B ．2R,2x x x ∀∈<C ．0a b +=的充要条件是1ab =-D ．命题“21,1x x ∀<<”的否定形式是“2001,1x x ∃<≥”第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．设x ，y 均为正数，且44x y +=，则xy 的最大值为.14．已知条件p ：12x -≤，条件q ：x a >，且满足p 是q的充分不必要条件，则a 的取值范围是.15．满足{}{}1,31,3,5,7A ⊆⊆，则符合条件的集合A 有个．16．已知集合{}2,1A =-，{}2B x ax ==，若A B B = ，则实数a 值集合为．四、解答题（本大题共4小题，共40.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知集合{}37A x x =≤≤，{}210B x x =<<，实数集R 为全集.(1)求A B ⋃，A B ⋂；(2)求()R A B⋂ð.18．设全集U =R ，集合{}15A x x =≤≤，集合{}212B x a x a =-≤≤+，其中R a ∈.(1)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，求a 的取值范围；(2)若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围.19．某公司经过测算，计划投资A 、B 两个项目，若投入A 项目x （万元），则一年创造的利润为2x（万元）；若投入B 项目资金x （万元），则一年创造的利润为()10,020,3020,20xx f x xx ⎧≤≤⎪=-⎨⎪>⎩（万元）(1)当投资A ，B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，列不等式（组）表示上述不等关系；(2)若该公司共有资金30万，全部用于投资A 、B 两个项目，设该公司一年投入A 项目()1030x x ≤≤（万元），当x 为何值时，创造的利润最小.20．已知:p x ∃∈R ，220x ax ++=.():0,1q x ∀∈，20x a -<.(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p ，q一个是真命题，一个是假命题，求a 的取值范围．1．A【分析】根据交集的知识求得正确答案.【详解】由于{}{}2N 11B x x =∈==，所以A B = {1}.故选：A 2．D【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x ∃∈R ，2220x x -+≤”的否定是为：x ∀∈R ，2220x x -+>，故选：D.3．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若1x >，1y >，由不等式的可加性得到2x y +>，即p 是q 的充分条件，若2x y +>不一定得到1x >，1y >，如10x =，0y =满足2x y +>，但是1y <，所以p 是q的不必要条件.故选：A 4．A【分析】由集合相等求解即可.【详解】因为集合{}2,0A =-，{}20,,NB x ax bx a b =+=∈，A B =，所以420a b -=，即2b a =，所以3a b a +=，因为,N a b ∈，所以a b +的值为3.故选：A.5．B【解析】根据基本不等式可求得最小值．【详解】∵2x >，∴442+2+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6．故选：B ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.6．B 【分析】令()()3x y x y x y λμ-=++-，求出λ、μ，再根据不等式的性质计算可得.【详解】因为11x y -≤+≤，15x y ≤-≤，令()()3x y x y x y λμ-=++-，则31λμλμ+=⎧⎨-=-⎩，解得12λμ=⎧⎨=⎩，所以()()32x y x y x y -=++-，又()2210x y ≤-≤，所以()()1211x y x y ≤++-≤，即1311x y ≤-≤.故选：B 7．A【详解】试题分析：只参加游泳比赛的人数：15-3-3=9（人）；同时参加田径和球类比赛的人数：8+14-（28-9）=3（人）．考点：排列、组合及简单计数问题8．D【分析】根据新定义求出12x x +，12y y +可取值，从而可求出A B ⊕，即可得解.【详解】{}{}11,Z 0,1A x x x =-<≤∈=，{}{}23,N 2,3B x x x =≤≤∈=，由(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，得12x x +可取2,3,4，12y y +可取2,3,4，所以()()()()()()()()(){}2,2,2,3,2,4,3,2,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4A B ⊕=有9个元素.故选：D.9．BD【分析】由图知：B AÜ，即可根据集合关系判断.【详解】由图知：B A Ü，{}1,2,3A =，根据选项可知3{}1,B =或{2,3}B =．故选：BD.10．AD【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】图（1），开关S 闭合，灯泡L 亮，灯泡L 亮，开关S 不一定闭合，则p 是q的充分不必要条件；图（2），p 是q的充要条件；图（3），开关S 闭合，灯泡L 不一定亮，灯泡L 亮，开关S 一定闭合，所以p 是q的必要不充分条件；图（4），开关S 闭合，灯泡L 亮，灯泡L 亮，开关S 不一定闭合，则p 是q的充分不必要条件；故选：AD.11．BC【分析】AD 可举出反例，BC 可通过不等式基本性质得到求解.【详解】A 选项，当2,1,0a b c ===时，满足a b >，故22ac bc =，故A 错误；B 选项，若22a b cc >，故20c >，不等式两边同乘以2c ，得到a b >，故B 正确；C 选项，若a b >，不等式两边同减去c 得：a c b c ->-，C 正确；D 选项，当0,1a b ==-时，满足a b >，此时22a b <，D 错误.故选：BC 12．AD【分析】根据不等式的性质，以及实数的运算性质，以及含有一个量词的否定的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若实数,x y 都小于等于1，那么可以推出2x y +≤，所以A 正确；对于B 中，当2x =时，22x x =，所以B 错误；对于C 中，当0a b ==时，满足0a b +=，但1ab =-不成立，所以C 错误；对于D 中，由含有一个量词的否定的概念，可得命题“21,1x x ∀<<”的否定形式是“2001,1x x ∃<≥”，所以D 是正确的.故选：AD.13．1【分析】根据144xy x y =⨯⋅结合基本不等式即可得解.【详解】因为x ，y 均为正数，且44x y +=，所以211441442x y xy x y +⎛⎫=⨯⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当42x y ==时，取等号，所以xy 的最大值为1.故答案为：1.14．(),1-∞-【分析】根据题意，将条件p 化简，然后根据条件列出不等式，即可得到结果.【详解】由12x -≤可得212x -≤-≤，即13x -≤≤，且p 是q的充分不必要条件，即13x -≤≤是x a >的充分不必要条件，则可得1a <-，则a 的取值范围是(),1-∞-.故答案为：(),1-∞-15．4【分析】根据条件可知A 一定含元素1，3，可能含元素5，7，从而可求出满足条件的A 的个数．【详解】解：∵{}{}1,31,3,5,7A ⊆⊆，∴1，3是A 的元素，5，7可能是A 的元素，∴集合A 的个数有224=个．故答案为：4．16．{}0,1,2-【分析】由A B B = 得到B A ⊆，则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，分别求解即可.【详解】因为A B B = ，故B A ⊆；则{}2,1A =-的子集有∅，{}2-，{}1，{}2,1-，当B =∅时，显然有0a =；当{}2B =-时，221a a -=⇒=-；当{}1B =，122a a ⋅=⇒=；当{}2,1B =-，a 不存在，所以实数a 的集合为{}0,1,2-；故答案为{}0,1,2-．17．(1){}{}210,37A B x x A B x x ⋃=<<⋂=≤≤(2)(){R23A B x x ⋂=<<ð或}710x <<【分析】（1）根据交集和并集的定义即可得解；（2）根据交集和补集的定义即可得解.【详解】（1）因为{}37A x x =≤≤，{}210B x x =<<，所以{}{}210,37A B x x A B x x ⋃=<<⋂=≤≤；（2）{R 7A x x =>ð或}3x <，所以(){R23A B x x ⋂=<<ð或}710x <<.18．(1)2a ≥(2)13a ≥【分析】（1）根据“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，可得A B ⊆，再根据集合的包含关系即可得解；（2）先求出A B ⋂=∅时a 的范围，进而可得出答案.【详解】（1）因为“x B ∈”是“x A ∈”的必要条件，所以A B ⊆，所以12221125a a a a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得2a ≥，所以a 的取值范围为2a ≥；（2）当A B ⋂=∅时，当B =∅，即122a a +<-，即13a <时，此时A B ⋂=∅；当B ≠∅时，则12225a a a +≥-⎧⎨->⎩或122121a a a +≥-⎧⎨+<⎩，解得a 无解，综上所述，当A B ⋂=∅时，13a <，所以若A B ⋂≠∅，a 的取值范围为13a ≥.19．(1)020x ≤≤时，10 302x x x >-；20x >时，202x>.(2)x =【分析】（1）根据两个项目的利润与投入资金的函数关系式，分段列出B 项目比A 项目利润高的不等关系；（2）列出利润关于x 的函数关系式，通过基本不等式求解利润取最小值时x 的值.【详解】（1）当投资A ，B 两个项目的资金相同且B 项目比A 项目创造的利润高，则当020x ≤≤时，有10302x xx >-，当20x >时，有202x >.（2）设投资A 项目()1030x x ≤≤（万元），则投资B 项目30x -（万元），有03020x ≤-≤，则公司一年的利润103016001101010222()x x y x x x -⎛⎫++-≥⨯ ⎪⎝⎭===，当且仅当600x x =，即x =（万元）时取得最小值．所以当x =20．(1))(,⎡+∞⋃-∞-⎣(2)(,1,⎡-∞-⋃⎣【分析】（1）根据p 为真命题，则0∆≥，解之即可；（2）分别求出p ，q是真命题时，a 的范围，再分p 是真命题，q是假命题时和p 是假命题，q是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案.【详解】（1）解：由:p x ∃∈R ，220x ax ++=，若p 为真命题，则280a ∆=-≥，解得a ≥a ≤-，所以a的取值范围为)(,⎡+∞⋃-∞-⎣；（2）解：若q为真命题时，则2a x >对()0,1x ∀∈恒成立，所以1a ≥，若p ，q一个是真命题，一个是假命题，当p 是真命题，q是假命题时，则1a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或1a a ⎧≤-⎪⎨<⎪⎩，解得a ≤-，当p 是假命题，q是真命题时，则1a a ⎧-<<⎪⎨≥⎪⎩，解得1a ≤<，综上所述(,1,a ⎡∈-∞-⋃⎣.。

高一上数学期末考试试卷及答案解析第一部分：选择题1. 已知三角形ABC，其中∠ABC = 90°，斜边AB = 5，BC = 12。

求∠BAC的正弦值。

解析：根据正弦定理，sin(∠BAC) = AB/AC，由勾股定理可得AC= 13，代入计算得sin(∠BAC) = 5/13。

2. 函数y = x^2 + 4x + 3的图像为抛物线，其顶点坐标为（-2，-1），则函数的对称轴方程为_______。

解析：对称轴与抛物线的顶点横坐标一致，所以对称轴方程为x = -2。

3. 若函数y = ax + b在点（4，7）处的切线斜率为3，则a的值为_______。

解析：切线的斜率等于函数在该点的导数值，所以a = 3。

4. 设集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {2, 4, 6}，则A与B的交集为_______。

解析：A与B的交集为{2, 4}。

5. 已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，g(x) = 2x + 1，求f(g(3))的值。

解析：首先算出g(3) = 2(3) + 1 = 7，然后带入f(x)计算得f(g(3)) =7^2 + 3(7) + 2 = 72。

第二部分：解答题1. 计算方程2x + 5 = 15的解。

解析：将等式两边减去5，得到2x = 10，再除以2，得到x = 5，所以方程的解为x = 5。

2. 从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红心或者黑桃的概率。

解析：一副扑克牌共有52张，其中红心和黑桃的数量各为13张，所以红心或者黑桃的概率为(13+13)/52 = 26/52 = 1/2。

3. 已知直线L1的斜率为1/2，过点A(2，3)。

求直线L1的方程。

解析：直线L1的斜率为1/2，过点A(2，3)，所以直线L1的方程为y - 3 = 1/2 * (x - 2)。

4. 某商场A店和B店销售同一种电视机，A店售价为原价的80%，B店以原价的1200元售出，若在B店购买该电视可享受一定的折扣，选择购买哪个商场的电视可以获得更大的实惠？解析：设电视的原价为x元。

2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R，且A 中只有一个元素，则a =________；5.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R=++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的Ax 的算术平均值为________．12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.AB.BC.CD.A ，B ，C 都有可能14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A .1个B.2个C.3个D.4个15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A .B.1C.2D.3三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x=⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.22.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.【答案】()(){}2,1,1,2--【解析】【分析】通过解方程组求得正确答案.【详解】依题意，213y x y x =+⎧⎨=-+⎩，则()()2213,2210x x x x x x +=-++-=+-=，解得2x =-或1x =，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解为21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为()(){}2,1,1,2--.故答案为：()(){}2,1,1,2--2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________【答案】(,2][3,4]-∞ 【解析】【分析】根据补集和并集的概念得到集合.【详解】{2A x x =≤-或}34x ≤≤，A B = {2x x ≤-或}34x ≤≤(,2][3,4]{|32}x x -≤=-∞≤ .故答案为：(,2][3,4]-∞ 3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【解析】【分析】由A B ≠∅ ,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ≠∅ ,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，且A 中只有一个元素，则a =________；【答案】0或14【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0∆=求出a 的值.【详解】因为{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，表示关于x 的方程210ax x ++=的解集，当0a =时，由10x +=，解得1x =-，所以{}1A =-，符合题意；当0a ≠时，要使A 中只有一个元素，则2140a ∆=-=，解得14a =，此时方程21104x x +=+，解得122x x ==-，所以{}2A =-，符合题意；综上可得0a =或14a =.故答案为：0或145.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．【答案】a ，b ，c 中至少有两个偶数【解析】【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数.6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.【答案】(){}1,0【解析】【分析】集合A 表示直线去掉一个点，集合B 表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.【详解】依题意，集合B 表示221y xx =-+上的点，集合A 表示直线()12y x x =-≠上的点，故集合A B ⋂中元素表示直线与二次函数的交点，联立2211y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩得2123201,2x x x x -+===，(舍)，故直线与二次函数有1个交点()1,0，故集合A B ⋂中有1个元素,(){}=1,0A B .故答案为：(){}1,0.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x a x x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】根据题意，分0a ≥与0a <讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.【详解】由题意可得，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩可以推出12x a x a >⎧⎨>⎩，则0a ≥不符合题意，比如当121,5,2x x a ===时，不符合题意；当0a =时，则12x a x a >⎧⎨>⎩是122122x x ax x a +>⎧⎨>⎩的充要条件，不符合题意；当0a <时，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩等价于()()122120x a x a x x a⎧-+->⎨>⎩，则12x ax a >⎧⎨>⎩，所以0a <，即实数a 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.【答案】({4}-⋃【解析】【分析】由题意可得{}1,3A ⊆，分A =∅、{1}A =、{3}=A 、{1,3}A =分别求解即可.【详解】解：因为{}1,3A A = ，所以{}1,3A ⊆，当A =∅时，2120m ∆=-<，解得m -<<当{1}A =时，2Δ120130m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{3}=A 时，2Δ1209330m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{1,3}A =时，2Δ120134m m ⎧=->⎨=+=⎩，解得4m =；综上所述，实数m 的取值范围是：({4}-⋃.故答案为：({4}-⋃9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.【答案】2-【解析】【分析】先22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；求出2124b a =-，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出a ，得出b ，即可得出结果.【详解】由22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，方程220x ax b ++-=的判别式为()2212448a b a b ∆==---+，方程220x ax b +++=的判别式为()2222448a b a b ∆==-+--，显然12∆>∆，又集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，所以方程220x ax b ++-=和220x ax b +++=共三个根，且只能方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；即22480480a b a b ⎧-+>⎨--=⎩，即2124b a =-；所以方程220x ax b ++-=可化为221440x ax a +-+=，解得22a x =-或22ax =--，方程220x ax b +++=可化为22140x ax a ++=，解得2a x =-，则22222a a a ->->--，又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以2222222202202202a a a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪->⎪⎪⎨⎪->⎪⎪⎪-->⎪⎩，解得16a =-，则212624a b =-=，因此42a b +=-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．【答案】【解析】【分析】()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z 表示π4的奇数倍，而,4πk x k =∈Z 表示π4的整数倍，故得解.【详解】因为()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z ，所以集合ππ|,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的奇数倍，又因为集合π|,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的整数倍，所以MN .故答案为：.11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的A x 的算术平均值为________．【答案】7【解析】【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.【详解】集合M 的任一非空子集共有621-个，其中最小值为1的子集可视为{}2,3,,6 的子集与集合{}1的并集，共有52个，同上可知，最小值为2的子集共有42个，最小值为3的子集共有32个，最小值为4的子集共有22个，最小值为5的子集共有12个，最小值为6的子集共有02个，同上可知，最大值为6的子集共有52个，最大值为5的子集共有42个，最大值为4的子集共有32个，最大值为3的子集共有22个，最大值为2的子集共有12个，最大值为1的子集共有02个，所以M 的所有非空子集中最小值之和为543210122232425262⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，最大值之和为543210625242322212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以543210543210612223242526262524232221221A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-54321067(222222)721⨯+++++==-，故答案为:7.12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.【答案】①②③【解析】【分析】根据已知条件及集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,1,2,2,1,2,1Y =------，根据集合X 具有性质P 的定义，对于任意(),s t Y ∈，若0,0s t >>，则s t =或()(),1,2s t =，或()(),2,1s t =，若s t =，取221,1s t =-=-，则220ss tt +=；若()(),1,2s t =，取222,1s t ==-，则220ss tt +=；若()(),2,1s t =，取221,2s t =-=，则220ss tt +=；若,s t 有一个为负数，则1s =-或1t =-，若1s =-，则取22,1s t t ==，则220ss tt +=；若1t =-，则取221,s t s ==，则220ss tt +=；故①正确；对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=取11(,)x x Y ∈，存在(,)p q x x 使得110p q x x x x +=，所以0p q x x +=，不妨设1,1p q x x ==-，所以若集合X 具有性质P ，则1X ∈，故②正确；③假设1n x >，令111,2n s t x ==，则存在,s t X ∈使得102n s tx +=，同②得,s t 中必有一个数为1-，若1s =-，则12n tx =，于是11122n t x x =<=，矛盾，若1t =-，则()112n s x ⋅-=，于是2n n s x x =>，也矛盾，所以1n x ≤，又由②得1X ∈，所以1n x ≥，所以1n x =，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.A B.BC.CD.A ，B ，C 都有可能【答案】A 【解析】【分析】根据可知：集合A 为奇数集，结合B 为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，即a 为奇数，b 为偶数，则a b +为奇数，所以BD 错误，A 正确；例如1,0a b ==，令41a b k +=-，即141k =-，解得12k =∉Z ，所以a b C +∉，故C 错误；故选：A.14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：对于①A B A = 等价于A B ⊆，故①正确；对于②A B A = 等价于B A ⊆，故②不正确；对于③()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故③正确；对于④A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于A B ，故⑤不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①③，共2个，故选：B .15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂，所以,M N ≠∅≠∅，当1112220a b c a b c ==<时，21110a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++<，所以M N =不成立，故不充分；当M N =≠∅时，111222a b c a b c ==，故必要，故选：B ．16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当0a ≠时，1a a=，利用定义依次推导2023G ∈，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.【详解】对于①，根据当a G ∈，则a a G -∈，即0G ∈，所以0是任何数域的元素，故①正确；对于②，根据当0b ≠时，b G ∈，则bG b∈，即1G ∈，进而112G +=∈，213G +=∈，L ，202212023G +=∈，故②正确；对于③，对2P ∈，4P ∈，但2142P =∉，不满足题意，所以集合{}2,Z P x x k k ==∈不是一个数域，故③不正确；对于④，若a ，b 是有理数，则a b +，a b -，ab ，ab()0b ≠都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;所以其中假命题的个数是1个.故选：B.三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x =⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，无限集（2）()(){}0,0,1,1，有限集（3）{}2,0,2,4,6,8-，有限集【解析】【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；（3）元素有限个，所以用列举法表示.【小问1详解】因为32302x x ->⇒>，所以解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，为无限集；【小问2详解】二元二次方程组2y x y x =⎧⎨=⎩，所以2x x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以解集为()(){}0,0,1,1，为有限集；【小问3详解】大于3-且小于9的偶数有2,0,2,4,6,8-，所以解集为{}2,0,2,4,6,8-，为有限集.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）1a >；（2）0a =或1a =；（3）0a =或1a ≥.【解析】【分析】（1）讨论a ，根据0∆<可得结果；（2）讨论a ，根据0∆=可得结果；（3）转化为方程2210ax x ++=至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【小问1详解】若A 是空集，则方程2210ax x ++=无解，当0a =时，方程210x +=有解，不符合题意；当0a ≠时，440∆=-<a ，得1a >.综上所述：1a >.【小问2详解】若A 是单元素集合，则方程2210ax x ++=有唯一实根，当0a =时，方程210x +=有唯一解12x =-，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，得1a =.综上所述：0a =或1a =.【小问3详解】若A 中至多有一个元素，则方程2210ax x ++=至多有一个解，当方程2210ax x ++=无解时，由（1）知，1a >；方程2210ax x ++=有唯一实根时，由（2）知，0a =或1a =.综上所述：0a =或1a ≥.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.【答案】（1）必要不充分；（2）既不充分也不必要；（3）必要不充分；（4）充分不必要；（5）充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.【小问1详解】解：由||||x y =可得x y =或x y =-，即由p 推不出q ，但由q 可以推出p ，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问2详解】解：由ABC V 是直角三角形推不出ABC V 是等腰三角形，由ABC V 是等腰三角形推不出ABC V 是直角三角形，所以条件p 是条件q 的既不充分也不必要条件；【小问3详解】解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问4详解】解：由1x =可得10x -==，即有1x -=，但由1x -=只能得1x ≥，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件；【小问5详解】解：由0m >，可得140m +>，从而得方程20x x m +-=有实根，但由方程20x x m +-=有实根，可得140m +≥，即14m ≥-，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）1-或3-（2（3）3a ≤-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B 元素情况分类求解即可.【小问1详解】由题意得{}{}23201,2A x x x =-+==，因为{}2A B = ，所以2B ∈，所以2224(1)50a a +++-=即244450a a +++-=，化简得2430a a ++=，即(3)(1)0a a ++=，解得3a =-或1a =-，检验：当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足{}2A B = ，当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B = ，所以3a =-或1a =-.【小问2详解】因为B 集合中有两个元素12,x x ，所以方程()()222150x a x a +++-=有两个根，所以()22Δ4(1)458240a a a =+--=+>且122(1)x x a +=-+，2125x x a =-，所以12x x -===.【小问3详解】因为{}1,2A =，且,U B A =⋂=∅R ，当B =∅时，()22Δ4(1)458240a a a =+--=+<，解得3a <-，符合题意；当{}1B =时，则()()()()2222Δ4145824012150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解；当{}2B =时，则()()()2222Δ4145824024150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，所以3a =-；当{}1,2B =时，则()()()222Δ41458240122125a a a a a ⎧=+--=+>⎪⎪+=-+⎨⎪=-⎪⎩，无解；综上，3a ≤-.附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=- .故答案为：-122.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】对于①，分类讨论0x =、1x =、10x -<<、01x <<和12x <<五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x 为整数和不为整数时原式是否成立，对于x 不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【详解】对于①：当0x =时，[]2100110x x --=--=-≠，不符合题意；当1x =时，[]2111110x x --=--=-≠，不符合题意；当10x -<<时，[]()2221110x x x x --=---==，则()01,0x =∉-，不符合题意；当01x <<时，[]22210110x x x x --=--=-=，则()10,1x =±∉，不符合题意；当12x <<时，[]22211120x x x x --=--=-=；则()1,2x =符合题意，()1,2x =不符合题意；综上，[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<=是单元素集，故①正确.对于②：当x 为整数时，[][]1222x x x x x x ⎡⎤++=+==⎢⎥⎣⎦成立；当x 不为整数时，设x a b =+（a 为整数，01b <<），当102b <<时，[]122x x a a a ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，[][]2222x a b a =+=，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当12b =时，12x a =+，则[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22121x a a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当112b <<时，[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22221x a b a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；综上，对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，故②正确.故选：A【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。

高一数学试卷带答案解析考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知二次函数的部分对应值如下表．则不等式的解集为（）．A. B. C. D.2.设直三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则四棱锥的体积为（）A． B． C． D．3.不等式的解集为（）A． B． C． D．4.设函数f（x）（x）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f(x)+f(2)，则（）A．0 B．1 C． D．55.已知角的终边经过点（-3，-4），则的值为（）A． B． C． D．6.若，则等于 ( )A．2－1B．2－2C．2+1D．+17.数列的通项公式，则该数列的前（）项之和等于。

A． B． C． D．8.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。

现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k=16，即每16人抽取一个人。

在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是 ( )A．40 B．39 C．38 D．379.在直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，在直角三角形中，若，则的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410.与最接近的数是（）A． B． C． D．11.对任意实数a，b，c，下列命题：(1)“a=b”是“ac=bc”的充分条件；(2)“a+1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；(3)“a< 5”是“a< 3”的必要条件．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．012.设函数定义在实数集上，则函数与的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于直线对称D．关于直线对称13.函数在上是减函数，则的范围是 ( )A． B． C． D．14.为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交15.圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A．1:(-1) B．1:2 C．1: D．1:416.已知，，那么= （）A． B． C． D．17.点M在上，则点到直线的最短距离为（）A．9 B．8 C．5 D．218.已知函数，则＝（）A． B． C． D．19.sin cos＋cos 20°sin 40°的值等于A． B． C． D．20.定义集合A与B的运算等于A． B． C．A D．B二、填空题21.集合A={x|x=a2﹣4a+5，a∈R}，B={y|y=4b2+4b+3，b∈R} 则集合A与集合B的关系是．22.已知命题“，”；命题“，”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.23.已知数列的前项和满足，则_______.24.如图是计算的值的程序框图．（I）图中空白的判断框应填，执行框应填；（II）写出与程序框图相对应的程序．25.（2011年苏州B6）函数在 [ 0，] 上的单调减区间是 ____．26.已知函数的定义域为M，的定义域为N，则．27.已知点是直线上一动点，PA，PB是圆的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________________.28.已知函数y=Asin(的部分图象如图所示，则A=_____,________,_______。