山东省德州市武城二中高中数学《空间两点的距离公式》学案新人教A版必修2

4．3.2 空间两点间的距离公式【课标要求】1．了解空间两点间的距离公式的推导过程．2．能运用空间两点间的距离公式解决简单的空间距离问题． 【核心扫描】1．空间两点间的距离公式的应用．(重点) 2．空间两点距离的最值．(难点)新知导学1．空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P (x ，y ，z )到坐标原点O 的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2. (2)在空间中，P 1(x 1，y 1，z 1)与P 2(x 2，y 2，z 2)的距离|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 温馨提示：空间两点间距离公式是平面两点间距离公式的推广，动点P (x ，y ，z )到定点P 0(x 0，y 0，z 0)的距离等于定长r (r ＞0)的轨迹方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z0)2＝r 2，此方程表示以点P 0为球心，以r 为半径的球面．互动探究探究点 在空间直角坐标系中，如果点P (x ，y ，z )是以原点为球心，以r 为半径的球内或球面上一点，那么点P 的坐标满足什么条件？提示 x 2＋y 2＋z 2≤r 2.类型一 空间中两点距离的计算【例1】 如图所示，在长方体OABCO 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，过点O 作OD ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离．[思路探索] 解决本题的关键是利用底面上三角形相似确定D 点的坐标． 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，C (0,3,0)． 设D (x ，y,0)．在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13，∴|OD |＝613＝61313.如图，过点D 分别作DM ⊥OA 于M ，DN ⊥OC 于N ，则Rt △ODA 与Rt △OMD 相似，可得|OM ||OD |＝|OD ||OA |，∵|OM |＝x ，∴|OD |2＝x ·|OA |，∴x ＝36132＝1813.同样地，利用Rt △ODC 与Rt △ODN 相似，可得y ＝|ON |＝|OD |2|OC|＝36133＝1213.∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0. ∴|O 1D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4＝ 1 144132＝228613. [规律方法] 利用空间两点间距离公式计算两点间的距离：一要根据几何图形建立合适的坐标系，原则是尽可能多的点在坐标轴或坐标平面上．二要正确地确定两点的坐标，本例利用平面几何中三角形相似知识确定D 点坐标体现了空间与平面的转化思想．【活学活用1】 如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解 以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5， |EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6. 类型二 根据距离关系确定点的坐标【例2】 在yOz 平面上求与三个已知点A (3,1,2)，B (4，－2，－2)，C (0,5,1)等距离的点的坐标．[思路探索] 设出所求点的坐标，根据距离关系列方程组．解 设P (0，y ，z )，由题意⎩⎪⎨⎪⎧|P A |＝|PC |，|PB |＝|PC |，所以⎩⎨⎧(0－3)2＋(y －1)2＋(z －2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2，(0－4)2＋(y ＋2)2＋(z ＋2)2＝(0－0)2＋(y －5)2＋(z －1)2即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标是(0,1，－2)． [规律方法] 由距离关系确定点的坐标，一般设出点的坐标后，根据空间距离公式列方程(组)即可求得点的坐标．【活学活用2】 点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离是到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P 的坐标是________．解析 因为点P 在x 轴上，设P (x,0,0)，则|PP 1|＝x 2＋(－2)2＋(－3)2＝x 2＋11，|PP 2|＝x 2＋(－1)2＋12＝x 2＋2. ∵|PP 1|＝2|PP 2|，∴x 2＋11＝2x 2＋2，解得x ＝±1. ∴所求点的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)． 答案 (1,0,0)或(－1,0,0)类型三 利用距离证线线垂直【例3】 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥PB 1.(用坐标法)[思路探索] 建立坐标系后，可用勾股定理证明AP ⊥PB 1.证明 如右图所示，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)由中点坐标公式可得P ⎝⎛⎭⎫12，12，1，根据空间两点间的距离公式可得|AP |＝ ⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0－122＋(0－1)2＝62， |PB 1|＝ ⎝⎛⎭⎫12－12＋⎝⎛⎭⎫12－12＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝ (1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝2，所以|AP |2＋|PB 1|2＝|AB 1|2， ∴AP ⊥PB 1.[规律方法] 在空间直角坐标系中，现在我们证明线线垂直的主要方法是借助勾股定理来证明垂直关系，属于计算证明的方法．【活学活用3】 求证：以A (10，－1,6)，B (4,1,9)，C (2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．证明 根据空间两点间距离公式，得|AB |＝ (10－4)2＋(－1－1)2＋(6－9)2＝7， |BC |＝ (4－2)2＋(1－4)2＋(9－3)2＝7， |AC |＝ (10－2)2＋(－1－4)2＋(6－3)2＝98.因为|AB |2＋|BC |2＝|AC |2，且|AB |＝|BC |，所以△ABC 是等腰直角三角形． 方法技巧 函数思想在坐标法解决距离最值 问题中的应用对于空间两点距离的最值问题，对于利用几何性质不宜解决的问题，我们常利用函数思想来解决，特别地当具备建立空间直角坐标系的条件时常采用坐标法求解．【示例】 正方形ABCD ，ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动．若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2)．(1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短．[思路分析] 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，再利用二次函数求MN 的最小值．解 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|BC |＝1，|CM |＝a ，且点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上，所以点M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以点N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得|MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为 a 2－2a ＋1.(2)由(1)得|MN |＝a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －222＋12，当a ＝22(满足0＜a ＜2)时，⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.[题后反思] 对于空间两点的距离问题，首先考虑利用几何性质能否确定取得最值时点的位置，如若不能应换换思路，考虑运用函数思想求解.课堂达标1．点M (2，－2,1)到原点O 的距离为( )． A ．9 B ．3 C ．1 D ．5解析 |MO |＝22＋(－2)2＋12＝3. 答案 B 2．(2012·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )． A ．－3或4 B ．6或2 C ．3或－4 D ．6或－2解析 由题意得 (x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝2 6 解得x ＝－2或x ＝6. 答案 D3．已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且|P A |＝|PB |，则点P 的坐标为________． 解析 设P (0,0，c )，由题意得(0－1)2＋(0＋2)2＋(c －1)2＝(0－2)2＋(0－2)2＋(c －2)2 解之得c ＝3，∴P 的坐标为(0,0,3)． 答案 (0,0,3) 4．设点M 是点N (2，－3,5)关于坐标平面xOy 的对称点，则线段MN 的长度等于________． 解析 由题意知M 的坐标为(2，－3，－5) ∴|MN |＝|－5－5|＝10. 答案 105．如图所示，BC ＝4，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求AD 的长度．解 由题意得B (0，－2,0)，C (0,2,0)，设D (0，y ，z )，则在Rt △BDC 中，∠DCB ＝30°， ∴BD ＝2，CD ＝23，∴z ＝3，y ＝－1.∴D (0，－1，3)．又∵A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，∴|AD |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫12＋12＋(3)2＝ 6. 课堂小结1．空间中两点的距离公式，是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广，反之，它可以适用于平面和数轴上两点间的距离的求解．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则|P 1P 1|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，当P 1，P 2两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间距离公式，当两点落在坐标轴上时，则公式转化为数轴上两点间距离公式．2．建立适当的空间直角坐标系，正确地表示相关点的坐标，是运用空间距离公式的基础，函数方法是解决空间两点距离最值的常用方法．。

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式知识导图学法指导1.结合长方体、正棱锥等常见几何体，把握建系的方法，并能写出空间中的点在坐标系中的坐标．2．类比平面上两点间的距离，熟记空间两点间的距离公式．3．体会利用空间直角坐标系解决问题的步骤．高考导航1.空间直角坐标系的应用很少单独命题，一般是在解答题中应用建立空间直角坐标系的方法求解，分值为2～3分．2．通过建立空间直角坐标系，计算两点间的距离公式或确定点的坐标，是常考知识点，常与后面将要学习的立体几何等知识相结合，分值为4～6分.知识点一空间直角坐标系的建立及坐标表示1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点O引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O­xyz.②相关概念：点O叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫作点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，z叫作点M的竖坐标．空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135 °(或45 °)，x 轴与z 轴成135 °(或45 °)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.知识点二 空间两点间的距离公式1．空间中任意一点P (x ，y ，z )与原点之间的距离|OP |＝x 2＋y 2＋z 2； 2．空间中任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.1.空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．2．空间中点坐标公式：设A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P(x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22).[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式．( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式．( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，下列各点中位于yOz 平面内的是( ) A ．(3,2,1) B ．(2,0,0) C ．(5,0,2) D ．(0，－1，－3)解析：位于yOz 平面内的点，其x 坐标为0，其余坐标任意，故(0，－1，－3)在yOz 平面内．答案：D3．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．zOx 平面上 D ．第一象限内解析：点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在zOx 平面上． 答案：C4．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：|AB|＝－3－2＋－3－2＋－3－2＝4 3.答案：A类型一空间中点的坐标的确定例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝5，|AA1|＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【解析】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O­xyz.因为长方体的棱长|AD|＝|BC|＝3，|DC|＝|AB|＝5，|DD1|＝|AA1|＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，所以A(3,0,0)；C在y轴上，所以C(0,5,0)；D1在z轴上，所以D1(0,0,4)；B在xOy平面内，所以B(3,5,0)；A1在xOz平面内，所以A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，所以C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，所以B1的横坐标为3，纵坐标为5，因为B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，所以B1的竖坐标为4，所以B1(3,5,4).(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)利用线段长度结合符号写出各点坐标．要注意与坐标轴正向相反的坐标为负．方法归纳(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．(2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键．跟踪训练1 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．解析：如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，OO 1⊥BO ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32，∵点A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1，C 1在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1， ∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，∴各点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.建立空间直角坐标系，求出有关线段的长，再写出各点的坐标． 类型二 空间直角坐标系中的点的对称点例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4)关于x 轴对称的点P 1的坐标是________；关于xOy 平面对称的点P 2的坐标是________；关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标是________．【解析】 点P 关于x 轴对称后，它的横坐标不变，纵坐标和竖坐标均变为原来的相反数，所以点P 关于x 轴的对称点P 1的坐标为(－2，－1，－4)．点P 关于xOy 平面对称后，它的横坐标和纵坐标均不变，竖坐标变为原来的相反数，所以点P 关于xOy 平面的对称点P 2的坐标为(－2,1，－4)．设点P 关于点A 的对称点的坐标为P 3(x ，y ，z )，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋x2＝1，1＋y2＝0，4＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－1，z ＝0.故点P 关于点A (1,0,2)对称的点P 3的坐标为(4，－1,0)．【答案】 (－2，－1，－4) (－2,1，－4) (4，－1,0)利用对称规律解决关于坐标轴、坐标平面的对称问题，利用中点坐标公式解决点关于点的对称问题．方法归纳在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有：①点P关于原点的对称点是P1(－x，－y，－z)②点P关于横轴(x轴)的对称点是P2(x，－y，－z)③点P关于纵轴(y轴)的对称点是P3(－x，y，－z)④点P关于竖轴(z轴)的对称点是P4(－x，－y，z)⑤点P关于xOy坐标平面的对称点是P5(x，y，－z)⑥点P关于yOz坐标平面的对称点是P6(－x，y，z)⑦点P关于xOz坐标平面的对称点是P7(x，－y，z)．跟踪训练2 已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M 关于x轴、y轴对称的点M3，M4.解析：由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x 轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3).方法归纳求对称点的坐标问题一般依据“关于谁对称谁不变，其余均改变”来解决．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．要特别注意：点关于点的对称要用中点坐标公式解决．类型三空间两点间的距离,,例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．【解析】由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .根据空间两点间的距离公式，可得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .建立空间直角坐标系，先确定相关点的坐标，然后根据两点间的距离公式求解． 方法归纳求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．跟踪训练3 求A (0,1,3)，B (2,0,1)两点之间的距离． 解析：|AB |＝－2＋－2＋－2＝3.解答本题可直接利用空间两点间的距离公式.[基础巩固](20分钟，40分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点M (0,3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．z 轴上 D ．xOz 平面上解析：因为点M (0,3,0)的横坐标、竖坐标均为0，纵坐标不为0，所以点M 在y 轴上． 答案：B2．点P (1,4，－3)与点Q (3，－2,5)的中点坐标是( ) A ．(4,2,2) B ．(2，－1,2) C ．(2,1,1) D ．(4，－1,2)解析：设点P 与点Q 的中点坐标为(x ，y ，z )，则x ＝1＋32＝2，y ＝4－22＝1，z ＝－3＋52＝1.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：根据空间直角坐标系的概念知，yOz平面上点Q的x坐标为0，y坐标、z坐标与点P的y坐标2，z坐标3分别相等，∴Q(0，2，3)．答案：B4．已知M(4,3，－1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a解析：借助长方体来思考，a、b、c分别是三条面对角线的长度．∴a＝10，b＝17，c＝5.答案：B5．已知A点坐标为(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为( )A．(0,0,6) B．(6,0,1)C．(6,0,0) D．(0,6,0)解析：设P(x,0,0)，|PA|＝x－2＋1＋1，|PB|＝x－2＋9＋9，由|PA|＝|PB|，得x＝6.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．答案：(a，b，c)7．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________．解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)．答案：(－4,1，－2)8．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝－1－2＋[2－－2＋02＝3 2.答案：3 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间直角坐标系的中点坐标公式得M (4＋02，0＋42，0＋42)，N (0＋42，0＋02，4＋42)，即M (2,2,2)，N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.10．已知点P (2,3，－1)，求：(1)点P 关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P 关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P 关于坐标原点对称的点的坐标．解析：(1)设点P 关于xOy 坐标平面的对称点为P ′，则点P ′的横坐标、纵坐标与点P 的横坐标、纵坐标相同，点P ′的竖坐标与点P 的竖坐标互为相反数．所以点P 关于xOy 坐标平面的对称点P ′的坐标为(2,3,1)．同理，点P 关于yOz ，xOz 坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)．(2)设点P 关于x 轴的对称点为Q ，则点Q 的横坐标与点P 的横坐标相同，点Q 的纵坐标、竖坐标与点P 的纵坐标、竖坐标互为相反数．所以点P 关于x 轴的对称点Q 的坐标为(2，－3,1)．同理，点P 关于y 轴，z 轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P (2,3，－1)关于坐标原点对称的点的坐标为(－2，－3,1)．[能力提升](20分钟，40分)11．在空间直角坐标系中，点M 的坐标是(4,7,6)，则点M 关于y 轴对称的点在xOz 平面上的射影的坐标为( )A ．(4,0,6)B ．(－4,7，－6)C ．(－4,0，－6)D ．(－4,7,0)解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．答案：C12．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________.解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－922＋[z －－2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－413．如图，已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解析：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称， 故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)； 点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)； 由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．14．已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求： (1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件． 解析：(1)根据空间两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.。

活动一：创设情景、引入课题 (5分钟)问题1：回忆，如何定义空间直角坐标系？问题2：空间直角坐标系中，点的坐标如何表示？对比平面直角坐标系中点的坐标表示？？ 问题3：回忆在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|A B |=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？这就是我们这节课所要学习的内容.点题：今天我们将学习空间两点间的距离公式 活动二：师生交流、进入新知，(20分钟)问题4：空间中任间一点P (x ，y ，z )到原点O 之间的距离公式会是怎样呢？1、空间中任间一点P (x ， y ，z )到原点O 之间的距离公式|OP | =222x y z ++.思考：如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？类比在平面直角坐标系中，方程222r y x =+表示原点或圆来回答？问题5：如果是空间中任间一点P 1 (x 1，y 1，z 1)到点P 2 (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢？|P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-例1 : (1)已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||5AB =，则点A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)，则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)(2) 坐标平面yOz 上一点P 满足：(1)横、纵、竖坐标之和为2；(2)到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩解得：11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0，1，1)练习(书本P 138页练习1、2)活动三：合作学习、探究新知(18分钟)例2．在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.。

§ 3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|， 所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便． 课 型： 新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用． 教学重点：空间两点的距离公式的应用． 教学难点：空间两点的距离公式的应用． 教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式． 二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线． 解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)． 点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决． 三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组 第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0． 四．小结１．空间两点的距离公式的应用． 五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组 第3题课后记:。

§3.3.2 两点间的距离一、教材分析距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.二、教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

三、教学重点与难点教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.（二）推进新课、新知探究、提出问题①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).讨论结果：①|AB|=|x B -x A |,|CD|=|y C -y D |. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B 到原点的距离是5. ③图1在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.在Rt△P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-.④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.(c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!（三）应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x =-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.例2 已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.（四）知能训练课本本节练习.（五）拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++ 22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.答案：x=y=21.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家:①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；②能灵活运用此公式解决一些简单问题；③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.（七）作业课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.。

山东省德州市武城二中高二数学必修二人教A版第二章《点到直线的距离》【学习目标】1.重点：点到直线的距离公式推导与应用。

2.难点：点到直线的距离公式的推导。

【学习过程】(一)自主学习(阅读课本，完成下列问题1•点P(x0, y0)到直线Ax By C2.两条平行直线h ：Ax By C i(二)思考计算两平行线间的距离应注意哪些问题?)0( A2 B20)的距离d ____________ 0 与12： Ax By C2 0 的距离d —【例题分析】例1.求点P(3, 2)到下列直线的距离：(1) 3x 4y 1 0 ；(2) y 6 ； (3) y 轴.例2.已知ABC 中，A(1,1)，B(m, .. m)，C(4, 2) (1 m 4)，求m为何值时,S最大。

例3.求两平行线11 : 3x 4y 10和12 : 3x 4y 15的距离。

ABC的面积例4.巳知二直蝮疑社点（12人井且与点（2⑶和©―》时阳离栢察 瑜此直蛾的方程°【反馈练习】1 1 1 11 A.0或 B. 或 6 C. 或 D. 0或―2 2 2 2 24•点（0, 5）到直线y 2x 的距离是 __________________ 。

5. 经过点M （3, 2）且与原点距离为3的直线I 的方程为 _______________ 。

6. 求经过两直线x 2y 3 0和2x y 1 0的交点且和点（0,1）距离为1的直线的方程。

1•点（1,1）到直线x A.1 B.2 2. 已知点 A(a, 2) (aA. .23. 已知两点 y 10的距离为（ cd2 0）到直线 2 2 D. . 2 l : x y3 C. 2 0的距离为1，则a ( ) 1 A(3, 2)和 B( 1,4)到直线 mx y 3 B. D. . 2 1 0的距离相等，则m 为（ ）。

3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法备选例题例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：10= 解得：x = 11或x = –5.所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得： （1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大； （2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解25x y =⎧⎨=⎩得P (2，5).（2）C 关于l 对称点324(,)55C '由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′|当P 是AC ′与l 的交点1126(,)77P 时“=”成立，∴1126(,)77P .例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程； （2）沿这条光线从P 到Q 的长度.【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以21,10QQ b k a '-==-又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以021022a b ++++= 所以21021022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以Q ′(–3，–1)因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ， 所以1(1)22(3)5k --==--l 1：21(2)5y x -=-即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′所以沿这光线从P 到Q入射光所在直线方程为2x – 5y+ 1 = 0.。

课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1， 0， -1)与P 2(4， 3， -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0，2，0)或B(0，8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4， 1， 7)和B(3， 5， -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1，-1，5)、B(3，4，4)和C(4，6，1)各点的距离相等．三．巩固练习：P练习 1、31．1382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业P练习第2，4题1．课本138P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题2．课本138课后记:。

4.3.2 空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式.【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.【基础知识】.空间中两点间的距离公式 1.221221)()(y y x x -+- 2.22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,B E=OD=y,由于三角形ABO 、BOD是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.【例题讲解】图2例1.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt△P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【达标检测】1．点M (3,4,1)到点N (0,0,1)的距离是( A )A ．5B ．0C ．3D ．12．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个3.设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于( A )A ．10B ．4C ．6D ．25．到两点A (3,4,5)，B (－2,3,0)距离相等的点M (x ，y ，z )的坐标满足的条件是( B )A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0B ．5x －y ＋5z －37＝0C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝06.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C )A.16B.192C.64D.48 二、填空题7．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝0或－4.8．在空间直角坐标系下，点P (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则动点P 表示的空间几何体的表面积是 _ 4π ．三、解答题9．已知A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，求B ，C 两点的距离．由已知得C (1,2,1)、B (1，－2,1)∴d (B ，C )＝ 1－1 2＋ 2＋2 2＋ 1－1 2＝4，即B ，C 两点间的距离为4.10．试在坐标平面yOz 内的直线2y －z ＝1上确定一点P ，使点P 到点Q (－1,0,4)的距离最小．设P (0，y,2y －1)，则|PQ |＝ 0＋1 2＋y 2＋ 2y －5 2＝5y 2－20y ＋26.当y ＝2时，|PQ |min ＝6，此时P (0,2,3)．【问题与收获】。

4.3.2 空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

（3）如果|OP | 是定长r 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3 1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3备选例题例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为.【解析】由题意设A (0，y ，0)=解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得：11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0，1，1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y zy z--=⎧⎨+-=⎩，所以12yz=⎧⎨=-⎩，所以P的坐标是(0，1，–2).。

山东省德州市武城二中高二数学必修二人教A 版第二章《2.1平面直角坐标系中的基本公式》【学习目标】1.重点：理解和掌握数轴上的基本公式，向量的数量、长度的有关概念。

2.难点：向量的数量公式的推导与理解。

【学习过程】（一）自主学习（阅读课本，完成下列问题）1.一条给出了 、 和 的直线叫做 ，或称在这条直线上建立了 ，在数轴上，若点P 与x 对应，称P 的坐标为x ，记作)(x P .2.位移是一个既有大小，又有方向的量，通常称作位移向量，本书中称作。

从点A 到点B 的向量，记作AB ，A 为AB 的起点，B 为AB 的终点，线段AB 的长度称作AB 的 ，记作||AB .数轴上 的向量叫做相等的向量。

3.在数轴上，点A 作一次位移到点B ，再由点B 作一次位移到点C ，则位移AC 称作位移AB 与位移BC 的和，记作+=AB AC 。

在数轴上，任意三点A 、B 、C ，向量AB 、BC 、AC 的坐标都具有关系：AC=AB+。

4.设AB 是数轴上的任一个向量，O 为原点，点)(1x A 、)(2x B ，则=-=OA OB AB ，A 、B 两点的距离==||),(AB B A d 。

（二）思考1.向量、向量的坐标、向量的长度三者之间有什么关系？2.||a x -在数轴上表示什么样的几何意义？【例题分析】例1.数轴上A ，B 两点的坐标分别为b a x +=1，b a x -=2，分别求AB 、BA 、),(B A d 、),(A B d 、线段AB 中点M 的坐标。

变式探究1.已知数轴上三点)(x A 、)2(B 、)3(P ，满足||2||BP AP =，求x .例2.求a 的取值范围，使不等式|)3||7lg(|-++<x x a 对任意实数x 恒成立。

变式探究2.在数轴上，运用两点间距离的概念和计算公式，解下列方程：（1）5|1||3|=-++x x ；（2）4|1||3|=-++x x ；（3）3|1||3|=-++x x .【反馈练习】1.下列各组点中A 点位于B 点右侧的是（ ）A.)3(-A 和)4(-BB.)3(A 和)4(BC.)3(-A 和)4(BD.)4(-A 和)3(-B2.A 、B 是数轴上两点，B 点为坐标6-=B x ，且4-=BA ，那么点A 的坐标为（） A.10- B.2- C.10-或2- D.103.一条线段的长是5个单位，它的一个端点是)2(A ，则另一个端点B 的坐标是（） A.3- B.5 C.3-或7 D.3-或7-5.已知数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为2-、0、3，则（1）的坐标为 ；（2）=||AC .6.已知数轴上两点)(a A ，)5(B ，当a 为何值时，（1）两点间距离为5；（2）两点间距离大于5；（3）两点间距离小于5.7.已知数轴上两点)4(A ，)2( B ，线段AB 中点C ，线段AC 中点E ，求),(E C d .。

【学习目标】1.重点：平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式的掌握与运用。

2.难点：平面直角坐标系中两点间的距离公式的推导，坐标法的意义、步骤。

【学习过程】（一）自主学习1.平面上任意两点),(111y x P 、),(222y x P 之间的距离),(21P P d =||21P P = 。

2.平面上任意两点),(111y x P 、),(22y x P 的中点),(y x P ，则⎩⎨⎧==____________y x 如果P 的21P P 的中点，则称1P 与2P 关于P 对称，点),(00y x A 关于点),(b a M 的对称点为A ' .（二）思考1.平面直角坐标系中两点距离公式的推导过程？2.阅读思考课本P 70例3，如何用“坐标法”解决平面几何问题？【例题分析】例1.平行四边形ABCD 三个顶点坐标分别为)3,2(A 、)0,4(B 、)3,5(D ，求顶点C 的坐标。

变式探究1.已知点A 关于点)1,2(B 的对称点为)3,4(-C ，C 关于D 的对称点为)3,6(--E ，求A ，D 的坐标及AD 中点坐标。

例2.已知)4,3(-A 与)3,(a B 两点间距离为27，求a 的值。

变式探究2.求下列两点间的距离：（1）)5,2(A ，)4,3(-B ；（2）),1(b a A +，),2(b a B -.例3.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为),(０a A -，)0,(a B ，)3,0(a C . （1）求证：ABC ∆是等边三角形；（2）求这个三角形的中线长.【反馈练习】1.一条线段的长是5个单位，它的一个端点是)1,2(A ，另一个端点B 的横坐标为1-，则端点B 的纵坐标是（ ）A.3-B.5C.－3或5D.－1或－32.已知点)5,(x A 关于点),1(y C 的对称点为)3,2(--B ，则点),(y x P 到原点的距离是（ ）A.4B.13C.15D.173.以)5,5(A 、)4,1(B 、)1,4(C 为顶点的三角形是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.已知三角形的三个顶点)1,2(A 、)3,2(-B 、)1,0(-C ，则BC 边上中线的长为。

课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课 型： 新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2． 讨论：如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2,5，-6)，在y 轴上求一点B ，使得|AB|=7．答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．4．思考：1.在z 轴上求与两点 A (-4, 1, 7)和B (3, 5, -2)等距离的点．2. 试在xOy 平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等．三． 巩固练习：1．138P 练习 1、32．已知三角形的顶点为A （1，2，3），B （7，10，3）和C （4，10，0）．试证明A 角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业1．课本138P 练习 第2，4题2．课本138P 习题4.3 A 组 第3题 Ｂ组 第１题课后记:〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a xa xb x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．。

【学习目标】1.空间两点间的距离公式。

2.空间两点间距离公式的推导。

【学习过程】1.空间两点),,(111z y x A 、),,(222z y x B 的距离=),(B A d2.点),,(z y x A 到原点O 的距离=),(A O d3.点)0,,(y x A 、),0,(z x B 、),,0(z y C ，则 =),(B A d ，=),(C A d ，=),(C B d .4.)0,0,(1x P ，)0,,0(2y P ，),0,0(3z P，则 ),(21P P d = ，=),(31P P d， =),(32P P d .【典型解析】例1.证明以)1,3,4(A ，)2,1,7(B ，)3,2,5(C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形。

例2.如图所示，在河的一侧有一塔m CD 5=，河宽m BC 3=，另一侧有点A ，m AB 4=，求点A 与塔顶D 的距离AD .例3.已知空间三点)4,2,1(A 、)8,4,2(B 、)12,6,3(C ，求证A 、B 、C 三点在同一条直线上。

例4.（1）若点),,(z y x P 到)1,0,1(A 、)0,1,2(B 两点的距离相等，则x ，y ，z 满足的关系式是 ；（2）若点)4,1,2(A 与点),,(z y x P 的距离为5，则x 、y 、z 满足的关系式是； （3）已知空间两点)1,1,3(--A 、)3,2,2(-B 在Oz 轴上有一点C ，它与A 、B 两点的距离相等，则C 点的坐标是. 【巩固训练】1.点)66,33,22(-P 到原点的距离是（ ）A.630B.1C.633D.6352.点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是（ ）A.||aB.||bC.||cD.以上都不对3.点),,(z y x P 满足2)1()1()1(222=++-+-z y x ，则点P 在（ ）A.以点)1,1,1(-为球心以2为半径的球面上B.以点)1,1,1(-为中心以2为棱长的正方体内C.以点)1,1,1(-为球心以2为半径的球面上D.无法确定【课堂小结】1.知识点2.典型错题。