青岛版(五四)数学九年级上山东省德州市武城二中届期中试卷(解析版)

青岛版数学九年级上册单元、期中、期末测试题第一单元测试题一、选择题1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（）A.三角形的形状不变，三边的比变大B.三角形的形状变，三边的比变大C.三角形的形状变，三边的比不变D.三角形的形状不变，三边的比不变2.中，，，，和它相似的三角形的最短边是，则最长边是（）A. B. C. D.3.如图，五边形和五边形是位似图形，且，则等于（）A. B. C. D.4.如图，下列条件：①；②；③；④，能使的条件的个数为（）A.个B.个C.个D.个5.如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（）A.，B.，C.，D.，6.以为斜边作等腰直角，再以为斜边在外侧作等腰直角，如此继续，得到个等腰直角三角形（如图），则图中与的面积比值是（）A. B. C. D.7.下列说法不正确的是（）A.含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的B.所有的矩形是相似的C.所有边数相等的正多边形是相似的D.所有的等边三角形都是相似的8.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为米的竹竿的影长为米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为米，一级台阶高为米，如图所示，若此时落在地面上的影长为米，则树高为（）A.米B.米C.米D.米9.如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为．A. B. C. D.10.如图，已知，，，为边上一点，且，为边上一点（不与、重合），若与相似，则A. B. C.或 D.或二、填空题11.在中，，，在中，已知，，要使与相似，需添加的一个条件是________．12.若，且相似比，当时，则________ ．13.在中，点、分别在边、上，，，，则________．14.四边形与四边形位似，为位似中心，若，那么________．15.在相同时刻物高与影长成比例．如果高为的测杆的影长为，那么影长为的旗杆的高是________．16.如图，，，，则当________时，．17.如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点和（顶点是网格线的交点）．点、坐标为，．观察图形填空：是由绕________点顺时针旋转________度得到的；把中的图形作为一个新的”基本图形“，将新的基本图形绕点顺时针旋转度，请作出旋转后的图形，其中，、、、的对应点分别为、、、．依次连接、、、，则四边形的形状为________；以点为位似中心，位似比为（原图与新图对应边的比为），作出四边形的位似图形．18.一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）；把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为阶分割（如图）…，依此规则操作下去．阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（为正整数），设此时小三角形的面积为．请写出一个反映，，之间关系的等式________．19.我们把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．不难发现，将一张标准纸如图一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸，，，那么把它第次对开后所得标准纸的周长是________．三、解答题20.已知和中，，、分别是两个三角形斜边上的高，且，求证：．21.如图，正方形网格上有和．（每一个小正方形的边长为）求证：；请你在正方形网格中画一个以点为位似中心的三角形并将放大倍．22.如图，在中，是角平分线，点在上，且．求证：：已知，，求长．23.梯形中，，，于点，点在边上，且．求证：；若点为中点，求证：．24.如图，在中，，，点从点出发沿边想向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，如果、同时出发，经过几秒后和相似？25.如图所示，在距树米的地面上平放一面镜子，人退后到距镜子米的处，在镜子里恰巧看见树顶，若人眼距地面米．求树高；和是位似图形吗？若是，请指出位似中心；若不是，请说明理由．26.一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题：如图，在中，．若是锐角，请探索在直线上有多少个点，能保证（不包括全等）？请对进行恰当的分类，直接写出每一类在直线上能保证（不包括全等）的点的个数？答案解析1.D2.B3.B4.B5.A6.C7.B8.A9.B 10.D11.12.13.14.15.16.17.正方形18.19.20.证明：∵、分别是两个三角形斜边上的高，∴，∵，∴，∴，∵’，∴．21.证明：∵，，，∴，∴；解：如图所示：．22.证明：∵是角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23.证明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即．∵在梯形中，，为中点，∴为的中点，∴，∵，∴，即，∴，整理得：．24.解：设经过秒后和相似．则，，∵，，∴，①与边是对应边，则，即，解得，②与边是对应边，则，即，解得．综上所述，经过秒或秒后和相似．25.树高为米；和不是位似图形．理由如下：∵点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为，而不经过点，∴和不是位似图形．26.解：①如图，若点在线段上，由于，可以作一个点满足，使得；②如图，若点在线段的延长线上，则，与条件矛盾，因此，这样的点不存在；③如图，若点在线段的反向延长线上，由于是锐角，则，不可能有，因此，这样的点不存在．综上所述，这样的点有一个．注：③中用“是钝角，中只可能是钝角，则”说明不存在点亦可．若为锐角，由知，这样的点有一个（如图）；若为直角，这样的点有两个（如图）； 若为钝角，这样的点有个（如图）．青岛版数学九年级上册第二单元测试题一．选择题1．在ABC Rt ∆中，∠090=C ，2=AB ，1=AC ，则B sin 的值是（ ） （A ）21； （B ）22； （C ）23； （D ）2.2．如果ABC Rt ∆中各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A 的三角比的值（ ）（A ） 都扩大到原来的2倍； （B ） 都缩小到原来的一半； （C ） 没有变化； （D ） 不能确定.3．等腰三角形的底边长10cm ，周长36cm ，则底角的余弦值为……（ ）(A )125； (B)512； (C)135； (D)1312.4.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A5.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（ ） A ．3 B ．33 C ．21 D ．236.若三个锐角α.β.γ，满足sin α＝0.8480，cos β＝0.4540，tan γ＝1.8040，则α.β.γ的大小关系是（ ）A.β＜α＜γB.α＜β＜γC.α＜γ＜βD.β＜γ＜α 7. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B.34 C. 53 D. 35 8. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21B.33C. 1D. 3 二．填空题9．在Rt ΔABC 中，∠︒=90C , 若AB =5,BC =3,，则A sin = ，=A cos ，=A tan ，10．在ABC Rt ∆中，∠︒=90C ，∠A =30°，AC =3,则BC = .11．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan 2B= ．12．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 13.用计算器比较两个锐角α，β的大小（1）sin α＝0.55，tan β＝0.68，α＿＿＿＿＿β （2）sin α＝0.47，co s β＝0.89，α＿＿＿＿＿β14. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3. 15. 若，则锐角α=__________。

2022年山东省德州市九上期中数学试卷1.下列汽车标志中，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2.下列关于圆的叙述正确的有( )①圆内接四边形的对角互补；②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；④圆内接平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个3.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90∘的扇形，则此扇形的面积为( )A．π2m2B．√32πm2C．πm2D．2πm24.如图，△ABC中，∠ACB=72∘，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△BDE（点D与点A是对应点，点E与点C是对应点），且边DE恰好经过点C，则∠ABD的度数为( )A．36∘B．40∘C．45∘D．50∘5.如图，点A，C，B在⊙O上，已知∠AOB=∠ACB=α．则α的值为( )A．135∘B．120∘C．110∘D．100∘6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将△ABC绕点P顺时针方向旋转90∘，得到△AʹBʹCʹ，则点P的坐标为( )A．(0,4)B．(1,1)C．(1,2)D．(2,1)7.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，且∠EAF=80∘，则图中阴影部分的面积为( )A．4B．89πC．4−89πD．8−89π8.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1⋅x2= 3，那么二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )A．B．C．D．9.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．30∘B．60∘C．30∘或150∘D．60∘或120∘10.如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55∘，则∠ACD等于( )A．20∘B．35∘C．40∘D．55∘11.如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，A，B，E是切点，CD分别交线段PA，PB于C，D两点，若∠APB=40∘，则∠COD的度数为( )A．50∘B．60∘C．70∘D．75∘12.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，对称轴l如图所示．则下列结论：① abc>0；② a−b+c=0；③ 2a+c<0；④ a+b<0，其中所有正确的结论是( )A．①③B．②③C．②④D．②③④13.若二次函数y=x2−6x+c的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3+√2,y3)三点，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是．14.如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B，D，C是⊙O上一点，且∠C=56∘，则∠A的度数为．15.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2，扇形的圆心角θ=120∘，则该圆锥的高ℎ为．16.抛物线y=−x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0，则x的取值范围是．AC为半径画17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=2．分别以A，B，C为圆心，以12弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是．（保留π）18.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：x⋯−2−1012⋯y⋯04664⋯从表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x=1；2④在对称轴左侧，y随x增大而增大．19.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90∘得到△ABʹCʹ：(1) 在正方形网格中，画出△ABʹCʹ；(2) 分别画出旋转过程中，点B和点C经过的路径，并计算点B所走过的路径的长度；(3) 计算线段BC在变换到BʹCʹ的过程中扫过区域的面积．20.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．(1) 请分别作出下图中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2) 探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）．21.如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．(1) 求证：CD与⊙O相切．(2) 若正方形ABCD的边长为1，求OC的长．22.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE=2√3，∠DPA=45∘．(1) 求⊙O的半径；(2) 求图中阴影部分的面积．23.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．(1) 建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2) 当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？25.如图，已知抛物线经过两点A(−3,0)，B(0,3)，且其对称轴为直线x=−1．(1) 求此抛物线的解析式．(2) 若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．(3) 若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．答案1. 【答案】C【解析】A ．不是中心对称图形，∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；B ．不是中心对称图形，∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；C ．是中心对称图形，符合题意；D ．不是中心对称图形，∵ 找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转 180 度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意．2. 【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④圆内接平行四边形是矩形；正确；正确的有 2 个．3. 【答案】A【解析】连接 AC ，∵ 从一块直径为 2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90∘ 的扇形，即 ∠ABC =90∘，∴AC 为直径，即 AC =2 m ，AB =BC （扇形的半径相等），∵AB 2+BC 2=22，∴AB =BC =√2 m ，∴ 阴影部分的面积是 90π×(√2)2360=12π(m 2)．4. 【答案】A【解析】根据旋转不变性可知：BC =BE ，∠ACB =∠E =72∘，∠ABC =∠DBE ，∴∠ABD =∠CBE ，∠BCE =∠E =72∘，∴∠CBE =180∘−72∘−72∘=36∘，∴∠ABD =36∘．5. 【答案】B【解析】∵∠ACB=α，∴优弧所对的圆心角为2α，∴2α+α=360∘，∴α=120∘．6. 【答案】C【解析】由图知，旋转中心P的坐标为(1,2)．7. 【答案】C【解析】连接AD，∵BC为⊙A的切线，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×2=4，∵∠EAF=80∘，∴S扇形AEF =80π×22360=89π，∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=4−89π．8. 【答案】C【解析】∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1，x2满足x1+x2=4和x1⋅x2=3，∴x1，x2是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，∴(x−1)(x−3)=0，解得：x1=1，x2=3，∴二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)．9. 【答案】D【解析】由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=√OA2−OD2=√102−52=5√3，=√3，∠1=60∘，∴tan∠1=ADOD同理可得∠2=60∘，∴∠AOB=∠1+∠2=60∘+60∘=120∘，∴圆周角的度数是60∘或120∘．10. 【答案】A【解析】∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，∴∠ADC+∠ABC=180∘，∠ACB=90∘，∴∠ADC=180∘−∠ABC=125∘，∠BAC=90∘−∠ABC=35∘，∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，∴∠MCA=∠ABC=55∘，∠AMC=90∘，∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，∴∠DCM=∠ADC−∠AMC=35∘，∴∠ACD=∠MCA−∠DCM=55∘−35∘=20∘．11. 【答案】C【解析】由题意得，连接OA，OC，OE，OD，OB，所得图形如下：由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，∵AO=OE=OB，∴△AOC≌△EOC(SAS)，△EOD≌△BOD(SAS)，∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，∠AOB，∴∠COD=12∵∠APB=40∘，∴∠AOB=140∘，∴∠COD=70∘．12. 【答案】D【解析】① ∵二次函数图象的开口向下，∴a<0，∵二次函数图象的对称轴在y轴右侧，>0，∴−b2a∴b>0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴abc<0，故①错误；② ∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，故②正确；③ ∵a−b+c=0，∴b=a+c．由图可知，x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，∴4a+2(a+c)+c<0，∴6a+3c<0，∴2a+c<0，故③正确；④ ∵a−b+c=0，∴c=b−a．由图可知，x=2时，y<0，即4a+2b+c<0，∴4a+2b+b−a<0，∴3a+3b<0，∴a+b<0，故④正确．13. 【答案】y1>y3>y2【解析】根据二次函数图象的对称性可知，C(3+√2,y3)中，∣∣3+√2−3∣∣>∣3−2∣=1，A(−1,y1)，B(2,y2)在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∵−1<1<2，于是y1>y3>y2．14. 【答案】68°【解析】连接OB，OD，由切线的性质可得∠OBA=∠ODA=90∘，∵∠C=56∘，∴∠BOD=2∠C=112∘，在四边形ABOD中，∠A+∠ABO+∠BOD+∠ODA=360∘，∴∠A=360∘−90∘−90∘−112∘=68∘．15. 【答案】4√2【解析】根据题意得2π×2=120⋅π⋅R180，解得R=6，∴该圆锥的高ℎ=√62−22=4√2．16. 【答案】−3<x<1【解析】根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=−1，已知一个交点为(1,0)，根据对称性，则另一交点为(−3,0)，所以y>0时，x的取值范围是−3<x<1．故答案为：−3<x<1．17. 【答案】2−π2【解析】2×2÷2−90π×1360−45π×1×2360=2−π2．18. 【答案】①③④【解析】根据图表，当x=−2，y=0，根据抛物线的对称性，当x=3时，y=0，即抛物线与x轴的交点为(−2,0)和(3,0)；∴抛物线的对称轴是直线x=3−52=12，根据表中数据得到抛物线的开口向下，∴当x=12时，函数有最大值，而不是x=0，或1对应的函数值6，并且在直线x=12的左侧，y随x增大而增大．∴①③④正确，②错．19. 【答案】(1) 如图，△ABʹCʹ为所作：(2) 画出旋转过程中，点B和点C经过的路径如图，因为AB=√32+52=√34，所以点B经过的路径长=90π⋅√34180=√342π；(3) AC=3，线段BC在变换到BʹCʹ的过程中扫过区域的面积=S扇形BABʹ−S扇形CACʹ=90π⋅(√34)2360−90π⋅32360=254π．20. 【答案】(1) 如图；(2) 锐角三角形（和直角三角形）的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．21. 【答案】(1) 连OM，过O作ON⊥CD于N；∵⊙O与BC相切，∴OM⊥BC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC平分∠BCD，∴OM=ON，∴CD与⊙O相切．(2) ∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD=1，∠B=90∘，∠ACD=45∘，∴AC=√2，∠MOC=∠MCO=45∘，∴MC=OM=OA，∴OC=√OM2+MC2=√2OA；又∵AC=OA+OC，∴OA+√2OA=√2，∴OA=2−√2，∴OC=2√2−2．22. 【答案】(1) ∵直径AB⊥DE，∴CE=12DE=√3．∵DE平分AO，∴CO=12AO=12OE．又∵∠OCE=90∘，∴sin∠CEO=COEO =12，∴∠CEO=30∘．在Rt△COE中，OE=CEcos30∘=√3√32=2．∴⊙O的半径为2．(2) 在Rt△DCP中，∵∠DPC=45∘，∴∠D=90∘−45∘=45∘．∴∠EOF=2∠D=90∘．∴S扇形OEF =90360×π×22=π．∵∠EOF=2∠D=90∘，OE=OF=2，∴S Rt△OEF=12×OE×OF=2．∴S阴影=S扇形OEF−S Rt△OEF=π−2．23. 【答案】(1) 根据题意得，y=200+(80−x)×20=−20x+1800，∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为y=−20x+1800(60≤x≤80)．(2) W=(x−60)y=(x−60)(−20x+1800)=−20x2+3000x−108000,∴销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式W=−20x2+3000x−108000．(3) 根据题意得，−20x+1800≥240，解得x≤78，∴76≤x≤78，W=−20x2+3000x−108000，对称轴为x=−30002×(−20)=75，∵a=−20<0，∴抛物线开口向下，∴当76≤x≤78时，W随x的增大而减小，∴x=76时，W有最大值，最大值=(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．24. 【答案】(1) 设抛物线解析式为y=ax2，∵抛物线关于y轴对称，AB=20，∴ 点 B 的横坐标为 10，设点 B (10,n )，点 D (5,n +3)，n =102⋅a =100a ，n +3=52a =25a ，即 {n =100a,n +3=25a, 解得 {n =−4,a =−125, ∴y =−125x 2．(2) ∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为 x =3，∴ 当 x =3 时，y =−125×9∵−925−(−4)>3.6∴ 在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．25. 【答案】(1) 抛物线经过两点 A (−3,0)，对称轴为直线 x =−1，则抛物线与 x 轴另外一个交点坐标为：(1,0)，则抛物线的表达式为：y =a (x +3)(x −1)=a (x 2+2x −3)，即 −3a =3，解得：a =−1， 该抛物线的表达式为：y =−x 2−2x +3．(2) 设点 H 是点 O 关于对称轴的对称点，则 H (−2,0)，连接 HB 交对称轴于点 Q ，则点 Q 为所求，则点 BH 的表达式为：y =32x +3，当 x =−1 时，y =32，故点 Q (−1,32)．(3) 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 H ，直线 AB 的表达式为：y =x +3，设点 P (x,−x 2−2x +3)，则点 H (x,x +3)，则 S △PAB =12PH ×OA =12×(−x 2−2x +3−x −3)×3=−32x 2−92x ， ∵32<0， ∴S △PAB 有最大值278，此时 x =−32， 点 P (−32,154)．。

九年级数学期中测试一、选择题(每小题3分．共24分)1．化简40的结果是A ．210B ．10C ．45D ．202．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是3．平面直角坐标系内一点P(-2，3)关于原点对称的点的坐标是A ．(3，-2)B ．(2，3)C ．(-2，-3)D ．（2，-3）4．已知a 为实数，下列式子一定有意义的是A ．23a +B ．1a +C ．2aD ．1a - 5．已知圆的半径为6．5cm ，圆心到直线z 的距离为4．5cm ，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定6．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是 ( )A ．225x x -=B ．2245x x -=C ．245x x +=D ．225x x +=7．⊙O 的半径为5，圆心O 的坐标为(0，0)，点P 的坐标为(4，2)，则点P 与⊙O 的位置关系是 ( )A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．点P 在⊙O 上或在⊙O 外8．如图所示，点A 、B 、C 在⊙0上，AO ∥BC ，∠OAC=20︒，则∠AOB 的度数 ( )A ．10︒B ．20︒C ．40︒D ．70︒二、填空题(每小题3分，共18分)9．如图所示，在△ABC 中，∠B=40︒，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△ADE 处，使点B 落在BC 延长线上的D 点处，∠BDA=45︒，则∠BDE=____________。

10．某校去年对实验器材的投资为2万元，预计明年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上年平均增长率是x ，则可列方程为________________。

11．如图所示，半圆的直径AB=________________。

(第9题) (第11题) (第13题) (第14题)12．△ABC 是等边三角形，点O 是三条中线的交点，△ABC 以点O 为旋转中心，则至少旋转____________度后能与原来图形重合．13．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，过点D 作⊙O 的切线，切点为C ，若∠A=35x ，则∠D=______________。

武城县第二中学2016届上学期九年级九月份月考数学试题 2015.9一.选择题(每小题3分,共36分)1、下列说法不正确的是（ ）A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形；B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形;D 、以上有两个说法是正确。

2.已知0432≠==c b a ,则c b a +的值为 ( ) A.54 B.45 C.2 D.21 3．下列说法正确的是（ ）A 、任意两个等腰三角形都相似B 、任意两个菱形都相似C 、任意两个正五边形都相似D 、对应角相等的两个多边形相似4、若两个相似三角形的面积之比为2：3，则它们对应角的平分线之比为（ ）A 、32B 、23 C 、36 D 、26 5. 能判定△ABC 和△A ′B ′C ′相似的条件是（ ）A 、AB AC A B A C ='''' B 、AB A B A C AC A C '''=∠=∠''且 C 、AB BC B A A B A C '=∠=∠''''且 D 、AB AC B B A B A C '=∠=∠''''且 6.一个钢筋三角架三边长分别为20cm ,50cm ,60cm ,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上D 任意位置8、如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD 的长（ ）A ．163B ．8C ．10D ．169、如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）10、已知：如图，DE ∥BC ，AD :DB =1:2，则下列结论不正确的是（ ）A 、12DE BC = B 、19ADE ABC ∆=∆的面积的面积 C 、13ADE ABC ∆=∆的周长的周长 D 、18ADE ∆=的面积四边形BCED 的面积 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则AC ︰BC 的值为 （ ）（A ）9︰4 （B ）9︰2 （C ）3︰4 （D ）3︰212．如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1︰S 2︰S 3︰S 4等于（ ）（A ）1︰2︰3︰4 （B ）2︰3︰4︰5 （C ）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9二.填空题(每小题4分,共32分)13、已知43=y x ,则._____=-yy x 14、在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为____________。

2021-2022学年山东省德州九中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.保护环境，人人有责，下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. B.C. D.2.下列结论正确的是()A. 三角形的外心是三条角平分线的交点B. 平分弦的直线垂直于弦C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 直径是圆的对称轴3.已知m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于()A. 2019B. 2020C. 2021D. 20224.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=1cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长l为()cm．A. 1B. 12C. 3D. 65.若抛物线y=ax2+2ax+4(a<0)上有A(−32,y1)，B(−√2,y2)，C(√2,y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系为()．A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y3<y16.如图，△ABC中，∠A=90°，AC=3，AB=4，半圆的圆心O在BC上，半圆与AB、AC分别相切于点D、E，则半圆的半径为()A. 127B. 712C. 72D. 2√37.如图，等边△OAB的边OB在x轴上，点B坐标为(2,0)，以点O为旋转中心，把△OAB逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是()A. (−1,√3)B. (√3,−1)C. (−√3,1)D. (−2,1)8.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()A. 此抛物线的解析式是y=−15x2+3.5B. 篮圈中心的坐标是(4,3.05)C. 此抛物线的顶点坐标是(3.5,0)D. 篮球出手时离地面的高度是2m9.在同一坐标系中，一次函数y=−mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是()A. B. C. D.10.如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是()A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π11.如图，在Rt△AOB中，OB=4√3，∠A=30°，⊙O的半径为3，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为()A. 2√2B. 2√3C. 3√3D. 4√212.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为直线x=−1，与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0)，其中0<x2<1，有下列结论：①b2−4ac>0；②4a−2b+c>−1；③−3<x1<−2；④当m为任意实数时，a−b≤am2+bm；⑤3a+c=0.其中，正确的结论有()A. ②③④B. ①③⑤C. ②④⑤D. ①③④二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______ ．14.把抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y=x2−3x+5，则a+b+c=______ ．15.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，则当y<0时，x 的取值范围是______．16. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB =BC ，∠ABC =120°，AD 为⊙O 直径，AD =8，那么AB 的长为______．17. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，I 是△ABC 的内心，则∠BIA 的度数是______ °.18. 如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的．其中：DA ⏜1的圆心为点A ，半径为AD ；A 1B 1⏜的圆心为点B ，半径为BA 1；B 1C 1⏜的圆心为点C ，半径为CB 1；C 1D 1⏜的圆心为点D ，半径为DC 1；…DA ⏜1，A 1B 1⏜，B 1C 1⏜，C 1D 1⏜，…的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ACD 的边长为1，则A 2021B 2021⏜ 的长是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 用适当的方法解方程：(1)x 2−3x −4=0；(2)(x +1)2=2x +2．20.如图所示，一座圆弧形拱桥的跨度AB长为40米，桥离水面最大距离CD为10米，若有一条水面上宽度为30米，高度为6米的船能否通过这座桥？请说明理由．21.如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE//AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．(1)求证：AD=AE；(2)若AB=6，AC=4，求AE的长．22.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据統计，2016年利润为2亿元，2018年利润为3.38亿元．(1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过4.3亿元？23.如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD平分∠BAC．(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若DE=√3，∠BAC=60°，求⊙O的半径．24.某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？(2)在(1)的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？25.如图，已知抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，连接BC．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)若点P为线段BC上一点(不与B，C重合)，PM//y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；D.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】C【解析】解：A.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，所以A选项错误；B.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，所以B选项错误；C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，所以C选项正确；D.直径所在的直线是圆的对称轴，所以D选项错误．故选：C．A.根据三角形的外心定义即可判断；B.根据垂径定理的推论即可判断；C.根据垂径定理即可判断；D.根据对称轴是直线即可判断．本题考查了三角形的外接圆与外心、垂径定理、圆的有关概念，解决本题的关键是掌握圆的知识．3.【答案】B【解析】解：∵m是一元二次方程x2+x−2021=0的实数根，∴m2+m−2021=0，∴m2+m=2021，∴m2+2m+n=m2+m+m+n=2021+m+n，∵m，n是一元二次方程x2+x−2021=0的两个实数根，∴m+n=−1，∴m2+2m+n=2021−1=2020．故选：B．根据一元二次方程根的定义得到m2+m=2021，则m2+2m+n=2021+m+n，再利用根与系数的关系得到m+n=−1，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．4.【答案】C【解析】解：圆锥的底面周长=2π×1=2πcm，设圆锥的母线长为R，则：120π⋅R180=2π，解得R=3．故选：C．易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：nπr180．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数具有对称性，在对称轴的两侧它的单调性不一样．根据抛物线y=ax2+2ax+4(a<0)可知该抛物线开口向下，可以求得抛物线的对称轴，又因为抛物线具有对称性，从而可以解答本题．【解答】解：∵抛物线y=ax2+2ax+4(a<0)，∴对称轴为：x=−2a2a=−1，∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，∵A(−32,y1)，B(−√2,y2)，C(√2,y3)在抛物线上，−32<−√2<−1<−0.5<√2，当x为−32和−0.5时，y的值相等，∴y3<y1<y2，故选C．6.【答案】A【解析】解：连接OE，OD，∵圆O切AC于E，圆O切AB于D，∴∠OEA=∠ODA=90°，∵∠A=90°，∴∠A=∠ODA=∠OEA=90°，∵OE=OD，∴四边形ADOE是正方形，∴AD=AE=OD=OE，设OE=AD=AE=OD=R，∵∠A=90°，∠OEC=90°，∴OE//AB，∴△CEO∽△CAB，同理△BDO∽△BAC，∴△CEO∽△ODB，∴OEBD =CEOD，即R4−R =3−RR，解得：R=127，连接OE，OD，求出四边形ADOE是正方形，推出AE=AD=OD=OE，设OE=AD= AE=OD=R，根据切线性质得出OE//AB，OD//AC，推出△CEO∽△ODB，得出比例式，代入求出即可．本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目具有一定的代表性，难度也适中．7.【答案】C【解析】解：如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H．∵B(2,0)，△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AE⊥OB，∴OE=EB=1，∴AE=√AO2−OE2√22−12=√3，∵A′H⊥OH，∴∠A′HO=∠AEO=∠AOA′=90°，∴∠A′OH+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠A′OH=∠OAE，∴△A′OH≌△OAE(AAS)，∴A′H=OE=1，OH=AE=√3，∴A′(−√3,1)，故选：C．如图，过点A作AE⊥OB于E，过点A′作A′H⊥x轴于H.利用全等三角形的性质解决问题即可．本题考查坐标与图形变化−旋转，等边三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．A.设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B.根据函数图象判断；C.根据函数图象判断；D.设这次跳投时，球出手处离地面ℎm，因为(A)中求得y=−0.2x2+3.5，当x=−2.5时，即可求得结论．【解答】解：A.∵抛物线的顶点坐标为(0,3.5)，∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心(1.5,3.05)在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=−0.2，∴y=−0.2x2+3.5．故本选项正确；B.由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5,3.05)，故本选项错误；C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0,3.5)，故本选项错误；D.设这次跳投时，球出手处离地面ℎm，因为(A)中求得y=−0.2x2+3.5，∴当x=−2.5时，ℎ=−0.2×(−2.5)2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选A．9.【答案】D【解析】【分析】本题分析每个选项的图象中，一次函数y=−mx+n2图象得到字母系数的正负，与二次函数y=x2+m的图象相比较看是否一致，即可得解．本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中．【解答】解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2<0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m>0，由直线可知，−m>0，错误；(或由抛物线开口向上也可知错误)C、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，−m<0，错误；D、由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m<0，由直线可知，−m>0，正确，故选：D．10.【答案】B【解析】解：阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积−以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．=6π则阴影部分的面积是：60π×62360故选：B．根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积−以AB为直径的半圆的面积．即可求解．本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积−以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积是解题的关键．11.【答案】C【解析】解：连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∴PQ=√OP2−OQ2=√OP2−9，当OP最小时，线段PQ的长度最小，当OP⊥AB时，OP最小，在Rt△AOB中，∠A=30°，∴OA=OBtanA =√3√33=12，在Rt△AOP′中，∠A=30°，∴OP′=OA=6，∴线段PQ长度的最小值=√62−9=3√3，故选：C．连接OP、OQ，作OP′⊥AB于P′，根据切线的性质得到OQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ=√OP2−9，根据垂线段最短得到当OP⊥AB时，OP最小，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键12.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点，∴b2−4ac>0，故①正确；∵该函数图象的对称轴是x=−1，当x=0时的函数值小于−1，∴x=−2时的函数值和x=0时的函数值相等，都小于−1，∴4a−2b+c<−1，故②错误；∵该函数图象的对称轴是x=−1，与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0)，其中0<x2<1，∴−3<x,1<−2，故③正确；∵当x=−1时，该函数取得最小值，∴当m为任意实数时，则a−b+c≤am2+bm+c，即a−b≤am2+bm，故④正确；∵−b2a=−1，∴b=2a，∵x=1时，y=a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误；故选：D．①根据函数图象和x轴的交点个数与b2−4ac的关系进行判断；②判断横坐标为−2的点的纵坐标的位置进行判断；③根据点的对称性，由0<x2<1，确定x2的取值范围；④由x=−1时，函数取最小值为y=a−b+c，得a−b+c≤am2+bm+c，进而判断；⑤由x=1时，y=a+b+c>0，与对称轴结合进行判断．本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．13.【答案】k<43且k≠1【解析】解：根据题意得k−1≠0且△=4−4(k−1)×3>0，解得k<43，所以k的范围为k<43且k≠1．故答案为k<43且k≠1．根据一元二次方程的定义和△的意义得到k−1≠0且△=4−4(k−1)×3>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14.【答案】11【解析】解：∵y=x2−3x+5=(x−32)2+114，当y=x2−3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，∴y=(x−32+3)2+114+2=x2+3x+7；∴a+b+c=11．因为抛物线y=ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到图象的解析式是y=x2−3x+5，所以y=x2−3x+5向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线y=ax2+bx+c的图象，先由y=x2−3x+5的平移求出y=ax2+bx+c的解析式，再求a+b+c=11．主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．15.【答案】−3<x<1【解析】【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围．【解答】解：∵物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为x=−1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)，由图象可知，当y<0时，x的取值范围是−3<x<1．故答案为−3<x<1．16.【答案】4【解析】【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理求出∠BAC=∠BCA=30°，根据圆周角定理求出∠D，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠BAC=∠BCA=30°，由圆周角定理得，∠D=∠C=30°，∵AD为⊙O直径，∴∠ABD=90°，AD=4，∴AB=12故答案为4．17.【答案】135【解析】解：∵△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠CBA =90°，∵I 是△ABC 的内心，∴∠IAB =12∠CAB ，∠IBA =12∠CBA ， ∴∠IAB +∠IBA =12(∠CAB +∠CBA)=45°，∴∠AIB =180°−(∠CAB +∠CBA)=180°−45°=135°，故答案为：135．根据圆周角定理求出∠C =90°，求出∠CAB +∠CBA =90°，根据三角形的内切圆得出∠IAB =12∠CAB ，∠IBA =12∠CBA ，求出∠IAB +∠IBA =12(∠CAB +∠CBA)=45°，根据三角形内角和定理求出即可．本题考查了三角形的内切圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．18.【答案】4041π【解析】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的， 半径每次比前一段弧半径+1，AD =AA 1=1，BA 1=BB 1=2，……，AD n−1=AA n =4(n −1)+1，BA n =BB n =4(n −1)+2，故A 2021B 2021⏜ 的半径为BA 2021=BB 2021=4(2021−1)+2=8082，A 2021B 2021⏜ 的弧长=90180×8082π=4041π． 故答案为：4041π．曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径加1，到AD n−1=AA n =4(n −1)+1，BA n =BB n =4(n −1)+2，再计算弧长．此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =nπr 180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．19.【答案】解：(1)因式分解得(x+1)(x−4)=0，于是得x+1=0或x−4=0，解得：x1=−1，x2=4；(2)(x+1)2=2x+2．移项得(x+1)2−2(x+1)=0，因式分解得(x+1)(x+1−2)=0，于是得x+1=0或x−1=0，解得：x1=−1，x2=1．【解析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20.【答案】解：如图，假设船能通过，弧形桥所在的圆恢复如图，在Rt△AOD中，r2=202+(r−10)2，解得r=25，∴OD=r−10=15，在Rt△OEG中，r2=152+OG2，解得OG=20，∴可以通过的船的高度为GD=OG−OD=20−15=5，∵6>5，∴船不能通过．【解析】先恢复弧形桥所在的圆，求出圆的半径，再根据船的宽度求出可以通过的船的最高高度，就可以判断能否通过．此题考查垂径定理问题，恢复弧形所在的圆，构造直角三角形利用勾股定理求出圆的直径是解题突破口，也是解题的关键．数学建模思想的应用．21.【答案】(1)证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径，∴∠BAE=90°，∠ADB=90°，∵CE//AB，∴∠E=90°，∴∠E=∠ADB，∵在△ABC中，AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵∠BAC+∠EAC=90°，∠ACE+∠EAC=90°，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BCA=∠ACE，又∵AC=AC，∴△ADC≌△AEC(AAS)，∴AD=AE；(2)解：设AE=AD=x，CE=CD=y，则BD=(6−y)，∵△AEC和△ADB为直角三角形，∴AE2+CE2=AC2，AD2+BD2=AB2，AB=6，AC=4，AE=AD=x，CE=CD=y，BD=(6−y)代入，解得：x=8√23，y=43，即AE的长为8√23．【解析】(1)利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明△AEC和△ADC全等即可证明AD=AE，(2)设AE=AD=x，CE=CD=y，利用勾股定理列出关于x和y的等式，即可求出AE的长．本题考察了圆的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，切线性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，综合程度较高．22.【答案】解：(1)设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，根据题意得：2(1+x)2=3.38，解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不合题意，舍去)．答：该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为30%．(2)3.38×(1+30%)=4.394(亿元)，∵4.394亿元>4.3亿元，∴该企业2019年的利润能超过4.3亿元．【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)根据该企业2019年的利润=该企业2018年的利润×(1+增长率)，求出该企业2019年的利润．(1)设该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率为x，根据该企业2016年及2018年的利润额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据该企业2019年的利润=该企业2018年的利润×(1+增长率)，可求出该企业2019年的利润，将其与4.3亿元进行比较后即可得出结论．23.【答案】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAE，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠DAE，∴OD//AE，∵AC⊥PD，∴∠AEP=90°，∴∠ODP=∠AEP=90°，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)解：连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC⊥PE，DE=√3，∴AD=2DE=2√3，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，∵AD2+BD2=AB2，∴x2+(2√3)2=(2x)2，∴BD=2，AB=4，∴AO=2，∴⊙O的半径为2．【解析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，由垂直的定义得到∠AEP=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；(2)连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE=30°，推出AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．24.【答案】解：(1)设每天要想获得510元的利润，则每件商品应降价x元，由题意，得(40−30−x)(4×x0.5+48)=510，解得：x1=1.5，x2=2.5，∵要有利于减少库存，∴x=2.5，答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元；(2)设每件商品应降价y元，获得利润为w元，由题意得，w=(40−30−y)(4×y0.5+48)=−8y2+32y+480=−8(y−2)2+512，当y=2时，w有最大值512，此时售价为40−2=38，答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】(1)设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量=每天获得的利润列出关于x 的方程，解之可得答案；(2)设每件商品应降价y 元，获得利润为w ，根据每件利润×销售数量=每天获得的利润列出w 关于y 的函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．本题主要考查二次函数的应用与一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并据此列出一元二次方程或二次函数解析式．25.【答案】解：(1)由抛物线的解析式y =−x 2+2x +3，∴C(0,3)，令y =0，−x 2+2x +3=0，解得x =3或x =−1，∴A(−1,0)，B(3,0)．(2)设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，则有：{3k +b =0b =3，解得{k =−1b =3, ∴直线BC 的解析式为：y =−x +3．设P(x,−x +3)，则M(x,−x 2+2x +3)，∴PM =(−x 2+2x +3)−(−x +3)=−x 2+3x ．∴S △BCM =S △PMC +S △PMB =12PM ⋅(x P −x C )+12PM ⋅(x B −x P ) =12PM ⋅(x B −x C )=32PM ，∴S △BCM =32(−x 2+3x)=−32(x −32)2+278， ∴当x =32时，△BCM 的面积最大．此时P(32,32)，∴PN =ON =32，∴BN =OB −ON =3−32=32．在Rt △BPN 中，由勾股定理得：PB =3√22． C △BPN =BN +PN +PB =3+3√22． ∴当△BCM 的面积最大时，△BPN 的周长为3+3√22．(3)∵y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴抛物线的对称轴为直线x =1．在Rt △CNO 中，OC =3，ON =32，由勾股定理得：CN =3√52． 设点D 为CN 中点，则D(34,32)，CD =ND =3√54． 如解答图，△CNQ 为直角三角形，①若点Q 为直角顶点．作Rt △CNO 的外接圆⊙D ，与对称轴交于Q 1、Q 2两点，由圆周角定理可知，Q 1、Q 2两点符合题意．连接Q 1D ，则Q 1D =CD =ND =3√54． 过点D(34,32)作对称轴的垂线，垂足为E ，则E(1,32)，Q 1E =Q 2E ，DE =1−34=14．在Rt △Q 1DE 中，由勾股定理得：Q 1E =√Q 1D 2−DE 2=√112． ∴Q 1(1,3+√112)，Q 2(1,3−√112)；②若点N 为直角顶点．过点N 作NF ⊥CN ，交对称轴于点Q 3，交y 轴于点F ．易证Rt △NFO∽Rt △CNO ，则OF ON =ON OC ，即OF 32=323，解得OF =34． ∴F(0,−34)， 又∵N(32,0)，∴可求得直线FN 的解析式为：y =12x −34．当x =1时，y =−14，∴Q 3(1,−14)；③当点C 为直角顶点时．过点C 作Q 4C ⊥CN ，交对称轴于点Q 4．∵Q 4C//FN ，∴可设直线Q 4C 的解析式为：y =12x +m ，∵点C(0,3)在该直线上，∴m =3．∴直线Q 4C 的解析式为：y =12x +3，当x =1时，y =72，∴Q 4(1,72). 综上所述，满足条件的点Q 有4个，其坐标分别为：Q 1(1,3+√112)，Q 2(1,3−√112)，Q 3(1,−14)，Q 4(1,72).【解析】(1)依据抛物线的解析式直接求得C 的坐标，令y =0解方程即可求得A 、B 点的坐标；(2)求出△BCM 面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理求出△BPN 的周长；(3)如解答图，△CNQ 为直角三角形，分三种情况：①点Q 为直角顶点；②点N 为直角顶点；③点C 为直角顶点进行解答．本题是二次函数综合题，难度较大．解题过程中有若干解题技巧需要认真掌握： ①第(2)问中求△BCM 面积表达式的方法；②第(3)问中确定点Q 的方法；③第(3)问中求点Q 坐标的方法．。

山东省德州市2024-2025学年九年级上学期期中数学模拟试题一、单选题1．下列图形，是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ． 2．下列各式中,y 是x 的二次函数的为( )A ．29y x =-+B ．21y x =-+C ．yD ．()13y x =-++ 3．已知二次函数224y x x =-++，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A ．图象的开口向上B ．图象的顶点坐标是()1,3C ．当1x <时，y 随x 的增大而增大D ．图象与x 轴有唯一交点4．已知点A （a ，2019）与点202)0,(A b '-是关于原点O 的对称点，则a +b 的值为（ ） A ．1 B ．5 C ．6 D ．45．函数1y ax =+与()210y ax ax a =++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图，将ABC V 绕点C 顺时针旋转40o 得到A B C ''△，连接AA '，若A B AC ''⊥，则1∠的度数为（ ）A ．20oB ．25oC ．30oD ．18o7．已知关于x 的方程()21210a x x --+=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≤B ．2a >C ．2a ≤且1a ≠D ．2a <-8．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，将ABC V 绕点A 顺时针旋转90°，得到ADE V ，连接BD ，若AC =2DE =，则线段BD 的长为（ ）A ．6B ．C ．D ．9．已知二次函数()2y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为（ ）A ．3或4B ．1或6C ．1或3D ．4或610．如图，在四边形ABCD 中，AD BC P ，90,4,6,30D AB BC BAD ∠=︒==∠=︒．动点P 沿路径A →B →C →D 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度向点D 运动．过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ．设点P 运动的时间为x （单位：s ），APH V 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．m 是方程2x 2+3x ﹣1＝0的根，则式子4m 2+6m +2021的值为 ．12．如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转每次旋转度形成的．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A 、B ，若2AB =，则m 的值为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，将点()2,3P 绕原点O 顺时针旋转180︒得到点P '，则P '的坐标为．15．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于． 16．已知正方形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示M 为边OB 上一点，且点M 的坐标为(),a b ．将正方形OBCD 绕原点O 顺时针旋转，每秒旋转45︒，则旋转2022秒后，点M 的坐标为．三、解答题17．用适当的方法解下列方程(1)2430x x +-=(2)()()2656x x +=+18．已知：在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （5，4），B （0，3），C （2，1）．(1)画出△ABC 关于原点成中心对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标；(2)画出将ABC 绕点B 按顺时针旋转90°所得的22A BC V ．19．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m ，另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．20．已知关于x 的方程x 2+（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1，x 2满足x 12+x 22=16+x 1x 2，求实数k 的值．21．如图，在ABC V 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕A 点旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．(1)求证：EF BC =；(2)若63ABC ∠=︒，25ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．22．某商品的进价为每件40元，售价不低于50元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，设每件商品的售价为x 元，每月的销售量为y 件．（1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 23．阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值．例如：求代数式248y y ++的最小值．解：我们可以先将代数式配方：()2224844424y y y y y ++=+++=++再利用完全平方式的非负性：∵()220y +≥，∴()2244y ++≥，∴248y y ++的最小值是4．(1)求代数式24m m ++的最小值；(2)求代数式2412x x -++的最大值；(3)某居民小区要在一块两面靠墙（墙长无限）的空地上建一个长方形花园ABCD ，另两边用总长为20m 的栅栏围成．如图，设()AB x m =，请问：当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？24．在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝x 2+bx +a ，y 2＝ax 2+bx +1（a ，b 是实数，a ≠0）．（1）若函数y 1的对称轴为直线x ＝3，且函数y 1的图象经过点（a ，b ），求函数y 1的表达式．（2）若函数y 1的图象经过点（r ，0），其中r ≠0，求证：函数y 2的图象经过点（1r，0）． （3）设函数y 1和函数y 2的最小值分别为m 和n ，若m +n ＝0，求m ，n 的值．25．如图，直线PQ MN ∥，一副直角三角板V ABC ，ΔDEF 中，90EDF ∠=︒，45ABC ∠=︒，30DFE ∠=︒，60DEF ∠=︒．(1)若V DEF 如图1摆放，当ED 平分∠PEF 时，证明：FD 平分∠EFM(2)若V ABC，V DEF如图2摆放时，则∠PDE=．(3)若图2中V ABC固定，将DEFV沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ 和∠GF A的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），则∠GHF=．(4)若图2中ΔDEF固定，（如图4）将V ABC绕点A顺时针旋转，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与V DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的角度。

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（青岛版）（时间：120分钟满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：青岛版九年级上册第1章~第3章。

5．难度系数：0.7。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共10 小题，每小题 3 分，共30 分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解析】A．两图形形状不同，不符合题意；B．两图形形状相同，符合题意；C．两图形形状不同，不符合题意；D．两图形形状不同，不符合题意．故选：B．2．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在BAC上，则∠BAC的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．130°3．已如O e 的直径为6cm ，点O 到直线l 的距离为4cm ，则l 与O e 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．相切或相交【答案】A【解析】∵O e 的直径为6cm ，点O 到直线l 的距离为4cm ，∴O e 的半径为3cm ，∵43>，∴l 与O e 的位置关系是相离.故选A ．4．如图，90B Ð=°，用科学计算器求∠A 的度数，下列按键顺序正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，直线123////l l l ，直线AC 和DF 被1l ，2l ，3l 所截，如果3AB =，5BC =，4EF =，那么DE 的长是（ ）A ．125B ．325C ．203D ．3236．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】A 【解析】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A ．7．如图，O e 的直径AB 与弦CD 交于点E ，若B 为弧CD 的中点，则下列说法错误的是（ ）A ．弧CB =弧BDB ．OE BE =C ．CE DE=D ．AB CD^【答案】B【解析】∵点B 为 CD 的中点，∴ BCBD =，故A 选项说法正确，不符合题意；∵AB 是O e 的直径， BCBD =，∴CE DE =，AB CD ^，故C 、D 选项说法正确，不符合题意；不能证明OE BE =，故B 选项说法错误，符合题意；故选：B ．8．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（数据如图，单位：mm ），则从闭合到打开B ，D 之间的距离减少了（ ）A ．25 mmB ．20mmC ．15 mmD ．8mm ，∴284639AE AF AB AD ===，AEF ∽△ABD ，，∴9204BD =，解得BD =45，9．如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在小正方形的顶点上，则AOBÐ的正弦值是（ ）A B C ．13D ．125．251051022==．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点(30)A ，，与y 轴交于点B ，2OB OA =，点M 在以点(10),C -为圆心，3为半径的圆上，点N 在直线AB 上，若MN 是C e 的切线，则2MN 的最小值为（ ）A ．194B ．254C ．195D ．52°，^时CN最小，最小，即CN AB4，第Ⅱ卷二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分．11．计算：2cos60°=．12．如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了36°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有相对滑动，则重物上升了 ．13．如图，P 是O e 外一点，PA PB 、分别和O e 相切于点A B 、，C 是弧AB 上任意一点，过C 作O e 的切线分别交PA PB 、于点D E 、，若12PA =，则PDE △的周长为 ．14．如图，身高1.8m 的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m ，经测量，此时小超离路灯底部的距离是5m ，则路灯离地面的高度是 m ．【答案】4.8【解析】如图，5m AD =，3m DE =， 1.8m CD =，15．如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在点B 处测得小岛A 在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C 处，测得小岛A 在它的北偏东30°方向上，那么小岛A 到航线BC 的距离等于 海里．16．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 的位置如图所示，点1B 的坐标为()0,2，点1C 的坐标为(1,0)，延长11A D 交x 轴于点2C ，作正方形1222D C D A ，延长22A D 交x 轴于点3C ，作正方形2333D C D A ××××××按这样的规律进行下去，则点4A 到x 轴的距离是 ．22390=Ð+Ð=°，，12A H =，三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题10分）计算：(1)11|1tan 60|sin 452-æö-°--+°+ç÷èø(2)()020221π3cos30°-+--.18．（本题9分）如图，在ABC V 中，CD AB ^于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在ABC V 的边上．求证：111.+=AB CD EF19．（本题9分）如图，数学兴趣小组用无人机测量一幢楼AB 的高度．小亮站立在距离楼底部94米的D 点处，操控无人机从地面F 点，竖直起飞到正上方60米E 点处时，测得楼AB 的顶端A 的俯角为30°，小亮的眼睛点C 看无人机的仰角为45°（点B F D 、、三点在同一直线上）．求楼AB 的高度．（参考数据：小亮的眼睛距离地面1.7 1.7»）()60AG x =-米，45ICE =°， ∵m DB ∥，∴45HEC Ð=°，（3°，60AG x =-，， （4分）是矩形，20．（本题10分）如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，点D 在AB 的延长线上，BCD A Ð=Ð．(1)求证：直线CD 是O e 的切线；(2)若2BC BD ==，求图中阴影部分的面积．90OCB =°，（2分）,A BCD Ð=Ð（3分）,OC CD ^（4分）21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，OAB △的顶点坐标分别为O (0,0)，()2,1A ，()1,2B -．(1)以原点O 为位似中心，在y 轴的右侧画出OAB △的一个位似11OA B V ，使它与OAB △的位似比为2:1；(2)画出将OAB △向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的222O A B V ；(3)判断11OA B V 和222O A B V 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M ，并写出点M 的坐标．22．（本题12分）【问题思考】如图1，等腰直角Rt ABC △，90ACB Ð=°，点O 为斜边AB 中点，点D 是BC边上一点（不与B 重合），将射线OD 绕点O 逆时针旋转90°交AC 于点E ．学习小组发现，不论点D 在BC 边上如何运动，BD CE =始终成立．请你证明这个结论；【问题迁移】如图2，Rt ABC △，90ACB Ð=°，15A Ð=°，点O 为斜边AB 中点，点E 是AC 延长线上一点，将线段OE 绕点O 逆时针旋转30°得到OD ，点D 恰好落BC 的延长线上，求C E C D的值；【问题拓展】如图3，等腰ABC V 中，AB AC =，120BAC Ð=°，点D 是BC 边上一点，将CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ，点D 落在点E 处，连接AE ，BE ，取BE 的中点M ，连接AM ，若AM =AE 的长． ，45A B \=Ð=∠的中点，°，（4分）23．（本题12分）综合与实践小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．【提出问题】如图1，在线段AC 同侧有两点B ，D ，连接AD ，AB ，BC ，CD ，如果B D Ð=Ð，那么A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．探究展示：【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；【拓展延伸】（2）如图3，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，AC BC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转得ANM V ，连接CM 交BN 于点D ，连接BM 、AD ．小明发现，在旋转过程中，CDB Ð永远等于45°，不会发生改变．①根据45CDB Ð=°，利用四点共圆的思想，试证明ND DB =；②在（1）的条件下，当BDM V 为直角三角形，且4BN =时，直接写出BC 的长．【解析】（1）在题图2中，作经过点A ，C ，D 的O e ，在劣弧AC 上取一点E （不与A ，C 重合），连接AE ，CE ，则180AEC D Ð+Ð=°，（1分）又∵B D Ð=Ð，∴180AEC B Ð+Ð=°，∴点A ，B ，C ，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），（2分）∴点B ，D 在点A ，C ，E 所确定的O e 上，∴点A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上，故答案为：180AEC B Ð+Ð=°；（3分）（2）①∵在Rt ACB △中，AC BC =，∴45BAC Ð=°，∵45CDB Ð=°，∴45CDB BAC Ð=Ð=°，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，（4分）∴180ADB ACB Ð+Ð=°，∵90ACB Ð=°，∴90ADB Ð=°，∴AD BN ^，（5分）∵ACB △旋转得AMN V ，∴ACB AMN △≌△，∴AB AN =，∵AD BN ^，∴ND DB =.（6分）②如图，当90BMD Ð=°时，2AC，。

九年级上学期数学期中试题一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．+x＝B．+x＝7C．﹣＝3D．x3+2x+1＝03．（4分）抛物线y＝（x+1）2的顶点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）4．（4分）用配方法解方程x2+2x﹣2＝0，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝3B．（x﹣1）2＝3C．（x+1）2＝1D．（x﹣1）2＝15．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE．若∠CAE＝65°，∠E＝70°，且AD⊥BC，∠BAC的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°6．（4分）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝a（x+1）2+2（a＞0）上，则下列结论正确的是（）A．y1＞y2＞2B．y2＞y1＞2 C．2＞y1＞y2D．2＞y2＞y17．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图象上，则k的值是（）A．B．C．D．9．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）图象的一部分，它与x轴的一个交点A在点（2，0）和点（3，0）之间，图象的对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（）A．①②④B．①②⑤C．②③④D．③④⑤10．（4分）若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）关于x的一元二次方程x2＝x的解为．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P的坐标是（0，3），把线段AP绕点P逆时针旋转90°后得到线段PQ，则点Q的坐标是．13．（4分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程．14．（4分）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一个实数根，则该三角形的面积是．15．（4分）一种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为s．16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为17．（4分）如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数y＝（m﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的和为．18．（4分）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）解方程：（1）x2﹣2x﹣3＝0；（2）（x+1）2＝（3﹣2x）2．20．（10分）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示平面直角坐标系，原点O及△ABC 的顶点都在格点上．（1）图中△ABC的面积为；（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（3）将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2BC2，并直接写出点A2，C2的坐标．21．（10分）先化简，再求值：（+）÷，其中a满足方程a2+4a+1＝0．22．（10分）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料：（1）如何设计，可使矩形花园的面积为300m2；（2）矩形花园的面积可以为315m2吗？若能，如何设计；若不能，请说明理由．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的拫．点P从点B出发，沿BC﹣CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB﹣BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△AQP的面积为S．（1）求S关于t的函数关系式；（2）通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如表：t01234s0m8n8请直接写出m＝，n＝；（3）如图2，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）当△AQP是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．24．（10分）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B 品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？25．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1.0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0.3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值；（3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C．M．N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由．26．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．过G 作GE⊥GF分别交AB、AC于点E、F；（1）如图①所示，若点E，F分别在线段AB，AC上，当点G与点D重合时，求证：AE+AF＝AD．（2）如图②所示，当点G在线段AD外，且点E与点B重合时，猜想AE，AF与AG之间存在的数量关系并说明理由．（3）当点G在线段AD上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值．答案1．D2．C3．A4．A5．C6．B7．D8．B9．A10．C11．x1＝0，x2＝1．12．（3，7）．13．301（1+x）2＝500．14．6或2．15．8．16．617．1．18．6200；9313．19．（1）x1＝﹣1，x2＝3；（2），x2＝4．20．（1）3.5；（3）点A2的坐标为（0，0），点C2的坐标为（3，2）．121．322．（1）当AB的长为15m，BC长为20m时，可使矩形花园的面积为300m2；（2）不能围成面积为315m2的矩形花园．23．（1）；（2）3，7；（4）（0，4）或（4，4）．24．（1）A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．25．（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）S△BCE有最大值；（3）存在点M、N使点A、C．M．N为平行四边形，此时N点坐标为（﹣1，0）或（﹣1，8）或（﹣1，6）．26．（1）AE+AF＝AD；（2）AE+AF＝AG；（3）AG+BG+CG的最小值为：3+3．。

2015-2016学年山东省德州市武城二中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）
A．﹣8 B．32 C．16 D．40
2．某农场经过两年的时间将产量从200万斤提高到260万斤，其中第二年增产的百分率是第一年的2倍．设第一年增产的百分率为x，则可列方程为（）
A．200（1+x）（1+2x）=260 B．200（1+2x）2=260
C．200（1+x）+200（1+2x）2=260 D．200（1+x）2=260
3．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
4．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）
A．y=x2﹣2x+2 B．y=x2﹣2x﹣2 C．y=﹣x2﹣2x+1 D．y=x2﹣2x+1
6．某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）
A．50m B．100m C．160m D．200m。

2023-2024学年第一学期期中学习成果阶段展示九年级数学学科试题（全卷满分150分，考试时间为120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤．第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分．1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知⊙O 的半径是4，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是（）A ．3B ．5C ．4D ．4.53．方程的解是（）A ．B ．C ．，D ．，4．若关于x 的一元二次方程没有实数根，则m 的取值范围是（）A ．且B ．C ．且D ．5．利用图形的旋转可以设计出许多美图的图案，如图2中的图案可以由图1所示的基本图案以点O 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角α，依次旋转若干次形成，则旋转角α的值不可能是（）第5题图A ．216°B ．72°C ．144°D ．36°23x x =3x =0x=1x =20x =13x =20x =2210mx x ++=1m >-0m ≠1m >1m <0m ≠1m <6．关于圆有如下的命题：①圆是轴对称图形，直径是它的对称轴：②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④三个点确定一个圆；⑤三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心．其中正确命题个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则、、为大小关系为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在中，，将绕点A 顺时针旋转90°，得到，连接BD ，若，，则线段BD 的长为（）第8题图A ．6B ．C ．D ．9．如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD 是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A ，D 时，恰好与BC 边相切，则此餐盘的半径是（）第9题图A ．10cmB ．C ．6cmD ．8cm10．若m ，n 是一元二次方程的两个根，则的值是（）A ．15B ．－9C ．9D ．－1511．如图，点A 在半径为2的⊙O 上，过线段OA 上的一点P 作直线l ，与⊙O 过点A 的切线交于点B ，且，设，则的面积O 关于x 的函数图象大致是（）第11题图222y x x =-++()10,y ()21,y )3y 1y 2y 3y 213y y y <<321y y y <<132y y y <>312y y y <<ABC △90ACB ∠=︒ABC △ADE △4AC =2DE=2390x x +-=227m m n ++60APB ∠=︒OP x =PAB △A ．B ．C ．D ．12．如图，抛物线与x 轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③时，y 随x 的增大而增大；④若关于x 的一元二次方程没有实数根，则；⑤对于任意实数m ，总有．其中正确的结论有（）第12题图A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分．13．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是______．第13题图14．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数解析式为______．15．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，若，，则BD 长为______．()20y ax bx c a =++≠()4,01x =0abc >30a c +<0x >25ax bx c a ++=-102a <<20am bm a b +--≥21y x =+10AB =7AC =第15题图16．某公司3月份的销售额为50万元，5月份的销售额为98万元．若该商场这两个月销售额的平均增长率相同，则增长率为______．17．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是______．18．如图，是正三角形，点A 在第一象限，点、．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120°至；将线段绕点B 按顺时针方向旋转120°至；将线段绕点A 按顺时针方向旋转120°至；将线段绕点C 按顺时针方向旋转120°至；……以此类推，则点的坐标是______．第18题图三、解答题：本大题共7小题，共记78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．19．（本题满分8分）方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在平面直角坐标系中的位置如图所示．2640x x -+=ABC △()0,0B ()1,0C 1CP 1BP 2BP 2AP 3AP 3CP 4CP 99P ABC △第19题图（1）画出关于原点O 对称的，并写出点的坐标；（2）将绕点C 顺时针旋转90°后，得到，请直接写出点的坐标．20．（本题满分10分）如图A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四点，点E 为CB 延长线上的一点，且，点C 为弧BD 的中点．（1）若，求的度数．（2）若，，求的长．第20题图21．（本题满分10分）如图，直线与抛物线交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧）．（1）求B 、C 两点的坐标；（2）直接写出时，x 的取值范围；（3）若抛物线的顶点为A ，求的面积．第21题图22．（本题满分12分）小明投资销售一种进价为每件15元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于进价的60%．（1）设小明每月获得利润为w （元），求每月获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得1500元的利润？ABC △111A B C △1A ABC △22A B C △2B AB AD ⊥82ABE ∠=︒ADB∠BC =6AB =AD 1112y x =+221482y x x =-+12y y >ABC △10500y x =-+（3）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？23．（本题满分12分）如图，在中，，，．（1）用直尺和圆规作出⊙O ，使圆心O 在AC 边上，并与其他两边都相切，与边BC 相切于点C ．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）通过作图，试说明⊙O 与AB 相切的理由；（3）求⊙O 的半径．24．（本题满分12分）综合与实践：如图1，在中，，．（1）点D 为射线BC 上一动点，连接AD ．①如图2，当点D 在线段BC 上时（不与点B 、C 重合），将线AD 段绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF ，以线段AF 、AD 为邻边作正方形ADEF ，连接BF ，线段BF 、CD 之间的位置关系为______，数量关系为______；②当点D 在线段CB 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；（2）如图4，点E 是外一点，连接AE ，BE ，CE ，交AB 于点D ，若，求证；．25．（本题满分14分）如图，一小球从斜坡OA 上的点O 处抛出，球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA 所在直线解析式为．若小球到达最高点P 的坐标为，解答下列问题：ABC △90ACB ∠=︒10AB =6BC =ABC △AB AC =90BAC ∠=︒ABC △45AEC ∠=︒BE EC ⊥12y x =749,416⎛⎫⎪⎝⎭（1）求抛物线的解析式：（2）在斜坡OA 上的B 点有一个障碍物，B点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球M 能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由；（3）该高度为2的障碍物放在斜坡OA 上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围．2023－2024学年第一学期期中学习成果阶段展示九年级数学学科参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案CADBDACBAADC二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．相交 14．或 15．3 16．40% 17．10 18．三、解答题：（本大题共7小题，共78分）19．（本题满分8分）（1）画出（2）20．（本题满分10分）解：（1）∵∴∵∴又∵四边形ABCD 为圆内接四边形∴，∵C 为弧BD 的中点∴∴∴12()231y x =--268y x x =-+(-111A B C △()11,4A -()21,2B -82ABE ∠=︒98ABC ∠=︒AB AD ⊥90A ∠=︒82ADC ∠=︒90C ∠=︒BCDC =BC DC =()118090452CBD CDB ∠=∠=︒-︒=︒又∵∴．（2）由（1）知，∴为等腰直角三角形∵，∴∴在中由勾股定理得又∵，∴在中，由勾股定理得21．（本题满分10分）解：（1）联立得解得或∴（2）（3）方法一：将代入得∴∵，∴对称轴为：，∴∴∴（3）方法二：过点A 作轴BC 交于点E．82ADC ∠=︒37ADB ∠=︒BC CD =90C ∠=︒BCD△BC=CD =Rt BCD△BC CD ==10BD =6AB =90A ∠=︒Rt ABD △10BD =6AB =8AD =21121482y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩1122x y =⎧⎨=⎩22792x y =⎧⎪⎨=⎪⎩()2,2B 97,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭27x <<10y =1112y x =+2x =-()2,0D -221482y x x =-+4421b x a -=-=-=()4,0A 6AD =ABC ACD ABD S S S =-△△△116622C B y y =⨯⨯=⨯⨯271222==152=AE x ⊥∵∴点A 的坐标为将代入得∴点E 的坐标为，∴∴．22．（本题满分12分）（1）由题意，得：或∵，∴，∴（2）解：令，即，解得：，∵∴答：当销售单价定为20元时，每月可获得利润1500元（3）解：对称轴直线∵，∴抛物线开口向下．∵其对称轴为直线，，∴当时，最大答：当销售单价定为24元时，每月可获得最大利润．23．（本题满分12分）（1）（2）过点O 作，垂足为点M ．由题可知，BC 与⊙O 相切于点C ．∴∵BO 是的角平分线又∵，∴()2221148422y x x x =-+=-()4,04x =112y x =+3y =()4,33AE =()()1122ABC ABE ACE A B C A S S S AE x x AE x x =+=-+-△△△()()1115372222C B AE x x =-=⨯⨯-=()()1510500w x x =--+2106507500w x x =-+-()1515160%x ≤≤+1524x ≤≤()21065075001524w x x x =-+-≤≤1500w =21065075001500x x -+-=120x =245x =1524x ≤≤20x =2106507500w x x =-+-6522b x a =-=100a =-<652x =1524x ≤≤24x =w OM AB ⊥OC BC ⊥ABC ∠OM AB ⊥OC BC ⊥OC OB=又∵∴AB 与⊙O 相切（3）在中，∵，，．∴∵BC 、AB 与⊙O 相切∴∴设⊙O 半径为x ，则，，根据勾股定理得，得∴⊙O 半径为3．24．（1）①，．②解：①中结论仍然成立，理由如下：∵，∴∵线段AD 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AF 又∵四边形ADEF 是正方形∴，∴在和中∴∴∴∴（2）证明：∵，，∴∵∴∴点A ，点E ，点B ，点C 四点共圆．∴∴方法二：过点A 作，交CE 于点M ，∵，则为等腰直角三角形，∴，又∵，，∴，即OC BC ⊥ABC △90ACB ∠=︒10AB =6BC=8AC ==6BM BC ==4AM =8OA x =-OM x =()22248x x +=-3x =CD BF ⊥CD BF =AB AC =90BAC ∠=︒45ABC ACB ∠=∠=︒AD AF =90DAF BAC ∠=︒=∠DAC BAF∠=∠ADC △AFB △AD AFDAC FABAC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADC AFB SAS ≌△△FB CD =45ACD ABF ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CD BF ⊥AB AC =90BAC ∠=︒45ABC ACB ∠=∠=︒45AEC ∠=︒AEC ABC ∠=∠90BAC BEC ∠=∠=︒BE EC ⊥AM AE ⊥45AEC ∠=︒AEM △45AEM AME ∠=∠=︒AE AM =AB AC =90BAC ∠=︒EAM BAM CAB BAM ∠-∠=∠-∠BAE CAM∠=∠在和中∴∴又∵∴∴∴25．（1）解∵∴设将代入得∴．（2）将代入得，将代入得∵∴小球M 不能飞过这个障碍物（3）解得：．∴∴若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：ABE △ACM △AE AM BAE CAMAB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABE ACM ≌△△AEB AMC ∠=∠180135AMC AME ∠=︒-∠=︒135AEB ∠=︒1354590BEC AEB AEC ∠=∠-∠=-︒=︒BE EC⊥749,416P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2749416y a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,01a =-2749416y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭12B x =12y x =14B y =19244+=12x =2749416y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭32y =9342>2749124162x x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭27494912216162x x x ⎛⎫--++-= ⎪⎝⎭2320x x -+-=11x =22x =12x <<12x <<。

山东省德州五中2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则矩形的周长为（）A．8B．4C．2D．63．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断4．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC的延长线于点P．则P A的长为（）A．2B．C．D．5．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 6．下列说法中正确的有（）个．①相等的圆心角所对的弧相等：②三点可以确定一个圆：③在同圆中，相等的弦所对的弧相等：④圆的每一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，垂直于弦的直径平分弦．A．0个B．1个C．2个D．3个7．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的点A处，则平移后抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2﹣1B．y＝（x+）2+C．y＝（x﹣）2+D．y＝（x﹣1）2﹣18．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的边与直径为10cm的圆相切时，另边与圆两个交点处的读数恰好为“4“”和“12“（单位：cm），则刻度尺的宽为（）cm．A．1B．2C．4D．89．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°10．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意正确的是（）A．x（29﹣2x+1）＝100B．x（29﹣2x﹣1）＝100C．x（29﹣2x+1）＝100D．x（29﹣2x﹣1）＝10011．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，0分别落在点B1，C1处，点B在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去..若点A（，0）．B（0，2）．则点B2021的坐标为（）A．（4042，2）B．（4042，0）C．（6064，2）D．（6064，0）12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤二、填空题（每小题4分，共24分）13．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝．14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了m．15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是．16．有一长、宽分别为4cm，3cm的矩形ABCD，以A为圆心作圆，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围是．17．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是s＝15t ﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了米．18．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′．连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为cm．三、解答题（共78分）19．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝6x﹣3；（2）5（x+1）2＝3（x+1）．20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，6），B（2，2），C（7，1）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出对应坐标；（2）请画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）已知△ABC绕点P旋转后的三角形为△DEF（点A与点D重合，点B与点E重合），其中D（﹣8，5），E（﹣4，4），F（﹣3，9）．直接写出点P的坐标．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．22．（12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是30元时，每天的销售量为300件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）该文具每天的销售总利润为3750元，求销售单价是多少元；（3）为尽快减少库存，商场规定每天的销售量不得低于240件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．（12分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．24．（12分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．（3）若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC．当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共48分）1．下列图形，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．若矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，则矩形的周长为（）A．8B．4C．2D．6【分析】设矩形的长为a，宽为b，根据一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝4，即可得到答案．【解答】解：设矩形的长为a，宽为b，∵矩形的长和宽是关于x的方程2x2﹣8x+m＝0的两根，∴a+b＝﹣＝4，∴矩形的周长为2（a+b）＝2×4＝8，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系和矩形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．3．已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6．则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∵⊙O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，∴r＝4，∵d＞r∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故选：A．【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．4．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC的延长线于点P．则P A的长为（）A．2B．C．D．【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解答】解：连接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OA tan60°＝1×，故答案为：B．【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．5．已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+k，﹣1＜0，∴当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），|﹣1﹣3|＝4，|1﹣3|＝2，|4﹣3|＝1，∴y1＜y2＜y3，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．6．下列说法中正确的有（）个．①相等的圆心角所对的弧相等：②三点可以确定一个圆：③在同圆中，相等的弦所对的弧相等：④圆的每一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，垂直于弦的直径平分弦．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理判断即可．【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，说法不正确；②不在同一直线上的三点可以确定一个圆，说法不正确；③在同圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，说法不正确；④圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，说法不正确；⑤在同圆或等圆中，垂直于弦的直径平分弦，符合垂径定理，说法正确．其中正确的有1个．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．7．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的点A处，则平移后抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2﹣1B．y＝（x+）2+C．y＝（x﹣）2+D．y＝（x﹣1）2﹣1【分析】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m），再根据AO＝2，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．【解答】解：∵A在直线y＝x上，∴设A（m，m），∵OA＝2，∴m2+m2＝22，解得：m＝±（m＝﹣舍去），∴m＝，∴A（，），∴抛物线解析式为：y＝（x﹣）2+，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．8．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的边与直径为10cm的圆相切时，另边与圆两个交点处的读数恰好为“4“”和“12“（单位：cm），则刻度尺的宽为（）cm．A．1B．2C．4D．8【分析】根据垂径定理得BE的长，再根据勾股定理列方程求解即可．【解答】解：作OE垂直AB于E交⊙O与D，根据垂径定理，BE＝AB＝4，根据题意列方程得：（5﹣DE）2+16＝52，解得DE＝2，∴该直尺的宽度为2cm．故选：B．【点评】此题主要考查了垂径定理的应用，此题很巧妙，将垂径定理和勾股定理不露痕迹的镶嵌在实际问题中，考查了同学们的转化能力．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为29米的篱笆围成，已知墙长为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为100平方米，根据题意正确的是（）A．x（29﹣2x+1）＝100B．x（29﹣2x﹣1）＝100C．x（29﹣2x+1）＝100D．x（29﹣2x﹣1）＝100【分析】设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为100平方米，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为（29﹣2x+1）米，根据题意得：x（29﹣2x+1）＝100，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，0分别落在点B1，C1处，点B在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x 轴上，依次进行下去..若点A（，0）．B（0，2）．则点B2021的坐标为（）A．（4042，2）B．（4042，0）C．（6064，2）D．（6064，0）【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B1、B3…，由图象可知点B2021在x轴上，B1B3＝6，根据这个规律可以求得B2021的坐标．【解答】解：由图象可知点B2021在x轴上，∵OA＝，OB＝2，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴B1（4，0），B3（10，0），B5（16，0），…，∴B1B3＝B3B5＝6，∵2021÷2＝1010……1，∴1010×6＝6060，6060+4＝6064，∴B2021（6064，0）．故选：D．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤【分析】根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b ＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x＝﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1＝ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，然后把b＝﹣2a代入计算得到x1+x2＝2．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1＝ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（每小题4分，共24分）13．已知抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点，则m＝．【分析】令y＝0，则关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的根的判别式Δ＝0，据此列出关于m的新方程，通过解新方程即可求得m的值．【解答】解：令y＝0，则当抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴只有一个公共点时，关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的根的判别式Δ＝0，即（﹣3）2﹣4m＝0，解得：m＝．故答案是：．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，运用“二次函数y＝ax2+bx+c与x 轴的交点个数与系数的关系：当b2﹣4ac＝0时，只有一个交点”求解即可．14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m．某天下雨后，水管水面上升后的水面宽度为3.2m，则排水管水面上升了0.4或2.8m．【分析】过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝BE＝AB＝1.2（m），CF＝DF＝CD，在Rt△OAE中，由勾股定理得OE＝1.6（m），OF＝1.2（m），然后再分两种情况，根据EF＝OE﹣OF可求解．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OC，如图所示：则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，∴CF＝DF＝CD，∵OA＝2m，∴OE＝＝1.6（m），∵CD＝2CF＝3.2m，∴CF＝1.6m，∵OC＝OA＝2m，∴OF＝（m），当水面没过圆心O时，EF＝OE﹣OF＝1.6﹣1.2＝0.4（m），当水面超过圆心O时，EF＝OE+OF＝1.6+1.2＝2.8（m）即水管水面上升了0.4m或2.8m，故答案为：0.4或2.8．【点评】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式y＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．【分析】根据抛物线的对称轴及与x轴的交点求出抛物线与x轴的另一个交点，通过图象即可求解．【解答】解：∵抛物线经过点（5，0），对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∵y＞0，∴对应抛物线在x轴下方，即在（﹣1，0）点的左侧或（5，0）点的右侧．∴x＜﹣1或x＞5．故答案为：x＜﹣1或x＞5．【点评】本题考查二次函数和不等式，将y＜0转化为抛物线在x轴的下方是求解是解决问题的关键．16．有一长、宽分别为4cm，3cm的矩形ABCD，以A为圆心作圆，若B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙O的半径r的取值范围是3＜r＜5．【分析】根据点与圆的位置关系，与点A相邻的点且宽的另一个端点在圆内，与点A不相邻的顶点在圆外，求得矩形的对角线，再确定⊙O的半径r的取值范围．【解答】解：∵矩形ABCD的长、宽分别为4cm，3cm，∴矩形的对角线为5cm，∵B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，∴⊙O的半径r的取值范围是3＜r＜5．【点评】本题考查的知识点：勾股定理和点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P 在⊙O内；③点P在⊙O外．17．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是s＝15t ﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了米．【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，∴汽车刹车后到停下来前进了米．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，利用配方法，找出二次函数的顶点式是解题的关键．18．如图，正方形ABCD中，AB＝3cm，以B为圆心，1cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′．连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为（3﹣1）cm．【分析】通过画图发现，点P′的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆，可知：当P′在对角线BD上时，BP′最小，先证明△P AB≌△P′AD，则P′D＝PB＝1，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出BP′的长．【解答】解：如图，当P′在对角线BD上时，BP′最小，连接BP，由旋转得：AP＝AP′，∠P AP′＝90°，∴∠P AB+∠BAP′＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，∴∠P AB＝∠DAP′，∴△P AB≌△P′AD，∴P′D＝PB＝1，在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝3，由勾股定理得：BD＝＝3，∴BP′＝BD﹣P′D＝3﹣1，即BP′长度的最小值为（3﹣1）cm．故答案为：（3﹣1）．【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质和最小值问题，寻找点P′的运动轨迹是本题的关键，通过证明两三角形全等求出BP′长度的最小值．三、解答题（共78分）19．（8分）用适当的方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2＝6x﹣3；（2）5（x+1）2＝3（x+1）．【分析】（1）根据因式分解法可以解答此方程；（2）根据因式分解法可以解答此方程．【解答】解：（1）移项得（2x﹣1）2﹣（6x﹣3）＝0，因式分解得（2x﹣1）（2x﹣4）＝0，2x﹣1＝0或2x﹣4＝0，解得，x1＝，x2＝2；（2）移项得5（x+1）2﹣3（x+1）＝0．把方程左边进行因式分解得（x+1）（5x+2）＝0．∴x+1＝0或5x+2＝0．∴x1＝﹣1，x2＝﹣．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（3，6），B（2，2），C（7，1）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1，并写出对应坐标；（2）请画出△ABC绕原点顺时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）已知△ABC绕点P旋转后的三角形为△DEF（点A与点D重合，点B与点E重合），其中D（﹣8，5），E（﹣4，4），F（﹣3，9）．直接写出点P的坐标．【分析】（1）利用中心对称不会的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；（3）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣3，﹣6），B1（﹣2，﹣2），C1（﹣7，﹣1）；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）如图，点P即为所求，点P的坐标（﹣2，0）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C．过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径．【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论；（2）过点O作OE⊥AF于E，证明四边形OEDC为矩形，设设⊙O的半径为r，由勾股定理列出方程求解．【解答】（1）证明：连接OC，∵AC平分∠F AB，∴∠F AC＝∠CAO，∵AO＝CO，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠F AC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于E，∴AE＝EF＝，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°，∴四边形OEDC为矩形，∴CD＝OE＝3，DE＝OC，设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r，∴AE＝9﹣r，∵OAOA2﹣AE2＝OE2，∴r2﹣（9﹣r）2＝32，解得r＝5．∴⊙O半径为5．【点评】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键．22．（12分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是30元时，每天的销售量为300件：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润W（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）该文具每天的销售总利润为3750元，求销售单价是多少元；（3）为尽快减少库存，商场规定每天的销售量不得低于240件．求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据利润＝（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）根据题意列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，销售量＝300﹣10（x﹣30）＝﹣10x+600，则w＝（x﹣20）（﹣10x+600）＝﹣10x2+800x﹣12000；（2）根据题意得，（x﹣20）（﹣10x+600）＝3750，解得x1＝45，x2＝35，答：该文具每天的销售总利润为3750元，销售单价是45元或35元；（3）w＝﹣10x2+800x﹣12000＝﹣10（x﹣40）2+4000．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，∵商场规定每天的销售量不得低于240件，∴﹣10x+600≥240，解得x≤36，∴当x＝36时，w最大＝3840，故当单价为36元时，该文具每天的利润最大，最大利润是3840元．【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．23．（12分）如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求CD的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠BCD，根据圆周角定理，等腰三角形的定义证明；（2）作AE⊥CD于E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出AE、CE，DE，结合图形计算，得到答案．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，由圆周角定理得，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴DA＝DB，即△ABD是等腰三角形；（2）解：作AE⊥CD于E，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB＝5，∵AE⊥CD，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝AC＝3，在Rt△AED中，DE＝＝4，∴CD＝CE+DE＝3+4＝7．【点评】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．24．（12分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE+FD；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【分析】问题背景中，根据小亮的设计可以得到所要的结论；探索延伸中，先判断结论是否成立，然后根据图形和题目中条件，作出合适的辅助线，进行说明即可；在实际应用中，根据题目中的条件进行合理的推导，只要能说明符合探索延伸的条件，即可解答本题．【解答】解：问题背景：∵小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE ≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，FG＝FD+DG＝FD+BE，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；探索延伸：上述结论EF＝BE+FD成立，理由：如图2，延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝DF+DG＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；实际应用：如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，∴图3符合探索延伸的条件，∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），即此时两舰艇之间的距离210海里．【点评】本题考查三角形综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．25．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1上是否存在一点M，使MA+MC的值最小？若存在，求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．（3）若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD、BD、AC．当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标及四边形ABDC的面积．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）BC与直线l的交点即为点M，求出直线BC的解析式，当x＝时，即可求M（，）；（3）过D点作DE∥y轴交BC于点E，设D（t，﹣t2+t+2），则E（﹣t+2），则S＝﹣t2+4t，从而得到S四边形ABCD﹣（t﹣2）2+9，当t＝2时，四边形ABDC的面积有△BCD最大值9，此时D（2，3）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）存在点M，使MA+MC的值最小，理由如下：∵点A与点B关于对称轴l对称，∴BC与直线l的交点即为点M，∵MA＝BM，∴MA+MC＝MB+MC≥BC，当B、C、M三点共线时，MA+MC的值最小，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，当x＝时，y＝﹣×+2＝，∴M（，）；（3）∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝5×2＝5，过D点作DE∥y轴交BC于点E，设D（t，﹣t2+t+2），则E（﹣t+2），∴DE＝﹣t2+2t，∴S△BCD＝4×（﹣t2+2t）＝﹣t2+4t，∴S四边形ABDC＝﹣t2+4t+5＝﹣（t﹣2）2+9，∴当t＝2时，四边形ABDC的面积有最大值9，此时D（2，3）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离的方法，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键．。

2024-2025学年青岛版数学九年级上册期中模拟试题一、单选题1．用放大镜观察一个三角形时，不变的量是（ ）A ．各条边的长度B ．各个角的度数C ．三角形的面积D ．三角形的周长 2．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ ）A ．13B ．12CD 3．某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面积差为30，则它们的面积和为（ ）A ．74B ．76C ．78D ．814．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为（ ）A ．4B ．C ．6D ．5．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，若3cos 5BDC ∠=，则BC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm6．如图，为了测量某建筑物AB 的高度，在平地上C 处测得建筑物顶端A 的仰角为30°，沿CB 方向前进16m 到达D 处，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为45°，则建筑物AB 的高度等于（ ）A．m 1) B．m 1) C．m 1) D．m 1)7．如图，点D 是ABC V 的边AB 上的一点，连接DC ，则下列条件中不能判定ABC ACD V V ∽的是（ ）A ．B ACD ∠=∠B ．ADC ACB ∠=∠ C ．AC AB CD BC = D ．AC AB AD AC= 8．如图所示，AB 为斜坡，D 是斜坡AB 上一点，斜坡AB 的坡度为i ，坡角为α，AC ⊥BM 于C ，下列式子：①i ＝AC ∶AB ；②i ＝(AC －DE)∶EC ；③i ＝tanα＝DE BE；④AC ＝i·BC ．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．如图，在正方形ABCD 中，BPC V 是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①12AE FC =；②15PDE ∠=︒；③PBC PCDS S =△△④12DHC BHC S S =△△；⑤2DE PF PC =⋅．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，一个高为1m 的油筒内有油，一根木棒长1.2m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m ，则桶内油的高度为（ ）A ．0.28mB ．0.385mC ．0.4mD ．0.3m二、多选题11．如图，α∠的顶点位于正方形网格的格点上，若1tan 2α=，则满足条件的是（ ） A ． B ． C ．D ．三、填空题12．如图，平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F 若S △BCF ＝8，则S △DEF ＝13．－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m，则桶内油面的高度为．14．如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=．15．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为米(结果保留根号).四、解答题16112cos602-⎛⎫+︒ ⎪⎝⎭．17．如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，（1）求证：△ABC∽△ADB（2）求线段CD的长．18．已知：如图△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，－3）、B （3，－2）、C （2，－4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC 向上平移6个单位得到的△A 1B 1C 1；(2)以点C 为位似中心，在网格中画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且△A 2B 2C 2与△ABC 的位似比为2：1(3)求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比为 （不写解答过程，直接写出结果）．19．如图，在ABC V 中，AD BC ⊥，BF AC ⊥，8AC =，2BD =，1cos 3ABC ∠=，BF 交AD ．求：(1)AD 的长；(2)tan FBC ∠的值．20．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．(1)求证：∠AED ＝∠ADC ，∠DEC ＝∠B ；(2)求证：AB 2＝AE •AC ．21．AB 是长为10m ，倾斜角为37︒的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且10m BD =，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65︒，求大楼CE 的高度（结果保留整数）．（参考数据：3sin 375︒≈，3tan 374︒≈，9sin 6510︒≈，15tan 657︒≈）22．太原双塔寺又名永祥寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD ，这时地面上的点E ，标杆的顶端点D ，舍利塔的塔尖点B 正好在同一直线上，测得4EC =米，将标杆CD 向后平移到点G 处，这时地面上的点F ，标杆的顶端点H ，舍利塔的塔尖点B 正好在同一直线上（点F ，点G ，点E ，点C 与塔底处的点A 在同一直线上），这时测得6FG =米，49GC =米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度AB ．23．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF AE ⊥于F ，设PA x =．(1)求证：PFA ABE ∽△△；(2)当P 也是AD 边中点时，求AF 的值；(3)若以P ，F ，E 为顶点的三角形也与ABE V 相似，试求x 的值；(4)当点F 与点E 重合时，设PF 交CD 于点G ，试判断GAE ∠与BAE ∠的大小关系并说明理由．。

德州市武城二中2021届九年级上期中数学试卷含答案解析一、选择题（共12道小题，每道小题3分，共36分.）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．03．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°4．下列命题中正确的有（）个（1）平分弦的直径垂直于弦（2）通过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，假如平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=10007．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）A．35°B．70°C．110° D．140°8．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（）A．40°B．140°或40°C．20°D．20°或160°9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m10．若A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y311．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象通过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共8道小题，每道小题3分，共24分．）13．假如关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范畴是．14．如图，点A是直线l上一点，AB切⊙O于点B，圆心O与点A间的最小距离是6cm，⊙O的半径为4cm，则AB的最小值是．15．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为．16．若等边三角形的边长为3cm，则其外接圆的半径为．17．抛物线y=ax2+bx+c通过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC 于点D，则OD的长为．19．抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，则a=．20．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧是劣弧的2倍；④AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题（共60分）21．解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）（x+8）（x+1）=﹣1．22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判定△AOD的形状，并说明理由．23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判定直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．依照以往销售体会发觉：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？25．如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B 两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，要求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2021-2021学年山东省德州市武城二中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12道小题，每道小题3分，共36分.）1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】依照中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选D．2．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0可得a2﹣4=0．a的值可求．【解答】解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0，可得a2﹣4=0，解之得a=±2；②由①②得a=﹣2．故选B．3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为（）A．15°B．28°C．29°D．34°【考点】圆周角定理．【分析】依照圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．【解答】解：依照圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，依照量角器的读数方法可得：（86°﹣30°）÷2=28°．故选：B．4．下列命题中正确的有（）个（1）平分弦的直径垂直于弦（2）通过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】依照题目中的说法能够判定其是否正确，从而能够解答本题．【解答】解：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故（1）错误；通过半径在圆上的一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故（2）错误；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故（3）错误；平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故（4）错误；三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故（5）正确；故选A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（）A．30°B．60°C．90°D．150°【考点】旋转的性质．【分析】依照直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，依照旋转的性质可得AC=A′C，然后判定出△A′AC是等边三角形，依照等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后依照旋转角的定义解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选：B．6．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，假如平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2=1000 B．200+200×2x=1000C．200+200×3x=1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为200×（1+x），∴三月份的营业额为200×（1+x）×（1+x）=200×（1+x）2，∴可列方程为200+200×（1+x）+200×（1+x）2=1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000．故选：D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=（）A．35°B．70°C．110° D．140°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．故选D．8．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是（）A．40°B．140°或40°C．20°D．20°或160°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】此题要分两种情形：当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．【解答】解：当圆周角的顶点在优弧上时，依照圆周角定理，得圆周角：∠ACB=∠AOB=×80°=40°；当圆周角的顶点在劣弧上时，依照圆内接四边形的性质，得此圆周角：∠ADB=180°﹣∠ACB=180°﹣40°=140°；因此弦AB所对的圆周角是40°或140°．故选B．9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m【考点】二次函数的应用．【分析】依照题意，把y=﹣4直截了当代入解析式即可解答．【解答】解：依照题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，得x=±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB=20m．即水面宽度AB为20m．故选C．10．若A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【分析】先求出二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象的对称轴，然后判定出A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）在抛物线上的位置，再求解．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2﹣4x+5中a=﹣1＜0∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2∵B（﹣1，y2），C（，y3）中横坐标均大于﹣2∴它们在对称轴的右侧y3＜y2，A（﹣，y1）中横坐标小于﹣2，∵它在对称轴的左侧，它关于x=﹣2的对称点为2×（﹣2）﹣（﹣）=﹣，＞﹣＞﹣1∵a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小∴y3＜y1＜y2．故选C．11．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】先依照题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情形进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象通过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线的开口方向判定a的符号，由抛物线与y轴的交点判定c的符号，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．二、填空题（共8道小题，每道小题3分，共24分．）13．假如关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范畴是a≥﹣．【考点】根的判别式．【分析】分为两种情形：①当a=0，②a≠0，依照已知得出△≥0，求出即可．【解答】解：分为两种情形：①当a=0时，x﹣1=0，解得：x=1；②当a≠0时，∵关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，∴△=12﹣4×a×（﹣1）=1+4a≥0，解得：a≥﹣，故答案为：a≥﹣．14．如图，点A是直线l上一点，AB切⊙O于点B，圆心O与点A间的最小距离是6cm，⊙O的半径为4cm，则AB的最小值是2．【考点】切线的性质．【分析】由题意AB=，OB为定值，因此OA最小时，AB最小，由此不难解决问题．【解答】解：如图，连接OB．∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∵AB=，OB为定值，∴OA最小时，AB最小，∵OA的最小值为6，OB=4，∴AB的最小值==2．15．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（2，﹣3）．【考点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标．【分析】依照平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，因此C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称，∴C点坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．16．若等边三角形的边长为3cm，则其外接圆的半径为．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】依照正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答，【解答】解：∵等边三角形的边长为3，∴AD=，∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°，∴AO==．故答案为：．17．抛物线y=ax2+bx+c通过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=0．【考点】二次函数的性质．【分析】依照二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c通过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．故答案为：0．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC 于点D，则OD的长为4．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】依照垂径定理求得BD，然后依照勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．19．抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，则a=2．【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，再由条件可得到关于a的方程可求得答案．【解答】解：∵y=x2﹣ax+1=（x﹣）2+1﹣，∴抛物线顶点坐标为（，1﹣），∵抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，∴1﹣=0且＞0，解得a=2，故答案为：2．20．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧是劣弧的2倍；④AE=BC．其中正确结论的序号是①②③．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】第一连接AD，OE，OD，由直径对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，依照等腰直角三角形的性质，即可求得BD=DC，求得∠ABC与∠ABE的度数，则可得①②正确，又可求得∠AOE与∠DOE的度数，依照弧与圆心角的关系，即可得③正确．【解答】解：连接AD，OE，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；故②正确；∵∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=90°﹣∠BAC=45°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°；故①正确；∵∠DOE=2∠DAE=∠BAC=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，∴∠AOE=2∠DOE，∴劣弧是劣弧的2倍；故③正确；∵∠BEC=∠AEB=90°，∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，∴△AEB不一定全等于△CEB，∴AE不一定等于BC．故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（共60分）21．解方程：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2（2）（x+8）（x+1）=﹣1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2，3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，（x﹣1）（3x﹣2）=0，x﹣1=0，3x﹣2=0，x1=1，x2=；（2）整理得：x2+9x+9=0，△=92﹣4×1×9=45，x=，x1=，x2=．22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判定△AOD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】（1）由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判定：△COD是等边三角形；（2）由（1）可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC﹣∠CDO，可判定△AOD为直角三角形．【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，CO=CD，∴△OCD是等边三角形；（2）解：△AOD为直角三角形．理由：∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC=∠BOC=α，∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，因此△AOD是直角三角形．23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判定直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理能够求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．【解答】解：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，答：AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切，理由是：连接OC，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，∴∠OCD=45°﹣30°=15°，∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，∴∠PCE=∠CEP=75°，∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．依照以往销售体会发觉：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）依照“当售价定为每盒45元时，每天能够卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）依照利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再依照二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．25．如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE：AE=2：3，求弦CD的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】因为∠AEC=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为5cm，进而求得OE=2，然后依照含30°角所对的直角边等于斜边的一半求得OF=1cm，依照勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．【解答】解：过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AB=10，∴AO=OB=OD=5，∵OE：AE=2：3，∴OE=2cm．∵∠AEC=30°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=1（cm）；∴DF==2，由垂径定理得：CD=2DF=4．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B 两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，要求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）依照顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；（3）作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP 的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示△APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．【解答】解：（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象通过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，∴此函数的解析式为y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；（2）∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y=x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），=|AB|•|OC|=×8×3=12；则S△ABC（3）假设存在如此的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，x2+x﹣3），设直线AC的解析式为y=kx+b，∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，=S△APF+S△CPF∴S△APC=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|=|PF|•|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，∴当x=﹣3时，S有最大值，△APC现在点P的坐标是P（﹣3，﹣）．2021年2月25日。

2020-2021学年山东省德州市武城二中九年级(上)期中数学试卷一、选择题(共12道小题，每道小题3分，共36分.)1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．2．关于x的一元二次方程(a﹣2)x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为() A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．03．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为()A．15°B．28°C．29°D．34°4．下列命题中正确的有()个(1)平分弦的直径垂直于弦(2)经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(3)在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半(4)平面内三点确定一个圆(5)三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为()A．30°B．60°C．90°D．150°6．某超市一月份的营业额为2020元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A．20201+x)2=1000 B．202020202x=1000C．202020203x=1000 D．20201+(1+x)+(1+x)2]=10007．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()A．35°B．70°C．110° D．140°8．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是()A．40°B．140°或40°C．2020D．2020160°9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为()A．﹣2020B．10m C．2020D．﹣10m10．若A(﹣，y1)，B(﹣1，y2)，C(，y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y311．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为()A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm12．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1，2)且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论:4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题(共8道小题，每道小题3分，共24分．)13．如果关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是．14．如图，点A是直线l上一点，AB切⊙O于点B，圆心O与点A间的最小距离是6cm，⊙O的半径为4cm，则AB的最小值是．15．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(﹣2，3)，则点C的坐标为．16．若等边三角形的边长为3cm，则其外接圆的半径为．17．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC 于点D，则OD的长为．19．抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，则a=．2020知，如图:AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论:①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧是劣弧的2倍；④AE=BC．其中正确结论的序号是．三、解答题(共60分)21．解方程:(1)3x(x﹣1)=2x﹣2(2)(x+8)(x+1)=﹣1．22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)求证:△COD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．(1)求AC、AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现:当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出2020(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？25．如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE:AE=2:3，求弦CD的长．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2，﹣4)，与x轴交于A、B两点，且A(﹣6，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△ABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2020-2021学年山东省德州市武城二中九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12道小题，每道小题3分，共36分.)1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【解答】解:A、不是中心对称图形，本选项错误；B、不是中心对称图形，本选项错误；C、不是中心对称图形，本选项错误；D、是中心对称图形，本选项正确．故选D．2．关于x的一元二次方程(a﹣2)x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为() A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入(a﹣2)x2+x+a2﹣4=0可得a2﹣4=0．a的值可求．【解答】解:∵(a﹣2)x2+x+a2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①由一个根是0，代入(a﹣2)x2+x+a2﹣4=0，可得a2﹣4=0，解之得a=±2；②由①②得a=﹣2．故选B．3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB的大小为()A．15°B．28°C．29°D．34°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理可知:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，从而可求得∠ACB的度数．【解答】解:根据圆周角定理可知:圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，根据量角器的读数方法可得:(86°﹣30°)÷2=28°．故选:B．4．下列命题中正确的有()个(1)平分弦的直径垂直于弦(2)经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线(3)在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半(4)平面内三点确定一个圆(5)三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题与定理．【分析】根据题目中的说法可以判断其是否正确，从而可以解答本题．【解答】解:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故(1)错误；经过半径在圆上的一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线，故(2)错误；在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故(3)错误；平面内不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故(4)错误；三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等，故(5)正确；故选A．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为()A．30°B．60°C．90°D．150°【考点】旋转的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．【解答】解:∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故选:B．6．某超市一月份的营业额为2020元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为()A．20201+x)2=1000 B．202020202x=1000C．202020203x=1000 D．20201+(1+x)+(1+x)2]=1000【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为:一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．【解答】解:∵一月份的营业额为2020元，平均每月增长率为x，∴二月份的营业额为2020(1+x)，∴三月份的营业额为2020(1+x)×(1+x)=2020(1+x)2，∴可列方程为20202020(1+x)+2020(1+x)2=1000，即20201+(1+x)+(1+x)2]=1000．故选:D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=70°，则∠BOD=()A．35°B．70°C．110° D．140°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=70°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=140°．【解答】解:∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=70°，∴∠BOD=2∠A=140°．故选D．8．AB是⊙O的弦，∠AOB=80°，则弦AB所对的圆周角是()A．40°B．140°或40°C．2020D．2020160°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【分析】此题要分两种情况:当圆周角的顶点在优弧上时；当圆周角的顶点在劣弧上时；通过分析，从而得到答案．【解答】解:当圆周角的顶点在优弧上时，根据圆周角定理，得圆周角:∠ACB=∠AOB=×80°=40°；当圆周角的顶点在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，得此圆周角:∠ADB=180°﹣∠ACB=180°﹣40°=140°；所以弦AB所对的圆周角是40°或140°．故选B．9．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为()A．﹣2020B．10m C．2020D．﹣10m【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．【解答】解:根据题意B的纵坐标为﹣4，把y=﹣4代入y=﹣x2，得x=±10，∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，∴AB=2020即水面宽度AB为2020故选C．10．若A(﹣，y1)，B(﹣1，y2)，C(，y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象的对称轴，然后判断出A(﹣，y1)，B(﹣1，y2)，C(，y3)在抛物线上的位置，再求解．【解答】解:∵二次函数y=﹣x2﹣4x+5中a=﹣1＜0∴抛物线开口向下，对称轴为x=﹣=﹣=﹣2∵B(﹣1，y2)，C(，y3)中横坐标均大于﹣2∴它们在对称轴的右侧y3＜y2，A(﹣，y1)中横坐标小于﹣2，∵它在对称轴的左侧，它关于x=﹣2的对称点为2×(﹣2)﹣(﹣)=﹣，＞﹣＞﹣1∵a＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小∴y3＜y1＜y2．故选C．11．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为()A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解:连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选:C．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1，2)且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论:4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解:由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选D．二、填空题(共8道小题，每道小题3分，共24分．)13．如果关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，则a的取值范围是a≥﹣．【考点】根的判别式．【分析】分为两种情况:①当a=0，②a≠0，根据已知得出△≥0，求出即可．【解答】解:分为两种情况:①当a=0时，x﹣1=0，解得:x=1；②当a≠0时，∵关于x的方程ax2+x﹣1=0有实数根，∴△=12﹣4×a×(﹣1)=1+4a≥0，解得:a≥﹣，故答案为:a≥﹣．14．如图，点A是直线l上一点，AB切⊙O于点B，圆心O与点A间的最小距离是6cm，⊙O的半径为4cm，则AB的最小值是2．【考点】切线的性质．【分析】由题意AB=，OB为定值，所以OA最小时，AB最小，由此不难解决问题．【解答】解:如图，连接OB．∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB，∴∠ABO=90°，∵AB=，OB为定值，∴OA最小时，AB最小，∵OA的最小值为6，OB=4，∴AB的最小值==2．15．如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(﹣2，3)，则点C的坐标为(2，﹣3)．【考点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为(2，﹣3)．【解答】解:∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称，∴C点坐标为(2，﹣3)．故答案为:(2，﹣3)．16．若等边三角形的边长为3cm，则其外接圆的半径为．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】根据正三角形的每个内角为60°和三角形外接圆的相关知识解答，【解答】解:∵等边三角形的边长为3，∴AD=，∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°，∴AO==．故答案为:．17．抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=0．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为(1，0)，由此求出a+b+c的值．【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为(1，0)，∴a+b+c=0．故答案为:0．18．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC 于点D，则OD的长为4．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解:∵OD⊥BC，∴BD=CD=BC=3，∵OB=AB=5，∴OD==4．故答案为4．19．抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，则a=2．【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线解析式化为顶点式，再由条件可得到关于a的方程可求得答案．【解答】解:∵y=x2﹣ax+1=(x﹣)2+1﹣，∴抛物线顶点坐标为(，1﹣)，∵抛物线y=x2﹣ax+1的顶点在x轴的正半轴上，∴1﹣=0且＞0，解得a=2，故答案为:2．2020知，如图:AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论:①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③劣弧是劣弧的2倍；④AE=BC．其中正确结论的序号是①②③．【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．【分析】首先连接AD，OE，OD，由直径对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=∠AEB=90°，又由AB=AC，根据等腰直角三角形的性质，即可求得BD=DC，求得∠ABC与∠ABE的度数，则可得①②正确，又可求得∠AOE与∠DOE的度数，根据弧与圆心角的关系，即可得③正确．【解答】解:连接AD，OE，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；故②正确；∵∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=90°﹣∠BAC=45°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=22.5°；故①正确；∵∠DOE=2∠DAE=∠BAC=45°，∠AOE=2∠ABE=90°，∴∠AOE=2∠DOE，∴劣弧是劣弧的2倍；故③正确；∵∠BEC=∠AEB=90°，∠ABE=45°，∠EBC=22.5°，∴△AEB不一定全等于△CEB，∴AE不一定等于BC．故④错误．故答案为:①②③．三、解答题(共60分)21．解方程:(1)3x(x﹣1)=2x﹣2(2)(x+8)(x+1)=﹣1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】(1)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；(2)先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解:(1)3x(x﹣1)=2x﹣2，3x(x﹣1)﹣2(x﹣1)=0，(x﹣1)(3x﹣2)=0，x﹣1=0，3x﹣2=0，x1=1，x2=；(2)整理得:x2+9x+9=0，△=92﹣4×1×9=45，x=，x1=，x2=．22．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)求证:△COD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【分析】(1)由旋转的性质可知CO=CD，∠OCD=60°，可判断:△COD是等边三角形；(2)由(1)可知∠COD=60°，当α=150°时，∠ADO=∠ADC﹣∠CDO，可判断△AOD为直角三角形．【解答】(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，CO=CD，∴△OCD是等边三角形；(2)解:△AOD为直角三角形．理由:∵△COD是等边三角形．∴∠ODC=60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠ADC=∠BOC=α，∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CDO=150°﹣60°=90°，于是△AOD是直角三角形．23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．(1)求AC、AD的长；(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】(1)连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得:∠ACD=∠DCB=45°，由同弧所对的圆周角相等可知:△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5，AC的长也是利用勾股定理列式求得；(2)连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得:这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．【解答】解:(1)连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°'，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=45°，∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，∴△ADB是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=BD==5，在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴AC==5，答:AC=5，AD=5；(2)直线PC与⊙O相切，理由是:在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，∴∠BAC=30°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，∵∠ACD=45°，∴∠OCD=45°﹣30°=15°，∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，∵PC=PE，∴∠PCE=∠CEP=75°，∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，∴直线PC与⊙O相切．24．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现:当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出2020(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出2020即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值【解答】解:(1)由题意得，y=700﹣2020﹣45)=﹣20201600；(2)P=(x﹣40)(﹣20201600)=﹣2020+2400x﹣64000=﹣2020﹣60)2+8000，∵x≥45，a=﹣2020，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元．25．如图，已知AB是圆O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点E，∠AEC=30°，OE:AE=2:3，求弦CD的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】因为∠AEC=30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为5cm，进而求得OE=2，然后根据含30°角所对的直角边等于斜边的一半求得OF=1cm，根据勾股定理求得DF的长，然后由垂径定理求出CD的长．【解答】解:过点O作OF⊥CD于F，连接DO，∵AB=10，∴AO=OB=OD=5，∵OE:AE=2:3，∴OE=2cm．∵∠AEC=30°，∴∠OEF=30°，∴OF=OE=1(cm)；∴DF==2，由垂径定理得:CD=2DF=4．26．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M(﹣2，﹣4)，与x轴交于A、B两点，且A(﹣6，0)，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△ABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】(1)根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；(2)易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得△ABC的面积，即可解题；(3)作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，可将△APC的面积转化为△AFP和△CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C 两点间的距离，因此若设设E(x，0)，则可用x来表示△APC的面积，得到关于x 的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．【解答】解:(1)设此函数的解析式为y=a(x+h)2+k，∵函数图象顶点为M(﹣2，﹣4)，∴y=a(x+2)2﹣4，又∵函数图象经过点A(﹣6，0)，∴0=a(﹣6+2)2﹣4解得a=，∴此函数的解析式为y=(x +2)2﹣4，即y=x 2+x ﹣3；(2)∵点C 是函数y=x 2+x ﹣3的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是(0，﹣3)，又当y=0时，有y=x 2+x ﹣3=0，解得x 1=﹣6，x 2=2，∴点B 的坐标是(2，0)，则S △ABC =|AB |•|OC |=×8×3=12；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ． 设E(x ，0)，则P(x ， x 2+x ﹣3)，设直线AC 的解析式为y=kx +b ，∵直线AC 过点A(﹣6，0)，C(0，﹣3)，∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣3，∴点F 的坐标为F(x ，﹣x ﹣3)，则|PF |=﹣x ﹣3﹣(x 2+x ﹣3)=﹣x 2﹣x ，∴S △APC =S △APF +S △CPF=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|=|PF|•|OA|=(﹣x2﹣x)×6=﹣x2﹣x=﹣(x+3)2+，有最大值，∴当x=﹣3时，S△APC此时点P的坐标是P(﹣3，﹣)．2020年2月25日。

2020-2021学年山东省德州市武城县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分，）1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A.个B.个C.个D.个2. 如图，将等腰直角三角形绕点逆时针旋转后得到，若＝，则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.3. 函数的图象过，，，则，，的大小关系是( )A. B. C. D.4. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是A. B. C. D.5. 对于二次函数的图象与性质，下列说法中正确的是A.顶点坐标为B.当时，随的增大而增大C.对称轴是直线D.最小值是6. 已知等腰三角形的三边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值是A. B. C.或 D.或7. 将抛物线向下平移个单位长度后，所得到的抛物线与直线的交点坐标是（）A.或B.或C.或D.或8. 已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.9. 如图，，，，是上的四个点，是的中点，是半径上任意一点．若＝，则的度数不可能是（）A. B. C. D.10. 下列说法正确的个数有（）①一元二次方程的一般形式为＝②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程＝的解是＝．A. B. C. D.11. 宾馆有间房供游客居住，当毎间房每天定价为元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价定为元．则有（）A.B.C.D.12. 二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且，．其中正确的有( )A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分，）13. 已知实数满足，则代数式________．14. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则＝________度．15. 如图，将沿弦折叠，点在上，点在上，若，则________．16. 设、是方程＝的两实数根，则＝________．17. 如图，直线＝与抛物线＝分别交于，两点，那么当时，的取值范围是________．18. 如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是________．三、解答题19. 关于的一元二次方程．求证：方程总有两个实数根；若方程有一个根小于，求的取值范围．20. 阅读第题的解题过程，再解答第题：例：解方程．解：当时，原方程可化为．解得：，（不合题意．舍去）当时，原方程可化为．解得：，（不合题意．舍去）∴原方程的解是，．请参照上例例题的解法，解方程．21. 已知是的直径，弦与相交，＝．（1）如图，求的大小；（2）如图，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的度数．22. 如图，已知：在正方形网格中．（1）请画出绕着逆时针旋转后得到的；（2）请画出关于点对称的；（3）在直线上求作一点，使的周长最小，请画出．23. 如图，在等腰三角形中，＝，以为直径的经过点，点是上一点，连接，，交于点，已知＝．求证：是的切线；连接，，，，若的直径是，则：①当＝________，四边形是矩形；②当＝________，四边形是菱形．24. 如图，利用一面长为米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地，在和边各有一个米宽的小门（不用铁栅栏）设矩形的边长为米，长为米，矩形的面积为平方米，且．（1）若所用铁栅栏的长为米，写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围：（2）在（1）的条件下，求与的函数关系式，并求出怎样围才能使矩形场地的面积为平方米？（3）在（2）的条件下，请直接写出当矩形场地的面积大于平方米时的取值范围．25. 如图，抛物线＝的对称轴为直线＝，抛物线交轴于、两点，与直线＝交于、两点，直线与抛物线的对称轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）点在直线上方的抛物线上运动，若的面积最大，求此时点的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计12小题，每题4分，共计48分，）1.【答案】B【考点】轴对称图形中心对称图形【解答】第一个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形；第五个图形是轴对称图形，是中心对称图形；2.【答案】A【考点】旋转的性质等腰三角形的性质【解答】∵等腰直角绕点逆时针旋转后得到，∵＝，∴＝＝＝，＝＝，∴阴影部分的面积，3.【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：∵二次函数，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．∵点、、都在二次函数的图象上，且点在对称轴上，而三点横坐标离对称轴的距离按由远到近为：、、，∴.故选．4.【答案】B【考点】垂径定理的应用勾股定理的应用【解答】解：取的中点，作于点，取上的球心，连接，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，设，则，∴，，在直角三角形中，，即：，解得：.故选.5.【答案】C【考点】二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质二次函数的最值【解答】解：∵二次函数，∴顶点坐标为，故选项错误；当时，随的增大而减小，故选项错误；对称轴是直线，故选项正确；最小值是，故选项错误.故选．6.【答案】A【考点】三角形三边关系根的判别式一元二次方程的解等腰三角形的性质【解答】解：∵，是关于的一元二次方程的两根，∴，当为底时，则为腰，即，符合题意，. 当为腰时，则中有一个为，另一个为，由于，，不能构成三角形，舍去.故选.7.【答案】D【考点】二次函数图象的平移规律二次函数图象与几何变换二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：将抛物线向下平移个单位长度后，所得到的抛物线为，当该抛物线与直线相交时，，解得：，，则交点坐标为：.故选.8.【答案】C【考点】在数轴上表示不等式的解集解一元一次不等式组关于原点对称的点的坐标【解答】解：∵点关于原点的对称点在第一象限，∴点在第三象限，∴，解不等式①得，，解不等式②得，，所以，的取值范围是，在数轴上表示如下：．故选．9.【答案】D【考点】圆周角定理圆心角、弧、弦的关系【解答】∵是的中点，∴＝＝，又∵是上一点，∴＝．则不符合条件的只有．10.【答案】A【考点】一元二次方程的一般形式垂径定理解一元二次方程-因式分解法圆周角定理【解答】①一元二次方程的一般形式为＝，所以①错误；②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以②错误；③同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；④方程＝的解是＝或＝，所以④错误；11.【答案】B【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质【解答】解：∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，即，所以②正确；∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，∴，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线，∴函数的最大值为，∴当时，，即，所以③正确；∵抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，∴抛物线与轴的另一个交点在的右侧∴当时，，∴，所以④错误；∵，∴，∴，∴，而，∴，即，∵，∴，所以⑤正确．故选．二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分，）13.【答案】【考点】换元法解一元二次方程【解答】解：设，由原方程，得，整理，得，所以或．当时，即，；当时，即时，，方程无解，此种情形不存在．故答案为：．14.【答案】【考点】旋转的性质【解答】∵绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，∴＝＝，＝，＝，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝＝．15.【答案】【考点】圆周角定理【解答】解：设点关于的对称点为，连接，，∵，，∴，∴，故答案为：.16.【答案】【考点】根与系数的关系【解答】∵、是方程＝的两实数根，∴＝，＝，＝，∴＝，∴＝＝＝＝．17.【答案】【考点】二次函数与不等式（组）【解答】因为直线＝与抛物线＝分别交于，两点，所以当时，，18.【答案】【考点】切线的性质一次函数图象上点的坐标特点【解答】如图，作直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小，∵的坐标为，设直线与轴，轴分别交于，，∴，，∴＝，＝，，∴，∴＝，在与中，，∴，∴＝＝，∴．三、解答题19.【答案】证明：∵在方程中，，∴方程总有两个实数根．解：∵，∴，．∵方程有一根小于，∴，解得：，∴的取值范围为．【考点】一元二次方程根的分布根的判别式解一元一次不等式【解答】证明：∵在方程中，，∴方程总有两个实数根．解：∵，∴，．∵方程有一根小于，∴，解得：，∴的取值范围为．20.【答案】解：当，即时，原方程可化为即，解得当，即时，原方程可化为即，解得，（不合题意．舍去）∴原方程的解为，【考点】解一元二次方程-因式分解法【解答】解：当，即时，原方程可化为即，解得当，即时，原方程可化为即，解得，（不合题意．舍去）∴原方程的解为，21.【答案】∵是直径，∴＝，且＝，∴＝，∵＝，∴＝连接，∵是的切线，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴＝，∵，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝＝，∴＝＝∵＝∴＝＝【考点】切线的性质圆周角定理【解答】∵是直径，∴＝，且＝，∴＝，∵＝，∴＝连接，∵是的切线，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴＝，∵，∴＝＝，∵＝，∴＝＝，∴＝＝，∴＝＝∵＝∴＝＝22.【答案】如图，为所作；如图，为所作；如图，为所作．【考点】作图-旋转变换勾股定理轴对称——最短路线问题【解答】如图，为所作；如图，为所作；如图，为所作．23.【答案】证明：如图连接，与同弧，且三点均在圆上，.，三角形为等边三角形.又为直径，，.又，，.在等腰三角形中，，.即为${\odotQ}的切线.,【考点】全等三角形的性质与判定切线的判定菱形的性质【解答】证明：如图连接，与同弧，且三点均在圆上，.，三角形为等边三角形.又为直径，，.又，，.在等腰三角形中，，.即为${\odotQ}的切线.①如图，∵四边形是矩形，∴，∴是的直径，∴点与点重合，在和中，∵，，，∴，∴；故答案为：；②如图，∵四边形是菱形，∴、互相垂直平分，∴，∴，∵，∴.故答案为：．24.【答案】由题意得：＝∴＝∵∴∴∵长为米的墙∴∴∴．＝＝＝∴与的函数关系式为：＝当＝时，有＝解得：＝，＝∵＝∴＝不符合题意，舍去．∴＝＝∴长为，长为米，能使矩形场地的面积为平方米．由（2）可知，关于的开口向下的二次函数∴当时，矩形场地的面积大于平方米．【考点】一元二次方程的应用二次函数的应用【解答】由题意得：＝∴＝∵∴∴∵长为米的墙∴∴∴．＝＝＝∴与的函数关系式为：＝当＝时，有＝解得：＝，＝∵＝∴＝不符合题意，舍去．∴＝＝∴长为，长为米，能使矩形场地的面积为平方米．由（2）可知，关于的开口向下的二次函数∴当时，矩形场地的面积大于平方米．25.【答案】令＝，可得：＝，解得：＝，∴点，∵抛物线＝的对称轴为直线＝，∴＝，即点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：＝；∵点在直线上方的抛物线上运动，∴设点，∵抛物线与直线＝交于、两点，∴，解得：，，∴点，如图，过点作轴交直线于点，点，∴＝＝，∴＝，∴当时，最大，∴点；当＝时，＝＝，∴点，如图，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，联立得，同理可得，，综上所述，符合条件的点的坐标为，，．【考点】二次函数综合题【解答】令＝，可得：＝，解得：＝，∴点，∵抛物线＝的对称轴为直线＝，∴＝，即点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：＝；∵点在直线上方的抛物线上运动，∴设点，∵抛物线与直线＝交于、两点，∴，解得：，，∴点，如图，过点作轴交直线于点，点，∴＝＝，∴＝，∴当时，最大，∴点；当＝时，＝＝，∴点，如图，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，∴直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，直线的解析式为＝，联立得，同理可得，，综上所述，符合条件的点的坐标为，，．11。

山东省德州市2024-2025学年九年级上学期期中数学试模拟试卷一、单选题1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．已知a ，b 是方程210x x --=的两根，则代数式332533a a b b +++的值是（ ）A ．19B ．20C ．14D ．153．抛物线22y x =+可以由抛物线21y x =-平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A ．向上平移3个单位B ．向下平移3个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位4．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，若80BOD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．80︒B ．100︒C ．120︒D ．140︒5．方程22310x x -+=根的符号是（ ）A ．两根一正一负B ．两根都是负数C ．两根都是正数D ．无法确定6．已知二次函数y ＝x 2﹣2x ＋2（其中x 是自变量），当0≤x≤a 时，y 的最大值为2，y 的最小值为1．则a 的值为（ ）A ．a ＝1B ．1≤a ＜2C ．1＜a≤2D ．1≤a≤27．如图，二次函数2y ax c =+的图象与一次函数y kx c =+的图象在第一象限的交点为A ，点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式2ax kx 0-<的解集为（ ）A ．0<x<1B ．-1<x<0C ．x<0或x>1D ．x<-1或x>08．平面直角坐标系内与点(3,4)P 关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(3,4)--C ．(3,4)-D ．(4,3)9．正方形绕着它的中心旋转，要想与原来的图形重合，至少要旋转（ ）A ．360︒B ．200︒C ．180︒D ．90︒10．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x 步，则列出的方程是（ ）A ．()22372x x π+-=B ．223722x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭C ．()22336x x π+-=D ．223362x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭11．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=11cm ，点P 从点A 出发沿AC 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，当它们相距10cm 时所需的时间为（ ）A ．3sB ．4sC ．5sD ．3s 或1.4s12．若方程20ax bx c ++=的两个根是4-和2，那么二次函数2y ax bx c =++的图象的对称轴是直线（ ）A ．2x =-B ．1x =-C ．0x =D ．1x =二、填空题13．函数2k k y kx -=，当k 时，它的图像是开口向下的抛物线．14．若点(),7A m 与点()4,B n -关于原点成中心对称，则m n += ．15．如图，将Rt ABC ∆的斜边AB 绕点A 顺时针旋转()090αα︒︒<<得到AE ，直角边AC 绕点A 逆时针旋转()090ββ︒︒<<得到AF ，连结EF ．若=3AB ，=2AC ，且B αβ+=∠，则=EF ．16．如图，图2是图1的拱形大桥的示意图．桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y 1400=-（x ﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面上，AC ⊥x 轴．若OA ＝20米，则桥面离水面的高度AC 为17．当m 满足 时，方程2410x x m -++=有两个不相等的实数根18．如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A ，(0,2)C ．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B ，C ，顶点为D ．将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA 'B 'C '，记A 'C '的中点E ，连结DE ，线段DE 的长度最大值为 ．三、解答题19．解方程(1)2230x x +-=(2)()()2131x x -=-20．已知，三角形ABC ．(1)请画出三角形ABC 绕点A 逆时针旋转90︒得到的三角形AB C ''，其中B 点与B '点是对应顶点；(2)在（1）的条件下，35BAC ∠=︒，求BAC '∠的度数．21．已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，点D 等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，直接写出DA 2，DB 2，DE 2三者之间的数量关系：________；（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．22．在一次数学社团活动中，小晨同学所在的小组把两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与x 轴交点也相同的二次函数，命名为“和合对称二次函数”，对应图象命名为“和合对称抛物线”，并把两个函数图象上横坐标相同的对应点称之为“和合点”，针对该构想，小展同学用二次函数22y x mx =-+作为其中一个函数（标记该函数图象交x 轴于原点O 及点A ）做了有关研究，请你帮他解答．【特例感知】（1）当2m =时，如图，抛物线2:4L y x x =-+上的点,,,,O B C D A 关于与之对应的“和合对称抛物线”图像L '的“和合点”分别为,,,O B C D ''''，A '．如下表：…O (0,)()1,3B ()2,4C ()3,3D ()__,__A ……()0,0O '()1,6B '-()2,8C '-()3,6D '-()4,0A '…①补全表格；②画图：在图中描出表中对应的“和合点”，再用平滑的曲线依次连接各点，得到“和合对称抛物线”图象L '．【初步探讨】（2）①当1m =-时，若抛物线L 的顶点为点P ，点P 对应的“和合点”为点Q ，则由点O P A 、、、Q 四点所围成的四边形的面积为______；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现与二次函数22y x mx =-+对应的“和合对称抛物线”图象中，存在一条抛物线L '，其顶点的横、纵坐标恰好互为相反数，请求出抛物线L '的解析式．【进阶探究】（3）若抛物线2:2L y x mx =-+及与它对应的“和合对称抛物线”L '与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．23．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，每件销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)当销售价格上涨时，请写出每天的销售量y （件）与销售价格x （元/件）之间的函数关系式；(2)若文具每天盈利为2000元，则销售价格为多少元？(3)如果要求每天的销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元，问当销售价格定为多少时，该文具每天的销售利润最大，最大利润为多少？24．如图，在平面直角坐标系中，点()3,0C ，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，AB AC =，点D 是x 轴上的一动点（点D 不与B 、C 重合），90CAB EAD ∠=∠=︒，AD AE =，连接CE ．(1)如图1，直接写出点A ，B 的坐标；(2)如图2，当点D 在边BC 上时，求证：①BC CE CD =+，②BC CE ⊥；(3)当5CD =时，求点E 坐标．25．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，已知B （-1，0），抛物线的对称轴是直线32x =．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，线段EF 的长度最长？（3）在抛物线是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．。