天津市各地市高考数学 最新联考试题分类汇编(1) 集合

2024天津高考真题数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a >>6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，n ⊂α，则//m nB.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为（）A.6B.33142+ C.2D.33142-第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC ==+uur uu r uu u r λμ，则λμ+=______；若F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =-+有唯一零点，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共575分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.在ABC 中，92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ；（2）求sin A ；（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ；（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中2ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ；（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，11b =，其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS ii b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立，求a 的取值范围；（3）若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x -≤-．参考答案第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，故选：B 2.【答案】C【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3.【答案】A【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A 4.【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5.【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B 6.【答案】C【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C.7.【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A 8.【答案】C【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得1sin θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sinθ=121212::sin :sin :sin 902PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,2PF m F F c ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得m =，则21122PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得：122PF PF a -==a b ===所以双曲线的方程为22128x y -=.故选：C 9.【答案】C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1322314+=+=+=，21221111422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.【答案】7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】))i 2i 527⋅=+-+=-.故答案为：7.11.【答案】20【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可.【详解】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rrr r r r r x T xr x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()630r -=，可得3r =，所以常数项为0363C 20=.故答案为：20.12.【答案】45【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求A 及AF 的方程，从而可求原点到直线AF 的距离.【详解】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ，故12p=即2p =，由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=，故4x =或6x =-（舍），故()4,4A ±，故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=，故原点到直线AF的距离为4455d ==，故答案为：4513.【答案】①.35②.12【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求甲选到A 的概率；采用列举法或者条件概率公式可求乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率.【详解】解法一：列举法从五个活动中选三个的情况有：,,,,,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE ,共10种情况，其中甲选到A 有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，则甲选到A 得概率为：63105P ==；乙选A 活动有6种可能性：,,,,,ABC ABD ABE ACD ACE ADE ，其中再选则B 有3种可能性：,,ABC ABD ABE ，故乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为31=62.解法二：设甲、乙选到A 为事件M ，乙选到B 为事件N ，则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==；乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为：35；1214.【答案】①.43②.518-【分析】解法一：以{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得λμ+，设BF BE k =uu u r uur ，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的运算律求AF DG ⋅ 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得λμ+，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，求,AF DG uu u r uuu r ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅ 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE =，即23CE BA =uur uu r ，则13BE BC CE BA BC =+=+uu u r uur u uu ur r uu u r ，可得1,13λμ==，所以43λμ+=；由题意可知：1,0BC BA BA BC ==⋅=，因为F 为线段BE 上的动点，设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DG k BA k BC BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为[]0,1k ∈，可知：当1k =时，AF DG ⋅取到最小值518-；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()()11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，因为(),BE BA BC λμλμ=+=- ，则131λμ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，所以43λμ+=；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦上，设()1,3,,03F a a a ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，且G 为AF中点，则13,22a G a -⎛⎫-⎪⎝⎭，可得()131,3,,122a AF a a DG a +⎛⎫=+-=--⎪⎝⎭，则()()22132331522510a AF DG a a a +⎛⎫⎛⎫⋅=+---=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，且1,03a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当13a =-时，AF DG ⋅ 取到最小值为518-；故答案为：43；518-.15.【答案】()(1-⋃【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数()g x =与()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则两函数图象有唯一交点，分0a =、0a >与0a <进行讨论，当0a >时，计算函数定义域可得x a ≥或0x ≤，计算可得(]0,2a ∈时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当(]0,2a ∈时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当0a <时，按同一方式讨论即可得.【详解】令()0f x =，即21ax =--，由题可得20x ax -≥，当0a =时，x ∈R，有211=--=，则22x =±，不符合要求，舍去；当0a >时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得x a ≥或0x ≤，当0x ≤时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210axax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =时，即410x +=，即14x =-，当()0,2a ∈，12x a =-+或102x a =>-（正值舍去），当()2,a ∈+∞时，102x a =-<+或102x a=<-，有两解，舍去，即当(]0,2a ∈时，210ax -+=在0x ≤时有唯一解，则当(]0,2a ∈时，210ax --+=在x a ≥时需无解，当(]0,2a ∈，且x a ≥时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在12,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在23,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，令()g x y ==，即2222142a x y a a ⎛⎫- ⎪-⎭=⎝，故x a ≥时，()g x 图象为双曲线22214y a -=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得，由()222214y x a a-=的渐近线方程为22a y x x a =±=±，即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其斜率为2，又(]0,2a ∈，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a +∞上单调递增，故有13a aa a ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1a <<1a <<符合要求；当a<0时，则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩，即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点，由20x ax -≥，可得0x ≥或x a ≤，当0x ≥时，则20ax -<，则211ax ax =--=-，即()22441x ax ax -=-，整理得()()()2242121210a xax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦，当2a =-时，即410x -=，即14x =，当()2,0a ∈-，102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-，当(),2a ∈-∞时，102x a =->+或102x a=>-，有两解，舍去，即当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在0x ≥时有唯一解，则当[)2,0a ∈-时，210ax --+=在x a ≤时需无解，当[)2,0a ∈-，且x a ≤时，由函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称，令()0h x =，可得1x a =或3x a =，且函数()h x 在21,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，同理可得：x a ≤时，()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得，()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其斜率为2-，又[)2,0a ∈-，即()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-，令()0g x ==，可得x a =或0x =（舍去），且函数()g x 在(),a -∞上单调递减，故有13a aa a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得1a <<-，故1a <<-符合要求；综上所述，()(1a ∈- .故答案为：()(1-⋃.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数()f x 的零点问题转化为函数()g x =与函数()23,21,ax x ah x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.【答案】（1）4（2）4（3）5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【小问1详解】设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.【小问2详解】法一：因为B为三角形内角，所以57sin 16B ===，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin 5716A =，解得sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==【小问3详解】法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知57sin 16B =，因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯.法二：7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B为三角形内角，所以sin 16B ==，所以()91573757cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯17.【答案】（1）证明见解析（2）11（3）11【分析】（1）取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得1N//D MP ，结合线面平行判定定理即可得证；（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.【小问1详解】取1CB 中点P ，连接NP ，MP ，由N 是11B C 的中点，故1//NP CC ，且112NP CC =，由M 是1DD 的中点，故1111122D M DD CC ==，且11//D M CC ，则有1//D M NP 、1D M NP =，故四边形1D MPN 是平行四边形，故1//D N MP ，又MP ⊂平面1CB M ，1D N ⊄平面1CB M ，故1//D N 平面1CB M ；【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C ，则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB =，设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z =、()222,,n x y z =，则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，分别取121x x ==，则有13y =、11z =、21y =，20z =，即()1,3,1m = 、()1,1,0n =，则222cos ,11m nm n m n ⋅==⋅，故平面1CB M 与平面11BB CC的夹角余弦值为11；【小问3详解】由()10,0,2BB = ，平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =，则有111BB m m ⋅==，即点B 到平面1CB M的距离为11.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx =-，()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤ 可求t 的范围.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =，故2a c =，b =，其中c 为半焦距，所以()()2,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，故12222ABC S c c =⨯⨯=△，故c =a =，3b =，故椭圆方程为：221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx =-，设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=，故()222Δ144108343245760k kk=++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k +==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=-，故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k kk t t kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+，因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立，故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎫+-≤⎪⎪⎭⎩，解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -，此时需33t -≤≤，两者结合可得332t -≤≤.综上，存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解；②()131419nn S ii n b=-+=∑【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为0q >，根据题意结合等比数列通项公式求q ，再结合等比数列求和公式分析求解；（2）①根据题意分析可知12,1k k n a b k -==+，()121n k k b -=-，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑，再结合裂项相消法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >，因为1231,1a S a ==-，即1231a a a +=-，可得211q q +=-，整理得220q q --=，解得2q =或1q =-（舍去），所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i）由（1）可知12n n a -=，且N*,2k k ∈≥，当124kk n a +=≥=时，则111221111k kk k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩，即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+，()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-，可得()()()()1112112122120kn k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-，当且仅当2k =时，等号成立，所以1n k n b a b -≥⋅；（ii）由（1）可知：1211nn n S a +=-=-，若1n =，则111,1S b ==；若2n ≥，则112k k k a a -+-=，当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列，可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k kk k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑，所以()()()232113141115424845431434499nn S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑，且1n =，符合上式，综上所述：()131419nn S ii n b=-+=∑.【点睛】关键点点睛：1.分析可知当1221k k i -<≤-时，12i i b b k --=，可知{}i b 为等差数列；2.根据等差数列求和分析可得()()1211213143449k k k k i i b k k ---=⎡⎤=---⎣⎦∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a =，再证明2a =时条件满足；（3）先确定()f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【小问1详解】由于()ln f x x x =，故()ln 1f x x ='+.所以()10f =，()11f '=，所以所求的切线经过()1,0，且斜率为1，故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--，则()111t h t t t'-=-=，从而当01t <<时()0h t '<，当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增，这就说明()()1h t h ≥，即1ln t t -≥，且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--，则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫⎫--=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+的取值范围是()0,∞+，所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥.一方面，若对任意()0,t ∞∈+，都有()0g t ≥，则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭，取2t =，得01a ≤-，故10a ≥>.再取t =，得2022a a a ≤--=--=-，所以2a =.另一方面，若2a =，则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论：对0a b <<，有()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.证明：前面已经证明不等式1ln t t -≥，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---，且1ln ln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>+=+----，所以ln ln ln 1ln 1b b a aa b b a -+<<+-，即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+，可知当10e x <<时()0f x '<，当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x ≤≤<时，有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<情况二：当1210ex x <≤≤时，有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，设()ln x x x c c ϕ=-()ln 1x x ϕ=+'由于()x ϕ'单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c ϕ⎛⎫⎪=++<+=-+= ⎪⎝⎭'，且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭，2c x >2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln 1ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ，再结合()x ϕ'单调递增，即知00x x <<时()0x ϕ'<，0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减，在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时，有()()0x c ϕϕ≤=；②当00x x <<时，由于112221e e f f c⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭，故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201cx q <<->，可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c qc ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减，即知对00x x <<都有()0x ϕ<；综合①②可知对任意0x c <≤，都有()0x ϕ≤，即()ln ln 0x x x c c ϕ=-≤.根据10,ec ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性，取2c x =，1x x =，就得到1122ln ln 0x x x x -≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三：当12101ex x <≤≤<时，根据情况一和情况二的讨论，可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性，知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合()f x 的单调性进行分类讨论.。

参考答案2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.B2.C3.A4.B5.B6.C7.A8.C9.C第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.75i -11.20 12.45##0.813. ①. 35 ②. 1214. ①. 43 ②. 518- 15.()(3,13--⋃三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（1）4（2）74（3）576417.（1）证明见解析（2）2211（3）21118.（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，使得0TP TQ ⋅≤恒成立. 19.（1）21n n S =- （2）①证明见详解；②()131419n n S i i n b =-+=∑20.（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析。

2023年天津市七校联考高考数学质检试卷（一）1. 集合，，则( )A. B. C. D.2. 若x，，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设函数，则函数的图象可能为( )A. B.C. D.4. 某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图将频率视为概率，则下列说法正确的是( )A. 该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少B. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为C. 估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16D. 估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为155. 已知，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.6. 已知，且，则( )A. 2B. 4C. 6D. 97. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为( )A. B. C. D.8. 已知双曲线的焦点为，，抛物线的准线与交于M，N两点，且为正三角形，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9. 若函数在区间内没有最值，有下面四个说法( )①函数的最小正周期可能为；②的取值范围是；③当取最大值时，是函数的一条对称轴；④当取最大值，是函数的一个对称中心.以上四个说法中，正确的个数是( )A. lB. 2C. 3D. 410. 若复数z满足是虚数单位，则______.11.已知的展开式中的系数是，则______.12. 已知圆与圆外切，此时直线l：被圆所截的弦长______.13. 为了组建一支志愿者队伍，欲从3名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人至少有一名男志愿者”的前提下“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是______ ，若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数，则______ .14.在中，，，，，则______，若动点F在线段AC上，则的最小值为______.15. 已知函数是定义域为R的偶函数，当时，若关于x的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是______ .16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知，求；求a，c的值；求的值.17. 如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，，，，求证：平面BCE；求平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值.线段CE上是否存在点G，使得平面BCF？请说明理由.18. 已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比不为1的等比数列，且满足，，求数列，的通项公式；求；令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有19. 已知椭圆，若椭圆的短轴长为且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点.求椭圆方程；求面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.20. 已知函数，讨论的单调区间；当时，令①证明：当时，；②若数列满足，，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合，或，又，故选：利用集合的基本运算求解．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：若x，，则“”推不出“”，如：，，若“”也推不出“”，如：，，故“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：根据充分必要条件的对于分别判断其充分性和必要性即可．本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是一道基础题．3.【答案】C【解析】解：函数的定义域为，由，得为偶函数，排除A，B；又，排除故选：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，再求出，则答案可求．本题考查函数的图象与图象变换，考查函数奇偶性的应用，是中档题．4.【答案】B【解析】解：该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少，A错误；估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为，B 正确；，，中位数落在区间设中位数为x，则：，解得，C错误；，D错误．故选：根据频率分布直方图可看出落在区间内的最少，从而判断A错误；可求出锻炼天数超过15天的频率，从而估计出概率，从而判断B的正误；根据中位数的计算方法可求出中位数，从而判断C的正误；根据平均数的计算方法即可求出锻炼天数的平均数，从而判断D的正误．本题考查了对频率分布直方图的认识，根据频率分布直方图求样本平均数和中位数的方法，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为，，，所以故选：根据指数函数和对数函数的性质可知，，由此可得解．本题考查实数的大小比较，考查函数性质的运用，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为，则，，所以，所以，又，所以故选：先利用指数式与对数式的互化，表示出x，y，然后利用换底公式何对数式的定义将，转化为，求解即可．本题考查了指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：如图，底面正方形ABCD的对角线相交于点O，则平面ABCD，易知，，，故选：作出正四棱锥的图形，利用体积公式直接求解即可．本题考查椎体体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：抛物线的准线方程为，抛物线的准线与交于M，N两点，为双曲线的通径，通径长，又为正三角形，，，，，又，解得故选：根据双曲线的几何性质，抛物线的几何性质，正三角形的性质，求解即可．本题考查双曲线的几何性质，抛物线的几何性质和正三角形的性质，考查了方程思想，化归转化思想，属中档题．9.【答案】B【解析】解：当时，，因为在区间内没有最值，所以，所以，所以所以在区间内最多有一个最值，所以，解得，或，解得，即或，故②错误；当时，，所以，故①正确；当取最大值时，因为，所以是函数的一条对称轴，故③正确；因为，故④错误．故选：由题意可求得或，再代入逐一判断即可．本题考查了三角函数的性质，难点在于得出的范围，属于中档题．10.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．11.【答案】2【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以的系数为，解得，故答案为：求出展开式的通项公式，令x的指数为3建立方程，由此即可求出a的值．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：根据题意，圆：，其圆心，半径，圆：，即，必有，其圆心，半径，若两圆外切，则有，即，解可得，此时圆的方程为：，圆心，半径，圆心到直线l：的距离，则直线l被圆所截的弦长，故答案为：根据题意，求出两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得，代入数据计算可得m的值，即可得圆的方程，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆的位置关系以及弦长的计算，属于基础题．13.【答案】【解析】解：设“抽取的3人至少有一名男志愿者”为事件A，“抽取的3人中全是男志愿者”为事件B，则，，故，由题意可知，，则故答案为：；根据已知条件，结合条件概率公式，以及超几何分布的期望公式，即可求解．本题主要考查条件概率公式，以及超几何分布的期望公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由已知有D在AB延长线上，且，，且，，由已知有，代入可得：，以BC中点D点建立直角坐标系，则，，设，，故，，故，故当时取最小值，最小值为故答案为：；首先将转化为，直接求出，再建系表示D，E，F坐标利用公式求解即可．本题主要考查平面向量数量积公式及范围问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：作出函数的图象如图：则在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值要使关于x的方程，a，有且只有6个不同实数根，设，则当，方程，有0个根，当，方程，有1个根，当或，方程，有2个根，当，方程，有4个根，当，方程，有0个根．则必有两个根、，则有两种情况符合题意：①，且，此时，则；②此时同理可得，综上可得a的范围是故答案为：根据函数的奇偶性作出函数的图象，利用换元法判断函数的根的个数，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查分段函数的应用，利用换元法结合函数奇偶性的对称性，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．16.【答案】解：由正弦定理及知，，所以，因为，所以由知，，因为，所以，所以，即①，由余弦定理知，，所以，即②，又，所以由①②解得，，因为，所以，即，因为，所以，所以【解析】利用正弦定理化边为角，并结合两角和的正弦公式，得解由，可得的值，再结合三角形的面积公式与余弦定理，得关于a和c的方程组，解之即可；将所得结果代入已知条件中，求得的值，从而知的值，再由两角差的正弦公式，展开运算，得解．本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】证明：因为，且，所以四边形CDFE为平行四边形，所以，因为平面BCE，平面BCE，所以平面BCE；解：在平面ABEF内，过A作，因为平面平面ABEF，平面平面，又平面ABEF，，所以平面ABCD，所以，，，如图建立空间直角坐标系由题意得，，，，，，所以，，设平面BCF的法向量为，则，即，令，则，，所以，平面ABF的一个法向量为，则，所以平面CBF和平面BFA的夹角的余弦值为；解：线段CE上不存在点G，使得平面BCF，理由如下：设平面ACE的法向量为，所以，即，令，则，，所以，因为，所以平面ACE与平面BCF不可能垂直，从而线段CE上不存在点G，使得平面【解析】先证明四边形CDFE为平行四边形，从而得到，再利用线面平行的判定定理证明即可；在平面ABEF内，过A作，证明，，，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面BCF的法向量，由向量的夹角公式求解即可；利用待定系数法求出平面ACE的法向量，利用向量垂直的坐标表示，证明平面ACE与平面BCF不可能垂直，即可得到答案．本题考查了线面平行的判定定理的应用，二面角的求解，线面垂直的判定以及面面垂直的性质定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18.【答案】解：设数列的公差为d，因为数列是等比数列，所以，所以，所以，解得或0，当时，数列，均是常数列，与数列的公比不为1相矛盾，所以，所以，所以，，所以数列的公比为2，所以解：…，设…，…，则…，两式相减得，…，所以，同理可得，，所以证明：，所以…，因为，所以随着n的增大而增大，所以，所以，得证．【解析】结合等差数列的通项公式与等比中项性质，求得数列的公差d，进而得与；结合错位相减法与分组求和法，即可得解；采用裂项求和法，可得，再根据的单调性，得证．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与性质，错位相减法，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意得，解得，将代入椭圆方程，得到，故，故椭圆方程为；当直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，不合要求，舍去；当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，得，设，，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故面积的最大值为，此时直线PQ的方程为或；在x轴上存在点使得恒成立，理由如下：因为，所以，即，整理得，即，所以，则，解得，故在x轴上存在点，使得恒成立．【解析】由短轴长求出，将代入椭圆方程求出，得到答案；直线PQ的斜率为0时，此时O，P，Q三点共线，舍去，当直线PQ的斜率不为0时，设出直线PQ的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出的面积为，利用基本不等式求出最值，并得到此时直线PQ的方程；由角相等得到，转化为，在第二问的基础上，代入化简得到答案．本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于难题．20.【答案】解：函数定义域为R，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，令，解得，令，解得，即在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，，①证明：当时，，令，因为恒成立，所以在上单调递减，，因此，成立，所以当时，②由①可知，当时，，由得，即，由，可得，而，又，即，则，由于，只需证，又当时，，令恒成立，则在上单调递增，，则当时，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立，所以原不等式得证．【解析】求出函数的导函数，再讨论的符号即可计算作答．①等价变形所证不等式，构造函数，利用导数探讨单调性即可；②由已知证明，由①分析探讨，等价转化，再构造函数，利用递推变换即可作答．本题考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题．。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =,则A B = ()A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}12.设,a b ∈R ,则“33a b =”是“33a b =”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列图中,相关性系数最大的是()A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是()A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x x y x -=+ D.||sin 4e x x x y +=5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，,则a b c ，，的大小关系为()A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>6.若,m n 为两条不同的直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是()A.若//m α,n ⊂α,则//m nB.若//,//m n αα,则//m nC.若//,αα⊥m n ,则m n⊥ D.若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是()A.32-B.32-C.0D.328.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点,且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形,则双曲线的方程为()9.一个五面体ABC DEF -．已知AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．并已知123AD BE CF ===，，．则该五面体的体积为()A.6B.33142+ C.32D.33142-第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分．试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分．10.已知i 是虚数单位,复数))i 2i ⋅=______．11.在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为______．12.22(1)25-+=x y 的圆心与抛物线22(0)y px p =>的焦点F 重合,A 为两曲线的交点,则原点到直线AF 的距离为______．13.,,,,A B C D E 五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加.（1）甲选到A 的概率为______;已知乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为______．14.在边长为1的正方形ABCD 中,点E 为线段CD 的三等分点,1,2CE DE BE BA BC ==+uur uur uuu r λμ,则λμ+=______;若F 为线段BE 上的动点,G 为AF 中点,则AF DG ⋅的最小值为______．15.若函数()21f x ax =--+有唯一零点,则a 的取值范围为______．三、解答题:本大题共5小题,共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.在ABC 中,92cos 5163a Bbc ===，，．（1）求a ;（2）求sin A ;（3）求()cos 2B A -．17.已知四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,1A A ⊥平面ABCD ,AD AB ⊥,其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点,M 是1DD 的中点．（1）求证1//D N 平面1CB M ;（2）求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值;（3）求点B 到平面1CB M 的距离．18.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ,下顶点为B C ，是线段OB 的中点,其中ABC S =△．（1）求椭圆方程．（2）过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围,若不存在请说明理由．19.已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．（1）求数列{}n a 前n 项和n S ;（2）设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩,11b =,其中k 是大于1的正整数．（ⅰ）当1k n a +=时,求证:1n k n b a b -≥⋅;（ⅱ）求1nS i i b =∑．20.设函数()ln f x x x =．（1）求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程;（2）若()(f x a x ≥-在()0,x ∞∈+时恒成立,求a 的取值范围;（3）若()12,0,1x x ∈,证明()()121212f x f x x x -≤-．2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学答案解析一、选择题．1.【答案】B【解析】因为集合{}1,2,3,4A =,{}2,3,4,5B =所以{}2,3,4A B = 故选:B 2.【答案】C【解析】根据立方的性质和指数函数的性质,33a b =和33a b =都当且仅当a b =,所以二者互为充要条件.故选:C.3.【答案】A【解析】观察4幅图可知,A 图散点分布比较集中,且大体接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关,r 值相比于其他3图更接近1.故选:A 4.【答案】B【解析】对A,设()22e 1x x f x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称,则()h x 不是偶函数,故C 错误;对D,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141eϕ---=则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误.故选:B.5.【答案】B【解析】因为 4.2x y =在R 上递增,且0.300.3-<<所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<所以0.30.30 4.21 4.2-<<<,即01a b <<<因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增,且00.21<<所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=,即0c <所以b a c >>故选:B 6.【答案】C【解析】对于A,若//m α,n ⊂α,则,m n 平行或异面,故A 错误.对于B,若//,//m n αα,则,m n 平行或异面或相交,故B 错误.对于C,//,αα⊥m n ,过m 作平面β,使得s βα= 因为m β⊂,故//m s ,而s α⊂,故n s ⊥,故m n ⊥,故C 正确.对于D,若//,αα⊥m n ,则m 与n 相交或异面,故D 错误.故选:C.7.【答案】A【解析】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭,由2ππ3T ω==得23ω=即()sin2f x x =-,当,126⎡⎤∈-⎢⎣⎦ππx 时,ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦画出()sin2f x x =-图象,如下图由图可知,()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减所以,当π6x =时,()min πsin 32f x =-=-故选:A 8.【答案】C【解析】如下图:由题可知,点P 必落在第四象限,1290F PF ∠=︒,设2PF m=211122,PF F PF F θθ∠=∠=,由21tan 2PF k θ==,求得12sin 5θ=因为1290F PF ∠=︒,所以121PF PF k k ⋅=-,求得112PF k =-,即21tan 2θ=21sin 5θ=由正弦定理可得:121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =则21122,2,210,10PF PF F F c c =====由双曲线第一定义可得:1222PF PF a -==222,8a b c a ==-=所以双曲线的方程为22128x y -=.故选:C 9.【答案】C【解析】用一个完全相同的五面体HIJ LMN -（顶点与五面体ABC DEF -一一对应）与该五面体相嵌,使得,D N ;,E M ;,F L 重合因为AD BE CF ∥∥,且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===则形成的新组合体为一个三棱柱该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形,侧棱长为1322314+=+=+=2132211311422ABC DEF ABC HIJ V V --==⨯⨯⨯⨯=.故选:C.第Ⅱ卷二、填空题．10.【答案】7【解析】))i 2i 527+⋅=+-+=-.故答案为:7.11.【答案】20【解析】因为63333x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()63636216633C 3C ,0,1,,63rr r r r r r x T x r x ---+⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()630r -=,可得3r =所以常数项为0363C 20=.故答案为:20.12.【答案】45【解析】圆22(1)25-+=x y 的圆心为()1,0F ,故12p =即2p =由()2221254x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可得22240x x +-=,故4x =或6x =-（舍）故()4,4A ±,故直线()4:13AF y x =±-即4340x y --=或4340x y +-=故原点到直线AF 的距离为4455d ==故答案为:4513.【答案】①.35②.12【解析】设甲、乙选到A 为事件M ,乙选到B 为事件N则甲选到A 的概率为()2435C 3C 5P M ==;乙选了A 活动,他再选择B 活动的概率为()()()133524351C 2C C P MN C P N M P M ===故答案为:35;1214.【答案】①.43②.518-【解析】因为12CE DE =,即23CE BA =uur uur ,则13BE BC CE BA BC =+=+uuu r uur u uu ur r uuu r 可得1,13λμ==,所以43λμ+=;由题意可知:1,0BC BA BA BC ==⋅= 因为F 为线段BE 上的动点,设[]1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈ 则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭又因为G 为AF 中点,则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得11111113232AF DG k BA k BC k BA BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22111563112329510k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为[]0,1k ∈,可知:当1k =时,AF DG ⋅ 取到最小值518-;15.【答案】()(1- 【解析】令()0f x =,即21ax =--由题可得20x ax -≥当0a =时,x ∈R ,有211=--=,则2x =±,不符合要求,舍去;当0a >时,则23,2121,ax x a ax ax x a ⎧-≥⎪⎪=--=⎨⎪-<⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得x a ≥或0x ≤当0x ≤时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得)()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =时,即410x +=,即14x =-当()0,2a ∈,12x a =-+或102x a =>-（正值舍去）当()2,a ∈+∞时,102x a =-<+或102x a=<-,有两解,舍去即当(]0,2a ∈时,210ax -+=在0x ≤时有唯一解则当(]0,2a ∈时,210ax -+=在x a ≥时需无解当(]0,2a ∈,且x a ≥时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在12,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在23,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增令()g x y ==,即2222142a x y a a⎛⎫- ⎪-⎭=⎝故x a ≥时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a-=右支的x 轴上方部分向右平移2a 所得由()222214y x a a -=的渐近线方程为22a y x xa =±=±即()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,其斜率为2又(]0,2a ∈,即()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a ≥时的斜率(]0,2a ∈令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a +∞上单调递增故有13aaaa ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得1a <<,故1a <<符合要求;当a<0时,则23,2121,ax x aax ax x a⎧-≤⎪⎪=--=⎨⎪->⎪⎩即函数()g x =与函数()23,21,ax x a h x ax x a⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩有唯一交点由20x ax -≥,可得0x ≥或x a ≤当0x ≥时,则20ax -<,则211ax ax=--=-即()22441x ax ax -=-,整理得()()()2242121210a x ax a x a x ⎡⎤⎡⎤---=++--=⎣⎦⎣⎦当2a =-时,即410x -=,即14x =当()2,0a ∈-,102x a =-<+（负值舍去）或102x a =-当(),2a ∈-∞时,102x a =->+或102x a =>-,有两解,舍去即当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在0x ≥时有唯一解则当[)2,0a ∈-时,210ax --+=在x a ≤时需无解当[)2,0a ∈-,且x a ≤时由函数()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩关于2x a =对称,令()0h x =,可得1x a =或3x a =且函数()h x 在21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在32,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增同理可得:x a ≤时,()g x 图象为双曲线()222214y x a a -=左支的x 轴上方部分向左平移2a 所得()g x 部分的渐近线方程为22a y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其斜率为2-又[)2,0a ∈-,即()23,21,ax x a h x ax x a ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩在2x a <时的斜率[)2,0a ∈-令()0g x ==,可得x a =或0x =（舍去）且函数()g x 在(),a -∞上单调递减故有13a a a a⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩,解得1a <<-,故1a <<-符合要求;综上所述,()(11,a ∈- .故答案为:()(1-⋃.三、解答题.16.【答案】（1）4（2）74（3）5764【小问1详解】设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B=+-即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =（负舍）;则4,6a c ==.【小问2详解】因为B 为三角形内角,所以57sin 16B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin 5716A =,解得7sin 4A =【小问3详解】因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由（2）法一知57sin 16B =因为a b <,则A B <,所以3cos 4A ==则7337sin 22sin cos 2448A A A ==⨯⨯=,2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()19573757cos 2cos cos 2sin sin 281616864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.17.【答案】（1）证明见解析（2）22211（3）21111【小问1详解】取1CB 中点P ,连接NP ,MP由N 是11B C 的中点,故1//NP CC ,且112NP CC =由M 是1DD 的中点,故1111122D M DD CC ==,且11//D M CC 则有1//D M NP 、1D M NP=故四边形1D MPN 是平行四边形,故1//D N MP又MP ⊂平面1CB M ,1D N ⊄平面1CB M故1//D N 平面1CB M ;【小问2详解】以A为原点建立如图所示空间直角坐标系有()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,0,2B 、()0,1,1M 、()1,1,0C 、()11,1,2C 则有()11,1,2CB =- 、()1,0,1CM =- 、()10,0,2BB = 设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为()111,,m x y z = 、()222,,n x y z = 则有111111200m CB x y z m CM x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,1222122020n CB x y z n BB z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 分别取121x x ==,则有13y =、11z =、21y =,20z =即()1,3,1m = 、()1,1,0n =则cos ,11m n m n m n ⋅===⋅ 故平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值为22211;【小问3详解】由()10,0,2BB = ,平面1CB M 的法向量为()1,3,1m =则有111BB m m ⋅== 即点B 到平面1CB M 的距离为21111.18.【答案】（1）221129x y +=（2）存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.【小问1详解】因为椭圆的离心率为12e =,故2a c =,b =,其中c 为半焦距所以()()32,0,0,,0,2A c B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,故13332222ABC S c c =⨯⨯=△故c =所以a =,3b =,故椭圆方程为:221129x y +=.【小问2详解】若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在,则可设该直线方程为:32y kx =-设()()()1122,,,,0,P x y Q x y T t 由22343632x y y kx ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可得()223412270k x kx +--=故()222Δ144108343245760k k k =++=+>且1212221227,,3434k x x x x k k+==-++而()()1122,,,TP x y t TQ x y t =-=- 故()()121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t ⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()()22121233122k x x k t x x t ⎛⎫⎛⎫=+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222731231342342k k k t t k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯--+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222327271812332234k k k t t t k k ⎛⎫----++++ ⎪⎝⎭=+()22223321245327234t t k t k ⎛⎫⎡⎤+--++- ⎪⎣⎦⎝⎭=+因为0TP TQ ⋅≤ 恒成立,故()223212450332702t t t ⎧+--≤⎪⎨⎛⎫+-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩,解得332t -≤≤.若过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在,则()()0,3,0,3P Q -或()()0,3,0,3P Q -此时需33t -≤≤,两者结合可得332t ≤≤.综上,存在()30,32T t t ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,使得0TP TQ ⋅≤ 恒成立.19.【答案】（1）21n n S =-（2）①证明见详解;②()131419n n S i i n b =-+=∑【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为0q >因为1231,1a S a ==-,即1231a a a +=-可得211q q +=-,整理得220q q --=,解得2q =或1q =-（舍去）所以122112nn n S -==--.【小问2详解】（i ）由（1）可知12n n a -=,且N*,2k k ∈≥当124k k n a +=≥=时,则111221111k k k k k a n n a a -++⎧=<-=-⎨-=-<⎩,即11k k a n a +<-<可知12,1k k n a b k -==+()()()1111222121k k k n a k k b b a a k k k k --+=+--⋅=+-=-可得()()()()1112112122120k n k n k k k k k k k k b k a b ---=--+=--≥--=-⋅≥-当且仅当2k =时,等号成立所以1n k n b a b -≥⋅;（ii ）由（1）可知:1211n n n S a +=-=-若1n =,则111,1S b ==;若2n ≥,则112k k k a a -+-=当1221k k i -<≤-时,12i i b b k --=可知{}i b 为等差数列可得()()()111211112221122431434429k k k k k k k k i i b k k k k k -------=-⎡⎤=⋅+=⋅=---⎣⎦∑所以()()()232113141115424845431434499n n S n n i i n b n n -=-+⎡⎤=+⨯-⨯+⨯-⨯+⋅⋅⋅+---=⎣⎦∑且1n =,符合上式,综上所述:()131419n n S i i n b =-+=∑.20.【答案】（1）1y x =-（2）{}2（3）证明过程见解析【小问1详解】由于()ln f x x x =,故()ln 1f x x ='+.所以()10f =,()11f '=,所以所求的切线经过()1,0,且斜率为1,故其方程为1y x =-.【小问2详解】设()1ln h t t t =--,则()111t h t t t'-=-=,从而当01t <<时()0h t '<,当1t >时()0h t '>.所以()h t 在(]0,1上递减,在[)1,+∞上递增,这就说明()()1h t h ≥,即1ln t t -≥,且等号成立当且仅当1t =.设()()12ln g t a t t =--,则()((ln 12ln f x a x x x a x x a x g ⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎭⎝.当()0,x ∞∈+时的取值范围是()0,∞+,所以命题等价于对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥.一方面,若对任意()0,t ∞∈+,都有()0g t ≥,则对()0,t ∞∈+有()()()()112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t ⎛⎫≤=--=-+≤-+-=+-- ⎪⎝⎭取2t =,得01a ≤-,故10a ≥>.再取t =,得2022a a a ≤--=--=-,所以2a =.另一方面,若2a =,则对任意()0,t ∞∈+都有()()()212ln 20g t t t h t =--=≥,满足条件.综合以上两个方面,知a 的取值范围是{}2.【小问3详解】先证明一个结论:对0a b <<,有()()ln 1ln 1f b f a a b b a -+<<+-.证明:前面已经证明不等式1ln t t -≥,故ln ln ln ln ln ln ln 1ln 1b b b a a a b a a a b b b b b a b a a--=+=+<+---且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭=+=+>=+----所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a -+<<+-,即()()ln 1ln 1f b f a a b b a-+<<+-.由()ln 1f x x ='+,可知当10e x <<时()0f x '<,当1ex >时()0f x '>.所以()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,在1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增.不妨设12x x ≤,下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一:当1211e x x ≤≤<时,有()()()()()()122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x -=-<+-<-<结论成立;情况二:当1210ex x <≤≤时,有()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-.对任意的10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦,设()ln ln x x x c c ϕ=--则()ln 1x x ϕ=++'由于()x ϕ'单调递增,且有1111111ln 1ln 11102e 2e e c c ϕ⎛⎫ ⎪=++<+=-= ⎪⎝⎭'且当2124ln 1x c c ≥-⎛⎫- ⎪⎝⎭,2c x >时,2ln 1c ≥-可知()2ln 1ln ln 102c x x c ϕ⎛⎫=++>++=-≥ ⎪⎝⎭'.所以()x ϕ'在()0,c 上存在零点0x ,再结合()x ϕ'单调递增,即知00x x <<时()0x ϕ'<,0x x c <<时()0x ϕ'>.故()x ϕ在(]00,x 上递减,在[]0,x c 上递增.①当0x x c ≤≤时,有()()0x c ϕϕ≤=;②当00x x <<时,112221e e f f c ⎛⎫=-≤-=< ⎪⎝⎭,故我们可以取1,1q c ⎫∈⎪⎭.从而当201c x q <<-时,>可得()1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c ϕ⎫=--<--<--=-<⎪⎭.再根据()x ϕ在(]00,x 上递减,即知对00x x <<都有()0x ϕ<;综合①②可知对任意0x c <≤,都有()0x ϕ≤,即()ln ln 0x x x c c ϕ=--.根据10,e c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦和0x c <≤的任意性,取2c x =,1x x =,就得到1122ln ln 0x x x x --≤.所以()()()()12121122ln ln f x f x f x f x x x x x -=-=-≤.情况三:当12101ex x <≤≤<时,根据情况一和情况二的讨论,可得()11e f x f ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭,()21e f f x ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭而根据()f x 的单调性,知()()()1211e f x f x f x f ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭或()()()1221e f x f x f f x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭.故一定有()()12f x f x -≤成立.综上,结论成立.。

天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（1） 集合一、选择题:1.（天津市耀华中学2020届高三第一次月考文）设集合={|||<1},={|=2}M x x N y y x,x M ∈，则集合()R M N I ð等于A 、(-∞,-1)B 、(-l ，1)C 、(,1][1,)-∞-+∞UD 、(1，+∞)3.（天津市天津一中2020届高三第二次月考文）已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =I （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x << 【答案】B【解析】{21}{1}x A y y y y ==+=>，15{||1||2|2}{}22B x x x x x =-+-<=<<，所以{1}U A y y =≤ð，所以1(){1}2U A B x x =<≤I ð，选B. 4.（天津市新华中学2020届高三第二次月考文）已知集合{}92==x x M ，{}33<≤-∈=x z x N ，则=⋂N MA. ΦB. {}3-C. {}3,3-D. {}2,1,0,2,3--二、填空题:13. （天津市十二区县重点中学2020年高三毕业班联考一）若不等式4+-2+1x m x ≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=A B I . 【答案】{}-1<3x x ≤9. (天津市六校2020届高三第二次联考文)若集合{}1≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x A ，则B A ⋂= ▲ .【答案】)0,1[- (9) （天津市和平区2020届高三第二学期第一次质量调查文）已知集合11552A {x R ||x |}=∈-≤，则集合A 中的最大整数为 。

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷选择题（共50分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应的答案标号涂黑.参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+·柱体的体积公式V Sh =.其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）1.设全集{}3,2,1,0,1,2,3U =---，集合{}3,2,2,3A =--，{}3,0,1,2B =-，则()U A B ⋂=ð（）A.∅B.{}1 C.{}0,1 D.{}0,1,22.设x ∈R ，则“2log 1x <”是“260x x +-<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在其定义域上的图像大致是（）A. B.C. D.4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.频率分布直方图中a 的值为0.004B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[)60,70内的学生人数为1505.已知()f x 是偶函数，且当0x >时，()f x 单调递减，设122a =-，0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，52log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 大小关系为（）A.()()()f c f b f a <<B.()()()f c f b f a >>C.()()()f c f a f b << D.()()()f c f a f b >>6.如图，几何体Ω为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为A ，圆柱的上、下底面的圆心分别为B 、C，若该几何体Ω存在外接球（即圆锥的顶点与底面圆周在球面上，且圆柱的底面圆周也在球面上）.已知24BC AB ==，则该组合体的体积等于（）A.56πB.70π3C.48πD.64π7.由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊讶世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22214y x a -=（0a >）下支的一部分，以原点为圆心，双曲线虚半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线分別相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形ABCD 的面积为2a ，则双曲线的方程为（）A.22194y x -= B.221124y x -= C.229124y x -= D.222194y x -=8.已知函数()2cos 2sin 2f x x x x =+-，以下说法中，正确的是（）①函数()f x 关于点π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；②函数()f x 在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭吋，()f x 的取值范围为()2,0-；④将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度，所得图象对应的解折式为()2sin21g x x =-.A.①②B.②③④C.①③D.②9.如图所示，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 为AB 的中点，0BA BC ⋅=，4BD BA BD AD ⋅=⋅= ，若向量C E 在向量C B上的投影向提的模为4，设M 、N 分别为线段CD 、AD 上的动点，且CM CD λ= ，19AN AD λ=，则EM EN ⋅ 的取值范围是（）A.11,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.1113,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1361,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1161,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦第非选择题（共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上）10.设复数z 满足()34i 12i z +=-（i 为虚数单位），则z 的值为______.11.二项式323x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的系数为______.12.已知圆经过点()3,0和点()1,2-，圆心在直线210x y +-=上，则圆的方程为______.13.袋子中装有n 个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为13，则n 的值为______，若从中任取3个球，用X 表示取出3球中黑球的个数，则随机变量X 的数学期望()E X =______.14已知0a >，0b >，且1ab =，则111a b a b+++的最小值为______.15.定义函数()(){}()()()()()(),min ,.f x f x g x f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，设(){}2min11,38h x x xax a =--+--，若()0hx =㤷有3个不同的实数拫，则实数a 的取值范围是______.三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A 、B 、C的对边分別为a 、b 、c ，已知2sin sin cos tan C A A B =+.（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和()sin 2A B -的值.17.（本小题满分15分）已知底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA DQ ∥，33PA AD DQ ===，点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.（1）求证：E F ∥平面PADQ ；（2）求平面PCQ 与平面CDQ 夹角的余弦值；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得直线A M 与平面PCQ 所成角的正弦值是7，若存在求出PMMC的值，若不存在，说明理由.18.（本小题满分15分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为点F ，A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，若椭圆中心到直线AF 的距离为其短轴长的14.（1）求椭圆的离心率；（2）过点B 且斜率为k （0k >）的直线l 交椭圆C 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q ，过点A 且与P Q 平行的直线截椭圆所C 的标准方程.19.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记211n nn n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；（3）记()12221,1,n n n n n a n a d n b +⎧-⋅⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求221nn kk S d==∑.20.（本小题满分16）已知函数()sin x f x ae x a =--.（注： 2.718281e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0a >时，函数()f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极值点1x .（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：()f x 在区间()0,π内有唯一的零点0x ，且012x x <.2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（一）数学参考答案一、选择题：每小题5分，满分45分题号123456789答案CACDBABDD二、填空题：每小题5分，共30分.（两空中对一个得3分，对两个得5分）10.511.270-12.()2214x y -+=13.2；9714.5215.843a -<<-或8a =-三、解答题：本大题5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（1）解：因为2sin sin cos tan C A A B =+，所以()sin sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos cos cos cos cos B A B A B A B CC A A B B B B++=+⨯===…………2分所以2sin cos sin C B C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，所以1cos 2B =…………4分又()0,πB ∈，所以π3B =；…………5分（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b .…………8分由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin A =.因为a c <，故cos A =.…………10分因此sin22sin cos 7A A A ==，21cos22cos 17A A =-=.…………12分所以，()11sin 2sin2cos cos2sin 727214A B A B A B -=-=⨯-⨯=.…………14分17.（本小题满分15分）（1）方法一：分别取AB ，CD 的中点G ，H ，连接EG ，GH ，FH ，…………1分由题意可知：点E 、F 分别为线段PB 、C Q 的中点.所以EG PA ∥，FH QD ∥，因为PA DQ ∥，所以EG FH ∥，所以点E ，G ，H ，F 四点共面，因为G ，H 分别为AB ，CD 的中点，所以GH AD ∥，A D ⊂平面ADQP ，GH ⊄平面ADQP ，所以GH ∥平面ADQP ，…………3分又因为FH QD ∥，QD ⊂平面ADQP ，FH ⊄平面ADQP ，所以FH ∥平面ADQP ，…………4分又因为FH GH H ⋂=，FH ，GH ⊂平面EGHF ，所以平面EGHF ∥平面ADQP ，因为EF ⊂平面EGHF ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分方法二：因为ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，…………1分则()0,0,3P ，()3,3,0C ，()0,3,1Q ，()3,0,0B ，33,0,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，31,3,22F ⎛⎫⎪⎝⎭…………3分（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）所以()0,3,1EF =- ，()3,3,3PC =- ，()3,0,1CQ =-，易知平面PADQ 的一个法向量()1,0,0a =，所以0a E F ⋅= ，所以E F a ⊥，……………….4分又因为EF ⊄平面ADQP ，所以E F ∥平面ADQP .…………5分（2）设平面PCQ 的法向量(),,m x y z =，则00PC m CQ m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z x z +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则3z =，2y =，所以平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，…………6分易知平面CQD 的一个法向量()0,1,0n =，设平面PCQ 与平面CQD 夹角为θ，则14cos cos ,7m n θ==，所以平面PCQ 与平面CQD夹角余弦值为7…………8分（设角和作答具备其一即可，均不写扣1分）（3）假设存在点M ，PM PC λ=，[]0,1λ∈，设(),,M x y z ，所以()(),,33,3,3x y z λ-=-，………….9分所以()3,3,33M λλλ-所以()3,3,33AM λλλ=-…………10分由（2）得平面PCQ 的一个法向量为()1,2,3m =，427=12分得212810λλ-+=.即()()21610λλ--=，…………13分12λ∴=或16λ=，…………14分1PM MC ∴=或15PM MC =.…………15分18.（本小题满分15分）（1）由直角三角形面积关系得124bc b =⨯⨯，即124bc b a =⨯⨯解得12c a =…………3分（2）由（1）得2ac =，b ，易得()A ，()0,B，直线l 的方程为y kx =，因为直线l 不过右顶点()2,0c ，所以2k ≠，…………4分2222143x y c c y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得()22340k x +-=，234N x k ∴=+…………6分从而222834333,3434kc k c c N k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭，3,0c P k ⎫⎪⎪⎝⎭…………8分直线AN2243333344c k k -==-…………9分故直线AN的方程为34y x k=-+…………10分令2x c =，得32,2c Q c k ⎛⎫-⎪⎝⎭，…………11分直线P Q的斜率322PQ ck k k-=== (12)分()A ，左顶点()2,0Dc -，2AD k =，即22214AD a b =+=，12c a =解得28a =，26b =，22c =.…………14分∴椭圆的标准方程为22186x y +=…………15分19.（本小题满分15分）【详解】（1）因12n n a a +-=，∴数列{}n a 是公差为2d =等差数列，且864S =，18782642a ⨯∴+⨯=，解得11a =，()12121n a n n ∴=+-=-；…………2分设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），因为13b =，3218b b -=，23318q q ∴-=，即260q q --=，解得2q =-（舍去）或3q =，1333n n n b -∴=⨯=…………4分（2）由（1）得()()()21222121213n n nn n n n a c a a b n n +++--==-+⋅…………5分()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+=-⎢⎥-+⋅-+⎣⎦=…………6分()()0112231111111112133333535373213213n nn n ⎡⎛⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢ ⎥-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎪ ⎪ ⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅⎤+⋅⎢=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦⎝⎦⎣()0111213213n n ⎛⎫- ⎪ ⎪⨯+⋅⎝⎭=()1122213n n -+⋅=，…………8分（3）()22121,1,n nn n n a n b d a n ++⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⋅⎩ 为偶数为奇数()()2246213521n n n S d d d d d d d d -∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+…………9分()3121352112311111nn n n a a a a a a a a b b b b -⎡⎤++++⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()1232462159131433333n n n n ⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦…………10分n nP Q =+12324623333n nnP =+++⋅⋅⋅+ （1）23411246222333333n nn n n P +-∴=+++⋅⋅⋅++（2）（1）－（2）：1234122222223333333n n n nP +=++++⋅⋅⋅+-1112112n 12n 2n 333111333313n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-=----1323323123223n n n n n P +++⎛⎫∴=-=- ⎪⋅⎝⎭…………12分方法二：()()22121211,21211,,,n k n kk n k n n a a n kb b n d n a n k a +-++⎧=⎪=⎨⎪⎪-=⎧⎪⎪=⎨⎪⎩⋅-⎩-⋅为偶数为奇数()()()()1121232,2,22333143,21143,21k k kk k k k k n k n k k n k k n k -⎧⎪⎨⎪++⎛⎫⎧-== ⎪⎪⎝⎭==⎨⎪-⋅-=--⋅-=-⎩⎩()2462011211355721233232333333223n n n nn n n n P d d d d -⎡++⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦①当n 为偶数时，()21159131nn n Q a -⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⋅⎣⎦()()()()1591347434444*22nn n n ⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-=++⋅⋅⋅+==⎣⎦，…………13分②当n 为奇数时，()()1444434*43212n n Q n n n -=++⋅⋅⋅+--=--=-+…………14分21,2,n n n Q n n -+⎧∴=⎨⎩为奇数为偶数121323121,2332312,23n nn n n n n n S P Q n n n ++⎧+⎛⎫--+ ⎪⎪⎪⎝⎭∴=+=⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数…………15分20.（本小题满分16分）解：（1）()2sin 2x f x e x =--，求导()2cos x f x e x =-'，切线的斜率()0211kf '==-=，又()00f =，所以切点为()0,0，所以，切线方程为y x =…………4分（2）（ⅰ）求导()cos x f x ae x =-'，①当1a ≥时，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1xae >，()cos 0,1x ∈，()0f x ∴'>，则()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；…………6分②当01a <<时，求二阶导()sin 0x f x ae x =+'>'，所以()f x '在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，又()010f a =-<'，π2π02f ae ⎛⎫=> ⎪⎝⎭'，所以()f x '在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点1x ，…………8分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以函数()y f x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一极值点，符合题意，综上，a 的取值范围是()0,1.…………9分（ⅱ）由（ⅰ）知01a <<，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()cos 0xf x ae x =->'，…………10分当()10,x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当()1,πx x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；所以()10,x x ∈时，()()00f x f <=，则()10f x <，又因为()()πππ10f ae a a e =-=->，所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点0x ，即()f x 在()0,π上有唯一零点0x .…………12分因为()12112sin2x f x ae x a =--，由（ⅰ）知()10f x '=，所以11cos x ae x =，则()1112111111cos 2sin2cos 2sin cos x x x x f x ae x a e x x x e =--=--11111cos 2sin x x x e x e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭…………13分设()2sin x x h x e x e -=--，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos x x h x e x e -'=-+，2x x e e -+> ，2cos 2x <，所以()2cos 0x x h x e e x -'=+->()h x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增，又()00h =，所以()0h x >，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 0x >，所以()1111112cos 2sin 0x x f x x e x e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()()1020f x f x >=.由前面讨论知112πx x <<，10πx x <<，()f x 在()1,πx 单调递增，所以012x x <.…………16分。

天津市一中2024年全国高三大联考数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.52．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．8B ．32C ．64D ．1283．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为82AB =（ ）A ．6B ．9C ．92D ．624．已知复数z 满足11i z=+，则z 的值为（ ） A ．12B 2C ．22D ．25．若2nx x ⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 7．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c << B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．31log 5+B ．6C ．4D ．511．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ）A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减12．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件互斥，那么．A B ，()()()P A B P A P B =+ ·如果事件相互独立，那么．A B ，()()()P AB P A P B = 球的体积公式，其中表示球的半径．34π3V R =R · 圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．13V Sh=S h 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，2，3，，，3，4，，则 {1A =4}{2B =5}(A B = )A ．，2，3，B ．，3，C ．，D ．{14}{24}{24}{1}2．设，，则“”是“”的 a b R ∈33a b =33a b =()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列图中，相关性系数最大的是 ()A．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是 ()A ．B ．221x e x x -+22cos 1x x x ++C ．D ．1x e x x -+||sin 4x x x e +5．若，，，则，，的大小关系为 0.34.2a -=0.34.2b = 4.2log 0.3c =a b c ()A ．B ．C ．D ．a b c>>b a c>>c a b>>b c a>>6．若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是 m n α()A ．若，，则B ．若，，则//m αn α⊂//m n //m α//n α//m n C ．若，，则D ．若，，则与相交//m αn α⊥m n ⊥//m αn α⊥m n 7．已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是 ()3sin(0)3f x x πωω=+>π[,]126ππ-()A ．B ．C ．0D ．32-328．双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 2PF 率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为 12PF F ()A ．B ．C ．D ．22182x y -=22148x y -=22128x y -=22184x y -=9．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，ABC DEF -////AD BE CF 1AD =2BE =．则该五面体的体积为 3CF =()A B C D 12+12-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

天津市各地市2020年高考数学 最新联考试题分类汇编（1） 集合一、选择题:1.（天津市耀华中学2020届高三第一次月考文）设集合={|||<1},={|=2}M x x N y y x,x M ∈，则集合()R M N I ð等于A 、(-∞,-1)B 、(-l ，1)C 、(,1][1,)-∞-+∞UD 、(1，+∞)3.（天津市天津一中2020届高三第二次月考文）已知全集U R =，{|21}x A y y ==+，{||1||2|2}B x x x =-+-<，则()U C A B =I （ ）A ．∅B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x << 【答案】B【解析】{21}{1}x A y y y y ==+=>，15{||1||2|2}{}22B x x x x x =-+-<=<<，所以{1}U A y y =≤ð，所以1(){1}2U A B x x =<≤I ð，选B. 4.（天津市新华中学2020届高三第二次月考文）已知集合{}92==x x M ，{}33<≤-∈=x z x N ，则=⋂N MA. ΦB. {}3-C. {}3,3-D. {}2,1,0,2,3--二、填空题:13. （天津市十二区县重点中学2020年高三毕业班联考一）若不等式4+-2+1x m x ≥对一切非零实数x 均成立,记实数m 的取值范围为M .已知集合{}=A x x M ∈，集合{}2=--6<0B x R x x ∈，则集合=A B I . 【答案】{}-1<3x x ≤9. (天津市六校2020届高三第二次联考文)若集合{}1≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=11x x A ，则B A ⋂= ▲ .【答案】)0,1[- (9) （天津市和平区2020届高三第二学期第一次质量调查文）已知集合11552A {x R ||x |}=∈-≤，则集合A 中的最大整数为 。

一、单选题1．集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,3,4C ．{}2,4D ．{}1【答案】B【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =， 因此{}2,3,4A B =，故选B2．设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件. 故选C.3．下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．下列函数是偶函数的是（）A ．22e x x y −=B ．22cos x x y += C ．e x xy −=D ．||sin 4e x x xy +=5．若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c −===，，，则a b c ，，的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3−<<， 所以0.300.30 4.2 4.2 4.2−<<<，所以0.30.30 4.21 4.2−<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<， 所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <， 所以b a c >>， 故选B6．若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则m n ⊥ B ．若//,//m n αα，则//m n C ．若//,αα⊥m n ，则m n ⊥ D ．若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交 【答案】C【详解】A ，若//m α，//n α，则,m n 平行或异面或相交，A 错误. B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，B 错误.C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα=，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，C 正确.D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，D 错误. 故选C.7．已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则()f x 在ππ,126⎡⎤−⎢⎥⎣⎦的最小值是（ ）A ．B ．32− C ．0 D ．32故选A8．双曲线22221()00a x y a bb >−=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）A ．22182y x −=B ．221x y −=C ．221x y −=D ．221x y −=因为1290F PF ∠=︒，所以k 21sin 5θ=，由正弦定理可得：则由2PF m =得12PF m =由12121122PF F SPF PF =⋅=由双曲线第一定义可得：．一个五面体ABC DEF −．已知，且两两之间距离为．并已知．则该五面体的体积为（ ）A B 12+ C D 12【答案】C【详解】用一个完全相同的五面体HIJ LMN −（顶点与五面体ABC DEF −一一对应）与该五面体相嵌，使得,D N ；,E M ;,F L 重合，因为AD BE CF ∥∥，且两两之间距离为1．1,2,3AD BE CF ===， 则形成的新组合体为一个三棱柱，二、填空题10．已知i 是虚数单位，复数))i 2i ⋅= ．11．在63333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．．圆(1)25−+=x y 的圆心与抛物线2(0)y px p =>的焦点F 重合，A 为两曲线的交点，则原点到直线AF 的距离为 ．13．,,,,A B C D E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A 的概率为 ；已知乙选了A 活动，他再选择B 活动的概率为 ．14．在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点， CE =12DE,BE⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λμ+= ；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG ⋅的最小值为 ．18{},BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE ，即可得结合数量积的运算律求AF DG ⋅的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE ，即可得，求AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，DG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的坐标运算求AF DG ⋅的最小值1CE DE =，即+CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 31,0BC BA BA BC ==⋅=，上的动点，设[1,0,13BF k BE k BA k BC k ==+∈则113AF AB BF AB k BE k BA k BC ⎛⎫=+=+=−+ ⎪⎝⎭，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC ⎛⎫⎛⎫=+=−+=−+− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得11111113232AF DGk BA k BC k BA k BC ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=−+⋅−+− ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦221156311329510k k k k ⎫⎛⎫⎛⎫−+−=−−⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭， 时，AF DG ⋅取到最小值解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则()()(1,0,0,0,0,1A B C −⎝可得()()11,0,0,1,,13BA BC BE ⎛=−==− ⎝因为(),BE BA BC λμλμ=+=−，则μ⎧−⎪⎨⎪⎩因为点F 在线段:3BE y =−22⎝可得()11,3,2a AF a a DG +⎛=+−=⎝则()()213322a AF DG a +⎛⋅=+−− ⎝1,03a ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以当时，AF DG ⋅取到最小值为15．若函数()21f x ax =−+恰有一个零点，则a 的取值范围为 ．)()1,3.三、解答题16．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，，． (1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A −的值．17．已知四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，1A A ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，其中12,1AB AA AD DC ====．N 是11B C 的中点，M 是1DD 的中点．(1)求证1//D N 平面1CB M ；(2)求平面1CB M 与平面11BB CC 的夹角余弦值；(3)求点B 到平面CB M 的距离．有()0,0,0A 、(2,0,0B 则有()11,1,2CB =−、(1,0,1CM =−、(10,0,2BB =设平面1CB M 与平面11BB CC 的法向量分别为(11,,m x y z =、(22,,n x y =111m CB x m CM x ⎧⋅=−⎪⎨⋅=−⎪⎩122212220n CB x y z n BB z ⎧⋅=−+⎪⎨⋅==⎪⎩分别取121x x ==，则有11=、21y =()1,3,1m =、()1,1,0n =，cos ,19m n m n m n ⋅==⋅+故平面1CB M 与平面1BB CC 11）由()10,0,2BB =()1,3,1m =，1219BB m m⋅=+因此点B 到平面1CB M 18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>椭圆的离心率12e =．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S =△ (1)求椭圆方程．(2)过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ⋅≤．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．，使得0TP TQ ⋅≤恒成立）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程32，()11,P x y 表示TP TQ ⋅，再根据0TP TQ ⋅≤可求12，故2a c =3b c =，其中若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：设()()1122,,,P x y Q x y 223436x y ⎧+=而()(112,,,TP x y t TQ x y =−=故()(1212TP TQ x x y t y ⋅=+−()2121kx x +−因为0TP TQ ⋅≤恒成立，故若过点30,2⎛⎫− ⎪⎝⎭的动直线的斜率不存在，则2，使得0TP TQ ⋅≤恒成立19．已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==−． (1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a −+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b −≥⋅； （ⅱ）求1nS i i b =∑．20．设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ≥在()0,x ∈+∞时恒成立，求a 的值； (3)若()12,0,1x x ∈，证明()()121212f x f x x x −≤−．。

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2023年天津市七所重点学校高考数学联考试卷（文科）1. 已知全集，集合，集合，则( )A. B. C. D.2. 实数x，y满足不等式组则目标函数的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是( )A. 1B. 2C. 4D. 74. 若，，，则a，b，c的大小关系是( )A. B. C. D.5. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 函数的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，的面积为，则抛物线的焦点为( )A. B. C. D.8. 已知函数，若存在使得关于x的函数有三个不同的零点，则实数t的取值范围是( )A. B. C. D.9. 已知i是虚数单位，则______ .10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ .11.等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则______.12. 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则______.13. 已知正实数a，b满足，且，则的最小值为______.14. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC，CD上，，，若，则的最小值______.15. 从高三学生中抽取n名学生参加数学竞赛，成绩单位：分的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间且成绩在区间的学生人数是27人．求x，n的值；若从数学成绩单位：分在的学生中随机选取2人进行成绩分析①列出所有可能的抽取结果；②设选取的2人中，成绩都在内为事件A，求事件A发生的概率．16. 锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，求的面积；求的值．17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD的边长是2的正方形，，，F为PB上的点，且平面求证：；求证：平面平面ABCD；求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．18. 已知，椭圆E：的离心率，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．求椭圆的方程；设过点A的动直线l与椭圆E相交于P，Q两点，当的面积最大时，求直线l的方程．19. 已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；若，求数列的前n项和；若，数列的前n项和为，对任意的，都有，求实数a的取值范围．20. 已知函数其中，当时，求函数在点处的切线方程；若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围；求证：对于任意大于1的正整数n，都有答案和解析1.【答案】C【解析】解：全集，集合，集合，，故选：根据补集与交集的定义计算即可．本题考查了补集与交集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为故选：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.【答案】C【解析】解：当时，；当时，；当时，；当时，退出循环，输出；故选由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为，即，2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．4.【答案】D【解析】解：，，，，，，，故选：可得出，，，并且得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的值域，对数的换底公式，对数函数的单调性，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了含绝对值不等式的解法、充分、必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．，对x分类讨论，解出不等式的解集，即可判断出．【解答】解：，当时，化为，恒成立；当时，化为，解得，综上可得：的解集为：“”是“”的充分不必要条件．故选6.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数解析式的求法，正弦型函数图象的性质的应用，属于中档题.直接利用已知条件求出函数的解析式，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】解：函数的最小正周期是，则：，若其图象向左平移个单位后得到：为奇函数，即：，解得：，且知，当时，故令，解得：当时，函数的图象关于对称．故选7.【答案】D【解析】解：双曲线双曲线，双曲线的渐近线方程是又抛物线的准线方程是，故A，B两点的纵坐标分别是，又由双曲线的离心率为2，所以，则，A，B两点的纵坐标分别是，又的面积为，x轴是角AOB的角平分线，，得抛物线的焦点坐标为：故选：求出双曲线双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．8.【答案】B【解析】解：由题意，，时，，对称轴为，在为增函数，此时的值域为时，，对称轴为，在为增函数，此时的值域为在为减函数，此时的值域为；由存在有三个不相等的零点，则，即存在使得即可，令，只要使即可，而在上是增函数，，故实数t的取值范围为故选：根据的解析式，讨论时的表达式，利用函数的单调性求得实数t的取值范围．本题考查了函数恒成立问题和分类讨论以及转化推理能力的应用问题，是难题．9.【答案】【解析】解：故答案为：根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，故几何体的体积为故答案为：由三视图知几何体为半圆柱和直三棱柱，半圆柱的半径为2，高为3，体积为，直三棱柱的底面为直角三角形，面积为4，高为3，体积为12，可得几何体的体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量．11.【答案】【解析】解：等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，故公比q不等于，即，即为，解得，，故答案为：由条件可得，即，解得，再由，运算求得结果．本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查运算能力，属于基础题．12.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为，直线与圆C：相交于A，B两点，且，圆心到直线的距离，即，解得：，解得，故答案为：圆C：的圆心坐标为，半径为，利用圆的弦长公式，求出a 值．本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．13.【答案】【解析】【分析】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查化简和变形能力，以及运算能力，属于中档题．由条件可得，则，由，展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：正实数a，b满足，且，可得，解得，则，由，当且仅当时，取得等号，则的最小值为，故答案为14.【答案】3【解析】解：，，，，，，，，，，，当取的最小值，最小值为3，的最小值3，故答案为：由题意画出图形，转化为含有，的代数式，再结合及二次函数的性质求得的最小值．本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，训练了二次函数求最值，是中档题．15.【答案】解：由频率分布直方图可得样本容量；①成绩在之间的共有2人，分别记为x，y，成绩在之间的共有3人，分别记为a，b，c，则从中随机选取2人所有可能的抽取结果为：，，，，，，，，，；②从上述5人中，选取的2人，成绩都在内为事件A，事件A包含的基本事件有：，，共3种，事件A发生的概率【解析】由频率分布直方图可得，再由频率相等列式求得样本容量n；①分别求出成绩在之间与成绩在之间的人数，利用枚举法列出从中随机选取2人的所有可能的抽取结果；②直接利用随机事件的概率公式求解．本题考查频率分布直方图，考查学生读取图表的能力，是基础题．16.【答案】本题满分为13分解：，…1分，…2分，…3分是锐角，…4分，…5分由余弦定理，可得：，解得，…7分，…9分，…11分…13分【解析】由已知及正弦定理可得，进而可求，利用同角三角函数基本关系式可求，根据余弦定理可求bc的值，利用三角形面积公式即可计算得解．利用二倍角公式可求，的值，进而根据两角和的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：平面PBD，平面PBD，，，，平面PAB，平面PAB，是正方形，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面解：取AD的中点H，连结PH，BH，，，平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，平面ABCD，是PB在平面ABCD内的射影，是PB与平面ABCD所成角，在等腰中，，H是AD中点，，在中，，，，，故直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为【解析】推导出，，从而平面PAB，由此能证明推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面取AD的中点H，连结PH，BH，推导出是PB与平面ABCD所成角，由此能求出直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．本题考查线线垂直、面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：设，由条件知，得，又，所以，，故E的方程；依题意当轴不合题意，故设直线l：，设，，将代入，得，当，可得，即或，，，从而，又点O到直线PQ的距离，所以的面积，设，则，，当且仅当，等号成立，且满足，所以当的面积最大时，l的方程为：或【解析】通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；设直线l：，设，将代入，利用，求出k的范围，利用弦长公式求出，然后求出的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】证明：，时，，化为：时，，解得数列是等比数列，公比为数列满足，化为：，且数列为等差数列，公差为1，首项为，解：，数列的前n项和……解：，数列的前n项和为……，……，……，解得对任意的，都有，令则数列单调递增．实数a的取值范围是【解析】，时，，化为：利用等比数列的通项公式可得数列满足，化为：，且即可证明数列为等差数列，利用通项公式可得，利用裂项求和方法即可得出．，利用错位相减法可得数列的前n项和为，又代入对任意的，都有，即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：，，，，在处的切线方程是：；，，函数在区间上为增函数，当时，恒成立，即在恒成立，解得即为所求的取值范围；证明：由得：时，，，故时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故，故，令，则，……，即…【解析】求导函数，计算和的值，求出切线方程即可；先求出函数的导数，由题意可知：当时，恒成立，解出a的取值范围即可．利用的结论，只要令，即可证明．本题考查了利用导数求函数的单调区间、最值及证明不等式，充分理解导数的意义及掌握恰当分类讨论思想和转化思想是解题的关键．。

天津市十二区县重点高中高三毕业班联考〔一〕数 学〔文〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第I 卷〔选择题，共40分〕本卷须知：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

一、选择题〔此题共8个小题，每题5分，共40分。

在每题给出的四个选项中，只有一 个是正确的〕 1.i 是虚数单位，复数31ii--= A.i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -2.实数x ，y 满足条件24250,,x x y x y ⎧≥⎪+≤⎨⎪-++≥⎩，那么目标函数y x z +=3的最大值为A ．7B ．8C ．10D ．113.“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列〞是“2y xz =〞成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.阅读右面的程序框图，那么输出的S =A ．14B ．30C ．20D ．552log 3a =，4log 3b =， 1.21()2c =，那么它们的大小关系是A. b a c <<B.b c a <<C.c a b <<D. a b c << 6.将函数y=cos(x －56π)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图像向左平移3π个单位，那么所得函数图像对应的解析式是 A.cos()24x y π=- B. cos(2)6y x π=- C. sin 2y x = D.2cos()23x y π=-7.函数120()()f x x x =>，假设对于任意02(,)πα∈，都有PC第11题图1402(tan )()cos ()tan f f αββπα+≥≤≤成立，那么β的取值范围是 Ａ．5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｂ．11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦Ｃ．50,,233πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Ｄ. 110,,266πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8.函数5(4)4(6),()2(6)x a x x f x a x -⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩(0,1)a a >≠.假设数列{}n a 满足()n a f n =且1n n a a +>*,n N ∈，那么实数a 的取值范围是Ａ．()7,8 Ｂ．[)7,8 Ｃ．()4,8 Ｄ．()1,8 第二卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上.{||2|3}M x x =-≤，集合3=<02x N x R x ⎧-⎫∈⎨⎬+⎩⎭，那么集合=MN .10.某几何体的三视图如以下列图，那么该几何体的体积为.11.如图，CB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 为切点，AP 与CB 的延长线交于点P ．假设10=PA ，5=PB ，那么AB 的长为 .22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e =它的一条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线交点的纵坐标为6 ，那么正数p 的值为 .2()2||1f x x x =-++，假设2(log )(3)f m f >，那么实数m 的取值范围是 .14.点M 为等边三角形ABC 的中心,=2AB ,直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于 点Q ，那么BQ CP ⋅的最大值为 .0 40 50 60 70 80 90 100 频率 组距0.010 0.005 0.0200.025a 三.解答题：本大题6小题，共80分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩〔总分值100分，成绩均为不低于40分的整数〕分成六组：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图． 〔Ⅰ〕求图中实数a 的值； 〔Ⅱ〕假设该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数； (Ⅲ)假设从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个 分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举 法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于10的概率. 16．〔本小题总分值13分〕 函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+ 〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕在ABC ∆中，假设()22Af =,1b =，2c =，求a 的值. 17.(本小题总分值13分〕在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ,AD CD ⊥,22PA PD AD BC CD ====，,E F 分别是,AD PC 的中点. (Ⅰ)求证AD PBE ⊥平面； (Ⅱ)求证//PA BEF 平面；(Ⅲ)假设PB AD =，求二面角F BE C --的大小. 18．〔本小题总分值13分〕数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. 〔Ⅰ〕 假设1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； 〔Ⅱ〕假设12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 19．〔本小题总分值14分〕函数()ln f x x x =，2()(3)x g x x ax e =-+-⋅〔其中a 实数,e 是自然对数的底数〕． 〔Ⅰ〕当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 假设存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围. 20．〔本小题总分值14分〕中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . 〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，假设椭圆上一点C 满足λ=+，求实数λ天津市十二区县重点高中高三毕业班联考〔一〕数学试卷〔文科〕 评分标准一、选择题：此题共8个小题，每题5分，共40分.频率a9．{}-1<3x x ≤ ；10．π3108+； 11． 12．4；13．1(,8)8；14．229-三.解答题：本大题6小题，共80分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值13分〕某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩〔总分值100分，成绩均为不低于40分的整数〕分成六段：[)50,40，[)60,50，…，[]100,90后得到如图的频率分布直方图．〔Ⅰ〕求图中实数a 的值；〔Ⅱ〕假设该校高一年级共有学生500人，试估计该校高一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数．(Ⅲ)假设从样本中数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率； 15．解：〔Ⅰ〕由005010210025011.....a +++++=可得003.a = …………2分〔Ⅱ〕数学成绩不低于60分的概率为:020*********.....+++=……4分 数学成绩不低于60分的人数为500085425.⨯=人 ……5分(Ⅲ)数学成绩在[)40,50的学生人数：400052.⨯=人 ……6分数学成绩在[)40,50的学生人数：40014.⨯=人 ……7分设数学成绩在[)40,50的学生为12,A A ， 数学成绩在[]90,100的学生为3456,,,A A A A …………8分 两名学生的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A454656{,},{,},{,}A A A A A A …………10分共15种； …………11分其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有{}12,A A ，{}34,A A ，{}35,A A ，{}36,A A ，{}45,A A ，{}46,A A ，{}56,A A 共7种， …………12分因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为715…………13分 16．〔本小题总分值13分〕函数2()23cos 2cos 1f x x x x =-+〔Ⅰ〕求函数)(x f 的最小正周期及单调递增区间；〔Ⅱ〕在ABC ∆中，假设()22Af =,1b =，2c =，求a 的值. 16．解：〔Ⅰ〕322()sin cos f x x x =- …………2分226sin()x π=-…………4分2T ππω== ………………5分由222262k x k πππππ-≤-≤+得，63k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).，……7分故)(x f 的单调递增区间为63,k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). ………………8分 〔Ⅱ〕22Af =(),那么2sin()26A π-=⇒sin()16A π-= …………9分22,2,623A k A k k Z πππππ∴-=+=+∈ …………10分 又20,3A A ππ<<∴=………………………11分 2222cos 7a b c bc A =+-=…………12分7a ∴=… ……………………13分 17．(本小题总分值13分〕在四棱锥P-ABCD 中，//AD BC ,AD CD ⊥,PA=PD=AD=2BC=2CD ，E,F 分别是AD,PC 的中点，(Ⅰ)求证D BE A P ⊥平面； (Ⅱ) 证明PA//BEF 平面；(Ⅲ)假设PB=AD ，求二面角F-BE-C 的大小.17．(Ⅰ) 证明:由得//ED BC ED BC =，，故BCDE 是平行四边形，所以//BE CD BE CD =，，---------1分 因为AD CD ⊥，所以BE AD ⊥, ---------2分 由PA=PD 及E 是AD 的中点，得PE AD ⊥, ---------3分 又因为BEPE E =,所以D BE A P ⊥平面. ---------4分(Ⅱ) 证明:连接AC 交EB 于G ,再连接FG ,由E 是AD 的中点及//BE CD ，知G 是BF 的中点， 又F 是PC 的中点，故//FG PA ， ---------5分 又因为,FG BEF PA BEF ⊂⊄平面平面， 所以PA//BEF 平面. ---------7分 (Ⅲ)解：设PA=PD=AD=2BC=2CD 2a =,那么3PF a =，又2PB AD a ==，EB CD a ==，故222PB PE BE =+即PE BE ⊥， ---------8分又因为BE AD ⊥，AD PE E =，所以BE PAD ⊥平面，得BE PA ⊥，故BE FG ⊥， ---------10分 取CD 中点H ，连接,FH GH ,可知//GH AD ,因此GH BE ⊥, ---------11分 综上可知FGH ∠为二面角F-BE-C 的平面角. ---------12分 可知111=,,222FG PA a FH PD a GH AD a =====， 故=60FGH ∠,所以二面角F-BE-C 等于60 . ---------13分 18．〔本小题总分值13分〕数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1.〔Ⅰ〕 假设1n b n =+，(i)求3a 的值和数列}{n a 的通项公式； (ii)求数列1{}na 的前n 项和n S ； 〔Ⅱ〕假设12()n n nb b b n N *++=∈，且122,3b b ==，求数列{}n b 的前3n 项的和. 18．(Ⅰ) 解：(i)11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+= ………………2分.由11n n a a n +-=+得当2n ≥时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-1121n a b b b -=++++=(1)2n n +………4分 而11a =适合上式，所以(1)()2n n n a n N *+=∈.………………5分 (ii)由(i)得：12112()(1)1n a n n n n ==-++ ……………6分1231111n nS a a a a =++++ 11111112(1)2()2()2()223231n n =-+-+-++-+……………7分 122(1)11nn n =-=++ …………8分(Ⅱ)解：因为对任意的n ∈*N 有54643431n n n n n n n n b b b b b b b b +++++++====，所以数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. …………9分又数列}{n b 的前6项分别为3112232233,,,,,，且这六个数的和为8. ……………10分 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，那么，当2()n k k =∈*N 时，36123456()8n k S S k b b b b b b k ==+++++=， ……………11分当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++12313882k b b b k =+++=+ ， …………12分当1n =时3132S =所以，当n 为偶数时，34n S n =；当n 为奇数时，3542n S n =+. ……………13分19．〔本小题总分值14分〕函数()ln f x x x =，2()(3)xg x x ax e =-+-⋅〔其中a 是实常数,e 是自然对数的底数〕．〔Ⅰ〕当5a =时，求函数()y g x =在点(1,)e 处的切线方程； 〔Ⅱ〕求()f x 在区间[,2](0)t t t +>上的最小值；(Ⅲ) 假设存在．．11212,[,]()x x e e x x -∈≠，使方程()2()x g x e f x =成立，求实数a 的取值范围.19．解：〔Ⅰ〕当5a =时2()(53)x g x x x e =-+-⋅，2()(32)x g x x x e '=-++⋅┈┈1分故切线的斜率为(1)4g e '=， ┈┈┈┈ 2分所以切线方程为：4(1)y e e x -=-，即430ex y e --=. ┈┈┈┈ 3分 〔Ⅱ〕()ln 1f x x '=+，令()0f x '=，得1x e= ┈┈┈┈ 4分 ①当et 1≥时，在区间(,2)t t +上，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以min ()()ln f x f t t t == ┈┈┈┈ 5分 ②当10t e <<时，在区间1(,)t e上()0f x '<，()f x 为减函数，┈┈┈┈ 6分 在区间1(,)e e上()0f x '>，()f x 为增函数，┈┈┈┈ 7分所以min 11()()f x f e e==-┈┈┈┈ 8分 (Ⅲ) 由()2()x g x e f x =可得223ln x x x ax =-+-32ln a x x x=++， ┈┈┈┈ 9分 令32()ln h x x x x=++， 22)1)(3(321)(x x x h -+=-+=' ┈┈┈┈ 10分┈┈┈┈ 12分1132()h e e e =+-，14()h =，32()h e e e=++12420()(h e h e e e -=-+< ┈┈┈┈ 13分∴实数a 的取值范围为342(,]e e++ ┈┈┈┈ 14分20．〔本小题总分值14分〕中心在坐标原点，焦点在x的椭圆过点P ，且它的离心率21=e . 〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕与圆22(1)1x y -+=相切的直线t kx y l +=：交椭圆于N M ，两点，点C 满足λ=+，求实数λ20．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ┈┈┈┈┈┈┈ 1分由得：2222243112a b c a c a b ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩解得 2286a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分所以椭圆的标准方程为： 22186x y += ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 5分 (Ⅱ) 因为直线l ：y kx t =+与圆22(1)1x y -+=相切2112(0)t k t t -=⇒=≠ ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分把t kx y +=代入22186x y +=并整理得： 222(34)8(424)0k x ktx t +++-=┈7分 设),(,),(2211y x N y x M ，那么有 221438k ktx x +-=+ 22121214362)(k tt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ ┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分因为，),(2121y y x x OC ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktC ┈┈ 9分又因为点C 在椭圆上， 所以，222222222861(34)(34)k t t k k λλ+=++ ┈┈┈┈┈ 10分 222222221134()()1t k t t λ⇒==+++ ┈┈┈┈┈ 12分 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ┈┈┈┈┈ 13分 所以 202λ<<，所以 λ的取值范围为(0)(0,2)┈┈┈┈ 14分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．参考公式：·如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·球的体积公式34π3V R =，其中R 表示球的半径．·圆锥的体积公式13V Sh=，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}2,3,4 C.{}2,4 D.{}1【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.【详解】因为集合{}1,2,3,4A =，{}2,3,4,5B =，所以{}2,3,4A B = ，2.设,a b ∈R ，则“33a b =”是“33a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，33a b =和33a b =都当且仅当a b =，所以二者互为充要条件.故选：C.3.下列图中，相关性系数最大的是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由点的分布特征可直接判断【详解】观察4幅图可知，A 图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，r 值相比于其他3图更接近1.故选：A4.下列函数是偶函数的是（）A.22e 1x x y x -=+ B.22cos 1x x y x +=+ C.e 1x xy x -=+ D.||sin 4e x x x y +=【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A ，设()22e 1x x f x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ，且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称，则()h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R ，因为()sin141e ϕ+=，()sin141eϕ---=，则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误.故选：B.5.若0.30.3 4.24.2 4.2log 0.2a b c -===，，，则a b c ，，的大小关系为（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【详解】因为 4.2x y =在R 上递增，且0.300.3-<<，所以0.300.30 4.2 4.2 4.2-<<<，所以0.30.30 4.21 4.2-<<<，即01a b <<<，因为 4.2log y x =在(0,)+∞上递增，且00.21<<，所以 4.2 4.2log 0.2log 10<=，即0c <，所以b a c >>，故选：B6.若,m n 为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若//m α，n ⊂α，则//m nB.若//,//m n αα，则//m nC.若//,αα⊥m n ，则m n ⊥D.若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交【答案】C 【解析】【分析】根据线面平行的性质可判断AB 的正误，根据线面垂直的性质可判断CD 的正误.【详解】对于A ，若//m α，n ⊂α，则,m n 平行或异面，故A 错误.对于B ，若//,//m n αα，则,m n 平行或异面或相交，故B 错误.对于C ，//,αα⊥m n ，过m 作平面β，使得s βα= ，因为m β⊂，故//m s ，而s α⊂，故n s ⊥，故m n ⊥，故C 正确.对于D ，若//,αα⊥m n ，则m 与n 相交或异面，故D 错误.故选：C .7.已知函数()()πsin303f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．则函数在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最小值是（）A.32B.32-C.0D.32【答案】A 【解析】【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得()sin2f x x =-，再整体求出,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】()()πsin3sin 3πsin 33f x x x x ωωω⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，由2ππ3T ω==得23ω=，即()sin2f x x =-，当,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 时，ππ2,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()sin2f x x =-图象，如下图，由图可知，()sin2f x x =-在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递减，所以，当π6x =时，()min π3sin 32f x =-=-故选：A8.双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F △是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A.22182y x -= B.22184x y -= C.22128x y -= D.22148x y -=【答案】C 【解析】【分析】可利用12PF F △三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设2PF m =，由面积公式求出m ，由勾股定理得出c ，结合第一定义再求出a .【详解】如下图：由题可知，点P 必落在第四象限，1290F PF ∠=︒，设2PF m =，211122,PF F PF F θθ∠=∠=，由21tan 2PF k θ==，求得12sin 5θ=，因为1290F PF ∠=︒，所以121PF PF k k ⋅=-，求得112PF k =-，即21tan 2θ=，2sin 5θ=121212::sin :sin :sin 902:1:5PF PF F F θθ=︒=则由2PF m =得1122,25PF m F F c m ===，由1212112822PF F S PF PF m m =⋅=⋅= 得2m =，。

一、单选题1.若，则（ ）A．B．C．D．2.已知圆关于直线对称，与交于，两点，设坐标原点为，则的最大值等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．163. 在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）（参考数据：，）A ．2.9B ．3.2C ．3.8D ．3.94. 半正多面体（semiregularsolid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，则下列说法错误的是（）A．该几何体外接球的表面积为B．该几何体外接球的体积为C．该几何体的体积与原正方体的体积比为D．该几何体的表面积与原正方体的表面积之比为5.已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，，椭圆上存在点，满足，焦点在轴的双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．6. 在中，若，则下列等式中一定成立的是A．B．C．D．7. 命题是的充分不必要条件；命题事件是对立事件的充要条件是：， 下列命题为真命题的是A．B．C．D．8. 已知中，，那么等于（ ）A ．1B．C．D ．69. 设集合，，那么下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．10. 已知函数，是的导函数，若存在有唯一的零点，且，则实数的取值范围是A．B．C．D．天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题二、多选题11. 已知全集，集合A ，B满足，则下列关系一定正确的是（ ）A．B．C．D．12. 已知首项为的数列的前项和为，若，则（ ）A ．数列是等比数列B．C．D ．为定值13. 2021年元旦期间，某高速公路收费站的四个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设四个收费口均能正常工作，则这四个收费口每天至少有一个不低于700辆小汽车通过的概率为（ ）A．B．C．D．14.对于的展开式，下列说法不正确的是（ ）A ．有理项共5项B ．二项式系数和为512C ．二项式系数最大的项是第4项和第5项D．各项系数和为15. 某校高一（3）班的40位同学对班委会组织的主题班会进行了评分（满分100分），并绘制出如图所示的频率分布直方图，则下列结论中正确的是（）A ．评分在区间内的有2人B ．评分的中位数在区间内C ．评分的众数是90分D ．评分的平均数大于90分16. 已知点在同一个球的球面上，，，若四面体的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（ ）A．B．C．D．17. 6个数据构成的散点图，如图所示，采用一元线性回归模型建立经验回归方程，若在6个数据中去掉后，下列说法正确的是（）A ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强B ．样本相关系数r 变大C ．残差平方和变小D ．决定系数变小18. 在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（ ）A ．，，则的外接圆半径是4B．若，则C ．若，则一定是钝角三角形D．若，则19. 举世瞩目的第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会点燃了国人激情，也将一股运动风吹到了大学校园.为提升学生身体素质，倡导健康生活方式，某大学社团联合学生会倡议全校学生参与“每日万步行”健走活动.下图为该校甲、乙两名同学在同一星期内每日步数的拆线统计图，则（）A．这一星期内甲、乙的日步数的中位数都为12600B．这一星期内甲的日步数的平均数大于乙的日步数的平均数C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差D．这一星期内乙的日步数的下四分位数是1220020. 双曲线的左右焦点分别为，，倾斜角为的直线过双曲线的右焦点，与双曲线右支交于两点，且，则（）A．双曲线的离心率为B．与内切圆半径比为C．与周长之比为D．与面积之比为21. 已知函数的部分图像如图，则（）A．B．C．将曲线向右平移个单位长度得到曲线D ．点为曲线的一个对称中心22. 如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，.若将正三棱锥绕旋转，使得点E，P分别旋转至点A，处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则（）A．B．C．多面体的外接球的表面积为D．点P与点E旋转运动的轨迹长之比为23.已知函数，则（）A ．的最小值为-1B．点是的图象的一个对称中心三、填空题四、解答题C ．的最小正周期为D ．在上单调递增24.已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（ ）A ．所在的平面与正方体表面的交线为五边形B ．所在的平面与正方体表面的交线为六䢍形C．长度的最大值是D．长度的最小值是25. 已知随机变量服从正态分布，，则__________．26. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足，则tan A 的最大值为___.27.已知把函数（且）的图象向下平移2个单位长度得到的图象，且，若为偶函数，则______．28. 已知，，若，则_________.29. 若离散型随机变量满足：，则______.30. 若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为______________.31.设函数，则满足的的取值范围_____.32. 已知，则___________.33. 已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.34. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？五、解答题35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 设分别为椭圆: 的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线的距离；（ii ）求点到直线的距离的最大值.37.在数列中，，且.(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求38. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．39. 如图，在四棱锥中，平面，底面ABCD 满足，且，三角形的面积为(1)画出平面PAB 和平面PCD 的交线，并说明理由，(2)求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值.40. 某省2019年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A 等；分数在[70，85）内，记为B 等；分数在[60，70）内，记为C 等；60分以下，记为D 等，同时认定A ，B ，C 等为合格，D 等为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C ，D 的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．41. 已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.42. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因颅脑损伤导致死亡占），死亡人数中有263人未佩戴头盔（占）.驾乘电动自行车必须佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；(2)交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：；，其中.0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87943. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分优秀、合格、尚待改进三个等级进行学生互评.某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表一：男生男生等级优秀合格尚待改进频数155表二：女生女生等级优秀合格尚待改进频数153（1）求,的值；（2）从表一、二中所有尚待改进的学生中随机抽取3人进行交谈，记其中抽取的女生人数为，求随机变量的分布列及数学期望；（3）由表中统计数据填写列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.男生女生总计优秀非优秀总计45参考公式：，其中.参考数据：0.010.050.012.7063.8416.63544. 甲、乙两地到某高校实施“优才计划”，即通过笔试，面试，模拟技能这3项考核程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项考核程序均通过后即可签约．2022年，该校数学系100名毕业生参加甲地“优才计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）：人数性别参加考核但未能签约的人数参加考核并能签约的人数男生3515女生4010今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，．(1)依据小概率值的独立性检验，判断这100名毕业生去年参加甲地“优才计划”能否签约与性别是否有关联？(2)若小明通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X ，Y ，分别求出X 与Y 的数学期望．参考公式与临界值表：，．六、解答题0.100.050.0102.7063.841 6.63545.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，，，，为的中点．（1）求证：∥平面；（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．46.在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．47. 已知平面四边形ABCE（图1）中，，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC 的中点，，，沿AC 将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.(1)求证：平面平面；(2)当二面角的二面角为60°时，①求直线与平面所成角的正弦值；②求C点到面ABD的距离.48. 如图，四棱柱的侧棱底面，四边形为菱形，，分别为，的中点，为上一点.（1）若与相交于点，求证､､三条直线相交于同一点；七、解答题（2）若，，，求点到平面的距离.49. 已知函数.(1)求曲线的斜率为1的切线方程；(2)证明：；(3)设，求在区间上的最大值和最小值.50. 已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，证明：．51. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出（）名员工从事第三产业，调整后这名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求的最大值.52. 某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为，甲、丙进行比赛，甲每局获胜的概率为，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为；③先取得两局胜者为比赛的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．(1)求甲获得冠军的概率．(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为，求的分布列和数学期望．53. 有研究显示，人体内某部位的直径约10的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约10的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约10的结节，他做了该项无创血液检测．(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；(3)医院为每位参加该项检查且检测结果为阴性的患者缴纳200元保险费，对于在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该保险的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．54. “斯诺克（Snooker ）”是台球比赛的一种，意思是“阻碍､障碍”，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲､乙两人进行比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球（例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……），没有平局，已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率；(2)设比赛的总局数为，写出随机变量的分布列并求其数学期望.55. 作为影视打卡基地，都匀秦汉影视城推出了大影视博物馆：陈情令馆、庆余年馆、大秦馆、双世宠妃馆，馆内还原了影视剧中部分经典场景，更有丰富的、具有特色的影视剧纪念品共游客选择，国庆期间甲、乙等名同学准备从以上个影视馆中选取一个景点游览，设每个人只选择一个影视馆且选择任一个影视馆是等可能的，(1)分别求“恰有人选择庆余年馆”和“甲选择庆余年馆且乙不选择陈情馆”的概率；八、解答题(2)设表示人中选择博物馆的个数，求的分布列和数学期望.56. 某校高二（1）班的元旦联欢会设计了一项抽奖游戏：准备了张相同的卡片，其中只在张卡片上印有“奖”字.(1)采取放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求抽到印有“奖”字卡片张数的分布列、数学期望及方差；(2)采取不放回抽样方式，从中依次抽取张卡片，求第一次抽到印有“奖”字卡片的条件下，第三次抽到未印有“奖”字卡片的概率.57.如图，三棱台，，，平面平面，，，与相交于点，，且∥平面．(1)求三棱锥的体积；(2)求直线与平面所成角的正弦值．58. 已知，，，且的图象关于点对称.(1)求；(2)设的角、、所对的边依次为、、，外接圆半径为，且，，．若点为边上靠近的三等分点，求的长度.59.已知等差数列的前项和为（1）求；（2）求数列的前项和.60. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点.（1）确定E的位置，使平面；（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值.61. 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，已知.(1)求角B 的大小；(2)从以下3个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：；④62. 已知函数的最小值为.(1)求的值；(2)若，求的最大值.。

2021年天津市十二区县重点学校高考数学联考试卷（一）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 设全集U ={−3,−2,−1,0，1，2，3}，集合A ={x|−1≤x <3,x ∈Z}，B ={−3,0，2，3}，则A ∩(∁U B)=( )A. {−3,3}B. {0,2}C. {−1,1}D. {−3,−2,−1,1，3}2. 已知x ∈R ，则“x <2”是“2x >1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要3. 函数y =−4xx 2+1的图象大致为( )A.B.C.D.4. 已知a =(12)−0.8，b =log 1223，c =40.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <b <aD. b <c <a5. 2020年是脱贫攻坚战决胜之年，凝心聚力打贏脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会，某县举行扶贫知识政策答题比赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(40,100]内，其频率分布直方图如图所示，则进入复赛的人数为( )A. 125B. 250C. 375D. 4006. 所有棱长都是3的直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. 12πB. 18πC. 21πD. 39π7. 设函数f(x)=Asin(ωx +φ)+1，(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x =π12对称，则下列判断正确的是( )A. 函数y =f(x)在[−π6,π3]上单调递减 B. 函数y =f(x)的图象关于点(−π6,0)对称 C. 函数y =f(x)的图象关于直线x =−5π12对称D. 要得到y =sin2x +1的图象，只需将f(x)图象向右平移π3个单位8. 直线l 与双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行，l 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，交C 于A ，B 两点，若|AB|=5，则E 的离心率为( )A. 2B. √3C. √5D. √529. 已知定义在R 上的函数f(x)={lnx,x >1|x 2−x|,x ≤1，若函数k(x)=f(x)+ax 恰有2个零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−1e )∪{0}∪(1,+∞) B. (−1,−1e )∪{0}∪(1,+∞) C. (−1,−1e )∪{0}∪(−1e ,+∞)D. (−∞,−1)∪{0}∪(−1e ,1)二、单空题（本大题共6小题，共30.0分） 10. i 是虚数单位，复数|8+i2−3i |= ．11. 在(2√x +3x 2)5的展开式中，1x 的系数为______ ．12. 已知直线l ：y =kx −1与圆C ：x 2+y 2−4x +3=0相切，则正实数k 的值为______ ．13. 一个盒子里有1个红1个绿4个黄，共六个相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为X ．(1)若取球过程是无放回的，则事件“X =2”的概率是______ ． (2)若取球过程是有放回的，则E(X)= ______ ． 14. 已知lg(x +2y)=lgx +lgy ，则xy+x+2y 2y的最小值为______ ．15. 在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，∠BCD =150°，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC =4√33，AE =2√3，若点M 为边CD 上的动点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sinA −sinB)2=sin 2C −sinAsinB ． (1)求角C 的大小；(2)若a =3b ，求cos(2B +C)的值．17. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90°，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =8，AB =4． (1)求证：MN//平面BDE ； (2)求二面角C −EM −B 的正弦值；(3)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为√721，求线段AH 的长．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率e =√32，长轴长为4．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点(非长轴端点)，MO 的延长线与椭圆交于P 点，求△PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．19. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 2n−1=a n ，c 2n =(−1)n a n b n ，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ； (3)求∑(−1)k (6k+5)b ka k a k+1n k=1．20. 已知函数f(x)=sin n x ，g(x)=lnx +me x (n 为正整数，m ∈R)．(1)若y =g(x)在x =1处的切线垂直于直线y =12x ，求实数m 的值；(2)当n =1时，设函数ℎ(x)=x 2−1−2f(x)，x ∈(0,π)，证明：ℎ(x)仅有1个零点；(3)当n=2时，证明：f′(x)+g(x)<(x+m)e x−1．2答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵U={−3,−2,−1,0，1，2，3}，A={−1,0，1，2}，B={−3,0，2，3}，∴∁U B={−2,−1,1}，A∩(∁U B)={−1,1}．故选：C．可求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．本题考查了列举法和描述法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由2x>1⇒x<2且x≠0，由x<2，不能够推出2x>1，由2x>1，能够推出x<2，故：“x<2”是“2x>1”的必要不充分条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：f(−x)=−4(−x)(−x)2+1=4xx2+1=−f(x)，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x>0时，f(x)<0，排除A，故选：B．先判断函数是奇函数，利用对称性以及当x>0时f(x)<0，进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵a =20.8,b =log 1223,c =20.6，且20.8>20.6>20=1，log 1223<log 1212=1， ∴b <c <a ． 故选：D ．可得出a =20.8，c =20.6，然后可得出20.8>20.6>1,log 1223<1，然后即可得出a ，b ，c 的大小关系．本题考查了指数的运算性质，指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：初赛成绩大于80分的进入复赛，某校有500名学生参加了初赛， 由频率分布直方图得初赛成绩大于80分的频率为： (0.015+0.010)×10=0.25．则进入复赛的人数为：0.25×500=125． 故选：A ．由频率分布直方图求出初赛成绩大于80分的频率，由此能求出进入复赛的人数． 本题考查频数的运算，涉及到频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】C【解析】 【分析】正三棱柱的上下底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．本题是中档题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力． 【解答】解：由题意可知：正三棱柱的上下底面中心的连线的中点就是外接球的球心， 底面中心到顶点的距离为：23×√32×3=√3；所以外接球的半径为：√(√3)2+(32)2=√212．所以外接球的表面积为：4π(√212)2=21π．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=Asin(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为A +1=2，∴A =1．其图象相邻两个对称中心之间的距离为12×2πω=π2，∴ω=2．∵f(x)的图象关于直线x =π12对称， ∴2×π12+φ=kπ+π2，即φ=(k −1)π+π3，k ∈Z ， 故φ=π3，f(x)=sin(2x +π3)+1．当x ∈[−π6,π3]，2x +π3∈[0,π]，故函数y =f(x)在[−π6,π3]上不单调，故A 错误； 当x =−π6，求得f(x)=1，故函数y =f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，故B 错误； 当x =−5π12，求得f(x)=0，为最小值，故函数y =f(x)的图象关于直线x =−5π12对称，故C 正确；要得到y =sin2x +1的图象，只需将f(x)图象向右平移π6个单位，故D 错误， 故选：C ．由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，和正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：依题意，点F 的坐标为(1,0)，设直线l 的方程为x =my +1，联立方程组{x =my +1y 2=4x ，消去x 并整理得：y 2−4my −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4，则|AB|=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4(m 2+1)=5，解得：m =±12，∴直线l 的方程为2x +y −2=0或2x −y −2=0；直线的斜率为：±2． 直线l 与双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行，可得b =2a ， 所以b 2=4a 2=c 2−a 2，e >1，解得e =√5．设直线l的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式求得m的值，即可求得直线l的斜率，然后求解双曲线的离心率即可；本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9.【答案】B【解析】解：作出函数f(x)的图象，如图示：考虑直线y=x，y=−x，y=1ex与曲线f(x)相切，由直线y=−ax与曲线y=f(x)的位置关系可得：当−a∈(−∞,−1)∪{0}∪(1e,1)时有两个交点，即a∈(−1,−1e)∪{0}∪(1,+∞)时函数y=k(x)恰有两个零点．故选：B．作出函数f(x)的图象，求得直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用分类讨论思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】√5【解析】【分析】本题考查了复数模的计算，属于基础题．由复数|8+i2−3i |=|8+i||2−3i|，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数|8+i2−3i |=|8+i||2−3i|=√82+1222=√65√13=√5，故答案为√5．11.【答案】0【解析】解：设(2√x +3x 2)5的展开式中的通项为T r+1，则T r+1=C 5r(2√x)5−r ⋅(3x2)r =3r ⋅25−r⋅C 5r ⋅x5−r2−2r ，令5−r 2−2r =−1，则r =75∉N ∗，∴1x 的系数为0， 故答案为：0．利用二项展开式的通项公式，可求得1x 的系数为0．本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查数学运算的素养，属于中档题．12.【答案】43【解析】解：圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心为(2,0)，半径r =1， 因为直线l 与圆相切，则圆心到直线l 的距离等于半径1，所以√k 2+1=1，解得k =0或k =43， 因为k 为正实数， 所以k =43． 故答案为：43．求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离的等于半径，列出等式，求解即可． 本题考查了直线与圆位置关系的应用，主要考查了圆的切线方程的应用，点到直线距离公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．13.【答案】35 2【解析】解：(1)有题意可知P(X =2)=C 42C 21C 63=35；(2)有放回的取球，即X 服从二项分布，n =3，p =44+2=23， ∴X ～B(3,23)，∴E(X)=3×23=2， 故答案为：35，2．(1)利用古典概型的概率计算公式可以直接算出； (2)利用题中的条件可知X 服从二项分布，即可解出．本题考查了古典概型的概率计算，二项分布期望的计算，学生的运算能力，属于基础题．14.【答案】4+4√2【解析】解：因为lg(x +2y)=lgx +lgy =lg(xy)， 所以x +2y =xy ，x >0，y >0， 所以x =xy −2y ，2x +1y =1， 则xy+x+2y 2y =xy+xy−2y+2y 2y=2x +2y −2=2(x +y)(2x+1y)=−2=2(x y+2y x)+4≥2×2√xy ⋅2y x +4=4+4√2，当且仅当xy =2yx且，2x +1y =1时取等号，此时xy+x+2y 2y的最小值4+4√2．故答案为：4+4√2．由已知结合对数的运算性质可得x =xy −2y ，2x +1y =1，然后结合乘1法配凑基本不等式应用条件，然后结合基本不等式可求．本题主要考查了基本不等式求解最值，还考查了对数的运算性质，解题的关键是应用条件的配凑．15.【答案】154【解析】解：因为AB ⊥AD ，所以以A 为原点，AB ，AD 分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系， 连接CE ，则A(0,0)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE =2√3， 所以E(2√3,0)，B(8√33,0)，所以BE =2√33， 因为∠ABC =60°，BC =4√33， 由余弦定理可得CE =2，所以CE 2+BE 2=BC 2，所以∠BEC =90°，即CE ⊥BE ，所以C(2√3,2)， 由∠BCD =150°，可得∠ADC =60°，过点C 作CF ⊥AD 于点G ，则有CF =AE =2√3，AF =CE =2， 所以DF =2，所以AD =4，所以D(0,4)，设DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]， 则{x M −0=2√3λy M −4=−2λ，所以M(2√3λ,4−2λ)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3λ,4−2λ)⋅(2√3λ−2√3,4−2λ) =12λ(λ−1)+(4−2λ)2=16λ2−28λ+16，当λ=78时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为16×(78)2−28×78+16=154，即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为154． 故答案为：154．以A 为原点，AB ，AD 分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算，以及二次函数的性质即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般采用建立坐标系，借助平面向量的坐标运算可以事半功倍，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16.【答案】解：(1)因为(sinA −sinB)2=sin 2C −sinAsinB ，即sin 2A +sin 2B −sin 2C =sinAsinB ， 由正弦定理得，a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得cosC =12， 由C 为三角形内角得C =π3； (2)由(1)得a 2+b 2−c 2=ab ， 因为a =3b ， 所以c =√7b ， 故cosB =a 2+c 2−b 22ac=2222×3b×√7b=5√714， 由B 为三角形内角得sinB =√2114，故cos2B =2cos 2B −1=2×175196−1=1114，sin2B =2sinBcosB =2×5√714×√2114=5√314， 所以cos(2B +C)=cos(2B +π3)=12cos2B −√32sin2B =12×1114−√32×5√314=−17．【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos C ，进而可求C ；(2)结合(1)可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理可求cos B ，然后结合二倍角公式可求cos2B ，sin2B ，然后结合两角和公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及二倍角公式在三角求值中的应用，属于中档题．17.【答案】(1)证明：建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0，0)，B(4,0，0)，C(0,8，0)，D(0,0，4)，E(0,4，4)，M(0,0，2)，N(2,4，0)，P(0,0，8)， 所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−4)， 设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{4y =04x −4z =0，令z =1，则x =1，故n⃗ =(1,0,1)， 又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4,−2)，所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2×1+4×0−2×1=0， 所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又MN ⊄平面BDE ， 所以MN//平面BDE ；(2)解：平面BEM 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 又EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,−2),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0,−2)， 设平面EMN 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则有{n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 2⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−4b −2c =04a −2c =0， 令c =2，则a =1，b =−1，故n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)， 所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√66， 所以sin <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=√1−cos 2<n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ >=(√66)=√306， 故二面角C −EM −B 的正弦值为√306；(3)解：由题意，设AH =ℎ(0≤ℎ≤8)，则H(0,0，ℎ)，所以NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,ℎ)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,4)，由已知可得，|cos NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|NH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||NH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√ℎ2+20×4√3=√721，整理可得5ℎ2−21ℎ+16=0，解得ℎ=165或ℎ=1，所以线段AH 的长为165或1．【解析】建立合适的空间直角坐标系，求出已知点的坐标．(1)利用待定系数法求出平面BDE 的法向量，求出直线MN 的方向向量，证明MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ 即可；(2)利用待定系数法求出平面EMN 的法向量，然后利用向量的夹角公式结合同角三角函数关系求解即可；(3)设AH =ℎ(0≤ℎ≤8)，则H(0,0，ℎ)，求出直线NH 和BE 的方向向量，然后利用向量的夹角公式列出关于h 的方程，求解即可．本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，涉及了线面平行的证明，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为椭圆的长轴长为4，所以2a =4，解得a =2，① 因为椭圆的离心率e =√32，所以e =√32=ca ，②又因为a 2=b 2+c 2，③ 由①②③解得a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)设直线MN 的方程为x =my −√3，联立{x =my −√3x 24+y 2=1，得(4+m 2)y 2−2√3my −1=0， 因为△>0，y 1+y 2=2√3mm 2+4，y 1y 2=−1m 2+4，所以|MN|=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=4(m 2+1)m 2+4，所以原点到直线x =my −√3的距离d =√3√m 2+1， 所以点P 到直线MN 的距离2d =√3√m 2+1， 所以S △MNP =12|MN|⋅2d =4√3√m 2+1m 2+4，令√m 2+1=t ，t ≥1，则S△MNP=4√3tt+3=4√3t+3t≤√32√t⋅3t=2，当且仅当t=√3时，取等号，所以直线l的方程为x−√2y+√3=0或x+√2y+√3=0．【解析】(1)由离心率e=√32，长轴长为4，列方程组，解得a2，b2，即可得出答案．(2)设直线MN的方程为x=my−√3，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，由弦长公式可得|MN|，由点到直线的距离公式可得原点到直线x=my−√3的距离d，推出S△MNP=12|MN|⋅2d，再结合基本不等式，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5−2b2=a3，可得q+6+d=10，3+4d−2q= 3+2d，解得d=q=2，则a n=3+2(n−1)=2n+1，b n=2n−1；(2)c2n−1=a n=2n+1，c2n=(−1)n a n b n=12(2n+1)⋅(−2)n，T2n=(c1+c3+⋯+c2n−1)+(c2+c4+⋯+c2n)=(a1+a2+⋯+a n)+[−3⋅20+5⋅2+⋯+12(2n+1)⋅(−2)n]，由S n=12n(3+2n+1)=n2+2n，设B n=12⋅3⋅(−2)1+12⋅5⋅(−2)2+⋯+12(2n+1)⋅(−2)n，−2B n=12⋅3⋅(−2)2+12⋅5⋅(−2)3+⋯+12(2n+1)⋅(−2)n+1，两式相减可得3B n=−3+12[2⋅(−2)2+2⋅(−2)3+⋯+12⋅2⋅(−2)n]−12(2n+1)⋅(−2)n+1=−3+4[1−(−2)n−1]1−(−2)−12(2n+1)⋅(−2)n+1，化简可得B n=−59−6n+518⋅(−2)n+1，所以T2n=n2+2n−59−6n+518⋅(−2)n+1；(3)(−1)n(6n+5)b na n a n+1=(−1)n(6n+5)2n−1(2n+1)(2n+3)=(−1)n2n−12n+1−(−1)n+12n2n+3，所以∑(−1)k(6k+5)b ka k ak+1n k=1=(−13−25)+(25−−47)+(−47−89)+⋯+[(−1)n 2n−12n+1−(−1)n+12n2n+3]=−13−(−1)n+12n2n+3．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d ，q ，进而得到所求；(2)求得c 2n−1=a n =2n +1，c 2n =(−1)n a n b n =12(2n +1)⋅(−2)n ，由数列的分组求和、错位相减法求和，计算可得所求和； (3)求得(−1)n (6n+5)b na n a n+1=(−1)n (6n+5)2n−1(2n+1)(2n+3)=(−1)n 2n−12n+1−(−1)n+12n2n+3，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和、分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，y =g(x)在x =1处的切线斜率等于−2，而g′(x)=1x +me x ，所以g′(1)=1+me =−2，解得m =−3e ；(2)证明：要证明ℎ(x)仅有一个零点，需证明ℎ(x)=x 2−1−2sinx =0，x ∈(0,π)仅有一个实根，因为ℎ′(x)=2x −2cosx =2(x −cosx)，当x ∈[π2,π)时，cosx <0，所以ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在x ∈[π2,π)上单调递增， 因为ℎ(π2)=π24−3<0,ℎ(π)=π2−1>0，所以存在x 0∈[π2,π)使得ℎ(x 0)=0，即有一个零点， 当x ∈(π2,π)时，令L(x)=ℎ′(x)=2x −2cosx ， 又因为L(0)=−2<0，L(π2)=π>0， 所以存在x 1∈[0,π2)，使得L(x 1)=0，所以当x ∈(0,x 1)时，L(x)<0，即ℎ′(x)<0，故ℎ(x)单调递减， 当x ∈(x 1,π2)时，L(x)>0，即ℎ′(x)>0，故ℎ(x)单调递增， 又ℎ(0)=−1<0，ℎ(π2)=π24−3<0，所以ℎ(x)在(0,π2)上无零点．综上所述，函数f(x)在(0,π)内只有一个零点；(3)证明：当n=2时，f′(x)=2sinxcosx=sin2x，要证f′(x)2+g(x)<(x+m)e x−1，只需证sin2x2+lnx+1−xe x<0，令H(x)=sin2x−2x，则H′(x)=2cos2x−2=2(cosx−x)≤0，所以H(x)在(0,+∞)上单调递减，所以H(x)<H(0)=0，所以sin2x<2x，那么要证上述的sin2x2+lnx+1−xe x<0，只需证x+lnx+1−xe x≤0，令F(x)=e x−x−1，则F′(x)=e x−1，当x<0时，F′(x)<0，则F(x)单调递减，当x>0时，F′(x)>0，则F(x)单调递增，故当x=0时，F(x)取得最小值F(0)=0，所以F(x)≥0，所以e x≥x+1，因为x+lnx∈R，所以e x+lnx≥x+lnx+1，所以xe x≥x+lnx+1，即x+lnx+1−xe x≤0，故f′(x)2+g(x)<(x+m)e x−1．【解析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合直线垂直的充要条件，列出关于m的等式，求解即可；(2)将问题转化为证明ℎ(x)=x2−1−2sinx=0，x∈(0,π)仅有一个实根，利用导数研究函数ℎ(x)的性质，结合零点的存在性定理证明即可；(3)将问题转化为证明证sin2x2+lnx+1−xe x<0，令H(x)=sin2x−2x，利用导数可证明sin2x<2x，从而只要证明x+lnx+1−xe x≤0即可，再利用导数研究函数F(x)= e x−x−1的性质，即可证明原不等式．本题考查了导数几何意义的应用、函数与不等式、函数与方程的综合应用，涉及知识点多，综合性强，考查学生逻辑思维能力和转化与化归思想，属于难题．。