数与式的运算

数与式的运算知识点高一作为数学学科的基础，数与式的运算是高中数学学习的重点之一，也是后续学习的基础。

掌握好数与式的运算知识点，对于理解和应用高中数学知识具有重要意义。

本文将介绍高一数与式的运算知识点，帮助学生更好地掌握数学知识。

一、四则运算四则运算是数学中最基本的运算之一，包括加法、减法、乘法和除法。

在高一阶段，我们需要巩固和深化对四则运算的掌握和应用。

1. 加法加法是指两个或多个数相加的运算，可以通过竖式或横式进行计算。

在进行加法运算时，需要注意数字的对齐，进位和进位法则等。

2. 减法减法是指两个数中较大的数减去较小的数，得到差的运算。

减法运算中，需要注意借位和退位的方法，特别是在减法竖式中的借位运算。

3. 乘法乘法是指两个或多个数相乘的运算。

在乘法运算中，可以使用竖式、横式或分配律等方法进行计算。

需要掌握好乘法口诀和快速计算技巧。

4. 除法除法是指一个数被另一个数整除的运算。

在除法运算中，需要注意除数、被除数和商之间的关系，以及余数的处理方法。

掌握好除法的基本原理和计算方法对于解决实际问题非常重要。

二、整数的运算整数是正整数、负整数和零的统称，是数学中的重要概念。

在高一数学学习中，我们需要掌握整数的加法、减法和乘法等运算。

1. 整数加法整数加法是指两个或多个整数相加的运算。

在整数加法中，需要注意正数加负数和负数加正数的情况，以及整数加法的运算法则。

2. 整数减法整数减法是指一个整数减去另一个整数，得到差的运算。

与整数加法类似，整数减法中也需要注意正数减负数和负数减正数的情况，以及整数减法的运算法则。

3. 整数乘法整数乘法是指两个整数相乘的运算。

整数乘法的运算法则和正数乘法类似，但需注意乘积的正负关系。

特别是两个负数相乘的结果为正数。

三、代数式的展开与因式分解代数式是由字母和数字按照一定规则组成的式子，是高中数学学习的重点之一。

在高一阶段，我们需要对代数式进行展开和因式分解等运算。

1. 代数式的展开代数式的展开是指将一个由字母和数字组成的式子，按照运算法则展开成一个多项式的过程。

专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。

2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。

2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。

三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。

第一讲数与式的运算第二讲因式分解知识篇数与式的运算1、实数；2、代数式；3、乘法公式；4、分式；5、二次根式因式分解1、提取公因式；2、运用公因式；3、分组分解法；4、十字相乘法；5、配方法笔记:归纳小结:数与式的运算1 、已知 的公式表示试写出用21121,,111R ，R R R R R R R ≠+=2、设X=,3232-+ Y=,3232+- 求33Y X +的值3、化简下列各式1）221-32-3）（）（+ 2）22x -2x -1）（）（+ （X ≥1）4、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a2+b2+c2的值。

分解因式1、提公因式法，运用公因式法（1）3a3b-81b4（2）a7-ab62、分组分解法（3）2ax-10ay+5by-bx （4）ab(c2-d2)-(a2-b2)cd （5）x2-y2+ax+ay （6）2x2+4xy+2y2-8z23、十字相乘（7）x2-7x+6 （8）x2+13x+36（9）x2+xy-6y2（10）(x2+x)2-8(x2+x)+12 （11）12x2-5x-2 （12）5x2+6xy-8y24、配方法（13）x2+12x+16 （14）a4+a2b2+b45、其他方法添项、拆项法、分解因式（15）x 3-3x 2+4 （16）(x 2-5x+2)(x 2-5x+4)-8二、因式分解的应用 1、已知a+b=32，ab=2，求代数式 a 2b+2a 2b 2+ab 2的值2、计算12345678921234567890-123456789112345678902）（ab o作业篇一选择1、二次根式，a -=2a 成立的条件是 （ ）A 、a ＞0，B 、a ＜0，C 、a ≤0，D 、a 是任意实数2、若x ＜3，则6x 6x -92--+x 的值是 （ ） A 、-3， B 、3， C 、-9， D 、93、数轴上有两点A ，B 分别表示实数a ，b ，则线段AB 的长度是 （ ） A 、a-b ， B 、a+b ， C 、b -a ，D 、b +a4、实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是 （ ） A 、a+b ＞a ＞b ＞a-b ， B 、a ＞a+b ＞b ＞a-b C 、a-b ＞a ＞b ＞a+b ， D 、a-b ＞a ＞a+b ＞b5、若等于，则yy x y x322x =+- （ ） A 、1， B 、45， C 、54， D 、56二化简1、19183-232）（）（+ 2、313-1+3、1-32-23121++4、38a -5、aa 1-⨯三、已知x+y=1，求x 3+y 3+3xy四、若2)1()1(22=++-a a ，求a 的取值范围。

中考知识点数与式的运算法则数与式的运算法则是中考重要的数学知识点之一。

掌握这些法则不仅可以帮助我们正确地进行数与式的运算，还可以提高我们的计算速度与准确性。

本文将介绍中考常见的数与式的运算法则，以帮助同学们更好地备考。

一、数与数的运算法则1. 加法法则加法法则是指将两个数相加时的运算法则。

具体的运算法则如下：（1）正数与正数相加：把两个正数的绝对值相加，并保持原来的正号。

例如：3 + 4 = 7（2）负数与负数相加：把两个负数的绝对值相加，并保持原来的负号。

例如：-2 + (-5) = -7（3）正数与负数相加：将两个数的绝对值相减，并保持绝对值大的数的符号。

例如：7 + (-3) = 42. 减法法则减法法则是指将两个数相减时的运算法则。

具体的运算法则如下：（1）正数减去正数：用较大的数减去较小的数，并保持原来的符号。

例如：5 - 3 = 2（2）负数减去负数：用较小的数减去较大的数，并保持原来的符号。

例如：-7 - (-4) = -3（3）正数减去负数：将两个数的绝对值相加，并保持较大的数的符号。

例如：8 - (-2) = 103. 乘法法则乘法法则是指将两个数相乘时的运算法则。

具体的运算法则如下：（1）正数乘以正数：两个正数相乘，积为正数。

例如：3 × 4 = 12（2）负数乘以负数：两个负数相乘，积为正数。

例如：-2 × (-5) = 10（3）正数乘以负数：两个数的绝对值相乘，积的符号为负。

例如：7 × (-3) = -214. 除法法则除法法则是指将两个数相除时的运算法则。

具体的运算法则如下：（1）正数除以正数：两个正数相除，商为正数。

例如：10 ÷ 5 = 2（2）负数除以负数：两个负数相除，商为正数。

例如：-6 ÷ (-2) = 3（3）正数除以负数：两个数的绝对值相除，商的符号为负。

例如：15 ÷ (-3) = -5二、数与式的运算法则1. 数与单项式的运算法则（1）正数与单项式相乘：将单项式中的每一项与正数相乘，并保持原来的符号。

数与式的运算数与式的运算是数学中的基础内容之一，它涉及到数的运算和式的运算。

数的运算主要包括加法、减法、乘法和除法，而式的运算则是对含有未知数的表达式进行计算和化简。

在日常生活和学习中，我们经常会遇到各种数与式的运算问题，因此掌握这方面的知识对于我们的数学学习和实际应用都具有重要意义。

一、数的运算数的运算是数学的基础，它包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

这些运算符号和规则在我们的日常生活中随处可见，我们经常会用到它们来解决各种实际问题。

1. 加法加法是最简单的数的运算之一，它的运算符号是“+”。

当我们需要将两个或多个数进行相加时，可以使用加法。

例如，计算2 + 3的结果为5，表示两个数相加的和是5。

在加法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a + b = b + a。

2. 减法减法是数的运算中常用的一种，它的运算符号是“-”。

减法是加法的逆运算，它表示从一个数中减去另一个数。

例如，计算5 - 3的结果为2，表示从5中减去3的差是2。

3. 乘法乘法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“×”或“*”。

乘法表示将两个或多个数相乘的结果。

例如，计算2 ×3的结果为6，表示两个数相乘的积是6。

在乘法中，两个或多个数的顺序可以交换，即a × b = b × a。

4. 除法除法是数的运算中的一种重要运算，它的运算符号是“÷”或“/”。

除法表示将一个数分成若干等份的运算。

例如，计算6 ÷ 2的结果为3，表示将6分成2等份，每份的值是3。

在除法中，被除数除以除数得到商，商可以是整数或小数。

二、式的运算式的运算是对含有未知数的表达式进行计算和化简的过程。

式是数学中的一种基本表达形式，它由数和运算符号组成，可以用来表示数与数之间的关系。

1. 合并同类项合并同类项是对式进行化简的一种常用方法。

同类项是指具有相同的字母部分和相同的指数的项。

例如，对于表达式3x + 2x - 5x，我们可以将其中的同类项3x、2x和-5x合并得到x，即3x + 2x - 5x = x。

数与式的基本概念及运算法则在数学中，数与式是基本的概念，它们在各个领域都有广泛运用。

本文将介绍数与式的基本概念和运算法则，希望能帮助读者更好地理解和运用数与式。

一、数的基本概念与运算法则1.1 自然数和整数自然数是最基本的数，即从1开始，依次递增的数。

自然数集合记作N={1, 2, 3, ...}。

整数是包括正整数、负整数和0的数。

整数集合记作Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。

1.2 有理数和无理数有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们包括整数、分数和有限小数。

有理数集合记作Q。

无理数是无法用有理数表示的数，它们包括无限不循环小数，如π和根号2等。

无理数集合记作I。

1.3 实数实数是包括有理数和无理数的所有数，它们构成实数集合R。

1.4 数的运算法则数的基本运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

加法法则：对于任意的实数a、b和c，满足结合律和交换律，即(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。

减法法则：减法是加法的逆运算，即a-b=a+(-b)。

乘法法则：对于任意的实数a、b和c，满足结合律和交换律，即(a*b)*c=a*(b*c)和a*b=b*a。

除法法则：除法是乘法的逆运算，即a/b=a*(1/b)。

二、式的基本概念与运算法则2.1 代数式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。

代数式可以包含加减乘除、指数、根号、括号等。

代数式可以是一元的或多元的。

2.2 方程与不等式方程是含有未知数的等式，表示两个代数式相等的关系。

解方程是求使方程成立的未知数的值。

不等式是含有未知数的不等式表达式，表示两个代数式的大小关系。

求解不等式是求使不等式成立的未知数的取值范围。

2.3 恒等式和条件式恒等式是对于所有满足式中变量范围的值都成立的等式。

条件式是只在满足一定条件时成立的等式。

2.4 表达式的合并与分解合并是指将多个代数式合并成一个更简单的表达式。

分解是指将一个复杂的代数式分解成几个更简单的表达式。

数与式的混合运算在数学学科中，数与式的混合运算是一种常见的计算方法。

它涉及到对数与代数式进行四则运算，将数值与未知数结合起来，通过一系列的运算步骤得出最终结果。

本文将探讨数与式的混合运算的基本原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这一数学技巧。

一、混合运算的概念和基本原理混合运算是将数与代数式用四则运算相结合的运算方法。

数是已知的具体数值，而式则是包含有未知数的代数表达式。

在混合运算中，通过对数与式进行加减乘除等操作，可以得到最终的计算结果。

混合运算的基本原理是根据数学运算的优先级和规则，按照先乘除后加减的次序进行计算。

当然，在具体的运算过程中，还需要注意括号的运用，以及对负数和分数的处理。

二、混合运算的具体步骤和实例下面通过一些具体的例子来说明混合运算的步骤和方法。

例一：计算表达式3 + 5 × 2按照混合运算的规则，先进行乘法，再进行加法。

所以，3 + 5 × 2 = 3 + 10 = 13。

例二：计算表达式(4 + 6) ÷ 2根据混合运算的规则，首先计算括号内的加法，然后进行除法。

所以，(4 + 6) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5。

例三：计算表达式2 × (3 + 4) ÷ 5同样按照混合运算的规则，首先计算括号内的加法，然后进行乘法和除法。

所以，2 × (3 + 4) ÷ 5 = 2 × 7 ÷ 5 = 14 ÷ 5 = 2.8。

通过以上实例可以看出，混合运算中的数与式的运算顺序是根据运算符的优先级来确定的，括号内的运算要优先进行，然后才是乘法和除法，最后是加法和减法。

三、混合运算的应用领域数与式的混合运算在实际生活和工作中具有广泛的应用。

以下是一些应用领域的例子：1. 财务管理：在财务管理中，混合运算可以用于计算利润、成本、销售额等指标。

2. 工程计算：在工程计算中，混合运算可以用于计算物体的面积、体积、速度等参数。

第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：ba -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1、 解不等式：13x x -+-＞4．解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1<x ，不等式可变为(1)(3)4x x ---->， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，∴不存在满足条件的x ；③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x≥3， ∴x ＞4．综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4． 解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|PA|，即|PA|＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB|，即|PB|＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知10 |x －1||x －3|点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P 在点D(坐标为4)的右侧． x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空： （1）若5=x ，则x=_________；若4-=x ，则x=_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b=，则a b = （B ）若a b>，则a b >（C ）若a b <，则a b< （D ）若a b=，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．解法一：原式=2222(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦=242(1)(1)x x x -++ =61x -． 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++=33(1)(1)x x +-=61x -． 例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．解：2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）；（2）(4m + 22)164(m m =++ )； (3 )2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：（1）若212x mx k++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x ++，22x y +1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与，等等．一般地，b与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 例1、将下列式子化为最简二次根式：（1（20)a ≥； （30)x <．解： （1= （20)a ==≥；（3220)x x x =-<．例2(3．解法一：(3＝＝．解法二：(3．例3 、试比较下列各组数的大小：（1（2解： （1）∵===，===，>（2）∵1===又 4＞22，∴6＋4＞6＋22，例4、化简：20042005⋅．解：20042005+⋅＝20042004+⋅-⋅-＝2004⎡⎤+⋅⋅-⎣⎦＝20041⋅例5、化简：（1（21)x<<．解：（1）原式===2=2=．（2）原式1xx=-，∵01x<<，∴11xx>>，所以，原式＝1xx-．例6、已知x y==22353x xy y-+的值．解：∵2210x y +==+=，1xy ==，∴22223533()1131011289x xy y x y xy -+=+-=⨯-=． 练 习1．填空：（1_____；（2(x =-x 的取值范围是_____；（3）=____；（4）若2x =+=_______． 2．选择题：=成立的条件是 （ ）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若1b a =+，求a b +的值．4．比较大小：2－ 3 ____5－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M≠0时，分式AB 具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M B B M ÷=÷．上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像abc d +，2m n p m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1、若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)A B A x Bx A B x A x x x x x x x x x ++++++===++++， ∴5,24,A B A +=⎧⎨=⎩解得 2,3A B ==．例2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯ ； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+ ． （1）证明：∵11(1)11(1)(1)n n n n n n n n +--==+++， ∴111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1111223910+++⨯⨯⨯ 11111(1)()()223910=-+-++- ＝910． （3）证明：∵1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＝111111()()()23341n n -+-++-+ ＝1121n -+，又n≥2，且n 是正整数， ∴1n ＋1一定为正数，∴1112334(1)n n +++⨯⨯+ ＜12． 例3、设ce a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．解：在2c2－5ac ＋2a2＝0两边同除以a2，得 2e2－5e ＋2＝0，∴(2e －1)(e －2)＝0，∴e ＝12 ＜1，舍去；或e ＝2． ∴e ＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ ___ 112n n -+； 2．选择题：若223x y x y-=+，则xy ＝（ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x yx y -+的值．4．计算1111 (122334)99100++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式： (1)13x ->； (2)327x x ++-< ； (3)116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a的取值范围是________；（3=________．B 组1．填空：（1）12a=，13b=，则2223352a aba ab b-=+-________；（2）若2220x xy y+-=，则22223x xy yx y++=+____；2．已知：11,23x y==的值．C 组1．选择题：（1（）（A）a b<（B）a b>（C）0a b<<（D）0b a<<（2）计算（）（A（B（C）（D）2．解方程：22112()3()10 x xx x+-+-=．3．计算：1111 132435911 ++++⨯⨯⨯⨯．4．试证：对任意的正整数n，有111123234(1)(2)n n n+++⨯⨯⨯⨯++＜14．1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法 例1 、分解因式：（1）x2－3x ＋2； （2）x2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x2－3x ＋2中的一次项，所以，有 x2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得x2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y)－1 ＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法例2 、分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 解： （1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++ =2(3)(3)x x ++． 或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++ ＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+ ＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+- =22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-． －1 －2 x x 图1．2－1 －1 －21 1 图1．2－2－2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1x y图1．2－5或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+--- =(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3、把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤--+--⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x2＋6x ＋8； （2）8a3－b3；（3）x2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-． 习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-． 2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a)．第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根X 1，2＝；（2）当b2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根X 1＝x 2＝－2ba ；（3）当b2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a +一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac 来判定，我们把b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），有 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－2ba ；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 例1、判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x ＋3＝0； （2）x2－ax －1＝0； （3） x2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x2－2x ＋a ＝0． 解：（1）∵Δ＝32－4³1³3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4³1³(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x =，22a x =．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4³1³(a－1)＝a2－4a ＋4＝(a －2)2， 所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a －1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4³1³a＝4－4a ＝4(1－a)， 所以①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x =21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a -=，则有1222b b x x a a -+===-；221222(4)444b b ac ac cx x a a a --====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1²x 2＝ca ．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x1＋x2＝－p ，x1²x2＝q ，即 p ＝－(x1＋x2)，q ＝x1²x2，所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1²x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1²x2＝0．因此有以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是X2－(x1＋x1)x＋x1²x2＝0．例2 、已知方程2560x kx+-=的一个根是2，求它的另一个根及k的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5³22＋k³2－6＝0，∴k＝－7．所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－3 5．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－65，∴x1＝－35．由（－35）＋2＝－5k，得 k＝－7．所以，方程的另一个根为－35，k的值为－7．例3、已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2＝－2(m－2)，x1²x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1²x2＝21，∴(x1＋x2)2－3 x1²x2＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得 m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或m＝17．当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4³1³293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4、已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x，y，则 x＋y＝4，①xy＝－12．②由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，∴x1＝－2，x2＝6．∴112,6,xy=-⎧⎨=⎩或226,2.xy=⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2和6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．例5、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．（1）求| x1－x2|的值；（2）求221211x x+的值；（3）3231xx+．解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴1252x x+=-，1232x x=-．（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝253 ()4() 22 --⨯-＝254＋6＝494，∴| x1－x2|＝72．（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]＝(－52)³[(－52)2－3³(32-)]＝－2158．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则1x =，2x =，∴| x1－x2|===． 于是有下面的结论：若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0），则| x1－x2|＝||a （其中Δ＝b2－4ac ）．今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6、若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．解：设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ② 由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4． 练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m≠0 （D ）m ＞－14，且m≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝_______． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m≠0）的根的情况是____________________________． （3）以－3和1为根的一元二次方程是______________________．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-；④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－1 2．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝_______．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝__________．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是_______．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ __________．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数． B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为 （ ）（A ）1或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 _________．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是______．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根为x 1和x 2．求：（1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）3231x x +． 5．关于x 的方程x2＋4x ＋m ＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m 的值． C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9（2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m)x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12 （C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b)x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2．填空：若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝________．3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－32成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x xx x+－2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k＝－2，12xxλ=，试求λ的值．4．已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质问题1、函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝12x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．先列表：从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x2，y ＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x2的图象可以由函数y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x2，y ＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x2的图象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax2(a≠0)的图象可以由y ＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax2(a≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 问题2 函数y ＝a(x ＋h)2＋k 与y ＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法：由于y ＝ax2＋bx ＋c ＝a(x2＋b x a )＋c ＝a(x2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a -=++， 所以，y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：图2.2-2图2.2-1（1）当a ＞0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2ba -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a -时，函数取最大值y ＝244ac b a -． 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 、求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．解：∵y ＝－3x2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线x ＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当x ＝－1时，函数y 取最大值y ＝4；当x ＜－1时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞－1时，y 随图2.2-3图2.2-4着x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x 轴交于点B 3(,0)3和C 3(,0)3-，与y 轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确．例2、某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表所示：若日销售量y 是销售价x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润＝日销售量y³(销售价x －120)，日销售量y 又是销售价x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值． 解：由于y 是x 的一次函数，于是，设y ＝kx ＋（B ） 将x ＝130，y ＝70；x ＝150，y ＝50代入方程，有70130,50150,k b k b =+⎧⎨=+⎩解得 k ＝－1，b ＝200． ∴ y ＝－x ＋200． 设每天的利润为z （元），则z ＝(－x+200)(x －120)＝－x2＋320x －24000 ＝－(x －160)2＋1600，∴当x ＝160时，z 取最大值1600．答：当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元．例3、把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．解法一：y ＝x2＋bx ＋c ＝(x+2b)224b c +-，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到22(4)224b b y x c =+++-+的图像，也就是函数y ＝x2的图像，所以，240,220,4bb c ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解得b ＝－8，c ＝14．解法二：把二次函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x2的图像，等价于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝x2＋bx ＋c 的图像．由于把二次函数y ＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y ＝(x －4)2＋2的图像，即为y ＝x2－8x ＋14的图像，∴函数y ＝x2－8x ＋14与函数y ＝x2＋bx ＋c 表示同一个函数，∴b ＝－8，c ＝14．说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．例4、已知函数y ＝x 2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 解：（1）当a ＝－2时，函数y ＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x ＝－2；（2）当－2＜a ＜0时，由图2．2－6①可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝a 时，函数取最小值y ＝a2；（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x ＝－2时，函数取最大值y ＝4；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0；（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x ＝a 时，函数取最大值y ＝a2；当x ＝0时，函数取最小值y ＝0．说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的①图2.2－6②③二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．练习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A）y＝2x2（B）y＝2x2－4x＋2（C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝_____，n＝________．（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝_____时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝______时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝______时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向_______，对称轴为________，顶点坐标为______；当x＝_______时，函数取最____值y＝______；当x _______时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象:（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1、已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y＝x＋1上，所以，2＝x＋1，∴x＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(2)1(0)y a x a=-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(32)1a-=-+，解得a＝－2．∴二次函数的解析式为22(2)1y x=--+，即y＝－2x2＋8x－7．说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．例2、已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，展开，得 y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为2212444a aaa--=-，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，∴|－4a|＝2，即a＝12±．所以，二次函数的表达式为y＝21322x x+-，或y＝－21322x x-+．分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x＝－1．又顶点到x 轴的距离为2， ∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a(x ＋1)2＋2，或y ＝a(x ＋1)2－2， 由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a(1＋1)2＋2，或0＝a(1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12．所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2．说明：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．例3、已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式． 解：设该二次函数为y ＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x2＋12x －8．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练 习 1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定 （2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a ____________(a≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为____________． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．。

数与式的计算数与式的四则运算化简与求值数与式的计算——数与式的四则运算化简与求值在数学中，计算是一种重要的技能，它涉及数与式的四则运算、化简和求值。

了解和掌握这些技巧对于解决数学问题非常关键。

本文将介绍数与式的四则运算、化简与求值方法。

1. 加法加法是计算中最基础的运算之一。

当我们计算两个数的和时，只需要把它们相加即可。

例如，计算5加3，结果为8。

如果要计算更复杂的式子，比如2加3再减去4，我们需要遵循计算的顺序，先计算加法，再计算减法。

所以，2加3再减去4的结果为1。

2. 减法减法是计算中常用的运算之一。

计算减法时，我们需要明确被减数和减数的顺序。

例如，计算7减去3，结果为4。

和加法一样，如果要计算复杂的式子，比如12减去7再加上5，我们需要按照顺序进行运算，先计算减法，再计算加法。

所以，12减去7再加上5的结果为10。

3. 乘法乘法是计算中常用的运算之一。

当我们计算两个数的乘积时，只需要把它们相乘即可。

例如，计算2乘以3，结果为6。

如果要计算更复杂的式子，比如2乘以3再加上4，我们需要按照计算的顺序，先计算乘法，再计算加法。

所以，2乘以3再加上4的结果为10。

4. 除法除法是计算中常用的运算之一。

计算除法时，我们需要明确被除数和除数的顺序。

例如，计算12除以3，结果为4。

和前面介绍的运算一样，如果要计算更复杂的式子，比如12除以3再加上2，我们需要按照顺序进行运算，先计算除法，再计算加法。

所以，12除以3再加上2的结果为6。

5. 化简与求值为了简化数与式，我们可以进行合并或分解。

合并是将同类项相加或相乘，分解是将一个式子拆分成多个简单的式子。

例如，化简式子3乘以(2加1)可以得到3乘以3，结果为9。

求值是指用具体的数代入变量，计算得到数与式的具体结果。

例如，求值式子2乘以x，其中x的取值为3，则结果为6。

通过四则运算的化简与求值，我们能够更好地理解和解决数学问题。

无论是简单的计算还是复杂的算式，我们都可以根据运算规则和顺序来准确地计算。

第一讲 数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x解：原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列． 【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明: 3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+ 说明:请同学用文字语言表述公式2. 【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+ 我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式． 【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+ （2）)41101251)(2151(22n mn mn m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++ 解：（1）原式=333644m m +=+ （2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构． （2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331xx +的值．解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴x x 原式=18)33(3]3)1)[(1()11)(1(2222=-=-++=+-+xx xx xx xx说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111()()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b a c a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abb ac acc a b bcc b a +⋅++⋅++⋅abccb a abc c acb b bca a 222)()()(++-=-+-+-=①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴ ②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式式子(0)a a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2()(0)a a a =≥(2) 2||aa =(3)(0,0)ab a b a b =⋅≥≥ (4)(0,0)b b a b aa=>≥【例6】化简下列各式： (1)22(32)(31)-+-(2)22(1)(2) (1)x x x -+-≥解：(1) 原式=|32||31|23311-+-=-+-=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明：请注意性质2||a a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： (1)323+(2)11ab+(3) 3282x x x -+解：(1) 原式=23(23)3(23)63323(23)(23)--==--+-(2) 原式=22a b a b ab abab++=(3) 原式=2222222223222x x xx x x x x x x x -⋅+⨯=-+=-⨯说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如323+)或被开方数有分母(如2x )．这时可将其化为a b形式(如2x 可化为2x ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如323+化为3(23)(23)(23)-+-，其中23+与23-叫做互为有理化因式)．【例8】计算： (1) 2(1)(1)()a b a b a b ++-+-+(2)a a a aba ab+-+解：(1) 原式=22(1)()(2)2221b a a ab b a ab b +--++=--++(2) 原式=11()()a a a a b a a b a ba b+=+-+-+()()2()()a b a b aa ba b a b ++-==-+-说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设2323,2323x y +-==-+，求33x y +的值．解：22(23)23743,743 14,12323x y x y xy ++===+=-⇒+==--原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式A B的分子、分母中至少有一个是分式时，A B就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．【例10】化简11x x x x x-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x ++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x x xx x x x x x x x xx x xx x x x x x xx ++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A m BB m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．A 组1．二次根式2a a =-成立的条件是()A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <，则296|6|x x x -+--的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3) 222()()()a b a ab b a b +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)： (1) 38a -(2) 1a a⋅-(3)4ab a b b a-(4)11223231+-+-5．化简： (1)219102325m m m mmm+- (2)222 (0)2x yx y x y xx y--÷>>B 组1．若112x y-=，则33x xy y x xy y+---的值为( )：练 习A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1) ()()a b c a b c +---(2) 111()23÷-3．设11,3232x y ==-+，求代数式22x xy yx y+++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b baab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求y x xyxy+的值．6．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设512x -=，求4221x x x ++-的值．8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++- 11．化简或计算：(1) 113(184)2323-+÷-(2) 22122(25)352⋅--++(3)2x x x yx xy y xy yxx yy+++---(4) ()()b ab ab a b a a bab bab aab-++÷+-++-第一讲 习题答案 A 组1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2()22212a b a a a a b+-------5． 2m m xy B 组1． D 2．2,3223a c b ac +--+ 3． 1336-4．3,2-5．23±6． 37．35-8．4328243216x x x x -+-+ 9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z ---+++11．433,,,3x yb a y+--。

初中数与式的知识点初中数学中，数与式是非常重要的基础知识点。

它们是数学学习的基础，也是后续学习的桥梁。

本文将从不同的角度探讨数与式的相关知识。

一、数与式的基本概念数是用来计量事物数量的概念，可以是具体的或抽象的。

而式是由数及数的运算符号和代数字母组成的算式，是数的运算及表示的工具。

二、数与式的基本运算1. 加法运算：加法是数与式中最基本的运算之一，可以将两个数或式子相加得到和。

例如，2+3=5。

2. 减法运算：减法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子减去另一个数或式子。

例如，7-4=3。

3. 乘法运算：乘法是数与式中的基本运算之一，可以将两个数或式子相乘得到积。

例如，3×4=12。

4. 除法运算：除法是数与式中常用的运算，它表示将一个数或式子除以另一个数或式子。

例如，8÷2=4。

三、数与式的应用数与式不仅仅用于数学运算中，还广泛应用于实际生活和其他学科中。

1. 代数方程式：代数方程式是数与式的重要应用之一。

它反映了数学与现实生活中的问题之间的关系。

通过解方程，可以求得未知数的值，解决实际问题。

例如，求解一元一次方程3x+1=7，可以得到x=2。

2. 几何问题：数与式在几何中也起到非常重要的作用。

例如，根据周长和面积的关系可以求解各种几何图形的特征。

3. 统计问题：数与式在统计学中有重要的应用。

通过统计数据，可以分析和描述事物的特征，得出相应的结论和推断。

四、数与式的拓展1. 立体几何：数与式也广泛应用于立体几何中。

通过数与式，可以计算立体图形的体积、表面积等。

2. 数据分析：数与式的应用还延伸到数据分析中。

通过统计学知识和数据处理技巧，可以分析和解释各种数据，进行有效的决策。

3. 函数关系：数与式还与函数关系密切相关。

通过数与式，可以建立复杂的函数关系，并进行各种数学操作和推算。

总结起来，数与式是初中数学中的基本概念和运算，不仅在数学中有广泛应用，还涉及到其他学科中的问题。

数与式的混合运算混合运算是数学中常见的一种运算方式，包括了数的四则运算以及对表达式的加减乘除运算。

通过混合运算，我们可以将数字与符号相结合，得出结果。

本文将介绍数与式的混合运算的基本概念、应用场景以及解题方法。

基本概念：1. 数数是人类用于计数和度量的抽象概念。

数可以分为整数、分数、小数、负数等等。

在混合运算中，数既可以是具体的数值，也可以是未知数，用字母表示。

2. 式式是由数、符号和运算符号组成的数学表达式。

式可以包含算术运算符（+、-、*、/）以及括号。

在混合运算中，式可以表示一系列的运算步骤，最终得出结果。

应用场景：数与式的混合运算可以在解决实际问题时提供帮助。

以下是几个常见的应用场景：1. 财务分析在财务分析中，我们常常需要对各类数据进行比较和计算。

通过数与式的混合运算，我们可以进行收入、支出、利润等方面的计算和对比，从而帮助我们做出决策。

2. 科学研究在科学研究中，物理、化学等学科常常涉及大量的数据和公式。

通过数与式的混合运算，我们可以进行实验数据的处理和计算，从而得出结论。

3. 工程应用在工程应用中，我们需要进行各种计量和测量。

通过数与式的混合运算，我们可以进行工程量的计算，从而指导设计和施工。

解题方法：1. 确定问题首先，我们需要明确问题，了解需要运算的具体内容和目的。

在解题之前，明确问题对于制定合理的解题方法非常重要。

2. 分析式子针对给定的式子，我们需要进行分析。

确定各个数值、符号和运算符的含义，了解其在运算中的作用和规则。

3. 顺序求解按照数学运算的基本规则，我们按照先乘除后加减的顺序进行计算。

其中，括号内的运算优先级最高，需要最先计算。

4. 变量代换对于涉及未知数的式子，我们可以通过代入具体的数值对其进行计算。

同时，我们可以通过运算规律逆向推导出未知数的值。

总结：数与式的混合运算是数学中非常重要的一部分。

通过混合运算，我们可以将数与式相结合，解决实际问题。

在应用场景中，我们需要仔细分析问题，制定解题方法，并按照顺序进行计算。

数与式计算中的符号运算法则符号运算是数学中的一项重要内容，通过运用合适的法则和规则，能够对含有符号的式子进行简化、求值和推导等操作。

本文将介绍常见的数与式计算中的符号运算法则，包括加法、减法、乘法、除法和指数运算等。

一、加法法则1.加法交换律：a+b=b+a，即变换加法顺序不改变结果。

2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，即变换加法括号的位置不改变结果。

3.零元素：a+0=a，其中0为零元素。

二、减法法则1.减法的定义：a-b=a+(-b)，即减法可转化为加法。

2.减法符号的传递：a-b=a+(-b)=a+(-1)·b。

三、乘法法则1.乘法交换律：a·b=b·a，即变换乘法顺序不改变结果。

2.乘法结合律：(a·b)·c=a·(b·c)，即变换乘法括号的位置不改变结果。

3.乘法分配律：a·(b+c)=a·b+a·c，即乘法可以分配到加法。

4.乘法幂法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

五、指数运算法则1.幂的乘法法则：(a^m)·(a^n)=a^(m+n)，即同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂的除法法则：(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，即同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

3.幂的幂法则：(a^m)^n=a^(m·n)，即幂的幂，底数不变，指数相乘。

4.幂的零幂法则：a^0=1，即任何非零数的0次幂都等于15.幂的负指数法则：a^(-n)=1/(a^n)，即负指数的幂等于底数的倒数的正指数次。

六、除法法则1.除法的定义：a/b=a·(1/b)。

2.除法的倒数法则：a/b=a·(1/b)=a·b^(-1)，即除法可转化为乘法。

以上是数与式计算中的常见符号运算法则。

在实际运用中，我们可以根据这些法则对含有符号的式子进行化简、求值和推导等操作，从而达到简化计算、推导结论和解决实际问题的目的。