初中数学九年级《实际问题与一元二次方程：几何图形问题》公开课教学设计

初中数学公开课《实际问题与一元二次方程》优秀教学设计与反思
教材分析
要求学生学会分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示，这种数学建模思想的体现和前面有关方程的内容一致，只是问题难度有加，数学模型由一次方程变为一元二次方程。

这节课主要内容是，应用一元二次方程来解决实际问题，学习了这节课，就能够解决生活中的实际问题。

学情分析
上课时，老师分析比较细，学生好像已经懂得做，但是，课后自己做练习时就找不到各个量之间的关系，从学生的作业练习看出他们没有能真正的分析每一个问题，在和学生交谈时，好多学生都说，上课时听老师分析都好像比较容易，但到自己动手做就难了。

说明学生的认知能力不够，所以他们课后自己做练习，在分析问题时，主要是找不出应用题中各个量与未知量之间的关系，还有问题中的的相等关系。

教学目标
1、知识技能：能根据问题中的数量关系，列出一元二次方程，来解决实际工资问题，而且会检验结果是不是合理。

2、解决问题：探索问题中的数量关系，如通过解决封面设计与草坪规划问题，学会将实际问题转化为数学问题，发展实践应用意识。

3、情感态度：通过用一元二次方程解决的问题，体会数学知识的应用价值，提高学生学习数学的兴趣。

教学重点和难点
重点：列一元二次方程解有关问题的应用研究题
难点：找出应用题中的相等关系。

自主学习第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程第 3 课时 几何图形与一元二次方程学习目标：1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点）2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）重点：运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.一、知识链接用长为 60m 的篱笆围一个矩形的菜园.宽 AD 为 x m.用含 x 的代数式填空：（1）如图①，AB = m ，S 矩形 ABCD = ；（ 2 ） 如图② ， 菜园中间用一根篱笆隔开， 则 AB = m ， S 矩 形ABCD =；（3）如图③，菜园一面靠墙，中间用一根篱笆隔开，则 AB = m ，S 矩形ABCD =.图① 图② 图③课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究1 要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？(精确到0.1cm)方法点拨：几何图形与一元二次方程主要集中在几何图形的面积问题，这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.典例精析例1 如图，在一块宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽为多少？【变式题1】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题2】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题3】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，则这种方案下的道路的宽为多少？【变式题4】在宽为20m，长为32m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少？方法点拨：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些(目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路).例 2 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用58m 的围栏围成总面积为200m2的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题1】如图，要利用一面墙(墙长为25m)建羊圈，用80m 的围栏围成面积为600m2 的矩形羊圈，则羊圈的边长AB 和BC 的长各是多少米？【变式题2】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 平方米？方法点拨：围墙问题一般先设其中的一条边为x，根据周长等条件把另一边用x 表示出来，最后根据面积公式列方程求解.需要注意联系实际问题选择合适的解.三、课堂小结几何图形与一元二次方程问题几何图形常见几何图形面积是等量关系类型课本封面问题常采用图形平移能聚零为整方便列方程彩条/小路宽度问题动点面积问题当堂检测1.在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，那么x 满足的方程是（）A．x2+130x－1400=0B．x2+65x－350=0C．x2－130x－1400=0D．x2－65x－350=02.一块长方形铁板，长是宽的2 倍，如果在4 个角上截去边长为5cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，求铁板的长和宽．3.如图，要设计一个宽20cm，长为30cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？4. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°， AC =6cm ，BC =8cm.点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点 P ，Q 出发几秒后，可使△PCQ 的面积为 9 cm²？参考答案自主学习知识链接 (1)(30-x )x (30-x )(2)(30-1.5x )x (30-1.5x )(3)(60-3x )x (60-3x )课堂探究二、要点探究探究点：几何图形与一元二次方程探究 1 解：设中央矩形的长和宽分别为 9a cm 和 7a cm 由此得到上下边衬宽度之比为： 1 (27 - 1- 7a ) = 9(3 - a ) : 7(3 - a ) = 9 : 7. 设上下边衬的 9x cm ，左右边衬宽为 7x9a ) : (21 22cm ，则中央的矩形的长为(27-18x )cm ，宽为(21-14x )cm.要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.于是可 列 出 方 程 (27 -18x )(21-14x ) 327 21,整 理 得 16x 2-48x +9=0 ， 解 方 程 得= 创 46 - 3 3 6 + 3 3 （不合题意，舍去）.故上下边衬的宽度为9 6 - 3 3 左右 x 1 =4 , x 2 = 4椿 1.8, 4边衬的宽度为7 6 - 3 3椿41.4.例 1 方法一：解：设道路的宽为 x 米，依题意得 20×32-32x -20x +x 2=540,解得x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.方法二：解：设道路的宽为 x 米，依题意得(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2，x 2=50.当 x =50 时，32-x =-18，不合题意，舍去.∴取 x =2.答：道路的宽为 2 米.【变式题 1】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-x )(20-x )=540，解得 x 1=2， x 2=50（不合题意，舍去）.∴x =2. 答：道路的宽为 2 米.【变式题 2】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-x )=540，解得x 1=18- 274 » 1.45 ，x 2=18+ 274 （不合题意，舍去）.∴x ≈1.45.答：道路的宽为 1.45 米.典例精析【变式题 3】解：设道路的宽为 x 米，可列方程为(32-2x )(20-2x )=540，解得 x 1=1， x 2=25（不合题意，舍去）.∴x =1. 答：道路的宽为 1 米.【变式题 4 】解： 设横、竖小路的宽度分别为 3x 、 2x ， 于是可列方程(32-4x )(20-6x )= 3 创20 32, 解得 x 140.62 ，x 210.71 （不合题意，舍去）.∴x ≈0.62.则 3x ≈1.86,2x ≈1.24.答：横、竖小路的宽度分别为 1.86 米、1.24 米.例 2 解：设 AB 长是 x m.依题意得 (58-2x )x =200，即 x 2-29x +100=0，解得 x 1=25， x 2=4.x =25 时，58-2x =8，x =4 时，58-2x =50.答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 25m ，8m 或 4m ，50m.【变式题 1】 解：设 AB 长是 x m.依题意得(80-2x )x =600，即 x 2-40x +300=0，解得 x 1=10，x 2=30.x =10 时，80-2x =60>25，(舍去)，x =30 时，80-2x =20<25. 答：羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是 30m ，20m.【变式题 2】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m ，则平行于住房墙的一边长(25-2x +1)m.由题意得 x (25-2x +1)=80，化简，得 x 2-13x +40=0，解得 x 1=5， x 2=8.当 x =5 时，26-2x =16>12 (舍去），当 x =8 时，26-2x =10<12，故所围矩形猪舍的长为 10m ，宽为 8m. 当堂检测 1.B2.解：设铁板的宽为x cm, 则长为2x cm. 依题意得5(2x-10)(x-10)=3000 ，即x2-15x-250=0.解得x1=25，x2=-10(舍去）.所以2x=50.答：铁板的长50cm，宽为25cm.3.解：设横向彩条的宽度2x cm , 竖彩条的宽度3x cm ，依题意得(20-6x)(30-4x)=400，即6x2-65x+50=0.解得x= 5 , x = 10 （舍去）. 2x = 5 , 3x = 5 .1 623 2答：横向彩条的宽度5 cm ,竖彩条的宽度5 cm.3 2能力提升解：若设出发x s 后可使△PCQ 的面积为9cm² ,根据题意得AP= x cm，PC=(6-x)cm，CQ=2x cm.依题意得，整理，得x2-6x+9=0，解得x1= x2=3.答：点P，Q 出发3s 后可使△PCQ 的面积为9cm².。

人教版数学九年级上册22.3.4《实际问题与一元二次方程》教案一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章《实际问题与一元二次方程》是学生在学习了二元一次方程组、一元二次方程等知识的基础上，对实际问题进行数学建模、求解的过程。

通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程在实际问题中的应用，提高解决实际问题的能力。

教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题的解决。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的知识有了一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不能将数学知识与实际问题有效地结合起来，对于一些复杂的一元二次方程，学生的解法还不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相联系，提高学生解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解一元二次方程在实际问题中的应用。

2.掌握一元二次方程的解法，并能够将其应用于实际问题的解决。

3.培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程在实际问题中的应用，一元二次方程的解法。

2.难点：如何将实际问题转化为数学模型，如何引导学生运用一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳、推理等数学思维方法，探索一元二次方程在实际问题中的应用。

同时，运用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如购物问题、面积问题等。

2.准备一元二次方程的解法教案和PPT。

3.准备练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，如购物问题，引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。

学生可以自由发表意见，教师总结并引出一元二次方程的概念。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示几个实际问题，让学生尝试用一元二次方程来解决。

学生在解决问题的过程中，教师给予引导和指导，帮助学生掌握一元二次方程的解法。

21.3实际问题与一元二次方程第3课时几何图形问题实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣实际情境提起代数,人们自然就和方程联系起来,事实上,过去代数的中心问题就是对方程的研究.我国古代对代数的研究,特别是对方程解法的研究,取得了重要成果.我国古代数学家研究过二次方程的解法,当时的解法虽然与现代的解法不同,但已与现代的解法相似.下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步).只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步),问阔及长各几步”.答:“阔二十四步,长三十六步”.这里,我们不谈杨辉的解法,你能用已学过的知识解决这个问题吗?[教学提示] 在古代文献中有很多的方程应用型问题,题的内容来自生活,新颖有趣,有很高的数学价值和欣赏价值,通过本问题的引入,激起学生的学习兴趣.引导学生积极思考问题,建立方程的思想.悬念激趣如图21-3-3,小明把一张边长为10 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折叠成一个无盖的长方体盒子.图21-3-3(1)如果要求长方体的底面面积为81 cm2,那么剪去的正方形边长为多少?(2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求,那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化?折叠成的长方体的体积又会发生什么样的变化?长方体的底面积81644936251694正方形的边长121322523724长方体的体积8126414727212524863216[教学提示] 通过生活中的实际问题的引入,让学生感觉到数学与生活的联系,激起学生的学习兴趣.让学生体会数学来源于生活,又应用于生活,要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题,感受到数学的应用价值,并体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具.教材母题——第22页习题21.3第9题如图21-3-4,要设计一幅宽20 cm,长30 cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)?图21-3-4【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动,它的面积不会改变”的道理,把纵、横的彩条移动到一起,利用面积的和差解决问题.有关面积问题的常见图形有如下几种:图21-3-5【变式变形】1.如图21-3-6,某小区计划在一块长为32 m,宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是(A)图21-3-6A.(32-2x)(20-x)=570B.32x+2×20x=32×20-570C.(32-x)(20-x)=32×20-570D.32x+2×20x-2x2=5702.如图21-3-7,有一张矩形纸片,长为10 cm,宽为6 cm,将它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32 cm2,求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正方形的边长是x cm,根据题意可列方程为(B)图21-3-7A.10×6-4×6x=32B.(10-2x)(6-2x)=32C.(10-x)(6-x)=32D.10×6-4x2=323.如图21-3-8,某小区有一块长为36 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为600 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为2m.图21-3-84.如图21-3-9,已知一边靠墙,另三边用木篱笆围成一个面积为130 m2的矩形花坛,木篱笆长为33 m,墙长为15 m,则矩形花坛的长和宽各为多少米才能使木篱笆正好合适?[答案:花坛长为13 m,宽为10 m]图21-3-9【评价角度1】列一元二次方程解决等积变形问题方法指引:在列一元二次方程解决等积变形问题时,要抓住以下三个等量关系:①图形周长改变,面积没变;②容器形状改变,但容积没变;③原料体积=成品体积.从而找出题中的等量关系,列出方程.例用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为x cm,则可列方程为(B)A.x(20+x)=64B.x(20-x)=64C.x(40+x)=64D.x(40-x)=64【评价角度2】列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方法指引:方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型,而构建方程解决问题的关键是找到相等的数量关系,而几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割.例如本课素材二[教材母题模型].【评价角度3】列一元二次方程解决存在性问题方法指引:列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤:先假设结论存在或成立,然后根据题意列出方程.若方程有解,则说明假设成立;若方程无解,则说明假设不成立.例用长为32米的篱笆围成一个矩形养鸡场,设围成的矩形养鸡场的一边长为x米,面积为y平方米.(1)求y关于x的函数解析式.(2)当x为何值时,围成的矩形养鸡场的面积为60平方米?(3)能否围成面积为70平方米的矩形养鸡场?如果能,请求出其边长;如果不能,请说明理由.[答案:(1)y=x(16-x)(2)x=10或x=6(3)不能理由略]【评价角度4】 列一元二次方程解决运动型问题方法指引:运动型问题一般根据“路程=速度×时间”求出图形中相应边的长度,再列方程解决问题,这类题目一般和函数、几何图形综合考查,综合性较强.例1 如图21-3-10所示,东西方向上有相距10千米的A ,C 两地,甲以16千米/时的速度从A 地出发向正东方向前进,乙以12千米/时的速度从C 地出发向正南方向前进,则最快经过多少小时后,甲、乙两人相距6千米?答案:25小时图21-3-10例2 某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏形.如图21-3-11所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A ,B 以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l (cm)与时间t (s)满足关系:l=12t 2+32t (t ≥0),乙以4 cm/s 的速度匀速运动,半圆的长度为21 cm .(1)甲运动4 s 后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多长时间? (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多长时间?图21-3-11[答案:(1)14 cm (2)3 s (3)7 s]课题第3课时 几何图形问题授课人教学目标1.能根据面积问题中的数量关系列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述. 4.通过解决封面设计的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.5.通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识的应用价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点列一元二次方程解有关面积问题的应用题.教学难点发现面积问题中的等量关系.授课类型新授课课时教具多媒体(续表)教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.通过上节课的学习,大家学习到了哪些知识和方法?教师提出问题,学生回忆,选一名同学作答,其他同学补充.教师应重点关注:①学生对列方程解应用题的步骤是否清楚;②学生能否说出每一步的关键和应注意的问题.2.关于几何图形的体积、面积和周长,你知道哪些常见图形的计算公式?分别是什么?下面我们用图形的一些计算公式建立数学模型,解决一些涉及几何图形的实际问题.教师板书:实际问题与一元二次方程.既为学生创设一种回忆、思考的情景,又是自然的导入,为本课的探究活动做好铺垫.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】如图21-3-12,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?利用生活中常见的问题,激发学生的探究欲望,有利于学生主动参与,感受到数学来源于生活,应用于生活.图21-3-12问题:(1)本题中有哪些数量关系?(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形”?(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?(4)解方程并得出结论,对比几种方法各有什么特点.活动二:探究与应用教师提出问题(1),学生分析,请一名同学回答,教师在题目中指出数量关系;教师提出问题(2),学生思考,请一名同学回答,可举简单例子说明,最后引导学生得出正中央矩形的长、宽比是9∶7.教师提出问题(3),学生分组讨论,选代表上台演示、回答,每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中,设左、右边衬和上、下边衬的宽分别为7x cm和9x cm,教师要配合图形的平移加以电脑演示.教师提出问题,学生分组,分别按问题(3)中所列的方程来解答,选代表展示解答过程,并讲解解题过程和应注意的问题.在活动中,教师应注意:(1)学生对几何图形的分析能力;(2)学生在未知数的选择上,能否根据情况灵活处理;(3)在讨论中能否互相合作;(4)解一元二次方程的能力;(5)学生回答问题时的语言表达是否准确.1.重视培养学生读题和审题的能力.2.把实际问题符号化,为应用数学知识解决问题创造条件.3.培养学生树立方程意识,渗透方程思想.活动二:探究与【应用举例】例1有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样大小的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁应用举例使学生深刻体会数学知识应用的价值,由此提高学生学习数学的兴趣和应用数学应用皮各角应切去多大的正方形?师生活动:教师引导学生进行审题,确定好问题类型,然后指导学生按照图形面积公式进行解答.学生自主设未知数并列方程进行解答,教师做好点评和纠正.变式练习:用总长10 m的铝合金材料做一个如图21-3-13所示的窗框(不计损耗),窗框的外围是矩形,上部是两个全等的正方形,窗框的总面积为3.52 m2(材料的厚度忽略不计).若设小正方形的边长为x m,下列方程符合题意的是()图21-3-13A.2x(10-7x)=3.52B.2x ·10-7x2=3.52C.2x x+10-7x2=3.52D.2x2+2x(10-9x)=3.52的意识.【拓展提升】例2如图21-3-14,某中学为方便师生活动,准备在长30 m,宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路,横、纵路的宽度之比为3∶2.若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三,则路宽应为多少?图21-3-14教师提出问题:(1)本题中有哪些数量关系?(2)由这些数量关系还能得出什么新的结论?你想如何利用这些数量关系?为什么?如何列方程?(3)有什么方法使本题易于解决?教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,并适时拓展提升环节,学生通过探究与讨论,感受了将题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响,活跃了解题思路.点拨、提示,指导学生进行解答.活动三:课堂总结反思【达标测评】1.用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的矩形,a的值不可能是(D)A.20B.40C.100D.1202.如图21-3-15,在长为30米、宽为20米的矩形地面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕地.若耕地面积需要551平方米,则修建的路宽应为(A)图21-3-15A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米3.图21-3-16是矩形养鸡场的平面示意图,其中一面靠墙,另外三面用竹篱笆围成.若竹篱笆总长为35 m,所围矩形养鸡场的面积为150 m2,则此矩形养鸡场的长、宽分别为多少?图21-3-164.有一块长28 cm、宽20 cm的矩形纸片,在它的四角各截去一个相同的小正方形,然后将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子,若使长方体盒子的底面积为180 cm2,求截去的小正方形的边长.学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.活动三:课堂总结反思【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探究新知的环节中,由于教材问题设置较为复杂,所以教师做好必要的引导是关键,帮助学生分析图形之间的比例关系,使学生清晰地认识问题;在课堂训练的环节中,学生能够顺利地解答,实现了高效课堂.②[讲授效果反思]引导学生注意:(1)面积问题考虑利用面积公式列方程;(2)复杂图形的面积要进行分割或填充;(3)检验求得的解是否符合实际.③[师生互动反思]师生交流过程中,学生对于面积问题有较深的理解,基础好,列方程解答较为简便,对于过程中的个别问题,教师可交给学生讨论、解答.④[习题反思]好题题号错题题号反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.温馨提示:为满足广大一线教师的不同教学需求,特新增“典案二导学案设计”案例,word 排版,可编辑加工,方便使用.内容详见电子资源.。

《21.3实际问题与一元二次方程第三课时》教案一．内容和内容解析内容：本节课是九年级数学第二十一章一元二次方程的第三节实际问题与一元二次方程的第三课时：几何图形面积问题。

内容解析：本节课是在学习了列简单的代数式、一次方程、分式方程、二元一次方程组及其应用、一元二次方程及其解法等知识的基础上教学的．实际问题与一元二次方程是进一步讨论如何建立和利用方程模型解决实际问题的范例，这种数学建模思想的体现与前面有关方程各章是一致的，只是在问题中数量关系的复杂程度上又有了新的发展，数学模型由一元一次方程或可以化为一次方程的分式方程变为一元二次方程。

列一元二次方程是中心内容，解一元二次方程已属于巩固性内容。

对本节的学习和研究，丰富了教学内容，同时也拓宽了学生的视野，是本章重点内容之一，也是以后二次函数的研究的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具．本课的主要内容有：1．通过实际问题的解决进一步熟悉列方程解应用问题的一般步骤．2．如何正确地找到等量关系？3．准确列出方程表示数量关系．4．判断方程的根是否符合实际情况．二．目标和目标解析目标：1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；3．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述；4．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．目标解析：1．通过对具体实际问题的分析：“找出等量关系—设出合适的未知数—列出与等量关系对应的方程—解出方程—检验根的合理性—写出答案”，即“找、设、列、解、验、答”是列方程解决实际应用问题的一般步骤；2．让学生了解实际问题的背景，在数学活动中，引导学生分析，用一元二次方程模型解决实际问题．加强学生对应用数学知识分析和解决实际问题的意识和能力以及开拓创新精神的培养.3．通过自主探究与合作交流的学习方式，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在分析和解决问题的过程中丰富解题的经验，体会成功的喜悦．三.教学重难点教学难点：发现实际问题中的等量关系．教学重点：分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示．四.教学设计（一）复习引入1.正方形的面积公式是什么呢？2.长方形的面积公式又是什么？（二）.课堂探究你最行1、探究3：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？引导学生思考，互动解答2、图形变式一1.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.3、变式二：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?4、一题多解你最棒：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,下图为一位同学的设计方案(如图).求图中道路的宽分别是多少? 草坪面积为540米2;强调：我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽）（三）.练一练露一手：1.如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽．2.围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.（四）.课堂小结（师生互动）•列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．•这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．•利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（五）补充例题与练练1.例：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

21.3 实际问题与一元二次方程-解决几何问题第2课时解决几何问题教学目标知识技能1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．数学思考与问题解决1.通过列一元二次方程解决几何问题，培养学生“数形结合”的思想.2.通过几何问题中图形的变换，培养学生的“空间观念”和“几何直观”.3.通过列一元二次方程解决几何问题，再次培养学生的“模型思想”.情感态度体验几何问题中图形的变换过程，形成动手操作习惯；通过展示列方程和解方程的过程，使学生能逐步清晰地表达自己的想法，从而激发好奇心和求知欲.重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．教学设计活动1 复习引入1.列一元二次方程解决实际问题的一般步骤是什么？审；设；列；解；答.2.列方程解决实际问题中，最关键的是哪一步？2. 列方程解决实际问题中，检验需要注意什么？活动2 情境探究例1 教材第20页探究3提出问题：(1)本题中的数量关系有哪些？分别是什么？(2)如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形”？(3)如何理解“要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一”？换一句话说就是“正中央长方形的面积怎么样呢”？(4)“应如何设计四周边衬的宽度”是要求什么？应该如何设未知数？如何列方程？(5)比较各组同学展示的设未知数和列方程的过程，哪种方法列方程更简单？请选择其中一个方程进行解答.(6)比较各组同学展示的解答过程，思考设直接未知数或间接未知数，在解题过程中有什么不同？检验要注意什么问题？总结：同一个题中，有时设直接未知数和间接未知数都可以，如何选择取决于哪种方式列出的方程更简单.同理，同一个题目中的数量关系，有时可以直接利用来列方程，也可以转化之后来列方程，如何选择取决于哪种方式列出的方程更简单，所以设未知数和列方程的过程时，可以比较多种方法，选择列出的方程比较简单的方法.活动3 拓展提高例2 教材第22页习题21.3第9题.提出问题：(1)请找出本题中的数量关系.(2)有这些数量关系可以转化出什么新的结论？(3)如何设未知数和列方程？请展示你的解题方法.(4)本题的图形与例1的图形有什么区别与联系？本题能否在图形上作一些变换？怎么变？总结：例2的图形可以按照如图所示的方法将两横两竖的彩条进行平移，使得剩余图形形成一个长方形，这个长方形的长和宽比较容易表示，可以使我们列方程更简单.几何问题中，有时将图形进行变形，可以帮助我们更容易找到数量关系，列出更简单的方程.活动4 练习巩固1.有一张长方形的桌子，长6米，宽4米，又一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?2.如图所示，是某居民小区休闲广场的平面示意图．图中阴影部分是草坪和健身器材安装区，空白部分是用做散步的道路．东西方向的一条主干道较宽，其余道路的宽度相等，主干道的宽度是其余道路的宽度的2倍．这块休闲广场南北长18m，东西宽16m．已知这休闲场地中草坪和健身器材安装区的面积为m，请问主干道的宽度为多少米？1682活动5 课堂小结与作业布置课堂小结：1.列方程解决实际问题的关键是审题.2.找出题目中的数量关系，考虑数量关系能否转化，选择合适的数量关系建立方程.3.几何图形可以适当变换，使所列方程更简单.4.方程的解注意检验，舍去不符合实际意义的解.作业布置：教材第22页习题21.3第8、10题.拓展作业：如图，在一块长为35m，宽26m的矩形绿地上有宽度相同的两条路，m，求小路的宽为多少？如图所示，其中绿地面积为850215.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标（一）教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． （二）能力训练要求1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． （三）情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L 的对称点C，连接AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．（演示课件）1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕．（演示课件）等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．（投影仪演示学生证明过程）[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD （SSS ）． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．（演示课件）[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． （课件演示）[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD （等边对等角）．设∠A=x ，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．D CA BD CABDC A B[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习（一）课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：（1）72° （2）30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC ，∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？DCAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．（二）阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业（一）习题13.3 第1、3、4、8题． （二）1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．D C ABEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ） A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线 2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（ ） A ．80° B ．20° C ．80°和20° D ．80°或50° 答案：1．C 2．C3. 已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm ，并且它的周长为16 cm ．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm ，则其腰长为（x+2）cm ，根据题意，得 2（x+2）+x=16．解得x=4．E DC A B P所以，等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm ．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解（教科书）例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（教科书）例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) xx x x x 22)242(2+÷-+- （2）)11()(b a a b b b a a -÷--- （3）)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算：(1))1)(1(yx x y x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、（1）2x （2）ba ab- （3）3 五、1.(1)22y x xy- (2)21-a （3）z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

人教版九年级上册数学 21.2.4 实际问题与一元二次方程教学设计1. 引言在数学学科中，一元二次方程是高中阶段的核心内容之一。

掌握一元二次方程的解法和运用是学生在高中提升数学能力的重要一步。

而在初中阶段，为了为学生打下良好的数学基础，适当引入实际问题与一元二次方程的联系将有助于学生理解和应用数学知识。

本文是基于人教版九年级上册数学教材中21.2.4部分的实际问题与一元二次方程教学设计。

通过本教学设计，旨在帮助学生通过实际问题的解决，深入理解一元二次方程的概念和应用，并提升他们的解决问题能力。

2. 教学目标通过本节课的教学，学生将能够达到以下目标：1.了解一元二次方程的概念和基本性质；2.理解实际问题与一元二次方程之间的联系；3.能够运用所学知识解决实际问题；4.培养解决实际问题的思维能力和创新意识。

3. 教学重点和难点3.1 教学重点•一元二次方程的概念和基本性质；•实际问题与一元二次方程的联系；•实际问题的解决方法和思路。

3.2 教学难点•从实际问题中抽象出一元二次方程；•运用数学知识解决实际问题。

4. 教学内容和教学步骤4.1 教学内容本节课的教学内容包括：•一元二次方程的概念和基本性质；•实际问题与一元二次方程的联系；•实际问题的解决方法和思路。

4.2 教学步骤步骤一：引入引导学生回顾并总结一元二次方程的概念和基本性质。

通过展示实际生活中与一元二次方程相关的问题，引发学生对实际问题与数学模型的思考。

步骤二：示例分析与讨论选择一个具体的实际问题，例如跳水运动员从跳板上跳入水中的问题。

通过分析示例，引导学生思考如何将实际问题转化为一元二次方程，并解决方程得到问题的解。

步骤三：讲解与练习进行一元二次方程的相关知识的讲解，包括解一元二次方程的常见方法和技巧。

结合教材中的相关例题进行练习，巩固学生对知识点的理解和应用能力。

步骤四：小组合作探究将学生分组，每个小组选择一个实际问题，并尝试将实际问题转化为一元二次方程，并解决方程得到问题的解。

第3课时 几何图形与一元二次方程1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．一、情境导入如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型(2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A ．x (5＋x )＝6B ．x (5－x )＝6C ．x (10－x )＝6D ．x (10－2x )＝6解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5－x )米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x (5－x )＝6，故选择B.方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程．(2014·黑龙江农垦)现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm ，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x 的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程．解：设小正方形的边长为x cm ，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2－70x ＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．【类型二】整体法构造一元二次方程模型(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x 米，根据题意可列出的方程为______________．解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x －17x ＋x 2＝300.方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动．(1)如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2，所以AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm.则根据题意，得12·(6－x )·2x ＝8.整理，得x 2－6x ＋8＝0，解这个方程，得x 1＝2，x 2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s后可使△PCQ 的面积为8cm 2.(2)设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半．则根据题意，得12(6－x )·2x ＝12×12×6×8.整理，得x 2－6x ＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于△ABC 面积一半的时刻．三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.。

21.3 实际问题与一元二次方程（几何问题和数字问题）[列方程解决实际问题的基本步骤]教授新课师：今天的课程我们学习通过求解一元二次方程解决实际问题。

[多媒体展示]要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽,左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？师：封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。

设中央的矩形的长和宽分别是 9a cm和 7a cm,则上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？生：= 9：7师：尝试用两种思路列方程并求解。

生：列方程并求解。

[多媒体展示]【师生互动】教师通过多媒体展示具体求解过程，加深同学们对几何问题的理解。

[多媒体展示]如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m²的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？师：水渠将耕地分为6个小矩形，而水渠的宽都相等，如何通过方程求解呢？下面我们先将几何图形变形，通过观察列方程求解？教师通过多媒体展示几何图形的变形过程，加深同学理解，通过几何图形的面积、体积列方程并求解。

[多媒体展示]如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为 885m ² 的 6 个矩形小块，水渠应挖多宽？师：求得的结果需结合实际考虑是否有意义。

[多媒体展示]现有一个长方体木箱，底面是一个正方形，高为3m ，体积为4.32m 3，求该木箱的底面周长。

生：解：设这个长方体底面边长为xm ，则 3x ²＝4.32， 解得：x ＝1.2 或 x ＝﹣1.2（舍去） ∴该木箱的底面周长为4x ＝4.8（m ）， 答：该木箱的底面周长4.8m ． [多媒体展示]等腰梯形的面积为160cm ² ，上底比高多4cm ，下底比上底多16cm ，求梯形的高。

21.3 实际问题与一元二次方程288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?教学反思教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．教学方法探究归纳法．教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？ [生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴． [师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察． [生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ． 所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°． D CA BD CAB[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1)答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．DC A B3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ．又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形EDCA B PD CAB二、等腰三角形性质1．等边对等角2．三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习1．如果△ABC是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔〕A．某一条边上的高B．某一条边上的中线C．平分一角和这个角对边的直线D．某一个角的平分线2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。

人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程课程设计一、课程目标本课程设计的目标是让学生：1.了解实际问题中一元二次方程的应用；2.学习如何建立一元二次方程模型并求解；3.培养实际问题解决能力和数学思维能力。

二、课程内容1. 一元二次方程的基本概念•一元二次方程的定义；•一元二次方程的标准形式；•二次函数图像的基本特征。

2. 建立一元二次方程模型•讨论实际问题中的一元二次方程模型的建立方法；•通过例题让学生了解如何建立一元二次方程模型。

3. 解决实际问题•通过实际问题的讨论和分析让学生体会到一元二次方程的实际应用；•通过例题让学生掌握如何求解一元二次方程。

三、教学方法本课程的教学方法主要包括：1.讲授法：通过讲解一元二次方程的基本概念和建立模型的方法，让学生掌握一定的理论知识；2.项目制学习法：通过让学生参与实际问题的讨论和分析，培养学生的实际问题解决能力；3.课堂讨论：通过教师提出问题，引导学生自主思考，让学生掌握问题分析和解决的方法。

四、教学重点和难点1. 教学重点•一元二次方程的基本概念和标准形式；•建立一元二次方程模型的方法；•求解一元二次方程的方法。

2. 教学难点•如何理解实际问题中的一元二次方程模型的建立方法；•如何根据实际问题推导出一元二次方程的标准形式。

五、教学过程安排1. 课前准备•教师为学生准备多个实际问题，并告知学生需要掌握的方法和步骤；•学生准备好笔记和课堂演示材料。

2. 导入教师通过展示一个实际问题，引导学生思考该实际问题中涉及到的数学知识。

3. 新课讲解1.讲解一元二次方程的定义、标准形式和二次函数图像的基本特征；2.分析实际问题中如何建立一元二次方程模型，并通过例题进行讲解；3.通过例题讲解如何求解一元二次方程。

4. 课堂练习学生分组进行课堂练习，解答教师提供的实际问题，并且在解答的过程中进行课堂讨论，每个小组在讨论完实际问题后需要给出答案和解题思路。

5. 作业布置布置课后作业，要求学生自己寻找实际问题并在作业中解答，教师留一定时间进行指导，最后让每个小组展示自己的解题过程和答案。

21.3 实际问题与一元二次方程(3)教学内容根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题．教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．重难点关键1．•重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．•难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入〔一〕通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？〔二〕上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题〞，现在，我们要学习解决“面积、体积问题。

1．直角三角形的面积公式是什么？•一般三角形的面积公式是什么呢？2．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？3．梯形的面积公式是什么？4．菱形的面积公式是什么？5．平行四边形的面积公式是什么？6．圆的面积公式是什么？〔学生口答，老师点评〕二、探索新知现在，我们根据刚刚所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场方案修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多．〔1〕渠道的上口宽与渠底宽各是多少？〔2〕如果方案每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，那么上口宽为x+2，•渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．解：〔1〕设渠深为xm那么渠底为〔x+0.4〕m，上口宽为〔x+2〕m依题意，得：1 2整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1=45=，x2=-2〔舍〕∴上口宽为，渠底为．〔2〕1.675048=25天答：渠道的上口宽与渠底深各是和；需要25天才能挖完渠道．学生活动：例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度〔精确到〕？思考： (1)本体中有哪些数量关系？〔2〕正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？〔3〕如何利用的数量关系选取未知数并列出方程？老师点评：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，•由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，•那么左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为〔27-18x〕cm，宽为〔21-14x〕cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的14，那么中央矩形的面积是封面面积的．所以〔27-18x〕〔21-14x〕=34×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=64，x1≈，x2≈所以：9x1=〔舍去〕，9x2=，7x2=因此，上下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7四、应用拓展例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑假设干条道路,余下局部作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两540米2.练习如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，•修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个相同的局部作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？解法一: 设道路的宽为x，我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变〞的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些〔目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路〕那么可列方程：〔20-x〕〔32-2x〕=500 整理，得：x2-36x+70=0解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500五、归纳小结本节课应掌握：利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．六、布置作业．教材综合运用5、6 拓广探索全部．15.2.2 分式的加减〔1〕〔2〕教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算. 重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算. 2．难点：熟练地进行分式的混合运算. 3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面. 教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题. 二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+(2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+(3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕b a ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用． 〔二〕能力训练要求1．经历作〔画〕出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质． 〔三〕情感与价值观要求 通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．重点难点重点：1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教学方法 探究归纳法． 教具准备师：多媒体课件、投影仪； 生：硬纸、剪刀． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？[生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．[师]那什么样的三角形是轴对称图形？[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形．[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．Ⅱ．导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．ABICABI作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连接AB、BC、CA，那么可得到一个等腰三角形．[生乙]在甲同学的做法中，A点可以取直线L上的任意一点．[师]对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形．现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本探究中的方法，•剪出一个等腰三角形．……[师]按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．[师]有了上述概念，同学们来想一想．〔演示课件〕1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？[生甲]等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等．[生丙]我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的局部就可以重合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的局部互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴．[生戊]老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴．[师]你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察．[生齐声]它们是同一条直线．[师]很好．现在同学们来归纳等腰三角形的性质．[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的局部互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．[师]很好，大家看屏幕． 〔演示课件〕等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕．[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程〕．〔投影仪演示学生证明过程〕[生甲]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作底边BC 的中线AD ，因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕． 所以∠B=∠C ．[生乙]如右图，在△ABC 中，AB=AC ，作顶角∠BAC 的角平分线AD ，因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD ．所以BD=CD ，∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°．[师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很标准．下面我们来看大屏幕．〔演示课件〕[例1]如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ， 求：△ABC 各角的度数．[师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到∠A=∠ABD ，∠ABC=∠C=∠BDC ，•再由∠BDC=∠A+∠ABD ，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A ． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC 的三个内角．[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话，那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示，这样过程就更简捷． 〔课件演示〕D CA BD CABDC A B[例]因为AB=AC ，BD=BC=AD ， 所以∠ABC=∠C=∠BDC ． ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕．设∠A=x ，那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x ， 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x ．于是在△ABC 中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得x=36°．在△ABC 中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识． Ⅲ．随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3． 练习1． 如图，在以下等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数．(2)120︒36︒(1) 答案：〔1〕72° 〔2〕30°2.如图，△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ，∠BAC=90°〕，AD 是底边BC 上的高，标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°；AB=AC ，BD=DC=AD ．3.如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°，求∠B 和 ∠C 的度数．答：∠B=77°，∠C=38.5°．〔二〕阅读课本，然后小结． Ⅳ．课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等〔等边对等角〕，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． Ⅴ．课后作业D CAB〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题． 〔二〕1．预习课本．2．预习提纲：等腰三角形的判定． Ⅵ．活动与探究如图，在△ABC 中，过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线，垂足为D ，DE ∥AB 交AC 于E ．求证：AE=CE ．EDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质． 结果：证明：延长CD 交AB 的延长线于P ，如图，在△ADP 和△ADC 中，12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC ．∴∠P=∠ACD ． 又∵DE ∥AP ， ∴∠4=∠P ． ∴∠4=∠ACD ． ∴DE=EC ．同理可证：AE=DE ．∴AE=C E ．板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1．等边对等角 2．三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1．如果△ABC 是轴对称图形，那么它的对称轴一定是〔 〕 A ．某一条边上的高 B ．某一条边上的中线 C ．平分一角和这个角对边的直线 D ．某一个角的平分线E DC A B P2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是〔〕A．80°B．20°C．80°和20°D．80°或50°答案：1．C 2．C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm．求这个等腰三角形的边长．解：设三角形的底边长为x cm，那么其腰长为〔x+2〕cm，根据题意，得2〔x+2〕+x=16．解得x=4．所以，等腰三角形的三边长为4 cm、6 cm和6 cm．15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.3．认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时，要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减. 有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1．教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.2．教科书练习1：写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.二、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算：[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算：(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1．计算： (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2．计算24)2121(aa a ÷--+，并求出当=a -1的值.六、答案：四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ，当=a -1时，原式=-31.。