2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题3(数学)

2009届高考数学名校试题精选圆锥曲线专项训练一、填空题1、椭圆的中心在原点，有一个焦点F (,)01-，它的离心率是方程25202x x -+=的一个根，椭圆的方程是 ；2、若椭圆xk ye 2289112++==的离心率,则实数k 的值是 ；3、过椭圆xyF 22136251+=的焦点作直线交椭圆于A 、B 二点，F 2是此椭圆的另一焦点，则∆ABF 2的周长为 ；4、椭圆372122x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是；5、抛物线292y x =上一点M 到准线的距离为738，则点M 到抛物线顶点的距离是 。

6、焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为 。

7、抛物线y Px 22=上一点M m (,)4到焦点距离等于6，则m = 。

8、一动点到y 轴的距离比到点( 2,0 )的距离小2，这动点的轨迹方程是 。

9、抛物线y a x a =<402()的焦点坐标为 。

10、在抛物线y x 22=上求一点P ，使点P 到直线x y -+=30的距离最短。

11、若抛物线的准线方程为2310x y +-=，焦点为(,)-21，则抛物线的对称轴方程是 12、P 1P 2是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则∠=P QP 12 。

13、双曲线x y 222591-=上一点P ，到一个焦点的距离为12，则P 到另一个焦点的距离为14、以230x y ±=为渐近线，且经过点(1 , 2)的双曲线是 。

15、双曲线的离心率e =2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 。

16、双曲线x y2231-=的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角为17、已知双曲线的渐近线方程为340x y ±=，一条准线的方程为5330y +=，求这双曲线方程 18、与双曲线xy223641-=共轭的双曲线方程是 ，它们的焦点所在的圆方程是 。

2009届全国名校真题模拟专题训练 08圆锥曲线三、解答题(第三部分)--- (2 分) 当直线I _x 轴时，直线I 的方程是：x =1，根据对称性可知 当直线I 的斜率存在时，可设直线I 的方程为y =k(x -1)51、F , (河北省正定中学 2008年高三第五次月考)已知直线I 过椭圆E ：x 2・2y 2=2的右焦点 且与E相交于P,Q 两点. 1 (1)设OR (OP OQ) ( O 为原点)，求点 R 的轨迹方程； 2解: 1 1 ⑵若直线I 的倾斜角为60°,求—— ——的值. |PF| |QF| (1)设 P(X 1,yJ, Q(X 2,y 2), R(x, y) OR 」(OP OQ)二(x,y)」[(x i ,y i ) 区』2)]= 2 2 儿X 2x = 2 〉目222由 x?，2y2=2： —+=1 ,易得右2焦 占 八'、 八、、 F(1,0)代入 E 有(2k 2 1)x 2 —4k 2x - 2k 2 -2^0 \ =8k 28 0; 4k 2 x1 x 二亍 (5分)于是 R(x,y): x ，x 2 其 2 2 k 2 +1消去参数k 得x 2，2y 2 -x =0而R(1,0)也适上式，故 R 的轨迹方程是x 22y^^0- (8分) (2)设椭圆另一个焦点为 F ', 在.PF'F 中.PFF' =120°,| F'F | = 2,设 | PF |二 m ，则 |PF'|=2； 2 -m _ 2 由余弦定理得(2 . 2-m)2 =22 m 2-2 2 m cos120° = m =—=—— 2血+1 y = k(x -1) 同理，在 QF 'F ，设 |QF | = n ，则 |QF'^2.2 -m 也由余弦定理得(22 -n)^22 - n 2 -2・2・n cos60° = n 22^2—1 于是」 — |PF| |QF| 分) U 厶•注―迁m n 2 (1252、(河南省开封市 2 22008届高三年级第一次质量检)双曲线笃-每 a b =1(a 0,b 0)的左、F 1、F a , O 为坐标原点，点 A 在双曲线的右支上，点F 2O 二 AB, OF 2 OA = OA OB.右焦点分别为 B 在双曲线左准线上,(1) 求双曲线的离心率 e ;(2) 若此双曲线过 C (2, .3 )，求双曲线的方程;R(1,0)（3）在（2）的条件下，D、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过 D 的直线l交双曲线M N, D2M丄D2N,求直线1的方程。

辽宁省期末模拟试题分类汇编第8部分：圆锥曲线一、选择题1.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若,2131<<k 则椭圆离心率的取值范围是 A ．)49,41( B ．)1,32( C ．)32,21( D ．)21,0(答案：C.2.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的一点，若021=⋅PF ，21tan 21=∠F PF ，则此椭圆的的离心率为 A ．21 B ．32 C ．31 D ．35 答案：D.3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1，顶点为A 1，A 2，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2的直径的两圆一定（ ）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离答案：B.4.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A. 16322=-y xB. 132322=-y xC.1964822=-y x D. 1241222=-y x 答案：A.5.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟） 在正△ABC 中，D ∈AB ，E ∈AC ，向量21=，则以B ，C 为焦点，且过D ，E 的双曲线的离心率为（ ）A ．35 B ．13-C ．12+D ．13+答案：D.二、填空题1.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知抛物线22x py =（p 为常数，0p ≠）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程2640x x q ++=（q 为常数）的两个根，则直线AB 的方程为 .答案：320x py q ++=；2.（沈阳二中2009届高三期末数学试题）已知抛物线22x py =（p 为常数，0p ≠）上不同两点A 、B 的横坐标恰好是关于x 的方程2650x x ++=的两个根，则直线AB 的方程为__________________答案：6250x py ++=3.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 已知4)21(:),0,21(22=+--y x F B A 是圆（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交于BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 答案：13422=+y x4.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）如图所示，底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 . 答案：38cm 12cm215.（2008年东北三省三校高三第一次联合模拟考试）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率的取值范围是]2,332[∈e ，则两渐近线夹角的取值范围是 ． 答案：]2,3[ππ6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为 . 答案：（1，2].7.（辽宁省部分重点中学协作体2008年高考模拟）已知抛物线x y 42=上两上动点),(),,(221y x B y x A 及一个定点M （1，2），F 是抛物线的焦点，若|||,||,|BF MF AF 成等差数列，则21x x += 。

2009年全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编《圆锥曲线》（二）71.记平面内动点M 到两条相交于原点O 的直线12l ,l 的距离分别为12,,d d 研究满足下列条件下动点M 的轨迹方程C ．（1）已知直线12l ,l 的方程为：2y x =±， （a ）若22126d d +=，指出方程C 所表示曲线的形状；（b ）若124d d +=，求方程C 所表示的曲线所围成区域的面积； （c ）若1212d d =，研究方程C 所表示曲线的性质，写出3个结论．（2）若222122d d d +=，试用a,b 表示常数d 及直线12l ,l 的方程，使得动点M 的轨迹方程C恰为椭圆的标准方程12222=+by a x （0>>b a ）．【解】（1）（a ）2229x y +=（b y x y -+= 方程C 所表示的曲线所围成区域为正方形面积为（c ）22236x y -=， 范围：6,x y ≤≤,x y 和原点对称；渐近线为：y = （2）设直线12l ,l 的方程为：bxy a=±（0>>b a ），则由222122d d d +=得 ，222222211()x y d a b a b +=+ 令d =，即得椭圆的标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）．72.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。

（I ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222=+-+⎩⎨⎧=+=b x b x y xy bx y 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(22=--=∆∴b b 1=∴b2222221,,22c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.1222=+y x（II ） 当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)34()31(=++y x当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x ,由⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++101)34()31(22222y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。

2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线三、解答题(第一部分)1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得 依题意25520(1680)055k k ∆=->-<<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y 1x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。

2009届福建省高三数学模拟试题分类圆锥曲线一、选择题 1、（2009福州八中）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 BA．B．C．D ．122、（2009福建省）9.已知抛物线x y 42=的焦点为F,准线与x 轴的交点为M,N 为抛物线上的一点,且||23||MN NF =,则NMF ∠=( )AA.6πB4πC.3π D.125π 3、（2009福建省）定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系；在平面斜坐标系xOy 中,若21ye xe +=(其中1e 、2e 分别是斜坐标系x 轴、y 轴正方向上的单位向量,x 、y ∈R,O 为坐标系原点),则有序数对(x,y)称为点P 的斜坐标.在平面斜坐标系xOy 中,若xOy ∠=120°,点M 的斜坐标为(1,2),则以点M 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A A. 02322=+--+y xy y x B. 044222=+--+y x y xC. 02322=-+-+y xy y xD. 044222=-+-+y x y x4、（2009福州市）若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）．C A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 5、（2009泉州市）221169sin -sin sin x y ABP A B C P A BC P∆-=已知的顶点、分别为双曲线：的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于4. 5AB 54CD6、（2009厦门一中）如果直线2244ax by x y +=+=与圆有两个不同的交点，则点P （,a b ）与圆的位置关系是 AA 、P 在圆外B 、P 在圆上C 、P 在圆内D 、不能确定二、填空题 1、（2009泉州市）24 .F y x M N NF C =已知点为抛物线的焦点，过此抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为若以线段为直径的圆恰M C 好过点，则圆的标准方程是 ()2212x y +±=2、（2009厦门一中）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1212F F F F 、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为______________1三、解答题1、（2009点O ．A ，直线(01)x t t =<≤与曲线1C ．求证:曲边四边形ABOD 面积()S f t =3221()(06f t t at a t t =-+<(2)求函数()S f t =在区间(解：(1)由222y x y x ax ⎧=⎨=-+⎩2分故201(2)22tS x ax dx =-+-⋅⎰63221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分222211(2)()2()0,2022:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t ''=-+=-+===≤ 令即解得或由舍去) 8分若(21a a ≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥ 21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分2(212a a +≤≤≤若即, 0<t1,(2t a ∴<<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max31,6()21),13a a a f t a a ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分 2、（2009福建省）如图,椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点在直线l ：x=1上,离心率e=21. (I)求椭圆方程；(Ⅱ)如果P 、Q 为椭圆上不同的两点,且弦PQ 的中点T 在直线l 上,试证：x 轴上存在定点R,对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|；(III)在(Ⅱ)的条件下,△PQR 能否为等腰直角三角形?证明你的结论.解:(I)椭圆12222=+by a x (a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,故c=1.………1分 又e=21,∴a=2.…………………………………………………………………………2分由222c b a +=得b=3.……………………………………………………………3分∴椭圆方程为13422=+y x .…………………………………………………………4分 (II)当直线PQ 的斜率存在时,设弦PQ 所在的直线方程为y=kx+b. 若k=0,则PQ 垂直于y 轴,此时PQ 中点的横坐标为0,不符合题意. y=kx+b,若k ≠0,由 得01248)34(222=-+++b kbx x k .…………5分13422=+y x ,设P(11,y x )、Q(22,y x ),则348221+-=+k kbx x .∵PQ 中点在直线x=1上,∴3482+-k kb=2,从而k k k k b 434342--=--=.………6分kb k b kx b kx y y 23222121-=+=+++=+.……………………………………7分 假设x 轴上存在定点R(m,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|,由|RP|=|RQ|得22222121)()(y x m y x m +-=+-,………………………………8分 ∴21222221)()(y y x m x m -=---,又ky y x x 23,22121-=+=+, ∴)(23))(22(1212y y k x x m --=--, 即)(23))(22(1212x x x x m --=--.∵21x x ≠,∴m=41,即R 点坐标为(41,0).当直线PQ 的斜率不存在时,直线PQ 垂直于x 轴,此时|RP|=|RQ|显然成立. 综上,x 轴上存在定点R(41,0),对于所有满足条件的P 、Q,恒有|RP|=|RQ|.…9分 (III)假设△PQR 能为等腰直角三角形,则∙=0,……………………………10分即),41(),41(2211y x y x -∙-=O, ∴2121)41)(41(y y x x +--=0,0))((161)(41212121=+++++-b kx b kx x x x x ,∴22122167)1(b kb x x k ++-+=0,∴2222)43()43(21673412)43(4)1(k k k k k k k k k --+--+-+---∙+=0, ∴22222216)1)(916(3412)43(4)1(k k k k k k k +--+---∙+=0, 化简得0)1)(712(22=+-k k ,解得621±=k .………………………………………………………………………13分 又由△>0得0)124)(34(4642222>-+-b k b k , ( * ) 把k k b 43--=代入( * ),并整理得412>k .所以621±=k 符合题意,即在(II)的条件下△PQR 能为等腰直角三角形.……14分 3、（2009福州市）设A 、B 是椭圆223x y λ+=上的两点，点(1,3)N 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）若以线段AB 为直径的圆过线段CD 中点M ,求这个圆的方程．【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然AB 的斜率存在,可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得 222(3)2(3)(3)0k x k k x k λ+--+--=． ① ---------------------2分 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根，∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->， ② ----------------4分 且1222(3)3k k x x k -+=+，由(1,3)N 是线段AB 的中点，得1212x x +=，∴2(3)3k k k -=+． 解得1k =-，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）． --------------6分 于是，直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-= --------------7分 法2：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ --------2分依题意，12x x ≠，∴12123()AB x x k y y +=-+． ---------------------4分∵(1,3)N 是AB 的中点，∴122x x +=，126y y +=，从而1AB k =-．又由(1,3)N 在椭圆内，∴2231312λ>⨯+=，∴λ的取值范围是(12,)+∞． ----------------6分 直线AB 的方程为3(1)y x -=--，即40x y +-=． ----------------7分 （Ⅱ）∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为31y x -=-，即20x y -+=，代入椭圆方程，整理得24440x x λ++-=． ③ -----------------9分 又设3344(,),(,)C x y D x y ，CD 的中点为00(,)M x y ，则34,x x 是方程③的两根， ∴3403400113131,(),2,(,)22222x x x x x y x M +=-=+=-=+=-且即．-----12分 13(,)22M -到直线AB的距离2d ==CD 的中点M 为圆心且与直线AB 相切的圆的方程为：22139()()222x y ++-=．-----------14分4（2009泉州市）已知中心在原点、焦点在x 轴上椭圆，离心率为3，且过点A （1,1） （Ⅰ）求椭圆方程；()∏如图，B 为椭圆右顶点，椭圆上点C 与A 关于原点对称，过点A 作两条直线交椭圆P 、Q （异于A 、B ），交x 轴与,,P Q AP AQ ''''=若,求证：存在实数PQ BC λλ=，使得解：（Ⅰ）设椭圆方程为()222210.x y aba b+=2232c c a a ==由得 ① 点A(1,1)在椭圆上，22111a b ∴+= ② 又222a b c =+ ③故所求椭圆方程为223144x y += （Ⅱ）由A(1,1)得C(-1,1)则()()011213BC k --==--易知AP 的斜率k 必存在，设AP ；()11,y k x =-+则():11,AQ y k x =--+由()()()2222231136136104411x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪+--+--=⎨⎪=-+⎩得 由A(1,1)得()()222113613610x k x k k x k k =+--+--=是方程的一个根由韦达定理得：22361113p p k k x x k --=⋅=+ 以-k 代k 得2236113Q k k x k +-=+ P Q PQ P Qy y k x x -=-故()k 21 ==3P Q P Qx x kx x +-- 故BC PQ即存在实数,PQ BC λλ=使得 5、（2009厦门一中）如图所示，点(1,0).T N A R y x 点在轴上运动，在轴上，为动点，且0,0,RT RA RN RT →⋅=+=（1）设动点N 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）过点B （-2，0）的直线l 与曲线C 交于点P 、Q ，若在曲线C上存在点M ，使得MPQ PQ l ∆为以为斜边的直角三角形，求直线 的斜率k 的取值范围，解：（1）设(,)N x y ，由0RN RT -+=知：R 是TN 的中点，…………………1分 则(,0),(0,),0(,)(1,)0222yy y T x R RT RA X -⋅=⇔---=………………3分 则24y x =就是点N 的轨迹曲线C 的方程：……………5分（2）设直线l 的方程为2x my =-，代入曲线C 的方程24y x =，得 2480,y m y -+=此方程有两个不等实根，2216320,2m m ∆=->>即M 在曲线C 上，P 、Q 是直线l 与曲线C 的交点，设21122(,),(,),(,),4t M t P x y Q x y 则1214,8y y m y y +==，ΔMOQ 是以PQ 为斜边的直角三角形，2212120,()()()()044t t MP MQ MP MQ x x y t y t ∴⊥∴⋅=--+--=即………………………………………………………………………………………………8分22222212121211,,()()()04416y y x x y t y t y t =∴--+-=，显然120,0y t y t -≠-≠，21212212()160,()()160,84160y y y y t t y t y t mt t ⋅++++=∴+++=∴+++=……………10分t 为点M 的坐标，∴关于t 的方程24240t mt ++=有实根，216960m ∴∆=-≥。

数学(理科)说明：本试卷共6页，21小题，满分150分•考试用时120分钟. 参考公式：如果事件 A, B 互斥，那么P(A B) = P(A) P(B) • 如果事件A, B 相互独立，那么 P(A B)二P(A)・P(B) •2x + y W 40, x +2y W 50,4.若变量x , y 满足则z=3x ・2y 的最大值是()x > 0, J 》0，A .①②B .①③C .①④D .②④6.已知命题p:所有有理数都是实数， 命题q:正数的对数都是负数， 则下列命题中为真命题的是 ()普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷)2009. 5. 18一、选择题：本大题共 项是符合题目要求的. 8小题，每小题 5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有1.1 -i 1 i2 2(1 i) (1-i)B . —i C. 1 D. —12. 3.设x o 是方程In x ，x=4的解，贝U x o 属于区间(A. ( 0，1)B. (1，2)C. (2, 3)3.为了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频 率分布直方图所示，且从左到右第一小组的频 数是100,则n = ___________ 0.0)6- 0XH2■十— 0.008-A . 1000B . 10000 C. 2000 D. 3000D. (3，4)49.5 74J 99.3 124.5 1495⑵(3)⑷ ⑸C • （—p ） （—q ）D •R 有大于零的极值点，则（10.已知（1 kx 2）6 （ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于120，贝U k = _______ 11.抛物线y =-x 2与直线y =5围成的图形的面积是 12 •如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（ 2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推•设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为a n ,则a 6 =A • (—p) qB • p q 7.设 a R ，若函数 y =e ax3x , (—p) (—q)) A . a I 、「3B . a ：： -32&已知曲线C : y =2x ，点A (0, 1 D. a :: 一3—2）及点B （3, a ）,从点A 观察点B ,要使视线不被 住，则实数a 的取值范围是（ ）A . (4,+^)B . ( — 8, 4)C . (10,+^)D .(―汽 10)二、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5 分, 满分30分.（—）必做题（9--12题）9.执行右边的程序框图，若 p = 4，则输出的S =/输入（注：框图中的赋值符号 也可以写成 ”或“== I 11旳二越+ 1/输出31 r—£ +丄结束218£ —I~a3a4(二)选做题(13—15题，考生只能从中选做两题)13. 以知圆的直径AB=13cm,C是圆周上一点(不同于A, B点)，CD _AB于D, CD =6cm,则BD =14、点M ,N分别是曲线Psin日=2和P = 2cos日上的动点，贝U |MN|的最小值是_________ 。

广东省2009届高三数学模拟试题分类汇总——圆锥曲线一、选择题1、（2009揭阳）若点P 到直线1y =-的距离比它到点(03)，的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）AA. 212x y =B.212y x =C.24x y =D.26x y = 2、（2009吴川）若圆04222=--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为22,则a 的值为（ ）C A ．-2或2B2321或 C ．2或0 D ．-2或03、（2009广东四校）设F 1、F 2为曲线C 1： x 26 + y 22 =1的焦点，P 是曲线2C ：1322=-y x 与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为（ ）C (A) 14(B) 1(C) 2(D) 2 24、（2009珠海）经过抛物线x y 22=的焦点且平行于直线0523=+-y x 的直线l 的方程是（ A ）A.0346=--y xB. 0323=--y xC.0232=-+y xD. 0132=-+y x5、（2009惠州）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） DA ．2-B ．2C ．4-D ．46、（2009汕头）如图，过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（ ）B A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=7、（2009广东六校）以141222=-x y 的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（ ）DA ．1526422=+y x B. 1121622=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x8、（2009广州）已知双曲线19222=-y ax ()0>a 的中心在原点, 右焦点与抛物线x y 162=的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.54 B. 55558 C. 45 D. 774二、解答题1、（2009珠海二中）已知点M 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上, 以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点F .(1)若圆M 与y 轴相切,求椭圆的离心率；(2)若圆M 与y 轴相交于B A ,两点,且ABM ∆是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设),(00y x M ，圆M 的半径为. 依题意得||00y r c x ===将c x =0代入椭圆方程得：ab y 20=，所以c a b =2，又222c a b -= 从而得 022=-+a ac c ，两边除以2a 得：012=-+e e解得：251±-=e ，因为 )1,0(∈e ，所以 215-=e .(2)因为ABM ∆是边长为2的正三角形，所以圆M 的半径2=r ，M 到圆y 轴的距离3=d 又由(1)知：ab r 2=，c d =所以，3=c ，22=ab 又因为 222c b a =-,解得：3=a , 622==a b 所求椭圆方程是：16922=+y x2、（2009吴川）已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线. 解（Ⅰ）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意…………………… 2分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………… 3分设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 故所求直线方程为3450x y -+= ……………………………………5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x …………………… 6分 （Ⅱ）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,则N 点坐标是()0,0y …………………… 7分∵OQ OM ON =+ ，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =……………………9分 又∵42020=+y x ，∴4422=+y x …………………………… 10分 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠，…………………………… 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠，…………………… 12分轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线1.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1A m n P x x -， 则()2,22B m x n x ---， ∵2,A B y x =在上，∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩ （第1题解答图）消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1） ∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】: 抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4a y x =-,它与y轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B.3.双曲线13622=-yx的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r yx 相切，则r=（A ）3 （B ）2 （C ）3 （D ）6 答案：A解析：本题考查双曲线性质及圆的切线知识，由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r=34.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。

2009年普通高等学校招生全国统一考试试题数学(理)汇编圆锥曲线方程部分1．（安徽3（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -=答案：B解析：由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B2．（安徽20）（本小题满分13分）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b πβββ==<<直线2l 与直线00122:1x y l x y a b+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.（I ）证明: 点P 是椭圆22221x y a b+=与直线1l 的唯一交点；（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。

考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。

本小题满分13分。

解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22020(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,得22222002422200021()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=.将00cos sin x a y b ββ=⎧⎨=⎩代入上式,得2222cos cos 0,x a x a ββ-⋅+=从而cos .x a β= 因此,方程组2222002211x y a b x y x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，代入1l 的方程cos sin 1x y a bββ+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。

2009年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2009全国卷Ⅰ理）设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于()（A B ）2（C D 21+ .2.（l ，线段||AF =(D).3解:3FB =,故||BM A 3.（() 【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,AB BC a b e =∴=∴=4.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（）A ．2B ．2C ．13D ．125．D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既体现了几何与向量的交汇，也体现了数形结合的巧妙应用．【解析】对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=6.（2009北京理）点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且上仅有有限个点是“上的所有点都不是“点”上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,题和解决问题的能力.属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1A m n P x x -，则()2,22B m x n x ---，∵2,A B y x =在上，（第8题解答图）消去n ,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-=（1）∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立，∴方程（1）恒有实数解，∴应选A .7.(2009山东卷理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(). A.45B.5 C.25D.5 y,得D. 8.().)4a,它与y 轴的交点为A (0,2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a ⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B.答案:B.【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数a的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.9.（2009全国卷Ⅱ文）双曲线13622=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=（A ）3（B ）2（C ）3（D ）610.（解析：0），由FA[解析]由e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B 12.（2009安徽卷文）下列曲线中离心率为的是 A. B. C. D.【解析】依据双曲线22221x y a b -=的离心率c e a=可判断得.c e a ==.选B 。

09届上海市期末模拟试题分类汇编第8部分圆锥曲线一.选择题（略） 二.填空题1．（上海市高考模拟试题3）已知椭圆1121622=+y x 的左焦点是1F ，右焦点是2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么 =21:PF PF .答案：3:52．（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试5）抛物线x y =2的准线方程是 . 答案：41-=x . 3．（上海市宝山区2008学年高三年级第一次质量调研8）若方程22ax by c +=的系数,,a b c 可以从1,0,1,2,3,4-这6个数中任取3个不同的数而得到，则这样的方程表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是___________．(结果用数值表示) 答案：1104．（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试7）过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为 . 答案：-=x y 5.5.（08年上海市部分重点中学高三联考12）已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,-n P P P ，设左焦点为1F ， 则________)(1111111lim=++++-∞→B F P F P F A F nn n 答案：a1 (2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第2题) 抛物线28y x =-的焦点坐标为 . 答案：(2,0)-2 2008学年度第一学期上海市普陀区高三年级质量调研第2题） 抛物线28y x =-的焦点坐标为 . 答案：(2,0)-三.解答题1.（ 2009年上海市普通高等学校春季招生考试18）(本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.1.[解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a by a x ，22b a c -=.348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . …… 4分于是 35028222=-=c a b .∴ 所求轨道方程为 13502819184422=+y x . …… 6分设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，1350281918442020=+y x ，解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. …… 10分 ∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . …… 13分答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分 2.（上海市高考模拟试题19）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()022>=p px y 的焦点F 作一条倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 两点。

2009届全国名校真题模拟专题训练08圆锥曲线一、选择题1、(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.0.5B.1C. 2D. 4 答案：C2、(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E 的离心率等于A ．53 B54 C ．135 D ．1312 答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试四)设F 1，F 2是椭圆1649422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且3:4:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ） A ．4 B ．6 C ．22 D ．24 答案：B4、(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 （ ）Ａ．钝角； Ｂ．直角； Ｃ．锐角； Ｄ．都有可能； 答案：C5、(江西省五校2008届高三开学联考)从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，则这一椭圆离心率e 的取值范围是A ．]23,35[ B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[答案：A6、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)已知点A, F 分别是椭圆12222=+by a x (a >b >0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若⋅=0，则椭圆的离心率e 为（ ▲ ）A.21(5－1) B.21(3－1) C.25 D.22答案：A7、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( )A.23 C.49 答案：B8、(北京市朝阳区2008年高三数学一模)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点，它的准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率为 A ． 2B ． 3C ．233D ．2 2答案：B9、(北京市崇文区2008年高三统一练习一)椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的中心、右焦点、右顶点、右准线与x 轴的交点依次为O 、F 、A 、H ，则||||OH FA 的最大值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．1答案：C10、(北京市海淀区2008年高三统一练习一)直线l 过抛物线x y =2的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角4πθ…,则|FA |的取值范围是（ ）（A ）)23,41[ （B ）13(,44（C ）]23,41( （D ）]221,41(+答案：D11、(北京市十一学校2008届高三数学练习题)已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且21tan 21=∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为( )A ． 1312522=-y xB ．1351222=-y xC ．1512322=-y x D ．1125322=-y x 答案：B12、(北京市西城区2008年4月高三抽样测试)若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ）A.3-B. 13- C. 3D.13答案：B13、(北京市西城区2008年5月高三抽样测试)设,x y R ∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点(),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆答案：D 14、(北京市宣武区2008年高三综合练习一)已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是（ ） A 8 B 219 C 10 D 221答案：B15、(北京市宣武区2008年高三综合练习二)已知21,F F 是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任一点（不是顶点），从某一焦点引21QF F ∠的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是 （ ）A 直线B 圆C 椭圆D 双曲线 答案：B16、(四川省成都市2008届高中毕业班摸底测试)已知定点A （3，4），点P 为抛物线y 2=4x 上一动点，点P 到直线x =－1的距离为d ，则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．4B ．52C ．6D ．328-答案：B17、(东北区三省四市2008年第一次联合考试)椭圆的长轴为A 1A 2，B 为短轴一端点，若︒=∠12021BA A ，则椭圆的离心率为A ．33B ．63C ．32D ．12答案：B18、(东北三校2008年高三第一次联考)设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）A ．16322=-y xB ．132322=-y xC ．1964822=-y x D ．1241222=-y x 答案：A19、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知椭圆15922=+y x ，过右焦点F 做不垂直于x 轴的弦交椭圆于A 、B 两点，AB 的垂直平分线交x 轴于N ，则=AB NF ：（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14答案：B20、(福建省莆田一中2007～2008学年上学期期末考试卷)已知AB 是椭圆92522y x +=1的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FG FE FD FC +++的值是（ ） A ．15B ．16C ．18D ．20答案：D21、(福建省泉州一中高2008届第一次模拟检测)过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ） A ．10 B ．8 C ．6 D ．4 答案：B22、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)若抛物线1262222=+=y x px y 的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 答案：D23、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)已知双曲线的中心在原点，离心率为3，若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则此双曲线与抛物线x y 42=的交点到抛物线焦点的距离为( )A.21B.21C.6D.4 答案：D24、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =A.5B. 6C.8D.10答案：C25、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一点，若120PF PF =，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D ．53 答案：D26、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)如图2所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为（ ） A ．15- B ．15+C ．13-D ．3+1答案：D27、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：191622=+y x ，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁(非椭圆长轴端点)反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）. A ．20 B ．18 C ．16 D ．以上均有可能 C.解析：由椭圆定义可知小球经过路程为4a ，所以最短路程为16，答案：C 28、(广东省揭阳市2008年第一次模拟考试)两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,b a >则双曲线12222=-by ax 的离心率为A ．53B．4C ．54D．5解析：由已知得9,20,a b ab a b +==>∴5,4a b ==，c ∴==，5c e a ∴==，选D 。

09年——16年历年全国卷（全国卷、大纲卷、新课标）圆锥曲线汇总1．（2009•全国卷Ⅰ）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y ﹣=•（x﹣x1），y +=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t ，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．2．（2009•全国卷Ⅱ）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，则，解得c=1由坐标原点O到l的距离为，又，∴（II）由（I）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当3．（2010•大纲版Ⅰ）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，代入①，整理得y2﹣4my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．BD的斜率k1===，BF的斜率k2=．要使点F在直线BD上需k1=k2，需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），需4x2=y22，上式成立，∴k1=k2，∴点F在直线BD上．（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，∴m2=，m=±．y2﹣y1==4=，∴k1=，BD：y=（x﹣1）．易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即|a+1|×=|（（a﹣1）|×，∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，解得a=．∴半径r=，∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．4．（2010•大纲版Ⅱ）己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|•|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，l的方程为：y=x+2，代入C的方程，并化简，得（b2﹣a2）x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则，，①由M（1，3）为BD的中点知．故，即b2=3a2，②故，∴C的离心率．（Ⅱ）由①②知，C的方程为：3x2﹣y2=3a2，A（a，0），F（2a，0），．故不妨设x1≤﹣a，x2≥a，，，|BF|•|FD|=（a﹣2x1）（2x2﹣a）=﹣4x1x2+2a（x1+x2）﹣a2=5a2+4a+8．又|BF|•|FD|=17，故5a2+4a+8=17．解得a=1，或（舍去），故=6，连接MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．5．（2010•新课标）设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1斜率为1的直线ℓ与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求E的离心率；（2）设点P（0，﹣1）满足|PA|=|PB|，求E的方程．【解答】解：（I）由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得，l的方程为y=x+c，其中．设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点坐标满足方程组化简的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0，则因为直线AB斜率为1，|AB|=|x1﹣x2|=，得，故a2=2b2所以E的离心率（II）设AB的中点为N（x0，y0），由（I）知，．得c=3，从而由|PA|=|PB|，得k PN=﹣1，即，故椭圆E的方程为．6．（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．7．（2011•大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1则x1+x2=，x1×x2=﹣，设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．8．（2012•大纲版）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1，圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1，∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴t2（t2﹣4t﹣6）=0，∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣∴，抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为9．（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∵△ABD的面积S△ABD∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．10．（2013•大纲版）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1，所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列11．（2013•新课标Ⅰ）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．12．（2013•新课标Ⅱ）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．（Ⅰ）求M的方程（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），则，，相减得，∴，∴，又=，∴，即a2=2b2．联立得，解得，∴M的方程为．（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，联立，消去y得到3x2+4tx+2t2﹣6=0，∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，∴△=16t2﹣12（2t2﹣6）=72﹣8t2＞0，解﹣3＜t＜3（*）．设C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|CD|===．联立得到3x2﹣4x=0，解得x=0或，∴交点为A（0，），B，∴|AB|==．===，∴S四边形ACBD∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为，满足（*）．∴四边形ACBD面积的最大值为．13．（2014•大纲版）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．14．（2014•新课标Ⅰ）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得 又，所以a=2 ，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）15．（2014•新课标Ⅱ）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．16．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．17．（2015•新课标Ⅱ）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C 有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x ，解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．18．（2016•新课标Ⅰ）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．19．（2016•新课标Ⅱ）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=•|2﹣|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），则△AMN的面积为××（﹣+2）=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，解得x=﹣或x=﹣，即有|AM|=•|﹣|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．20．（2016•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S=|PQ|=|y1﹣y2|，△PQF=|FN||y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．。