1-1-4导数与积分的概念及运算、导数的应用

第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。

导数与微积分解析与归纳微积分是数学中的一个重要分支，通过导数的概念与运算，可以求解方程、研究变化率、描述曲线等。

本文将对导数的定义、性质以及微积分的应用进行详细的解析和归纳。

一、导数的定义与性质导数是微积分的基础概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

设函数f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)，可以按照以下方式进行定义：f'(x0) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x_0+h)-f(x_0))/h〗其中，lim表示极限运算，h为自变量的增量。

通过求导数可以得到函数在该点的斜率，进而可以研究曲线的变化情况。

导数具有一些性质，比如线性性、乘法法则、链式法则等。

其中线性性质表明对于函数f(x)和g(x)，以及实数a，有如下等式成立： (af(x))' = af'(x)(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)乘法法则以及链式法则提供了求解复杂函数导数的方法，使得微积分的应用更加灵活多样。

二、微积分的应用微积分的应用广泛，涵盖了数学、物理、经济等众多领域。

以下是微积分的一些常见应用：1. 曲线的切线与法线：导数描述了曲线在某一点的斜率，因此通过求导数可以求出曲线在特定点的切线方程。

切线是曲线在该点的最佳近似线性模型，具有重要的几何和物理意义。

2. 极值与最优化：通过求解函数的导数，可以确定函数的极值点。

当导数为0时，函数取得极值，进而可以对函数进行最优化设计，例如求解成本最小、利润最大等问题。

3. 函数的图像和变化：导数可以用来研究函数的图像特征，包括函数的增减性、凹凸性、拐点等。

通过分析导数的符号及变化情况，可以了解函数的整体变化趋势。

4. 积分与面积计算：积分是导数的逆运算，可以通过积分求解曲线下的面积、弧长等。

微积分的基本定理提供了将积分与导数联系起来的方法，为求解复杂问题提供了便利。

总结导数是微积分的核心概念，通过对导数的定义与性质的理解，我们可以更深入地掌握微积分的原理与方法。

导数导数导数------------------------------------------------------------- 1 导数定义 --------------------------------------------------- 3 导数的起源 ------------------------------------------------ 4 导数的几何意义 ------------------------------------------ 4 微积分 ------------------------------------------------------ 5 求导数的方法 --------------------------------------------- 6 导数公式及证明 ------------------------------------------ 7 单调性 ---------------------------------------------------- 10 函数的极值 ---------------------------------------------- 10 求极值 ---------------------------------------------------- 10 函数的最值 ---------------------------------------------- 10 导数应用 ------------------------------------------------- 11 高阶导数 ------------------------------------------------- 11创建公式 ------------------------------------------------- 12导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。

积分与导数的基本关系与应用在微积分学中，积分与导数是两个基本概念，它们之间存在着紧密的关系。

本文将介绍积分与导数之间的基本关系，并且探讨它们在数学和实际应用中的重要性。

一、积分与导数的基本关系1. 导数的定义与积分的定义导数表示函数在某一点的变化率，它的定义可以表示为：\[f'(x) = \lim_{{\Delta x\to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]其中，\[f(x+\Delta x)\]表示函数在\[x+\Delta x\]处的取值，\[f(x)\]表示函数在\[x\]处的取值，\[\Delta x\]表示\[x\]的增量。

积分表示函数在某一区间上的累积效应，它的定义可以表示为：\[\int_{a}^{b}f(x)dx =\lim_{{n\to\infty}}\sum_{{i=1}}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}\]其中，\[f(x_{i}^{*})\]表示在区间\[[x_{i-1},x_{i}]\]中的任意一点\[x_{i}^{*}\]处的函数取值，\[\Delta x_{i}\]表示区间\[[x_{i-1},x_{i}]\]的长度。

2. 导数与积分的基本关系根据微积分的基本定理，导数和积分是互为逆运算的。

设函数\[f(x)\]在区间\[[a,b]\]上连续，则有如下关系成立：\[\int_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a)\]这意味着，一个函数的导数在某一区间上的积分等于该函数在该区间上的值的变化。

换言之，对于一个连续函数，积分是求导运算的逆过程。

二、积分与导数的应用积分与导数在数学和实际应用中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个重要应用领域。

1. 几何学中的应用积分与导数在几何学中有着重要的应用，特别是在曲线的长度、曲率、曲面积等方面的计算中。

通过将曲线或曲面分割成无限小的线段或面元，可以利用积分求得它们的长度、曲率或面积。

导数的计算方法及其应用一、导数的定义与概念在微积分学中，导数是描述函数在任意一点斜率的概念，它是函数的一种变化率。

导数也可以被理解为：函数在某一点处的瞬时变化量，换句话说，它表示函数曲线在该点处的推移趋势。

导数的定义是：$$f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$在这里，如果这个极限存在，那么它就是函数$f(x)$的导数，通常用$f^{\prime}(x)$或$\frac{dy}{dx}$来表示。

导数的概念对于数学及其他应用领域的许多问题都是至关重要的。

导数在物理学、经济学、金融学等学科中都有广泛的应用。

二、导数的计算方法虽然导数的定义很简明，在实践中却很难直接计算。

而且，无论是手工还是机器方式，都需要找到一个规律来完成这项任务。

以下是几种常见的计算导数的方法：1. 基本公式法导数的计算方法中最常见的方式是使用基本公式法。

这种方法利用已知的一组基本导数表，来计算一个函数的导数。

根据基本公式法，对于函数$f(x)$，一些常见的导数结果集是：$$\begin{aligned} (x)^{n} & \rightarrow n x^{n-1} \\ \exp(x) &\rightarrow \exp(x) \\ (\ln x) & \rightarrow \frac{1}{x} \\ (a^{x}) & \rightarrow a^{x}(\ln a) \\ (\sin x) & \rightarrow \cos x \\ (\cos x) & \rightarrow -\sin x \\ (\tan x) & \rightarrow \sec^{2} x \end{aligned}$$如果函数可以表示为上述函数中任意两个函数的运算结果，则基本公式法可以使用“求和规则”和“乘积规则”来计算导数。

导数的运算规则与应用研究一、导数的定义及基本运算规则导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。

导数的定义是函数在某一点处的极限，可用极限的定义式表示为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h基于导数的定义，我们可以得出一些基本的运算规则，方便我们对函数进行计算和研究。

主要的导数运算规则包括：1. 常数法则：如果c是一个常数，那么对于任何函数f(x)，有(cf(x))' = cf'(x)。

2. 和差法则：如果f(x)和g(x)都在某一点处可导，那么对于任何常数c，有(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

3. 乘法法则：如果f(x)和g(x)都在某一点处可导，那么(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)。

4. 商法则：如果f(x)和g(x)都在某一点处可导且g'(x) ≠ 0，那么(f(x)/g(x))' =(f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。

5. 复合函数法则：如果f(x)和g(x)都在某一点处可导，那么(f(g(x)))' =f'(g(x))g'(x)。

二、导数的应用研究导数的运算规则对于函数的研究和应用有着重要的作用。

以下是导数在实际问题中的应用研究：1. 稳定性研究：通过研究函数在某一点的导数值，我们可以了解函数在该点的变化率。

通过导数的符号和大小判断函数在该点的单调性和稳定性。

例如当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减；当导数等于零时，函数可能存在极值点等。

2. 极值问题：函数的极值包括极大值和极小值。

通过导数的运算规则，我们可以求出函数的导数，进而判断函数的驻点和极值。

对于实际问题中的最优化问题，我们可以通过导数的运算规则将其转化为求解导数为零的问题，从而求得极值点。

导数定义运算知识点总结一、导数的定义在微积分中，导数是描述函数变化率的一个重要概念。

具体来说，如果一个函数在某一点处的导数存在，那么这个导数就描述了函数在该点处的变化速率。

导数的定义可以通过极限的概念来给出，具体来说，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处函数f(x)的变化率为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x)) / h其中f'(x)表示函数f(x)在x处的导数，lim表示极限运算，h表示自变量x的增加量。

上面的定义是导数的一般形式，通过这个定义可以得到一些常用的导数计算方法。

比如对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一些基本函数，我们可以通过导数的定义来计算它们在某一点处的导数。

另外，还可以通过导数的定义来证明某一函数在某一点处的导数的存在性和计算导数的值。

二、导数的基本运算法则导数的基本运算法则是微积分中的一个重要内容，它包括导数的四则运算法则、复合函数的导数、反函数的导数、隐函数的导数等方面的内容。

1. 导数的四则运算法则对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，它们的导数满足一些基本运算法则。

具体来说，如果函数f(x)和函数g(x)分别在某一点x处的导数存在，那么它们的和、差、积、商的导数可以通过以下公式求得：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- (f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x)) / [g(x)]^2这些公式可以帮助我们在实际计算中求解复合函数的导数、隐函数的导数等问题。

2. 复合函数的导数复合函数是指一个函数中包含了另一个函数。

如果函数y=f(g(x))是一个复合函数，那么它的导数可以通过链式法则来求解。

第九讲 导数与定积分一、导数的概念与运算1．导数的概念： )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00。

2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率xy ∆∆；（3）求极限x yx ∆∆→∆0lim 。

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。

过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；xx 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。

5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).二、导数的应用1． 函数的单调性（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。

函数的导数与导数应用知识点总结函数的导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。

导数应用则是指在解决实际问题时利用导数的性质和计算方法进行分析和求解。

下面将对函数的导数与导数应用的知识点进行总结。

一、函数的导数函数的导数在数学中是指函数在某一点的变化率，可以用来描述函数的变化速度和曲线的陡峭程度。

导数常用符号表示为f'(x)，表示函数f(x)在点x处的导数。

1. 导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中lim表示极限，h表示x的增量。

2. 导数的几何意义函数在某一点的导数等于该点切线的斜率，也就是函数曲线在该点处的斜率。

3. 导数的基本性质导数具有以下基本性质：- 函数常数的导数为0，即常数函数的导数为0。

- 导数的和差法则，即导数的和（差）等于各导数的和（差）。

- 导数的常数倍法则，即函数乘以一个常数后，导数等于该常数乘以原函数的导数。

- 导数的乘积法则，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。

- 导数的商法则，即两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。

二、导数应用导数应用广泛应用于数学、物理、经济等领域，在解决实际问题时具有重要的意义。

以下是几个常见的导数应用知识点。

1. 最值问题导数可以用来求函数的最值问题，即求函数在一段区间上的最大值或最小值。

要求函数在区间内取得最值，需找到导数等于零或不存在的点，然后通过二阶导数的正负来判断最值是极大值还是极小值。

2. 函数图像的凹凸性和拐点导数可以用来分析函数图像的凹凸性和拐点。

当导数大于零时，函数图像凹向上，当导数小于零时，函数图像凹向下。

拐点是指函数图像由凹向上变为凹向下或由凹向下变为凹向上的点。

3. 斜率问题导数可以代表函数曲线在某一点处的斜率，因此可以用来分析曲线的特性和斜率问题。

高中数学导数与积分知识点归纳总结在高中数学中，导数和积分是两个重要的概念。

它们在计算和解决数学问题时起着关键作用。

以下是导数和积分的一些核心知识点的总结。

导数导数可以理解为函数在某一点的变化率。

它描述了函数在不同点的斜率或曲线的切线。

以下是导数的一些重要知识点：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]。

2. 导数的计算：使用导数的定义，我们可以通过求极限来计算导数。

另外，还有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性、乘法法则、除法法则和链式法则等。

这些性质可以简化导数计算的过程。

4. 高阶导数：除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数等。

高阶导数描述了函数的曲率和曲线的变化情况。

积分积分可以理解为函数的累积总和。

它是导数的逆运算，可以用来计算曲线下面的面积或实现函数的反向操作。

以下是积分的一些重要知识点：1. 定积分：定积分是指对函数在给定区间上的积分。

定积分的计算可以使用黎曼和或牛顿-莱布尼茨公式等方法。

2. 不定积分：不定积分是指对函数求积分得到的含有任意常数的函数。

不定积分可以通过求导的逆运算来计算。

3. 积分的性质：积分具有一些重要的性质，如线性性、换元法、分部积分法等。

这些性质可以简化积分计算的过程。

4. 定积分的应用：定积分在几何学、物理学和经济学等领域有广泛的应用。

它可以用来计算曲线下的面积、质心、弧长以及求解各种实际问题。

以上是高中数学中导数和积分的一些核心知识点的归纳总结。

导数和积分在数学的不同领域中都具有重要的应用价值，例如计算、物理学、工程学等。

希望这份总结对您的学习和应用有所帮助。

导数知识点总结与计算导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

计算导数可以用于求解函数在某一点的切线斜率、最大值最小值以及函数的变化趋势等问题。

在实际应用中，导数也被广泛应用于物理、经济、工程等领域，因此对于导数的理解和掌握是十分重要的。

本文将对导数的基本概念、求导法则以及常见函数的导数进行总结，并进行详细的解释和示例计算，以便读者更好地掌握导数知识。

一、导数的基本概念1. 函数的导数在微积分中，函数f(x)在点x处的导数表示为f'(x)，即导数是函数在某一点的变化率。

可以用极限的概念来定义函数的导数：若函数f(x)在点x处的导数存在，则f'(x)=lim (Δx→0) (f(x+Δx)-f(x))/Δx其中Δx表示自变量x的增量。

当Δx趋于0时，函数在点x处的导数即为该点的切线斜率。

2. 导数的几何意义导数可以用几何意义来解释：函数f(x)在点x处的导数即为该点处曲线的切线斜率。

当导数为正时，函数在该点处是增加的；当导数为负时，函数在该点处是减少的；当导数为零时，函数在该点处取得极值。

因此，导数可以用于描述函数在某一点的变化趋势。

3. 导数的物理意义在物理学中，导数也具有重要的物理意义。

例如，当我们知道一个物体的位移函数时，可以通过求导得到该物体的速度函数；再对速度函数求导，可以得到该物体的加速度函数。

因此，导数可以帮助我们描述物体的运动规律。

二、求导法则对于常见的函数，我们可以通过一些基本的求导法则来求解其导数。

下面将介绍求导的基本法则及其示例计算。

1. 常数函数的导数若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。

因为常数函数在任意点的变化率均为0。

示例计算：求函数f(x)=5的导数。

解：f'(x)=0。

2. 幂函数的导数若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=nx^(n-1)。

即幂函数的导数等于指数与原函数的指数减一的乘积。

第三章 导数及其应用第一节 导数的概念及运算、定积分1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ❶为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)导数的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．❷曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线.(3)函数f (x )的导函数：称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．(4)f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，[f ′(x 0)]′＝0. 2．基本初等函数的导数公式3.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．5．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．6．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算.7．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．8．定积分的几何意义定积分∫b a f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S .①S ＝∫b a f (x )d x ；②S ＝－∫b a f (x )d x ；③S ＝∫c a f (x )d x －∫bc f (x )d x ； ④S ＝∫b a f (x )d x －∫b a g (x )d x ＝∫b a [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.二、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论：(1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2；(2)(ln|x |)′＝1x ； (3)⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)； (4)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )． 3．常见被积函数的原函数(1)∫b a c d x ＝cx |b a ；(2)∫b a x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3)∫b a sin x d x ＝－cos x |b a ；(4)∫b a cos x d x ＝sin x |ba ；(5)∫b a 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6)∫b a e x d x ＝e x |b a . 考点一 导数的运算1．f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2019·宜昌联考)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2B.21－2ln 2C.41－2ln 2D ．－2解析：选C 因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2. 答案：－24．求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π) ＝－12x sin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .考点二 导数的几何意义及其应用考法(一) 求切线方程[例1] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x[解析] 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 法二：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .[答案] D考法(二) 求切点坐标[例2] 已知函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤－23，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，23 (2)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________. [解析] (1)由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x ＋1>1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.(2)∵y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ， ∴当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3. [答案] (1)D (2)－3考法(四) 两曲线的公切线问题[例4] 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．[解析] 由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a .∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x， ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e 34＝－e －34.[答案] －e －34[题组训练]1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( )A.18B.14C.12D ．1 解析：选B 因为y ′＝2(x ＋1)2，所以y ′x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.2．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值为________．解析：由题意知y ′＝a e x ＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.答案：13．若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________． 解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 20＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e考点三 定积分的运算及应用[题组训练]1. ⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.解析：⎠⎛0π (sin x －cos x )d x＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝－cos x ⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪π＝2. 答案：2 2. ⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________.解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x ⎪⎪⎪e1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π×22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋13．由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为____________．解析：法一：画出草图，如图所示．解方程组⎩⎨⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤ x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛01⎝⎛⎭⎫ x ＋13x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2－23x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136.法二：如图所求阴影的面积就是三角形OAB 的面积减去由y 轴，y ＝x ，y ＝2－x 围成的曲边三角形的面积，即S ＝12×2×3－⎠⎛01 (2－x －x )d x＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2－23x 32⎪⎪⎪1＝3－⎝⎛⎭⎫2－12－23＝136. 答案：1364．一物体在力F (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)． 答案：361．正确选用求定积分的4个常用方法 定理法 性质法 几何法 奇偶性法 2．定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[课时跟踪检测]A 级1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x ，所以y ′|x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94 D.94解析：选C 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94.4.(2019·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)解析：选C 设f ′(3)，f (3)－f (2)，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.5.(2019·玉林模拟)由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13 B.310 C.14D.15解析：选A 由⎩⎨⎧ y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪10＝13.6．(2018·安庆模拟)设曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D ∵y ＝e ax －ln(x ＋1)，∴y ′＝a e ax －1x ＋1，∴当x ＝0时，y ′＝a －1.∵曲线y ＝e ax －ln(x ＋1)在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，∴a －1＝2，即a ＝3.7．(2018·延边期中)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线的斜率k ≥－3，所以切线的倾斜角α的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 8．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：29．(2019·重庆质检)若曲线y ＝ln(x ＋a )的一条切线为y ＝e x ＋b ，其中a ，b 为正实数，则a ＋eb ＋2的取值范围为________．解析：由y ＝ln(x ＋a )，得y ′＝1x ＋a .设切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝e ，ln (x 0＋a )＝e x 0＋b ⇒b ＝a e －2.∵b >0，∴a >2e，∴a ＋e b ＋2＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1时等号成立．答案：[2，＋∞)10．(2018·烟台期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋ax (0<x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3 )，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎡⎭⎫12，＋∞B 级1．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x ⎪⎪⎪10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 2．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]， x 2－1，x ∈(1，2]，则⎠⎛-12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 解析：选A ⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-111－x 2d x ＋⎠⎛12 (x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43. 3．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C 因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列， 所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8， 所以f ′(0)＝84＝212.4．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 019(x )＝( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 019＝4×504＋3，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x .6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是( ) A ．2 5 B ．2 C ．2 3D. 3解析：选A 设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在点M 处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，点M 到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．∵y ′＝22x －1，∴22x 0－1＝2，解得x 0＝1，∴M (1,0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.7．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为________．解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g (3)＝3f (3)＝3，g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0，则曲线g (x )在x ＝3处的切线方程为y －3＝0. 答案：y －3＝08．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，所以⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)是定值，理由如下：设P (x 0，y 0)为曲线y ＝f (x )上任一点，由f ′(x )＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.9．已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，问：在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的 x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1(x ＞0且x ≠1)，∴f ′(x )＝1x ＋2a(x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)，无单调递减区间． (2)在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. ∵g (x )＝ln x ，∴g ′(x )＝1x，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0.②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝ x 0＋1x 0－1.下证在区间(1，＋∞)上存在唯一一个满足条件的x 0. 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又∵f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，∴结合零点存在性定理，知方程f (x )＝0在区间(e ，e 2)上有唯一的实数根，这个根就是所求的唯一满足条件的x 0.第二节导数的简单应用一、基础知识1．函数的单调性与导数的关系在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在❶(a，b)上为减函数．2．函数的极值(1)函数的极小值：；函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0❷，f(a)而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点❸叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)开区间上的单调连续函数无最值．,(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但xf′(x＝0不是极值点．(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.二、常用结论(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．(2)若函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． 第一课时 导数与函数的单调性 考点一 求函数的单调区间1．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上单调递增 B ．在(0，＋∞)上单调递减 C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减 解析：选D 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝ln x ＋1(x ＞0)， 当f ′(x )＞0时，解得x ＞1e，即函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞； 当f ′(x )＜0时，解得0＜x ＜1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，故选D. 2．若幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，则函数g (x )＝e x f (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，因为图象过点⎝⎛⎭⎫22，12，所以12＝⎝⎛⎭⎫22a，a ＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2， 则g ′(x )＝e x x 2＋2e x x ＝e x (x 2＋2x )， 令g ′(x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)． 答案：(－2,0)3．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是___________________________________________________________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x ＞0(x ∈(－π，π))， 解得－π＜x ＜－π2或0＜x ＜π2，即函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 考点二 判断含参函数的单调性(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x ，讨论f (x )的单调性．[解] f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.①当a ≤2时，则f ′(x )≤0， 当且仅当a ＝2，x ＝1时，f ′(x )＝0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a ＞2时，令f ′(x )＝0， 得x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．综合①②可知，当a ≤2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当a ＞2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增．[题组训练]已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，其中g (x )的函数图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴． (1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 解：(1)g ′(x )＝1x＋2ax ＋b (x ＞0)．由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴， 得g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，所以b ＝－2a －1. (2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， 所以当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )＞0，得0＜x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1， 即函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当a ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a，若12a ＜1，即a ＞12，由g ′(x )＞0，得x ＞1或0＜x ＜12a ，由g ′(x )＜0，得12a ＜x ＜1， 即函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减； 若12a ＞1，即0＜a ＜12，由g ′(x )＞0，得x ＞12a 或0＜x ＜1， 由g ′(x )＜0，得1＜x ＜12a，即函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0， 即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可得，当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12时，函数g (x )在(0,1)，⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减； 当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a ，(1，＋∞)上单调递增， 在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减．考点三 根据函数的单调性求参数[典例精析](1)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________．(2)若函数h (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)在[1,4]上单调递减，则a 的取值范围为________．[解析] (1)函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1， 所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 答案：(1)⎣⎡⎦⎤－13，13 (2)⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)[变式发散]1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上单调递增”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，即a ≤1x 2－2x 恒成立，又因为当 x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1]2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上存在单调递减区间”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上存在单调递减区间， 所以h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，而当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ＞－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(0，＋∞)3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h (x )在[1,4]上不单调”，则a 的取值范围为________．解析：因为h (x )在[1,4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x ＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1在(1,4)上有解， 令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－716. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－716 [题组训练]1．(2019·渭南质检)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直．若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4，①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题意可得f ′(1)·⎝⎛⎭⎫－19＝－1，即3a ＋2b ＝9.② 联立①②两式解得a ＝1，b ＝3， ∴f (x )＝x 3＋3x 2，f ′(x )＝3x 2＋6x .令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0，得x ≥0或x ≤－2. ∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)， ∴m ≥0或m ＋1≤－2，即m ≥0或m ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[0，＋∞)2．已知函数f (x )＝3xa －2x 2＋ln x (a ＞0)，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在[1,2]上为单调函数，即f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≤0在[1,2]上恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x 在[1,2]上恒成立． 令h (x )＝4x －1x，则h (x )在[1,2]上单调递增， 所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a≤3，又a ＞0， 所以0＜a ≤25或a ≥1.答案：⎝⎛⎦⎤0，25∪[1，＋∞) [课时跟踪检测]A 级1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝sin 2x B ．f (x )＝x e x C ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x解析：选B 对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＞33或x ＜－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x ，令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0,1)上单调递增．综上所述，应选B.2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增，结合选项知选A.3．若函数f (x )＝(x 2－cx ＋5)e x 在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，则实数c 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，4] C ．(－∞，8]D ．[－2,4]解析：选B f ′(x )＝[x 2＋(2－c )x －c ＋5]e x ，∵函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，4上单调递增，∴x 2＋(2－c )x －c ＋5≥0对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，即(x ＋1)c ≤x 2＋2x ＋5对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∴c ≤x 2＋2x ＋5x ＋1对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，4恒成立，∵x ∈⎣⎡⎦⎤12，4，∴x 2＋2x ＋5x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1≥4，当且仅当x ＝1时等号成立，∴c ≤4.4．(2019·咸宁联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0,3]解析：选A ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x (x ＞0)，由x －9x ≤0，得0＜x ≤3，∴f (x )在(0,3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0,3]，∴a －1＞0且a ＋1≤3，解得1＜a ≤2.5．(2019·南昌联考)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (3)，c ＝f (0)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选A ∵函数f (x ＋1)是偶函数，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，b ＝f (3)，c ＝f (0)＝f (2)．又∵当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )＝sin x －x ，∴当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝cos x －1≤0，即f (x )＝sin x －x 在(1，＋∞)上为减函数，∴b ＜a ＜c .6．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________________．解析：由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0, 在 ⎝⎛⎭⎫12，2上f ′(x )＜0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 7．(2019·岳阳模拟)若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间， ∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解． 设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)8．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 所以f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x ＞0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝3. 当0＜x ＜2或x ＞3时，f ′(x )＞0； 当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2,3)．9．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x －ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解：(1)∵a ＝e ，∴f (x )＝e x －e x －1， ∴f ′(x )＝e x －e ，f (1)＝－1，f ′(1)＝0.∴当a ＝e 时，函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－1. (2)∵f (x )＝e x －ax －1，∴f ′(x )＝e x －a . 易知f ′(x )＝e x －a 在(0，＋∞)上单调递增．∴当a ≤1时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞1时，由f ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ，∴当0＜x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞1时，f (x )在(0，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．B 级1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又∵f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时，有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.2．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f (x )＝x －1x ＜0，得0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)．答案：(0,1)3．(2019·郴州模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3)4.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选C 当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，故y ＝f (x )在(0,1)上为减函数；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数，因此排除A 、B 、D ，故选C.5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析：由f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，得f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时取等号， 所以f (x )在其定义域内单调递增．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0， 所以f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)， 所以a －1≤－2a 2，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－1，12 6．已知f (x )＝ax －1x ，g (x )＝ln x ，x ＞0，a ∈R 是常数．(1)求函数y ＝g (x )的图象在点P (1，g (1))处的切线方程； (2)设F (x )＝f (x )－g (x )，讨论函数F (x )的单调性． 解：(1)因为g (x )＝ln x (x ＞0)， 所以g (1)＝0，g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，故函数g (x )的图象在P (1，g (1))处的切线方程是y ＝x －1. (2)因为F (x )＝f (x )－g (x )＝ax －1x －ln x (x ＞0)，所以F ′(x )＝a ＋1x 2－1x＝a ＋⎝⎛⎭⎫1x －122－14. ①当a ≥14时，F ′(x )≥0，F (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a ＝0时，F ′(x )＝1－xx 2，F (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；③当0＜a ＜14时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＞0，且x 2＞x 1，故F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－4a 2a ，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，1＋1－4a 2a 上单调递减；④当a ＜0时，由F ′(x )＝0，得x 1＝1－1－4a 2a ＞0，x 2＝1＋1－4a 2a ＜0，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－4a 2a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－4a 2a ，＋∞上单调递减． 7．已知函数f (x )＝ax －ln x ，g (x )＝e ax ＋2x ，其中a ∈R. (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；(2)若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上具有相同的单调性，求实数a的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝2x －ln x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝2－1x，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．所以f (x )在x ＝12处取得极小值，且f ⎝⎛⎭⎫12＝1＋ln 2，无极大值． (2)由题意知，f ′(x )＝a －1x，g ′(x )＝a e ax ＋2，①当a ＞0时，g ′(x )＞0，即g (x )在R 上单调递增，而f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递增，故必存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上单调递增；②当a ＝0时，f ′(x )＝－1x ＜0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故不存在满足条件的区间D ；③当a ＜0时，f ′(x )＝a －1x ＜0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ，＋∞上单调递增，若存在区间D ⊆(0，＋∞)，使得f (x )与g (x )在区间D 上有相同的单调性，则有1a ln ⎝⎛⎭⎫－2a ＞0，解得a ＜－2. 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．第二课时 导数与函数的极值、最值 考点一 利用导数研究函数的极值考法(一) 已知函数的解析式求函数的极值点个数或极值[例1] 已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，求函数f (x )的极值．[解] 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0， 得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．[例2] 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R.讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由．[解] f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x ＞－1)．令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)．①当a ＝0时，g (x )＝1，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． ②当 a ＞0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． 当0＜a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点． 当a ＞89时，Δ＞0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1＜x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1＜－14，x 2＞－14.由g (－1)＝1＞0，可得－1＜x 1＜－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；。

导数的定义与基本运算法则导数是微积分中一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

本文将介绍导数的定义以及基本运算法则，并通过具体例子来加深理解。

一、导数的定义导数是用极限来定义的。

对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h二、基本运算法则1. 常数规则如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。

2. 常数倍规则如果f(x) = c * g(x)，其中c是一个常数，g(x)是一个可导函数，那么f'(x) = c * g'(x)。

3. 和差规则如果f(x) = g(x) ± h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) =g'(x) ± h'(x)。

4. 乘法规则如果f(x) = g(x) * h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) =g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。

5. 商法则如果f(x) = g(x) / h(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数，且h(x)不等于0，那么f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2。

6. 复合函数规则如果f(x) = g(h(x))，其中g(x)和h(x)是可导函数，那么f'(x) = g'(h(x)) * h'(x)。

三、例题分析1. 求函数f(x) = x^2的导数。

根据导数的定义，我们可以计算：f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^2 - x^2)/h= lim(h→0) (x^2 + 2xh + h^2 - x^2)/h= lim(h→0) (2x h + h^2)/h= lim(h→0) 2x + h= 2x所以，f'(x) = 2x。

导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。

导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。

一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。

在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。

这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。

二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。

以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。

2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。

3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。

4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。

5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。

6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。

以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。

三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。

以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。

- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。

高中《导数》知识点总结导数是高中数学中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点处的变化率。

在一个数学函数中，每一个点都有一个导数，它告诉我们函数在该点的变化速度。

一、导数的定义与计算方法导数的定义：对于函数y=f(x)，如果函数在点x处有导数，则导数定义为f'(x)=lim(h→0)[(f(x+h)-f(x))/h]。

导数的计算方法：常用的导数运算法则有：常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数的导数、反函数的导数等。

二、基本初等函数的导数1.常数函数的导数：常数函数的导数为0。

2. 幂函数的导数：对于幂函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。

3. 指数函数的导数：对于指数函数y=a^x，导数为y'=a^x*ln(a)。

4. 对数函数的导数：对于对数函数y=log_a(x)，导数为y'=(1/x)log_a(e)。

5. 三角函数的导数：正弦函数的导数为y'=cos(x)，余弦函数的导数为y'=-sin(x)，正切函数的导数为y'=sec^2(x)。

三、导数的几何意义及几何应用导数的几何意义：导数表示了函数曲线在其中一点处的切线的斜率。

导数的几何应用：导数可以用于求切线和法线方程，可以用于确定函数的单调性和极值点，可以用于求曲线的凹凸性和拐点。

四、函数的增减性与极值1.函数的增减性：如果一个函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是递增的；如果一个函数在区间内的导数小于0，则函数在该区间内是递减的。

2.极值与最值：函数在极值点上的导数为0或不存在，导数由正变负时，函数有极大值，即局部最大值；导数由负变正时，函数有极小值，即局部最小值。

五、函数的单调性与事件点1.函数的单调性：函数在区间内的导数大于0，则函数在该区间内是单调递增的；如果导数小于0，则函数在该区间内是单调递减的。

2.事件点：函数的极值点、拐点和不可导点称为函数的事件点。