中考试题中的数学思想方法例析 (2)

函数思想在中考试题中的解法例析
崔红斌
【期刊名称】《科学大众（科学中考）》
【年(卷),期】2024()2
【摘要】函数是初中数学知识体系中的重要内容,描述了事物之间的数量关系,揭示了事物之间的内在规律在中考试题中,函数思想的应用十分广泛,题型也种类繁多.通过研究函数思想在中考试题中的解法可以帮助我们更好地理解函数定理,之后根据题目中的变量建立函数关系式,最后解决实际问题.与此同时,为提高我们自身解题能力,同学们还应深入剖析不同类型的函数问题,优化解题思路,激发对于数学课程学习的兴趣,为应对中考数学打好基础。

【总页数】3页(P24-26)
【作者】崔红斌
【作者单位】甘肃省甘南藏族自治州迭部县旺藏九年制学校
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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第36讲：如何运用数学思想解决中考题数学思想是解决数学问题的灵魂，因此，也是中招考试的重点.初中最常见的数学思想有：转化思想、数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化思想等.一、转化思想： 将较抽象、复杂或较隐含的已知条件或结论转化为较直观、简单或较浅显的已知条件或结论的思想即为转化思想. 例1：已知5=a ，b 是a的小数部分，求ba 1-的值.解析：本题目中的“b 是a 的小数部分”一句话较抽象，按照常规的思路，即因为236.25==a ，所以b =0.236….显然这样是很难求解的.若能够把这句话转化理解为：因为b a +==25，所以25-=b ，则显然有225151-=--=-b a .转化思想是最常见的数学思想之一，我们做题过程本身就是问题的转化过程.我们平时做题时所用到的等量代换、比例式与乘积式的互化、换元法等等都是转化的手段.灵活运用转化思想，能够深入挖掘题目中的隐含条件，将复杂的问题简单化.二、数形结合思想： 数学家华罗庚说过；“数无形，少直观；形无数，难入微.”数和形是事物存在的两个方面，数形结合思想也是一种很重要的数学思想.有效的利用数形结合思想，便于我们深刻理解题意，也是化难为易的捷径.例2：（2007丽水）如图，直线443y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''，则点B '的坐标是（ ）A . （3，4）B . （4，5）C . （7，4）D . （7，3）解析：结合图形知，易求得OA=3,OB=4。

△AO B 绕点A 顺时针旋转90°后得到△A O B ''后，O /A ⊥x 轴，O /B /∥x 轴，则点B '的横坐标=OA+OB=7, 点B '的纵坐标=OA=3，所以选择D 。

例3：（2006年重庆课改卷）如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P , 则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx =+⎧⎨=⎩的解是解析：结合一次函数的图像，因为两个一次函数的图像的交点为（—4，—2），则方程组的解为⎩⎨⎧-=-=24y x .评注：此题的解法，把抽象的数（方程组的解）用直观的点（的坐标）来表示，充分运用了数形结合思想.三、方程思想：解答数学问题时，通过列方程的方法，把已知条件和某些未知的结论联系起来，从而达到求解的目的，这种思想就是方程思想. 例4：（2005年太原）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD 的面积等于（ ）FCD4题A16225 B15226 C17256 D16289解析：根据勾股定理的逆定理，易判断三角形AEF 为直角三角形， 则∠AEB+∠FEC=900,易判断△ABE ∽△ECF ，不放设BE=x,AB=y,则EC=y-x ，因为,34==EC AB EF AE 所以,34=-x y y 即,4,4222=+=y x x y ∴,16172=x ∴,174=x ∴,1716=y ∴172562==yS ，选C.评注：解决此题的关键就是利用相似三角形的对应边成比例及勾股定理构造方程，从而达到了求解的目的.四、分类讨论思想： 分类讨论思想就是把事物可能出现的各种情况分类别并加以讨论的数学思想，例如去绝对值符号时要考虑数的正负，开平方时的两个平方根，不等式两边同乘以或除以一个代数式时应考虑其正负等，均为分类讨论思想.几何上如圆周角定理的证明也运用了分类讨论思想. 分类讨论思想能考查思维的周密性，若不能合理分类或分类不完整，就会导致解题时出现错误或漏解，尤其是在解决一些让自己画图的几何计算或证明题时，要把图形可能出现的各种情况都考虑在内. 例5：（2006年江苏盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是 . 解析：有两个2和—2.例6：（2005荆门）已知直角三角形两边x 、y 的长满足240x -+=，则第三边长为 ．分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．五、运动变换思想： 运动变换思想是研究某些几何图形的性质和某些函数问题的重要思想方法.运用运动变换思想解题时，既要用动态的观点去分析问题，解决问题，又要抓住问题的实质，分清在运动变化过程中哪些量、性质没有变，以不变应万变，使问题得以圆满解决.在特定的条件下（某个特殊时刻），把运动的点或者图形当作静态的点或者图形去研究是解决这类问题的根本方法.例7：（2007山东滨州）如图1所示，在A B C △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为B C的中点，动点E 在B A 边上自由移动，动点F 在A C 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，O E F △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出O E F △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设B E x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆与A B 相切（如图2），试探究直线E F 与O 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，（1）点E F ，移动的过程中，O E F △能成为45E O F ∠=°的等腰三角形． 此时点E F ，的位置分别是：①E 是B A 的中点，F 与A 重合．②BE CF ==E 与A 重合，F 是A C 的中点．（2）在O E B △和FO C △中，135E O B F O C ∠+∠=°，135EO B O EB ∠+∠=°，F O C O E B ∠=∠∴．又B C ∠=∠∵，O E B F O C ∴△∽△．B E B O C OC F=∴．B E x =∵，CF y =，O B O C ===2(12)y x x=∴≤≤．（3）E F 与O 相切．O E B F O C∵△∽△，B E O E C OO F=∴．B E O E B OO F=∴．即B EB O O EO F=．又45B EO F ∠=∠=∵°，B E O O E F ∴△∽△．B E O O E F ∠=∠∴．∴点O 到A B 和E F 的距离相等．A B ∵与O 相切，∴点O 到E F 的距离等于O 的半径．E F ∴与O 相切．六、整体思想：即把方程、代数式里的某些项当作一个整体去看待，如解方程里的换元法等等就是整体思想. 例8：（2006年黄冈）已知x 2+x-1=0，求x 3+2x 2+2005的值.解析：x 3+2x 2+2005=(x 3+x 2)+(x 2-1)+2006=x 2(x+1)+(x-1)(x+1)+2006=(x+1)(x 2+x-1)+2006.∵x 2+x-1=0，∴原式=2006.另解：x 3+2x 2+2005=x 3+x 2+x 2+2005=x （x 2+x ）+x 2+2005=x+x 2+2005=2006例9：（2006年武汉）已知a+b+c=0，且a 、b 、c 互不相等，证明：.1222222222=+++++abc cca b bbc a a证明：∵a+b+c=0，∴a=-(b+c),b=-(a+c),c=-(a+b)，∴abc ccab bbca a+++++222222222ab c b a c ccab ac b bbca cb a a++-+++-+++-=)()()(222222))(())(())((222b c a c ca b c b bc a b a a--+--+--=))()(()()()(222a c cb b a b ac a c b c b a ----+-+--=图1A B图2A B.1))()(())()((=------=a c cb b a b a ac c b分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想．对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决．分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．【典型考题例析】例1：已知直角三角形两边x 、y的长满足240x -+=，则第三边长为 ． （2005青湖北省荆门市中考题）分析与解答 由已知易得122,2, 3.x y y ===（1）若2,2x y ==是三角形两条直角边的长,=．（2）若2,3x y ==是三角形两条直角边的长,=（3）若2x =是一角边的长，3y ==∵第三边长为．例2：⊙O 的半径为5㎝，弦AB ∥∥CD ，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB 和CD 的距离是（ ） （A ）7㎝ （B ）8㎝ （C ）7㎝或1㎝ （D ）1㎝ （2005湖北省襄樊市中考题）分析与解答 因为弦AB 、CD 均小于于直径，故可确定出圆中两条平行弦AB 和CD 的位置关系有两种可能： 一是位于圆心O 的同侧，二是位于圆珠笔心O 的异侧，如图2-4-1，过O 作EF ⊥CD ，分别交CD 、AB 于E 、F ， 则CE=4㎝，AF=3㎝．由勾股定理可求出OE=3㎝，OF=4㎝．当AB 、CD 在圆心异侧时，距离为OE+OF=7㎝．当AB 、CD 在圆心同侧时，距离为OF-OE=1㎝．选C ．例3：如图2-4-2，正方形ABCD 的边长是2，BE=CE ，MN=1，线段MN 的两端在CD 、AD 上滑动．当DM= 时，△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似．图2-4-1（2005青海省西宁市中考题） 分析与解答 勾股定理可得当△ABE 与以D 、M 、N 为项点的三角形相似时，DM 可以与BE 是对应边，也可以与AB 是对应边，所以本题分两种情况：（1）当DM 与BE 是对应边时，D M M N ABAE=，即15D M D M ==．（2）当DM 与AB 是对应边时，DM M N ABAE=，即25D M D M ==故DM55例4：如图2-4-3，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=900，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 出发，经线段CB 上以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点P 、Q 分别从D 、C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t 秒．（1） 设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2） 当t 为何值时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形？（2005年湖北省中考改编）B ACQDPM分析与解答 （1）如图2-4-3，过点P 作PM ⊥BC ，垂足为M ， 则四边形PDCM 为矩形，∴PM=DC=12． ∵QB=16-t ，∴112(16)9662St t=⨯⨯-=-．（3） 由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况： ① 由图可知，PQ=BQ ． 在Rt △PMQ 中，2222222212.,12(16)PQ t PQ BQ t t =+=+=-由得，解得72t=．② 若PQ=BQ ．在Rt △PMB 中，22222222(16)12.,)12(16)BP t BQ t t =-+=+=-由BP 得(16-2，即23321440t t -+=，∵△=7040-<， ∴解得23321440t t -+=无解，∴B PB Q≠．图2-4-2E NMD CBA③若PB=PQ ．在Rt △PMB 中，，222222,12(162)12QP t t =+=-+由BP得．解得1216,163t t ==不合题意，舍去）．综合上面原讨论可知：当72t=秒或163t=秒时，以B 、P 、Q 三点为项点的三角形是等腰三角形．说明 从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．【提高训练】1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝（2005年内蒙古自治区呼和浩特市中考题目） 2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则（2005年黑龙江省哈尔滨市中考题目）3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ）A ．2或2．5B ．2或10C ．10或12．5D ．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O内作了长为AB ，连续PB ，则PB 的长为（2005年湖北省黄冈市中考题）5．在直角坐标系xoy 中，一次函数23y=+的图象与x 轴交于点A ，与y轴交于点B ．（1）苈以原点O 这圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】1．D 2．A 3．A 4．2或5.（1）3()22（2）满足条件的点P 存在，它的坐标是0)(0)(40)(40)3----或或或第2讲 转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，•此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y=12x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P•是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9．（1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，•T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）•再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值．∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y=12x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0=12x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2m n+=9…①又∵点P （m ，n ）在直线y=12x+2上，∴n=12m+2…②联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）． （2）令x=0，代入y=12x+2中有y=2，∴OC=2，∴△AOC ∽△BRT ， 设BT=a ，RT=b ． 分类讨论： ①当24b a=…①又由P 点求出可确定反比例函数y=6x又∵R （m+a ，b ）在反比例函数y=6x上∴b=6m a+……②联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标．②当24ab=时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）•的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？•若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2，∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0，∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点，∴0=a（1-t-1）2+t 2⇒at2+t2=0．∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1．①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2⇒x-t-1=±t∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．而A（t+1，t2）由对称性有AF=AE（如图）∴只能是∠FAE=90°，AF2=AD2+DF2．而FD=OD-OF=t+1-1=t，A D=t2，∴AF2=t2+t2=AE2，FE=OE-OF=2t+1-1=2t．令EF2=AF2+AE2，则有（2t）2=2（t2+t2），4t2=2t4+2t2，∵t≠0，∴t2-1=0，∴t=±1．情况二：E（1，0），F（2t+1，0）用分析法若△FAE为直角三角形，由抛物线对称性有AF=AE即△AFE为等腰直角三角形．且D为FE中点，∵A（t+1，t2），∴AD=t2，OD=t+1，∴AD=DE，∴t2=OE-OD=1-（t+1），t2=-t，∴t1=0（不合题意，舍去），t2=-1．故这条抛物线与x轴两交点和它们的顶点A能够成直角三角形，这时t=±1．中考样题看台1．（2003，海南）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．（1）若抛物线的对称轴为x=-1，求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．2．（2003，南宁）如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，•且与△ABC 的外接圆相交于点D．（1）求证：∠DBE=∠DEB；（2）若AD=8cm，DF：FA=1：3，求DE的长．3．（2003，山东）如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A 1的直线分别与BC 1、BE 交于M 、N ，且被直线MN 分成面积相等的上、下两部分． （1）求1M B+1N B的值；（2）求MB 、NB 的长；（3）将图沿虚线折成一个无盖的正方形纸盒后，求点MN 间的距离．D 2C 2B 1A 1D 1C 1BC AE D NM F4．（2004，云南）如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N•的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500•米为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东75°，已知MB=400米，通过计算，如果不改变方向，输水线路是否会穿过居民区？东北ABNM5．（2004，丽水市）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P•从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动的时间（0≤t ≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C•是否落在直线AB 上，并说明理由；（3）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．B Ay xQ PO考前热身训练1．已知抛物线y=（x-2）2-m 2（常数m>0）的顶点为P ． （1）写出抛物线的开口方向和P 点的坐标；（2）若此抛物线与x 轴的两个交点从左到右分别为A 、B ，并且∠APB=90°，试求△ABP 的周长．2．已知m ，n 是关于x 方程x 2+（x+2t=0的两个根，且m 2，过点Q （m ，n ）的直线L 1与直线L 2交于点A （0，t ），直线L 1，L 2分别与x 轴的负半轴交于点B 、C ，如图，△ABC 为等腰三角形．（1）求m ，n ，t 的值；（2）求直线L 1，L 2的解析式；（3）若P 为L 2上一点，且△ABO ∽△ABP ，求P 点坐标．l 2Al 1BCy xQO3．如图，正方形ABCD 中，AB=1，BC 为⊙O 的直径，设AD 边上有一动点P （不运动至A 、D ），BP 交⊙O 于点F ，CF 的延长线交AB 于点E ，连结PE ． （1）设BP=x ，CF=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）当CF=2EF 时，求BP 的长；（3）是否存在点P ，使△AEP ∽△BEC （其对应关系只能是A ↔B ，E ↔E ，P ↔C ）？如果存在，•试求出AP 的长；如果不存在，请说明理由．BCE答案:中考样题看台1．（1）抛物线解析式是y=-12x2-x+1（2）由题意得：1423ca b c=⎧⎨++=-⎩消去c，得b=-2a-2，•又∵抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，∴2aba<⎧⎪⎨-<⎪⎩∴b<0，∴b=-2a-2<0，解得a>-1，∴a的取值范围是-1<a<0（3）由抛物线开口向下，且经过点A（0，1）知：它与x轴的两个交点B、C分别在原点的两旁，此时B、C两点的横坐标异号OA=c=1，又∠BAC=90°，∴点A必在以BC为直径的圆上；又∵OA⊥BC于O，∴OA2=OB²OC，又∵b=-2a-2，c=1，∴抛物线方程变为：y=ax2-2（a+1）x+1，设此抛物线与x轴的两个交点分别为B（x1，0），C（x2，0），则x1、x2是方程ax2-2（a+1）x+1=0的两根，∴x1²x2=1a，∴OB²OC=│x1│²│x2│=│x1x2│=-x1x2，（∵x1²x2<0），•∴OB²OC=-1a，又∵OA2=OB²OD，OA=1，∴1=-1a，解得a=-1，经检验知：当a=-1时，所确定的抛物线符合题意，故a的值为-1．2．（1）证明，由已知∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BED=∠3+∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠3+∠1，即∠EBD=∠BED．（2）△BFD∽△ABD，∴BD2=AD²FD．∵DF：FA=1：3，AD=8，∴DF：AD=1：4，∴184D F=，DF=2cm，∴BD2=16，∴DE=BD=4cm．3．（1）∵111N B M B A B M B =，即11N B M B M B =-，得MB+NB=MB ²NB ，两边同除以MB ²NB 得1M B+1N B=1．（2）12MB ²NB=52，即MB ²NB=5，又由（1）可知MB+NB=MB ²NB=5，∴MB 、NB•分别是方程x 2-5x+5=0的两个实数根，x 12x 22，∵MB<NB ，∴2，2（3）B 1M=3-2，EN=3-2，∴MN=1．4．解：过A 作AC ⊥MN 于C ，设AC 长为x 米，由题意可知，∠AMC=30°，∠ABC=45°， •∴MC=AC ²cot30°=3x ，BC=AC=x ，∵MC-BC=MB=400x-x=400．解得x=200（3+1）（米）．• ∴x>500，∴不改变方向，输水线路不会穿过居民区． 5．解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1³t=t ，OP=1³t=t ． ∴OQ=6-t ，∴y=12³•OP ³OQ=12³t （6-t ）=-12t 2+3t （0≤t ≤6）（2）∵y=-12t 2+3t ，∴当y 有最大值时，t=3，∴OQ=3，OP=3，即△POQ 是等腰三角形．•把△POQ 沿PQ 翻折后，可得四边形OPCQ 是正方形， ∴点C 的坐标是（3，3），∵A （12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=-12x+6，当x=3时，y=92≠3，∴点C 不落在直线AB 上． （3）△POQ ∽△AOB 时， ①若O Q O P O BO A =，即6612tt-=，12-2t=t ，∴t=4．②若O Q O P O AO B=，即6126t t -=，6-t=2t ，∴t=2，•∴当t=4或t=2时，△POQ 与△AOB 相似．考前热身训练 1．（1）开口向上，P （2，-m 2）．（2）设对称轴与x 轴交于点C ，令（x-2）2-m 2=0，得x 1=-m+2，x 2=m+2， ∴A （-m+2，0），B （•m+2，0）， ∴AC=│2-（-m+2）│=m ，（∵m>0）由抛物线对称性得PA 2=AC 2+PC 2=m 2+（-m 2）2． ∵∠APB=90°，∴易证AC=PC ，即│m │=│-m 2│，∴m 1=0，m 2=±1． ∵m>0，∴m=1，∴△ABC 的周长为2．（1）m=-2，．（2）L 1：y 2L 2：y=3．（3）过B 作BP 1⊥AC 于P 1，则P 1（32，2），过B 作BP 2⊥AB 于P 2，则P 2（-22）．3．（1）y=1x（． （2）2（3）若△AEP ∽△BEC ，则A E A P B EB C=，易知Rt △BAP ≌Rt △CBE ，BE=AP ．设AP=t （0<t<1），则AE=AB-EB=1-t ， ∴11t t t-=，∴t=12-±，又∵0<t<1，∴t=12-，即P 点存在，且12+．第3讲 数形结合思想概述：数形结合思想是教学中的一种重要思想，在解题过程中，•能画出图形的要尽量画出图形，图形能帮助你理解题意，有利于着手解题．典型例题精析例．以x 为自变量的二次函数y=-x 2+2x+m ，它的图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的左边，点O 为坐标原点．（1）求这个二次函数的解析式及点A ，点B 的坐标，画出二次函数的图象；（2）在x 轴上是否存在点Q ，在位于x 轴上方部分的抛物线上是否存在点P ，•使得以B C Ay xPOA 、P 、Q 三点为顶点的三角形与△AOC 相似（不包含全等），若存在，请求出点P 、点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）∵y=-x 2+2x+m 与y 轴交于C （0，3），∴3=m ，代入y=-x 2+2x+m 得y=-x 2+2x+3， 令-x 2+2x+3=0，x 2-2x-3=0，x 1=-1，x 2=3． ∴A （-1，0），B （3，0），由y=-x 2+2x-1+4， y=-（x-1）2+4，得顶点M （1，4）． （2）若存在这样的P 、Q 点，一定是∠PAQ=∠ACO ．∵若∠PAQ=∠CAO ，则△ACO ∽△AQP 不合题意，若∠PAB=90°=∠AOC ，显然P•点不在抛物线上． ∴分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况考虑．①当∠AOC=∠PQA ，∠ACO=∠PAQ 时，有△AOC ∽△PQA （如图1） 设Q （x 1，0），P （x 1，y 2）由A Q Q P O CA O=得11131x y +=，而y 1=-x 12+2x 1+3，∴x 1+1=3（-x 12+2x 1+3）， 3x 12-5x 1-8=0， x 1=83或x 1=-1（不合题意，舍去）把x 1=83代入y 1=-x 12+2x 1+3=119， ∴Q （83，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△PQA ．②∠APQ=∠COA=90°，且∠ACO=∠QAP 时，有△AOC ∽△APQ过P 作PN ⊥x 轴于N ，设Q （x ，0），P （，） 由△AOC ∽△APQ 得AC C O AQAP= 得231x =+ 解得8327， ∴Q （8327，0），P （83，119）．∴存在这样的P 、Q 点使得△AOC ∽△APQ说明：（1）在考虑三角形相似时，应考虑不同情况，这是这道题的难点．（2）第二种情况的P 点可以认为和第一种情况是同一点．（3）能够求出Q 、P 点坐标为存在，不能求出P 、Q 点坐标（即方程无解）为不存在．中考样题看台1．已知四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD•的长是关于x•的方程x 2-2mx+（m-12）+74=0的两个根．M OBCAy xQ P（1）当m=2和m>2时，四边形ABCD分别是哪种四边形？并说明理由．（2）若M、N分别是AD、BC中点，线段MN分别交AC、BD于点P、Q，PQ=1，且AB<CD，求AB、CD的长；（3）在（2）的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan•∠BDC和tan∠BCD．2．已知，如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，BC是⊙1和⊙2的公切线，B、C为切点．（1）求证：AB⊥AC；（2）若r1、r2分别为⊙O1、⊙O2的半径，且r1=2r2，求A BA C的值．3．在平面直角坐标系中，给定五点：A（-2，0），B（1，0），C（4，0）•，D（-2，92），E（0，-6），从这五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴，我们约定：把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，•请用约定的方法一一表示出来；（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线与直线的解析式；如果不存在，请说明理由．4．某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，讨论如下：甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；乙同学：我发现边数是6，它也不一定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形，AD=BE=CF，可以证明六边形ADBECF的各角相等，但它未必是正六边形；丙同学：我能证明，边数是5时，它是正多边形．我想，边数是7时，它可能是正多边形，……（1）请你说明乙同学构造的六边形各角相等；（2）请你证明，各角都相等的圆内接七边形ABCDEFG（如图二）是正七边形（不必写已知、求证）；（3）根据以上探索过程，提出你的猜想（不必证明）；5．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染．（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，•所有禽类全部捕杀；离疫点3千米至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区的村庄、道路实行全封闭管理，现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米．考前热身训练1．已知，在半径为r的半圆O中，半径OA⊥直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC•上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合．（1）求证：S四边形AEDF =12r2；（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（3）当S△OEF =518S△ABC时，求点E、F分别在AB、AC上的位置及E、F之间的距离．A2．已知二次函数y=x2-（m2-4m+52）x-2（m2-4m+92）的图象与x轴的交点为A、B（点B•在点A的右边），与y轴的交点为C．（1）若△ABC为直角三角形，求m的值；（2）在△ABC中，若AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为S，求当m为何值时，S有最小值，并求这个最小值．3．已知抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连接AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC 的面积之差等于两线段OA与OB的积．（1）求b的值；（2）若tan∠CAB=12，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB•的外接圆半径为134？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案中考样题看台1．（1）当m=2时，x2-4x+4=0，∴△=0，∴AB=CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．当m>2时，△=（-2m）2-4[（m-12）2+74]=m-2>0．又AB+CD=2m>0，AB ²CD=（m-12）2+74>0，∴AB ≠CD ，•∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是梯形．（2）∵AM=MD ，BN=NC ，AB ∥CD ，∴MN ∥AB ，MN ∥CD ， ∴AP=PC ，BQ=QD ，∴QD=12DC ，PN=12AB ，∵AB<CD ，PQ=1，∴12DC-12AB=1，∴DC-AB=2，由已知得AB+CD=2m ，AB ²CD=（m-12）2+74=m 2-m+2，∵（DC-AB ）2=（DC+AB ）2-4DC ²AB ， ∴22=（2m ）2-4（m 2-m+2），∴m=3， 当m=3时，x 2-6x+8=0，•∴x 1=2，x 2=4， ∵AB<CD ，∴AB=2，CD=4．（3）由（1）知，四边形ABCD 是梯形， ∵AD=BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形，•过点B•作BE ∥AD ，交DC 于点E ， ∴ED=AB=2，∴CE=2，∴BC=BE=CE=2，∴△BEC 为等边三角形，•∴∠BCD=60°，∠BDC=30°， ∴tan ∠tan ∠BDC=3．∴所求方程为y 2-43y+1=0．2．（1）过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O ，∴OA=OB ，同理OA=OC ，∴OA=OB=OC ，•于是△BAC 是直角三角形，∠BAC=90°，所以AB ⊥AC ．（2）连结OO ，OO ，与AB 、AC 分别交于点E 、F ，∴O 1O ⊥AB ． 同理OO 2⊥AC ，根据（1）•的结论AB ⊥AC ， 可知四边形OEAF 是矩形，有∠EOF=90°， 连结O 1O 2，有OA ⊥O 1O 2，在Rt △O 1OO 2中，•有Rt △O 1AD ∽Rt △OAO 2，于是OA 2=OA·O 2A=r 1·r 2=2r 22，∴2，又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角，•∴∠ACB=∠AO 2O ， 在Rt △OAO 2中，tan ∠AO 2O=2O A O A∴A B A C=tan ∠ACB=tan ∠AO 2O=3．解：（1）符合条件的抛物线还有5条，分别如下：①抛物线AEC ；②抛物线CBE ；•③△DEB ；④抛物线DEC ；⑤抛物线DBC ．（2）在（1）中存在抛物线DBC ，它与直线AE 不相交， 设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2+bx+c ，将D（-2，92），B（1，0），C（4，0）三点坐标分别代入，得：9 4220 1640a b ca b ca b c⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解这个方程组，得：a=14，b=54，c=1．∴抛物线DBC的解析式为y=14x2-54x+1．另法：设抛物线为y=a（x-1）（x-4），代入D（-2，92），得a=14也可．又设直线AE的解析式为y=mx+n．将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入，得：206m nn-+=⎧⎨=-⎩解这个方程组，得m=-3，n=-6，∴直线AE的解析式为y=-3x-6．4．解：（1）由图知∠AFC对ABC，因为AD=CF，而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC，所以∠AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC．所以，图1中六边形各内角相等．（2）因为∠A对BEG，∠B对CEA，又因为∠A=∠B，所以∠BEG=∠CEA．所以BC=AG，•同理AB=CD=EF=AG=BC=DE=FG．所以，七边ABCDEFG是七边形．（3）猜想：当边数是奇数时（即当边数是3，5，7，9，……时），• 各内角相等的圆内接多边形是正多边形．5．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111．到第5天得禽流感病鸡数为1000+111=11111．到6天得禽流感病鸡数为100000+11111>800000．所以，到第6天所有鸡都会被感染．（2）过点O作OE⊥CD交CD于点E，连结OC、OA．∵OA=5，OC=3，CD=4，∴CE=2，在Rt•△OCE中，OE2=32-22=5．在Rt△OAE中，∴，∵AC=BC，∴．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．考前热身训练 1．（1）先证△BOE ≌△AOF ．∴S四边形AEOF=S △AOB =12OB ²12OA=r 2．（2）由∠EAF=90°且， ∵y=S △OEF =S 四边形AEOF-S △AEF ，∴y=12x 2-2rx+12r 2（）．（3）当S △OEF =518S △ABC 时，即y=518（12²2r ²r ）=518r 2∴12x 2-2rx+12r 2=518r 2．即12x 2-2rx+29r 2=0．解之得x 1=3r ，x 2=3r ．∴S △OEF =518S △ABC 时，A E A B=13，A F A C=23或A E A B=23，A F A C=13．当AE=3r 时，AF=3r ，3r ；当AE=3r 时，AF=3r ，EF=3r ．2．A （-2，0），B （m 2-4m+92，0），C[0，-2（m 2-4m+92）]．（1）m=2．（2）过A 作AD ⊥BC 于D ，sin ∠ACB=A D A C=45．（3）m=2时，S 最小值=54．3．解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），由题设可求得C 点的坐标为（0，c ），且x 1<0，x 2>0 ∵a<0，∴c>0由S △AOC -S △BOC =OA ³OB 得：-12x 1c-12x 2c=-x 1x 2得：12c（-ba）=ca，得：b=-2．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与△PAB的外接圆交于点N．∵tan∠CAB=12，∴OA=2²OC=2c，∴A点的坐标为（-2c，0），∵A点在抛物线上．∴x=-2c，y=0，代入y=ax2-2x+c得a=-54c．又∵x1、x2为方程ax2-2x+c=0的两根，∴x1+x2=2a即：-2c+x2=2a=-85c．∴x=25c．∴B点的坐标为（25c，0）．∴顶点P的坐标为（-45c，95c）．由相交弦定理得：AM²BM=PM²MN．又∵AB=125c，∴AM=BM=65c，PM=95c，∴c=52，a=-12．∴所求抛物线的函数解析式是：y=-12x2-2x+52．第4讲方程观点解几何计算题概述：含有未知数的等式便是方程，代数方面的应用题，•几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可用方程的观点去解决，一般一个未知数列一个方程，•两个未知数列两个方程．典型例题精析例1．有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC•沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD长．分析：Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8 AB=10．由题意知△ACD≌△AED ∠DEB=90°，DECD，AC=AE=6，设CD=x，则DE=x，而EB=4，一个未知数，需要一个方程，从何而来，图中有直角，用勾股定理，有等式，有方程．∴在Rt△DEB中，（8-x）2=x2+42，64-16x+x2=x2+16，16x=48， x=3（cm）．例2．已知⊙O中，两弦AB、CD相交于E，若E为AB且CE：ED=1：4，AB=4，求CD长．解：∵CE ：ED=1：4，∴设CE=x ，则ED=4x ，由相交弦定理得 CE ²ED=AE ²EB ， 即x ²4x=2³2， 4x 2=4， x=1．∴CD=x+4x=5x=5．例3．如图，AB 为⊙O 的直径，P 点在AB 延长线上，PM 切⊙O 于M 点，若OA=a ，a ，求△PMB 的周长．分析：条件符合切割线定理，设BP=x ，则由PM 2=PB ²PA （方程出来了））2=x （x+2a ）， x 2+2ax-3a 2=0， （x+3a ）（x-a ）=0，∴x 1=a ，x 2=-3a （舍去）∴x=a ，即BP=a ，连结MO （常作辅助线）则∠OMP=90°，∵OB=BP=a ，则MB 为Rt △OMP 的斜边上的中线，∴MB=12OP=a ．∴△MBP 的周长为．例4．如图，圆心在Rt △ABC 斜边AB 上的半圆切直角边AC 、BC 于M 、N ，•其中AC=•6，BC=8，求半圆的半径． 分析：设半径为R ，（一个未知数建立一个方程即可），连OM 、ON 、OC ，则OM=ON=R ，用面积，S △AOC +S △BOC =S △ABC ， 得6R+8R=6³8（一元一次方程） 14R=48，R=247．中考样题训练: 1．（2004，兰州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，D 为BC 边上的一点，tan ∠ADC 是方程3（x 2+21x）-5（x+1x）=2的一个根，求CD 的长．B CAD2．（2003，武汉）如图，已知直线BC 切⊙O 于C ，PD 为⊙O 的直径，BP 的延长线与CD•的延长线交于点A ，∠A=28°，∠B=26°，求∠PDC 的度数．3．（2003，黄冈）已知，如图，C 为半圆上一点，AC C E ，过C 作直径的垂线CP ，P 为垂足，弦AE 分别交PC ，CB 于点D ，F ．（1）求证：AD=CD ；（2）若DF=54，tan ∠ECB=34，求PB 的长．4．（2005，荆门）已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+14k 2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2时，求k 的值．5．（2005，常德市）如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O•的割线PDE•垂直AB于点F，交BC于点G，连结PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）当∠ABC=30°，时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG2=BF²DO成立？试写出你的猜想，并说明理由．6．已知：如图所示，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，弦BF和AD交于E，且AE=BE．（1）试猜想： AB与 A F有何大小关系？并证明你的猜想；（2）若BD、CD的长是关于x的方程x2-kx+16=0的两个根，求BF的长；（3）在（2）的条件下，若k为整数，且满足532(12),13713.22k kk k->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，求sin2∠A的值．C。

数学试卷分析数学试卷分析篇1一、总体评价本套试题本着“突出技能，着重基础，创新为魂的命题原那么。

根据《数学课程标准》的有关要求，突出了数学学科是基础的学科，八班级数学在中考中占的比例又大的特点，在坚持全面考察同学的数学知识、方法和数学思想的基础上，积极探究试题的创新，试卷层次分明、难易有度，既有对基础知识、基本技能的基础题，又有对数学思想、数学方法的领悟及数学思维的水平客观上存在差异的区分题，试题的立意鲜亮，取材新奇、设计奇妙，贴近同学生活实际，表达了时代气息与人文精神的要求。

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试题没有超纲、超本现象，易、中、难大约保持在7：2：1的安排原那么。

二、试题的结构、特点的分析1、试题结构的分析2、试题的特点(1)强调技能，着重对数学思维过程、方法的考查试卷中不仅考查同学对八班级数学基础知识的掌控状况，而且也考查了同学以这些知识为载体，在综合运用这些知识的过程中所反映出来的基本的数学技能，中学阶段数学技能主要是指运算技能、思维技能和空间想象技能，以及运用所学知识分析、解决问题的技能等。

《数学课程标准》明确指出：使同学获得对数学理解的同时，在思维技能、情感立场与价值观等多方面得到进步和理解。

(2)着重敏捷运用知识和探求技能的考查试卷积极创设探究思维，重视开放性、探究性试题的设计。

(3)重视阅读理解、猎取信息和数据处理技能的考查从文字、图象、数据中猎取信息和处理信息的技能是新课程特别强调的。

培育同学在现代社会中猎取和处理信息技能的要求。

(4)重视联系实际生活，突出数学应用技能的`考查试卷多处设置了实际应用问题，考查同学从实际问题中抽象数学模型的技能，体验运用数学知识解决实际问题的情感，试题取自同学熟识的生活实际，具有时代气息与教育价值，如28题，让同学感到现实生活中充斥了数学，并要求活学活用数学知识解决实际问题的技能，有效地考查了同学应用数学知识解决实际问题的技能，培育用数学，做数学的意识。

初中数学思想详解篇一：初中数学中的主要数学思想方法初中数学中的主要数学思想方法初中数学中蕴含的数学思想很多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等．(1) 转化思想．转化思想就是人们将需要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对容易解决或已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决．转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．具体而言，代数式中加法与减法的转化，乘法与除法的转化，用换元法解方程，在几何中添加辅助线，将四边形的问题转化为三角形的问题，将一些角转化为圆周角并利用圆的知识解决问题等等都体现了转化思想．在初中数学中，转化思想运用的最为广泛．(2) 数形结合思想．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学研究是围绕着数与形展开的．初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式．数形结合思想的实质是将抽象的数学语言（“数” ) 与直观的图象(“ 形“ ) 结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，实现代数与几何之间的相互转化．数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．“数无形时不直观，形无数时难入微．”数形结合是研究数学、解决数学问题的重要思想，在初中数学中有着广泛应用．譬如，在初中数学中，通过数轴将数与点对应，通过直角坐标系将函数与图象对应均体现了数形结合思想的应用．再比如，用数形结合的思想学习相反数、绝对值等概念，学习有理数大小比较的法则，研究函数的性质等，从形象思维过渡到抽象思维，从而显著降低了学习难度．(3) 分类讨论思想．分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类．分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学知识、解决数学问题．譬如，初中数学从整体上看分为代数、几何、概率统计等几大版块，并分别采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现．具体而言，实数的分类，方程的分类、三角形的分类、函数的分类、统计量的分类等等，都是分类思想的具体体现．分类思想在初中数学中有大量运用，从初中数学内容的组织与展开到数学概念的界定与划分再到数学问题的分析与解决都大量运用着分类思想．(4) 函数与方程思想．函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解决问题．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的具体反映．函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用变化的观点和函数的形式将所研究的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行研究，从而使问题获得解决．如果函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的研究使问题得到解决，这就是方程思想．譬如初中数学中大量涉及一次函数、反比例函数、二次函数等内容的数学问题都要用到函数与方程思想来解决．由于函数思想与方程思想的内容和形式相一致，因而往往将其并称为函数与方程思想，并将二者结合学习与运用．除上述几种主要的数学思想之外，初中数学中还有集合思想、对应思想、符号化思想、公理化思想等．初中数学主要包括如下基本的数学方法：（ 1 ）几种重要的科学思维方法：比较与分类、观察与尝试、分析与综合、概括与抽象、特殊与一般、归纳与类比等；（ 2 ）几种重要的推理方法：完全归纳法、综合法、分析法、反证法、演绎法等；（ 3 ）几种常用的求解方法：待定系数法、数学建模法、配方法、消元法、换元法、构造法、坐标法、参数法等．1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。

而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。

这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。

3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。

专题03 整体代入法【规律总结】整体代入法，在求代数式值中应用求代数式的值最常用的方法，即把字母所表示的数值直接代入，计算求值。

有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难求出字母的值或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入，求值时方便又快捷，这种整体代入的技法经常用到。

【典例分析】例1、在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置(图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD−AB=2时，S2−S1的值为()A. 2aB. 2bC. 2a−2bD. −2b【答案】B【解析】解：S1=(AB−a)⋅a+(CD−b)(AD−a)=(AB−a)⋅a+(AB−b)(AD−a)，S2=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)，∴S2−S1=AB(AD−a)+(a−b)(AB−a)−(AB−a)⋅a−(AB−b)(AD−a)=(AD−a)(AB−AB+b)+(AB−a)(a−b−a)=b⋅AD−ab−b⋅AB+ab=b(AD−AB)=2b．故选：B．利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．本题考查了整式的混合运算：“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．也考查了正方形的性质．例2、若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2015的值为______．【答案】2018【解析】解：由题意可知：2m2−3m−1=0，∴2m2−3m=1∴原式=3(2m2−3m)+2015=2018故答案为：2018根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．例3、解下列各题：(1)若n满足(n−2023)(2021−n)=−6，求(n−2023)2+(2021−n)2的值．(2)已知：m2=n+2，n2=m+2(m≠n)，求：m3−2mn+n3的值．【答案】解：(1)∵(n−2023)(2021−n)=−6，∴原式=(n−2023+2021−n)2−2(n−2023)(2021−n)=(−2)2−2×(−6)=4+12=16；(2)∵m2=n+2①，n2=m+2(m≠n)②，∴m2−n=2，n2−m=2，∵m≠n，∴m−n≠0，∴①−②得m2−n2=n−m∴(m−n)(m+n)=−(m−n)，∵m−n≠0，∴m+n=−1∴原式=m3−mn−mn+n3=m(m2−n)+n(n2−m)=2m +2n=2(m +n)=2×(−1)=−2．【解析】本题主要考查的是代数式求值，完全平方公式，运用了整体代入法的有关知识．(1)将给出的代数式进行变形为(n −2023+2021−n)2−2(n −2023)(2021−n)，然后整体代入求值即可；(2)先根据m 2=n +2，n 2=m +2(m ≠n)，求出m +n =−1，然后将给出的代数式进行变形，最后整体代入求解即可．【好题演练】一、选择题1. 已知a +b =12，则代数式2a +2b −3的值是( ) A. 2B. −2C. −4D. −312 【答案】B 【解析】解：∵2a +2b −3=2(a +b)−3，∴将a +b =12代入得：2×12−3=−2故选：B ．注意到2a +2b −3只需变形得2(a +b)−3，再将a +b =12，整体代入即可此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．2. 若α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为( ) A. −13B. 12C. 14D. 15【答案】B【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−b a，x 1x 2=c a .也考查了一元二次方程解的定义． 根据一元二次方程解的定义得到2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，则2α2+3αβ+5β可表示为5(α+β)+3αβ+1，再根据根与系数的关系得到α+β=52，αβ=−12，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵α为2x 2−5x −1=0的实数根，∴2α2−5α−1=0，即2α2=5α+1，∴2α2+3αβ+5β=5α+1+3αβ+5β=5(α+β)+3αβ+1，∵α、β为方程2x 2−5x −1=0的两个实数根，∴α+β=52，αβ=−12，∴2α2+3αβ+5β=5×52+3×(−12)+1=12． 故选B ．3. 如果a 2+2a −1=0，那么代数式(a −4a ).a 2a−2的值是( )A. −3B. −1C. 1D. 3【答案】C【解析】【分析】 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+2a −1=0，可以得到a 2+2a =1，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：(a −4a )⋅a 2a−2=a 2−4a ⋅a 2a−2=(a+2)(a−2)a ⋅a 2a−2=a 2+2a ，由a 2+2a −1=0得a 2+2a =1，故原式=1．故选C ．4.已知1x −1y=3，则代数式2x+3xy−2yx−xy−y的值是()A. −72B. −112C. 92D. 34【答案】D【解析】解：∵1x−1y=3，∴y−xxy=3，∴x−y=−3xy，则原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy=−6xy+3xy−3xy−xy=−3xy−4xy=34，故选：D．由1x −1y=3得出y−xxy=3，即x−y=−3xy，整体代入原式=2(x−y)+3xy(x−y)−xy，计算可得．本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则和整体代入思想的运用．5.已知x1，x2是方程x2−3x−2=0的两根，则x12+x22的值为()A. 5B. 10C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式以及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba ，x1x2=ca，利用根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=−2，再利用完全平方公式得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=−2，所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=32−2×(−2)=13．故选：D．6.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元．若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下()A. 31元B. 30元C. 25元D. 19元【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设每支玫瑰x元，每支百合y元，根据总价=单价×数量结合小慧带的钱数不变，可得出关于x，y的二元一次方程，整理后可得出y=x+7，再将其代入5x+3y+10−8x中即可求出结论．【解答】解：设每支玫瑰x元，每支百合y元，依题意，得：5x+3y+10=3x+5y−4，∴y=x+7，∴5x+3y+10−8x=5x+3(x+7)+10−8x=31．故选A．二、填空题7.已知ab=a+b+1，则(a−1)(b−1)=______．【答案】2【解析】【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用，属于基础题．将ab=a+b+1代入原式=ab−a−b+1，合并即可得．【解答】解：当ab=a+b+1时，原式=ab−a−b+1=a+b+1−a−b+1=2，故答案为：2．8.将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，经过点(−2,5)，则8a−4b−11的值是______．【答案】−5【解析】解：将抛物线y=ax2+bx−1向上平移3个单位长度后，表达式为：y=ax2+bx+2，∵经过点(−2,5)，代入得：4a−2b=3，则8a−4b−11=2(4a−2b)−11=2×3−11=−5，故答案为：−5．根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点(−2,5)代入，得到4a−2b=3，最后将8a−4b−11变形求值即可．本题考查了二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出平移后的表达式．9.若a+b=1，则a2−b2+2b−2=______．【答案】−1【解析】解：∵a+b=1，∴a2−b2+2b−2=(a+b)(a−b)+2b−2=a−b+2b−2=a+b−2=1−2=−1．故答案为：−1．由于a+b=1，将a2−b2+2b−2变形为a+b的形式，整体代入计算即可求解．本题考查了平方差公式，注意整体思想的应用．10.若实数x满足x2−2x−1=0，则2x3−7x2+4x−2017=______．【答案】−2020【解析】【分析】把−7x2分解成−4x2与−3x2相加，然后把所求代数式整理成用x2−2x表示的形式，然后代入数据计算求解即可．本题考查了提公因式法分解因式，利用因式分解整理出已知条件的形式是解题的关键，整体代入思想的利用比较重要．【解答】解：∵x2−2x−1=0，∴x2−2x=1，2x3−7x2+4x−2017=2x3−4x2−3x2+4x−2017，=2x(x2−2x)−3x2+4x−2017，=6x−3x2−2017，=−3(x2−2x)−2017=−3−2017=−2020，故答案为−2020．11.已知|x−y+2|+√x+y−2=0，则x2−y2的值为________．【答案】−4【解析】【分析】本题考查了非负数的性质，解题关键是掌握几个非负数的和等于0，那么这几个非负数都等于0.由非负数的性质得出x、y的值，再代入所求代数式求解即可．【解答】解：∵|x−y+2|+√x+y−2=0，∴x−y+2=0，x+y−2=0，即x−y=−2，x+y=2，∴x 2−y 2=(x +y)(x −y)=2×(−2)=−4，故答案为−4．12. 已知m +n =3mn ，则1m +1n 的值为______．【答案】3【解析】【试题解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，利用通分将原式变形为m+n mn 是解题的关键．原式通分后可得出m+n mn ，代入m +n =3mn 即可求出结论．【解答】解：原式=1m +1n =m+n mn ，又∵m +n =3mn ，∴原式=m+n mn =3．故答案为：3．三、解答题13. 已知x =√2+1，y =√2−1，分别求下列代数式的值；(1)x 2+y 2；(2)y x +x y ．【答案】解：(1)∵x =2+1=√2−1，y =2−1=√2+1，∴x −y =−2，xy =2−1=1，∴x 2+y 2=(x −y)2+2xy =(−2)2+2×1=6；(2)∵x 2+y 2=6，xy =1，∴原式=x 2+y 2xy =61=6．【解析】本题考查二次根式的化简求值，分母有理化，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型．(1)先将x 、y 进行分母有理化，得到x =√2−1，y =√2+1，再求出x −y 与xy 的值，然后根据完全平方公式得出x 2+y 2=(x −y)2+2xy ，再整体代入即可；(2)将所求式子变形为x 2+y 2xy ，再整体代入即可．14. 阅读材料，然后解方程组．材料：解方程组{x −y −1=0, ①4(x −y)−y =5. ②由①得x −y③，把③代入②，得4×1−y =5．解得y =−1．把y =−1代入③，得x =0．∴{x =0y =−1这种方法称为“整体代入法”.你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组{2x −3y −2=0,①2x−3y+57+2y =9．②． 【答案】解：由①得：2x −3y =2③，将③代入②得：1+2y =9，即y =4，将y =4代入③得：x =7，则方程组的解为{x =7y =4．【解析】由第一个方程求出2x −3y 的值，代入第二个方程求出y 的值，进而求出x 的值，即可确定出方程组的解．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．15. 阅读材料，善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x +10y +y =5即2(2x +5y)+y =5③把方程①代入③得2×3+y =5∴y =−1把y =−1代入①得x =4∴方程组的解为{x =4y =−1请你解决以下问题：(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5 ①9x −4y =19② (2)已知x 、y 满足方程组{5x 2−2xy +20y 2=822x 2−xy +8y 2=32，求x 2+4y 2的值； 【答案】解：(1)由②得：3x +6x −4y =19，即3x +2(3x −2y)=19③，把①代入③得：3x +10=19，即x =3，把x =3代入①得：y =2，则方程组的解为{x =3y =2； (2)由5x 2−2xy +20y 2=82得：5(x 2+4y 2)−2xy =82，即x 2+4y 2=82+2xy 5， 由2x 2−xy +8y 2=32得：2(x 2+4y 2)−xy =32，即2×82+2xy 5−xy =32， 整理得：xy =4，∴x 2+4y 2=82+2xy 5=82+85=18．【解析】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．(1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可；(2)方程组第一个方程变形表示出x 2+4y 2，第二个方程变形后代入求出xy 的值，进而求出x 2+4y 2的值．16. (1)已知x 3⋅x a ⋅x 2a+1=x 31求a 的值；(2)若n 为正整数，且x 2n =4，求(3x 3n )2−4⋅(x 2)2n 的值。

平实中见方法细微处蕴思想——2016年浙江省绍兴市中考数学试卷亮点赏析绍兴市柯桥区实验中学 xxx摘要：2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继续保持前几年中考命题所形成的清新风格的基础上,以创新的手法进行精心设计,与生活结合紧密,创新气息浓郁,考查层次丰富,体现数学的实用价值.尤其在当前严格规范办学行为,切实减轻学生过重学业负担,全面推进素质教育的背景之下, 试题特别重视基础的考查,能力立意，关注过程应用,渗透思想方法. 为学生水平发挥提供了广阔的空间,有利于甄别学生的思维层次和数学素养,具有较高的信度、较好的效度和恰当的区分度.这不仅有利于高一级学校选拔合格的新生,而且对初中数学教学和减轻学生的课业负担都具有良好的导向作用。

关键词：中考创新试卷评析2016年浙江省绍兴市中考数学试题在继承前几年中考命题整体思路的基础上，坚持立足基础，关注过程，渗透思想，突出能力，重视应用，注重创新的命题原则，突出对基础知识，基本技能和基本数学思想方法的考查，关注学生的数学基础知识和能力、数学学习过程和数学应用与创新意识，涌现出大量新颖别致的特色亮点题，试题尽显新课标教学理念，对今后日常教学必将产生深远的影响。

一、创新考查角度，落实“三基”要求数学基础知识和基本技能是学好数学的基石，在不同的环境中灵活运用它们是学好数学的反映，试卷在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意让考察方式的多样化和考查角度的新颖性。

例1（第8题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．312B．36C．33D．32【评析】此题运用选择题型，巧妙考察尺规作图的同时，进一步考察直角三角形性质和锐角三角函数概念的应用，要求学生在理解题意的基础上作出正确的图形，否者要顺利选出正确答案是有一定难度的，由于结合图形进行考察，这为进行抽象思维提供了方便，在一定程度上降低了考查内容的难度，就考察形式而言，如此设计，考题更具新颖性。

数学方程思想方法例析作者：瞿峰来源：《学生之友·中考月刊》2013年第08期数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法. 求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.这里对方程思想举例予以说明，以供同学们学习参考应用.例1 如下图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，其中∠ACB=78°，∠BAD=∠ABD，求∠ADB和∠BCE的度数.【分析】要求∠ADB 及∠BCE 度数，依条件知∠DBC= ∠DBA= ∠DAB. 采用“间接设元”比“直接设元”更有利于沟通各已知量之间的关系，所以设∠DBA 为 x. 设元后，再用三角形内角和定理作为等量关系列出方程 .【解答】在△ABC 中，由于BD 平分∠ABC ，∴∠DBC= ∠DBA.又∠DBA= ∠DAB ，设∠DBA=x ，那么∠DBC= ∠DAB=x.∵∠ACB=78°，∴ x+2x+78° =180°，解得 x=34°.∴∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-2x=112° .在△BCE 中，∵ CE⊥AB ，∴∠CEB=90° .∴∠BCE=180°-∠CBE-∠CEB=180°-2x-90° =22° .故∠ADB=112°，∠BCE=22° .【评析】这是角平分线性质与方程的结合解题，是方程思想在几何中的应用，用方程的思想，这类问题变得简单明了。

例2 等腰三角形顶角的外角与一个底角的外角和等于245°，求它的顶角的度数.【分析】这是关于等腰三角形角的计算.可考虑应用设未知数列方程的方法计算.【解答】解：方法一，设这个等腰三角形的顶角为x，根据同一三角形中等边对等角，则它的一个底角为（180-x）°，这个顶角的外角为（180-x）°，底角的外角为[180-（180-x）]°.由题意可得：（180-x）+[180-（180-x）]=245∴180-x+180-90+x=245∴-x=245-270∴x=50答：这个三角形顶角为50°.解：方法二，设顶角为x，底角为y，顶角外角为（180-x）°，底角外角为（180-y）°.由三角形内角和定理可得：x+2y=180由题意可得：（180-x）+（180-y）=245，∴x+y=115，∴x+2y=180x+y=115解方程组得 x=50y=65答：这个三角形顶角为50°.【评析】方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求的未知量，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.例3如图，△ABC是等腰三角形，分别向△ABC 外作等边△ADB 和等边△ACE，若∠DAE=∠DBC，求△ABC三个内角的大小.【分析】先利用∠DAE=∠DBC求出∠BAC与∠ABC之间的关系，再利用内角和定理求出它们的大小.【解答】在△ADB 和△ACE等边三角形中，∴∠DAE=60°+∠BAC+60°，又∠DBC=60°+∠ABC并且∠DAE=∠DBC，∴120°+∠BAC=60°+∠ABC即∠ABC=60°+∠BAC，又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°+∠BAC，设∠BAC=x，则x+2（x+60）=180，解得x=20.即△ABC三个内角的大小分别为20°， 80°， 80°.【评析】本题是几何与代数的综合题，先利用几何的等量关系，再列出方程求解.方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想.几何计算、几何证明也常通过方程解决.例4 已知一次函数的图象经过A（-2，-3）、B（1，3）两点.求这个一次函数的解析式.【分析】关键是要确定x与y的函数解析式，而确定函数解析式的关键在于确定系数k，而系数的确定就需要借助于解关于的方程.【解答】设这个一次函数的解析式为y=kx+b.∵一次函数的图象经过点A（-2，-3）、B（1，3），∴-2k+b=-3k+b=3.解得k=2b=1.∴这个一次函数的解析式为y=2x+1.【评析】这是一个用“待定系数法”解决的函数题，是方程思想在代数中的应用.总之，在初中数学的学习中，要善于总结归纳，强化方程思想，感受用方程解决问题的优势，逐步培养和提高自己用方程思想解决问题的能力.（作者单位：山东临沂临港经济开发区临港一中）。

例析中考常用的解题思想山东 李文浩 牛宝凤中考试题涉及众多知识点，覆盖面广，关系复杂，证法灵活，解决这类考题需要考生能够正确地综合运用数学解题思想和方法，以下是中考中几种常用的解题思想，供大家参考．1. 整体思想注意力和着眼力放在问题的整体上，通过研究问题整体形式和整体结构，进而作出整体处理，达到顺利解题的目的．例1、（2007，山东省滨州市）如图1所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．解：由已知可知图中每个扇形的面积不能单独求出，因为不知圆心角的度数．仔细分析可得n 个扇形的圆心角恰为n 边形的n 个外角，因此，n 个扇形的圆心角的度数和为n 边形的外角河．所以阴影部分的面积之和π.2. 化归思想化归思想是一种由陌生向熟悉转化，由未知向已知转化，又非基本问题项基本问题转化的解题策略．例2.（2007，广西）判断下列数3555 、4444、5333的大小关系是 ．思路分析：直接计算每个数显然复杂难以比较，如果将它们化归为异底数同次幂的形式，然后比较底数的大小即可解决问题．解：3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.即5333＜3555＜ 4444.3. 分类思想分类讨论是重要的数学思想，解答这类题不仅要求学生有扎实的基础知识，还要求学生具有灵活运用数学思想方法的能力．在对数学对象进行分类中寻求解答的一种解题思维方法．其目的在于克服思维的片面性，防止漏解．例3、（2007，山西）在直径为50㎝的圆中，弦AB=40㎝， 弦CD=48㎝， 且AB ∥CD. 求AB 与CD 间的距离.分析：由圆的对称性，两条弦的位置会出现两种情况．解：作OE ⊥AB ，垂足为E ，OE 交CD 于点F ，∵AB ∥ CD∴OF ⊥CD连结OA 、OC（1）当AB 和CD 位于点O 的同侧时（图2），AB 与CD 间的距离 为：82425202522222222=---=---CF OC AE OA ㎝.（2）当AB 和CD 位于点O 的异侧时（图3），AB 与CD 间的距离 为：222425202522222222=-+-=-+-CF OC AE OA ㎝.∴AB 与CD 间的距离是8㎝或22㎝.4. 数形结合思想数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略．有关函数及其图像的题目，多数用数形结合思想解答．例4.（2007，浙江）如图4，平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点A B ，的坐标分别为(40)43()，，，，动点M N ，分别从O B ，同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA 向终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点M 作MP OA ⊥，交AC 于P ，连结NP ，已知动点运动了x 秒．（1）P 点的坐标为（ ， ）（用含x 的代数式表示）； （2）试求NPC △面积S 的表达式，并求出面积S 的最大值及相应的x 值；（3）当x 为何值时，NPC △是一个等腰三角形？简要说明理由．解：（1）由题意可知，(03)C ，，(0)(43)M x N x -，，，， P ∴点坐标为()x x 3，3-4． （2）设NPC △的面积为S ，在NPC △中，4NC x =-，NC 边上的高为34x ，其中，04x ≤≤．221333(4)(4)(2)2882S x x x x x 3∴=-⨯=-+=--+4． S ∴的最大值为32，此时2x =． （3）延长MP 交CB 于Q ，则有PQ BC ⊥．①若NP CP =， PQ BC NQ CQ x ⊥== ，∴． 34x ∴=，43x ∴=． ②若CP CN =，则35444CN x PQ x CP x =-==，，， 516449x x x -=∴=，． ③若CN NP =，则4CN x =-．3424PQ NQ x ==- ， ， 在Rt PNQ △中，222PN NQ PQ =+．2223(4)(42)()4x x x ∴-=-+，12857x ∴=． 综上所述，43x =，或169x =，或12857x =． 5、方程思想方程思想是指对所求数学问题通过列方程（组）求解的一种解题思想，这类题目很常见．同时，方程思想也是解几何问题的重要策略．例5、（2007，广东梅州）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．解：（1）1533(h)45604⨯==（分钟），4542> ， ∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为150.25(h)1560==（分钟）． 0.25小时另外4人步行了1.25km ，此时他们与考场的距离为15 1.2513.75-=（km ） 设汽车返回(h)t 后先步行的4人相遇，56013.75t t +=，解得 2.7513t =． 汽车由相遇点再去考场所需时间也是2.75h 13． 所以用这一方案送这8人到考场共需 2.751526040.44213+⨯⨯≈<． 所以这8个个能在截止进考场的时刻前赶到．方案2：8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点km x 的A 处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场．由A 处步行前考场需15(h)5x -， 汽车从出发点到A 处需(h)60x 先步行的4人走了5(km)60x ⨯， 设汽车返回t （h ）后与先步行的4人相遇，则有605560x t t x +=-⨯，解得11780x t =， 所以相遇点与考场的距离为112156015(km)78013x x x -+⨯=-．由相遇点坐车到考场需1(h)4390x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以先步行的4人到考场的总时间为111(h)607804390x x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭， 先坐车的4人到考场的总时间为15(h)605x x -⎛⎫+⎪⎝⎭， 他们同时到达，则有11115607804390605x x x x x -++-=+，解得13x =． 将13x =代入上式，可得他们赶到考场所需时间为1326037605⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭（分钟）． 3742< ．∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．6、函数思想函数思想就是将数学问题中的部分量视为未知量或变量，从而将这些量同已知量在一起，共同用于分析和研究具体问题中的数量关系的一种数学思想．例6、（2007，山东济宁）某小区有一长100m ，宽80cm 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图5，阴影区域为绿化区(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m ，不大于60m ．预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元．(1)设一块绿化区的长边为xm ，写出工程总造价y 与x 的函数关系式(写出x 的取值范围)；(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务，若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由．(参考值：732.13≈)图5。

2108 年呼伦贝尔市初中毕业生学业考试数学学科质量剖析呼伦贝尔市教育研修学院初中教研室张丽莉一、试题特色1.试题综合性强，突出综合运用能力的观察。

以选择题为例： 6 至 12 题均观察多个知识点，对综合运用能力、知识迁徙能力、逆向思想能力等要求较高。

2.试题难度大。

整套试题难度值 0.42 。

难度值低于 0.3 的较难题共 8 道题，总分值为 45 分，占 37.5%。

难度介于 0.3 — 0.7 之间的中等难度的题目总分值 50 分，占 41.67%。

难度值高于 0.7 的简单题分值为 25 分，占 20.83%。

试题显然高于6:3:1 的难度。

3.试题计算量偏大，答题时间紧。

如 2 题、 11 题、15 题、16 题、17 题、25题解题过程上当算耗时较长，比方25 题部分学生只好列，但没有时间求解。

4.空间与图形部分的内容所占比率偏高。

分值为 50 分，占 41.67%。

5.试题突出了数学思想方法的观察。

突出观察了数形联合思想、化归思想、分类议论、统计思想等初中阶段重要的数学思想方法。

二、试题及成绩统计剖析（一）题型结构表一：题型题量分值比率选择题12 题36 分30%非选择题14 题84 分70%非选择题包含：填空题、基本解答题、统计题、证明题、推理求值题、应用题、综合解答题。

（二）试题难易散布类型题号分值比率基础题1、3、4、 5、 7、 16、23，25 分20.83%2、 6、8、 9、10、 11、 12、13、 18、20、50 分41.67%中档题21、 24（ 1）、 25(1) 、 26(1) 。

14、 15、 17、19、22、24（2）、 25（ 2）较难题45 分37.5%（ 3） 26 （ 2）（ 3）（三）试题难度系数表二：题号一二三四五六七八总分分值36 15 24 7 7 8 10 13 120 均匀分难度值以上统计数据反应出试题难度大，较难题与中等难度的题目占比偏多。

初中数学试卷分析范文初中数学试卷分析〉范文（一）这次数学试卷检测的范围应该说内容是非常全面的，难易也适度，比较能如实反映出学生的实际数学知识的掌握情况。

也应证了平常我对学生说的那句话：“书本知识真正掌握了，试卷的85分就能拿下了,还有的15分来源于你的理解、分析、拓展能力了。

”而从考试成绩来看,基本达到了预期的目标。

一、从卷面看，大致可以分为两大类，第一类是基础知识,通过填空、判断、选择、口算、列竖式计算和画图以及操作题的检测。

第二类是综合应用，主要是考应用实践题. 无论是试题的类型，还是试题的表达方式，都可以看出出卷老师的别具匠心的独到的眼光。

试卷能从检测学生的学习能力入手，细致、灵活地来抽测每册的数学知识.打破了学生的习惯思维，能测试学生思维的多角度性和灵活性。

二、学生的基本检测情况如下:总体来看，学生都能在检测中发挥出自己的实际水平，合格率都在96%以上,优秀率在55%左右。

1、在基本知识中,填空的情况基本较好.应该说题目类型非常好，而且学生在先前也已练习过,因此正确较高，这也说明学生初步建立了数感,对数的领悟、理解能力有了一定的发展，学生良好思维的培养就在于做像这样的数学题，改变以往的题目类型，让学生的思维很好的调动起来，而学生缺少的就是这个,以致失分严重。

2、此次计算题的考试，除了一贯有的口算、递等式计算以外，最要的是多了学生自主编题、用不同方法计算的题型，通过本次测验，我认识到学生的计算习惯真的要好好培养。

3、对于应用题，培养学生的读题能力很关键。

自己读懂题意，分析题意在现在来看是一种不可或缺的能力，很多学生因为缺少这种能力而在自己明明会做的题上失了分，太可惜了。

4、还有平时应该多让学生动手操作，从自己的操作中学会灵活运用知识。

这方面有一定的差距。

三、今后的教学建议从试卷的方向来看，我认为今后在教学中可以从以下几个方面来改进：1、立足于教材，扎根于生活。

教材是我们的教学之本，在教学中，我们既要以教材为本，扎扎实实地渗透教材的重点、难点,不忽视有些自己以为无关紧要的知识；又要在教材的基础上，紧密联系生活，让学生多了解生活中的数学，用数学解决生活的问题.而且在高段数学的教学上要有意识地与初中数学接轨。

例析初中数学函数综合题解题思想和方法函数是初中数学与高中数学的一个转折点，是整个中学乃至大学的一个重点内容。

函数的思想贯穿了整个中学、大学，具有极其广泛的应用价值。

因此在数学领域中占据了极为重要的位置。

函数及其图象是初中阶段核心基础知识之一，包括平面直角坐标系、函数的基础知识、一次函数、反比例函数以及二次函数的解析式及其图象、性质及应用，是中考必考内容，而且试题往往有基础题和综合题多种形式，以函数及其图象中几个知识点融合的试题，我们称它为函数综合题，是中考命题中的常见题型.历年中考中的函数综合题，除了函数及其图象的知识之外，往往还涉及方程（组）、不等式（组）及相关几何知识.注重考查代数思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分析转化思想及分类讨论思想等等数学思想和数学方法.下面，结合笔者多年来的教学经验对初中阶段常见的几类函数综合题进行分类讨论如下：1与一次函数有关的综合题例1、如图1，已知直线y=8-2x与y 轴交于点A、与x 轴交于点B, 直线y=x+b与y 轴交于点C、与x轴交于点D，两直线交于点P，且AC：CO=3：5(AO>CO).(1)求点A、B的坐标.(2)求四边形COBP的面积S.分析：本题是一次函数与几何知识的综合题.难点在第（2）小题，可以将转化为规则图形面积的和或差.解：（1）在直线y=8-2x中，令x=0，得y=8；令y=0,得x=4.∴A点坐标为（0,8），B点坐标为（4,0）.（2）∵AC：CO=3：5，AO=8，∴OC=5，AC=3，∴点C的坐标为（0,5）.把点C（0,5）代入y=x+b，得b=5. ∴y=x+5.解方程组得∴点P的坐标为（1,6）.再由y=x+5，令y=0, 得x=5. ∴D点坐标为（-5,0）.作PE⊥x轴于E，则=- =DB×PE-DO×CO=×9×6 - ×5×5 = 14.5.2 一次函数与反比例函数综合题例2、如图2，已知C、D是双曲线y=在第一象限分支上的两点，直线CD分别交x 轴、y 轴于A、B两点，设C(，)、D（，），连接OC、OD（O是坐标原点）.已知∠BOC=∠AOD=,且tan=,OC=.（1）求C、D的坐标和m的值.（2）双曲线上是否存在一点P，使得△POC与△POD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.分析:（1）将条件tan=，OC=转化，即可求得C、D的坐标和m的值.(2) 反比例函数y=(x>0)的图象具有对称性，且∠COB=∠AOD,故猜想符合条件的P点存在.解：(1) 作CG⊥x轴，垂足为G, 作DH⊥x轴，垂足为H.∵C(，),∴CG=,OG=. ∵tan∠OCG= tan∠BOC=，即=∴. ∵ OC=,∴()2 =10,即+（3x1）2=10,=10. ∴,=3.故C（1,3）∵C在双曲线y=上，∴m=xy=3.同理，可求得D（3,1）.(2)存在.这个点就是∠COD的角平分线与双曲线y=的交点.由已知，∠COD的角平分线所在直线的解析式为y=x.解方程组得∴点P的坐标为（，）.3 一次函数与二次函数综合题例3、如图3，已知抛物线过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及抛物线对应的函数关系式.（2）求证：○1CB=CE；○2D是BE的中点.（3）若P（x,y）是该抛物线上的一个动点，则是否存在这样的点P，使得PB=PE?若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.分析：（1）点B的横坐标已知，代入直线BE的解析式即可求m值；又易求点A的坐标，由抛物线过A、O、B三点可求出它的解析式.（2）求BC、CE长即可；且易证BD=DE.（3）BE的垂直平分线CD与抛物线的交点P即为所求.(点P有两个)解：（1）∵点B（-2，m）在直线y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3. ∴B(-2,3).∵抛物线过原点O及点A，对称轴为x=2, ∴A(4,0)设抛物线解析式为y=ax(x-4),将B(-2,3) 代入，得12a=3,解得a=.∴抛物线的解析式为y=x(x-4)= -x.(2) ○1如图4，过点B作BG∥x轴，交y轴于点F，交直线x=2于点G，过点E作EH∥x轴，交y轴于点H.∵直线y=-2x-1与y轴和直线x=2分别交于点D(0，-1)、E(2，-5).∴在Rt△BCG中，BC===5，CE=5，∴CB=CE.○2在Rt△BFD和Rt△EHD中，BF=EH=2，FD=HD=4，∠BFD=∠EHD=900 ∴Rt△BFD≌Rt△EHD.∴BD=DE. ∴D是BE的中点.（3）存在.要使PB=PE,点P必在BE的垂直平分线CD上. 设直线CD的解析式为y=kx+b, 将C(2,0)、D(0,-1)代入，得方程组解得故直线CD的解析式为y=.将y=代入y=-x,得-x=，即-6x+4=0, 解得,.分别代入y=,得，.∴符合条件的点P有两个：(3+,),，）.4 反比例函数与二次函数综合题例4、已知二次函数（a≠0）的图象经过点（1,0）、（-3,0）、（0，-）三点.（1）求二次函数的解析式，并在平面直角坐标系中作出这个函数的图象.（2）若反比例函数（x>0）的图象与二次函数（a≠0）的图象在第一象限内交于点A（），落在两个相邻的正整数之间，请你观察图象，写出这两个正整数.（3）若反比例函数（k>0,x>0）的图象与二次函数（a≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标满足2<<3,试求实数k的取值范围.分析：这道题非常注意对基础知识、基本技能的考查，已知三点求抛物线解析式、画抛物线以及画反比例函数（x>0）的图象，都是课标最基础的要求.本题对画图的要求较高，否则不能观察得到的正确位置，也会对第（3）小题的正确解答产生影响，对于第（3）小题，由函数图象或函数性质知，要使2<<3,既要同时满足=2时，又要使=3时，需构建不等式组求k的范围.解：（1）由抛物线过（1,0）、（-3,0），设抛物线解析式为=a(x-1)(x+3),将点（0，-）代入，得-3a = -,∴a=.∴二次函数的解析式为= （x-1）(x+3)=.作图象如图5.(2)在图5中作（x>0）的图象，使它与抛物线=交于点A（），由图象知1<<2,∴这两个相邻的正整数为1和2.(3)由图5知,当2<x0,x>0）中，随着x的增大而减小，因为A（）是抛物线与双曲线的交点.</x所以当时，应满足，即×，解得k>5；而当时，又必须满足，即×>,解得k<18.∴k的取值范围是5<k<="" p=""></k5 方程思想与函数思想综合题初中函数部分的教材中存在着许多表面形式或表述形式各异而本质结构相同或相近的典型实例.这种问题要求学生的思维具有很强的深刻性.例5、下面的三个问题：（１）设是方程–1=0的根，求的值；（２）已知二次函数的图象与x轴相交于点Ａ,Ｂ.求的值；（３）已知a，b为不等的两个实数，且，求a+b的值.分析：这三个问题表面上看似不同，涉及的内容也不同.对于问题１是求一元二次方程两个根的平方和；问题２涉及一元二次函数图象问题；问题３是两个实数的问题．但其本质却是相同的：即所求代数式中的两个量均是一元二次方程的两个不相等的实根.都可以用“根与系数的关系”来实现解题的目的．这种“多题一解法”的问题可以培养学生透表求里，抓住根的本质特征，敏锐认识数、形间的转化与统一，领会数学思想，深刻揭示其实质，发展了学生思维的深刻性，努力让学生的思维活跃起来.防止了思维的教条与僵化.也可以看成是把题目进行“改装”，让学生找出问题本质，然后进行规律总结，使问题得到推广，这种做法对培养学生思维的深刻性有着重要的作用.数学是思维的体操，数学思维能力在人的思维能力中有着十分重要的作用.而作为数学领域中一个最伟大的思想之一-----变量与函数的思想，对于开启和进一步培养学生的数学思维能力及品质有着举足轻重的作用.。

初中数学试卷分析初中数学试卷分析(一)该试卷考察除了考察初中数学相关内容之外，还考察了高中数学的相关知识，然而试卷总体来说题量不大，知识点考察的也不是专门全面，只是对初中和高中数学中一些重要知识点的考察。

不同的题型难度也不一样，总体来说差不多上对一些重要的概念及公式运用的考察，其中部分单选题和解答题的运算量略微有点大，而填空题相对而言比较简单。

依照以上综合的了解，我们依照题型对卷子进行如下分析：第一卷子总体上分为三个大部分：2、填空题有5题，共20分，每题4分。

填空题的第一题比较简单，考察的是抛物线的焦点坐标。

第二题是**-**学年福建省宁德市高一下学期时期性考试数学试题。

该题也比较简单，考察的是复合函数的定义域。

第三题是对完全平方公式的考察，该题难度也不大。

第四题考察的是向量的坐标、向量积的坐标运算以及线性规划相关的知识，该题尽管比较简单，然而运算量不小。

最后一题看似简单，然而由于要判定5个命题的真假，因此考察的知识点也比较多，需要逐一分析，分别考察了命题的否命题、函数的零点、三角函数的图像和性质和充要条件及解不等式。

填空题与选择题比较而言，填空题相对更简单，考察的是最差不多的知识点，运算量也不是专门大，因此只要考生平常认真复习，填空题的失分可不能专门多。

3、解答题4题，共40题，每题10分。

解答题的第一题看似简单，然而运算量比较大，因此也容易丢分，考察的是向量积的坐标运算和函数单调性和周期性相关的知识。

第二题考察的是相似三角形的知识，同样也是运算量比较大。

第三题考察的是数列的知识，该题相对简单，最后一题考察的是函数的单调性和最值的内容，该题难度不是专门大。

总体来说，解答题考察的知识点不是专门难，然而普遍存在运算量比较大的问题，这就要求考生平常在复习的过程中除了需要把握差不多的知识点之外，还要多加练习，提高自己的运算能力。

总之，这次数学考试题量不是专门大，难度适中，知识点考察的也不是专门多，然而数列、函数、向量等知识点在整个试卷中涉及的考题相对较多，专门是函数的知识在选择题、填空题以及解答题中都有较多的涉猎。

初三数学试卷分析及反思初三数学试卷分析及反思在社会发展不断提速的今天，我们需要很强的课堂教学能力，反思过去，是为了以后。

那么问题来了，反思应该怎么写？以下是店铺收集整理的初三数学试卷分析及反思，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

初三数学试卷分析及反思篇1本试题总体感觉题量较大，题目偏难，简单题较少，难度与中考提相当。

试卷所考查学生的知识点主要有十八大类，具有全面性、重复性、重点突出三大特点，同时与能力考查紧密结果，这就要求同学们在学习过程中首先一定要注重基本概念、基础知识，把根基打牢，然后就是要学会灵活运用，提高思维能力。

每一个题仅仅是考察了学生必学必会，也就是应知应会的知识，不偏不怪，至于学生得分低，成绩差，关键是平时的知识落实不到位，这给我们提出了警示，下面就学生的答题情况做简单的分析：从代数方面看，一元二次方程与反比例函数考察的题目比较多，也是本学期学习中的重点难点。

这就要求同学们在平时学习的时候，对相应的基本概念，基本技能多加练习。

并注意归纳总结，努力发现它们之间的联系。

从几何方面，主要侧重考察相似三角形、解直角三角形和与圆有关的一些问题。

与圆有关的问题涉及的知识面广，技巧性强，是学习中的重点跟难点。

这要求同学们对基本概念熟练掌握，对基本技能熟练运用。

只是死记硬背还不可以，同学们还要具备一定的抽象思维能力。

在学习过程中多动动手，发挥空间想象。

一、选择题：学生出错较多的是8、12、15、16。

第8题是关于三角函数的有关计算，部分学生没注意到点P所在的象限，有些同学看到3、4和6就想到了8，没有仔细审题。

第12题考察学生对反比例函数图像和性质的理解，分辨不清。

第15题考察了学生对圆周角和圆心角以及和他们所对的弧之间的关系，由于刚学过去对知识的理解不透彻，。

第16题是关于圆锥侧面积的计算，扇形的面积和圆锥侧面积的转化学生理解不够，不能真正的理解和转化。

二、填空题：得分率低，每个题的分量都不轻，考察了学生求平均数（17题）、数形结合的思想（18题）、反比例函数（19题）、圆的有关知识及勾股定理灵活运用（20题）。