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1. 几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
2. 几何概型中，事件A 的概率计算公式P （A ）＝A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 3.几何概型试验的特点（1）无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； （2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
4. 几何概型两种类型的使用条件（1）线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时。
（2）面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决。
例题1 在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机地取一元素m ，恰使式子lg m 有意义的概率为________。
解析：由Δ＝m 2－4⎝⎛⎭⎫34m ＋1<0得－1<m <4。
即A ＝{m |－1<m <4}。
由lg m 有意义知m >0，即使lg m 有意义的范围是（0，4），故所求概率为P ＝404(1)---＝45。
答案：45点拨：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围。
当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算。
事实上，当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长（曲线长）之比。
例题2 在区间[]1,1-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2π C ． 12 D ． 23解析：在区间[-1，1]上随机取一个数x ，即[1,1]x ∈-时，要使cos2xπ的值介于0到21之间，需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.答案： A例题3 设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0。
1. 对数函数的基本性质如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a M M N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈ 2. 对数运算三个常用结论（1）log 1a a =；（2）1log 0a =；（3）log N a a N =3. 换底公式（1）定义：,0(log log log >=a ac b c b a 且0,1>≠c a 且)0;1>≠b c （2）常用的推论： ①log log 1a b b a ⋅=；②log log m n a a n b b m =（a 、0b >且均不为1）。
例题1 的值。
，求设ba b a 123643+== 解析：利用指对互化。
求出a ，b 后代入求值。
也可利用等式两边取对数的方法求出a ，b 后再代入求值。
答案：解法一：由623643363log log 6log 2log 3643======b a b a ；得： 所以1log log 6log 1log 22122636263=+=+=+b a 解法二：对已知条件取以6为底的对数，得：1log log 12log 1,3log 21log 2log 26362662636=+=+∴==∴==b a ba b a ， 点拨：本题考查对数的性质，对一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧，一般来说，给出的等式是以指数形式出现的，常用此法，在取对数时，要注意对底数的合理选取，本题也可以取常用对数或自然对数。
例题2 设1643>===t z y x ，求证：yx z 2111=-。
解析：利用指对互化及换底公式找出x 、y 、z 之间的关系。
答案：证明：∵1643>===t z y x ，∴ 6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，， ∴ y t t t t x z 21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=- 点拨：对数恒等式的证明可以从左到右，或从右到左，或从两边一起证，但通常采取从复杂的一边向简单的一边证。
1. 三角函数模型的应用⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧在物理学中的应用在航海中的应用在建筑学中的应用在生活中的应用用三角函数模型的简单应 2. 方法与步骤（1）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词； （2）确定以角作为变量的三角函数； （3）要能根据题意，画出符合题意的图形； （4）对计算结果，可根据实际情况进行处理。
3. 失误与防范（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量； （2）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围； （3）解决应用问题要注重检验。
例题1 已知某海滨浴场的海浪高度y （米）是时间t (0≤t ≤24，单位：小时）的函数，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 。
（1）根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式。
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的8︰00至20︰00之间，有多少小时可供冲浪者进行运动？ 解：（1）由表中数据，知周期T ＝12。
∴ω＝22126T πππ==，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5。
由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0。
∴A ＝0.5，b ＝1，∴振幅为12。
∴y ＝12cos 6πt ＋1。
（2）由题意知，当y >1时才可对冲浪者开放。
∴12cos 6πt ＋1>1，∴cos 6πt >0。
∴2k π－2π< 6πt <2k π＋2π，k ∈Z ，即12k －3<t <12k ＋3，k ∈Z 。
① ∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2， 得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24。
所以在规定时间8︰00至20︰00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即9︰00至15︰00。
复合函数(())y f g x =的单调性：设()y f u =为外层函数，()u g x =为内层函数，（1）若()y f u =增，()u g x =增，则(())y f g x =增； （2）若()y f u =增，()u g x =减，则(())y f g x =减；（3）若()y f u =减，()u g x =增，则(())y f g x =减；（4）若()y f u =减，()u g x =减，则(())y f g x =增。
结论：同增异减，即内、外层函数的单调性相同时，为增函数，单调性不同时为减函数。
例题1 求函数2(32)12log x x y =－＋的单调区间。
解析：先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解。
答案：解：令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作12log uy =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数。
令u ＝x 2－3x ＋2＞0，则x ＜1或x ＞2。
∴函数2(32)12log x x y =－＋的定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞）。
又∵u ＝x 2－3x ＋2的对称轴为x ＝32，且开口向上。
∴u ＝x 2－3x ＋2在（－∞，1）上是单调减函数，在（2，＋∞）上是单调增函数。
而12log uy =在（0，＋∞）上是单调减函数，∴2(32)12log x x y =－＋的单调减区间为（2，＋∞），单调增区间为（－∞，1）。
点拨：根据复合函数单调性的求法，分别求出两个初等函数的单调性，再利用同增异减判断所求函数的单调性。
同时要注意，求单调区间，一定先判断函数的定义域。
例题2 函数y ＝13＋2x －x 2的单调递增区间是（ ） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （－1,1） D. （1,3） 解析：依题意有232x x +-＞0，即－1＜x ＜3。
∴函数的定义域为（－1,3）。
又∵函数y ＝232x x +-＝2(1)4x －－＋在（1,3）上单调递减，∴原函数的单调递增区间是（1,3）。
1. 两个向量的夹角 （1）定义已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 称作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉。
（2）范围向量夹角〈a ，b 〉的范围是[]0,π，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉。
（3）向量垂直 如果〈a ，b 〉＝2π，则a 与b 垂直，记作a ⊥b 。
2. 平面向量的数量积（1）平面向量的数量积的定义|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a 和向量b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉。
可见，a ·b 是实数，可以等于正数、负数、零。
其中|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。
（2）向量数量积的运算律 ①a ·b ＝b ·a （交换律）②（a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）③（λa ）·b ＝λ（a ·b ）＝a ·（λb ） （数乘结合律）。
例题1 （1）若a ＝（3，－4），b ＝（2，1），求（a －2b ）·（2a ＋3b ）和|a ＋2b |；（2）在等边△ABC 中，D 为AB 的中点，AB ＝5，求AB →·BC →，|CD →|。
解析：（1）运用向量的坐标运算计算出（a －2b ）、（2a ＋3b ）的坐标，再利用数量积进行计算；（2）根据题意可知AB →、BC →模长相等，找到AB →与BC →的夹角为120°即可求出。
再利用平行四边形法则求出CD →，即可求出|CD →|。
答案：解：（1）a －2b ＝（3，－4）－2（2，1）＝（－1，－6）， 2a ＋3b ＝2（3，－4）＋3（2，1）＝（12，－5），∴（a －2b ）·（2a ＋3b ）＝（－1）×12＋（－6）×（－5）＝－12＋30＝18。
