012-长江大学-12-孙玉秋-信息教育技术环境下高等数学教学的改革与实践

㊀收稿日期:２０２０－０４－２３基金项目:国家自然科学基金(１１７０１２４７)ꎻ辽宁大学本科教改项目(ＪＧ２０２０ＹＢＸＭ０６９)ꎻ辽宁大学在线课程建设与混合式教改项目(２０２０ＨＨＪＧ０１００８)作者简介:李建涛(１９８５－)ꎬ男ꎬ山东省临沂市人ꎬ博士ꎬ副教授ꎬ研究方向:代数学.㊀㊀辽宁大学学报㊀㊀㊀自然科学版第４８卷㊀第４期㊀２０２１年ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＬＩＡＯＮＩＮＧＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎＶｏｌ.４８㊀Ｎｏ.４㊀２０２１高等数学课程中基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的信息化教学李建涛(辽宁大学数学院ꎬ辽宁沈阳１１００３６)摘㊀要:高等数学ꎬ又称微积分ꎬ是现代科学的重要基础.但是由于高等数学理论抽象ꎬ难度较大ꎬ致使很多学生产生畏惧心理ꎬ学习兴趣缺失.利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行信息化辅助教学ꎬ实现数学可视化和动态演示ꎬ使学生能够直观地理解各种数学概念ꎬ有利于微积分思想的体现.文章介绍了基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件辅助教学的一些案例ꎬ涵盖了微积分学的主要概念ꎬ例如极限㊁微分㊁定积分和重积分等.通过信息化辅助教学ꎬ可以使学生们更深刻地理解微积分中的数学思维ꎬ提高空间想象力ꎬ激发学习兴趣ꎬ加快了从初等数学的有限空间平稳过渡到高等数学的广维世界.关键词:微积分ꎻ高等数学ꎻＧｅｏＧｅｂｒａ软件ꎻ教学改革中图分类号:Ｇ６４２.０㊀㊀㊀文献标志码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１０００￣５８４６(２０２１)０４￣０３８１￣０６ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅａｃｈｉｎｇｉｎＡｄｖａｎｃｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＢａｓｅｄｏｎＧｅｏＧｅｂｒａＬＩＪｉａｎ￣ｔａｏ(ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬＬｉａｏｎｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＳｈｅｎｙａｎｇ１１００３６ꎬＣｈｉｎａ)Ａｂｓｔｒａｃｔ:㊀Ａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎬｗｈｉｃｈｉｓａｌｓｏｋｎｏｗｎａｓｃａｌｃｕｌｕｓꎬｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆｍｏｄｅｒｎｓｃｉｅｎｃｅ.Ｈｏｗｅｖｅｒꎬｉｔｉｓａｂｓｔｒａｃｔａｎｄｄｉｆｆｉｃｕｌｔ.Ｍａｎｙｓｔｕｄｅｎｔｓａｒｅａｆｒａｉｄｏｆｃａｌｃｕｌｕｓａｎｄｌａｃｋｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｌｅａｒｎｉｎｇ.ＵｓｉｎｇＧｅｏＧｅｂｒａａｎｄｏｔｈｅｒｓｏｆｔｗａｒｅｔｏｃａｒｒｙｏｕｔｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ￣ｂａｓｅｄａｕｘｉｌｉａｒｙｔｅａｃｈｉｎｇꎬｏｎｅｃａｎｒｅａｌｉｚｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎａｎｄｄｙｎａｍｉｃｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎꎬｓｏｔｈａｔｓｔｕｄｅｎｔｓｃａｎｉｎｔｕｉｔｉｖｅｌｙｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｖａｒｉｏｕｓｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓꎬｗｈｉｃｈｉｓｃｏｎｄｕｃｉｖｅｔｏｔｈｅｅｍｂｏｄｉｍｅｎｔｏｆｃａｌｃｕｌｕｓｔｈｏｕｇｈｔ.ＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒꎬｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｏｍｅｃａｓｅｓｏｆａｕｘｉｌｉａｒｙｔｅａｃｈｉｎｇｂａｓｅｄｏｎＧｅｏＧｅｂｒａꎬｃｏｖｅｒｉｎｇｔｈｅｍａｉｎｃｏｎｃｅｐｔｓｏｆｃａｌｃｕｌｕｓꎬｓｕｃｈａｓｌｉｍｉｔꎬｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌꎬｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌꎬｍｕｌｔｉｐｌｅｉｎｔｅｇｒａｌａｎｄｓｏｏｎ.Ｔｈｒｏｕｇｈｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｓｓｉｓｔｅｄｔｅａｃｈｉｎｇꎬｓｔｕｄｅｎｔｓｃａｎｈａｖｅａｄｅｅｐｅｒｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｉｎｋｉｎｇｉｎｃａｌｃｕｌｕｓꎬｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅｉｒｓｐａｔｉａｌｉｍａｇｉｎａｔｉｏｎꎬｓｔｉｍｕｌａｔｅｔｈｅｉｒｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｌｅａｒｎｉｎｇꎬａｎｄｍａｋｅａｆａｓｔｅｒａｎｄｓｍｏｏｔｈｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｆｒｏｍｅｌｅｍｅｎｔａｒｙｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｏａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:㊀ｃａｌｃｕｌｕｓꎻａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓꎻＧｅｏＧｅｂｒａｓｏｆｔｗａｒｅꎻｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｆｏｒｍ㊀㊀０㊀引言高等数学ꎬ又称微积分ꎬ是现代科学的重要基础.高等数学课程是大学理工科学生最重要的数学基础课ꎬ对应的数学分析课程也是数学专业学生最重要的专业基础课之一.但是ꎬ目前高等数学课程的教学现状不容乐观.因为高等数学课程知识点多㊁难度大㊁理论抽象ꎬ所以很多教师在讲授高等数学课程时ꎬ已经认识到高等数学里面的无限序列和极限思维是一种本质上与学生上大学前使用的思维方式完全不同的数学思维.学习高等数学ꎬ需要学生从中小学时熟悉的有限运算过渡到无限运算ꎬ从初等数学到高等数学之间进行思维转换.高等数学中的分类㊁猜想㊁分析概括㊁抽象化㊁形式化的数学思维ꎬ让初入大学的学生较难理解和掌握ꎬ致使很多学生学习吃力ꎬ对高等数学产生畏惧心理ꎬ学习兴趣缺失.因此ꎬ就如何提高高等数学课程的教学质量ꎬ形成行之有效的教学方法ꎬ是目前高等数学教学改革的一个重要课题ꎬ而且已有很多高校教师对此进行了探索与实践[１－５].高等数学的思维方式的形成是一个复杂的过程ꎬ是一种循序渐进的过程ꎬ包括数学概念的表示ꎬ形象化㊁概括㊁分类㊁猜想㊁归纳㊁分析㊁抽象化㊁形式化等等.例如数学概念的形象化是其中一个非常重要的步骤ꎬ通过形象化和可视化的例子ꎬ帮助学生建立高等数学的数学思维很有必要.现代科学发展日新月异ꎬ计算机技术迅猛提高ꎬ使用信息化和可视化的手段辅助教学ꎬ可以让学生更形象直观地认识数学思维未知的关联ꎬ从而更深刻地理解数学思想ꎬ提高学习兴趣.目前ꎬ已有很多教师对高等数学的可视化教学模式的改革进行了探索[６－１４]ꎬ例如用Ｍａｔｌａｂ㊁Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ等软件进行可视化的设计模拟ꎬ将形式化的数学概念和问题形象化ꎬ树立了一个值得探索和推广的教学改革实践范例.本文介绍基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行的信息化教学改革的实践和相关案例分析.ＧｅｏＧｅｂｒａ是完全免费开源的数学软件ꎬ具有强大的代数和几何功能ꎬ与专业的Ｍａｔｌａｂ㊁Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ等收费软件相比ꎬ界面更友好ꎬ需要的预备知识更少ꎬ大多数教师和学生都能很快地上手使用.另外ꎬＧｅｏＧｅｂｒａ更吸引人的一点是ꎬ可以通过滑动条工具进行动态演示一些数学过程ꎬ而且还可以通过着色工具和多角度连续的移动ꎬ更细致准确地展示相关的数学图像.在教学过程中使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行教学实践暨信息化辅助教学ꎬ可以动态化地演示高等数学教材中抽象的概念和例子ꎬ与教科书中包含的静态图像不同ꎬ这种动态化的演示更形象直观地展示相关数学理论ꎬ实现了数学概念的可视化和动态演示ꎬ使学生能够直观地理解各种概念ꎬ有利于微积分思想的体现.配合ＧｅｏＧｅｂｒａ的动态演示ꎬ可以提高学生对数列收敛性和无穷大的理解能力ꎬ如理解分割㊁近似替代㊁逼近㊁取极限等微积分学的主要思想ꎬ提高学生的空间想象力ꎬ有助于学生的数学思维从初级到高级的转变.１㊀ＧｅｏＧｅｂｒａ软件简介ＧｅｏＧｅｂｒａ软件是２００２年美国亚特兰大大学数学系ＭａｒｋｕｓＨｏｈｅｎｗａｒｔｅｒ教授研发的用于教学的免费开源软件.软件的名字是由 Ｇｅｏｍｅｔｒｙ (几何)与 Ａｌｇｅｂｒａ (代数)组合而成.ＧｅｏＧｅｂｒａ是一款动态几何软件ꎬ简单易学ꎬ不仅能画出静态的平面和立体图形ꎬ还能通过滑动条将一些数学过程动态地展示出来ꎻ并且具有强大的代数功能ꎬ可以进行各种代数运算.正如数学家Ｇｅｒｍａｉｎ所说 代数不外乎符号的几何ꎬ几何不外乎图形的代数 ꎬＧｅｏＧｅｂｒａ软件将代数和几何有机地结合起来ꎬ比较完美地解决了一些数学概念的可视化.目前在国内外数学教学的各个阶段ꎬ包括中小学和大学数学教学２８３㊀㊀㊀辽宁大学学报㊀㊀自然科学版２０２１年㊀㊀㊀㊀中ꎬ得到了广泛的应用.ＧｅｏＧｅｂｒａ软件主要有代数窗口和几何窗口ꎬ结合它的代数计算能力与几何作图能力ꎬ允许我们对高等数学里的各种数学对象进行研究与探索.例如ꎬ通过代数方程画出平面的㊁立体的图形ꎬ并且还可以通过使用区域着色的工具ꎬ将对应的数学对象更准确㊁更形象地表示出来.另一方面ꎬＧｅｏＧｅｂｒａ软件中具有滑动条工具ꎬ可以动态化地演示一些数学过程ꎬ这是非常有用的.高等数学中比较难理解的就是一些极限思维ꎬ而这些极限思维通常是一种动态化的过程ꎬ例如取数列极限㊁定积分里的分割加细ꎬ取极限㊁逼近的思想.通过ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的滑动条工具ꎬ可以探索图像在某些特定作用下行为的可视化ꎬ例如可以设计极限㊁定积分等定义里的一些动态过程等.ＧｅｏＧｅｂｒａ软件允许几何和代数性质同时存在ꎬ在特定的空间上ꎬ实现一些动态化过程演示的可能性.例如ꎬ图像的多角度移动㊁数列动态逼近㊁极限过程等.通过观察点的逼近过程㊁定积分里分割加细过程等动态演示ꎬ可以激发学生的学习兴趣ꎬ对相关问题能够形成猜想ꎬ更容易理解相关的定义和性质.２㊀动态辅助演示的教学案例本节介绍在实际的教学实践中ꎬ利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行可视化㊁信息化辅助教学的一些案例.这些案例涵盖了高等数学教材中主要的数学概念ꎬ通过教师在课堂上进行动态化演示以及鼓励学生课下利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件自己动手对数学概念进行可视化的教学实验ꎬ促进学生对相关数学问题的理解ꎬ提高了学生的空间想象力ꎬ激发了学生的学习兴趣ꎬ从而取得了良好的教学效果.２.１㊀案例一:数列极限极限思想是学生学习高等数学时一开始就要接触的一种高等数学思维ꎬ是现代微积分学的一个基础概念.但是极限思想是一种动态的过程ꎬ与高中数学的初等数学思维有所不同.学生一开始接触的时候比较难以理解.所以ꎬ借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行动态演示ꎬ就可以让学生通过可视化的数列散点图来理解极限和收敛性.通过滑动条可以展现离散的点和极限值的一个逼近过程.以ｌｉｍｎң＋¥１＋１ｎæèçöø÷ｎ＝ｅ这个数列极限为例.图１中的点列是这个收敛数列的散点ꎬ收敛值是直线ｙ＝ｅʈ２.７２.将滑动条的值关联到ｎꎬ通过增加ｎ的值ꎬ可以增加点的个数ꎬ随着ｎ的增大ꎬ数列对应的点列越来越接近直线ｙ＝ｅꎬ但不会超过它.这一过程只需要移动滑动条ꎬ就可以动态地演示出来.学生可通过这个动态化的过程更直观地理解当ｎ趋于无穷大时数列的收敛结果.图１㊀数列极限ｌｉｍｎң＋¥１＋１ｎ()ｎ＝ｅ图２㊀切线的几何意义:切线与割线的关系３８３㊀第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀李建涛:高等数学课程中基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的信息化教学㊀㊀２.２㊀案例二:微分与导数的概念微分和导数是高等数学中的重要概念.函数在一点处的导数的几何意义是函数对应的图像在此点处的切线斜率.通过ＧｅｏＧｅｂｒａ软件动态演示ꎬ可以让学生形象直观地发现ꎬ切线实际上是图像上两个点确定的割线在逼近此点时的极限位置.例如图２中椭圆形的切线ꎬ实际上是该点附近的两点确定的割线在两个点逼近该点时的一个极限位置.２.３㊀案例三:定积分的概念定积分概念是微积分学中最重要的概念之一ꎬ是现代科技发展的一个重要的基础ꎬ很多平面的数学和科学问题都是通过求解定积分解决的.定积分的思想来源于这样的一个几何意义ꎬ即曲边梯形的面积.具体的过程是将曲边梯形底边分割成一些区间段ꎬ在每个区间段上用长方形近似替代曲边梯形ꎬ计算面积ꎬ最后求和ꎬ取极限ꎬ得到曲边梯形的面积ꎬ从而得到定积分的定义.使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件做图ꎬ将积分区间进行分割ꎬ比较容易实现的就是均匀分割ꎻ分割之后ꎬ用每个区间段上的函数值上界确定的长方形面积代替真实的曲边梯形的面积.所以整个曲边梯形的面积近似等于这些长方形面积之和ꎻ然后将滑动条关联成分割的数目ｎꎬ移动滑动条ꎬ可以形象地展示定积分的定义中加细分割和取极限的过程.随着滑动条的移动ꎬ设定的分割数目ｎ的值变大ꎬ长方形面积之和就越来越接近真实面积.可以看到:图３曲边梯形分割成５份时ꎬ长方形面积之和还与其真实面积有较大误差.但是图４分割成３０份时ꎬ长方形面积之和与其真实面积就相差很小了.通过这样的动态演示ꎬ学生完全理解了定积分这个抽象定义.图３㊀定积分的定义(ｎ＝５)图４㊀定积分的定义(ｎ＝３０)２.４㊀案例四:二重积分的概念二重积分处理的是空间区域的相关计算ꎬ在现代科学技术中应用更加广泛.二重积分来源于这样的一个几何意义ꎬ即曲顶柱体的体积.具体的过程是首先将曲顶柱体的底部区域进行分割ꎬ分割成一些小区域ꎬ在每个小区域上用平顶的柱体近似替代曲顶柱体ꎬ计算平顶柱体的体积ꎬ最后求和ꎬ取极限ꎬ得到曲顶柱体的体积ꎬ从而得到二重积分的定义.利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件ꎬ用类似定积分定义中的做法ꎬ将积分区域进行分割ꎬ比较容易实现的是分割成一些正方形的并集.将滑动条关联成分割的正方形区域的个数ꎬ移动滑动条可以增加区域分块ꎬ形象地展示二重积分里的加细分割和取极限的过程ꎻ还可以单独或者全部展示分块区域ꎬ让学生能够看到所有的细节ꎬ更加形象化ꎻ教师讲解的时候４８３㊀㊀㊀辽宁大学学报㊀㊀自然科学版２０２１年㊀㊀㊀㊀也可以单独拿出一个分块区域ꎬ讲述利用平顶柱体近似替代曲顶柱体的思想.参照下面的图５和图６.图５㊀二重积分定义:单独的分块区域图６㊀二重积分定义:展示全体分块２.５㊀案例五:复杂图形的可视化高等数学教材中有很多复杂的方程和空间区域ꎬ例如心形线㊁马鞍面等复杂曲线和曲面ꎬ计算重积分时涉及的复杂积分区域等.空间想象力不强的学生ꎬ在学习相关内容时会十分吃力.ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的几何功能ꎬ既具有平面几何的功能窗口ꎬ也具有立体几何的功能窗口.利用相关的工具对这些复杂图像进行可视化ꎬ可以开发学生空间想象能力ꎬ建立空间思维ꎬ学起相关内容时更能得心应手.例如:图７给出了平面一个复杂心形线(ｘ２＋ｙ２－１)３－ｘ２ｙ３＝０的图像ꎬ只需要在代数区域内输入图像的代数表达式ꎬ在几何窗口就能显示图形.图８给出了高等数学教材中常见的一个积分区域:球面与圆柱面所围部分的空间区域.学生在计算重积分的时候经常弄错空间区域的上下界ꎻ单纯使用书本上的静态图像或者教师的手绘图像ꎬ即使再细致地讲解ꎬ也很难让学生理解相关区域的细节ꎬ例如投影区域㊁积分上下界等.然而利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的三维立体几何窗口ꎬ在代数窗口输入相关的代数方程ꎬ不仅在几何窗口可以画出这些复杂图像ꎬ还能用鼠标进行移动ꎬ让画出的区域从多个角度进行展示ꎬ例如积分区域的投影区域㊁积分上下界等.学生可以从各个角度观察区域的细节ꎬ并可以通过着色功能更细致准确地展示相关区域的细节.图７㊀心形线图８㊀球面与圆柱面相交部分所围区域３㊀结语本文总结高等数学课程中基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的信息化教学改革方式.教学改革的目的是使用信息化手段研究高等数学中的一些数学概念和性质ꎬ理解高等数学中的极限思维ꎻ并利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件对一些复杂函数进行区域着色和多角度展示ꎬ实现数学的形象化和可视化ꎬ以提高教学效果.ＧｅｏＧｅｂｒａ这个软件允许将代数方程和图形表示结合起来ꎬ具有十分强大的功能.而且结合最近５８３㊀第４期㊀㊀㊀㊀㊀㊀李建涛:高等数学课程中基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的信息化教学６８３㊀㊀㊀辽宁大学学报㊀㊀自然科学版２０２１年㊀㊀的网络教学形式ꎬ我们发现ＧｅｏＧｅｂｒａ这个软件更适应线上线下的混合式教学.在线上线下的混合式教学过程中ꎬ通过直播更容易展示这个强大的工具ꎬ更方便让它到达最需要的 教室 .学生可以通过直播观察到教师使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的所有细节ꎬ更方便学生学习和使用这个软件.在实际的教学实践中ꎬ学生对使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件十分感兴趣ꎬ很多学生课下自己进行实验ꎬ使用这个软件进行画图ꎬ更深刻地理解了相关的数学概念和数学思想.基于ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的信息化教学是非常新鲜和有效的教学手段.通过ＧｅｏＧｅｂｒａ软件将数学概念可视化并作动态演示ꎬ有助于学生直观形象地理解数学相关概念ꎬ提高他们的观察能力和空间想象力ꎬ激发学生的学习热情ꎬ对高等数学课程的教学改革起到了积极的促进作用ꎻ课上结合相关图形进行教学ꎬ学生们也更深刻地理解了数学里的极限思维ꎬ提高了空间想象力ꎬ加快了从初等数学的有限空间平稳过渡到高等数学的广维世界.参考文献:[１]㊀汪琥庭ꎬ张韵华.国家精品课程:«微积分»建设的探索与实践[Ｊ].教育与现代化ꎬ２００７(１):３４－３８. [２]㊀段淑娟ꎬ何国亮.提高高等数学教学质量之我见[Ｊ].高教学刊ꎬ２０１９(２０):１２２－１２４.[３]㊀夏飞ꎬ贾茗.探微大学微积分教学的改革策略[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１８(３６):１３４－１３５.[４]㊀金玲玉ꎬ房少梅ꎬ刘文琰.数学分析教学改革的几点认识和体会[Ｊ].大学数学ꎬ２０１２ꎬ２８(４):２５－３０. [５]㊀郭燕妮.提高高等数学教学质量的几点思考与实践[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１８(５):１４－１６.[６]㊀孔新海ꎬ赵勇ꎬ邓蜀元ꎬ等.基于信息化平台的高等数学教学体系构建与实施[Ｊ].中国教育信息化ꎬ２０２０(２２):８２－８４.[７]㊀周晖杰.基于信息技术的大学数学教学探索[Ｊ].中国教育信息化ꎬ２０１３(１６):５６－５８.[８]㊀孟小燕ꎬ田振清ꎬ张利峰.信息技术支持下的«高等数学»混合式学习模式[Ｊ].中国教育信息化ꎬ２０１９(１２):５５－５９.[９]㊀赵颐.数学软件在高等数学教学中的应用思考[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２３):６－７.[１０]㊀刘雄伟.基于ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ的高等数学教学过程研究与实践[Ｊ].大学教育ꎬ２０１６ꎬ５(２):１３６－１３８.[１１]㊀冯影影ꎬ杨戟.Ｍａｔｌａｂ可视化技术在高等数学的教学实践[Ｊ].电子技术ꎬ２０２０ꎬ４９(６):１９－２１.[１２]㊀周晓晖.基于Ｍａｔｌａｂ软件的高等数学教学研究[Ｊ].考试与评价ꎬ２０１９(９):１５４.[１３]㊀刘兵.基于ＭＡＴＬＡＢＧＵＩ的极限动态辅助教学演示系统的设计与实现[Ｊ].中国教育信息化ꎬ２０１６(１８):８１－８４. [１４]㊀牛海军.数学软件ＧｅｏＧｅｂｒａ在高等数学教学中的应用[Ｊ].牡丹江教育学院学报ꎬ２０１６(１):６３－６４.(责任编辑㊀郑绥乾)(ｔｈｅｅｎｄｏｆＶｏｌ４８)㊀㊀。

新课改背景下构建高中数学高效课堂的途径吕兴千(哈尔滨市第三中学校ꎬ黑龙江哈尔滨１５００００)摘㊀要:随着新课程改革持续稳定的推进ꎬ教师应该将构建高效课堂的任务落到实处ꎬ并从知识㊁技能㊁情感㊁素养㊁品质等多个维度促进学生的全面发展ꎬ提升学生综合能力.教师在实际的教学环节应该切实认识到高中数学高效课堂构建的重要意义ꎬ并尝试开辟新思路ꎬ寻求新方法ꎬ探索新模式ꎬ致力于提升高中数学教学的有效性.关键词:新课改背景ꎻ高中数学ꎻ高效课堂ꎻ教学实践中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２１－００２０－０３收稿日期:２０２３－０４－２５作者简介:吕兴千(１９８１.１０－)ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系黑龙江省教育学会２０２０年教育科学研究规划课题 高中课堂教学改革与创新研究 研究成果(课题编号:ＸＨＮＹ２０２０－０２６)㊀㊀当前ꎬ教师在教学过程中还是以灌输教育为主ꎬ课堂的互动性较差ꎬ学生往往处于被动的学习状态ꎬ对于知识的消化吸收不到位ꎬ这无疑会降低学生对数学学习的兴趣ꎬ消磨学生的数学学习动力ꎬ难以落实高效课堂的构建目标.新课标强调教师应该以全新的教学理念和教学模式推动高中数学教育事业的新发展ꎬ奠定学生学习主体地位ꎬ让学生在积极思考㊁积极探索和积极实践的过程中拓展学习空间ꎬ切实把握数学知识ꎬ探究数学规律ꎬ掌握数学本质.１新课改背景下构建高中数学高效课堂的重要意义㊀㊀教育的根本任务是立德树人.具体应该以培养学生的核心素养为导向ꎬ贯彻落实以生为本的教育理念ꎬ将知识㊁能力㊁态度㊁价值观进行有机结合ꎬ相互渗透融合ꎬ推进学生的全面发展.而高中数学作为基础教育的有机组成部分ꎬ教师应该积极迎合新课程改革的浪潮ꎬ跟随新课程改革的步伐ꎬ促进高中数学教学的改革ꎬ落实高效课堂的构建ꎬ其重要意义主要可以从以下几个方面着手分析[１].其一ꎬ有助于引领学生的数学学习兴趣.高中阶段是学生成长发展的关键时期ꎬ是人生重要的转折点.传统的高中数学课堂中ꎬ教师往往以提升学生的成绩为主要目的.因此教师的教学模式相对落后ꎬ教学侧重点有失偏颇ꎬ主要围绕着重点㊁考点知识ꎬ以讲解㊁灌输为主ꎬ忽视学生的内在发展需求.但随着教学改革的不断推进ꎬ教师以构建高效的课堂为目标ꎬ不断对教学内容进行优化调整ꎬ改革创新ꎬ立足于学生的发展ꎬ以学生喜闻乐见的教学活动为载体ꎬ引领学生积极参与到整个课堂中ꎬ成为课堂的主人.在实践学习探索的过程中ꎬ找到适合自己的学习方法ꎬ形成良好的学习习惯ꎬ不断拓展深度和广度ꎬ在学习的过程中体会学习的乐趣ꎬ以此保持动力的持续性ꎬ让教师的教和学生的学更有意义.其二ꎬ有助于推进高中数学教育事业的良好发展.高中数学是高中阶段重要的教学课程ꎬ而想要取得良好的数学教学效果ꎬ教师应该积极构建高质㊁高效的数学课堂.基于此ꎬ教师应该在先进教学理念的引导之下ꎬ关注学生核心素养的培养ꎬ突破传统教学模式的桎梏ꎬ对教学手段进行优化调整㊁改革创新ꎬ０２不断强化与时俱进的能力和教学能力ꎬ成为推进高中数学教育事业良好发展的内在驱动力量[２].２新课改背景下构建高中数学高效课堂的途径２.１课堂激趣导入ꎬ激活学生思路良好的课前导入是成功的一半.在高中数学课堂教学中ꎬ良好的课前导入是构建高效课堂的基础ꎬ对高效课堂的构建起着重要作用.基于此ꎬ教师要切实关注学生的兴趣ꎬ以学生喜闻乐见的内容切入课堂ꎬ激活学生的好奇心ꎬ集中学生的注意力ꎬ让学生能够将目光聚焦于课堂学习内容ꎬ提升学生的课堂参与度ꎬ调动学生的学习积极性.通常情况下ꎬ教师可以借助实事中的热点新闻或者生活中的实例等等切入教学.比如以人教版高二数学 椭圆 这一模块知识为例.教师可以以 神六 引入新课ꎬ借助多媒体辅助教学ꎬ以图片的形式给学生展示神舟六号飞船成功发射和运行轨道ꎬ又或者教师可以以生活中 揉面团 的实例导入新课教学ꎬ借助计算机课件模拟演示将 圆面团 压成 椭圆面团 的过程.在这一系列教学环节中ꎬ学生能够直观地㊁形象地感知椭圆ꎬ然后教师可以让学生基于画圆的方法类比出画椭圆的方法:将细绳的两端固定在硬纸板上的Ａ和Ｂ这两个点ꎬ当绳子大于两点间的距离时ꎬ则可以用铅笔把绳子拉紧ꎬ在硬纸板上慢慢地移动ꎬ画出一个椭圆ꎬ教师可以给学生提供课前环节准备好的各种工具:硬纸板㊁细绳㊁铅笔ꎬ组织学生一起参与到画椭圆的过程中ꎬ学生自己动手画圆ꎬ切身体验ꎬ以此激发学生的学习兴趣ꎬ激活学生的学习动力.２.２借助多媒体ꎬ丰富教学情境在传统的课堂教学中ꎬ教师往往以理论教学为主.虽然高中阶段的数学知识比较抽象ꎬ学生的消化吸收情况不够理想ꎬ但随着教学改革的不断推进ꎬ学校内部的整体教学设施也在不断地完善ꎬ教室中配备了多媒体设备ꎬ这为教师的教学策略提供了更多的可能性.教师应该会用㊁善用㊁巧用多媒体技术ꎬ构建多媒体课堂ꎬ创设丰富的教学情境ꎬ增强学生的直观感受.比如以人教版高二 基本立体图形 这一模块知识为例ꎬ首先在课前导入环节ꎬ教师可以基于情境创设的方式ꎬ给学生展示常见的多面体:棱柱㊁棱锥㊁棱台ꎬ然后提出问题:常见的旋转体有哪些?又有什么样的特点?基于问题的引导ꎬ学生自由地发言ꎬ而教师在这一环节ꎬ不要针对学生的回答做出具体的判断ꎬ而是要引导学生展开进一步的观察和探究.然后教师可以组织学生预习课本ꎬ通过播放课件的方式给学生展示具体的问题ꎬ创设问题情境.问题如下:旋转体包括哪些图形?圆柱㊁圆锥㊁圆台㊁球ꎬ它们各自的定义是什么?分别有什么样的结构特点?简单组合体是指的什么?又有什么样的特点?在问题创设的基础之上ꎬ教师可以组织学生以小组为单位ꎬ在组内进行交流㊁互动㊁商讨ꎬ最终选择代表回答问题.通过这一环节切入新课教学ꎬ引领学生开展新知探究.接着教师可以借助多媒体ꎬ给学生展示圆柱㊁圆锥㊁圆台㊁球等生活中的实物图形ꎬ让学生对于常见的旋转体形成形象化㊁具象化的认知ꎬ引导学生对于旋转体的结构特点展开深入的探讨.最后教师则可以给学生展示平行六面体㊁四面体㊁直棱柱㊁棱台㊁棱锥㊁棱柱㊁长方体㊁多面体ꎬ让学生基于各类几何体之间的关系ꎬ用Ｖｅｎｎ图表示出来ꎬ借助投影仪在课堂上进行展示.在这一系列教学过程中ꎬ教师将多媒体技术运用于不同的教学环节ꎬ引领学生在情境中展开观察㊁动手㊁实践㊁操作ꎬ加强对立体图形的感性认知和直观了解ꎬ反复经历实物 立体图形的过程ꎬ最终升华到理性的高度ꎬ发展学生的空间观念ꎬ提升学生的直观想象能力和数学抽象思维ꎬ提高高中数学教学的效率和质量[３].２.３设计问题串ꎬ拓展思维空间俗话说: 学而不思则罔ꎬ思而不学则殆. 在学生数学学习过程中ꎬ有疑问才会有思考ꎬ有思考才会有探索ꎬ有探索才会有成长㊁提升和发展.基于此ꎬ在高中数学课堂教学中ꎬ教师要注重培养学生的问题意识ꎬ强化学生的批判精神㊁质疑能力.通常情况下ꎬ教师可以以课堂提问切入教学ꎬ在环环相扣层层递进的问题中引领学生加强思考探索互动ꎬ在问题的引领之下ꎬ拓展数学学习的深度ꎬ启迪学生的智慧ꎬ激发学生的思维ꎬ让学生在解决问题的过程中构建体系化的思维认知ꎬ形成模块化的知识结构.１２比如以人教版高一数学 三角函数的图像与性质 这一模块知识为例ꎬ教师首先要加强对学生实际学情的分析ꎬ这一阶段的学生具备了一定的分辨能力㊁语言表达能力ꎬ初步形成了辨证思维.基于此ꎬ教师在整个教学过程中ꎬ可以以问题切入教学ꎬ引导学生用联系的观点看待问题ꎬ用数学的思维解决问题.教师提出问题:正弦和余弦函数有哪些性质?俗话说ꎬ条条大路通罗马.在之前的教学阶段研究函数都是借助函数图像探究函数的性质ꎬ而在这一教学环节ꎬ教师则可以引导学生基于函数的性质研究函数的图像ꎬ引导学生以全新的思维和独特的视角展开三角函数的图像和性质的学习.教师可以展开提问:你能尝试利用正切函数性质画出图像吗?通过观察正切函数图像ꎬ你认为哪些点和线是关键性的?基于问题的导向价值ꎬ学生可以根据正切函数的性质理性分析ꎬ在小组合作探究的过程中ꎬ运用现代化信息工具ꎬ尝试画出正切函数图像ꎬ并且根据图像观察出用三点两线法画简图ꎬ探究正切函数图像性质ꎬ以此强化学生的自主探索能力ꎬ培养学生的创新精神㊁合作精神.最后教师可以给出具体的例题ꎬ让学生求函数的定义域㊁周期和单调性ꎬ学生结合具体的例题ꎬ明确解题步骤ꎬ采用类比方法得出最终的答案.在这一系列教学过程中ꎬ教师以问题串为主线ꎬ引领学生加强对正弦函数性质㊁余弦函数图像㊁正切函数图像和性质的应用等相关知识的探讨ꎬ学生主动思考㊁主动发现㊁亲历知识的形成过程ꎬ能够体会到探索数学知识的乐趣和成就感ꎬ让学生快乐的学习数学ꎬ同时又能够强化学生的想象能力㊁创新能力ꎬ激发学生的数学学习潜能ꎬ提升学生的学科素养[４].２.４渗透数学文化ꎬ丰富教学底蕴数学文化源远流长ꎬ博大精深ꎬ是我国灿烂文化中的一朵奇葩.数学文化既包括数学精神㊁数学方法㊁数学观点㊁数学语言㊁数学思想ꎬ同时也涵盖了数学文化的整个发展历史.在新课改背景之下ꎬ教师要注重教学内容的优化调整㊁拓展教学深度ꎬ增大教学容量ꎬ丰富课堂底蕴ꎬ加强对教材内容的深度挖掘探索ꎬ提取其中的文化要素ꎬ创设轻松㊁愉悦的教学环境ꎬ营造浓厚的数学文化氛围ꎬ带给学生潜移默化的影响ꎬ在春风化雨㊁润物无声的过程中ꎬ塑造学生的数学品格ꎬ陶冶学生的情操ꎬ提升学生的思想境界ꎬ让学生真真切切地感觉到中华传统数学文化的魅力和底蕴.例如以人教版高一 统计 这一模块知识为例ꎬ统计主要是对数据进行收集㊁整合㊁分析ꎬ以此提供重要的依据ꎬ在这一知识领域中蕴藏着丰富的数学思想.比如统计往往是基于样本去估计总量ꎬ运用具有代表性的一部分去估算整个整体ꎬ再得出整体的情况ꎬ进而解决实际的问题ꎬ这一过程运用了转化与化归的思想方法.另外ꎬ在统计中ꎬ通过获取科学的样本对样本数据进行整理㊁分析ꎬ通常会以更直观的统计图对分布情况㊁数据的变化趋势㊁变量之间的关系进行构建ꎬ使用了数形结合的数学思想.这些都是伟大的数学家在长期的实践探索中所得出的结晶.基于数学文化与数学课堂中的融合渗透ꎬ有助于引领学生对数学文化的探究热情ꎬ发展学生的学科素养ꎬ使得课堂教学达到事半功倍的效果[５].３结束语总而言之ꎬ在新课改背景下ꎬ构建高效的高中数学课堂是教师的重要任务和使命ꎬ教师应该遵循以生为本的教育理念ꎬ积极尝试从课堂激趣导入ꎬ激活学生思路ꎻ借助多媒体ꎬ丰富教学情境ꎻ设计问题串ꎬ拓展思维空间ꎻ渗透数学文化ꎬ丰富教学底蕴等多个维度着手ꎬ让教师教的效果和学生学的效果都获得新的突破㊁提升和飞跃ꎬ使得整体的课堂教学质量最优化.参考文献:[１]甄西龙.试析新课改背景下如何构建高中数学高效课堂[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２１(３０):９－１０.[２]周鑫.新课改背景下高中数学高效课堂教学策略[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０２０(０７):３３.[３]韩建伟.新课改背景下如何提高高中数学课堂的教学效率[Ｊ].考试周刊ꎬ２０２０(２３):７７－７８.[４]王敬全.浅谈新课改背景下高中数学高效课堂教学模式研究[Ｊ].新课程导学ꎬ２０１９(３３):６６.[５]张政法.新课改背景下高中数学课堂活动探究[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(２４):３６－３７.[责任编辑:李㊀璟]２２。

课程思政视域下的高等数学教学改革作者：孙伟忠来源：《陕西教育·高教版》2024年第02期[摘要]“课程思政”理念的提出在课程育人和课程教学改革中的重要地位和作用不言而喻。

高校在开展课程改革时，要时刻牢记立德树人根本任务，坚持通过专业教学改革提高学生的德育素质，促进思想政治教育在价值塑造、加强学生管理等方面的价值发挥，把思想政治育人和专业育人相结合，使高校思想政治教育工作生命周期生态化发展，符合高等教育发展的新要求。

本文以高等数学课程教学改革为切入点，在广度上平展、深度上纵深，构建数学教学与思政教育有机融合的大格局，持续强化课程思政育人效果，强调课程教学中所承载的政治价值和人文意义，促使思政教育在大学生心中“如盐入水”，切实提升大学生综合素养。

[关键词]课程思政高等数学教学改革课题：2020年度陕西省教育科学“十三五”规划课题《〈高等数学〉课程思政的探索与实践》（课题编号：SGH20Y1686）。

“课程思政”自提出就自带育人属性，将“教学”和“育人”相融合、“知识讲授”和“思想引领”相融合，全面培养大学生的综合素质，使其既提升了专业素养，又有浓厚的家国情怀、美好的道德情操、强烈的社会责任感、深厚的人文底蕴。

高等数学作为大学最为重要的课程之一，是典型的自然科学课程，其所承载的科学精神、人文精神是珍贵的思政素材。

所以高校数学教师应在课程内容、教学方法、教学过程中体现新媒体时代的课程改革特色，彰显思政元素，将我国伟大的数学成就、辩证法思想、数学人物与数学史等有机融入课堂之中，打造高等数学高效课堂新样态。

课程思政视域下高等数学教学改革的必要性1.高等数学的德育目标亟待实现高等数学作为理、工、经、管、法、商等专业的必修课程，是学时最多、涉及师生最多的课程之一，也是相关专业学生考取研究生的必考科目，其重要性可见一斑。

课程思政视域下的数学课堂教学的深度变革需要教育工作者理性求变，充分把握高等数学的德育目标，分析多元化背景之下的教学改革重难点，将“思政育人”和“教育的资源扩大化、教育的空间延展化、教学的多维实时互动化”之间的关系进行深度思考，注重教育质量和学习型社会建设、优秀民族文化传承与发展之间的转呈关系，推动创新型、创造型人才培养，让数学教育教学走向新模式，不断深刻大学生对“数学教育”的认知，提升大学生的数学素养，持续优化人才培养质量。

2012年攻读硕士学位研究生招生专业目录研究生学院二○一一年八月长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·1·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·2·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·3·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·4·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·5·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·6·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·7·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·8·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·9·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·10·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·11·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·12·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·13·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·14·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·15·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·16·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·17·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·18·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·19·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·20·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·21·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·22·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·23·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·24·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·25·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·26·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·27·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·28·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·29·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·30·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·31·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·32·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·33·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·34·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·35·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·36·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·37·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·38·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·39·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·40·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·41·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·42·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·43·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·44·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·45·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·46·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·47·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·48·长江大学2012年硕士研究生招生专业目录单位代码：10489 地址：湖北省荆州市南环路1号邮政编码：434023 联系部门：研究生招生办电话：(0716)8060564 联系人：范梅英·49·。