下载文档原格式
第一章随机事件及其概率第一节随机现象及其统计规律性一、随机现象：在自然界及人类社会中广泛存在着这样一类现象：在基本条件不变的情况下，一系列观察或试验会得到不同的结果。
这类现象称为随机现象。
为了研究随机现象，必须引入如下两个基本概念：1．如果一个试验在相同的条件下可以重复进行，但事先不能准确预言它的结果，这个试验就称为一个随机试验。
注：①随机试验的涵义是广泛的，可以指科学试验，也可以指对某一现象的观察。
②随机试验通常简称为“试验”，用E、E1、E2等表示。
2．设E是个随机试验，A表示E的一个既有可能发生又有可能不发生的结果，则A称为E的一个随机事件。
注：①随机事件通常简称为“事件”，用A、B、C、A1、A2、A3等表示。
②“必然事件”与“不可能事件”可理解为两个特殊的随机事件，分别用Ω及Ф表示。
二、随机现象的统计规律性：在大量次观察或试验中，随机现象一定会表现出某种较强的规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
而随机现象的统计规律性最主要地表现为随机事件的频率稳定性，具体说明如下（可通过抛硬币的试验来理解）：1．什么是随机事件的频率：设E是个随机试验，A是E的某个事件，n表示试验的总次数，n A表示这n次试验中A发生的次数，则n A/n称为这n次试验中A发生的频率，记为f n (A)，即f n (A)=n A/n。
2．什么是随机事件的频率稳定性：当试验的次数n较小时，事件A发生的频率具有较大的不确定性；但随着试验次数n的无限增大，事件A发生的频率将表现出越来越强的稳定性，即f n (A)越来越集中地在某个常数附近摆动。
出现这种现象不是偶然的，而是必然的，是由事物的某种本质特性（如硬币的均匀性）所决定的。
第二节事件之间的关系及运算一、事件可理解为由若干样本点组成的集合：设E是个随机试验，A表示E的一个事件。
1．E的一个基本结果称为E的一个“样本点”；E的所有样本点构成的集合称为E的“样本空间”。
概率论与数理统计讲义稿HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第一章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征：（1）在相同条件下试验是可重复的；（2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的；（3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。
为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母E。
称试验的每个可能结果为样本点，并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。
必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。
假设抛掷一枚硬币两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是正面一次是反面。
于是这三个结果就构成了样本空间Ω。
但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序，那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。
如果还考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。
经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。
比如，在前面的例子中，由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。
尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。
E：从最简单的试验开始，这些试验只有两种结果。
在抛掷硬币这一试验例1.1.11中出现“正面”或“反面”；在检查零件质量时，可能是“合格”或“不合格”；当用来模拟电子产品旋转的方向时，结果是“左边”或者“右边”；在这些情况下样本空间Ω简化为：Ω={正面,反面}。
E：更复杂一些，有的随机试验会产生多种可能的结果，比如掷一颗骰子，观察出2现的点数。
概率论与数理统计冲刺讲义（数一）课程配套讲义是学习的必备资源，帮帮为大家精心整理了高质量的配套讲义，确保同学们学习的方便与高效。
该讲义是帮帮结合大纲考点及考研辅导名师多年辅导经验的基础上科学整理的。
内容涵盖考研的核心考点、复习重点、难点。
结构明了、脉络清晰，并针对不同考点、重点、难点做了不同颜色及字体的标注，以便同学们复习时可以快速投入、高效提升。
除课程配套讲义外，帮帮还从学习最贴切的需求出发，为大家提供以下服务，打造最科学、最高效、最自由的学习平台：服务项目服务内容名师高清视频课零距离跟名师学习，精讲考点，突出重点，拿下难点，掌握方法习题+月考+模考精选配套习题，灵活自测，查缺补漏，时时提升真题视频解析精选整理了近十几年的真题+答案，视频详解近五年真题复习规划指导名师零距离直播/录播指导全程考研复习规划24小时内答疑24小时内详尽解答您复习中的疑点难点，确保学习无阻碍把青春托付给值得信任的平台！祝：复习愉快，天天高效，考研成功！PS:讲义中的不足之处，欢迎各位研研批评指正，我们将竭尽所能追求更好！目录第一章概率基本理论 (1)1.1概率基本理论 (1)第二章随机变量与分布函数 (2)2.1随机变量与分布函数（1） (2)2.2随机变量与分布函数（2） (3)2.3随机变量与分布函数（3）.............................................................错误！未定义书签。
2.3随机变量与分布函数（4）.............................................................错误！未定义书签。
第三章数字特征. (6)3.1数字特征 (6)第四章数理统计 (8)4.1数理统计 (8)第一章概率基本理论1.1概率基本理论典型方法：1.计算概率的公式加法，减法，条件概率！！！2.独立性的判断⏹判定：()()P A B P A =⏹推论：,,A A B B⇔应用：()()()P AB P A P B =【例】若随机事件,A B 独立，且,A C 互不相容，且()()()0.4,0.5,0.2P A P B P C ===，则概率()___P A B C -=【答案】0.25【例】A,B,C 为随机事件，()0P ABC >，()()()P AB C P A C P B C =成立充要条件是（）(A)()()P A C P A =(B)()()P B C P B =(C)()()P AB C P AB =(D)()()B P B AC P C =【答案】D第二章随机变量与分布函数2.1随机变量与分布函数（1）经典方法——判定分布函数：F(X)必须右连续，规范性概率密度：()()()11f x dx fg x dg x +∞+∞-∞-∞=⇒=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【例】假设连续函数()F x 是分布函数，且()00F =,则下列选项中可以作为分布函数的是（）（A）()11,10,1F x H x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩（B）()11,10,1F x H x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩（C）()()1,10,1F x F x H x x x ⎧⎛⎫->⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩（D）()()1,10,1F x F x H x x x ⎧⎛⎫+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩【答案】C【例】设12(),()F x F x 为两个分布函数，其概率密度12(),()f x f x 是连续函数，必为概率密度的是()(A)12()()f x f x ．(B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x (D)[][]1221()1()()1()f x F x f x F x -+-．【答案】D2.2随机变量与分布函数（2）1.计算——求分布函数(){}F x P X x =≤⏹离散+连续⇒全概率公式⏹连续+连续⇒卷积公式(概率密度)⏹()()()Y g XX F y P Y y =−−−→=≤（几何）2.计算——求边缘分布，条件分布，条件概率⏹()(),X f x f x y dy+∞-∞=⎰⏹()()()(),(0)X Y X X f x y f y x f x f x =≠⏹()000()y Y X P Y y X x f y x dy-∞≤==⎰3.计算——特殊分布()2~,X N μσ⏹凑：()()222,2x f x y μσπσ--=⏹换：{}a X b P a X b P μμμσσσ---⎧⎫<<=<<⎨⎬⎩⎭【例】（分布型）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，,1,1X X Y X X ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩求（1）随机变量Y 的分布函数（2）求Y 的数学期望E(Y)【答案】（1）;1;10()(1);011;1y Y y e y e y F y e e y y λλλλ---⎧<-⎪-≤<⎪=⎨-+≤<⎪⎪≥⎩（2）()12(E Y e eλλλλ--=-++【例】设随机变量X,Y 相互独立，()0,01,0141,1X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≤⎪⎩()0,01,0121,1Y y y F y y y <⎧⎪+⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩，已知X Y Z e +=，求Z 的分布函数()Z F z 【答案】()220;11ln ;1813ln ;481;Z z z z e F z z e z e z e <⎧⎪+⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩【例】设随机变量X 服从参数为λ指数分布，随机变量,0211,2X X Y X X<<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩,求随机变量Y 的分布函数【答案】1120;01;0131;1()231();221;2yy y Y y y e y e e y F y e e y y λλλλλ------<⎧⎪-≤<⎪⎪⎪-+≤<=⎨⎪⎪--≤<⎪⎪≥⎩【例】二维随机变量(),X Y 的联合概率密度为()26,01,,0,x y x yf x y ⎧<<<=⎨⎩其他（1）求边缘概率密度()Y f y （2）求条件概率密度()Y X f x y（3）随机变量Z X Y =+，求Z 的概率密度()Z f z （4）求概率11132P X Y ⎧⎫-<<=⎨⎩⎭【答案】（3）()332[(z 1)];0z 280;Z z f z ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他【例】设随机变量1~0,2X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在给定X=x 条件下，Y 的条件分布为1(2N x ，（1）求Y 的概率密度()Y f y （2）{{}1202,31p X p Y =<<=-<<-比较12,p p 大小【答案】（1）2(),2y Y f y y π-=-∞<<+∞（2）12p p >【例】设二维随机变量（X,Y ）服从二维正态分布111(1,1;,;)222N ，记{}{}max ,,min ,U X Y V X Y ==，(Ⅰ)求Z=|X-Y|的概率密度()z f z (Ⅱ)求()(),E U E V 【答案】(Ⅰ)()222;20;z z e f z π-⎧⎪=⎨⎪⎩(Ⅱ)()12E U π=；()12E V π=第三章数字特征3.1数字特征⏹22()EX EX DX=+⏹()2(,)D X Y DX DY Cov X Y ±=+±⏹1212(,)Cov X X Y Y ++=⏹不相关性≠独立性（二维正态除外）相关性⇒不独立性应用：1lim n i n i P X k →∞=⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∑1lim n i i n X n P n n n μσσσ=→∞⎧⎫-⎪⎪=≤=Φ⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑【例】已知12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，其均值和方差分别为X 与2S .若()()2,E X D X μσ==，记i i Y X X =-.求(I)i Y 与()j Y i j ≠的相关系数；并说明两个随机变量是否相互独立(II)若()221n E c Y Y σ⎡⎤+=⎣⎦求常数c .【答案】(I)i ,11j Y Y nρ=-，不独立（II）2(2)n c n =-【例】设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，且都在区间(1,1)-上服从均匀分布，则1lim 1n i n i P X n →∞=⎫≤=⎬⎭(A)(2)Φ.(B)3)Φ.(C)(2)Φ.(D)6)Φ.【答案】B【例】将1m 长的木棒截成两段，其中第一段的长度为X ，第二段长度为Y ，则2X Y +与3X Y +的相关系数（）(A)1.(B)1-.(C)13-.(D)13.【答案】B【例】设随机变量X,Y 相互独立，{}{}110.5P Y P Y ===-=,令Z=XY （1）证明)~1(0Z N ，（2）说明X,Z 的相关性与独立性第四章数理统计4.1数理统计1.统计量的数字特征()()()()24222,;2,1E X D X n E S D S n σμσσ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪-⎩2211()1n i i S X X n ==--∑ ()2E ~2X n X n DX nχ=⎧⇒⎨=⎩【例】设随机变量X 和Y 相互独立，且~(0,1),~(0,2)X N Y N ，则22()D X Y +=______.【例】设总体X 服从正态分布2(,)N μσ从该总体中抽取简单随机样本12,,n X X X ，样本均值11n i i X X n ==∑，求统计量221()n i i Y X X =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑的数学期望()E Y 【答案】24()(n 1)E Y σ=-2.抽样分布卡方分布：平方+平方+.....平方T 分布：一次/根号下平方F 分布：平方和/平方和【例】设总体X,Y 相互独立，且都服从正态分布()20,N σ,1,,m X X ，1,,n Y Y ⋯是分别来自X,Y 的简单随机样本，若统计量221n T Y Y +=+ ()t n 分布，则()/m n =(A)12(B)14(C)2(D)4【答案】B【例】设总体X,Y 相互独立，且都服从正态分布2(0)N σ，，1,,n X X 与1,,n Y Y ⋯是分别来自X,Y 的两个简单随机样本，则统计量()222X Y n X YF S S -=+服从参数为__的___分布【答案】参数为（1,2n-2）的F 分布【例】总体X 概率密度为(1)x ,01(x)(1)0,x f θθθ⎧+<<=>-⎨⎩其他，12,,n X X X ，是来自总体X 的样本(1)求θ的矩估计量(2)求θ的最大似然估计量【答案】(1)1=-21-X θ(2)n ˆ=1ln iX θ--∑【例】总体X 在[]0,θ服从均匀分布，12,n X X X 是来自总体X 的样本，11ni i X X n ==∑，(){}1max ,,n n X X X = （1）求θ的矩估计量与最大似然估计（2）求常数a,b 使得()12n a X bX θθ==均为θ的无偏估计，并比较有效性【答案】（1）θ的矩估计量为2X ,最大似然估计为(){}1max ,,n n X X X = （2）12,n a b n+==，2θ比1θ有效【例】设总体2~(,)X N μσ，其中μ和2σ是未知参数，12,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本。
《概率论与数理统计》总复习提纲第一块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，几何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独立性，贝努里试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为:,.1）试验可在相同的条件下重复进行；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果;3）每次试验前不能确定哪一个结果会出现.（2）样本空间：随机试验F的所有可能结果组成的集合称为F的样本空间；记为Q;试验的每一个可能结果，即Q中的元素，称为样本点，记为「（3）随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的子集，必然事件（记为「）和不可能事件（记为-）.2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件一发生必导致匸'发生”，记为二一「或丄-J ; A=B^AcB 且鸟匚乂.（2）互不相容性-互为对立事件1 ：、「-门且一 :.（3）独立性：（i）设丄:'为事件，若有匸二-匸二y 口‘,则称事件-与F相互独立.等价于:若* 1 2 3 4（2）多个事件的独立：设一……；是n个事件，如果对任意的乂山二口匚，任意的1■\ '，具有等式，称；个事件…人相互独立.3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件一与匸'至少有一个发生”，记为」一丄.（2）积事件（交）：“ 事件」与匸'同时发生”，记为』丄「或丄.（3）差事件、对立事件（余事件）：“事件发生一而匸'不发生”，记为」「称为一与匚'的差事件；…二二称为T的对立事件；易知：二】匸.4、事件的运算法则1 交换律：亠二一二一 _」，二土；2结合律:』u0uO = （£u仍uC，（曲）0 =玫蜀;3分配律：（心―2此，的uC = （g（S；4 对偶（）律：丸匸二丄,，一二二一1，十十u A=n n©u血可推广* ■'5、概率的概念（1）概率的公理化定义:i厂存v「J的f事件域.恥F隹义在F上的一个集值函数P（備足；1）菲负性：旳1）20;2）规范性：卩⑼訂3）可列可加性；设力岀，…是可列个互不相容事件，则则称P"）为事件胡概率.（2）频率的定义：事件」在「次重复试验中出现11次，则比值」称为事件」在［次重复试验中出现的频率，记为 ，即— 」.即随旳的増大越来越韋近基个常数戸切丹斗审冲 n 称W 为事件一的（统计）概率在实际问题中，当「很大时，取f 一，“（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个， 且每个事件发生的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件 」发生的概率为：—A 中所含样本点数」/（占） c 中样本点总数n（5）几何概率：若试验基本结果数无限，随机点落在某区域 g 的概率与区域g的测度（长度、面积、体积等）成正比，而与其位置及形状无关，则（试验对应几何概型），“在区域「中随机地取一点落在区域-中”这一事件二发生的概率为：1丿Q 的测度. （6）主观概率：人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念6、概率的基本性质（3）统计概率: 频率具有稳定性, 9 QD（1）不可能事件概率零：= 0.(2)有限可加性：设\ \ -是n个两两互不相容的事件，即」•.=；,(；) 丄,12…j 则有= + 酗)+…+P⑷.(3)单调不减性：若事件口—上「」「—」，且冊卜附也).(4)互逆性：丿二】且H上-(5)加法公式：对任意两事件二:，有二二-匚—二二I-P匚.—厂扑；此性质可推广到任意个事件的情形.(6)可分性：对任意两事件二:，有门上二：，且AAu3)<PU) + ?(3)7、条件概率与乘法公式(1)条件概率:设丄E是两个事件，即」.，则P(AB)称为事件一发生的条件下事件匸'发生的条件概率.(2)乘法公式：设丄H 且「一•〕「"」则W = P(^P(B| X) = P^)P(A13)称为事件二-的概率乘法公式.8全概率公式与贝叶斯()公式(1)全概率公式：设-…二是异的一个划分，且S，•厂亠，…，则对任何事件”」，有p(s)=^mwi4)2-1称为全概率公式(2)贝叶斯()公式：设是打的一个划分，且■ 1 ' 1 _'\ ,则对任何事件丄「一，有P(AAP(B\JL)mi月)=丨宀心=1,…⑻i-L称为贝叶斯公式或逆概率公式9、贝努里()概型(1)只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为丄.丄也叫做“成功—失败”试验，“成功”的概率常用/ " L：/表示，其中」成功”.(2)把匚重复独立地进行•.次，所得的试验称为！重贝努里试验，记为匸.(3)把：:'重复独立地进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为孑.以上三种贝努里试验统称为贝努里概型.(4)匸中成功卜次的概率是二」mi其中—1 1：--/--1.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在一定条件下必然发生的事件，不可能事件指的是在一定条件下必然不发生的事件•它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的方便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥(不相容)事件如果两个事件」与厂必有一个事件发生，且至多有一个事件发生，则J、'为互逆事件；如果两个事件」与1不能同时发生，则J、'为互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，而互斥适用与多个事件的情形•作为互斥事件在一次试验中两者可以都不发生，而互逆事件必发生一个且只发生一个3、两事件独立与两事件互斥两事件」、T独立，则」与T中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关，这时「'' ■:' 1；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，这两事件的发生是有影响的，这时二一二二二.可以用图形作一直观解释.在图1.1左边的正方形中，图1.1咖)二.P⑷丄F(B) 一、^ 亠、4 2 ，表示样本空间中两事件的独立关系，而在右边的正方形中，丄匸•，表示样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率''与积事件概率「卜是在样本空间「内，事件二的概率，而’'''是在试验丄增加了新条件发生后的缩减的样本空间中计算事件』的概率.虽然都发生，但两者是不同的，一般说来，当」、-同时发生时，常用「加，而在有包含关系或明确的主从关系时，用"八二.如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率•问题（1）求的就是一个积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.5、全概率公式与贝叶斯（）公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，而该结果又不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑用全概率公式，在对样本空间进行划分时，一定要注意它必须满足的两个条件•贝叶斯公式用于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第二块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设「是随机试验的样本空间，如果对于试验的每一个可能结果二一X，都有唯一的实数'与之对应，则称为定义在「上的随机变量，简记为.随机变量通常用大写字母二-■-等表示.设g,F*）是一t概率空间，若枷W R有珂紋是-个随腋氢离散型随机喪量（可能取值至多可列）随机变量连续型随机变量（可育諏值充满某个区间〉奇异型随机变量■-2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量二只能取有限个或可列个可能值，贝淋二为离散型随机变量.如果」的一切可能值为〔1 ，并且負取：；的概率为X，则称儿"：一：一】“：为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为匸：日,分布列为丄工卜；■'■-■'!5 P或（2）二项分布：记为'-，，概率函数尸区胡乂”（1-卩严北二0「也0<^<1（3）泊松分布，记为'-'，概率函数iJtP&"｝二斗,"Oh, 4 0<1泊松定理设“::是一常数，J是任意正整数，设’人'，则对于任一固定的非负整数i,有八，■-.当〔很大且|很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即切(1宀年，其中5(4) 超几何分布：记为概率函数(5) 几何分布：记为上•「心口，概率函数> ;< :匚 ‘ .;■..3、分布函数及其性质分布函数的定义：设"为随机变量，：为任意实数，函数阳=P{X <X)(-0O<X< +oo)称为随机变量負的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下 性质: (1) 有界性(-00 < X <松)；⑵ 单调性 如果:'< ，则旳g(xj ；(3) 右连续， 即戸；7C(4) 极限性 血 F(i) = 0> 陀)二127 W-Hfi ；(5)完美性 Pg fXSxj =P{X “卜P{X 二F(xj-F(xj .4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量二的分布函数门「，存在非负函数「九，使对于任一实数：， 有宀'"，则称；为连续型随机变量.函数—称为；的概率密度函数.P{X "}= pJtr k- 0丄…,min (丹,M) ,其中匚暑为正整数，且：二「- \n 当：「很大，且'1较小时，有马軒泌"(1十严概率密度函数具有以下 性质:(1)工沁〕；⑵二(3) - ' _、「 7 '■ ' ； ( 4)丄;二 11 ；(5) 如果在：处连续，则.常用连续型随机变量的分布:(1) 均匀分布：记为- ； ，概率密度为a①其它分布函数为Q,x <a-f a<x<bl, x(2) 指数分布：记为工- ，概率密度为分布函数为0, A<0(3) 正态分布：记为--，概率密度为p(x) = -=^ 2f2 ? -DO <z < +CO* ?相应的分布函数为di当"-"■■■-1时，即「时，称負服从标准正态分布.这时分别用」：和 _1表示二的密度函数和分布函数，即具有性质：①」：i .jPW = 加-X >Q0,其它②一般正态分布］」严丁的分布函数门与标准正态分布的分布函数■' 有关系：陀）二①¥5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设；为离散型随机变量，其分布列为（表2-2）:则亠— if任为离散型随机变量，其分布列为（表2-3）:表2-3h有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设；为离散型随机变量，概率密度为'-'1，贝L 「二的概率密度有两种方法可求.1）定理法：若f在丄的取值区间内有连续导数「，且：单调时，X⑷ 是连续型随机变量，其概率密度为11 / 27• ①其它其中二一匸「7二「代汕匚一二1二；I—]:门是]:的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数F,(y) = P(Y<y^P(g(X)<y)=X［人何必 &止心)然后求疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间沐上，对试验的每一个可能结果：，都有唯一的实数•「与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数门「左连续，但大多数书籍定义分布函数「二为右连续.左连续与右连续的区别在于计算「二时，二二点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于 '負-^ ，则定义左连续或右连续时门值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的联合分布列，二维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独立性和不相关性，常用多维随机变量，随机向量函数的分布1、二维随机变量及其联合分布函数如果随机变量血（讥血（町…，血@）定义在同一概率空间（Q FQ上则称恥）心⑷兀（叭-北3）为n维（n元）随机变量或随机向量.当沪2时诽为二维随戕氢常记为工儿联合分布函数的定义设—-匸丄二一「赴随机变量,心"为随机向量1■的联合分布函数特别卄血称为二淼合分布函数即恥』）訂（淞汀幻）二维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量：或；的非减函数；（2）有界性一―]I：* ；（3）极限性” 7」，：'，一，厂「.一（?」丨一■.- -」.-工-1「-工,亠二(3)连续性l I；.关于：右连续，关于^也右连续；(4)非负性对任意点 =.「_.「，若「；二，贝V式表示随机点二门落在区域内的概率为：二…2、二维离散型随机变量及其联合分布列如果二维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称■'为二维离散型随机变量.设「「为二维离散型随机变量，它的所有可能取值为匸- 将f 一—°厂一」或表3.1称为「「的联合分布列.表3.1(1)「「'；( 2)肴' 联合分布列具有下列性质:3、二维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在一个非负函数和乩门,使得二维随机变量的分布函数‘八「对任意实数「有 'f，则称 — 是二维连续型随机变量，称u为的联合密度函数（或概率密度函数）联合密度函数具有下列性质：设…丄|为二维随机变量，则称F x （x ） = P （X<^<Y <+oo ） 的0）二 P 卜00 <X <4007<7） 分别为关于二和关于「的边缘（边际）分布函数当为离散型随机变量，则称(1) 非负性对一切实数"，有■" 1；(3) *-ho在任意平面域-上，「厂 取值的概率F ｛（工二［“（砂）如y Q ；3细（兀刃=Xj 为如果小」在；’处连续，则 「八一八 规范性（4）4、二维随机变量的边缘分布P 广乞珂（八12…）：-1分别为关于；和关于『的边缘分布列当为连续型随机变量，则称內A ）二ph 』）必分别为关于二和关于「的边缘密度函数5、二维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为二维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为P(X = ip/ = - p^,P(X= f P(Y -y^} = (ij = 12…)，则当 j 固定P{f = ”} = Pj>Ci 时，称---------------------------------- 二——为'「条件下随机变量匚的条件分布律.同理，有吃讪|XrJ 二丝八12…Pi（2）连续型随机变量的条件分布设■= 为二维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：心.则当’•时，在和门,的连续点处，-在条件’下，】的条件概率密度函数为曲力）=畔 Px Wp^\y)=p (兀力p^y) 同理，6、随机变量的独立性设；」’及匚：'1分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数「有『上=则称随机变量；与「相互独立.设：；'|为二维离散型随机变量，..与『相互独立的充要条件是廿妝血=12…）.设为二维连续型随机变量，二与［相互独立的充要条件是对几乎一切实数，有7、两个随机变量函数的分布设二维随机变量的联合概率密度函数为」；」，「—“ —「是；'的函数，则匚的分布函数为马⑵二\\p（x t yyixdy.（1）；'二的分布若.1；|为离散型随机变量，联合分布列为'，则】的概率函数为:易仇）=£临耳-吗）&仇）=5>%巩-为）；或>若丄八为连续型随机变量，概率密度函数为W，则匚的概率函数为:严r-Ko旳⑵二p^z-x)dx=\ p(z-y r y)dy的分布若I为连续型随机变量，概率密度函数为小乩门，则］的概率函数为:8.最大值与最小值的分布曲”冊勺）畝阿〔兀…兀）勺厂P©）畅）胡旳）*血吃…北）勺）4*（卜恥））9.数理统计中常用的分布（1）正态分布：设随机变劉諾厂也相互紐,肮广N仏口;），心谊…也则2也皿左的加巾其中用心…尼为常黏（2）宀 *:设随机变就“血…也相互從，且丫厂M（叮〉心12…”则（3）「• 卄：亡*……-厂\ L書让二I(4)「—--:亡「疑难分析1、事件=-丄二「表示事件梟•丄「与的积事件，为什么二计不一定等于'■■■'■ :■■■.■ ?如同仅当事件二f相互独立时，才有「二-1三匚二一样，这里依乘法原理只有事件一与1「■'/.相互独立时，才有P{X<x t Y<y) = P(X<^ P(Y<y\，因为P{Y<y\X<x} = P{Y <y).2、二维随机变量「厂的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯一确定边缘分布，因而也唯一确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯一确定联合分布.但由「丄丫二心」宀「7 r知，一个条件分布和它对应的边缘分布，能唯一确定联合分布.但是，如果二『相互独立，贝V「仁―t —：，即卩宀二；丄J •：'.说明当二『独立时，边缘分布也唯一确定联合分布，从而条件分布也唯一确定联合分布.3、两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？两个随机变量二〕相互独立，是指组成二维随机变量•厂的两个分量二〕中一个分量的取值不受另一个分量取值的影响，满足儿」—匸-：匚-.而两个事件的独立性，是指一个事件的发生不受另一个事件发生的影响，故有「二—L匚.两者可以说不是一个问题.但是，组成二维随机变量I的两个分量二「是同一试验丄的样本空间上的两个一维随机变量，而丄f也是一个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“匸土”、”看作两个事件，那么两者的意义近乎一致，从而独立性的定义几乎是相同的第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中心矩，协方差和相关系数及其性质1、随机变量的数学期望设离散型随机变量負的分布列为「工二：！亠，如果级数台"'绝对收敛，则称级数的和为随机变量J丄的数学期望.设连续型随机变量x的密度函数为p⑴，如果广义积分L腴R处绝对收敛，则f-HD称此积分值」为随机变量匚的数学期望•数学期望有如下性质：（1）设「是常数，则"'■；（2）设］'是常数，则和（3）若-1：'是随机变量，则-［丄：_：丄-'；对任意〔个随机变量■ ' - ■ '，有(4)若-亠相互独立，贝U -七--'-.1 ;对任意「个相互独立的随机变量 u ：•,有2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量 負的分布律为■"丄|丄，则」的函数一1 一的设连续型随机变量 負的密度函数为；；|，则負的函数'■_ ■的数学期望为i +®购恥讥讷，式中积分绝对收敛 3、随机变量的方差设匚是一个随机变量，贝V 丄一匸「L - - 称为匚的方差-一“称为；的标准差或均方差.计算方差也常用公式 方差具有如下性质：(1)设一1是常数，则\ '-; (2)设「是常数，则--------;(3)若分1、*2相互独立，则0区+托)=D(X])+°(為)；对任意〔个相互独立的随机变量■' -■' ,有- ;（4） 的充要条件是：存在常数 「，使- - - -二八 4、几种常见分布的数学期望与方差 （1）匸；.「匸；二:.:；(2) 「——数学期望为亟(②卜另欽亦)久朮=12…jt-i 式中级数绝对收敛(3)（4）匸」已匸二2 1 ；（5）「一 -'■- :丫;（6）—「二 < 匚一，「I」门一：■汀匸⑺—:'二一;:.；；（8）八“血刊凤& = “23）=代5、矩设；是随机变量，贝y L 「2；* 4称为；的一阶原点矩.如果f存在，则■ ■ _ ' ' ■ '■■ - - - | "'-称为負的；阶中心矩.设「「是二维随机变量，贝y心亠;止【；；「工称为的I 阶混合原点矩；址=E （［X-E（Q*•［『-占（別）,灯=1,2,…称为（x,y）的七+］阶混合中心矩.6、协方差与相关系数随机变量（XQ的协方差为^f Y^E｛［X-E^Y-£（『）］）.它是i+i阶混合中心矩，有计算公式：沏（工『）二E（沼）・E（x）E（y）.随机变量■= 的相关系数为_ cov（xn呛二亦页相关系数具有如下性质:(1)卜冷」;(2)卜」存在常数•：'，使"；-汇+「=1,即二与1以概率1线性相关;(3)若；独立，则L •，即不相关.反之，不一定成立.(4)() 设()是二维随机变量，若X与Y的方差都存在，则[Cau(X r^<DX DY疑难分析1、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性•但求得一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此，在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问题.2、在数学期望定义中为什么要求级数和广义积分绝对收敛?首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值.因此，对级数和广义积分来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无关，从而更便于运算求值.而由于连续型随机变量可以离散化，从而广义积分与无穷级数有同样的意义.要求级数和广义积分绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出.3、相关系数1■二反映了随机变量二和「之间的什么关系？相关系数；I是用随机变量就和［的协方差和标准差来定义的，它反映了随机变量二和『之间的相关程度.当时，称二'与丁依概率1线性相关；当匚二I 时，称免与『不相关；当时，又分为强相关与弱相关.4、两个随机变量二与］相互独立和不相关是一种什么样的关系？（1）若、相互独立，则、不相关.因为、独立，则川；「厂小.，故心二-一，从而七j，所以J、r不相关.（2）若不相关，则门、「不一定独立.如：f —］"兀x2+y2 <}rPW= 1 o, 其它一因为TO = £（y）= 0，TO=1/4-1'1二•，知」、」不相关.但U ；1「’L，加y）二2尸加，瞼J）HP占）P0 ,知乂、『不独立.（3）若相关，则匚、［一定不独立.可由反证法说明.（4）若匚、）不相关，则二、不一定不相关.因为二、不独立，二—〕,但若汇-厂m时，可以有―，从而可以有」、不相关.但是，也有特殊情况，如服从二维正态分布时，不相关与；、J 独立是等价的第五块大数定律和中心极限定理内容提要基本内容：切比雪夫（）不等式，切比雪夫大数定律，伯努里（）大数定律，辛钦（）大数定律，棣莫弗-拉普拉斯（）定理，列维-林维德伯格（）定理.1、切贝雪夫不等式设随机变量二的数学期望m—工，方差匸，则对任意正数「，有不等刊■心沪召或刊，小"-召成立2、大数定律（1）切贝雪夫大数定律:设…是相互独立的随机变量序列，数学期望J. 1和方差’二都存在，且「二」〔|，则对任意给定的I「，有1丄如列-乞凶-欧扎）］|<沪1“讯i-i .（2）贝努利大数定律:设L是「次重复独立试验中事件d发生的次数，：是事limP（|^-^|<F）=l件丿在一次试验中发生的概率，则对于任意给定的:'.■丨，有…贝努利大数定理给出了当［很大时，」发生的频率一=依概率收敛于d的概率，证明了频率的稳定性.（3）辛钦大数定律：设相互独立，服从同一分布的随机变量序列且匸也〕卫（：=匚）,则对任意给定的:,I，有3、中心极限定律（1） 林德贝格-勒维中心极限定理:设〔芒〕,…丄 是独立同分布的随机变量 序列，有有限的数学期望和方差，「二-「，「..「一、：.则对任意实数刀（血-“）刀疋厂冲“Y _ ____:，随机变量■■,'■--■的分布函数二-满足 Em 氏⑵二曲尸也<i} = fJ2/T（2） 李雅普诺夫定理:设是不同分布且相互独立的随机变量，它护—y 2 们分别有数学期望和方差：小1 一畀,■'■■'■■<;「厂-八-■-;亠文欧因-丛角TO正数$，，使得当心谕时，有盯口,则随机变量»X屋据F7 _ i-1 H _ J-1 X的分布函数对于任意的x ，满足当〔很大时，爲』㈣总拓』（也昭.（3）德莫佛一拉普拉斯定理:设随机变量'■. 1 " 1 1服从参数为匚时卩J 匸；的二项分布，则对于任意的：，恒有疑难分析D 乞逊!-1lim 坨（打=lira <>=r 加 J 十矩rlimP\%-® J 誓（D<x1、依概率收敛的意义是什么?依概率收敛即依概率1收敛.随机变量序列J依概率收敛于，,说明对于任给的£>0,当"很大时，事件“”的概率接近于1•但正因为是概率，所以不排除小概率事件“ 1八_2卜6”发生.依概率收敛是不确定现象中关于收敛的一种说法.2、大数定律在概率论中有何意义？大数定律给出了在试验次数很大时频率和平均值的稳定性.从理论上肯定了用算术平均值代替均值，用频率代替概率的合理性，它既验证了概率论中一些假设的合理性，又为数理统计中用样本推断总体提供了理论依据.所以说，大数定律是概率论中最重要的基本定律.3、中心极限定理有何实际意义？许多随机变量本身并不属于正态分布，但它们的极限分布是正态分布.中心极限定理阐明了在什么条件下，原来不属于正态分布的一些随机变量其总和分布渐进地服从正态分布.为我们利用正态分布来解决这类随机变量的问题提供了理论依据.4、大数定律与中心极限定理有何异同？相同点：都是通过极限理论来研究概率问题，研究对象都是随机变量序列，解决的都是概率论中的基本问题，因而在概率论中有重要意义.不同点：大数定律研究当时，概率或平均值的极限，而中心极限定理则研究随机变量总和的分布的极限.。
2010年导航领航考研数学冲刺班讲义概率统计邓泽华编讲一、填空题分析填空题主要考查基础知识和运算能力，特别是运算的准确性。
1.（04-1-3-4）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X >= .【1e，概率计算】2.（04-3）设总体21~(,)X N μσ，总体22~(,)Y N μσ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i i i i X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ . 【2σ，数字特征】3.（06-1-3-4）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤= .【19，概率计算】4.（05-1-3-4）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ，再从X ,,1 中任取一个数，记为Y ，则==}2{Y P .【1348，概率计算】5.（05-1-3-4）设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为若随机事件{}0X =与{}1X Y +=相互独立，则a = ，b = .【0.4，0.1，确定常数】6.（06-3）设总体X 的概率密度为1()e2xf x -=，（x -∞<<+∞），12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，其样本方差为2S ，则2E S = .【2，数字特征】7.（07-1-3-4）在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数的差的绝对值小于12的概率为 .【34，概率计算】8.（08-1-3-4）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X E X == . 【12e，概率计算】9.（08-n ）设1234,,,X X X X 为来自正态总体(2,4)N 的简单随机样本，则2()E X = . 【5，数字特征】10.（09-1）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体的简单随机样本，若2X kS +为2np 的无偏估计量，则k = . 【1-，数字特征】11.（09-3）设12,,,m X X X 为来自二项分布总体的简单随机样本，记统计量2T X S =-，则E T = . 【2np ，数字特征】12.（09-n ）设总体X 的概率密度1(,)e,2xf x x σσσ-=-∞<<+∞，其中参数(0)σσ>未知，若12,,,m X X X 是来自总体X 的简单随机样本，11ˆ1ni i X n σ==-∑是σ的估计量，则ˆE σ= . 【1n n σ-，数字特征】二、选择题分析解选择题的方法有⑴直接法；⑵间接法（排除法、特例法等）；⑶数形结合法。
考点涉及概念、理论、方法和运算。
1.（06-1-4）设A ，B 为随机事件，且()0P B >，()1P A B =，则必有（ ）.【C ，概率公式】（A ）()()P A B P A > （B ）()()P A B P B > （C ）()()P A B P A = （D ）()()P A B P B =2. （04-1-3-4）设随机变量X 服从正态分布(0,1)N ，对给定的(0,1)α∈，数u α满足 {}P X u αα>=，若{}P X x α<=，则x 等于（ ）.【B ，正态概率】（A ）2u α（B ）12u α-（C ）12uα-（D ）1u α-3. (06-1-3-4)设随机变量X ～211(,)N μσ，Y ～222(,)N μσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-≤>-≤，则必有（ ）. 【A ，正态概率】（A ）12σσ<（B ）12σσ>（C ）12μμ<（D ）12μμ>4.（04-4）设随机变量12,,,(1)n X X X n > 独立同分布，且其方差为20σ>. 令11ni i Y X n==∑，则（ ）.【C ，数字特征】（A ）212()n D X Y nσ++=（B ）211()n D X Y nσ+-=（C ）21(,)C ov X Y nσ=（D ）21(,)C ov X Y σ=5.（05-4）设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ的指数分布，则（ ）.【C ，中心极限定理】（A）lim ()n i n X n P x x λΦ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑（B）lim ()n i n X n P x x λΦ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ （C）lim ()n i n X n P x x λΦ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑（D）lim ()n i n X P x x λΦ→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑ 6.（05-1）设1,,(2)n X X n ≥ 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，则（ ）.【D ，抽样分布】（A ）~(0,1)nX N （B ）22~()nS n χ（C ）(1)~(1)n Xt n S--（D ）2122(1)~(1,1)nii n X F n X =--∑7.（05-3）设一批零件的长度服从正态分布2(,)N μσ，其中参数2,μσ未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值20x =（cm ），样本标准差1s =(cm)，则μ的置信度为0.90的置信区间是（ ）. 【C ，置信区间】(A)0.050.0511(20(16),20(16))44t t -+ (B)0.10.111(20(16),20(16))44t t -+ (C)0.050.0511(20(15),20(15))44t t -+(D)0.10.111(20(15),20(15))44t t -+8.（07-1-3-4）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为（）. 【C ，概率计算】（A ）23(1)p p -（B ）26(1)p p -（C ）223(1)p p -（D ）226(1)p p -9.（07-1-3-4）设(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别为X ，Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度()X Y f x y =（）. 【A ，条件密度】（A ）()X f x （B ）()Y f y （C ）()()X Y f x f y （D ）()()X Y f x f y10.（08-1-3-4）设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则{}m a x ,Z XY =的分布函数为（）.【A ，函数的分布】（A ）2()F x （B ）()()F x F y（C ）21[1()]F x --（D ）[1()][1()]F x F y --11.（08-1-3-4）设随机变量~(0,1)X N ，~(1,4)Y N ，且相关系数1XY ρ=，则（）.【D ，相关系数】（A ）{}211P Y X =--=（B ）{}211P Y X =-= （C ）{}211P Y X =-+=（D ）{}211P Y X =+=12.（08-n ）设123,,A A A 为3个随机事件，下列结论中正确的是（）.【A ，独立性】 （A ）若123,,A A A 相互独立，则123,,A A A 两两独立 （B ）若123,,A A A 两两独立，则123,,A A A 相互独立（C ）若123123()()()()P A A A P A P A P A =，则123,,A A A 相互独立 （D ）若1A 与2A 独立，2A 与3A 独立，则1A 与3A 独立13.（08-n ）设随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布，则（）.【D ，数字特征】 （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4E X np += （C ）(21)2(1)D X np p -=-（D ）(21)4(1)D X np p +=- 14.（09-1-n ）.设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.7()2x F x x ΦΦ-=+，则EX =（）.【C ，数字特征】（A ）0 （B ）0.3 （C ）0.7 （D ）115.（09-1-3）.设随机变量X 与Y 相互独立，且X 服从标准正态分布(0,1)N ，Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====，记()Z F z 为随机变量Z XY =的分布函数，则函数()Z F z 的间断点的个数为（）.【B ，函数的分布】 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）316.（09-3-n ）事件A 与B 互不相容，则（）.【D ，概率公式】（A ）()0P AB = （B ）()()()P AB P A P B = （C ）()1()P A P B =- （D ）()1P A B =三、解答题分析（一）考点分析近三年的考点分布情况如下： 数学一07年 已知二维随机变量密度求概率与函数的密度、已知总体密度求参数矩估计与统计量的无偏性08年 已知独立和边缘求条件概率与函数的密度、已知总体密度求统计量期望与方差 09年 摸球问题中的条件概率与联合分布、已知总体密度求参数矩估计和最大似然估计 数学三07年 与数学一相同 08年 与数学一相同09年 与数学一相同、已知二维随机变量密度求条件密度与条件概率 数学农科08年 已知随机变量密度和期望求常数与分布函数、已知二维离散随机变量的联合分布求边缘分布与概率09年 已知随机变量密度和函数期望求常数与概率、已知离散随机变量X 与Y 的概率分 布及{}P X Y =求联合分布与相关系数（二）综合举例例1 甲乙两人进行乒乓球单打比赛，甲每局获胜的概率为0.6，比赛采用五局三胜制. ⑴求甲获胜的概率；⑵已知甲获胜，求甲是3:0获胜的概率. 解 【二项分布、独立性、条件概率】 ⑴甲获胜的概率为{}{}{}322222343:03:13:20.60.60.40.60.60.40.60.68256P P P C C ++=+⋅⋅+⋅⋅=；⑵A 表示“甲获胜”，B 表示“甲是3:0获胜”()()0.216()0.31646()()0.68256P AB P B P B A P A P A ====.例2 在电源电压不超过200V ，200~240V 和超过240V 三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，设电源电压2~(220,25)X N ，已知(0.8)0.788Φ=，求⑴该电子元件损坏的概率α；⑵该电子元件损坏时，电源电压在200~240V 的概率β. 解 【正态分布、全概率公式、贝叶斯公式】2~(220,25)X N ， {}200220200()(0.8)1(0.8)0.21225P X ΦΦΦ-≤==-=-=，{}240220200220200240()()(0.8)(0.8)0.5762525P X ΦΦΦΦ--<≤=-=--=，{}2402202401()1(0.8)0.21225P X ΦΦ->=-=-=⑴设A =“电子元件损坏”，由全概率公式，得{}{}{}{}()200200200240200240P A P X P A X P X P A X α==≤≤+<≤<≤{}{}2402400.0642P X P A X +>>=；⑵由贝叶斯公式，得{}{}2002402002400.009()P X P A X P A β<≤<≤==.例3 设随机变量X 的分布密度为,02,(),24,0,,a xx f x b x c x e l s e <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩ 且2E X =，{}3134P X <<=，求：⑴常数,,a b c ；⑵分布函数()F x ；⑶随机变量e XY =的期望与方差.解 【一维随机变量分布与数字特征】 ⑴由分布密度的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，得24021()262axdx bx c dx a b c =++=++⎰⎰,242228562()633EX ax dx bx cx dx a b c ==++=++⎰⎰， {}231233513()422P X axdx bx c dx a b c <<==++=++⎰⎰，解得11,,144a b c ==-=.⑵X 的取值范围为(0,4)，{}()F x P X x =≤ 当0x ≤时，()0F x =；当4x ≥时，()1F x =； 当04x <<时，()()x F x f x dx -∞=⎰，当02x <<时，201()48x xF x xdx ==⎰，当24x ≤<时，220211()(1)1448x xF x xdx x dx x =+-+=-+-⎰⎰.⑶24222111ee (1)e (e 1)444XxxEY E x dx x dx ==+-+=-⎰⎰，242222422111ee(1)e(e 1)4416XxxEYE x dx x dx ==+-+=-⎰⎰，222221()e (e 1)4D Y EY EY =-=-.例4 设盒内有5个球，其中2个红球，3个白球，从中无放回地抽取3个，设X 为抽到的红球总数，Y 为第三次抽到的红球数.⑴求(,)X Y 的概率分布；⑵求(,)C ov X Y ，问X 和Y 是否独立？ 解 【二维离散随机变量概率分布与数字特征】 ⑴X 的可能值为0，1，2；Y 的可能值为0，1，{}3210,00.1543P X Y ⨯⨯====⨯⨯，{}0,10P X Y ===，{}2323221,00.4543P X Y ⨯⨯+⨯⨯====⨯⨯，{}3221,10.2543P X Y ⨯⨯====⨯⨯，{}2132,00.1543P X Y ⨯⨯====⨯⨯，{}3212312,10.2543P X Y ⨯⨯+⨯⨯====⨯⨯(,)X Y 的概率分布为0100.100.40.210.10.22X Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. ⑵(,)C ov X Y EXY EXEY =-，X 的概率分布为0120.10.60.3⎛⎫⎪⎝⎭，0.60.6 1.2EX =+=， Y 的概率分布为010.60.4⎛⎫⎪⎝⎭，0.4EY =，X Y 的概率分布为0120.60.20.2⎛⎫⎪⎝⎭，0.20.40.6EXY =+=， (,)0.12C ov X Y EXY EXEY =-=， X 和Y 不独立.例5 设随机变量U 服从[012]，上的均匀分布，令随机变量1,36,0,,U X else <<⎧=⎨⎩1,24,0,,U Y else <<⎧=⎨⎩ 求： ⑴(,)X Y 的概率分布；⑵在0.5Y ≤条件下，X 的条件分布； ⑶X 与Y 的相关系数.解 【二维离散随机变量的概率分布、条件分布、相关系数】 ⑴X 的概率分布为013/41/4⎛⎫⎪⎝⎭，Y 的概率分布为015/61/6⎛⎫⎪⎝⎭(,)X Y 的概率分布为012/31/1211/61/12X Y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中{}{}20,0(3,6),(2,4)3P X Y P U U ===∉∉=，{}{}10,1(3,6),(2,4)12P X Y P U U ===∉∈=，{}{}11,0(3,6),(2,4)6P X Y P U U ===∈∉=， {}{}11,1(3,6),(2,4)12P X Y P U U ===∈∈=⑵{}{}{}0,02/3400.505/65P X Y P X Y P Y ===≤====，{}{}{}1,01/6110.505/65P X Y P X Y P Y ===≤====，故在0.5Y ≤条件下，X 的条件分布为014/51/5⎛⎫ ⎪⎝⎭⑶X 与Y的相关系数XY ρ=(,)C ov X Y EXY EXEY =-，14E X =，16E Y =，X Y 的概率分布为0111/121/12⎛⎫⎪⎝⎭，112E X Y =，1(,)24C ov X Y EXY EXEY =-=.又22113()41616D XE X E X =-=-=，22115()63636D Y EY EY =-=-=，故XY ρ==例6 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为=),(y x f (),01,0,c x y y x else +≤≤≤⎧⎨⎩⑴求常数c ；⑵求关于Y X ,的边缘分布密度并判断X 和Y 是否独立； ⑶求(01)X x x =<<时Y 的条件分布密度； ⑷求{}1P X Y +≤； ⑸求112P X Y X ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭和112P X Y X ⎧⎫+≤=⎨⎬⎩⎭； ⑹求Z X Y =-的分布密度.解 【二维连续随机变量的基本问题：确定常数、边缘密度、条件密度、概率计算、条件概率计算、分布函数】⑴由密度的性质10(,)1()12xf x y dxdy dx c x y dy c +∞+∞-∞-∞=⇒+=⇒=⎰⎰⎰⎰.⑵X 的取值范围为[0,1]， 当01x ≤≤时，2()(,)2()3x X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=⎰⎰，所以关于X 的边缘分布密度23,01,()0,.X x x f x else ⎧≤≤=⎨⎩类似可得关于X 的边缘分布密度2123,01,()0,.Y y y y f y else ⎧+-≤≤=⎨⎩由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠，故X 和Y 不独立. ⑶(01)X x x =<<时Y 的条件分布密度22(),0,(,)()3()0,.YXX x y y x f x y f y x x f x else +⎧≤≤⎪==⎨⎪⎩⑷{}1120111(,)2()3y yx y P X Y f x y dxdy dy x y dx -+≤+≤==+=⎰⎰⎰⎰.⑸11,212(,)11,12112(,)2x y x x f x y dxdyP X Y X P X Y X f x y dxdyP X +≤≤≤⎧⎫+≤≤⎨⎬⎧⎫⎩⎭+≤≤==⎨⎬⎧⎫⎩⎭≤⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰11201,111,(,)2()23y yx y P X Y X f x y dxdy dy x y dx -+≤⎧⎫+≤≤==+=⎨⎬⎩⎭⎰⎰⎰⎰问：如何求),(Y X 的联合分布函数(,)F x y ？例7 随机变量X 和Y 相互独立，且X 服从[0,1]上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布.⑴求2Z X Y =+的概率密度函数；⑵求E Z ，D Z ；⑶求(,)C ov Y Z . 解 【二维随机变量函数的概率分布、数字特征】 ⑴ X 服从[0,1]上的均匀分布，密度为1,[0,1],()0,[0,1],X x f x x ∈⎧=⎨∉⎩Y 服从参数为1的指数分布，密度为,0,()0,0.y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩随机变量X 和Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度,01,0,(,)()()0,,y X Y e x y f x y f x f y else -⎧≤≤>==⎨⎩X 的取值范围为[0,1]，Y 的取值范围为(0,)+∞，2Z X Y =+的取值范围为(0,)+∞. 2Z X Y =+的分布函数{}()Z F z P Z z =≤，当0z <时，()0Z F z =， 当0z ≥时，{}{}()2Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤2(,)yx y zDf x y dxdy edxdy -+≤==⎰⎰⎰⎰，其中D 为积分域2x y z +≤与密度(,)f x y 的非零区域的交集. 当02z ≤<时，2222220001()ee(1e)(e1)2zzzz x z x yyx zzZ F z dx dy dx dx z ------==-=-=+-⎰⎰⎰⎰，当2z ≥时，121122201()e(1e)1(e 1)e2z x z x yyx zzZ F z dx edy dx dx ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰.故Z 的概率密度20,0,1()()(1),02,21(1), 2.2zZ Z zz f z F z e z e e z --⎧⎪<⎪⎪'==-≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩⑵12E X =，112D X =，1EY =，1D Y =，(2)22EZ E X Y EX EY =+=+=，又X 和Y 相互独立，故443D Z D X D Y =+=⑶由X 和Y 相互独立知，(,)0C ov X Y =，故(,)(,2)2(,)(,)01C ov Y Z C ov Y X Y C ov Y X C ov Y Y D Y =+=+=+=.例8假设一电路装有三个同种电子元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ的指数分布.⑴当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作.求电路正常工作时间T 的概率分布.；⑵当三个元件中有一个无故障时，电路正常工作，否则电路不能正常工作.求电路正常工作时间T 的概率分布解 设三个电子元件无故障工作时间分别为123,,X X X ，则它们相互独立，且都服从参数为λ的指数分布，分布函数为1e ,0,()0,0.x x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩⑴电路正常工作时间{}123min ,,T X X X =，其取值范围为(0,)+∞， 分布函数{}()T F t P T t =≤， 0t ≤时，()0T F t =， 0t >时，{}{}{}123()min ,,T F t P T t P X X X t =≤=≤{}{}{}1231231min ,,1,,P X X X t P X t X t X t =->=->>>{}{}{}3312311[1()]1tP X t P X t P X t F t eλ-=->>>=--=-，故电路正常工作时间T 的分布函数31e ,0,()0,0.t T t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩⑵电路正常工作时间{}123max ,,T X X X =，其取值范围为(0,)+∞， 分布函数{}()T F t P T t =≤， 0t ≤时，()0T F t =， 0t >时，{}{}{}123()max ,,T F t P T t P X X X t =≤=≤ {}{}{}123P X t P X t P X t =≤≤≤33()(1)tF t eλ-==-，故电路正常工作时间T 的分布函数33(1e ),0,()0,0.t T t F t t λ-⎧->=⎨≤⎩例9 设)1(,,,21>n X X X n 为独立同分布的随机变量，且都服从2(0,)N σ，记n i X X Y X nX i i ni i ,,1,,11=-==∑=，求⑴,1,,i DY i n = ；⑵1Y 与n Y 的协方差1(,)n C ov Y Y ；⑶若21()n c Y Y +是2σ的无偏估计量，求常数c .解 ⑴2111()[(1)],1,,ni i i k k in D Y D X X D X X i n nnnσ≠-=-=--==∑ .⑵1Y 与n Y 的协方差11(,)(,)n n C ov Y Y C ov X X X X =--11(,)(,)(,)(,)n n C ov X X C ov X X C ov X X C ov X X =--+2222111111110(,)(,)n n C ov X X C ov X X D X nnnnnnσσσσ=--+=--+=-.⑶2211111()()()[2(,)]n n n n n Ec Y Y cE Y Y cD Y Y c D Y D Y C ov Y Y +=+=+=++2222211224()n n n c cnnnnσσσσσ---=+-==，故24n c n =-.例10 某车间有同型号机200台，每台机床开动的概率为0.7，假设各机床开动与否互不影响，开动时每台机床需消耗电能15kw.⑴试用切比雪夫不等式估计用电量在1800~2250kw 间的概率；⑵问至少供电多少才可以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产？（(1.645)0.95Φ=）解 【切比雪夫不等式、中心极限定理】⑴机床开动的台数~(200,0.7)X B ，140EX =，42D X =，{}{}{}18001522501201502014010P X P X P X <<=<<=-<-<{}42201401010.58100P X >-<-<>-=⑵由中心极限定理知，X 近似服从~(140,42)X N ，设供电a kw 可以95％的概率保证不致因供电不足而影响生产,则{}140150.95(1.645)15aa P X a P X ΦΦ-⎧⎫≤=≤===⎨⎬⎩⎭140 1.6452260a a -=⇒=（kw ）.例11 假设某种型号的螺钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克， ⑴设每100个螺钉为一袋，求每袋螺丝钉的重量超过5100克的概率； ⑵若这样的螺钉装有500袋，求500袋中最多有4%的重量超过5100克的概率. 已知(2)0.9772Φ=，(2.59)0.995Φ=. 【⑴0.02275；⑵0.995】例12 设总体X 的分布函数0,0,,01,(),12,,2,x x F x a x a b x θθ<⎧⎪≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎩，其中,,a b θ为常数，且1EX =.⑴求,a b ；⑵抽取的n 个样本值1,,n x x 中有k 个1(1)k n ≤≤，求θ的最大似然估计. 解 【参数估计】122()2EX a b a b θθ==-++=+，()1F a b +∞=+=，解得1,0a b ==.⑵似然函数()(12)k n kL θθθ-=-，ln ()ln(12)()ln L k n k θθθ=-+-，令2ln ()012d k n kL d θθθθ--=+=-，解得2n k nθ-=，故θ的最大似然估计ˆ2n k nθ-=.例13 总体X 的分布密度2(ln )2,0,()0,0.x x f x x μ--⎧>=≤⎩ 1,,n X X 是来自总体X 的简单随机样本.⑴求参数μ的最大似然估计量ˆμ；【11ˆln nii X nμ==∑】⑵求ˆμ的数学期望.【μ】 例14 总体X ~2(0,)N σ， 1,,n X X 是来自总体X 的简单随机样本.⑴求常数,a b ，使得22aX bS +服从2χ分布，并指出2χ分布的自由度；⑵证明：存在常数c nic X ∑服从t 分布.例15 总体X ~2(,)N μσ，参数2,μσ未知， 6,6,7,8,8是来自总体X 的简单随机样本， ⑴求参数μ的置信度为95%的置信区间；⑵针对原假设0H ：2σ=与备择假设1H ：2σ<，作显著性水平为5%的假设检验. 已知标准正态分布的2.5%与5%的上側分位数分别为1.96与1.65；自由度为4的t 分布的2.5%与5%的上側分位数分别为2.78与2.132；自由度为4的2χ分布的95%与90%的上側分位数分别为0.711与1.064. 解 由样本计算得7,1X S ==⑴由22(((1)X t n X t nαα--+-，其中0.0252(1)(4) 2.78t n tα-==，μ的置信度为0.95的置信区间是(5.76,8.24)⑵检验H：2σ=，备择假设1H：2σ<（相当于检验H：2σ≥，备择假设1H：2σ<）统计量222222(1)422n S SSχ-===，拒绝域220.95(4)0.711χχ<=.由样本得，2210.711Sχ==>，接受H附录近三年真题07解答题1.（07-1-3-4）设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2,01,01,(,)0,.x y x yf x y--<<<<⎧=⎨⎩其它⑴求{}2P X Y>；【724】⑵求Z X Y=+的概率密度()zf z.【222,01,()(2),12,0,.zz z zf z z zelse⎧-<<⎪=-≤<⎨⎪⎩】2.（07-1-3）设总体X的概率密度为1,0,21(,),1,2(1)0,xf x xθθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，1,,nX X是来自总体X的简单随机样本.⑴求参数θ的矩估计量ˆθ；【1ˆ22Xθ=-】⑵判断24X是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【不是，2241(4)4E X D Xnθθ=+++】3.（07-4）设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为{}213P X==，{}123P X==，m ax(,)U X Y=，m in(,)V X Y=.⑴求(,)U V的联合概率分布；⑵求U与V的协方差(,)C ov U V.【⑴1214/9024/91/9U V ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭；⑵4(,)81C ov U V =】 08解答题1.（08-1-3-4）设随机变量X 和Y 相互独立，X 的概率分布为{}1(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,[0,1),()0,[0,1),Y y f y y ∈⎧=⎨∉⎩记Z X Y =+.⑴求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭；【12】 ⑵求Z 的概率分布()Z f z .【1,[1,2),()30,[1,2).Z x f z x ⎧∈-⎪=⎨⎪∉-⎩】2.（08-1-3）设n X X X ,,,21 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记221111,()1nni i i i X X S X X nn ====--∑∑， 221T XS n=-.⑴证T 是2μ的无偏估计量； ⑵当0,1μσ==时，求D T .【2(1)n n -】3.（08-4）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？【256】4.（08-n ）设随机变量X 的概率密度为,01,(),12,0,,ax x f x b x else <≤⎧⎪=<<⎨⎪⎩且X 的数学期望1312EX =，⑴求常数,a b ；⑵求X 的分布函数()F x .5.（08-n ）设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为10100.10.2020.30.10.3X Y ⎛-⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⑴求(,)X Y 关于,X Y 的边缘分布；⑵求{}2P X Y +≤； ⑶求{}00P Y X ==.09解答题1.（09-1-3）袋中有1个红球、2个黒球、3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，X ，Y ，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黒球与白球的个数.⑴求{}10P X Z ==；【49】⑵求二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【01201/41/31/911/61/9021/360X Y ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭】 2.（09-1）设总体X 的概率密度为2e ,0,()0,0,x x x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩其中参数(0)λλ>未知，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本..⑴求参数λ的矩估计量；【12ˆXλ=】⑵求参数λ的最大似然估计量.【22ˆXλ=】3.（09-3）设二维随机变量X 的概率密度为e ,0,(,)0,.x y x f x y else -⎧<<=⎨⎩⑴求条件概率密度()Y X f y x ；【1,0,()0,.Y Xy x f y x xelse ⎧<<⎪=⎨⎪⎩】 ⑵求条件概率{}11P X Y ≤≤.【e 2e 1--】4.（09-n ）设随机变量X 的概率密度为2,,()0,,x a x b f x else <<⎧=⎨⎩ 且21EX=.⑴求,a b 的值；【22a b ==】⑵求{}1P X <.【12】5.（09-n且{}14P X Y ==.⑴求二维随机变量(,)X Y 的概率分布；【01101/211/41/4X Y ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭】 ⑵求X 与Y 的相关系数X Y ρ.【3-】。
