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广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
北京科技大学2010——2011学年第二学期高 等 数 学A(II) 期中试卷答案一、单项选择题 （本题共45分，每小题5分）1. C2. B3. C A. 5. C 6. B 7. D 8. A 9. C二、填空题 （本题共45分，每小题5分）10. 0G ; 11. 12; 12. 222214(1)4x z y y +=+−或 2224174210x y z y −++−=; 13. 3; 14. 123()e 1sin()x y z x f f f x z x ⎛⎞−′′′−++⎜⎟−⎝⎠; 15. 4d 2d x y −; 16. π; 17. 22x y +; 18. 2(22)9i j k +−G G G 或244,,999⎛⎞−⎜⎟⎝⎠. 三、应用与证明题（共10分，每小题5分）19．假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品, 两个市场需求函数分别是11182p θ=−, 2212p θ=−, 其中12,p p 分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/吨), 1θ和2θ分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量, 单位: 吨), 并且该企业生产这种产品的总成本函数是25C θ=+, 其中θ表示该产品在两个市场的销售量, 即12θθθ=+.(1) 如果该企业实行价格差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量和价格为多少才能使该企业获得最大利润?(2) 如果该企业实行价格无差别策略, 试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格为多少才能使该企业的总利润最大化? 并比较两种价格策略的总利润大小.解 总利润函数为2211221212(25)216105,L R C p p θθθθθθθ=−=+−+=−−++− 则112241602100L L θθθθ∂⎧=−+=⎪∂⎪⎨∂⎪=−+=⎪∂⎩ 124,5,θθ=⎧⇒⎨=⎩ 因此 110p =(万元), 27p =(万元). 由于驻点(4,5)唯一, 所以max 52L =(万元).当实行价格无差别策略时, 12p p =, 从而满足条件1218212θθ−=−, 即12260θθ−−=. 令 2212121212(,,)216105(26),F θθλθθθθλθθ=−−++−+−− 则11221241620,2100,260,F F F θλθθλθθθλ∂⎧=−++=⎪∂⎪∂⎪=−+−=⎨∂⎪⎪∂=−−=⎪∂⎩ 得125,4,2,θθλ=== 从而128p p ==, 此时max 49L =(万元).显然, 企业实行差别之价的总利润大于统一价格的总利润.20．证明: 曲面,0x a y b f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠的切平面经过一定点. 证明 记(,,),x a y b F x y z f z c z c −−⎛⎞=⎜⎟−−⎝⎠, 则 11(,,),x F x y z f z c ′=− 21(,,),y F x y z f z c′=− []1221(,,)()(),()z F x y z x a f y b f z c −′′=−+−− 故切平面的方程为[]12122111()()()()()0()f X x f Y y x a f y b f Z z z c z c z c ′′′′−+−−−+−−=−−−, 即 [][]12()()()()()()()()0z c X x x a Z z f z c Y y y b Z z f ′′−−−−−+−−−−−=, 显然, 当(,,)(,,)X Y Z a b c =时, 上式左端为零. 故此切平面过点(,,)a b c .。
2010年中考数学二轮复习--代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。
解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ，∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。
过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足．（1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期中考试A 卷参考答案一、填空题（5525⨯=分分） 1.=++-+∞→+∞→)(22)(lim y x y x e y x .02. 如果直线⎩⎨⎧=+--=--+072072:1z y x z y x L 与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=-=-=2513:2t z kt y t x L 垂直，则k =.34 3.函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处沿→→→+-k j i 42方向的方向导数值最大，最大的方向导数值为.214. (,)f x y 为连续函数，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 由,0=y ,2x y =1=x 围成，则(,)f x y =.81+xy5. )11(21112edy e dx xy -=⎰⎰-二、选择题（5525⨯=分分）1. {}{},3,5,8,1,1,a b a b a b z +=-=-=-r r r r r r则z =（ B ）(A) 1-； (B) 1； (C)3 ； (D)-3.2．函数(,)f u v 有连续的偏导数,,122),(,2),(221342+-='++=x x x x f x x x x x f 则='),(22x x f ( A )(A)2221x x ++； (B) 221x x ++； (C) 2222x x ++； (D) 221x x ++. 3. 下列关于函数(,)z f x y =在000(,)P x y 处的性质描述正确的是（ D ） (A) f 在0P 处连续是函数f 在该点偏导数存在的必要条件； (B) f 在0P 处可微分是函数f 在该点偏导数存在的必要条件；(C) 如果f 在0P 处的两个偏导数为零，则函数f 在该点可以取得极值；(D) 如果f 在0P 处两个偏导数连续，则函数f 在该点沿任何方向的方向导数都存在.4. cos sin 02t tt x e t y e t t z e ⎧=⎪==⎨⎪=⎩曲线在对应处的切线与z 轴正向夹角的正弦是( C )(A) 2；(B) 3 ； (C)3；(D) 6.5. 设函数333),(y x xy y x f --= ，则 ),(y x f （ B ） (A) 在)0,0(点有极小值； (B) 在)1,1(点有极大值； (C) 在)2,1(点有极小值； (D) 没有极值.三、计算题 (6+7+7+8+7+7+8=50分) 1. 直线1123:101x y z L ---==-，221:,211x y zL +-== 求过1L 且与2L 平行的平面∏的方程，并求2L 到平面∏的距离.(6分)解1：120:40y L x z -=⎧⎨+-=⎩，过1L 的平面束方程为2(4)0y x z λ-++-=， 即 420x y z λλλ++--=………………………（2分）其法向量为 {,1,}n λλ=r，2{2,1,1}s =r2n s ⊥r r Q 21310λλλ∴++=+=，13λ=- .所求平面∏的方程为：320x y z -++= ………………………………（4分） 取2L 上一点(2,1,0)-，d ===…………………（6分） 解2：,}1,0,1{1-=→s ,}1,1,2{1=→s 则平面∏的法向量为}.1,3,1{11210121-=-=⨯=→→→→→→kj i s s n …………………………………………（2分）取1L 上一点,)3,2,1(所求平面∏的方程为：,0)3()2(3)1(=-+---z y x 即320x y z -++=. ………………………………………………………………（4分） 以下同解1.2. 计算二重积分,)1(2⎰⎰++Ddxdy y x 其中D 为.122≤+y x (7分)解⎰⎰++Ddxdy y x 2)1(⎰⎰+++++=Ddxdy xy y x y x ]2221)[(22 ⎰⎰+=Ddxdy y x )(22⎰⎰+Ddxdy ⎰⎰+Dxdxdy 2⎰⎰++Ddxdy x y )1(2（D Θ关于y 轴对称，x y x f =),(关于x 为奇函数，,0=∴⎰⎰DxdxdyD Θ关于x 轴对称，)1(),(x y y x f +=关于y 为奇函数，0)1(=+∴⎰⎰Ddxdy x y ） ⎰⎰+=Ddxdy y x )(2200+++π……………………………………………（4分）（令,sin ,cos θθr y r x ==则10,20≤≤≤≤r D πθ：）ππθπ2310220=+⋅=⎰⎰rdr r d ………………………………………………（7分）3.求空间区域y x e z y x x y x +≤≤+≤≤≤≤Ω,0,10：的体积V .(7分) 解 ⎰⎰⎰Ω=dxdydz V ………………………………………………………………（2分）⎰⎰⎰++=y x e yx xdz dy dx 010………………………………………………………（4分）⎰⎰+-=+xyx dy y x e dx 010)]([⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=1002)2(dx y xy e xy y y x⎰--=122)23(dx e x exx.22e e -=………………………………………（7分） 4. 设),(y x z z =是由0),(=--z y z x f 确定的隐函数,其中f 有二阶连续偏导数,且,021≠'+'f f 求.22xz∂∂（8分）解 对方程 0),(=--z y z x f 两边关于x 求偏导数，得,0)()1(21=∂∂-⋅'+∂∂-⋅'x z f x z f 即 )1(0)(211=∂∂'+'-'xz f f f)2(211f f f x z '+''=∂∂∴， ……………………………………………（4分）对)1(式两边再关于x 求偏导数，得-∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1(1211x z f x z f +∂∂-⋅''+∂∂-⋅'')()1([1211x z f x z f)1(21xzf ∂∂-⋅''+0)(])(222122=∂∂'+'-∂∂∂∂-⋅''+x z f f x z x z f ……………（6分） .)()(2)(32121222112221122f f f f f f f f f x z '+''⋅''+'⋅'⋅''-'⋅''=∂∂∴……………………………（8分） 5. 由曲线220y zx ⎧=⎪⎨=⎪⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与8z =围成的区域为Ω，求22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰. （7分）解 旋转曲面的方程为：222x y z +=，…………………………………………（2分）利用柱面坐标变换：,,sin ,cos z z r y r x ===θθ则82,40,20:2≤≤≤≤≤≤Ωz r r πθ………………………………………（3分）22()I x y dxdydz Ω=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=82240202r rdz r dr d πθ……………………………………（5分）⎰-=4023)28(2dr r r π 10243π= …………………………………………（7分）6. 求极限⎰⎰⎰≤++→+++22222322260)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t（7分）解 利用球面坐标变换：,cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x ===⎰⎰⎰≤++++222223222)sin(t z y x dxdydz z y x ⎰⎰⎰⋅=tdr r r d d 023020sin sin ϕϕθππ⎰=t dr r r 032sin 4π………………………………………………………………………（4分）⎰⎰⎰≤++→++∴+2222232226)sin(1lim t z y x t dxdydz z y x t 6320sin 4lim tdrr r tt ⎰+→=π（利用罗比达法则）53206sin 4lim tt t t π+→=…………………………………………（6分） 330sin lim 32t t t +→=π.32π=……………………………………（7分） 7. 在曲面2222:()()0x y y z z x x y z ∑+++-+=上的点(0,0,0)处的切平面∏内求一点P ，使P 到(2,1,2)和(3,1,2)--的距离的平方和最小.（8分） 解 曲面∑在(0,0,0)处的法向量为22222222{2()(2)1,2()(2)1,n x y y z z x xy z x y y z z x x yz =+++++++-r2222(0,0,0)2()(2)1}x y y z z x y zx ++++{1,1,1}=-切平面方程为 1(0)(0)1(0)0x y z ⋅---+⋅-=，即0.x y z -+=……………………（2分） 假设所求点的坐标(,,)P x y z ，2222222(2)(1)(2)(3)(1)(2)d x y z x y z =-+-+-+++-++令222222(,,,)(2)(1)(2)(3)(1)(2)()L x y z x y z x y z x y z λλ=-+-+-+++-+++-+………………………………………………………………………………………（4分）2(2)2(3)0,2(1)2(1)0,2(2)2(2)0,0,Lx x x Ly y yLz z z Lx y z λλλλ∂⎧=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+--=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+++=⎪∂⎪⎪∂=-+=⎪∂⎩ ……………………………（6分） 解得110,,22x y z ===是唯一驻点，所求点即为11(0,,)22.………………………（8分）。
《解析几何与线性代数(二)》期中试卷一. 单项选择题1.两个同级矩阵相似的充分必要条件是( )A. 它们有相同的因子B.两个矩阵相等C.两个矩阵互逆D.两个矩阵的行列式相等2. f(x 1x 2……x n ) 是一实二次型,对于任意一组不全为零的实数x 1x 2……x n, 如果都有f(x 1x 2……x n )<0,那么f(x 1x 2……x n )称为 ( )A. 负定B. 半正定C. 半负定D.不定3.下列说法错误的是( )A. 2341是一个4级排列B.对换改变排列的奇偶性C. 2341是一个奇排列D. 45321是一个奇排列4.找出下面错误的结论( )B. 次数≧1的复系数多项式的分解式是若干个一次因式的乘积C. 次数>1的复系数多项式都可约D. n 次复系数多项式有n 个复根E. n 次复系数多项式复根的个数可能少于n 个5.下面结论中有一个是错误的,它是( )A. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少有一个根B. 次数≧1的实系数多项式在复数域上至少含有一个一次因式C. 复系数域上所有次数大于1的多项式一定可分解为两个次数比它低的多项式的乘积D. 复数域上任意多项式都至少有一根6.下面的结论中有一个是错误的,它是( )A. 若非零有理系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约B. 若非零整系数多项式在有理域上可约,那么它在整数环上可约C. 若非零整系数多项式在整数环上可约,那么它在有理域上可约7.A 是s 行n 列的矩阵,B 是t 行m 列的矩阵,AB 满足什么条件时才能相加?( )A. s=n,t=mB.n=m,a ij =b ijC.s=t,n=mD.s=m,n=t8.当多项式f(x),g(x)满足以下哪个条件时互素?( )A.(f(x),g(x))=0B. (f(x),g(x))=1C. (f(x),g(x))=2D. (f(x),g(x))=39.45321是一个多少级的排列( )A.3B.4C.5D.610. 5．计算此排列415362的逆序数为（ ）。
2010年中考数学二轮复习--代数几何综合题Ⅰ、综合问题精讲：代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE；⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。
解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ，∵∠CAE＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ②①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝AE AC ＝132点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD转化为∠AEC 就非常关键.【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。
过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
几何代数参考答案几何代数参考答案几何代数是数学中的一个重要分支，它研究的是几何形状和代数方程之间的关系。
在几何代数中，我们常常需要解决一些复杂的问题，而参考答案则是我们学习和研究的重要工具。
本文将探讨几何代数中一些常见问题的参考答案，并讨论它们的应用和意义。
一、线性方程组的解法在线性代数中，线性方程组是一个基本的概念。
对于一个线性方程组，我们可以使用各种方法来求解。
其中最常见的方法是高斯消元法。
高斯消元法通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个上三角矩阵，然后通过回代的方式求解未知数。
高斯消元法的参考答案是一个具体的解向量，它能够告诉我们线性方程组的解的具体形式。
二、向量的内积和外积在几何代数中，向量的内积和外积是两个重要的概念。
向量的内积可以用来计算两个向量之间的夹角和长度。
向量的外积则可以用来计算两个向量所张成的平行四边形的面积和方向。
对于给定的向量，我们可以使用参考答案来计算它们的内积和外积，从而得到它们之间的关系和性质。
三、平面和直线的交点在几何代数中，平面和直线的交点是一个常见的问题。
给定一个平面和一条直线，我们需要找到它们的交点。
为了求解这个问题，我们可以使用向量的表示方法。
通过将平面和直线分别表示为向量的形式，我们可以将它们转化为一个线性方程组，并使用高斯消元法求解。
参考答案将告诉我们交点的具体坐标，从而解决了这个问题。
四、曲线的参数方程曲线的参数方程是几何代数中的另一个重要概念。
通过给定一个参数，我们可以将曲线上的点表示为一个向量的形式。
参数方程可以用来描述曲线的形状和位置。
对于给定的曲线，我们可以使用参考答案来确定参数的取值范围和曲线的具体形式。
这将帮助我们更好地理解和研究曲线的性质。
五、多项式的因式分解在代数中，多项式的因式分解是一个重要的问题。
给定一个多项式，我们需要找到它的因式。
因式分解可以帮助我们简化多项式的计算和分析过程。
参考答案将告诉我们多项式的因式和它们的次数，从而帮助我们进行因式分解。
东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 几何与代数B 考试学期 2010-2011-2得分适用专业 电类各专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一. 填空(每空2分, 共30分)1. 设向量α = (1, 0, 1), β = (0, 2, 2), 矩阵A = αT β, 则 A 10 =10101010022000022⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,A 的秩r(A ) = _________1________, A 的行列式|A | = _________0________,α与β的夹角为/3π, 若γ 是垂直于α, β的单位向量,则γ =2. 设平面π过点P (1, 0, -1)且垂直于直线l : 9,32,2,x t y t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩ 则平面π的方程为___x - 3y + 2z + 1 = 0__, 直线l 与平面π的交点坐标为___(-8, -1, 2)___. 3. 原点O 到平面x + y - z + 3 = 0的距离为.3. 设A , B 为可逆矩阵, 则()12-A OO AB=11211.---⎛⎫ ⎪⎝⎭A O OB A4. 设向量组α1 =101⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α2 =011⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, α3 =12a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭线性相关, 则a = __1__, 这个向量组的一个极大线性无关组是__α1, α2__或__α1, α3__或__α2, α3_____.5. 向量空间V =x y z ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎨ ⎪⎪⎝⎭⎩∈ R 3230x y z ⎫⎪-+=⎬⎪⎭的一组基为231,001-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或其它两个向量构成的与的之等价的向量组,V 的维数dim V = ______2______.6. 矩阵A =()1302, B =()1112, C =()1222中,()1302或A 与()1002相似,()1112或B 与()1002合同.自觉 遵 守 考 场 纪 律 如 考 试 作 弊 此 答 卷 无 效二. (6分)计算行列式2222222222222222(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)a b c d a b c d a b c d a b c d ++++++++++++. 解: 22222222122222222r r (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)2,3,4(3)(3)(3)(3)i a b c d a b c d a b c d i a b c d -++++++++=++++2222212121214444444469696969a b c d a b c d a b c d a b c d ++++++++++++ 22223242r 2r 212121212222r 3r 6666a b c d a b c d -++++-= 0.三. (8分)设三个平面π1: x + 2y + z = 0; π2: 2x + 5y + z = 1; π3: x - y + az = b 交于一条直线l .1. 求参数a , b 的值.解: 令A =12125111a ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭, β =01b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.因为平面π1, π2, π3交于一条直线, 所以r(A ) = r(A , β) = 2.故由(A , β) =21311210r 2r 2511r r 11a b ⎛⎫- ⎪- ⎪-⎝⎭321210r 3r 0111031a b ⎛⎫+ ⎪- ⎪--⎝⎭ 121001110043a b ⎛⎫ ⎪- ⎪-+⎝⎭可见a - 4 = b + 3 = 0, 即a = 4, b = -3. 2. 求直线l 的方向向量和对称方程.解: 由121210r 2r 01110000⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭103201110000-⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭可得Ax = β的通解32,1,,x t y t z t =--⎧⎪=+⎨⎪=⎩(t ∈R ) 可见直线l 的方向向量为s = (-3, 1, 1), 对称方程为21311x y z+-==-. 注: 也可以由(1, 2, 1)⨯(2, 5, 1) = (-3, 1, 1)求s .四. (8分)设3⨯2矩阵X 满足AX = B -X , 其中A =100010201⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, B =260240⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭, 求X .解: 由AX = B -X 得(A +E )X = B .由(A +E , B ) =200260200220240⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ 初等行变换100130100100113⎛⎫ ⎪- ⎪-⎝⎭得X =130113⎛⎫⎪- ⎪-⎝⎭. 注: 也可以先求得(A +E )-1 =1212112200000⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭, 再得X =(A +E )-1B =130113⎛⎫ ⎪- ⎪-⎝⎭.五. (8分)设S 为曲线2100y z x ⎧--=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所得的曲面.1. 曲面S 的方程为____x 2 + y 2 - z - 1 = 0___________.2. 设曲面S 与平面2x + 2y - z - 2 = 0的交线为c . 求曲线c 到xOy 平面的投影柱面S 1和投影曲线c 1的方程.解: 将x 2 + y 2 - z - 1 = 0与2x + 2y - z - 2 = 0相减并整理得(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1. 这就是投影柱面S 1的方程. 进而得投影曲线c 的方程为 22(1)(1)1,0.x y z ⎧-+-=⎨=⎩ 3. 在右边的坐标系中作出曲面S 和曲线c 1的图形六. (20分)设A =101010103⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭. 解: |λE -A | =101010103λλλ----= (λ-1)(λ-2)2. 故A 的特征值为λ1 = 1, λ3 = λ2 = 2. 2. 求A 的所有特征向量.解: E -A =001100000001102000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 可见(E -A )x = 0的一个基础解系为ξ1 = (0, 1, 0)T .故A 的对应于λ1 = 1的特征向量为k ξ1 (k ≠ 0).2E -A =101101010010101000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可见(2E -A )x = 0的一个基础解系为ξ2 = (1, 0, 1)T . 故A 的对应于λ2 = λ3 = 2的特征向量为k ξ2 (k ≠ 0). 3. A 是否相似于对角矩阵? 请说明理由.答: A 不相似于对角矩阵. 因为2是A 的二重特征值, 但只有一个线性无关的特征向量与之对应. (另外, 设α1, α2, α3是A 的特征向量, 则α1, α2, α3能由ξ1, ξ2线性表示, 因而α1, α2, α3线性相关, 可见A 不可能有3个线性无关的特征向量, 故A 不相似于对角矩阵.)4. 若B =0002300x y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭与A 相似, 求x , y .解: 若B 与A 相似, 则x + 2 + y = 5, 2xy = 4, 故x = 2, y = 1, 或x = 1, y = 2.当x = 2, y = 1时, r(2E -B ) = 1, r(2E -A ) = 2, B 不与A 相似;当x = 1, y = 2时, 设P = (p 1, p 2, p 3)满足P -1AP = B , 则AP = PB , 由此可得Ap 1 = p 1, Ap 2 = 2p 2, (A -2E )p 3 = 3p 2,根据第2题的结果, 取p 1 = ξ1, p 2 = ξ2及(A -2E )x = 3p 2的一个特解p 3 = (-3, 0, 0)T , 则P -1AP = B 的确成立. 因此x = 1, y = 2. 5. 若f (x ) = x 2 - x - 1, 则行列式| f (A )| = _______- 1_______.七. (10分)用配方法把二次型f(x, y, z) = x2 + 2y2 + kz2 + 4yz化为标准形. 请写出所用的可逆线性变换, 并就参数k不同的取值范围, 讨论二次曲面f(x, y, z) = 1的类型. 解: f(x, y, z) = x2 + 2y2 + kz2 + 4yz = x2 + 2(y+z)2 + (k-2)z2.令,,u xv y zw z=⎧⎪=+⎨⎪=⎩则100011001x uy vz w⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 其中100011001⎛⎫⎪-⎪⎝⎭可逆, 且f(x, y, z) = u2 + 2v2 + (k-2)w2.由此可见:当k < 2时, 二次曲面f(x, y, z) = 1为单叶双曲面;当k = 2时, 二次曲面f(x, y, z) = 1为椭圆柱面;当k > 2时, 二次曲面f(x, y, z) = 1为椭球面.八. (10分) 1. 设n阶方阵A的伴随矩阵A* ≠O, η1, η2是非齐次线性方程组Ax = b 的两个不同的解. 证明:(1) η1-η2为齐次线性方程组Ax = θ的一个基础解系.证明: 因为η1, η2是非齐次线性方程组Ax = b的两个不同的解,所以η1-η2是齐次线性方程组Ax = θ的非零解. 因而|A| = 0.又因为A* ≠O, 所以A至少有一个n-1阶子式不为零, 可见r(A) = n-1.因而Ax = θ的基础解系中只有一个解向量.所以η1-η2是齐次线性方程组Ax = θ的一个基础解系.(2) 存在不全为零的数k1, k2, ..., k n使得A* = (k1(η1-η2), k2(η1-η2), ..., k n(η1-η2)).证明: 由上题知|A| = 0. 于是AA* = |A|E = O, 可见A*的列向量都是Ax = θ的解.又因为η1-η2是齐次线性方程组Ax = θ的一个基础解系, 且A* ≠O,所以存在不全为零的数k1, k2, ..., k n使得A* = (k1(η1-η2), k2(η1-η2), ..., k n(η1-η2)).2. 设A为3阶实矩阵, 而且||Aα|| = ||α||对于任意的3维列向量α都成立. 证明: A为正交矩阵.证一: 设A = (α1, α2, α3), e1 = (1, 0, 0)T, e2 = (0, 1, 0)T, e3 = (0, 0, 1)T.由条件可知||αi|| = ||Ae i|| = ||e i|| = 1 (i = 1, 2, 3), 且对于任意的1 ≤i < j≤ 3, 有2 = ||e i + e j||2 = ||A(e i + e j)||2 = ||αi + αj||2 = ||αi||2 + 2αi Tαj + ||αj||2 = 2 + 2αi Tαj ,可见αi Tαj = 0.综上所述, A为正交矩阵.证二：由条件可知, 对于任意的3维列向量α, 有αT A T Aα = (Aα)T Aα = ||Aα||2 = ||α||2 = αTα = αT Eα.所以αT(A T A-E)α= 0, ∀α, 其中B=A T A-E为实对称矩阵.下证B= O. b ii = e i T Ae j = 0, (e i + e j)T A(e i + e j) = b ii+b jj +2 b ij= 0, 从而b ij= 0.所以A T A = E, 即A为正交矩阵.证三: 由条件可知, 对于任意的3维列向量α, 有αT A T Aα = (Aα)T Aα = ||Aα||2 = ||α||2 = αTα = αT Eα,其中A T A, E为实对称矩阵.可见A T A, E是同一个二次型x T A T Ax = x T Ex的矩阵,因而A T A = E, 即A为正交矩阵.证四: 设A = (α1, α2, α3), α = (x1, x2, x3)T. 由条件可知α1Tα1x12 + α2Tα2x22 + α3Tα3x32 + 2α1Tα2x1x2 + 2α1Tα3x1x3 + 2α2Tα3x2x3= (A α)T A α = ||A α||2 = ||α||2 = x 12 + x 22 + x 32.由α的任意性可知α1T α1 = α2T α2 = α3T α3 = 1, α1T α2 = α1T α3 = α2T α3 = 0, 因而A T A = E , 即A 为正交矩阵.证五：由条件可知, 对于任意的3维列向量α, 有αT A T A α = (A α)T A α = ||A α||2 = ||α||2 = αT α = αT E α,其中A T A , E 为实对称矩阵. 所以αT (A T A -E )α = 0, ∀α.可见二次型x T (A T A -E )x 的矩阵为O .因而由惯性定理可知，存在可逆矩阵P ，使得P T (A T A -E )P = O. 所以A T A = E , 即A 为正交矩阵.证六：由条件可知, 对于任意的3维列向量α, 有αT A T A α = (A α)T A α = ||A α||2 = ||α||2 = αT α = αT E α.所以αT (A T A -E )α = 0, ∀α, 其中A T A - E 为实对称矩阵.从而存在正交变换α=Qy, 使得f (α)=αT (A T A -E )α = λ1y 12 +λ2y 22+λ3y 32= 0, 注意到上式对于任意的y 都成立，所以λ1=λ2=λ3= 0. 因而存在正交矩阵Q ，使得Q T (A T A -E )Q = O. 所以A T A = E , 即A 为正交矩阵.证七：设111213121222323132333,a a a b A a a a b a a a b α⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()()()()()()2222222211112213321122223331132233312322222222222211213111222322132333311122122313212111321233133131213222332222A a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a b a a a b a a a b a a a a a a b b a a a a a a b b a a a a a αα=⇒++++++++=++⇒+++++++++++++++++()2223323123a b b b b b =++22211213122212223222213233311122122313211132123313312132223323311100a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧++=⎪++=⎪⎪++=⎪⇒⎨++=⎪⎪++=⎪++=⎪⎩ 222112131111221223132111321233133222111221223132122232121322233233222111321233133121322233233132333100010001T a a a a a a a a a a a a a a a A A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a ⎛⎫++++++⎛⎫⎪ ⎪⇒=++++++= ⎪ ⎪⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭所以A T A = E , 即A 为正交矩阵.。
