【最新推荐】2021版江苏高考数学一轮复习课后限时集训25 简单的三角恒等变换 Word版含解析

第三节ꢀ三角恒等变换内容索引【教材·知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos αcos β+sin αsin β(α-β)C：cos(α-β)=__________________________.ꢀcos αcos β-sin αsin β(α+β)C：cos(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β+cos αsin β(α+β)S：sin(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β-cos αsin β(α-β)S：sin(α-β)=__________________________.ꢀT：tan(α+β)=____________(α，β，α+β≠+kπ，k∈Z). (α+β)：tan(α-β)=____________ (α，β，α-β≠+kπ，k∈Z). T(α-β)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin αcos αS：sin 2α= ______________.ꢀ2αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2αC：cos 2α=____________ = _________ =_________.：tan 2α=__________.T2α【常用结论】1.一组重要关系2.四个必备结论(1)降幂公式：cos2α=，sin2α=.(2)升幂公式：1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)1+sin 2α=(sin α+cos α)2，1-sin 2α=(sin α-cos α)2，sin α±cos α=.(4)辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ)【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(ꢀꢀ)(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(ꢀꢀ)(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β) (1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(ꢀꢀ)(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(ꢀꢀ)提示:(1)√.(2)√.(3)×.变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ(k∈Z).(4)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T212忽视角的范围导致符号错误不知道化简方向考点二、角度13不能准确建立数学模型考点三、T1【教材·基础自测】1.(必修4P138练习AT2改编)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选D.sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°) =sin30°=.2.(必修4P136例1改编)若cosα=,α是第三象限的角,则sin等于(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选C.因为α是第三象限的角,所以所以3.(必修4P144 练习AT2改编)已知sinα-cosα=,则sin2α= (ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.sin2α=2sinαcosα==.4.(必修4P144练习BT1(4)改编)=.【解析】答案:考点一ꢀ三角函数式的化简求值【题组练透】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(ꢀꢀ)2.计算:3.化简:=________.ꢀ=________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.2.答案:3.原式==1.答案:1【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式==1.三角形法解T1,因为α∈,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.考点二ꢀ条件求值问题命题考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.精解(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.读怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.学霸好方法(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=（其中sin φ=,cos φ=sin(x+φ)）【命题角度1】给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:=________.ꢀ【解析】=4.答案:4【解后反思】给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.【命题角度2】给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.ꢀ2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan,则tan α=________.ꢀ【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=.答案:2.因为tan=tan所以,解得tan α=.答案:【解后反思】给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【命题角度3】给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=,α,β均为锐角,则角β值是________.世纪金榜导学号【解析】因为α,β均为锐角,所以<α-β<.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,所以β=.答案:【解后反思】如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.【题组通关】【变式巩固·练】1.化简:=________.【解析】原式=答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,,则A+B=()且sin B=【解析】选C.因为所以即sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=为钝角,得cos B=-sin Asin B=由sin B=,且B 所以cos(A+B)=cos Acos B 又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos=()【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),所以sin α=所以cos=cos αcos+sin αsin【综合创新·练】1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°) =sin215°-cos215°=-cos 30°=.2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=________.【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-,所以β=.cos αsin(α-β)=答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.世纪金榜导学号【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sin α,PN=2-cos α,则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-,因为0≤α<,所以故当α+,即α=时,周长C有最小值6-2.2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.(2)求函数y=的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)看到“求函数y= y=的值域”,想到先化简(2)【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=或.(2)y=因此,函数的值域是.【规律方法】1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;②利用公式T=(ω>0)求周期;。

2025届新高考一轮复习特训 三角恒等变换一、选择题1．在ABC △中，D 为边BC 上一点，DAC ∠=4AD =，2AB BD =，且ADC △的面积为ABD ∠=( )2．sin20cos40cos20cos50+︒︒︒︒的值是( )C.3．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=α=( )4．已知25cos 2cos αα+=,()cos 2αβ+=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ3,22β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos β的值为( )A.cos 0θθ-=,则tan 2θ=( )A.-6．已知α为锐角，cos α=2α=( )7．已知()sin αβ-=3tan αβ=,则()sin αβ+=( )8．已知πcos6α⎛⎫-=⎪⎝⎭π26α⎛⎫+=⎪⎝⎭( )A.C.二、多项选择题9．在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin()sin()3sin2BA B A A-++=，且c==A.22cos15︒ B.sin27cos3cos27sin3︒︒+︒︒C.2sin15sin75︒11．下列化简正确是( )A.sin45cos451︒︒=B.22ππcos sin1212-=4040sin80︒+︒=三、填空题12．已知tanα，tanβ是方程2330x x--=的两个实数根，()tan22αβ+=________. 13．(1tan13)(1tan32)+︒+︒=________.14．已知()()4tan114tan17A B+-=,则()tan A B-=________.四、解答题15．已知sinα=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求πsin4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（2）若tanβ=tan2()αβ-的值.16．在ABC△=的12=（1）求C ;（2）若32a b c +=且,求的外接圆半径.17．记ABC △1sin A =+.(1)若A B =,求C ；18．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =5=，cos A =（1）求B ；（2）设D 是AB 边上点，且3AB AD =，求证：CD AB ⊥.19．在ABC △中,角A ,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos b A c+=（1）求B 的大小;（2）若c =2b +=,求ABC △的面积.（3）已知πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.3a =ABC △参考答案1．答案：A解析：因为11sin 422ADC S AD AC DAC AC =⋅∠=⨯⨯=△4AC =，所以ADC △为等腰三角形，则ADC ∠=在△=sin DBBAD =∠，解得sin BAD ∠=因为ADB ∠=BAD为锐角，所以cos BAD ∠==所以()πsin sin sin 6ABD ADC BAD BAD ⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 66BAD BAD -∠==∠故选：A 2．答案：A解析：原式sin20cos40cos20sin 40sin 60=︒︒︒︒=︒=+故选：A.3．答案：B解析：因为tan2α==π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin02α≠，所以22cos 2cos α-=cos 1cos αα-=+，所以cos α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以α=α=解析：25cos 2cos αα+= ,210cos cos 30αα∴--=,cos α∴=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3cos 5α=432255α=⨯⨯=ππ,42α⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭(2π,3π)αβ+∈,coscos(22)cos(2)cos 2sin(2)sin 2βαβααβααβα∴=+-=+++故选：B.5．答案：Bcos 0θθ-=,得tan θ=则22tan tan 21tan θθθ===-故选:B.6．答案：D解析：法一：由题意，，又为锐角，所以，所以法二：由题意，2cos 12sin α==-22α=，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D.sin α∴=222cos sin ααα=-=()cos 2αβ+=()3sin 25αβ∴+=47324525525=-⨯+⨯=2cos 12sin α==-22sin 2α===αsin 02α>sin2α=解析：由tan 3tan αβ==cos 3cos sin αβαβ=,又()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-=sin αβ=cos αβ=所以()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=8．答案：A解析：ππππsin 2cos 2cos 2cos26336αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22ππ1cos22cos 121663αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9．答案：AD解析：因为sin()sin()3sin 2B A B A A -++=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 32sin cos B A B A B A B A A A -++=⨯，即sin cos 3sin cos B A A A =.当cos 0A =，即A ===sin c C ==当cos 0A ≠时，sin 3sin B A =，由正弦定理可得3b a =，由余弦定理可得22222(3)7cos 223a b c a a C ab a a +-+-===⋅1=（负值舍去）.综上，1a =或a =10．答案：BCD解析：选项A ：22cos 151cos301︒=+︒=选项B ：sin 27cos3cos 27sin 3sin 30︒︒+︒︒=︒=选项C ：2sin15sin 752sin15cos15sin 30︒=︒︒=︒=212tan 22.51tan 4521tan 22.52︒=⋅=⋅︒=-︒故选：BCD.11．答案：BCD解析：A:因为()11sin 45cos 45sin 245sin 9022︒︒=⨯︒=︒=所以本选项不正确;B:因22ππππcos sin cos 2cos 1212126⎛⎫-=⨯== ⎪⎝⎭所以本选项正确;()4040cos 60sin 40sin 60cos 40sin 6040︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒()sin 18080sin 80=︒-︒=︒,所以本选项正确;()11tan 222.5tan 4522=⨯︒=︒=所以本选项正确,故选:BCD 解析：tan ,tan αβ是方程2330x x --=的两个实数根，则有tan tan 3αβ+=，tan tan 3αβ=-，因此()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++==-()()()232tan22291tan 116αβαβαβ++===-+-.13．答案：2解析：因为()tan13tan 32tan 45tan 133211tan13tan 32︒+︒︒=︒+︒==-︒︒,整理得tan13tan 32tan13tan 321︒+︒+︒︒=,所以(1tan13)(1tan 32)1tan 32tan13tan 32tan13112+︒+︒=+︒+︒+︒︒=+=.故答案为:214．答案：4为解析：因为()()4tan 114tan 17A B +-=,所以()tan tan 41tan tan A B A B -=+⋅,所以()tan tan tan 41tan tan A BA B A B--==+⋅,故答案为:4（2）13tan(2)9αβ-=解析：（1）因为sin α=π0,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α==所以ππsin sin cos cos 44ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭3455==（2）由（1）tan α=232tan 291tan 116ααα===--所以()241tan2tan73tan 22411tan2tan 173αβαβαβ---===++⨯16．答案：（1）2π3C ==sin 2sin cos A B C B +=,且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=,则2sin cos sin 0B C B +=,且()0,πB ∈,则sin 0B ≠,可得cos C =且()0,πC ∈,所以C =（2）因为32a b c +=且3a =,则290b c =->,可得c >由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,即()()22192923292c c c ⎛⎫=+--⨯-⨯- ⎪⎝⎭,整理可得210210c c -+=,解得7c =或3c =（舍去）,所以ABC△的外接圆半径2sin cR C===17．答案：（1）答案见解析（2）()0,1解析：（1）由A B=1sin A =+1sin A =+,则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10AA +-=,解之得sin A =1A =-又0A <<A =B =2π3=（2）A ,B 为ABC△的内角,则1sin 0A +>1sin =+0>,则A 、B 均为锐角222cos sin 1tancos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan222A A AA AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又0B <<π42A <-<π4B =π4B <<则π22A B =-,则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭22sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos cos cos b A b B B B b B b B B B-====-令cos t B =π04B ⎛<< ⎝1t <<又()2f t t =⎫⎪⎪⎭单调递增,0f =,(1)1f =可得1021t t <-<,则2cos B -)0,1,)0,1（2）详见解析解析：（1） 在ABC △中，内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 0A=>，∴sin A ==5=，∴sin sinb A B a ===又5ba =>=，A B >，∴B=（2） ()sin sin C A B =+=+=∴sin sin a Cc A===∵23CD BD BC BA BC =-=-∴(222220333CD BA BA BC BA BA BC BA ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭，∴CD BA ⊥ ，∴CD AB ⊥.19．答案：（1）π6B =解析：（1）cos b A c = ,∴由正弦定理可得sin cos sin B A A C +=,又()sin sin sin cos cos sin ,C A B A B A B =+=+sin cos A A B =sin 0A ≠,cos B ∴=()0,πB ∈ ,π6B ∴=;（2）π6B = ,c =∴由余弦定理可得cosB ==2233b a -+=,又2a b +=,解得1a b ==,111cos 1222ABC S a B ∴==⨯=△;（3）因为απ5π36α<+<又因为π4πsin sin 353α⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以α则π3cos ,35α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ππππ3sin sin cos 63235ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

１．常用的公式变形（１）由（sin α±cos α）２＝sin２α＋cos２α±２sin αcos α＝１±sin ２α.（２）由（sin α±cos α）２＝１±sin ２α⇒错误!（３）tan α±tan β＝tan（α±β）（１∓tan αtan β）；cos２α＝错误!，sin２α＝错误!.（４）sin α±cos α＝错误!sin错误!.２．几个常用的恒等变换（１）万能代换：sin α＝错误!；cos α＝错误!；tan α＝错误!.（２）恒等式：tan 错误!＝错误!＝错误!.[小题体验]１．计算：cos２错误!—错误!＝________.解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!２．已知sin错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，则tan x＝________.解析：因为sin错误!＝错误!，sin错误!＝错误!，两式展开相加得２sin x cos 错误!＝错误!，１两式相减得２cos x sin 错误!＝—错误!，２１２两式相除得tan x＝—7．答案：—7１．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错．２．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．[小题纠偏]１．（２0１9·镇江调研）已知x∈错误!，且sin ２x＝错误!，则sin x—cos x＝________.解析：∵x∈错误!，∴sin x＜cos x，又sin ２x＝错误!，∴sin x—cos x＝—错误!＝—错误!＝—错误!.答案：—错误!２．已知sin 错误!—cos 错误!＝—错误!，４５0°＜α＜５４0°，则tan 错误!＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝错误!，又４５0°＜α＜５４0°，所以cos α＝—错误!，所以tan 错误!＝错误!＝２．答案：２错误!错误![题组练透]１．化简：错误!＝________.解析：原式＝错误!＝２错误!cos α.答案：２错误!cos α２．化简：错误!（0＜θ＜π）．解：原式＝错误!＝cos错误!·错误!＝错误!.因为0＜θ＜π，所以0＜错误!＜错误!，所以cos错误!＞0，所以原式＝—cos θ.[谨记通法]１．三角函数式的化简要遵循“三看”原则２．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．错误!错误![锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有：（１）给值求值；（２）给角求值；（３）给值求角．[题点全练]角度一：给值求值１．（２0１8·启东中学高三测试）已知函数f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!，若f（α）＝错误!，则cos错误!＝________.解析：法一：f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!＝sin x cos x＋cos２x—错误!＝错误!sin ２x＋错误!—错误!＝错误!sin ２x＋错误!cos ２x＝错误!sin错误!，因为f（α）＝错误!，所以sin错误!＝错误!，所以cos错误!＝cos错误!＝sin错误!＝错误!.法二：f（x）＝cos x（sin x＋cos x）—错误!＝sin x cos x＋cos２x—错误!＝错误!sin ２x＋错误!—错误!＝错误!sin ２x＋错误!cos ２x，因为f（α）＝错误!，所以sin ２α＋cos ２α＝错误!，所以cos错误!＝cos 错误!cos ２α＋sin 错误!sin ２α＝错误!（cos ２α＋sin ２α）＝错误!×错误!＝错误!.答案：错误!角度二：给角求值２．化简：sin ５0°（１＋错误!tan １0°）＝________.解析：sin ５0°（１＋错误!tan １0°）＝sin ５0°错误!＝sin ５0°×错误!＝sin ５0°×错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝１．答案：１角度三：给值求角３．若sin ２α＝错误!，sin（β—α）＝错误!，且α∈错误!，β∈错误!，则α＋β＝________.解析：因为α∈错误!，所以２α∈错误!，因为sin ２α＝错误!，所以２α∈错误!.所以α∈错误!且cos ２α＝—错误!，又因为sin（β—α）＝错误!，β∈错误!，所以β—α∈错误!，cos（β—α）＝—错误!，所以cos（α＋β）＝cos[（β—α）＋２α]＝cos（β—α）cos ２α—sin（β—α）sin ２α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!，又α＋β∈错误!，所以α＋β＝错误!.答案：错误![通法在握]三角函数求值的类型及解题策略（１）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（２）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．（３）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定[演练冲关]１．已知cos错误!＝错误!，则cos错误!＝________.解析：∵cos错误!＝sin错误!＝错误!，∴cos错误!＝１—２sin２错误!＝１—２×错误!２＝错误!.答案：错误!２．错误!＝________.解析：原式＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．已知α∈错误!，tan错误!＝错误!，那么sin ２α＋cos ２α＝________.解析：由tan错误!＝错误!，知错误!＝错误!，所以tan ２α＝—错误!.因为２α∈错误!，所以sin ２α＝错误!，cos ２α＝—错误!.所以sin ２α＋cos ２α＝—错误!.答案：—错误!错误!错误![典例引领]１．（２0１9·睢宁模拟）已知函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin２x—错误!.（１）求函数f（x）的单调递增区间；（２）若x∈错误!，f（x）＝错误!，求cos ２x的值．解：（１）函数f（x）＝错误!cos x cos错误!＋sin２x—错误!＝错误!sin x cos x＋错误!—错误!＝sin 错误!，令２kπ—错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!，k∈Z，得kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为错误!，k∈Z.（２）∵x∈错误!，∴２x—错误!∈错误!，又f（x）＝sin错误!＝错误!，∴cos错误!＝错误!＝错误!，∴cos ２x＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.２．已知函数f（x）＝５sin x cos x—５错误!cos２x＋错误!（其中x∈R），求：（１）函数f（x）的单调区间；（２）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．解：（１）因为f（x）＝错误!sin ２x—错误!（１＋cos ２x）＋错误!＝５错误!＝５sin错误!，由２kπ—错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!（k∈Z），得kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的单调增区间为错误!（k∈Z）．由２kπ＋错误!≤２x—错误!≤２kπ＋错误!（k∈Z），得kπ＋错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的单调减区间为错误!（k∈Z）．（２）由２x—错误!＝kπ＋错误!（k∈Z），得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的对称轴方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z）．由２x—错误!＝kπ（k∈Z），得x＝错误!＋错误!（k∈Z），所以函数f（x）的对称中心为错误!（k∈Z）．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的２个注意点（１）三角函数的性质问题，往往都要先化成f（x）＝A sin（ωx＋φ）＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．（２）要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用]（２0１9·南通中学检测）已知函数f（x）＝cos２错误!，g（x）＝１＋错误!sin ２x.（１）设x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，求g（２x0）的值；解：（１）f（x）＝cos２错误!＝错误!，∵x＝x0是函数y＝f（x）图象的一条对称轴，∴２x0＋错误!＝kπ（k∈Z），∴２x0＝kπ—错误!（k∈Z），∴g（２x0）＝１＋错误!sin ４x0＝１＋错误!sin错误!＝错误!.（２）h（x）＝f（x）＋g（x）＝错误!＋１＋错误!sin ２x＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!sin错误!，∵x∈错误!，∴２x＋错误!∈错误!，∴sin错误!∈错误!，∴h（x）＝错误!＋错误!sin错误!∈错误!.即函数h（x）在错误!上的值域为错误!.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·东台期末）已知α∈（0，π），tan α＝２，则cos ２α＋cos α＝________.解析：由α∈（0，π），tan α＝２＝错误!，得α为锐角，结合sin２α＋cos２α＝１，可得sin α＝错误!，cos α＝错误!，∴cos ２α＋cos α＝２cos２α—１＋cos α＝２×错误!—１＋错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏州高三期中调研）已知tan错误!＝２，则cos ２α＝________.解析：cos ２α＝sin错误!＝２sin错误!cos错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：—错误!３．（２0１8·通州期末）已知cos错误!＝错误!，则sin错误!＝________.解析：∵cos错误!＝错误!，∴sin错误!＝sin错误!＝cos错误!＝２cos２错误!—１＝２×错误!２—１＝—错误!.答案：—错误!解析：原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!５．已知tan（３π—x）＝２，则错误!＝________.解析：由诱导公式得tan（３π—x）＝—tan x＝２，故错误!＝错误!＝错误!＝—３．答案：—３6．（２0１9·宜兴检测）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足４cos２错误!—cos ２（B＋C）＝错误!，则角A的大小为________．解析：由４cos２错误!—cos ２（B＋C）＝错误!，得２（１＋cos A）—cos ２（π—A）＝错误!，化简得４cos２A—４cos A＋１＝0，解得cos A＝错误!，∵0＜A＜π，故A＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１8·金陵中学检测）已知sin错误!＝cos错误!，则cos ２α＝________.解析：因为sin错误!＝cos错误!，所以错误!cos α—错误!sin α＝错误!cos α—错误!sin α，即错误!sin α＝—错误!cos α，所以tan α＝错误!＝—１，所以cos ２α＝cos２α—sin２α＝错误!＝错误!＝0．答案：0２．（２0１9·苏州中学模拟）已知α∈错误!，sin错误!＝错误!，则tan ２α＝________.解析：由sin错误!＝—cos α＝错误!，可得cos α＝—错误!.又α∈错误!，∴sin α＝错误!，tan α＝错误!＝—错误!，∴tan ２α＝错误!＝错误!.３．（２0１8·通州期中）计算：tan ２0°＋tan ４0°＋错误!tan ２0°·tan ４0°＝________.解析：tan ２0°＋tan ４0°＋错误!tan ２0°tan ４0°＝tan 60°（１—tan ２0°tan ４0°）＋错误!tan ２0°tan ４0°＝错误!—错误!tan ２0°tan ４0°＋错误!tan ２0°tan ４0°＝错误!.答案：错误!４．已知tan α，tan β是方程x２＋３错误!x＋４＝0的两根，且α，β∈错误!，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝—３错误!＜0，tan αtan β＝４＞0，所以tan（α＋β）＝错误!＝错误!，且tan α＜0，tan β＜0，又α，β∈错误!，故α，β∈错误!，所以α＋β∈（—π，0），所以α＋β＝—错误!.答案：—错误!５．（２0１9·如东中学月考）已知cos错误!＝错误!，错误!≤α≤错误!，则cos错误!＝________.解析：∵错误!≤α≤错误!，cos错误!＝错误!＞0，∴错误!＜α＋错误!≤错误!，∴sin错误!＝—错误!＝—错误!，∴sin α＝sin错误!＝错误!sin错误!—错误!cos错误!＝—错误!，cos α＝—错误!＝—错误!，∴cos ２α＝２cos２α—１＝—错误!，sin ２α＝２sin αcos α＝错误!，则cos错误!＝错误!cos ２α—错误!sin ２α＝—错误!.答案：—错误!6．已知cos（α＋β）＝错误!，cos（α—β）＝错误!，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos（α＋β）＝错误!，所以cos αcos β—sin αsin β＝错误!.１因为cos（α—β）＝错误!，所以cos αcos β＋sin αsin β＝错误!.２１＋２得cos αcos β＝错误!.２—１得sin αsin β＝错误!.答案：错误!7．若tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，则sin错误!＝________.解析：由tan α＋错误!＝错误!，得错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，所以sin ２α＝错误!.因为α∈错误!，所以２α∈错误!，所以cos ２α＝—错误!.所以sin错误!＝sin ２αcos 错误!＋cos ２αsin 错误!＝错误!×错误!＝—错误!.答案：—错误!8．（２0１9·南京模拟）若tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，则sin错误!＋２cos错误!cos２α的值为________．解析：∵tan α＋错误!＝错误!，α∈错误!，∴tan α＝３或tan α＝错误!（舍去），则sin错误!＋２cos错误!cos２α＝sin ２αcos错误!＋cos ２αsin错误!＋错误!·错误!＝错误!sin ２α＋错误!cos ２α＋错误!＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!＝错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!＝0．答案：09．（２0１8·南通调研）已知sin错误!＝错误!，α∈错误!.求：（１）cos α的值；（２）sin错误!的值．解：（１）因为α∈错误!，所以α＋错误!∈错误!，又sin错误!＝错误!，所以cos错误!＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos 错误!＋sin错误!sin 错误!＝—错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.（２）因为α∈错误!，cos α＝—错误!，所以sin ２α＝２sin αcos α＝２×错误!×错误!＝—错误!，cos ２α＝２cos２α—１＝２×错误!２—１＝—错误!.所以sin错误!＝sin ２αcos 错误!—cos ２αsin 错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!.１0．（２0１9·扬州调研）已知cos错误!＝错误!，α∈错误!.（１）求sin α的值；（２）若cos β＝错误!，β∈（0，π），求cos（α—２β）的值．解：（１）∵cos错误!＝错误!，α∈错误!，∴sin错误!＝错误!＝错误!，∴sin α＝sin错误!＝sin错误!cos错误!—cos错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）由（１）知cos α＝错误!＝错误!，∵cos β＝错误!，β∈（0，π），∴sin β＝错误!＝错误!，∴cos ２β＝２cos２β—１＝—错误!，sin ２β＝２sin βcos β＝２×错误!×错误!＝错误!，∴cos（α—２β）＝cos αcos ２β＋sin αsin ２β＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·启东高三测试）若sin ２α＝２cos错误!，则sin ２α＝________.解析：因为sin ２α＝２cos错误!，所以sin２２α＝４cos２错误!，即sin２２α＝４×错误!，所以sin ２２α＝２（１＋sin ２α），解得sin ２α＝１±错误!，显然sin ２α＝１＋错误!不成立，所以sin ２α＝１—错误!.答案：１—错误!２．化简：cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!＝________.解析：原式＝—cos错误!cos错误!cos错误!cos错误!cos 错误!＝—错误!＝—错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（—３，错误!）．（１）求sin ２α—tan α的值；（２）若函数f（x）＝cos（x—α）cos α—sin（x—α）sin α，求函数g（x）＝错误!f错误!—２f２（x）在区间错误!上的值域．解：（１）因为角α的终边经过点P（—３，错误!），所以sin α＝错误!，cos α＝—错误!，tan α＝—错误!.所以sin ２α—tan α＝２sin αcos α—tan α＝—错误!＋错误!＝—错误!.（２）因为f（x）＝cos（x—α）cos α—sin（x—α）sin α＝cos x，x∈R，所以g（x）＝错误!cos错误!—２cos２x＝错误!sin ２x—１—cos ２x＝２sin错误!—１，因为0≤x≤错误!，所以—错误!≤２x—错误!≤错误!.所以—错误!≤sin错误!≤１，所以—２≤２sin错误!—１≤１，故函数g（x）＝错误!f错误!—２f２（x）在区间错误!上的值域是[—２,１]．。

江苏省2021届高三数学高考一轮复习三角恒等变换专题学案备课人：一、知识梳理1.同角三角函数关系平方关系： ⇒{sin 2α=1−cos 2αsin α=±√1−cos 2αcos 2α=1−sin 2αcos α=±√1−sin 2α （±取决于α所在象限时对应三角函数值的正负）商数关系： 2.诱导公式奇变偶不变：指角)2(παn±±中n 为奇数时，三角函数名称改变，即ααcos sin ↔ααcot tan ↔；n 为偶数时三角函数名称不变符号看象限：把角α看成锐角，看)2(παn±±在第几象限，从而得到等式右边是正号还是负号常见：ααπsin )2sin(=+k ααπsin )sin(-=+ααπcos )2cos(=+k ααπcos )cos(-=+ ααπtan )2tan(=+k ααπtan )tan(=+ααsin )sin(-=- ααπsin )sin(=-ααcos )cos(=- ααπcos )cos(-=- ααtan )tan(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=- ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(=- ααπsin )2cos(-=+3.两角和与差sin(α±β)= cos(α±β)= tan(α±β)= 4.二倍角公式、降幂公式、半角公式sin 2α= ⇔sin α⋅cos α=12sin 2α⎪⎩⎪⎨⎧---=ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα-=⇔+=⇔2cos 12sin2cos 12cos αααα-±=⇔+±=⇔tan 2α= αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±=5.辅助角公式A sin α+b cos α= ))2,2(,0(ππϕ-∈>A 其中，AB=ϕtan 常用：12sin α±√32cos α= sin α±√3cos α=√32sin α±12cos α= √3sin α±cos α= √22sin α±√22cos α= sin α±cos α=6.凑角[])()(21)(βαβαββαα-++=-+= )4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++= 4560304515-=-=)4(24αππαπ--=+ ……7.三倍角公式sin 3α= cos 3α= 8.万能公式sin 2α= cos 2α= 二、 课前练习1.A.B.C.D. 42.已知，则A. B. C. D.3.（多选）下列四个等式其中正确的是A.B.C.D.4.已知，若，则______．5.已知且，则______．6.已知，为锐角，，．Ⅰ求的值；Ⅱ求的值．三、例题讲解1.设，、，则有A. B. C. D.【分析】利用三角恒等变换化，，，再根据函数的单调性判断．本题考查了三角函数值比较大小的应用问题2.已知是锐角，且，则______．【分析】由题意可得，进而由二倍角公式可得和，代入化简可得．本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数基本关系和二倍角公式3.已知函数在时的最小值为m，最大值为M，若，则的取值范围为______．【分析】先根据辅助角公式将函数y化简为，从而得，当时，，由此可推出或，进而得到，再结合正弦函数的图象可知，，解之得t的取值范围，故而得解．4.已知，，其中，求的值；求的值．【分析】根据三角函数的同角关系，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．利用两角和差的正弦公式弦求出的值，结合角的范围进行求解．本题主要考查三角函数值的化简和求值，结合两角和差的正弦公式，利用配凑法是解决本题的关键．四、课后练习1.若，则A. B. C. 4 D. 52.已知，是一元二次方程的两实根，则A. B. C. D.3.化简A. B. C. D.4.（多选）下列各式中，值为的是A. B.C. D.5.已知，_______．6.已知向量，且向量与共线，其中．求的值；求的值．五、反思与总结①在求三角函数值时常常用到的是诱导公式，倍角公式；②在角的处理要有整体处理的思想③计算时要注意公式，符号自我总结：。

课时过关检测（二十五） 简单的三角恒等变换A 级——基础达标1．若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝( )A ．2B ．12C ．3D ．13解析：选A ∵sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)， ∴sin αcos β＝2cos αsin β，∴tan α＝2tan β， 即tan αtan β＝2，故选A ． 2．计算：1－cos210°cos 80°1－cos 20°等于( )A ．22B ．12C ．32D ．－22解析：选A 1－cos210°cos 80°1－cos 20°＝错误! ＝sin210°2sin210°＝22. 3．若2cos2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝4，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：选C ∵2cos2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α－12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝4， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝1＋tan 2α1－tan 2α＝14.故选C ．4．(2021·安徽省部分重点学校联考)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝( )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C 法一：因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，又sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，所以cos α＝1－sin2α＝255，cos(α－β)＝错误!＝错误!，则sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1010＝22，则β＝π4，故选C ．法二：因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，又sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，所以cos α＝1－sin2α＝255，cos(α－β)＝错误!＝错误!，则cos β＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1010＝22，则β＝π4，故选C ． 5．(多选)已知sin α＝－45，180°<α<270°，则下列选项正确的是( )A ．sin 2α＝－2425B ．sin α2＝255C ．cos α2＝－55D ．tan α2＝－2解析：选BCD ∵180°<α<270°，∴cos α＝－35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝2425，故A 错误．∵90°<α2<135°，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝255；cos α2＝－1＋cos α2＝ 1－352＝－55；tan α2＝sinα2cosα2＝－2，故B 、C 、D 均正确． 6．(多选)(2021·河北石家庄第二中学模拟)已知0<θ<π4，若sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，且m ≠n ，则下列选项中与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ恒相等的有( )A ．n1＋mB ．m1＋nC ．1－n mD ．1－m n解析：选AD ∵sin 2θ＝m ，cos 2θ＝n ，∴m 2＋n 2＝1，∴1－m n ＝n1＋m .∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.故选A 、D.7.sin 20°－sin 40°cos 20°－cos 40°＝ . 解析：原式＝2cos 20°＋40°2sin20°－40°2－2sin 20°＋40°2sin20°－40°2＝错误!＝－3212＝－3.答案：－3 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝ . 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos α－32sin α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45.答案：－459．已知α，β均为锐角，且cos(α－β)＝35，cos(α＋β)＝15，则tan α·tan β＝ .解析：由题意知，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35，①cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，②由①②得，cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：1210．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ .解析：∵2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0， ∴(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝错误! ＝24cos α＝268.答案：26811．(2021·昆明市高考三诊一模)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13.(1)求证：sin α cos β＝5cos α sin β；(2)若已知0＜α＋β＜π2，0＜α－β＜π2，求cos 2α的值．解：(1)证明：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，∴2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，① 3sin αcos β－3cos αsin β＝1，② ②－①得sin αcos β－5cos αsin β＝0， 则sin αcos β＝5cos αsin β.(2)∵sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，0＜α＋β＜π2，0＜α－β＜π2，∴cos(α＋β)＝32，cos(α－β)＝223，则cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝32×223－12×13＝26－16. 12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32＋33＝－36.(2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．B 级——综合应用13．已知f (tan x )＝sin 2x －sin 2x ，记sin α＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，其中α是第四象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．17B ．－17C ．7D ．－7解析：选A ∵f (tan x )＝sin2x －2sin xcos x sin2x ＋cos2x ＝tan2x －2tan x tan2x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－35，即sin α＝－35.又α是第四象限角，∴cos α＝45，∴tan α＝－34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.故选A ．14．(多选)(2021·青岛市高三质量检测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( )A ．－2≤f (x )≤2B ．f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C ．f (x )的最小正周期为πD ．x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴解析：选ACD 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x ·cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，对于A ：－2≤f (x )≤2，A 正确；对于B ：令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝kπ2＋π12，k ∈Z ，所以f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误； 对于C ：f (x )的最小正周期为π，C 正确；对于D ：将x ＝π3代入函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝2，所以x ＝π3为f (x )图象的一条对称轴，D 正确．故选A 、C 、D.15.如图，现要在一块半径为1 m ，圆心角为π3的扇形白铁片AOB 上剪出一个平行四边形MNPQ ，使点P 在弧AB 上，点Q 在OA 上，点M ，N 在OB 上，设∠BOP ＝θ，平行四边形MNPQ 的面积为S .(1)求S 关于θ的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的θ角．解：(1)如图，分别过P ，Q 作PD ⊥OB 于点D ，QE ⊥OB 于点E ，则四边形QEDP 为矩形．由扇形半径为1 m ，得PD ＝sin θ，OD ＝cos θ.在Rt △OEQ 中，OE ＝33QE ＝33PD ＝33sin θ，MN ＝QP ＝DE ＝OD －OE ＝cos θ－33sin θ，S ＝MN ·PD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫cos θ－33sin θ·sin θ＝sin θcos θ－33sin 2θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3. (2)S ＝12sin 2θ－36(1－cos 2θ)＝12sin 2θ＋36cos 2θ－36 ＝33sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－36，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以2θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.当θ＝π6时，S max ＝36(m 2)．C 级——迁移创新16.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池1丈见方(即CD ＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设θ＝∠BAC ，现有下述四个结论：①水深为12尺；②芦苇长为15尺；②tan θ2＝23；④tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－177.其中所有正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．①③④ C ．①④D ．②③④解析：选B 设BC ＝x 尺，则AC ＝(x ＋1)尺， 在Rt △ABC 中，∵AB ＝5，∴52＋x 2＝(x ＋1)2， ∴x ＝12. ∴tan θ＝125，∴tan θ＝2tanθ21－tan2θ2＝125，解得tan θ2＝23(负根舍去)．∵tan θ＝125，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝－177，故正确结论的序号为①③④.故选B.。