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第八章 聚类分析

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聚类分析_精品文档

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1聚类分析内涵1.1聚类分析定义聚类分析（Cluste.Analysis）是一组将研究对象分为相对同质的群组(clusters)的统计分析技术.也叫分类分析(classificatio.analysis)或数值分类(numerica.taxonomy), 它是研究（样品或指标）分类问题的一种多元统计方法, 所谓类, 通俗地说, 就是指相似元素的集合。

聚类分析有关变量类型:定类变量,定量(离散和连续)变量聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性, 不同类中的个体差异很大。

1.2聚类分析分类聚类分析的功能是建立一种分类方法, 它将一批样品或变量, 按照它们在性质上的亲疏、相似程度进行分类.聚类分析的内容十分丰富, 按其聚类的方法可分为以下几种:(1)系统聚类法: 开始每个对象自成一类, 然后每次将最相似的两类合并, 合并后重新计算新类与其他类的距离或相近性测度. 这一过程一直继续直到所有对象归为一类为止. 并类的过程可用一张谱系聚类图描述.(2)调优法(动态聚类法): 首先对n个对象初步分类, 然后根据分类的损失函数尽可能小的原则对其进行调整, 直到分类合理为止.(3)最优分割法(有序样品聚类法): 开始将所有样品看成一类, 然后根据某种最优准则将它们分割为二类、三类, 一直分割到所需的K类为止. 这种方法适用于有序样品的分类问题, 也称为有序样品的聚类法.(4)模糊聚类法: 利用模糊集理论来处理分类问题, 它对经济领域中具有模糊特征的两态数据或多态数据具有明显的分类效果.(5)图论聚类法: 利用图论中最小支撑树的概念来处理分类问题, 创造了独具风格的方法.(6)聚类预报法：利用聚类方法处理预报问题, 在多元统计分析中, 可用来作预报的方法很多, 如回归分析和判别分析. 但对一些异常数据, 如气象中的灾害性天气的预报, 使用回归分析或判别分析处理的效果都不好, 而聚类预报弥补了这一不足, 这是一个值得重视的方法。

第八章聚类分析

第八章聚类分析

第一节 聚类分析概述
三、聚类分析注意事项
1、所选择的变量应符合聚类的要求 2、各变量的变量值不应有数量级上的差异 3、各变量之间不应有较强的线性相关关系
第二节 层次聚类
层次聚类，又称为系统聚类、分层聚 类，即聚类过程具有一定的层次性。
第二节 层次聚类
一、层次聚类的两种类型和两种方式
1、两种类型
姓名 性别 发烧 咳嗽 检查1 检查2 检查3 检查4
张三 男 1 0 1
0
0
0
李四 女 1 0 1
0
1
0
王五 男 1 1 0
0
0
0
d(张,李 三) 四 01 0.33 d(张,王 三)五 11 0.67
201
101
d(李,王 四)五 1 1 1 220.75结似论的:病张; 三李和四李和四王最五有不可太能可得能类
编号 购物环境 服务质量
A
73
68
B
66
69
C
84
82
D
91
88
E
94
90
两类:(A B)、(C D E) 三类:(A B)、(C)、(D E)
第一节 聚类分析概述
二、亲疏程度的度量方法
➢ 相似性:数据间相似程度的度量。 ➢ 距离: 数据间差异程度的度量。距离越近,越
“亲密”,聚成一类;距离越远,越“疏远”,分别 属于不同的类。
第二节 层次聚类
• 以分解的方式聚类 – 首先,所有个体都属于一类 – 其次,将大类中最“疏远”的小类或个体分离出去 – 然后,分别将小类中最“疏远”的小类或个体再分离出去 – 重复上述过程,即：把类分解成越来越小的小类，直到所 有的个体自成一类为止 – 可见,随着聚类的进行,类内的亲密性在逐渐增强

第8章：聚类分析

第8章：聚类分析

第8章聚类分析与判别分析分类学是人类认识世界的基础科学。

聚类分析和判别分析是研究事物分类的基本方法。

聚类分析聚类分析(Cluster Analysis)是根据事物本身的特性研究个体分类的方法。

聚类分析的原则是同一类中的个体有较大的相似性,不同类中的个体差异很大。

根据分类对象的不同分为样品聚类和变量聚类。

1.样品聚类样品聚类在统计学中又称为Q型聚类。

用SPSS的术语来说就是对事件(Cases)进行聚类,或是说对观测量进行聚类。

是根据被观测的对象的各种特征,即反映被观测对象的特征的各变量值进行分类。

样品聚类是进行判别分析之前的必要工作。

根据样品聚类的结果进行判别分析,得出判别函数,进而对其他研究对象属于哪一类作出判断。

例如在选拔少年运动员时首先要根据少年的身体形态、身体素质、心理素质、生理功能的各种指标(变量)进行测试,得到各种指标的测试值(变量值),据此对少年进行分类。

根据分类结果再求得出选材的判别函数,作为选材的依据。

2.变量聚类变量聚类在统计学中又称为R型聚类。

反映同一事物特点的变量有很多,我们往往根据所研究的问题选择部分变量对事物的某一方面进行研究。

由于人类对客观事物的认识是有限的,往往难以找出彼此独立的有代表性的变量,而影响对问题的进一步认识和研究。

例如在回归分析中,由于自变量的共线性导致偏回归系数不能真正反映自变量对因变量的影响等。

因此往往先要进行变量聚类,找出彼此独立且有代表性的自变量,而又不丢失大部分信息。

判别分析判别分析是根据表明事物特点的变量值和它们所属的类求出判别函数,根据判别函数对未知所属类别的事物进行分类的一种分析方法。

在自然科学和社会科学的各个领域经常遇到需要对某个个体属于哪一类进行判断。

判别分析与聚类分析的不同在于判别分析要求已知一系列反映事物特征的数值变量值及其分类变量值。

分类命令的功能其中包括:(1)K-Means Cluster进行快速聚类的过程。

(略)(2)Hierarchical Cluster进行样本聚类和变量聚类的过程。

第8章-聚类分析PPT课件

第8章-聚类分析PPT课件

5
XXXXXXXXX
XXX
XXXXX
XXXXX
XXX
6
XXXXXXXXX
XXX
XXXXX
XXXXX
X
X
7
X
XXXXXXX
XXX
XXXXX
XXXXX
X
X
8
X
XXXXXXX
XXX
XXX
X
XXXXX
X
X
9
X
XXXXXXX
XXX
XXX
X
X
XXXXX Nhomakorabea10
X
X
XXXXX
XXX
XXX
X
X
XXX
X
X
11
X
X
XXXXX
对于顺序变两量个：案例在变量上 值的 相取 同时S， ijk 1,取不同值 时，Sijk 0;
对于等距变量 Sijk： 1-
xik -xjk Rk
,
Rk为变量 k的全距。
-
17
8.3 聚类方法
8.3.1 层次聚类法(Hierarchical Cluster Procedures) •聚集法(Agglomerative Method) •分解法(Divisive Method)
以上几种方法，离差平方和法和平均联结法的分类效果
较好。
-
21
主要结果
•聚合进度表 •冰柱图(垂直、水平) •树状图 •案例归类表
-
22
Agglomeration Schedule
Stage Cluster First
Cluster Combined
Appears
聚 Stage Cluster 1 Cluster 2 Coefficients Cluster 1 Cluster 2 Next Stage

SPSS统计分析第八章聚类分析与判别分析

SPSS统计分析第八章聚类分析与判别分析

SPSS统计分析第八章聚类分析与判别分析聚类分析与判别分析是SPSS统计分析中非常重要的两个方法。

聚类分析是寻找数据之间的相似性，将相似的数据划分为一个簇，从而实现对数据的归类和分组。

判别分析则是寻找数据之间的差异性，帮助我们理解不同因素对于数据的影响程度，从而实现对数据的分类预测。

首先，我们来介绍聚类分析。

聚类分析是根据数据之间的相似性进行归类的一种方法，通过度量数据之间的相似性，将相似的数据归为一类。

它在寻找数据内在组织结构和特点上具有很大的作用。

在SPSS中进行聚类分析的步骤如下：1.载入数据集：在SPSS软件中，选择"文件"->"打开"->"数据"，选择需要进行聚类分析的数据集。

2.选择聚类变量：在"分析"->"分类"->"聚类"中，选择需要进行聚类分析的变量。

可以选择一个或多个变量作为聚类变量，决定了聚类的维度。

3.设置聚类参数：在设置参数的对话框中，可以选择使用不同的距离测度和聚类算法。

距离测度可以选择欧氏距离、曼哈顿距离、切比雪夫距离等，而聚类算法可以选择层次聚类、K均值聚类等。

根据具体的数据特点，选择合适的参数。

4.进行聚类分析：点击"确定"按钮，SPSS会自动进行聚类分析，并生成聚类的结果。

聚类结果可以通过树状图、散点图等形式展示，便于我们对数据的理解和分析。

接下来，我们来介绍判别分析。

判别分析是一种通过建立数学模型，根据不同的预测变量对数据进行分类和预测的方法。

判别分析可以帮助我们理解不同因素对于数据分类的重要性，从而进行有针对性的分析和预测。

在SPSS中进行判别分析的步骤如下：1.载入数据集：同样，在SPSS软件中，选择"文件"->"打开"->"数据"，选择需要进行判别分析的数据集。

第八章-聚类分析

第八章-聚类分析
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非恒定的相似度
➢ 如果一个二值变量的两个取值的重要性不同等重要，则该
二元变量就是不对称的。
▪ 如一个疾病disease的测试结果positive或negative，显然这两 个测试结果的重要性是不一样的：
➢ 通常将比较重要的输出结果，编码为1；而将另一结果编码 为0.
➢ 基于这样的二元变量的相似度被称为非恒定的相似度.
7
7.1 什么是聚类分析
聚类(Clustering)：
根据“物以类聚”的道理，对样品和指标进行分类的一种 多元统计分析方法； 聚类分析中“类”的特征：
➢ 聚类所说的类不是事先给定的，而是根据数据的相 似性和距离来划分；
➢ 聚类的数目和结构都没有事先假定。
9
聚类准则对聚类结果的影响
羊,狗,猫, 鲨鱼
蜥蜴,蛇, 麻雀，海鸥, 金鱼,青蛙
金鱼, 鲨鱼
羊,狗,猫,蜥蜴, 蛇,麻雀，海鸥, 青蛙
(a)繁衍后代的方式
羊,狗,猫,
金鱼,
蜥蜴,蛇,麻雀， 鲨鱼
海鸥,
青蛙
(c) 生存环境
(b) 肺的存在
蜥蜴,蛇,麻 雀，海鸥, 青蛙
金鱼
羊,狗, 猫,
鲨鱼
(d)繁衍后代的方式和是否存在肺
距离测度对聚类结果的影响
年龄 收入 家庭人口数
甲
30
3000
1
乙
40
3200
3
d ( 3 4 0 )2 0 ( 30 30 ) 2 2 0 ( 1 0 3 )2 0
示例：
另外，明氏距离的数值与指标的量纲有关。如，二维样本 （身高、体重），有三个样本：
a(180,50); b(190,50); c(180,60) 则a与b之间的明氏距离（欧氏距离、切比雪夫距离）等 于a与c之间的距离 ❖但问题是，身高的10cm真的等价于体重的10kg吗？ ❖因此，明氏距离无法消除量纲的影响，在衡量这类样本 的相似度时容易出现问题。

聚类分析详解ppt课件


以上我们对例6.3.1采用了多种系统聚类法进行聚类，其结果 都是相同的，原因是该例只有很少几个样品，此时聚类的过 程不易有什么变化。一般来说，只要聚类的样品数目不是太 少，各种聚类方法所产生的聚类结果一般是不同的，甚至会 有大的差异。从下面例子中可以看到这一点。
动态聚类法（快速聚类）
(4) 对D1 重复上述对D0 的两步得 D2，如此下去 直至所有元素合并成一类为止。
如果某一步Dm中最小的元素不止一个，则称此现 象为结(tie)，对应这些最小元素的类可以任选一对 合并或同时合并。
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二、最长距离法
类与类之间的距离定义为两类最远样品间的距离， 即
DKL
max
iGK , jGL
聚类分析应注意的问题
（1）所选择的变量应符合聚类的要求
如果希望依照学校的科研情况对高校进行分类，那么可以 选择参加科研的人数、年投入经费、立项课题数、支出经 费、科研成果数、获奖数等变量，而不应选择诸如在校学 生人数、校园面积、年用水量等变量。因为它们不符合聚 类的要求，分类的结果也就无法真实地反映科研分类的情 况。
主要内容
引言 聚类分析原理 聚类分析的种类 聚类分析应注意的问题 聚类分析应用 聚类分析工具及案例分析
聚类分析的种类
（1）系统聚类法（也叫分层聚类或层次聚类） （2）动态聚类法（也叫快速聚类） （3）模糊聚类法 （4）图论聚类法
系统聚类法
对比
常用的系统聚类方法
一、最短距离法 二、最长距离法 三、中间距离法 四、类平均法 五、重心法 六、离差平方和法(Ward方法)
对比
k均值法的基本步骤
(1)选择k个样品作为初始凝聚点，或者将所有样品分成k 个初始类，然后将这k个类的重心(均值)作为初始凝聚点。

聚类分析法ppt课件全


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1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（3）分类函数
按照修改原则不同，动态聚类方法有按批修改法、逐个修改法、混合法等。 这里主要介绍逐步聚类法中按批修改法。按批修改法分类的原则是，每一步修 改都将使对应的分类函数缩小，趋于合理，并且分类函数最终趋于定值，即计 算过程是收敛的。
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1.2.2 动态聚类分析法
1.2 聚类分析的种类
（2）初始分类 有了凝聚点以后接下来就要进行初始分类，同样获得初始分类也有不同的
方法。需要说明的是，初始分类不一定非通过凝聚点确定不可，也可以依据其 他原则分类。
以下是其他几种初始分类方法： ①人为分类，凭经验进行初始分类。 ②选择一批凝聚点后，每个样品按与其距离最近的凝聚点归类。 ③选择一批凝聚点后，每个凝聚点自成一类，将样品依次归入与其距离
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1.2 聚类分析的种类
（2）系统聚类分析的一般步骤 ①对数据进行变换处理； ②计算各样品之间的距离，并将距离最近的两个样品合并成一类； ③选择并计算类与类之间的距离，并将距离最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的两类合并，如果累的个
数大于1，则继续并类，直至所有样品归为一类为止； ④最后绘制系统聚类谱系图，按不同的分类标准，得出不同的分类结果。
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1.2 聚类分析的种类
（7）可变法
1 2 D kr
2 （8）离差平方和法
(D k 2 pD k 2 q)D p 2q
D k 2 rn n ir n n p i D i2 pn n ir n n q iD i2 qn rn in iD p 2 q
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chap8_聚类分析


-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
3
3
2.5
2.5
2
2
1.5
1.5
y
1
y
1 0.5 0.5 0 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
x
最优（全局最优）
次最优（局部最优）
初始质心选取是重要性 的 例1
Iteration 6 1 2 3 4 5
核心点是稠密区域内部的点
–
边界点：该点不是核心点（即在指定半径Eps内的点的个数小 于MinPts），但它落在某个核心点的邻域内 噪声或背景点：既非核心点，也非边界点的任何点。
–
核心点，边界点，噪声点
DBSCAN 算法
思想：任意两个足够靠近（相互距离在Eps之内的 ）的核心点将放入一个簇中 步骤：
piCluster i p jClusterj
|Cluster i ||Cluster j|
P324 例 8.6
5 2 5 2
4
1
0.25 0.2 0.15
3
1 4 3
6
0.1 0.05 0
3
6
4
1
2
5
邻近簇
树状图
层次聚类比较
5
1 3 5 2 4 4 2 3 1
4
1
2
5 MIN 6 3 MAX 2 3 1 6
簇
•具有一定的抗噪声能力 •能处理任意形状和大小的簇
聚类算法的不足

聚类分析解析课件


类间距的度量
类：一个不严格的定义
定义9.1:距离小于给定阀值的点的集合 类的特征
◦ 重心：均值 ◦ 样本散布阵和协差阵 ◦ 直径
类间距的定义
最短距离法 最长距离法 重心法 类平均法 离差平方和法 等等
最小距离法（single linkage method）
极小异常值在实际中不多出现，避免极 大值的影响
类的重心之间的距离
对异常值不敏感，结果更稳定
离差平方和法（sum of squares
method或ward method）
W代表直径，D2=WM－WK－WL
即
DK2L
nL nk nM
XK XL XK XL
Cluster K
Cluster M
Cluster L
◦ 对异常值很敏感；对较大的类倾向产生较大的距 离，从而不易合并，较符合实际需要。
如表9.2所示，每个样品有p个指标，共 有n个样品
每个样品就构成p维空间中的一个点
:第i个样品的第k个指标对应的取值
◦ i=1……n; k=1……p
:第i个样品和第j个样品之间的距离
◦ i=1……n; j=1……n
点间距离测量问题
样品间距离与指标间距离 间隔尺度、有序尺度与名义尺度 数学距离与统计距离 相似性与距离：一个硬币的两面
类图上发现相同的类
饮料数据
16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量
SPSS实现
选择Analyze－Classify－Hierarchical Cluster, 然 后 把 calorie （ 热 量 ） 、 caffeine （ 咖 啡
因）、sodium（钠）、price（价格）选入 Variables, 在Cluster选Cases（这是Q型聚类：对观测 值聚类），如果要对变量聚类（R型聚类） 则选Variables, 为 了 画 出 树 状 图 ， 选 Plots ， 再 点 Dendrogram等。 可以在Method中定义点间距离和类间距 离
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可以看出, 可以看出 前四项的 累积贡献 率达到 85%以上 以上
Statistical Analysis System
聚类图
Number of Clusters Clusters Joined 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a2 a1 a8 a3 CL12 CL9 CL8 CL7 a11 CL6 CL4 CL3 CL2 a6 a4 a9 a7 CL13 CL11 CL10 a10 a12 a5 CL5 b2 b1 Frequency of New 2 2 2 2 4 6 8 9 2 10 12 13 14 RMS Cluster Distance 1.984629 2.061652 2.255821 2.310676 2.337422 2.465915 2.465989 2.466945 2.776391 3.046734 3.107306 4.003883 4.451089
Statistical Analysis System
聚类图
Number of Clusters Clusters Joined 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 a2 a1 a8 a3 CL11 a11 CL12 CL7 CL10 CL5 CL6 b1 CL3 a6 a4 a9 a7 a10 a12 CL13 a5 CL8 CL9 CL4 b2 CL2
Statistical Analysis System
8.1 系统聚类分析过程 CLUSTER
根据美国十六个城市之间的直线距离，将这十个城市分类。 例8.2 根据美国十六个城市之间的直线距离，将这十个城市分类。 程序如下： 程序如下：
Statistical Analysis System
8.1 系统聚类分析过程 CLUSTER
举例: 举例 年北京农业大学在研究高营养玉米奥帕克例8.1 1980年北京农业大学在研究高营养玉米奥帕克 年北京农业大学在研究高营养玉米奥帕克 2(Opaque-2)杂交种 简称 玉米杂交种 中，对12个O2 杂交种(简称 玉米杂交种)中 杂交种 简称O2玉米杂交种 个 杂交种玉米(用 ， ， ， 表示)和两个普通玉米 杂交种玉米 用a1，a2，...，a12表示 和两个普通玉米 表示 杂交种(用 ， 表示 表示)， 个杂交种玉米观测了10 杂交种 用 b1，b2表示 ，共14个杂交种玉米观测了 个杂交种玉米观测了 项指标(用 ， ， 表示)， 项指标 用x1，...，x10表示 ，现在应用最短距离法和 表示 类平均法对14个玉米杂交种进行分类， 类平均法对 个玉米杂交种进行分类，为消除指标量 个玉米杂交种进行分类 纲的影响，先对原始数据进行标准差标准化处理， 纲的影响，先对原始数据进行标准差标准化处理，然 后再分类。 后再分类。
STD ⑵ 71.375307393 1.2170266415 1.0831628494 2.6932965217 0.0482723501 2.3448798559 46.486025314 0.8512308477 0.0550124861 0.6944711008
N 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
Statistical Analysis System
SAS及其应用 SAS及其应用
教师：薛河儒 教授 教师： Email: xuehr@
Statistical Analysis System
第八章 聚类分析 SAS聚类过程可对数据中的样品或变量 聚类过程可对数据中的样品或变量 聚类，有系统聚类法 聚类，有系统聚类法(CLUSTER)、 逐步 、 聚类法(FASTCLUS)和变量聚类法 和变量聚类法 聚类法 (VARCLUS)，输出聚类树图。 ，输出聚类树图。
Statistical Analysis System
玉米杂交种的系统聚类分析
NAME X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10
MEAN ⑴ 859.42857143 21.95 15.135714286 41.5 0.3892857143 82.8 324.21428571 8.8335714286 0.3742857143 4.2685714286
Statistical Analysis System
程序如下： 程序如下： TITLE'玉米杂交种的系统聚类分析 玉米杂交种的系统聚类分析'; 玉米杂交种的系统聚类分析 DATA ym; INPUT name$ X1-X10; CARDS; a1 947.0 23.4 14.8 45.3 0.46 85.2 373 9.54 0.37 3.88 a2 935.0 23.2 16.2 41.7 0.40 83.3 305 7.90 0.38 4.81 a3 918.2 20.9 14.8 43.3 0.38 82.6 320 9.51 0.43 4.52 a4 910.7 23.4 16.1 44.0 0.46 85.2 338 8.60 0.33 3.84 a5 905.0 22.9 17.0 39.8 0.45 80.4 348 9.53 0.42 4.40 a6 890.6 22.3 15.7 44.0 0.41 85.4 286 8.67 0.39 4.50 a7 853.4 20.9 15.9 41.6 0.35 85.4 273 9.79 0.42 4.29 a8 837.8 20.2 14.4 37.3 0.33 85.2 326 7.62 0.36 4.73 a9 833.3 22.2 15.2 38.3 0.37 82.2 310 7.84 0.40 5.10 a10 760.9 20.4 15.5 40.7 0.32 84.2 268 7.75 0.35 4.52 a11 760.3 20.8 15.1 44.8 0.35 79.5 273 8.91 0.45 5.05 a12 742.5 23.4 14.7 43.1 0.35 79.5 310 9.18 0.40 4.36 b1 936.3 22.4 12.7 37.6 0.44 84.6 4431 10.33 0.28 2.70 b2 801.0 20.9 13.8 39.5 0.38 79.2 378 8.50 0.26 3.06 ;
a1 a2 a3 a4 a6 a7 a9 a8 a11 a13 a12 a10 a5
a2 a6
a1 a4
a8 a9 a3 a7 a10 a5 a11 a12 b2 b1
Statistical Analysis System
Average Linkage Cluster Analysis
Eigenvalues of the Covariance Matrix Eigenvalue 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.92093 2.61852 1.15296 0.92785 0.67461 0.33954 0.28725 0.05955 0.01803 0.00075 Difference 1.30241 1.46556 0.22511 0.25324 0.33507 0.05229 0.22771 0.04151 0.01728 . Proportion 0.392093 0.261852 0.115296 0.092785 0.067461 0.033954 0.028725 0.005955 0.001803 0.000075 Cumulative 0.39209 0.65395 0.76924 0.86203 0.92949 0.96344 0.99217 0.99812 0.99992 1.00000
cl1 cl3 cl4 cl6 cl7 cl9 cl5 cl8 cl2
Cluster Distance
cl11 cl13 cl12
cl10
a2 a6
a1 a4
a5 a8 a9 a10 a3 a7 a11 a12 b2 b1
Statistical Analysis System
小结
由输出结果知，当用最短矩离法聚类时， 由输出结果知，当用最短矩离法聚类时，两个普通种 b1，b2单独为一类。当用类平均法聚类时，只要取平均 ， 单独为一类 当用类平均法聚类时， 单独为一类。 距离阈值T=5就可将 个杂交种分为两类 ，...a12}， 就可将14个杂交种分为两类 距离阈值 就可将 个杂交种分为两类{a1， ， {b1，b2}。 ， 。
Statistical Analysis System
Single Linkage Cluster Analysis
Eigenvalues of the Covariance Matrix ⑹ Eigenvalue 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3.92093 2.61852 1.15296 0.92785 0.67461 0.33954 0.28725 0.05955 0.01803 0.00075 Difference ⑺ Proportion ⑻ Cumulative ⑼ 1.30241 1.46556 0.22511 0.25324 0.33507 0.05229 0.22771 0.04151 0.01728 . 0.392093 0.261852 0.115296 0.092785 0.067461 0.033954 0.028725 0.005955 0.001803 0.000075 0.39209 0.65395 0.76924 0.86203 0.92949 0.96344 0.99217 0.99812 0.99992 1.00000
Frequency of New 2 2 2 2 3 2 4 5 4 7 12 2 14 RMS 1.984629 2.061652 2.255821 2.310676 2.676228 2.776391 2.950259 3.485923 3.570059 3.770788 4.330616 4.451089 5.766677