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第二章不定方程不定方程是指未知数个数多于方程个数，且对解有一定限制（比如要求解为正整数等）的方程。
是数论中最古老的分支之一。
古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。
中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘幻灯片2建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。
秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。
百鸡问题说：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。
这是一个三元不定方程组问题。
1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。
近年来，这个领域更有重要进展。
但从整体上来说，幻灯片3对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。
另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。
幻灯片4第一节二元一次不定方程研究不定方程一般需要要解决以下三个问题：①判断何时有解。
②有解时决定解的个数。
③求出所有的解。
本节讨论能直接利用整除理论来判定是否有解，以及有解时求出其全部解的最简单的不定方程———二元一次不定方程。
11(1)(,,,)(,)ax by ca b Z a b a b c +=∈、定理设二元一次不定方程不全为零有整数解的充要条件是：0000,1x y ax by c+=证：（必要条件）设为（）的一组整数解，则 00(,),(,),(,).a b a a b b a b ax by c ∴+=幻灯片6 11(,),(,),,,,00,,(,)(2)a b c c c a b c Z a b Z a b s t Z as bt a b =∈∈≠≠∈+=（充分条件）若设而对且，，则存在使得1111010100002(,)=,=1c asc btc a b c cx sc y tc ax by c x y +==+=在（）式两端同乘以得令，即得，故（）式有一组整数解，. 幻灯片7注：定理的证明过程实际给出求解方程（1）的方法：11()(1)(1)(,)(1),(1)n n n n n n n n n i Q a P b r a b s Q t P ---+-===-=-由辗转相除法等可求得，取；1010(),(,)(,)c c ii sc s x tc t y a b a b ====再取； 00(),(,)(,)1c c iii x s y t a b a b ==则就为方程组（）的一组整数解。
幻灯片8001101012. 2(1),(,=,,,1,,(3)x x y y a b d a a d b b d x x b t y y a t t Z=====-=+∈定理设二元一次不定方程有一整数解，）则（）的一切整数解可以表成：0101()()31a xb t b y a tc -++=证：首先，，即（）是（）的解；0010101110101()()04()=(),(,)1,x y a x x b y y a x x b y y a b a y y b x x t Z ''''-+-=''---=''--∈其次，设，是（）的任一解，则，（）或则，，即存在使幻灯片90110011011014()0()0y y a t y a t y a x x a bt a d x x a b dt x x b t x y ''-==+''-+=-+='=-''或，代入（）式得，或即，因此，可表成（3）的形式。
1 74100x y +=例求的一切整数解。
7411,2);x y +=-利用观察法求出的一组特解（再写出方程的一切整数解。
幻灯片10232111175x y +=例 求的一切整数解.(321,111)375,3725x y =∴+= 解：方程有解，且同解于方程10723371(1)99,(1)2626,925,2625,x y x y x y +==-==-=-=⨯=-⨯而方程107的一解是：故原方程的一组整数解为：92537,2625107(0,1,2,)x t y t t =⨯-=-⨯+=±± 则原方程的一切整数解为：幻灯片11311132175x y -=例 求的一切整数解.注：利用辗转相除法求（a,b)时，前提为a,b 为正整数，且a 大于b ，因此求解此方程时可以考虑用变量替换。
,,111255(321,111)375,53725x y y x x y x y ''''=-=+==∴''+= 解：令原方程化为321（）方程（）有解，且同解于方程1073725925,2625,x y x y ''+=''=⨯=-⨯由例2方程107的一解是：幻灯片1210725925,2625,x y y x x y -=''=-=-⨯==-⨯故方程37的一解是：321752625+107,92537(0,1,2,)x y x t y t t -==-⨯=-⨯+=±± 则原方程111的一切整数解是：幻灯片133 .下面通过具体例子介绍一种判定方程是否有解，及其求出其解的直接算法——整数分离法31073725x y +=例、求的一切整数解3725107y x=-解： 25107253323737x x y x --==-+253333+3725(6)37x y x y -''==令，则253725463333y y x y ''--''==-+同理（） 254331=68(7)4y x x y x '-'='-''-+令，则 141(8)414,(0,1,2,)x y x y x t y t t '-'''''=+='''=-==±± 再令，最后得到则14,233(0,1,2,)x t y t t ''=-=-+=±± 则（7）的解为： 幻灯片15233,337(0,1,2,)y t x y x t t '=-+''=-+=-=±± （6）的解为：337,28107(0,1,2,)x t y x y t t =-'=+=-+=±± 从而原方程的解为：或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。
41(8)1,0;71,263,23,8x y x y x y x y x y ''''''+===''==-''==-==-的一个特解为从而（）的一个特解为；由此得到（）的一个特解为；最后得到原方程的一个特解为 注：这种解不定方程的算法实际上是对整个不定方程用辗转相除法，依次化为等价的不定方程，直至得到这样的不定方程一个变量的系数为正负1的方程为止。
幻灯片17可以直接解出。
再依次反推上去，就得到原方程的通解。
为了减少运算次数，在用带余除法时，总取绝对值最小余数。
下面我们来讨论当二元一次不定方程（1）可解时，它的非负解和正解问题。
由通解公式知这可归结为去确 定参数t 的值，使x,y 均为非负或正。
显见，当a,b 异号时，不定方程（1）可解时总有无穷多组非负解或正解，理由是：幻灯片18000,0,000a b t b x x t d a y y t d <><⎧=->⎪⎪⎨⎪=+>⎪⎩若有无穷多个整数，满足所以下面只讨论a,b 均为正整数的情形，先来讨论非负解：0,0,(,)11a b a b c ab a b c ax by c ab c c ab a b ab >>=>--⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎡⎤+=--⎢⎥⎣⎦定理：设，当时，方程有非负整数解，解数等于或；当时，方程没有非负整数解。
幻灯片19下面讨论正整数解：0,0,(,)1a b a b c ab c ax by c ab c c ab ab >>=>⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦定理：设，当时，方程有正整数解，解数等于--1或；当时，方程没有正整数解。
幻灯片20例7 求方程5x+3y=52的全部正整数解解：x=8,y=4是一组特解，方程的全部解为：x=8+3t, y=4-5t正整数解满足8+3t>0,4-5t>084,2,1,035(8,4);(5,9);(2,14)t t -<<=--解得即对应有： 幻灯片21注：若只求方程正整数解的个数，可考虑以下不等式的整数解个数：0011x y t b a ⎡⎤⎡⎤-+≤≤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦784112,1,035t t ⎡⎤⎡⎤-+≤≤---⇒=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦如例，，即有三个正整数解。
幻灯片22第二节 多元一次不定方程1122(1)n n a x a x a x N+++= 形如的方程称为多元一次不定方程。
12(1)(,,,)n d a a a N= 定理1方程有解的充分必要条件是121122(1),,,n n n x x x a x a x a x N ''''''+++= 证：（必要条件）若方程有解则， 121122,,,n n n d a a a d a x a x a x N '''=+++= 因为（），所以幻灯片23 21d N n n =-充分条件：若,用数学归纳法证（1）有解。
当时，已证成立；假定以上条件对元一次不定方程是充分的。
1222233(,)n n n a a d d t a x a x N =+++= 下面考察元一次方程（1）。
令，得到方程；1223223323(,,,)(,,,),,,.n n n n n a a a d N d a a d N d t a x a x N t x x =='''+++= 因为，即，由归纳假设，方程有解 幻灯片241122221222212,,a x a x d t a a d d t x x ''+=''考虑方程,由于()=则它有解，。
