2005年高考文科数学(福建卷)试题及答案

罗增儒教授简介罗增儒教授，男，汉族，1945年1月生，广东省惠州市人．1962年就读中山大学数学力学系数学专业，毕业后在陕西省耀县水泥厂当过矿山职工和子弟中学教师，1985年底调入陕西师范大学数学系．历经讲师、副教授、硕士研究生导师，于1996年6月聘为教授，2001年11月聘为课程与教学论（数学）博士研究生导师（西南师范大学，陕西师范大学）．曾先后担任陕西师范大学数学教育研究所所长、教务处处长、陕西省数学会常务理事、陕西省中学数学教学研究会副理事长、西安市中学数学教学研究会理事长、中国教育学会中学数学教学专业委员会学术委员、《数学教育学报》编委、中国数学奥林匹克首批高级教练．获国家级优秀教学成果二等奖1次（1993年），省级优秀教学成果奖4次（1989年，1995年，1999年，2003年），1994年10月起享受国务院政府特殊津贴，1999年获曾宪梓教育基金会全国高师优秀教师奖．罗增儒教授坚持教学、科研平行发展，已为本科生、研究生讲授了《中学数学教材教法》、《初等代数研究》、《初等几何研究》、《考试学》、《数学解题论》、《数学竞赛论》、《数学教学论》、《数学方法论》等课程．自1980年以来，在《教育研究》、《数学教育学报》、《数学通报》等30多种刊物发表论文300余篇，被《中国人民大学报刊复印资料》全文复印30余篇．在海内外多家出版社出版了《数学解题学引论》（2001年7月）、《数学竞赛导论》（2001年7月）、《中学数学课例分析》（2001年7月）、《怎样解答高考数学题》（1995年1月）、《怎样解答中考数学题》（1996年2月）、《数学的领悟》（1997年1月）、《直觉探索方法》（1999年9月）、《零距离数学交流》（2003年5月）等书10多本，计300多万字．罗增儒教授的主要工作有3个方向：⑴数学教学艺术的理论与实践——形成了“示范教学法”，实践“案例教学”；⑵数学解题理论的基础建设——提出了“数学解题教学法”；⑶数学竞赛学的基础建设——搭起了“数学竞赛学”的一个理论框架．罗教授从矿山工人到中学教师、大学教授，再到博士生导师的历程，被中学数学界传为“罗增儒道路”．如何学会数学解题（罗增儒）第1步：简单模仿．即模仿着教师或教科书的示范去解决一些识记性的问题．这是一个通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象，从而产生类似的过程，也是对解题基本模式加以认识并开始积累的过程．对于认知结构的改变而言，这一步具有数学学习中输入信息并开始相互作用的功能，其本身会有体验性的初步理解．学写字从模仿开始，学写作从模仿开始，学绘画从模仿开始，学音乐舞蹈也都从模仿开始，每节数学课后的作业基本上都是模仿性练习．波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”，张景中在《帮你学数学》P．46中说“摹仿是学习的开始”．这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅，要解决好：记忆的敏捷性(记得快)，记忆的持久性(记得牢或忘得慢)，记忆的准确性(记得准)，记忆的准备性(便于提取)．而要真正做到、做好这4点，还需要进入第2步．第2步：变式练习．即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化(干扰性)的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用．其作用首先是通过变换方式或添加次数而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来积累理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会．对于认知结构的改变而言，这一步具有新旧知识相互作用的功能，做好了能形成新认知结构的雏形．“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的重要体现．第3步：自发领悟．即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解——解题知识的内化(包括结构化、网络化和丰富联系)．但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会,不可言传”（默会知识）．这实际上是一个各人自己去体会“解题思路的探求”、“解题能力的提高”、“解题策略的形成”、“解题模式的提炼”，从而获得能力的自身性增长与实质性提高的过程（生成个体经验）．对于认知结构的改变而言，这一步具有形成新认知结构的功能．由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由“双基”到能力的升华，而这种飞跃或升华又需要一个长期的积累，因而，这是一个漫长而又不可逾越的必由阶段(会存在高原现象)．目前的很多学生就被挡在了这一步，很多优秀学生也就停留在这一步，我们自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、自发的过程，为了增加主动、自觉的元素，解题学习还应有第4步．第4步：自觉分析．即对解题过程进行自觉的反思，使理解进入到深层结构．这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新、从内隐到外显的飞跃阶段，操作上通常要经历整体分解与信息交合两个步骤．这个阶段与解题书写的最后一个环节（检查验算）是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建“数学解题学”的前景）．相对于认知结构的改变而言，这一步具有形成并强化新认知结构的功能．这四个阶段与数学学习的一般过程是吻合的，但由于数学解题是一种创造性活动，因而，它只是符合“钥匙原理”，而非打开一切题目大门的万能钥匙．高考数学的解题研究（陕西师范大学数学系罗增儒）1 从数学高考到高考数学从1977年恢复高考（各省单独命题）到2006年陕西高考单独命题，历史走过了波澜壮阔的30个春秋，环绕着高考工作的文化积累正在考试学、数学等维度形成学术成果。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学试题（文科）第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是( )(A)2π(B) π (C) 2π (D) 4π 解：T=22π=π,选(B)2．设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()UP C Q ＝( )(A) {}1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,2,6,7 (D){}1,2,3,4,5 解：U C Q ={1,2,},故()UPC Q ={1,2},选(A)3．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是( )(A)12 (B)32解：点()1,1-到直线10x y -+=的距离2=,选(D) 4．设()1f x x x =--，则12f f⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝( ) (A) 12- (B)0 (C)12(D) 1解：1()2f =11|1|||22--=0, 12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=f(0)=1,选(D)5．在()()5611x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( ) (A)5- (B) 5 (C) 10- (D) 10解：()51x -中x 3的系数为10,()61x --中x 3的系数为-20,∴()()5611x x ---的展开式中x 3的系数为-10,选(C)6．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，在放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的频率是( ) (A)0.53 (B) 0.5 (C) 0.47 (D) 0.37 解：取到号码为奇数的频率是1356181153100100++++==0.53,选(A)7．设αβ、为两个不同的平面，l m 、为两条不同的直线，且,l m αβ⊂⊂，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β．那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题解：命题②有反例,如图中平面α∩平面β=直线n,l ,m αβ⊂⊂ 且l ∥n,m ⊥n,则m ⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)8．已知向量()()5,3,2,a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是( ) (A){}2,3 (B){}1,6- (C) {}2 (D) {}6解：由a b ⊥得a b ⋅=0,即(x-5)·2+3×x=0解得x=2,选(C) 9．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =( )(A)18(B)14 (C)12 (D)1解：由题意,得210ax x -+=有两个等实根,得a=14,选(B) 10．设集合(){},|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )解：由题意可知0010.111x y x y x y x y x y x yx y y x>⎧⎪>⎪⎪-->⎨+>--⎪⎪--+>⎪--+>⎩得102102112x y x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩由此可知A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

2005年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于 （ ）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．不等式01312>+-x x 的解集是（ ） A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x xD ．}31|{->x x3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 4．函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ5．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 6．函数bx ax f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a7．已知直线m 、n 与平面α、β，给出下列三个命题： ①若m//α，n//α，则m//n ； ②若m//α，n ⊥α，则n ⊥m ； ③若m ⊥α，m//β，则α⊥β. 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知q p ab q a p 是则,0:,0:≠≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A ．21 B ．23 C ．27 D ．510．从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种11．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是 （ ）A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π 12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在答题卡的相应位置. 13．（6)12xx -展开式中的常数项是 （用数字作答）.14．在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 . 15．非负实数x 、y 满足y x y x y x 3,03042+⎩⎨⎧≤-+≤-+则的最大值为 .16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = .（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形） 三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.19．（本小题满分12分）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n的大小，并说明理由.20．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.21．（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.22．（本小题满分14分）已知方向向量为)3,1(=v 的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot ∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.2005年高考文科数学试题参考答案（福建卷）一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.1.D2.A3.A4.C5.B6.D7.C8.B9.C 10.B 11.D 12.B 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算. 每小题4分，满分16分.13．240 14．23-15．9 16．如：①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+ ③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得 整理得 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）.1752457512524sin cos )sin (cos cos sin 2cos sin 1)sin (cos sin 2tan 1sin 22sin 2-=⨯-=-+=-+=-+x x x x x x xx x x x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o sx x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x①②（Ⅱ）.1752454531)53(254)53(2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 222-=---+⋅-⋅=-+=-+x x x x x x x x 18．本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理和运算能力. 满分12分. 解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A ，“乙投一次命中”为事件B ，则 .53)(,21)(,52)(,21)(====P P B P A P ∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为B A B A ⋅+⋅.2152215321)()()(=⨯+⨯=⋅+⋅=⋅+⋅∴B A P B A P B A B A P 答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为 100953532121=⨯⨯⨯=P ∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率 .10091100911=-=-=P P 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091 19．本小题主要考查等差数列，等比数列及不等式的基本知识，考查利用分类讨论思想分析问题和解决问题的能力. 满分12分.（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a.211-=∴或q（Ⅱ）若.2312)1(2,12nn n n n S q n +=⋅-+==则 当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则 当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 20．本小题主要考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决 问题的能力. 满分12分.解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2，所以,2)(23+++=cx bx x x f.23)(2c bx x x f ++='由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即 .3,0,32.121,623-==⎩⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时故)21,(233)(23--∞+--=在x x x x f 内是增函数，在)21,21(+-内是减函数， 在),21(+∞+内是增函数.21．本小题主要考查直线、直线与平面、二面角及点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力与运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴∴二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥， ⊥∴CB 平面ABE..AE CB ⊥∴ .B C E AE 平面⊥∴（Ⅱ）连结BD 交AC 于C ，连结FG ， ∵正方形ABCD 边长为2，2,=⊥∴BG AC BG⊥BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理得FG ⊥AC.BGF ∠∴是二面角B —AC —E 的平面角. 由（Ⅰ）AE ⊥平面BCE ， 又EB AE = ， ∴在等腰直角三角形AEB 中，BE=2.又 直角,6,22=+=∆BE BC EC BCE 中332622=⨯=⋅=EC BE BC BF ， .362332sin ,===∠∆∴BG BF BGF BFG 中直角∴二面角B —AC —E 等于.36arcsin（Ⅲ）过点E 作AB EO ⊥交AB 于点O. OE=1.∵二面角D —AB —E 为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACD E ACE D V V --= .3131EO S h S ACD ACB ⋅=⋅∴∆∆ ⊥AE 平面BCE ，.EC AE ⊥∴ .3326221122212121=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴EC AE EODC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直 线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行 于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 O —xyz ，如图.⊥AE 面BCE ，BE ⊂面BCE ， BE AE ⊥∴， 在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1C E A OE -∴=∴).2,2,0(),0,1,1(== 设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则⎩⎨⎧=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.022,0,0,0z y y x n AC 即解得⎩⎨⎧=-=,,x z x y令,1=x 得)1,1,1(-=n 是平面AEC 的一个法向量. 又平面BAC 的一个法向量为)0,0,1(=m ，.3331),cos(===∴n m ∴二面角B —AC —E 的大小为.33arccos（III ）∵AD//z 轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD ，∴点D 到平面ACE 的距离.33232,cos |||==>=<⋅=n AD AD d 22．本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力.满分14分. （I ）解法一：直线333:-=x y l ， ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ 解法二：直线333:-=x y l .设原点关于直线l 对称点为（p ，q ），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-⋅=.1332232p q p q 解得p=3. ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32=∴ca∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③ （II ）解法一：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|kk d +=,cot 634MON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMONMON ON OM ,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON ON OM OMN即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y或,33233--=x y 或.2-=x解法二：设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k ,13122221+-=+∴k k x x ∵E （－2，0）是椭圆C 的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|=.13)1(6262)1312(622)()()(2222212212++=++-⋅=++=+++k k k k a x x a c x c a e x c a e以下与解法一相同.解法三：设M （11,y x ），N （22,y x ）.设直线2:-=ty x m ，代入③，整理得.024)3(22=--+ty y t,32,34221221+-=+=+∴t y y t t y y.)3(242438)34(4)(||222222212121++=+++=-+=-t t t t t y y y y y y ,cot 634MON OM ∠=⋅ 即 ,0sin cos 634cos ||||≠∠∠=∠⋅MONMON MON ON OM.632,634sin ||||=∴=∠⋅∴∆OMN S MON OM=-⋅=+=∆∆∆||||2121y y OE S S S OENOEM OMN .)3(2424222++t t∴222)3(2424++t t =632，整理得.324t t =解得,3±=t 或.0=t故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x经检验上述直线均满足.0≠⋅所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x。

【试题答案】2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修I）参考答案一. 选择题：1. C2. D3. B4. B5. D6. C7. B 8. A 9. C 10. A 11. C 12. C二. 填空题：13. 216 14.15. 192 16. ①，④三. 解答题：17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力。

满分12分。

解法一：为第二象限的角，，所以所以为第一象限的角，，所以所以解法二：为第二象限角，，所以为第一象限角，，所以故所以18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4（I）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则所以，前三局比赛甲队领先的概率为（II）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，所以，所求事件的概率为19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。

满分12分。

（1）证明：成等差数列，即又设等差数列的公差为d，则这样从而这时是首项，公比为的等比数列（II）解：所以20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

满分12分。

方法一：（I）证明：连结EPDE在平面ABCD内，又CE＝ED，PD＝AD＝BC为PB中点由三垂线定理得在中，又PB、FA为平面PAB内的相交直线平面PAB（II）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直平面AEF连结BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，则平面AEF 为AC与平面AEF所成的角由可知由可知与平面AEF所成的角为方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系（1）证明：设E（a，0，0），其中，则C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）又平面PAB，平面PAB，平面PAB（II）解：由，得可知异面直线AC、PB所成的角为又，EF、AF为平面AEF内两条相交直线平面AEF与平面AEF所成的角为即AC与平面AEF所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。

2005福建卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合∈≤-=x x x P ,1|1|||R|，Q P N x x Q 则},|{∈=等于 （ ）A ．PB ．QC ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．不等式01312>+-x x 的解集是（ ）A ．}2131|{>-<x x x 或B ．}2131|{<<-x xC ．}21|{>x x D ．}31|{->x x3．已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 （ ）A ．15B ．30C ．31D ．64 4．函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππC ．]2,0[πD ．],2[ππ5．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值6．函数bx a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ）A ．0,1<>b aB ．0,1>>b aC ．0,10><<b aD ．0,10<<<b a7．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m 其中真命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 8．已知q p ab q a p 是则,0:,0:≠≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是 （ ）A ．21B ．23C ．27D ．510．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A ．300种B ．240种C ．144种D ．96种11．如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ）A ．515arccos B ．4πC ．510arccosD ．2π12．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置13．6)12(xx -展开式中的常数项是 （用数字作答）14．在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 15．非负实数y x ,满足y x y x y x 3,03,02+⎩⎨⎧≤-+≤+则的最大值为A16．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g =（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.18．（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与，投中得1分，投不中得0分.（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；19．已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由.20．（本小题满分12分）已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.21．（本小题满分12分）如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小；（Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离.22．（本小题满分14分）已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(12222>>=+b a bya x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，满足634=⋅ON OM cot∠MON ≠0（O 为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.2006年普通高等学校招生全国统一考试（福建）D A数 学（文史类）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）已知两条直线1)2(2++=-=x a y ax y 和互相垂直，则a 等于（A ）2（B ）1（C ）0（D ）－1（2）在等差数列}{n a 中，已知13,2321=+=a a a ，则654a a a ++等于（A ）40（B ）42 （C ）43 （D ）45（3）“tan α=1”中，是“4π=a ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必条件（4）已知53sin ),,2(=∈αππα，则)4tan(πα+等于（A ）71 （B ）7 （C ）－71（D ）－7（5）已知集合|086||,2|1||{2<+-=≤-=x x x B x x A ，则A ∩B 等于（A ）)4,1[-（B ）（2，3）（C ）]3,2( （D ）（－1，4）（6）函数)1(1-≠+=x x x y 的反函数是 （A ）)1(1≠-=x xx y （B ）)1(1≠-=x x x y（C ）)0(1≠-=x xx y（D ）)0(1≠-=x xx y（7）已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（A ）22 （B ）332 （C ）324 （D ）334（8）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1 名女生，则选派方案共有（A ）108种（B ）186种（C ）216种（D ）270种（9）已知向量a 与b 的夹角为120°，|a|=3，|a +b |=3，则| b |等于（A ）5（B ）4（C ）3（D ）1（10）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是 （A ）若n n m m 则,,⊥⊥α∥α （B ）若m ∥α，n ∥α，m ∥n（C ）若,α⊂m n ∥α，则m ∥n（D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线141222=-yx的右焦点F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的取值范围是（A ）)33,33(-（B ）)3,3(-（C ）]33,33[-（D ）]3,3[-（12）已知)(x f 是周期为2的奇函数，当0< x < 1时，x x f lg )(=，设),23(),56(f b f a ==)25(f c =则（A ）c b a << （B ）c a b <<（C ）a b c <<（D ）b a c <<第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 答案须填在题中横线上. （13）若52)1(xx -展开式中4x 的系数是 （用数字作答）.（14）已知直线x －y －1=0与抛物线2ax y =相切，则a = .（15）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧-≥≤|,1|,1x y y 则y x 2+的最大值是 .（16）已知函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间]4,3[ππ-上的最小值是－2，则ω的最小值等于 .三、解答题：本大题共小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知函数R x x x x x f ∈+=,cos sin 3sin)(2.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数)(x f 的图象可以由函数R x x y ∈=(2sin ）的图象经过怎样的变换得到？（18）（本小题满分12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数1，2，3，4，5，6）.（Ⅰ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（Ⅱ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（Ⅲ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率.（19）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD ，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA =CB =CD =BD =2，AB =AD =2.（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求过点E 到平面ACD 的距离.（20）（本小题满分12分）已知椭圆1222=+yx的左焦点F ，O 为坐标原点.（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线0=+y x 上，求直线AB 的方程.（21）（本小题满分12分）已知)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是（0，5），且)(x f 在区间[－1，4]上的最大值是12. （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）是否存在自然数m ，使得方程037)(=+xx f 在区间)1,(+m m 内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，说明理由.（22）（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足)(23,3,1*1221N n a a a a a n n n ∈-===++.（Ⅰ）证明：数列}{1n n a a -+是等比数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）若数列{n b }满足),()1(444*11121N n a nn b n b b b ∈+=--- 证明：}{n b 是等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（文史类）第I 卷 （选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（16计数原理、二项式定理）一、选择题：1. (2005北京文)五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B【详解】分两个步骤进行。

第一步：先考虑安排甲工程队承建的项目，有C14种方法；第二步：其余的4个队任意安排，有44A 种方法。

故，不同的承建方案共有1444C A 种。

【名师指津】排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.2．(2005北京理)北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 （ ）A ．484121214C C CB ．484121214A A CC ．33484121214A C C C D ．33484121214A C C C 【答案】A【详解】本题可以先从14人中选出12人即1214C ,然后从这12人中再选出4人做为早班即412C ,最后再从剩余的8人选出4人安排为中班即48C ,剩下的4个安排为晚班,以上为分步事件应用乘法原理可得不同的排法为：124414128C C C .【名师指津】 排列组合中的分步计数原理与分类计数原理做为解决此类问题的基础.3．(2005福建文、理)从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种解：分三种情况：情况一,不选甲、乙两个去游览:则有44P 种选择方案,情况二:甲、乙中有一人去游览：有11332343C C C P 种选择方案;情况三：甲、乙两人都去游览,有22132433C C C P 种选择方案,综上不同的选择方案共有44P +11332343C C C P +22132433C C C P =240,选(B)4．(2005湖北文)把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．168 B ．96 C ．72 D ．144 解：本题主要关键是抓连续编号的2张电影票的情况,可分四种情况： 情况一：连续的编号的电影票为1,2;3,4;5,6,这时分法种数为222432C P P情况二：连续的编号的电影票为1,2；4,5,这时分法种数为222422C P P 情况三：连续的编号的电影票为2,3;4,5;这时分法种数为222422C P P 情况四：连续的编号的电影票为2,3;5,6,这时分法种数为222422C P P综上, 把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张,且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是222432C P P +3222422C P P =144(种)5．(2005湖南文)设直线的方程是0=+By Ax ，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A 、B 的值，则所得不同直线的条数是 （ ） A ．20 B ．19 C ．18D ．16[评析]:本题考查直线方程和排列组合知识交汇问题. 【思路点拨】本题涉及直线的位置关系与排列组合知识.【正确解答】[解法一]:从1,2,3,4,5中每次取两个不同的数的排列有25A 种其中取1,2和2,4或2,1和4,2表示相同直线.所以所得不同直线条数为:。

2005年高考文科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题（1）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I （B ）123I I S C S C S ⊆⋂（） （C ）Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I I（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（2）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（3）函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（4）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCFADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33 （C ）34（D ）23 （5）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332 （6）当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（7）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y（8）设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a（9）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23（C ）223 （D ）2（10）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③（11）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足⋅=⋅=⋅，则点O 是ABC ∆的（A ）三个内角的角平分线的交点（B ）三条边的垂直平分线的交点（C ）三条中线的交点（D ）三条高的交点（12）设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是（A ）1±（B ）21±（C ）33±（D ）3±第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则m = )3010.02≈（14）8)1(xx -的展开式中，常数项为 （用数字作答）（15）从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法共有 种（16）在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为3,1(（Ⅰ）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （Ⅱ）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率（精确到01.0）（21）（本大题满分12分） 设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与(3,1)a =-共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值2005年高考文科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）参考答案一、选择题（本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分）1．C 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分13．155 14．70 15．100 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此 由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分 方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD. 因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM⋅-22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB故所求的二面角为).32arccos(-方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x要使.54,0210,==-=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅-===⋅=N 有此时能使点坐标为时可知当λANB MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.555AN BN AN BN ==⋅=- 2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==-⋅2arccos().3-故所求的二面角为19．本小题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力.满分12分解：（Ⅰ）).3,1(02)(的解集为>+x x f 因而且.0),3)(1(2)(<--=+a x x a x x f.3)42(2)3)(1()(2a x a ax x x x a x f ++-=---=①由方程.09)42(06)(2=++-=+a x a ax a x f 得 ②因为方程②有两个相等的根，所以094)]42([2=⋅-+-=∆a a a ，即 .511.01452-===--a a a a 或解得由于51.1,0-==<a a a 将舍去代入①得)(x f 的解析式.535651)(2---=x x x f（Ⅱ）由aa a a a x a a x a ax x f 14)21(3)21(2)(222++-+-=++-= 及.14)(,02aa a x f a ++-<的最大值为可得 由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-,0,0142a a a a 解得 .03232<<+---<a a 或 故当)(x f 的最大值为正数时，实数a 的取值范围是).0,32()32,(+----∞ 20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为81)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.087811==-（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)81(87213=⨯⨯C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)87(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)87(13=-解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为,287.0)87(81213=⨯⨯C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087)81(223=⨯⨯C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)87()81(0333=⨯⨯C所以有坑需要补种的概率为 .330.0002.0041.0287.0=++21．本小题主要考查等比数列的基本知识，考查分析问题能力和推理能力，满分12分解：（Ⅰ）由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121*********a a a a a a +++=+++ 可得.)(220121*********10a a a a a a q +++=+++⋅因为0>n a ，所以 ,121010=q 解得21=q ，因而 .,2,1,2111 ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比21=q 的等比数列，故.2,211211)211(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n nn T +++-+++=).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减，得122)212121()21(212+++++-+++=n n n nn T 12211)211(214)1(++---+=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n nn n n T 22．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分14分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由y y x x +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴即232222c ba c a =+，所以36.32222ab ac b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+ 设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+= ⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22222122238a c ab x xc a b -==+ 1212121233()()x x y y x x x c x c +=+-- 2121243()3x x x x c c =-++22239322c c c =-+=0 又222222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ 故22μλ+为定值，定值为1。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1．(2005福建文、理)已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64解：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)2. (2005广东)已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ． 若2lim =∞→n x x ，则=1x （ B ） A ．23B ．3C ．4D ．5解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n nx x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+= ∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→xx x x n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ， ∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ， nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．3．(2005湖南文)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 [评述]:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系., 【正确解答】[解法一]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.[解法二]:设tan n n a α=，则1tan tan3tan()31tan tan 3n n nn a y παπαπα+-===-+，则13n n παα=-＋，由10a =可知，00α=，故数列{n α}是以零为首项，公差为3π-的等差数列，20019()3παα=+⨯-，202019tan tan()3a πα==-=选B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4．(2005湖南理)已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则l i m 21321111()n n n a a a a a a →∞++++---= （ ）A ．2B ．23 C ．1 D ．21[评析]：本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（06数列）一、选择题：1．(2005福建文、理)已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．64解：由7916a a +=,得a 8=8,∴817844d -==-,∴a 12=1+8×74=15,选(A)2. (2005广东)已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ， ,4,3=n ． 若2lim =∞→n x x ，则=1x （ B ） A ．23B ．3C ．4D ．5解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim =∞→n x x ，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n n x x x x 即， ∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列，令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==---+-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+= ∴2323)21(321111lim lim ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-∞→∞→xx x x n x n x ，∴31=x ，故选B . 解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ， ∴其特征方程为0122=--a a ，解得 211-=a ，12=a ， nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212x c =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．3．(2005湖南文)已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = （ ）A ．0B ．3-C ．3D ．23 [评述]:本题由数列递推关系式,推得数列{a n }是周期变化的,找出规律,再求a 20.【思路点拨】本题涉及数列的相关知识与三角间的周期关系., 【正确解答】[解法一]:由a 1=0,).(1331++∈+-=N n a a a n n n 得a 2=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅==,0,3,343a a由此可知: 数列{a n }是周期变化的,且三个一循环,所以可得:a 20=a 2=-.3故选B.[解法二]:设tan n n a α=，则1tan tan3tan()31tan tan 3n n nn a y παπαπα+-===-+，则13n n παα=-＋，由10a =可知，00α=，故数列{n α}是以零为首项，公差为3π-的等差数列，20019()3παα=+⨯-，202019tan tan()3a πα==-=选B【解后反思】这是一道综合利用数列内部之间递推关系进行求解的题目.当我们看到有递推式存在时,不要急于通过代入,达到一个个来求解的目的, 如此这般, 既显得过于复杂,同时破坏了数学的逻辑性,而要通过化简,找到最直接的途径.本题中巧妙的逆用了两角和与差的正切公式,得出此数列为等差数列的结论,顺利达到求解的目的.4．(2005湖南理)已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则l i m21321111()n n n a a a a a a →∞++++---=（ ）A ．2B ．23C ．1D ．21[评析]：本题考查了等差数列，等比数列的通项公式和求和公式及数列极限相关交汇知识。

2005年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（15概率、随机变量及其分布）一、选择题：1. (2005广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子 朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为 （ C ）A ．61B ．365 C ．121 D ．21解：满足1log 2=Y X 的X 、Y 有(1, 2)，(2, 4)，(3, 6)这3种情况，而总的可能数有36种，所以121363==P ，故选C ．2．(2005湖北理)以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为 （ ）A ．385367B ．385376C ．385192D ．38518解：以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形共有2856C =个, 从中随机取出两个三角形共有256C =28×55种取法,其中两个三角形共面的为2412126C =⨯,故不共面的两个三角形共有(28×55-12×6)种取法,∴．以平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p 为43673674385385⨯=⨯,选(A) 3．(2005江西理)将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ）A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.【正确解答】将1,22-------9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列,种数为了4,所以答案为B【解后反思】这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a ，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b ，最后要求的概率就是b a.4(2005山东文、理)10张奖卷中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是 （A ）310 （B ）112 （C ）12 （D ）1112【思路点拨】本题是考查概率的基础知识、概率的基本运算和应用能力，将“至少”问题转化为对立事件可简化为计算.【正确解答】10张奖卷中抽取5张可能的情况有510C 种， 5人中没有人中奖的情况有57C 中，先求没有1人中奖的概率，57510112C P C ==，至少有1人中奖的概率是5751011112C P C =-=，选D【解后反思】概率与统计这部分内容要求不高，关键是掌握概念公式并能在具体问题中正确应用.5. (2005天津文、理)某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 （A ）81125 （B ）54125 （C ）36125 （D ）27125【思路点拨】本题是一道独立重复试验的概率题.“至少”问题可直接求或用其对立条件进行求解. 【正确解答】223810.60.4125P C =⨯⨯=，选A 解法2：三次射击行为互不影响。