高二数学上期末考试模拟试题2

湖北省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）年级：高二 科目：数学（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.抛物线212y x =的准线方程是 ( ) A. 18y =-B. 12y =-C. 18x =- D. 12x =- 2.已知命题p :R x ∃∈使得12x x+<，命题2q :R,1x x x ∀∈+>，下列为真命题的是（ ） A. ()q p ⌝∧ B. ()p q ∧⌝ C.q p ∧ D. ()()p q ⌝∧⌝3.圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）A. 30x y -=B. 30x y +=C. 30x y -=D. 30x y += 4.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（ ）5.“15k <<”是“方程22151x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.执行如图所示的程序框图,输出20172018s =,那么判断框内应填（ ）A. 2017?k ≤B. 2018?k ≥C. 2017?k ≥D. 2018?k ≤7.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）A.12B. 33C. 36D. 398.若()2,2P -为圆()221100x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）． A.260x y --= B.220x y ++= C.220x y +-= D.260x y --= 9.已知圆1F ： ()22236x y ++=，定点()22,0F ， A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ）A. 22143x y +=B. 22134x y +=C. 22195x y +=D. 22159x y += 10.甲、乙两名同学打算在下午自习16:00-17:00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个学生的问题需要15分钟.若甲乙两人在16:00-17:00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ）A.316 B. 516 C. 716 D. 91611.已知0,0a b >>，且3a b +=，则14a b+的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 512.将一颗六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a b 、，设直线1:2l ax by +=与2:22l x y +=平行的概率为1P ，相交的概率为2P ，则圆22:16C x y +=上到直线126211()P x P y -+=的距离为2的点的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.学生A ， B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m =__________．14.在ABC ∆中，三顶点()2,4A ， ()1,2B -， ()1,0C ，点(),P x y 在ABC ∆内部及边界运动，则z x y =-最大值为_________. 15.在球面上有,,,A B C D 四个点，如果,,AD AB AB BC ⊥⊥,BC AD ⊥1,AD =2,AB =3,BC =则该球的表面积为________.16.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PBk k ⋅=，则该双曲线的离心率e =_______．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．（Ⅰ）求角C 的值．（Ⅱ）若43CA CB ⋅=，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．18.（本题满分12分）已知0m >， 2:280p x x --≤， :22q m x m -≤≤+.（Ⅰ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若3m =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.19.（本题满分12分）为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所 得数据画了如下的样本频率分布直方图． （Ⅰ）求成绩在[)600,700的频率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[)650,700这段的人数？20.（本题满分12分）已知直线10ax y -+=与圆22:6440C x y x y +-++=交于,A B 两点，过点()5,1P -的直线l 与圆C 交于,M N 两点，（Ⅰ）若直线l 垂直平分弦AB ，求实数a 的值；（Ⅱ）若4MN =，求直线l 的方程；21.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中,BCD ∆是等腰直角三角形,且BC CD ⊥,4BC =,AD ⊥平面BCD ,2AD =.（Ⅰ）求证:平面ABC ⊥平面ADC（Ⅱ）若E 为AB 的中点,求点A 到平面CDE 的距离.22.（本题满分12分）已知椭圆22154x y +=，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于M ， N 两点． （Ⅰ）若83OM ON ⋅=-，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(),0P a ，求实数a 的取值范围．参考答案及评分标准一、 选择题BCABB ADACD BB二、 填空题13：5 14：1 15：14π 16：2 三、解答题 17、解：（1）cos cos 2cos a B b A c C+=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，∴sin()2sin cos A B C C +=∴sin 2sin cos C C C =2cos 2C ∴=又0C π<<， ∴π4C =．…………………………………5分 （2）∵2cos 432CA CB ab C ab ⋅===， ∴112sin ()2322ABC S ab C ab ∆===，……………………10分 18、解：(1)记命题p 的解集为A=[-2，4]， 命题q 的解集为B=[2-m ，2+m]， ∵p 是q 的充分不必要条件 ∴ ∴22{24m m -≤-+≥，解得： 4m ≥. …………………………………5分(2)∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，∴命题p 与q 一真一假， ①若p 真q 假，则241,,5x x or x -≤≤⎧⎨<->⎩»，解得：[)2,1x ∈-- …………………8分②若p 假q 真，则2,,415x or x x <->⎧⎨-≤≤⎩，解得： (]4,5x ∈. ………………11分综上得： [)(]2,14,5x ∈--. ………………………………………12分19、解：（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，700）的频率为0.003500.001500.2⨯+⨯= ；…………………………………………2分（2）设样本数据的平均数为a ,中位数为b ,0.002504250.004504750.00550525a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.005505750.003506250.00150675+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯540= …………………………………………………………5分根据直方图估计中位数b 在[500,550)段0.002500.004500.005(500)0.5b ⨯+⨯+⨯-=解得540b = ……………………………………………………8分 所以数据的平均数和中位数都是540（3）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，所以我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人），……12分 20、解：（Ⅰ）由于圆22:6440C x y x y +-++=即22:(3)(2)9C x y -++=圆心()3,2C -，半径为3， 直线10ax y -+=即1y ax =+由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线l 上， 所以l 的过点()5,1P -和()3,2C -，斜率 所以2AB k a ==-， …………………………………………………………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程是(5)1y k x =--, C 到l 的距离解得2k =-， ……………………………………………………………10分 所以l 的方程是：2(5)1y x =--- 即l 方程为： 290x y +-=………………………………………………12分21、解：（1）证明：AD ⊥平面,BCD BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥， 又,BC CD CDAD D ⊥=，BC ∴⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD . …………………………………5分（2）由已知可得CD =，取CD 中点为F ，连结EF ，132ED EC AB ===，ECD ∴∆为等腰三角形，EF ∴= ECD S ∆= …………………………………8分由（1）知BC ⊥平面,ACDE ∴到平面ACD 的距离为122BC =， 4ACD S ∆=，……………10分设A 到平面CED 的距离为d ， 有11233A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d =.A ∴到平面CDE . ………………………………12分22、解：（1）当直线l 的斜率不存在时， 161OM ON ⋅=-1分 当直线l 的斜率存在时，设()11,M x y ， ()22,N x y ，直线l 的方程为()1y k x =-，① 由①②可得()222254105200k x k x k +-+-=，3分4分∴12OM ON x x ⋅=，解得24k =，………………………5分 ∴2k =±，即直线l 的方程为()21y x =-或()21y x =--．………………………6分（2）由（1设MN的中点为Q ，即…………………………8分1k k⋅=-，直线PQ的方程是PQ MN令0y=解得10分k=时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，当0k≠时，11分当0综上所述，存在点P且12分湖北省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“对任意x R ∈，都有210x x -+>”的否定为（ ）A ．对任意x R ∈，都有210x x -+≤B ．不存在x R ∈，使得210x x -+>C ．存在0x R ∈，使得20010x x -+≤D ．存在0x R ∈，使得20010x x -+<2.若复数z 满足(12)2i z i -=+，则|z |=（ ）A ．25B ．1C ．5 D3.余弦函数是偶函数，2()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）A ．结论不正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 4.袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则①至少有1个白球和至少有1个黑球； ②至少有2个白球和恰有3个黑球； ③至少有1个黑球和全是白球； ④恰有1个白球和至多有1个黑球. 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ） A ．① B ．② C. ③ D ．④ 5.下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若21x ≠，则1x ≠”的逆命题B ．命题“若x y ≥，则||x y ≥”的否命题C.命题“若2x =-，则220x x +-=”的逆命题D ．命题“若1x ≤，则21x ≤”的逆否命题6.①已知322p q +=，求证2p q +<，用反正法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x ax a =++，求证|(1)|f 与|(2)|f 中至少有一个小于12，用反证法证明时可假设1|(1)|2f ≥，且1|(2)|2f ≥，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 7.下列各数中，最大的是（ ）A ．(2)101010B ．(3)111 C. (4)32 D ．(7)548.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．34s ≤B ．56s ≤ C. 1112s ≤ D ．2524s ≤ 9.某校艺术节对摄影类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“,A D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．A 作品 B ．B 作品 C. C 作品 D ．D 作品 10.下列说法中错误的是（ ）A ．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B ．线性回归直线y b x a ∧∧∧=+一定过样本中心点(,)x y C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1D ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是2311.鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）A ．23B ．13 C. 35 D ．2512.命题“存在[1,2]x ∈，使20x a ->成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）A ．1a ≤B ．1a < C. 4a ≤ D ．4a <第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.13.对某同学的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为83；③平均数为85；④极差为16；其中，正确说法的序号是 ．14.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,960⋯⋯，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,720]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．15.在2017年11月11日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是3.246.4y x ∧=-+，则m = ．16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====则按照以上规律，若=有“穿墙术”，则n = ．三、解答题 ：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）用秦九韶算法求多项式5432()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值；（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.18.已知复数12z a i =-，234z i =+（a R ∈，i 为虚数单位）.（1）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；（2）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.19.设:p 实数x 满足22320x ax a -+≤，其中0a >，命题:q 实数x 满足1288x <<. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. （1）求n 的值；（2）从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数,x y ，求事件“2()4a b x y -+>恒成立”的概率.21.证明下列不等式：（1）当2a >时，求证：2220a a a ---+>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥.22.某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到A 类工人生产能力的茎叶图（图1），B 类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.（1）在样本中求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取n 名工人进行调查，请估计这n 名工人中的各类人数，完成下面的22⨯列联表.若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则n 的最小值为多少？参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.试卷答案一、选择题1-5:CBCDB 6-10:DADBC 11、12：BC二、填空题13. ②④ 14. 8 15.20 16.99三、解答题17.解：（1）()((((54)3)2)1)3f x x x x x x =++++-05v =；152414v =⨯+=；2142331v =⨯+=；3312264v =⨯+=46421129v =⨯+=；512923255v =⨯-=所以，当2x =时，多项式的值为255.（2）13581154=⨯+8154127=⨯+542720=⨯+则81与135的最大公约数为2718.解：（1）依据12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-根据题意12z z ⋅是纯虚数，380460a a +=⎧⎨-≠⎩ 83a =-； （2）根据题意12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，可得3808346032a a a +>⎧⇒-<<⎨-<⎩所以，实数a 的取值范围为83{|}32a a -<< 19.解：由22320x ax a -+≤，得()(2)0x a a a --≤，又0a >，所以:2p a x a ≤≤. 又1288x <<得33x -<<，所以:33q x -<< （1）当2a =时:24p x ≤≤由p q ∧为真，则x 满足2433x x ≤≤⎧⎨-<<⎩，则实数x 的取值范围是23x ≤<，（2）p 是q 的充分不必要条件，记{|2,0}A x a x a a =≤≤>，{|33}B x x =-<<则A 是B 的真子集，满足023a a >⎧⎨<⎩，则实数a 的取值范围是302a <<20.解：（1）依题意122n n =+，得2n =. ①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为,k h ，则取出2个小球的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,)s s s t s k s h t s ，(,),(,),(,),(,),(,)t t t k t h k s k t ，(,),(,),(,),(,),(,)k k k h h s h t h k ，(,)h h 共16种，其中满足“2a b +=”的有5种：(,),(,),(,),(,),(,)s k s h t t k s h s .所以所求概率为5()16P A = ②记“2()4a b x y -+>恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“1x y +>”恒成立，(,)x y 可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为{(,)|02,02,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈，而事件B 构成的区域为{(,)|1,(,)}B x y x y x y =+>∈Ω.所以所求的概率为7()8P B =21.试题解析：（1）要证0><只要证22<，只要证24a a +<，a <，由于2a >，只要证224a a -<，<（2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >， 所以111a b +=11()()a b a b a b +=++ 11b a a b=+++ 224b a a b ≥+⋅= 当且仅当b a a b=，即a b =时，等号成立 所以4a b +≥22.解析：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为1150.041250.36D x =⨯+⨯1350.41450.2+⨯+⨯=4.6455429132.6+++=； （Ⅱ）由（Ⅰ）及所给数据得能力与培训的22⨯列联表如下：由上表得2422433915()1010202040010.8283119311933442020442020n n n n n n n n k n n n n n ⨯-⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 解得357.324n >，又人数必须取整，∴n 的最小值为360.。

黑龙江省高二数学上册期末模拟试题（含答案）一、选择题（每题5分，共60分） 1．若复数12iz i=-+，则z 的虚部为（ ） A ．15i - B ．15- C ．15i D ．152.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）.A.不存在0x ∈R, 02x>0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x≤0 D.对任意的x ∈R, 2x>03．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12．其中，正确说法的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生377370zA ．24B ．18C ．16D ．125．执行如图所示的程序框图，如果输出3=S ，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 6．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程2x x m +-=无实根，则0m ≤”B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D ．若椭圆251622y x +＝1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为20． 7．已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t=( ) A ．6．7 B ．6．6 C ．6．5 D ．6．48.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为（ ） A ．1316 B ．78 C ．34 D ．589．命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(][),04,-∞⋃+∞ D ．()(),04,-∞⋃+∞ 10．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．12D ．1- 11．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p << 12.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题（每题5分，共20分）13．若复数z 满足11zi z -=+，则|1|z +的值为 ． 14.已知111()1()23f n n n+=+++⋅⋅⋅+∈N ，且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时， 有_____________．15．用秦九韶算法计算函数43()2354f x x x x =++-当2x =时的函数值， 其中2v = ． 16．给出定义：若 1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①函数()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②函数()y f x =的图像关于y 轴对称； ③函数()y f x =的图像关于坐标原点对称； ④ 函数()y f x =在11(,]22-上是增函数； 则其中正确命题是 （填序号）． 三、解答题（17题10分18-22每题12分）17. 某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100．（1）求图中a 的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．18. 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500 ml 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖． 常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖 18 合计30已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整．（2）是否有99．5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由． 参考数据： P （K 2≥k 0） 0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 02．0722．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．19. 已知向量a →＝(2,1)，b →＝(x ，y)．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a →,b →的夹角是钝角的概率．20. 从某学校 的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校800名男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为ycm xcm ,，事件{}5≤-=y x E ，事件{}15＞y x F -=，求概率()F P E ．21. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y2．5344． 5（1221,niii nii x y nx yb a y b x xnx∧∧∧==-==--∑∑）（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？22.已知命题p ：1x 和2x 是方程2x mx 20－－＝的两个实根，不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立；命题q ：不等式2ax 2x 10>＋－有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围.答 案一、选择题DDCCB BAADB BB 二、填空题13.2 14. 2(2)2n n f +>15.14 16.①④三、解答题17. （1）0.005a = （2）73, 327118. （1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则＝，解得x ＝6．列联表如下： 常喝 不常喝 合计 肥胖 6 2 8 不肥胖 4 18 22 合计 102030（2）由已知数据可得K 2＝≈8．523>7．879，19.1320.（Ⅰ）0.06；（Ⅱ） 144；（Ⅲ）715．. 21. （1）0.70.35y x ∧=+（2）19．6522. ∵12x x ，是方程2x mx 20－－＝的两个实根，∴1212x x m x x 2⋅＋＝，＝－，∴22121212|x x |(x x )4x x 8m -+－＝+＝， ∴当,1[]1m ∈－时，12||3max x x －＝， 4分 由不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立，可得：2a 5a 33≥－－，∴61a a ≥≤或－， 6分 ∴命题p 为真命题时61a a ≥≤或－， 若不等式2ax 2x 10>＋－有解，则 ①当0a >时，显然有解，②当0a =时，2ax 2x 10>＋－有解， ③当0a <时，∵2ax 2x 10>＋－有解，∴44a 01a 0∆>∴<<＝＋，－， 所以不等式2ax 2x 10>＋－有解时1a >－.又∵命题q 是假命题，∴1a ≤－， 故命题p 是真命题且命题q 是假命题时，a 的取值范围为1a ≤－.黑龙江省高二数学上册期末模拟试题（含答案）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z =，则||z =（ ）A ．14B ．12C ．1D ．22.数列2，5，10，17，…的一个通项公式为（ ） A ．2nB ．2n n +C ．12n -D ．21n +3.命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．44.已知a b >，则下列不等式正确的是（ ） A ．ac bc >B ．22a b >C ．||||a b <D ．22a b>5.椭圆22(2)kx k y k ++=的焦点在y 轴上，则k 的取值范围是（ ） A ．2k <- B ．2k >- C ．0k > D ．0k <6.已知实数x ，y 满足1,21,8,y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩则目标函数z x y =-的最小值为（ ）A ．2-B ．5C ．6D ．77.《张丘建算经》有一道题：今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布（ ） A ．110尺B ．90尺C ．60尺D ．30尺8.在ABC ∆中，若sin cos cos a b cA B C ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形9.“1x >”是“11x <”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.已知x ,y 都是正数，且xy x y =+，则4x y +的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．1011.下列命题中真命题的个数为（ ） ①“()p p ∨⌝”必为真命题；②2+③数列{}52n -是递减的等差数列；④函数1()2f x x x =+（0x <）的最小值为-．A ．1B ．2C ．3D ．412.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）A．2 B．12C．2D1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知p ：44x a -<-<，q ：(2)(3)0x x -->，若p ⌝是q ⌝的充分条件，则实数a 的取值范围是 ． 14.在等比数列{}n a 中，11a =，48a =，则前5项和5S = ．15.已知两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 且12||F F 是1||PF 与2||PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 ．16.若关于x 的不等式211()22n x x +≥，当(,]x λ∈-∞时对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知p ：03m ≤≤，q ：(2)(4)0m m --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数m 的取值范围．18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，23C π=，6a =．（1）若14c =，求sin A 的值；（2）若ABC ∆的面积为c 的值． 19. （本小题满分12分）已知2()3(5)f x x a a x b =-+-+. （1）当不等式()0f x >的解集为(1,3)-时，求实数a ，b 的值； （2）若对任意实数a ，(2)0f <恒成立，求实数b 的取值范围． 20. （本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足422a a -=，且1a ，3a ，7a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设211n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．21. （本小题满分12分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长，设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：（1）求y 关于t 的回归方程y bt a =+；（2）用所求回归方程预测该地区2016年（6t =）人民币储蓄存款．附：回归方程y bt a =+中，121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．22. （本小题满分12分） 数列{}n a 中，13a =，122n n a a +=+（*n N ∈）．（1）求2a ，3a 的值；（2）求证：{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（3）设2n n n b a =+，12n n S b b b =+++…，证明：对*n N ∀∈，都有1455n S ≤<．答 案 一、选择题1-5:BDBDA 6-10:ABDDC 11、12：CD 二、填空题13.[]1,6- 14.31 15.22143x y += 16.(,1]-∞-三、解答题17.解：由(2)(4)0m m --≤，得q ：24m ≤≤， ∵p q ∧为假，p q ∨为真， ∴p ，q 一真一假，18.解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin a c A C =，即6sin 3A =，即33sin 14A =．（2）∵133sin 3322ABC S ab C ∆===2b =．由余弦定理得：22212cos 436226()522c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，∴52213c ==19.解：（1）由已知，1-，3是23(5)0x a a x b -+-+=两解， ∴3(5)0,273(5)0,a a b a a b +--=⎧⎨---=⎩解得2,9,a b =⎧⎨=⎩或3,9.a b =⎧⎨=⎩（2）由(2)0f <，即2210(12)0a a b -+->对任意实数a 恒成立， ∴2(10)8(12)0b ∆=---<，∴12b <-，故实数b 的取值范围为1(,)2-∞-． 20.解：（1）设公差为d ，由已知可得231722,,d a a a =⎧⎨=⎩即21111,(2)(6),d a d a a d =⎧⎨+=+⎩解得12a =，1d =，∴1n a n =+．（2）211111()1(2)22n n b a n n n n ===--++，所以111111(1)23242n S n n =-+-++-+…1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++． 21.解：（1）列表计算如下：这里5n =，=5111535n i i t t n ====∑，=511367.25n i i y y n ====∑，51120n i i i t y ===∑，52155n i i t ===∑，从而121.210b ==，=a y bt -7.2 1.23 3.6=-⨯=，故所求回归方程为 1.2 3.6y t =+．（2）将6t =代入回归方程可预测该地区2016年的人民币储蓄存款为1.26 3.610.8y =⨯+=（千亿元）．22.解：（1）由222n n a a +=+，得122(2)n n a a ++=+，∵13a =，125a +=，∴{}2n a +是首项为5，公比为2的等比数列，1252n n a -+=⨯，∴1522n n a -=⨯-．（2）易知152n n nb -=⨯，所以01211123()52222n n n S -=++++…，① 12311123()252222n n nS =++++…，②①-②，得0121121111()522222n n n n S --=++++- (11)1222()(2)1525212n n n n n --2+=-=--，所以141245525n n n S -+=-⨯<，又∵11122321()052252n n n n n n n n S S ++++++-=-=⨯>， ∴{}n S 单调递增，115n S S ≥=，∴*n N ∀∈，1455n S ≤<．。

江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.双曲线2214y x -=的渐近线方程是 ． 2.焦点为(0,2)的抛物线标准方程是 ． 3.命题“若a b <，则22a b <”的否命题为 ．4.等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若53a =，则9S = ．5.函数y =的定义域是 ．6.已知实数x ，y 满足条件30,0,0,x y y x +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则2x y +的最大值是 ．7.在等比数列{}n a 中，70a <，242646236a a a a a a ++=，则35a a += ． 8.对任意的[]0,1x ∈，都有2(1)30x a x a +-+-≤成立，则实数a 的取值范围是 ． 9.数列{}n a 满足11a =，1(1)0n n n a a a ++-=（*n N ∈），则2018a = ． 10.函数()cos 2f x x =+（(0,)2x π∈）的极小值是 ．11.过抛物线24y x =的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2FA BF =，则直线AB 的斜率为 ．12.已知x ，y R +∈，且244x y+=，则21x y+的最小值是 ． 13.已知1F ，2F 为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若椭圆上存在点P 使2||PF c=（c 为半焦距）且12F PF ∠为锐角，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14.已知实数a ，b 满足1a b +=，则33(1)(1)a b ++的最大值是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+． （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围； （2）若2m =，“p q ⌝∧”为真命题，求实数x 的取值范围．16.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AB =，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上．（1）若异面直线AM 和1A N 所成的角为90︒，求AM 的长； （2）若14CC CM =，求二面角1A DN M --的余弦值．17.我市“金牛”公园欲在长、宽分别为34m 、30m 的矩形地块内开凿一“挞圆”形水池（如图），池边由两个半椭圆22221(0)x y x a b +=≤和22221y x b c+=（0x ≥）组成，其中0a b c >>>，“挞圆”内切于矩形且其左右顶点A ，B 和上顶点C 构成一个直角三角形ABC ．（1）试求“挞圆”方程；（2）若在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，则该网箱水面面积最大为多少？18.设{}n a 是公差为d （0d ≠）且各项为正数的等差数列，{}n b 是公比为q 各项均为正数的等比数列，n n n c a b =⋅（*n N ∈）． （1）求证：数列1nn nc c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）若112a b ==，220c =，364c =． （i ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （ii ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右顶点，B 是上顶点，C 是椭圆位于第三象限上的任一点，连接AC ，BC 分别交坐标轴于P ，F 两点．（1）若点F 为左焦点且直线CO 平分线段AB ，求椭圆的离心率； （2）求证：四边形ABFP 的面积是定值． 20.已知函数()ln mf x x x=+()m R ∈. （1）若函数()f x 的图象与直线240x y +-=相切，求m 的值； （2）求()f x 在区间[]1,2上的最小值；（3）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，试求实数m 的取值范围．高二数学答案 一、填空题1.2y x =±2.28x y = 3.若a b ≥，则22a b ≥ 4.27 5.[]4,3-6.67.6-8.3a ≥9.1201810.12-+ 11.±12.4 13.1(1)214.4二、解答题15.解：（1）因为p ：23x -≤≤；又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件， 则23,22m m +≤⎧⎨-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，p ⌝：3x >或2x <-．因为p q ⌝∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或则(3,4][4,2)x ∈--．16.解：以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，1DD 为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系．（1）则(1,0,0)A ，1(1,0,2)A ，(0,1,0)C ，1(,1,0)2N ，设(0,1,)M m ， 所以11(,1,2)2A N =--，(1,1,)AM m =-因为AM 和1A N 所成的角为90︒，所以1A N 0AM ⋅=， 则11202m +-=，34m =， 所以41||AM =（2）当14CC CM =时，则1(0,1,)2M ，设面1A DN 的法向量为000(,,)n x y z =，面MDN 的法向量1111(,,)n x y z =， 因为1(1,0,2)DA =，1(,1,0)2DN =，1(0,1,)2DM =，则10DA n ⋅=，0DN n ⋅=，∴000020,10,2x z x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取02x =，则01y =-，01z =-，则(2,1,1)n =--，又10DN n ⋅=，10DM n ⋅=，∴111110,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩所以||6n =，1||3n =，13n n ⋅=，则1116cos ,6||||n n n n n n ⋅<>==⋅，根据图形可知，二面角1A DN M --平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，所以其大小的余弦值为617.解：（1）由题意知2222215,34,()()34,,b a c a b b c a b c =⎧⎪+=⎪⎨+++=⎪⎪>>⎩ 解得25,15,9,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以“挞圆”方程为：22221(0)2515x y x +=≤和22221(0)159y x x +=≥. （2）设00(,)P x y 为矩形在第一象限内的顶点，10(,)Q x y 为矩形在第二象限内顶点，则2200222201221,1591,2515y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得10259x x =- ，所以内接矩形的面积2200000022342153421534()5109915915x y x y S x y =⋅=⨯⨯⋅⋅≤⨯+=，当且仅当009152x y ==时S 取最大值510. 答：网箱水面面积最大5102m . 18.解：（1）因为11111111()n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a b a b a b ac qc a b qa b a b a b b a a qd++++++++⋅====----，所以112111n n n n n n n n c c a q d c qc c qc qd qd qd q+++++-=-==--（常数），由等差数列的定义可知数列1n n n c c qc +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1q 为公差的等差数列．（2）（i ）因112a b ==，220c =，364c =，所以22(2)20,2(22)64,q d q d +=⎧⎨+=⎩因{}n a 的各项为正数，所以3,2,d q =⎧⎨=⎩则31n a n =-，2nn b =．（ii ）因31n a n =-，2n n b =，所以(31)2nn c n =-⋅，所以231225282(31)2nn n ii S cn ===⨯+⨯+⨯++-⋅∑…，①2312 2252(34)2(31)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅…，②①-②得23143(222)(31)2nn n S n +-=++++--⋅…114(12)=4+3(31)212n n n -+-⨯--⋅-11412(21)(31)2n n n -+=+---⋅1(34)28n n +=-+⋅-，所以1(34)2+8n n S n +=-⋅．19.解：（1）设椭圆焦距为2c ，则(0,)B b ，(,0)F c -，直线BF 的方程为1x yc b+=-， 联立方程组22221,1,x yc bx y a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪⎩⇒222(1)1x x a c ++=，即22211()20x x a c c ++=，所以2322222(,)a c b C a c a c --++， 又AB 中点D (,)22a b ，因CO 平分线段AB ，所以C ，O ，D 三点共线，则OCOD k k =，所以322b b a a c=，则22b ac =⇒222a c ac -=⇒212e e -=，所以1e =．（2）设00(,)C x y ，则直线AC 的方程为00()y y x a x a =--，所以0(0,)ay P a x -； 直线BC 的方程为00y b y x b x -=+，所以0(,0)bx F b y -； 所以00||b AF a b y =--，00||ay BP b a x =--， 因为22222200b x a y a b +=，则四边形ABFP 的面积22000000011||||()22()()abx a y b x S AF BP ab a x b y a x b y =⋅=+------222222000000001()2()()abx y ab x a by b x a y ab a x b y --++=+--000000(1()2()()ab x y bx ay ab ab ab a x b y --+=+=--， 所以四边形ABFP 的面积是定值ab ． 20.解：（1）设切点000(,ln )mP x x x +，因切线方程为240x y +-=， 所以12k =-02001'()m f x x x ==-，①又0001ln 22m x x x +=-+，② 由①得0012x mx =+，③，将③代入②得00ln 10x x +-=，所以01x =，因为000()ln 1g x x x =+-在(0,)+∞上递增，则01x =是唯一根， 所以切点(1,)P m ，代入切线方程得32m =． （2）因为()ln (0)mf x x x x=+>， 所以21'()m f x x x =-=2x mx -，因0x >，当0m ≤时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞上单调递增； 所以()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当0m >时，(0,)x m ∈有'()0f x <，(,)x m ∈+∞有'()0f x >， 所以()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增， 则当2m ≥时，()f x 在[]1,2递减，则min ()(2)ln 22mf x f ==+； 当01m <≤时，()f x 在[]1,2递增，则min ()(1)f x f m ==；当12m <<时，()f x 在[]1,m 递减，在[],2m 递增，则min ()()ln 1f x f m m ==+．综上有minln 2,2,2()ln 1,12,, 1.m m f x m m m m ⎧+≥⎪⎪=+<<⎨⎪≤⎪⎩（3）由（2）可知，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 至多有一个零点，又当0m >时，()f x 在(0,)m 上单调递减，在(,)m +∞上单调递增，所以min ()()f x f m =，若()f x 由两个相异零点，则必有()0f m <，即()ln 10f m m =+<，则10m e<<．第6题图 江苏省高二数学上册期末模拟试卷（含答案）一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0.65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20. （本小题16分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>上的一动点P到右焦点的最短距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设()4,0P，,A B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于,M N两点，求OM ON⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P是椭圆22194x y+=上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)nx*()n∈N的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；24.（本小题10分）是否存在a 、b 、c使得等式1·22+2·32+…+n (n +1)2=12)1(+n n (a n 2+bn +c ) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．PEDCBA答 案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．321- 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.或52-13．８ 14．2(,1)215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 12k 1－13＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 12k 1－13＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R . (1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2)2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P 到右焦点的最短距离为22-，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知222a c a cbc ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分 （3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ．由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=．∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤．所以1[4,)2OM ON ⋅∈--．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =． 解得6(1,)M ，6(1,)N -． 此时12OM ON ⋅=-．所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． (16)21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则22()()22194x y--+=. 即2213616x y +=。

【必考题】高二数学上期末一模试题(及答案)(2)一、选择题1．如图，一个边长为2的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入500粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有150粒，则这个月牙图案的面积约为（）A．35B．45C．1D．652．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A．1180sin,242S nn=⨯⨯B．1180sin,182S nn=⨯⨯C．1360sin,542S nn=⨯⨯D．1360sin,182S nn=⨯⨯3．如图所给的程序运行结果为41S=，那么判断框中应填入的关于k的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面四种说法正确的是（ ）．①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个 ②第二季度与第一季度相比，空气合格天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月的空气质量最差 A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤6．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S =（单位：升），则输入的k =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．127．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．136B ．118C ．112D ．198．定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则式子π2πtan cos 43⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．－1B ．12C．1D．3 29．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．至少有一个白球；红、黑球各一个D．恰有一个白球；一个白球一个黑球10．执行如图所示的程序框图，若输入x=9，则循环体执行的次数为（）A．1次B．2次C．3次D．4次11．执行如图的程序框图，若输出的4n ，则输入的整数p的最小值是（）A．4B．5C．6D．1512．有一个容量为200的样本，样本数据分组为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150)，其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为（）A ．48B ．60C ．64D ．72二、填空题13．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，E 为正方体内任意一点，则AE 的长度大于3的概率等于_________.14．我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．15．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为______．16．设{}{}1,3,5,7,2,4,6a b ∈∈，则函数()log a bf x x =是增函数的概率为__________．17．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115ii x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 18．甲、乙二人约定某日早上在某处会面，甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达，乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达，则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.19．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20．已知AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，5OB =，在线段OB 上任取一点C ，则AOC ∆为锐角三角形的概率_________．三、解答题21．现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓日语，1B ，2B ，3B 通晓俄语，1C ，2C 通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组．()1列出基本事件；()2求1A 被选中的概率；()3求1B 和1C 不全被选中的概率．22．某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中20181Q 表示2018年第一季度，以此类推）： 季度 20181Q 20182Q 20183Q 20184Q 20191Q季度编号x 1 2345销售额y （百万元）4656 67 86 96（1）公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司20193Q 的销售额.附：线性回归方程：y bx a =+$$$其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$a y bx=-$ 参考数据：511183i ii x y==∑.23．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每公斤25元，成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价以每公斤10元处理完.根据以往的销售情况，得到如图所示的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数x （同一组中的数据用该组区间中点值代表）；（2）该经销商某天购进了250公斤这种蔬果，假设当天的需求量为x 公斤(0500)x ≤≤，利润为y 元.求y 关于x 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y 不小于1750元的概率.24．用秦九韶算法求()543383f x x x x =+-25126x x ++-,当2x =时的值.25．今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注，某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度，对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查，每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分．现将打分的情况分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．已知第二组的频数为10．（1）求图中实数a ，b 的值；（2）求所打分值在[6，10]的客户人数；（3）总公司规定，若4S 店的客户回访平均得分低于7分，则将勒令其停业整顿．试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计，判断该4S 店是否需要停业整顿． 26．某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表： 组号 分组频率第1组 [)160,165 0.05第2组 [)165,1700.35 第3组 [)170,175 ①第4组 [)175,1800.20 第5组[]180,1850.10()1求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；()2根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数(结果都保留两位小数)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用与面积有关的几何概型概率计算公式求解即可. 【详解】由题可知,正方形的面积为=22=4S ⨯正,设这个月牙图案的面积为S , 由与面积有关的几何概型概率计算公式可得,向这个正方形里随机投入芝麻,落在月牙形图案内的概率为150=4500S S P S ==正,解得65S =. 故选:D 【点睛】本题考查与面积有关的几何概型概率计算公式;属于基础题、常考题型.2．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时， 2.6S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．A解析：A【解析】在A 中，1月至8月空气合格天数超过20谈的月份有：1月，2月，6月，7月，8月， 共5个，故A 正确；在B 中，第一季度合格天数的比重为2226190.8462312931++≈++；第二季度合格天气的比重为1913250.6263303130++≈++，所以第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了，所以B 是正确的；在C 中，8月空气质量合格天气达到30天，是空气质量最好的一个月，所以是正确的； 在D 中，5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差，所以是错误的， 综上，故选A .5．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,i S 的值，当输出的63S =时，退出循环，对应的条件为5i ≤，从而得到结果. 【详解】当=11S i =，时，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当1123,2S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当2327,3S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当37215,4S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当415231,5S i =+==，不满足输出条件，故进行循环，执行循环体； 当313263,6S i =+==，满足输出条件，故判断框中应填入的条件为5i ≤， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，根据题意写出判断框中需要填入的条件，属于简单题目.6．D解析：D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =，S k =； 2n =，22k kS k =-=；3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k kS =-==，所以12k =. 故选：Ｄ. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题.7．B解析：B 【解析】设大圆的半径为R ，则：126226T R ππ==⨯=， 则大圆面积为：2136S R ππ==，小圆面积为：22122S ππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.8．D解析：D 【解析】 【分析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a b S b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，由此计算可得结论. 【详解】由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数()(),1,a a b a bS b a a b ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的值，可得2tan cos 43ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112⎛⎫=⊗- ⎪⎝⎭， 因为112>-， 所以，113111222⎛⎫⎛⎫⊗-=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.9．C解析：C 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项： 在A 中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A 不成立． 在B 中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B 不成立；在C 中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生， 是互斥而不对立的两个事件，故C 成立；在D 中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D 不成立； 本题选择C 选项. 【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．10．C解析：C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】9,5x y ==，41y x -=>；115,3x y ==，413y x -=>； 1129,39x y ==，419y x -=<；结束. 故选：C . 【点睛】本题考查了程序框图的循环次数，意在考查学生的理解能力和计算能力.11．A【解析】 【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=；3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．B解析：B 【解析】 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=，求出a ，计算出数据落在区间[90,110)内的频率，即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =，所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=， 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=， 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率、频数，属于中档题.二、填空题13．【解析】【分析】先求出满足题意的体积运用几何概型求出结果【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点可用其体积满足的基本事件为为球心3为半径的求内部在正方体中的部分其体积为故则的长度大于3的概率【点 解析：16π-【解析】 【分析】先求出满足题意的体积，运用几何概型求出结果 【详解】由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可用其体积3327=， 满足||3AE …的基本事件为A 为球心3为半径的求内部在正方体中的部分， 其体积为31493832V ππ=⨯⨯=，故则AE 的长度大于3的概率9211276P ππ=-=-．【点睛】本题考查了几何概型，读懂题意并计算出结果，较为基础14．【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析：2【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22222RR ππ=-故答案为22π-点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．15．【解析】∵方程无实根∴Δ＝1－4a<0∴即所求概率为故填：解析：34【解析】∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴14a >，即所求概率为34.故填：3416．【解析】【分析】列举出所有的结果选出的所有的结果根据古典概型概率公式可求出函数是增函数的概率【详解】所有取值有：共12个值当时为增函数有共有6个所以函数是增函数的概率为故答案为【点睛】本题主要考查古 解析：12【解析】 【分析】 列举出ab所有的结果，选出1a b >的所有的结果，根据古典概型概率公式可求出函数()log a bf x x =是增函数的概率.【详解】a b 所有取值有：135713571157,,,,,,,,,,,222244446266共12个值， 当1a b >时，()f x 为增函数，有357577,,,,,222446共有6个， 所以函数()log a bf x x =是增函数的概率为61122=，故答案为12. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用以及对数函数的性质，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 17．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x ＝5解得y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y ＝06x+令x ＝5时 解析：75 【解析】 【分析】计算x ，y ，然后将x ，y 代入回归直线得a ，从而得回归方程，然后令x ＝5解得y 即为所求． 【详解】 ∵4115ii x==∑，∴154x =， ∵4112i i y ==∑，∴1234y ==， ∴样本中心点为（154，3）， 又回归直线0.6ˆyx a =+过（154，3），即3＝0.6×154+a ，解得a ＝34， 所以回归直线方程为y ＝0.6x +34， 令x ＝5时，y ＝0.6×5+34＝3.75万元故答案为：3.75．【点睛】本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样本中心点.18．【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A＝{（xy）|0≤x≤205≤y≤20y﹣x解析：38【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，作出事件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5 }，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得答案．【详解】由题意知本题是一个几何概型，设甲和乙到达的分别为7时x分、7时y分，则10≤x≤20，5≤y≤20，甲至少需等待乙5分钟，即y﹣x≥5，则试验包含的所有区域是Ω＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20}，甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A＝{（x，y）|0≤x≤20，5≤y≤20，y﹣x≥5}，如图：正方形的面积为20×15＝300，阴影部分的面积为12⨯15×152252=，∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=，故答案为3 8【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．78【解析】【分析】求得4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动周六周日都有同学参加公益活动的情况利用古典概型概率公式求解即可【详解】4位同学各自在周六周日两天中任选一天参加公益活动共有24 解析：【解析】 【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可． 【详解】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为=．故答案为：． 【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．20．6【解析】如图过点作垂线垂足为在中故；过点作垂线与因则结合图形可知：当点位于线段上时为锐角三角形所以由几何概型的计算公式可得其概率应填答案点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题解答时充分借助解析：6 【解析】如图，过点A 作OB 垂线，垂足为H ，在AOB ∆中，60AOB ∠=o ，2OA =，故1OH =；过点A 作OA 垂线，与OB 交于点D ，因60AOB ∠=o ，则4,3OD DH ==，结合图形可知：当点C 位于线段DH 上时，AOC ∆为锐角三角形，所以3,5d HD D OB ====，由几何概型的计算公式可得其概率30.65d P D ===，应填答案0.6．点睛：本题的涉及到的知识点是几何概型的计算问题．解答时充分借助题设条件，运用解直角三角形的有关知识，分别算出几何概型中的3,5d HD D OB ====，然后运用几何概型的计算公式求出其概率为30.65d P D ===． 三、解答题21．（1）见解析；（2）13；（3）56【解析】 【分析】()1利用列举法能求出基本事件；()2用M 表示“1A 被选中”，利用列举法求出M 中含有6个基本事件，由此能求出1A 被选中的概率；()3用N 表示“1B 和1C 不全被选中”，则N 表示“1B 和1C 全被选中”，利用对立事件概率计算公式能求出1B 和1C 不全被选中的概率． 【详解】()1现有8名马拉松比赛志愿者，其中志愿者1A ，2A ，3A 通晓日语，1B ，2B ，3B 通晓俄语，1C ，2C 通晓英语，从中选出通晓日语、俄语和英语的志愿者各1名，组成一个小组． 基本事件空间()111{,,A B C Ω=，()112,,A B C ，()121,,A B C ，()122,,A B C ，()131,,A B C ，()132,,A B C ，()211,,A B C ， ()212,,A B C ，()221,,A B C ，()222,,A B C ，()231,,A B C ， ()232,,A B C ，()311,,A B C ，()312,,A B C ，()321,,A B C ，()322,,A B C ，()331,,A B C ，()332,,}A B C ，共18个基本事件． ()2由于每个基本事件被选中的机会相等，∴这些基本事件是等可能发生的，用M 表示“1A 被选中”，则()111{,,M A B C =，()112,,A B C ，()121,,A B C ，()122,,A B C ，()131,,A B C ，()132,,}A B C ，含有6个基本事件，1A ∴被选中的概率()61183P M ==． ()3用N 表示“1B 和1C 不全被选中”，则N 表示“1B 和1C 全被选中”，()111{,,N A B C Q =，()211,,A B C ，()311,,}A B C ，含有3个基本事件，1B ∴和1C 不全被选中的概率()351186P N =-=． 【点睛】本题考查基本事件、古典概型概率的求法，考查列举法、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可. 22．（1）310；（2）y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+，预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元. 【解析】 【分析】（1）列举出所有的基本事件，并确定事件“这2个季度的销售额都超过6千万元”然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；（2）计算出x 和y 的值，然后将表格中的数据代入最小二乘法公式，计算出b$和$a 的值，可得出y 关于x 的线性回归方程，然后将7x =代入回归直线方程即可得出该公司20193Q 的销售额的估计值.【详解】（1）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()4656,、()4667,、()4686,、()4696,、()5667,、()5686,、()5696,、()6786,、()6796,、()8696,设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()6786,、()6796,、()8696,，3种情况，所以()310P A =； （2）1234535x ++++==，()1465667869670.25y =++++=，2222221462563674865965370.213013123455312b⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯$，$$31.2a y bx∴=-=$. 所以y 关于x 的线性回归方程为$13312．x y =+， 令7x =，得$137312122.2．y =⨯+=（百万元） 所以预测该公司20193Q 的销售额为122.2百万元． 【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，同时也考查了利用最小二乘法求回归直线方程，同时也考查了回归直线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）265公斤 （2）0.7【解析】 【分析】（1）用频率分布直方图的每一个矩形的面积乘以矩形的中点坐标求和即为平均值； （2）讨论日需求量与250公斤的关系，写出分段函数再利用频率分布直方图求概率即可. 【详解】 （1）500.00101001500.00201002500.00301003500.0025100x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 4500.0015100+⨯⨯ 265=故该种蔬果日需求量的平均数为265公斤.（2）当日需求量不低于250公斤时，利润()=2515250=2500y ⨯－元, 当日需求量低于250公斤时，利润()()=25152505=151250y x x x ---⨯-元所以151250,0250,2500,250500.x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩由1750y ≥得，200500x ≤≤, 所以()1750P y ≥＝()200500P x ≤≤=0.0030100+0.0025100+0.0015100=0.7⨯⨯⨯故估计利润y 不小于1750元的概率为0.7 . 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，做此类题的关键是理解题意，属于中档题. 24．238 【解析】 【分析】5432()3835126((((38)3)5)12)6f x x x x x x x x x x x =+-++-=+-++-，当2x =时，代入计算即可得出． 【详解】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:()()()()()3835126x x x f x x x =+-++-,当2x =时.03v =,103814v v =+=,2123v v =⨯-142325=⨯-=, 3225v v =⨯+252555=⨯+=, 43212v v =⨯+55212122=⨯+=, 5426v v =⨯-12226238=⨯-=,所以当2x =时,多项式()f x 的值为238. 【点睛】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）a＝0.05，b＝0.15；（2）65；（3）4S店需要停业整顿【解析】【分析】（1）由频数10得频率，频率除以组距可得a，由所有频率和为1可求得b；（2）求得分值在[6，10]的频率，然后可得频数；（3）由频率分布直方图计算均值可得．【详解】（1）由题意得：()0.0250.10.17521101002a ba⎧++++⨯=⎪⎨=⎪⨯⎩，解得a＝0.05，b＝0.15．（2）所打分值在[6，10]的频率为（0.175+0.15）×2＝0.65，∴所打分值在[6，10]的客户人数为：0.65×100＝65．（3）由题意得该4S店平均分为：1×0.025×2+3×0.05×2+5×0.1×2+7×0.175×2+9×0.15×2＝6.5，∵6.5＜7，∴该4S店需要停业整顿．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查数列期望，属于基础题．26．(1)0.30, 频率分布直方图见解析，(2) 平均数为172.25，中位数为170.10【解析】【分析】（1）由表中所有频率和为1可求得①处频率，由频率分布图的作法作出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图，取各小矩形中点处值作为此组的估计值进行计算可得平均值，中位数是把所有小矩形面积等分的那点的值．【详解】（1）由频率分布表的性质得：①处应填写的数据为：()10.050.350.200.100.30-+++=．完成频率分布直方图如下：。

凉山州2021-2021学年高二数学上学期期末模拟(mónǐ)试题〔二〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.以点为圆心，且与y轴相切的圆的HY方程为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考察求圆的HY方程的方法，直线和圆相切的性质，求出圆的半径，是解题的关键，属于根底题．由条件求得圆的半径，即可求得圆的HY方程．【解答】解：以点为圆心且与y轴相切的圆的半径为3，故圆的HY方程是，应选C．2.直线和直线的间隔是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考察了两平行直线间的间隔，属于根底题．直线和直线，代入两平行线间的间隔公式，即可得到答案．先把两平行直线的对应变量的系数化为一样的，再利用两平行线间的间隔公式求出两平行线间的间隔．【解答】解：由题意可得：和直线，即直线和直线，结合两平行线间的间隔公式得：两条直线的间隔是，应选：B．3.命题(mìng tí)p：，；命题q：，，以下选项真命题的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考察命题的真假的判断与复合命题的真假，是根底题．判断命题p，q的真假，然后求解结果即可．【解答】解：因为时不成立，故命题p：，是假命题；命题q：，，当时，命题成立，所以是真命题．所以是真命题；是假命题；是假命题；是假命题；应选A．4.有两个(liǎnɡ ɡè)问题：有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；从20名学生中选出3人参加座谈会．那么以下说法中正确的选项是A. 随机抽样法系统抽样法B. 分层抽样法随机抽样法C. 系统抽样法分层抽样法D. 分层抽样法系统抽样法【答案】B【解析】解：1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，总体的个体差异较大，可采用分层抽样；从20名学生中选出3名参加座谈会，总体个数较少，可采用抽签法．应选B．简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是事先按照一定规那么分成几局部；分层抽样是将总体分成几层，再抽取．抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，假设总体个数较少，可采用抽签法，假设总体个数较多且个体各局部差异不大，可采用系统抽样，假设总体的个体差异较大，可采用分层抽样．5.“假设或者，那么〞的否命题为A. 假设或者，那么B. 假设，那么或者C. 假设或者，那么D. 假设且，那么【答案】D【解析】【分析】此题考察否命题(mìng tí)与原命题的关系，是根底题．利用原命题与否命题的定义写出结果即可．【解答】解：“假设或者，那么〞的否命题为：假设且，那么．应选D．6.以下说法中正确的选项是A. 表示过点，且斜率为k的直线方程B. 直线与y轴交于一点，其中截距C. 在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是D. 方程表示过点，的直线【答案】D【解析】【分析】此题考察命题的真假判断与应用，考察了直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于根底题．分别由直线的点斜式方程、直线在y轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项进展分析判断，即可得答案．【解答】解：对于A，点不在直线上，故A不正确；对于B，截距不是间隔，是B点的纵坐标，其值可正可负．故B不正确；对于C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故C不正确；对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即，故D正确．应选：D．7.命题(mìng tí)p：假设为钝角三角形，那么；命题q：，，假设，那么或者，那么以下命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题考察命题的逆否命题，及复合命题的真假判断，考察三角形内角的函数值大小比拟、考察了推理才能与计算才能，属于中档题．命题p：由为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，即可判断出真假；命题q：判断其逆否命题的真假即可得出结论．【解答】解：命题p：假设为钝角三角形，当B为钝角时，可得，，，可知命题p是假命题；命题q的逆否命题为：假设且，那么，是真命题，因此命题q是真命题，那么选项里面命题为真命题的是．应选B．某城为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图．8.9.根据该折线图，以下(yǐxià)结论错误的选项是A. 月接待游客逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳【答案】A【解析】【分析】此题考察的知识点是数据的分析，难度不大，属于根底题．根据中2021年1月至2021年12月期间月接待游客量的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．【解答】解：由中2021年1月至2021年12月期间月接待游客量单位：万人的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳，故D正确；应选A．10.过双曲线的右顶点(dǐngdiǎn)A作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、假设，那么双曲线的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考察了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用才能，能将条件转化到根本知识的运用．分别表示出直线l和两个渐近线的交点，进而表示出和，进而根据求得a和b 的关系，进而根据，求得a和c的关系，那么离心率可得．【解答】解：直线l：与渐近线：交于，l与渐近线：交于，又，，，，，，，，，应选：C．11.执行(zhíxíng)如下图的程序框图，输出的S值为12.A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：由于，那么，；，；，；，；，，此时不再循环，那么输出．应选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．此题考察的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的方法．13.点A，B是抛物线上的两点，点是线段AB的中点，那么的值是A. 4B.C. 8D.【答案(dá àn)】C【解析】【分析】此题考察直线与抛物线的位置关系，考察韦达定理，弦长公式，中点坐标公式，考察计算才能，属于中档题．利用中点坐标公式及作差法，求得直线AB的斜率公式，求得直线直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理，即可求得的值．【解答】解：设，，那么，，由中点坐标公式可知：，两式相减可得，，那么直线AB的斜率k，，直线AB的方程为即，联立方程消去y，得，，，，．应选C．14.假设x、y满足，那么的最小值是A. B. C. D. 无法确定【答案(dá àn)】C【解析】【分析】此题考察圆的一般方程与圆的HY方程，考察了数形结合的数学思想，属于中档题．把圆的方程化为HY方程后，找出圆心坐标和圆的半径r，设圆上一点的坐标为，原点坐标为，那么表示圆上一点和原点之间的间隔的平方，根据图象可知此间隔的最小值为圆的半径r减去圆心到原点的间隔，利用两点间的间隔公式求出圆心到原点的间隔，利用半径减去求出的间隔，然后平方即为的最小值．【解答】解：把圆的方程化为HY方程得：，设圆心为点A，那么圆心坐标为，圆的半径，设圆上一点的坐标为，原点O坐标为，如下图：那么(nà me)，，所以，那么的最小值为，应选C．二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕15.双曲线的渐近线方程为，且过点，那么此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】此题考察双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，设出双曲线的方程是解题的关键，属于中档题．设出双曲线方程，利用双曲线经过的点，求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为：，双曲线经过点，可得：，解得，所求双曲线方程为：．故答案为．16.98与63的最大公约数为a，二进制数110011化为十进制数为b，那么(nàme)____________．【答案】58【解析】【分析】利用辗转相除法，用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数，可求a；根据二进制转化为十进制的方法，我们分别用每位数字乘以权重，累加后即可得到b的值，求和即可得解．【解答】解：由题意，，，，，与63的最大公约数为7，可得：；又，可得：，．故答案为58．17.某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，5号、31号、44号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的编号是______．【答案】18【解析(jiě xī)】解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，那么抽样间隔为，号、31号、44号学生在样本中，样本中还有一个学生的编号是：．故答案为：18．用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，那么抽样间隔为，由此能求出样本中还有一个学生的编号．此题考察样本编号的求法，考察系统抽样的性质等根底知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能．18.椭圆的左、右焦点分别为，，过且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线与椭圆的另一个交点为C，假设，那么椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】此题考察直线和椭圆的位置关系，离心率的求法，属于中档题．由题意画出图形，求出A的坐标，结合向量加法的坐标运算，求得C的坐标，代入椭圆方程可解e的值．【解答】解：不妨设点A在x轴下方，如图，由题意，，，，，，，，，代入椭圆，得，由，整理得：，解得，椭圆的离心率．故答案为．三、解答(jiědá)题〔本大题一一共6小题，一共分〕19.p：，q：．20.假设p是q的充分条件，务实数m的取值范围；21.假设“〞是“〞的充分条件，务实数m的取值范围．【答案】解：：，q：．故p：，q：，假设p是q的充分条件，那么，故解得：；假设“〞是“〞的充分条件，即q是p的充分条件，那么，，解得：．【解析】此题主要考察了一元(yī yuán)二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考察了运算求解的才能，属于根底题．解出关于p，q的不等式，根据假设p是q的充分条件，得到，求出m 的范围即可；根据q是p的充分条件，得到，求出m的范围即可．22.圆C经过，两点，且圆心C在直线上求圆C的方程；动直线l：过定点M，斜率为1的直线m过点M，直线m 和圆C相交于P，Q两点，求PQ的长度．【答案】解：设圆C的方程为，那么，解得，，，圆C的方程：，即为：动直线l的方程为．那么，得，动直线l过定点，直线(zhíxiàn)m：，圆心到m的间隔为，的长为．【解析】此题考察圆的方程、线段长的求法，考察直线、圆、弦长公式等根底知识，考察推理论证才能、运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．设圆C的方程为，利用待定系数法能求出圆C的方程；动直线l的方程为，列出方程组求出动直线l过定点，从而求出直线m：，由此能求出圆心到m的间隔．23.随着我国经济的开展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款年底余额如下表：年份2021 2021 2021 2021 2021时间是代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款千亿元567810Ⅰ求y 关于t 的回归方程．Ⅱ用所求回归方程预测该地区2021年的人民币储蓄存款． 附：回归方程中：．【答案(dá àn)】解：Ⅰ由题中数据可计算得到下表：i1 2 3 4 51 2 3 4 55 6 7 8 10 1 4 9 16 255 12 21 32 5015 36 55 120 ，，，，，， 关于t 的回归方程．Ⅱ时，千亿元，所以该地区2021年的人民币储蓄存款为千亿元．【解析】此题考察线性回归方程，考察学生的计算才能，属于中档题．Ⅰ利用公式求出，，即得到y关于t的回归方程；Ⅱ，代入回归方程，即可预测该地区2021年的人民币储蓄存款．24.对甲、乙两名自行车赛手在一样条件下进展了6次测试，测得他们的最大速度单位：的数据如下表：甲27 38 30 37 35 31乙33 29 38 34 28 36画出茎叶图；分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更适宜？【答案(dá àn)】解：画茎叶图如下图，中间数为数据的十位数．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27，30，31，35，37，38；乙：28，29，33，34，36，38．所以甲组数据的平均值为：乙组数据的平均值为：甲组数据的方差为：乙组数据的方差为：因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更适宜．【解析】以十位数为茎，个位数为叶，能画出茎叶图．由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列，能求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，因为平均值相等，乙的方差更小，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更适宜此题考察茎叶图、平均数、方差等根底知识，考察数据处理才能、运算求解才能，是根底题．25.椭圆的左焦点为，且椭圆上的点到点F的间隔最小值为1．26.求椭圆的方程；27.经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且，求直线l的方程．【答案(dá àn)】解：由题意可得，椭圆上的点到点F的间隔最小值为1，即为，解得，，即有椭圆方程为；当直线的斜率不存在时，可得方程为，代入椭圆方程，解得，那么不成立；设直线AB的方程为，代入椭圆方程，可得，，设，，即有，，那么，即为，解得，带入验证可得都有成立．那么直线l的方程为．【解析】此题考察椭圆方程的求法，注意运用椭圆上的点与焦点的间隔的最值，考察直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考察化简整理的运算才能，属于中档题．由题意可得，，由a，c，b的关系，可得b，进而得到椭圆方程；讨论直线l的斜率不存在和存在，设直线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得斜率k，进而得到直线l的方程．28.椭圆(tuǒyuán)，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A、B．设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；设、为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求面积的最大值．【答案】解：设，，，那么，；得：，即，即．又由中点在椭圆内部得，所以M点的轨迹方程为，．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得：，由得，那么(nà me)，，，，所以．，当时，．即面积的最大值为1．【解析】此题考察了椭圆的性质及几何意义，曲线的轨迹方程及最值问题，属于中档题．设，，，代入椭圆方程作差，利用点差法求得轨迹方程又由中点在椭圆内部得，从而可得M点的轨迹方程．由，得P点坐标为，设直线l的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式将三角形的面积表示出，再利用根本不等式求面积的最大值．内容总结（1）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度单位：数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更适宜。

祁县中学2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期末模拟考试试题二理一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.直线的倾斜角为〔〕A. B. C. D.2.命题“对任意，都有〞的否认为〔〕A. 存在，都有B. 对任意，使得C. 存在，使得D. 不存在，使得3.圆柱的底面半径为1，母线长为2，那么它的侧面积为〔〕A. B. C. D.4.设l，m，n表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出以下四个命题：假设，，，那么；假设，n是l在内的射影，，那么；假设，，那么其中真命题的个数为〔〕A. 2B. 1C. 0D. 35.直线：与直线：垂直，那么直线在x 轴上的截距是〔〕A. B. 2 C. D. 46.平面及平面同一侧外的不一共线三点A，B，C，那么“A，B，C三点到平面的间隔都相等〞是“平面平面〞的〔〕A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要件7.在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N 为BC的中点，那么等于〔〕A. B.C. D.8.圆上到直线的间隔等于1的点有〔〕A. 1个B. 3个C. 2个D. 4个9.椭圆和点、，假设椭圆的某弦的中点在线段AB上，且此弦所在直线的斜率为k，那么k的取值范围为〔〕A. B. C. D.10.椭圆内有一点，，是其左、右焦点，M为椭圆上的动点，那么的最小值为〔〕A. 4B.C.D. 6是抛物线：的焦点，点为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过2F作抛物线C的切线，切点为，假设点A恰好在以1F，2F为焦点的双曲线上，那么双曲线的离心率为〔〕A．B．C．D．12．在底面是边长为6的正方形的四棱锥P--ABCD中，点P在底面的射影H为正方形ABCD 的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为，那么四棱锥P--ABCD的内切球与外接球的半径之比为〔〕A．B． C． D．二、填空题〔本大题一一共4小题(xiǎo tí)，每一小题5分〕13.假设向量1，，且，那么______．14.如图，三棱锥中，，，点M，N分别是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______．15.方程表示的曲线方程是__ ____．16. 直线l与抛物线交于A,B两点，且|AB|=2,设线段AB的中点为M，当直线l运动时，那么点M的轨迹方程为_________.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔本小题满分是10分〕，设命题p：指数函数，且在R上单调递增．命题q：函数的定义域为假设“p且q〞为假，“p或者q〞为真，求a的取值范围．18. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕直线l过坐标原点O，圆C的方程为．(1)当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；(2)设直线l与圆C交于两点A， B，且A为OB的中点，求直线l的方程.19. 〔本小题满分是12分〕边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，连接AG 交DE于点现将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接A1G，EG．证明：DE∥平面A1BC求点B到平面A1EG的间隔．20. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕是抛物线为上的一点，以S为圆心，r为半径做圆，分别交x轴于A，B两点，连结并延长SA、SB，分别交抛物线于C、D两点．求抛物线的方程．求证：直线CD的斜率为定值．21. 〔本小题满分是12分〕如图，四棱锥中，底面ABCD为梯形，底面ABCD，，，，．1求证：平面平面PBC；2设H为CD上一点，满足，假设直线PC与平面PBD所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．22. 〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕圆O：〔其中O为圆心〕上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C求曲线C的离心率；假设点P为曲线C上一点，过点P作曲线C的切线交圆O于不同的两点A，其中A在B的右侧，点，，求四边形面积的最大值．祁县中学2021年高二年级1月模拟试题(2)数学(shùxué)〔理〕答案一、选择题DCDACB ABBCDD二、填空题13．或者 14． 15．16．三、解答题17. 解：由命题p，得，对于命题q，即使得，恒成立假设，，即假设，恒成立，满足题意，所以由题意知p与q一真一假，当p真q假时，所以．当p假q真时，即．综上可知，a的取值范围为．18.解：〔1〕由，直线l的方程为，圆C圆心为，半径为，圆心到直线l的间隔为．所求弦长为；〔2〕，为OB的中点，那么又A，B在圆C上，，．解得，，即或者．直线l的方程为或者．19. 证明(zhèngmíng)：边长为2的正三角形ABC中，点D，E，G分别是边AB，AC，BC的中点，连接DE，连接AG交DE于点F．，平面，平面，平面．解法1：将沿DE折叠至的位置，使得平面平面BCED，连接，EG．以F为原点，FG为x轴，FE为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，1，，0，，，0，，，，，设平面的法向量y，，那么，取，得，点B到平面的间隔．解法2：由VB-A1EG=VA-BGE可得，S△A1EG×d= S△BGE×AF，解得.20. 解：将点代入，得，解得．抛物线方程(fāngchéng)为：．证明：设直线SA的方程为：，联立，联立得：，，，，由题意有，直线SB的斜率为，设直线SB的方程为：，联立，联立得：，，，，．21.Ⅰ证明：，，，，，又，，，即，底面ABCD，，又，平面PBD，平面平面PBC；Ⅱ解：由可知为PC与平面PBD所成的角，，，，由及，可得，，以D为原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立坐标系，那么1，，0，，2，，，设平面HPB的法向量为，那么，即，取，那么，同理可得平面PBC的法向量为1，，又，二面角的余弦值为．22. 解：设圆O上点，曲线C上点M的坐标为由题意(tí yì)可知，，又，，即．点M的轨迹C的方程为，那么，，，离心率；易知直线AB的斜率k存在，设AB：，，，那么，，那么，整理得：，即，由四边形面积S，，设点O到直线AB：的间隔为d，，那么丨AB丨，，，，由，整理得：，由韦达定理可知：，，，丨丨丨丨丨丨丨丨丨丨，而，，易知，，丨m丨，四边形面积S，，当且仅当丨m丨时，即，四边形面积的最大值4．内容总结。

2021年高二数学上期末模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 抛物线的焦点坐标为 ．2. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ．3. 若双曲线的离心率为2，则的值为 ．4．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在（2700，3000）的频率为_________.5. 直线和直线将单位圆分成长度相等四段弧，则= . 6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是 7．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩x n7376767772则这6位同学成绩的方差是 ．8．以下对形如“（）”的直线描述正确的序号是 ．①能垂直于轴；②不能垂直于轴；③能垂直于轴；④不能垂直于轴． 9．若“”是 “”的必要不充分条件，则的最大值为 ．10.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，以点为圆心的圆与轴相切，且同时与轴相切于椭圆的右焦点，则椭圆的离心率为 .11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝4，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，当P 在圆C 上运动时，使得∠APB 恒为60，则圆M 的方程为 ．12. 设圆，过圆心作直线交于A,B 两点，与轴交于点P ，若A 恰好为线段BP 的中点，则直线的方程为 . 13. 已知P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，过点P 作圆(x －3)2＋y 2＝1的切线，切点分别为M 、N ，则|MN |的最小值是_______.14. 已知椭圆 的右焦点为，离心率为．设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，的中点为M ，的中点为N ，原点在以线段为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若，则的取值范围1223100Pr int I DoI I S I UntilI End While S←←+←+<为 .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线和直线.(1)若，求实数的值；（2）若，求实数的值.16.调查某校100名学生的数学成绩情况，得下表：已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到成绩一般的男生的概率为0.15.（1）求的值；（2）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取20名，问应在优秀学生中抽多少名？（3）已知，优秀学生中男生不少于女生的概率.17．已知，命题≤，命题≤≤．(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；(2)若，“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．18．在平面直角坐标系中，设的顶点分别为，圆是的外接圆，直线的方程是(2)(21)310()++---=∈m x m y m m R（1）求圆的方程；（2）证明：直线与圆相交；（3）若直线被圆截得的弦长为3,求的方程．19.已知⊙和点.(1)过点向⊙引切线，求直线的方程；(2)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的⊙的方程；(3)设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.20．已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上一点，且在轴上方， .（1）求椭圆的离心率的取值范围；（2）当取最大值时，过的圆的截轴的线段长为6，求椭圆的方程；（3）在（2）的条件下，过椭圆右准线上任一点引圆的两条切线，切点分别为.试探究直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．Array参考答案及评分标准一、填空题（每题5分）1. 2.205 3. 3 4. 0.3 5. 2 6. 7. 8.②③ 9.-110. 11. 12. 13.14.二、接到TI16．解：（1）由题意可知，∴＝15（人）. --------4分（2）由题意可知，优秀人数为（人）.设应在优秀中抽取人，则，∴（人）所以应在优秀中抽8名 --------8分（3）由题意可知，，且，满足条件的有（17，23），（18，22），（19，21），（20，20），（21，19），（22，18），共有6组.设事件为“优秀学生中男生不少于女生”，即，满足条件的有（20，20），（21，19），（22，18）共有3组，所以.即优秀学生中女生少于男生的概率为. -------14分17．（1），，…………………2分，，是的必要条件，是的充分条件，，………………………5分，，解得．………………………7分（2），，“或”为真命题，“且”为假命题，命题，一真一假，当真假时，，解得，…………………………10分当假真时，，解得或，………13分综上可得，实数的取值范围或．…………………………14分18．（1）设圆的方程为：，则解得圆的方程为：（答案写成标准方程也可）--------5分（2）直线的方程变为：令得，直线过定点. ，在圆内，所以直线与圆相交.--------10分（3）圆的标准方程为：，由题意可以求得圆心到直线的距离，，化简得，解得，所求直线的方程为：或. --------16分20.解：，∴，。

金华十校2022-2023学年高二上期末联考数学模拟试题2解析考试范围：向量与立体几何、直线与圆、解析几何、数列； 考试时间：120分钟； 总分：150分；班级：__________姓名：___________考号：___________一、单选题1．若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间另一个基底的是（ ） A ．a b +，a b -，b B ．a b -，a b c --， C ．a b +，a b -， D ．-a c ，b ，c a b --【答案】：C【分析】：根据空间向量共面定理可知ABD 选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设C 中向量共面，可知不存在满足条件的实数,λμ，由此知假设错误，则C 中向量可以作为基底.【详解】：对于A ，()2a b a b b +=-+，,,a b a b b ∴+-共面，不能作为空间一组基底，A 错误；对于B ，()a b c a b c --=--，,,a b a b c c ∴---共面，不能作为空间一组基底，B 错误； 对于C ，假设,,a b a b c +-共面，则可设()(),a b a b c λμλμ+=-+∈R110λλμ=⎧⎪∴=-⎨⎪=⎩，方程组无解，,,a b a b c ∴+-不共面，可以作为空间一组基底，C 正确； 对于D ，()c a b a c b --=---，,,a c b c a b ∴---共面，不能作为空间一组基底，D 错误. 故选：C.2．如图，已知A ，B 两地相距600m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地早1s ，且声速为340m/s..以线段AB 的中点为坐标原点，AB 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系xOy ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为（ ）A ．()22102890061000x y x -=<B ．()22102890061100x y x -=<C ．()22102890061000x y x -=>D ．()22102890061100x y x -=>【答案】：B【分析】：设炮弹爆炸点P ，可得340600PB PA -=<，利用双曲线的定义即得.【详解】：设炮弹爆炸点P 的坐标为(),x y ，则3401340600PB PA -=⨯=<， 所以P 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为340的双曲线的左支. 因为2340a =，所以170a =，又6002AB c ==， 所以300c =，222900002890061100b c a =-=-=，故炮弹爆炸点的轨迹方程为()22102890061100x y x -=<.故选：B.3．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中项的值不可能为（ ）A ．15B ．25C ．45D ．65【答案】：D【分析】：利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】：{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555.故选：D.4．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，M 为11A C 的中点，若→→=AB a ，BC b →→=，1AA c →→=，则BM→可表示为（ ）A ．1122a b c →→→-++B ．1122a b c →→→++C ．1122a b c →→→--+D ．1122a b c →→→-+【答案】：A【分析】：结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】：由题意可知，1111111122BM BC CC C M BC AA C A BC AA CA →→→→→→→→→→=++=++=++，因为CA AB BC →→→=--，→→=AB a ，BC b →→=，1AA c →→=，所以111()222BM b c a b a b c →→→→→→→→=++--=-++.故选：A.5．数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则下列结论中正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式为2n n a =B ．数列{}n a 为等比数列C ．数列{}ln n a 为等比数列D ．数列{}ln n a 为等差数列 【答案】：C【分析】：求出数列{}n a 的前3项，利用等比数列定义判断A ，B ；给定等式两边取对数可得1ln 2ln n n a a +=，判断C ，D 作答.【详解】：数列{}n a 中，12a =，21n n a a +=，则22212a a ==，222432(2)2a a ===，显然123,,a a a 不成等比数列，A ，B 都不正确；依题意，1ln ln 20a =>，由21n n a a +=两边取对数得：1ln 2ln n n a a +=， 因此，数列{}ln n a 是首项为ln 2，公比为2的等比数列，C 正确，D 不正确. 故选：C6．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸 【答案】：A【解析】：连接OC ，设半径为r ，则1OD r =-，在直角三角形OAD 中应用勾股定理即可求得r ，进而求得扇形OAB 的面积，减去三角形OAB 即可得阴影部分的面积． 【详解】：连接OC ，设半径为r ，5AD =寸，则1OD r =-在直角三角形OAD 中，222OA AD OD =+即()22251r r =+-，解得13r = 则5sin 13AOC ∠=，所以22.5AOC ∠= 则222.545AOB ∠=⨯=所以扇形OAB 的面积21451316966.333608S ππ⨯⨯===三角形OAB 的面积211012602S =⨯⨯=所以阴影部分面积为1266.3360 6.33S S -=-=所以选A【点睛】：本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题．7．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（ ）A ．2B C ．12D ．13【答案】：B【分析】在AC 上任取点M ，作1MN BC ⊥，设AM AC λ=， 1BN BC μ=，根据1MN BC ⊥得出λ和μ的关系，从而可得||MN 关于μ(或)λ的函数关系，再求出此函数的最小值即可.【详解】：设M 为直线AC 上任意一点， 过M 作1MN BC ⊥，垂足为N ，可知此时M 到直线1BC 距离最短设AM AC AB AD λλλ==+，11BN BC AD AA μμμ==+，则1(1)()MN AN AM AB BN AM AB AD AA λμλμ=-=+-=-+-+，11BC AA AD =+，1MN BC ⊥，∴1·0MN BC =，即11[(1)()]()0AB AD AA AD AA λμλμ-+-+⋅+=，221()0AD AA μλμ∴-+=，即0μλμ-+=，2λμ∴=，∴1(12)MN AB AD AA μμμ=--+，()()2111212MN AB AD AA AB AD AAμμμμμμ⎡⎤∴=--+=--+⎣⎦=∴当13μ=时，||MN=故直线AC与1BC故选：B.8．已知中心在坐标原点的椭圆C1与双曲线C2有公共焦点，且左，右焦点分别为F1，F2，C1与C2在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，C1与C2的离心率分别为e1，e2，则122e e+的取值范围是（）A．⎫+∞⎪⎪⎝⎭B．5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞D．5,6⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】：B【分析】：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，()m n>，由条件可得m＝10，n＝2c，再由椭圆和双曲线的定义可得()125,55a c a c c=+=-<，运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．【详解】：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，()m n>，由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，则有m＝10，n＝2c，由椭圆的定义可得12m n a+=，由双曲线的定义可得22m n a-=，即有()125,55a c a c c=+=-<，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2210c c+>，可得52c>，即有552c<<，由离心率公式可得()12122510225525555cc c c c ce ea a c c c c+--++=+=+=-+-+-105211155555c c c c⎛⎫=--=-+⎪+-+-⎝⎭，因为552c<<，所以155102c<+<，5502c-<-<，则11210515c<<+，1255c<--，故2125515c c+<-+-，2125553c c⎛⎫-+>⎪+-⎝⎭，则21515553c c⎛⎫-+>⎪+-⎝⎭，即12325e e+>，故122e e+的取值范围是5,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故选：B．二、多选题9．等差数列{}n a 的前项和为n S ，10a <，613S S =，则（ ） A ．数列{}n a 是递减数列B ．100a =C ．9S 是n S 中最小项D ．216S S < 【答案】：BC【分析】：根据等差数列的性质和前n 项求和公式可得19a d =-、0d >，结合通项公式和前n 项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由613S S =，得1165131261322a d a d ⨯⨯+=+， 解得19a d =-，因为10a <，所以0d >.A ：由0d >，得等差数列{}n a 为递增数列，故A 错误；B ：1019990a a a d d =+=-+=，故B 正确；C ：221(1)9(19)2222n n n n n dS na d nd d d n n -=+=-+-=-，因为00d n >>，，由二次函数的性质可知当9n =或10n =时，n S 取到最小值，即9S 为n S 中最小项，故C 正确； D ：2122(9)17S a d d d d =+=⨯-+=-，161161516242S a d d ⨯=+=-， 由0d >，得216S S >，故D 错误.故选：BC10．一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E .若圆柱底面圆半径为r ，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则下列对椭圆E 的描述中，正确的是（ ）A ．短轴为2r ，且与θ大小无关B ．离心率为cos θ，且与r 大小无关C ．焦距为2r tan θD ．面积为2cos r πθ【答案】：ACD【分析】：由题设可得短轴长22b r =，长轴长22cos ra θ=，进而求出焦距、离心率，根据椭圆与底面圆的投影关系确定椭圆面积.【详解】：由题意，椭圆短轴长22b r =，而长轴长随变大为变长且22cos ra θ=，所以tan c r θ=，故sin ce aθ==，焦距为22tan c r θ=， 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值，所以椭圆面积为2cos r S πθ=. 综上，A 、C 、D 正确，B 错误.故选：ACD11．已知椭圆C ：2212x y a +=（2a >P （1，1）的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且满足AP PB λ=.动点Q 满足AQ QB λ=-，则下列结论正确的是（ ） A ．3a =B ．动点Q 的轨迹方程为2360x y +-=C ．线段OQ （OD ．线段OQ （O【答案】：ABD【分析】：对于A ：利用离心率直接求出3a =；对于B ：设()()()1122,,,,,,A x y B x y Q m n 进行向量坐标化，整理化简得到132m n+=，即可判断出动点Q 的轨迹方程为直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：求出线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】：对于A ：由椭圆22:1(2)2x y C a a +=>=，所以3a =，故A 正确；对于B ：设()()()()()11221122,,,,,,1,1,1,1,A x y B x y Q m n AP x y PB x y ∴=--=--1122(,),(,)AQ m x n y QB x m y n =--=--，由,AP PB AQ QB λλ==-，得()()()121212121,11,1,,x x x x x x m m x x m λλλλλλ⎧+=+-=-⎧⎪∴⎨⎨-=--=--⎪⎩⎩两式相乘得()2222121x x m λλ-=-，同理可得()()22222222221122121,1323232x y x y m n y y n λλλλ⎛⎫⎛⎫-=-∴+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意知0λ>且1λ≠，否则与AQ QB λ=-矛盾，1,32m n ∴+=∴动点Q 的轨迹方程为132yx +=，即直线2360x y +-=，故B 正确；对于C 、D ：所以线段OQ 长度的最小值即为原点到直线的距离，OQ ∴min= 故C 错误，D 正确.故选：ABD.12．如图所示，已知几何体由两个棱长为1的正方体堆叠而成，G 为22A D 的中点，则下述选项正确的是（ ）A ．平面11B GD ⊥平面21AAC B ．三棱锥11D B CG -的体积为124C ．平面2BCD 与平面11B GD 夹角的正弦值为79D ．若P 为空间一动点，且1B P P 点运动轨迹与该几何体表面相交的长度为3π 【答案】：AD【分析】：对于A ，由面面垂直的判定定理判断，对于B ，根据题意由1111211121D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----===求解，对于C ，如图建立空间直角坐标系求解，对于D ，如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的14圆.【详解】：对于A ，连接11B D ，因为2AA ⊥平面1111A B C D ，11B D ⊂平面1111A B C D ，所以112B D AA ⊥，因为1111B D A C ⊥，AC ∥11A C ，所以11B D AC ⊥，因为2AA AC A =，2,AA AC ⊂平面21AA C ，所以11B D ⊥平面21AA C ，则A 正确；对于B ，11112111211111132212D B CG G B CD G A B D B A GD V V V V ----====⨯⨯⨯=，所以B 错误；对于C ，如图以A 为原点，以2,,AB AD AA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则2111(1,0,0),(0,1,0),(1,1,2),(1,0,1),(0,1,1),0,,22B D C B D G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以21111(1,1,0),(0,1,2),(1,1,0),1,,12BD BC B D B G ⎛⎫=-==-=- ⎪⎝⎭,设平面2BC D 的法向量为(,,)m x y z =，则2=+=0=+2=0m BD x y m BC y z ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩，令=2x ，则(2,2,1)m =-设平面11B GD 的法向量为(,,)n a b c =，则111=+=01=++=02n B D a b n B G a b c ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩，令=2a ，则(2,2,1)n =， 设平面2BC D 与平面11B GD 夹角为，由图可知为锐角， 所以7cos 94m n mnθ⋅===+⋅，所以sinθ===所以平面2BC D 与平面11B GD ，所以C 错误；对于D ，由如图可知轨迹与几何体表面所交部分为6个半径为1的14圆，则长度为162π3π4⨯⨯=，所以D 正确. 故选：AD.三、填空题13．如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，PA ⊥平面ABC ，AE PB ⊥于点E ，M 是AC 的中点，1PB =，则EP EM ⋅的最小值为______．【答案】：18-【分析】：根据给定条件，证明BC ⊥平面P AB ，将EM 用,,EA EB BC 表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】：连接EC ，如图，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则PA BC ⊥，而AB BC ⊥，PA AB A =，,PA AB ⊂平面P AB ，则BC ⊥平面P AB ，又PB ⊂平面P AB ，即有BC PB ⊥，因M 是AC 的中点，则111()()222EM EA EC EA EB BC =+=++，又AE PB ⊥，11111()][22222EP EM EP EP EP EA EB BC EA E B P B E C ⋅=⋅⋅=⋅+++⋅+2111||1||||||()22282EB EB E EP EP E B P +⋅==-≥-=-，当且仅当|1||2|E P B E ==取“=”，所以EP EM ⋅的最小值为18-.故答案为：18-14．已知圆()()22:121C x y ++-=，点()10A -，，()10.B ，设P 是圆C 上的动点，令22d PA PB =+，则d 的最小值为________．【答案】：14-【分析】：设动点P 的坐标，利用两点间距离公式，整理d 的表达式，则可得当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由定点到圆上一点的距离最值，可得答案.【详解】：设()00,P x y ，()222001PA x y =++，()222001PB x y =-+，()()222222000011PA PB x y x y +=-++++22220000002121x x y x x y =-++++++2200222x y =++()220022x y =++，当OP 取得最小值时，22PA PB +取得最小值，由圆()()22:121C x y ++-=，则圆心()1,2C -，半径1r =，易知min 11OP OC r =-=，则)2min 212d =+14=-故答案为：14-15．一件家用电器，现价2000元，实行分期付款，一年后还清，购买后一个月第一次付款，以后每月付款一次，每次付款数相同，共付12次，月利率为0.8%，并按复利计息，那么每期应付款______元．（参考数据：111.008 1.092≈，121.008 1.100≈，111.08 2.332≈，121.08 2.518≈） 【答案】：176【分析】：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款n A 元，则由题意得()121110122000 1.008 1.008 1.00810A x =⨯-++⋅⋅⋅+=，解方程可求得答案【详解】：设每期应付款x 元，第n 期付款后欠款n A 元， 则()1200010.0082000 1.008A x x =+-=⨯-，()222000 1.008 1.0082000 1.008 1.008A x x x x =⨯-⨯-=⨯--，…()121110122000 1.008 1.008 1.0081A x =⨯-++⋅⋅⋅+．因为120A =，所以()1211102000 1.008 1.008 1.00810x ⨯-++⋅⋅⋅+=，解得121212112000 1.0082000 1.0081761.00811 1.008 1.008 1.0081x ⨯⨯==≈-++⋅⋅⋅+-， 即每期应付款176元．故答案为：17616．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA DD (包括边界)内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 取值范围______. 【答案】：⎣ 【分析】：以D 为原点，DA 为轴，DC 为y 轴，1DD 为轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =，取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =，则平面//DMEN 平面1B FHG ，推导出P 点的轨迹是线段GH ，利用向量法能求出PC 的长度范围．【详解】：以D 为原点，DA 为轴，DC 为y 轴，1DD 为轴，建立空间直角坐标系，面DMN 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形DMEN ，其中//ME DN ，1BE =， 取11C D 中点F ，在1DD 上取点H ，使2DH =，在1AA 取点G ，使1AG =， 则平面//DMEN 平面1B FHG ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1//PB 面DMN ，P ∴点的轨迹是线段GH ，(3G ，0，1)，(0H ，0，2)，(0C ，3，0)，(3GH =-，0，1)，(3GC =-，3，1)-，∴点C 到线段GH的距离2||1[cos ,]d GC GC GH =⋅-<>， PC ∴，又19GC =13HC =PC ∴PC ∴的长度范围为⎣．故答案为：⎣． 四、解答题17．设数列{}n a 的前项和为n S ，且满足()*322N n n a S n -=∈，{}n b 是公差不为的等差数列，1=1b ，4b 是2b 与8b 的等比中项．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数，设+2=n n n a n c b n ⎧⎨⎩，为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】：(1)123n n a -=⋅，=n b n (2)212233244n n T n n +=++- 【分析】：（1）令=1n 可得1a 的值，当2n ≥时，11322n n a S ---=与已知条件两式相减可得13n n a a -=，由等比数列的定义可知数列{}n a 是首项为，公比为的等比数列，进而求出数列{}n a 的通项公式，设{}n b 的公差为d，将2428bb b =⋅整理成关于d 的方程，解出d 的值，即可得到{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法即可求出结果．【详解】：（1）解：在()*322N n n a S n -=∈中，令=1n 得11322a a -=，12a ∴=，当2n ≥时，11322n n a S ---=，1133222n n n n n a a S S a --∴-=-=，即13n n a a -=，13nn a a -∴=， ∴数列{}n a 是首项为，公比为的等比数列，123n n a -∴=⋅，设{}n b 的公差为d ，由题意可得2428b b b =⋅，即()()2(13)117d d d +=++，整理得20d d -=，解得=1d 或0(舍去，()111n b n n ∴=+-⨯=． （2）解：由题意可得1**23=2N =+2=21N n n n k k c n n k k -⋅∈-∈⎧⎨⎩，，，，， ()()135212=3+5+?+2+1+23+3+3+?+3n n T n -∴()()223133212213n n n -++=+⨯-()()232314n n n =++-21233244n n n +=++-．18．已知圆()()22225C x a y a a ++-=：．(1)若圆C 被直线340x y +=截得的弦长为8，求圆C 的直径；(2)已知圆C 过定点P ，且直线20x y a -+=与圆C 交于A ，B 两点，若4PA PB ⋅>-，求a 的取值范围．【答案】：(1)(2)()(⋃.【分析】：（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间关系列出方程求解即可； （2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.【详解】：（1）依题意可知圆C 的圆心为(),2C a a -，(),2C a a -到直线340x y +=的距离d a ==，因为圆C 被直线340x y +=截得的弦长为8，所以222852a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得24a =，故圆C的直径为（2）圆C 的一般方程为()22220x y a x y ++-=，令20x y -=，220x y +=，解得0x y ==，所以定点P 的坐标为()0,0. 联立()()22220,25,x y a x a y a a -+=⎧⎪⎨++-=⎪⎩解得,3x a y a =⎧⎨=⎩或2,0,x a y =-⎧⎨=⎩ 所以2(,3)(2,0)2PA PB a a a a ⋅=⋅-=-，因为4PA PB ⋅>-，所以22a <.又方程()()22225x a y a a ++-=表示一个圆，所以0a ≠，所以的取值范围是()(⋃.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，2AD BC =，PA PD ⊥，1AB PB ==.（1）证明：PA ⊥平面PCD ；（2）若1BC CD ==，当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】：（1）证明见解析；（2【分析】：（1）取AD ，AP 中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF ，得到面//PCD 面BEF ，故可先将要证PA ⊥平面PCD 转化为求证PA ⊥面BEF 即可求证； （2）可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解． 【详解】：（1）取AD ，AP 中点E ，F ，连接BE ，BF ，EF .由AB PB =，PA PD ⊥得PA BF ⊥，PA EF ⊥，又⋂=BF EF F ， 所以PA ⊥平面BEF .由//AD BC ，2AD BC =知四边形BCDE 是平行四边形，则//BE CD ，BE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD ，同理//EF 平面PCD ，且⋂=BF EF F ， 所以平面//BEF 平面PCD ， 所以PA ⊥平面PCD .（2）由1AB PB BC CD ====，2AD =知四边形ABCD 是以60A ∠=︒的等腰梯形. 连接AC ，则AC CD ⊥，又PA ⊥平面PCD ，所以PA CD ⊥，所以CD ⊥平面PAC ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ， 于是点P 在底面ABCD 内的射影在AC 上.（在平面PAC 中，PA PC ⊥，点P 在以AC 为直径的圆上运动） 取AC 中点G，则PG 于是当PG ⊥底面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大.如图，以G 为原点，分别以射线GB ，GC ，GP 为，y ，轴的正半轴， 建立空间直角坐标系G xyz -.由题意得()0,0,0G，0,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以0,PA ⎛= ⎝⎭，1,0,2PB ⎛= ⎝⎭，()AD =-. 设平面PAD 的法向量(),,n x y z =，由00n PA n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，取()3,1,1n =-，则15sin cos ,5PB n PB n PB nθ⋅===⋅. 因此，直线PB 与平面PAD 20．已知点()11,0F -，圆()222116F x y -+=：，点Q 在圆2F 上运动，1QF 的垂直平分线交2QF 于点P .(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)直线与曲线C 交于M N 、两点，且MN 中点为()1,1，求直线的方程.【答案】：(1)22143x y +=(2)3470x y +-=【分析】：（1）由椭圆的定义求解， （2）由点差法得直线斜率后求解， 【详解】：（1）由题可知，1PF PQ =则122212422PF PF PQ PF QF F F +=+==>=由椭圆定义知P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，且长轴长为的椭圆， ∴21a c ==，，∴2223b a c =-=∴P 的轨迹方程为C ：22143x y +=（2）设1122,,()()M x y N x y ，,∵ M N ， 都在椭圆22+143x y =上， ∴ 2211+143x y =，2222+143x y =，相减可得12121212()()()()+043x x x x y y y y -+-+=，又MN 中点为()1,1，∴ 12122,2x x y y +=+=， ∴121234y y x x -=--，即直线的斜率为34-，∴直线的方程为31(1)4y x -=--，即3470x y +-=,因为点()1,1在椭圆内，所以直线3470x y +-=与椭圆相交于两点，满足条件. 故直线的方程为3470x y +-=.24．已知各项均为正数的数列{}n a 、{}n b 满足14a =，12b =，且n b ，n a ，1n b +成等差数列，n a ，1n b +，1n a +成等比数列.(1)证明：数列为等差数列； (2)记111n n n c b b +=+，且数列{}n c 的前项和为n S ，求证：32n S <. 【答案】：(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】：（1）根据等差中项及等比中项的性质化简后，由等差中项可判断数列为等差数列；（2）由数列为等差数列求出2(1)n a n =+，代入条件可求出(1)n b n n =+，利用裂项相消法求和即可得证.（1）由条件可得12n n n a b b +=+，且211n n n b a a ++=，又0n a >，0n b >，故1n b +12n n n a b b +=+中，得2,n n N *≥∈时，有2n a=以数列为等差数列.（2）由（1）知数列2，由1122a b b =+，可得26b =，由2212b a a =，所以29a =3.数列()211n n +-=+，即2(1)n a n =+， 故()222111)2n n n b a a n n ++==++（，即()()112n b n n +=++，所以2,n n N *≥∈时，(1)n b n n =+，且12b =也符合上式，故(1)n b n n =+ 则()()()111111111111121122n n n c b b n n n n n n n n n n +=+=+=-+-=-+++++++，所以1111131113242212n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而11012n n --<++，所以32n S <. 22．已知动圆P 过点()22,0F ，并且与圆1F ：()2224x y ++=相外切，设动圆的圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程；（2）过动点P 作直线与曲线2230x y -=交于,A B 两点，当P 为AB 的中点时，求OA OB ⋅的值；（3）过点2F 的直线与曲线C 交于,E F 两点，设直线：12x =，点()1,0D -，直线ED 交于点M ，求证：直线FM 经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】：（1）221(0)3y x x -=>；（2）4；（3）证明见解析，定点的坐标为(1,0). 【解析】：（1）利用动圆经过的点及外切关系可求；（2）设出直线方程，联立方程组，结合中点公式，得到OA OB ⋅，进而可求OA OB ⋅； （3）设出直线方程，联立方程组，结合韦达定理，证明直线FM 经过定点.【详解】：（1）设动圆的圆心(,)P x y ，半径为，则由题意可得212PF rPF r ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即122PF PF -=，因为1242F F =>，所以点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线的右支，且1,2a c ==，所以曲线C 的方程为221(0)3y x x -=>.（2）当直线的斜率不存在时，(1,0),(1,P A B ，此时4OA OB ⋅=； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，联立2230y kx m x y =+⎧⎨-=⎩得222(3)20k x kmx m ---=， 230k -≠，21212222,33km m x x x x k k+==---， ()()222121212121222632,33m m y y k x x m y y k x x km x x m k k +=++==+++=--. 因为P 为AB 的中点，所以223(,)33km m P k k --，代入曲线方程得()()22222223133k m m k k -=--； 整理可得223m k =-；2221212222322333m m m OA OB x x y y k k k-⋅=+=+==----，因为2230x y -=恰为双曲线的渐近线，且其中一条渐近线y =的倾斜角为60︒，所以1cos12022OA OB OA OB OA OB ⋅=︒=-=-，所以4OA OB =. 综上可得4OA OB =.（3）证明：当直线的斜率不存在时，(2,3),(2,3)E F -,13(,)22M ，直线:330FM x y +-=经过点(1,0).当直线的斜率存在时，设直线1:(2)l y k x =-，1122(,),(,)E x y F x y ， 直线11:(1)1y ED y x x =++，当12x =时，()11321M y y x =+，()1131(,)221y M x +，联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得2222(3)4(34)0k x k x k -+-+=， 230k -≠，22121222434,33k k x x x x k k ++=-=---， 下面证明直线FM 经过点()1,0Q ，即证FQ MQ k k =，1212311y yx x -=+-， 把()112y k x =-，()222y k x =-代入整理得()12124540x x x x -++=， 即22222223441216204544440333k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫++-⨯--⨯-+=+=-+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭， 所以直线FM 经过点()1,0.【点睛】：本题主要考查双曲线的方程及直线与双曲线的位置关系，联立方程结合韦达定理是主要的考虑方向，侧重考查数学运算的核心素养.。

2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)上学期期末模拟试题 理第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.的焦距为A ．B ．C ．D ．满足，那么的最大值为A ．4B ．3 C. D ．23．有50件产品，编号从1到50，如今从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，那么第三个样本编号是 A ．37B ．27C ．17D ．124．椭圆x2m +y236=1的焦距是2，那么m 的值是：A ．35或者37B ．35C ．37D ．16上的点到直线的最近间隔 等于1,那么半径值是A. 4B. 5C. 6D. 96.过点A(1，2)且与原点间隔 最大的直线方程是A. x+2y-5=0B. 2x+y-4=0C. x+3y-7=0D. x+3y-5=0 7.某几何体的三视图如下图(单位：cm)，那么该几何体的体积是A ．8 cm 3B ．12 cm3C.323 cm 3D.403 cm 38.不等式ax２＋bx+2＞０的解集是，那么(nà me)a－b等于A.－4B.14 C9.a、b是关于x的方程 (P为常数)的两个不相等的实根,那么过两点M(，)、N(b，b2)的直线与圆的位置关系为B,相切 C相离10.双曲线C: 上任意一点为G，那么G到双曲线C的两条渐近线间隔之积为A. B. C. 1 D.，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，假设线段AB的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程是A. B. C. D.，假设此椭圆上存在不同的两点A,B关于直线对称，那么实数的取值范围是A. B. C. D.第II卷〔非选择题，满分是90分〕二、填空题．〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上〕13．假设圆的方程是，那么该圆的半径是14．圆截直线所得的弦长为 .15．直三棱柱(léngzhù)中，假设，那么异面直线与所成的角等于 .F作直线的垂线16．双曲线的左右焦点为，.过2l，垂足为，l交双曲线的左支于点，假设，那么双曲线的离心率 .三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕17. 〔本小题满分是10分〕某统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在.（1）求居民收入在的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，那么应在月收入为的人中抽取多少人？18. (此题满分是12分)当a≥ 0时，解关于x的不等式．19.(此题12分)点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足(mǎnzú)PA →·PB →－y 2＋8＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．20.〔本小题满分是12分〕某科研所对新研发的一种产品进展合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据. 单价〔万元〕 销量〔件〕（1）①求线性回归方程；②谈谈商品定价对场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，假设该产品的本钱为元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？〔附：〕21．〔本小题满分(mǎn fēn)是12分〕如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．〔1〕求证：∥；〔2〕假设，且平面平面ABCD，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．22.〔12分〕在平面直角坐标系中，点为坐标原点，动点与定点F(－1，0)的间x=-的间隔之比是.隔和它到定直线2〔1〕求动点P的轨迹的方程；〔2〕过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB,为AB的中点,直线与曲线C交于两点,求四边形面积的最小值.数学(sh ùxu é)〔理〕试题答案一．选择题二．填空题 13．1 14．15．16．三．解答题17.〔1〕居民收入在)3500,3000[的频率为.（2）中位数为，平均数为， 其众数.（3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取人.18.解：原不等式可化为(x – 2)(ax – 2) > 0，(1)当a = 0时，原不等式即为，解得x < 2；(2)当a > 0时，，①假设，即a > 1时，解得x <或者x >2；②假设，即0<a <1时，解得x <2或者x >a2； ③假设，即a =1时，解得x ≠2；综上所述，原不等式的解集为：当a = 0时，；当0<a <1时，；当a =1时，；当a > 1时，．19． (1)由题意(tí yì)可知，PA →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0， ∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程．(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1＋2x 2＋2x 1x 2＝x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC ⊥OD .20.〔1〕①依题意：，∴回归直线的方程为.②由于，那么y x ,负相关，故随定价的增加，销量不断降低.（2）设科研所所得利润为，设定价为x ，∴，∴当时，.故当定价为元时，w 获得最大值.21．〔Ⅰ〕证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥．又因为面， 面PCD ，所以AB ∥面PCD ．又因为四点一共面，且平面平面，所以AB ∥EF ． ………………5分 〔Ⅱ〕取中点，连接(liánjiē)．因为，所以．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面平面， 所以平面ABCD ．所以．在菱形ABCD 中，因为， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，所以． 如图，建立空间直角坐标系．设， 那么，．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以，．所以，．设平面AFE 的法向量为，那么有所以令，那么平面AFE 的一个法向量为．因为平面，所以是平面PAF 的一个法向量． 因为，所以平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为22、解：〔1〕由，得．两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…〔3分〕〔2〕因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是(yúshì)AB 的中点为M ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2， 故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，整理得：x 2=，|PQ |方法一：设点A 到直线PQ 的间隔 为d ，那么点B 到直线PQ 的间隔 也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝〔m 2＋2〕|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝〔y 1＋y 2〕2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4.…....10分故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝=2≥2即时，方法二：P 〔，〕，Q 〔，〕，P 到直线(zhíxiàn)AB 的间隔 d 1=，Q 到直线AB 的间隔 d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称， ∴S APBQ =丨AB 丨〔d 1+d 2〕=••〔 +〕=，∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =内容总结。

2023-2024学年辽宁省沈阳市高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知向量()1,1,0a =r ，则与a同向共线的单位向量e = （）A ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．()0,1,0C ．22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．()1,1,0--【正确答案】C【分析】先求得a 的模，再根据与a同向共线的单位向量求解.【详解】因为向量(1,1,0)a =，所以a =所以与a 同向共线的单位向量为：a e a== ，故选：C.2．设随机变量1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)D X =（）A ．10B ．30C ．15D ．5【正确答案】A【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.【详解】由随机变量满足二项分布1~5,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()1110151339D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以210(3)3()9109D X D X ==⨯=.故选：A.3．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线l ，则切线l 的方程为（）A ．1y =B ．4350x y --=C ．1y =或3450x y --=D ．1y =或4350x y --=【正确答案】D【分析】设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求得结论．【详解】解：由题意可设切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=，∴圆心到直线l 的距离1d ==，2340k k ∴-=，0k ∴=或43k =，∴切线l 的方程为1y =或4350x y --=．故选：D4．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种【正确答案】D【分析】考虑3，1，1和2，2，1两种情况，计算甲乙同去一个基地共有36种结果，再排除丙丁在同一组的情况，得到答案.【详解】3，1，1阵型：1333C A 18=；2，2，1阵型.233318C A =甲乙同去一个基地共有36种结果，丙丁在同一组共有33A 6=个结果，36630-=.故选：D.5．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则GE GF ⋅等于（）A B ．28a C ．24D ．24a 【正确答案】D【分析】根据给定条件探求出EF FG ⊥，再借助向量积计算作答.【详解】因空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为a ，则60CAB CAD ∠=∠= ，22()cos 60cos 600AC BD AC AD AB AC AD AC AB a a ⋅=⋅-=⋅-⋅=-= ，即AC BD ⊥uuu r uu u r ，因E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则有//,//EF BD AC GF ，即有EF FG ⊥，EF FG ⊥，而2a EF FG ==，则45EGF ∠=，22cos 45||4a GE GF GE GF GF ⋅=== ，所以GE GF ⋅ 等于24a .故选：D6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，AB BC =，2AC =，12AA =点E 为11A C 的中点，点F 在BC 的延长线上且14CF BC =，则异面直线BE 与1C F所成角的余弦值为（）A ．32B ．12-C ．32D ．12【正确答案】D【分析】以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据111cos ,BE C FBE C F BE C F⋅=⋅即可求出答案.【详解】在三棱柱111ABC A B C -中，因为侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，所以以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由AB BC =，22AC =12AA =，得2AB BC ==，所以(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，12)A ，1(2,02)C ，2)E ．由14CF BC = ，得11(2,0,0),0,042CF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11C F C C CF =+= 11(0,0,2),0,0,0,222⎛⎫⎛+= ⎪ ⎝⎭⎝，2)BE =，所以异面直线BE 与1C F 所成角的余弦值为111132122cos ,321424BE C FBE C F BE C F-⋅===⋅⨯+．故选：D ．7．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.05【正确答案】A【分析】根据分患者患病和不患病的前提下分别计算概率，两类概率求和即可.【详解】由题意可知，当被检验者患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.02⨯99%0.0198=，当被检验者未患病的前提下用该试剂检测，结果呈现阳性的概率为0.98⨯5%0.049=，随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为0.01980.0490.0688+=，故选:A.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F l '与抛物线C 交于点M （M 在x 轴的上方），过M 作MN l ⊥于点N ，连接NF 交抛物线C 于点Q ，则||||=NQ QF （）AB C ．3D ．2【正确答案】D【分析】设出直线MF ，与抛物线联立，可求出M 点坐标，在利用抛物线的定义可得2M pMN NF MF x ∴===+，再利用抛物线的对称性求出FQ ，则||||NQ QF 可求.【详解】如图：相关交点如图所示，由抛物线2:2(0)C y px p =>，得(,0)2pF ，则:)2p MF y x =-，与抛物线22y px =联立得22122030x px p -+=，即()()6230x p x p --=，解得3,26M A p p x x ==,60MN l MFx ︒⊥∠=60NMF ︒=∴∠，又MN MF=则NMF 为等边三角形22M pMN NF MF x p ∴===+=，60OFA NFO ︒=∠=∠，由抛物线的对称性可得6Q A p x x ==，24,,6233p p p p QF NQ NF QF ∴=+=∴=-=||2||NQ QF ∴=故选：D.二、多选题9．已知双曲线两渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D 【正确答案】AD【分析】设双曲线的方程为22221x y a b-=得渐近线方程为b y x a =±，根据双曲线的对称性可得b y x a =的倾斜角为6π或3π，即可得b a 的值，由公式c e a ==.【详解】设双曲线的方程为22221x y a b-=，渐近线方程为：b y x a =±，根据双曲线的对称性可知：by x a =的倾斜角为6π或3π当b y x a =的倾斜角为6π时，可得tan 6b a π==，所以3c e a ==，当by x a =的倾斜角为3π，可得tan 3b a π=所以2c e a ===，所以离心率为2故选：AD.10．在二项式()814x -的展开式中，下列结论正确的是（）A ．第5项的二项式系数最大B ．所有项的系数和为83C ．所有奇数项的二项式系数和为72-D ．所有偶数项的二项式系数和为72【正确答案】ABD【分析】由二项式系数的性质可判断A ；令1x =，可得所有项的系数和，可判断B ；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为81722-=，可判断C ，D【详解】选项A ：二项式()814x -展开式式共有9项，有二项式系数的性质可知第5项的二项式系数最大，故A 正确；选项B ：令1x =，可得所有项的系数和为88(431)-=，可知B 正确；选项C ：所有奇数项的二项式系数和为81722-=，C 错误；选项D ：所有偶数项的二项式系数和为81722-=，D 正确.故选：ABD11．若圆221:(1)2C x y ++=与圆222:(1)(1)1C x y -+-=相交于M ，N ，则下列说法正确的是（）A ．MN 所在直线的方程为210x y +-=B ．MN 的中垂线的方程为210x y -+=C ．||MN =D ．过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是2C 【正确答案】AB【分析】两圆方程相减得直线MN 的方程判断A ，两圆连心线为弦MN 中垂线，求出其方程，判断B ，由圆的性质求出弦MN 的长判断CD ．【详解】由题意两圆方程相减得210x y +-=，此为直线MN 的方程，A 正确；1(1,0)C -，2(1,1)C ，121011(1)2C C k -==--，12C C 方程是1(1)2y x =+，即210x y -+=，此为MN的中垂线的方程，B 正确；2C 到直线MN 的距离为d =MN =C 错；过M ，N 两点的所有圆中面积最小的圆是以线段MN 为直径的圆，而12MN <，D 错．故选：AB ．12．在平面直角坐标系xOy 中，方程22x y +=对应的曲线为E ，则（）A ．曲线E 是封闭图形，其围成的面积大于B ．曲线E 关于原点中心对称C ．曲线ED ．曲线E 上的点到直线4x y +=距离的最小值为8【正确答案】ABD【分析】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象即可判断；对于选项B结合中心对称的概念即可判断；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，结合两点间的距离公式化简整理即可判断；对于选项D ，结合点到直线的距离公式即可判断.【详解】对于选项A ，作出曲线E2y +=的图象，由图可知曲线E2y +=2y +=与x 轴正半轴的交点坐标为)，与y 轴正半轴的交点坐标为()0,2，所以围成的面积为1422⨯=A 正确；对于选项B ，因为点(),x y -，点(),x y -均满足方程，则可得到曲线E 关于原点中心对称，所以选项B 正确；对于选项C ，设曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到原点的距离的平方为22xy +，且2222217722244x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即曲线E上的点到原点距离的最小值为，故选项C 错误；对于选项D ，曲线E 上任意一点为(),x y ，则其到直线4x y +=距离为221724x d ⎛⎫-+ ⎪=≥D 正确；故选：ABD三、填空题13．抛物线24x y =-的准线方程为______________.【正确答案】1y =根据抛物线的性质得结论．【详解】由抛物线方程得2p =，焦点为(0,1)-，准线方程为1y =．故1y =．14．设随机变量()~15,3,2X H ，则()1P X ==______（结果写成分数形式）．【正确答案】1235【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.【详解】因为()~15,3,2X H ，所以()12213315131221221115141335321P X ⨯⨯⨯====⨯⨯⨯⨯C C C ，故答案为:1235.15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用(),m n A 表示三角形数阵中的第m 行第n 个数，则()101,3A =______（结果用数字作答）．【正确答案】4950【分析】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a 行第b 个数为11C b a --，故()311011101,310099C 495021A --⨯===⨯，故4950.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.【正确答案】2作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点，其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥，根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==，所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =，所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠= ，所以60AOQ ∠= ，所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =，所以椭圆的离心率为23342c e a ===.故答案为.32求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17．在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.【正确答案】（1）310；（2）12.【分析】（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出()P A 与()P AB ；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解.【详解】解：（1）设事件A 表示“第1次抽到代数题”，事件B 表示“第2次抽到几何题”，则()131535C P A C ==，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为()11321154310C C P AB C C ==.（2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()()()3110325P AB P B A P A ===.18．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，E 为1CC 的中点，12AA =．(1)证明：平面BDE ⊥平面11A B E ；(2)求1A 到平面BDE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析【分析】(1)证明1B E BE ⊥以及11A B BE ⊥即可得到面面垂直；(2)先计算平面BDE 的法向量，再结合空间中点到面的距离的向量求法求解即可.【详解】（1）当12AA =时，1B E =BE ，所以22211B E BE BB +=，所以1B E BE ⊥．又11A B ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，则11A B BE ⊥．因为1111A B B E B ⋂=，111,A B B E ⊂面11A B E ，所以BE ⊥平面11A B E ，又BE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面11A B E ．（2）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz，则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()11,0,2A ，()0,1,1E ，所以()1,1,0DB =，()0,1,1DE = ，()11,0,2DA = ，设平面BDE 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00x y y z +=⎧⎨+=⎩不妨令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，得()1,1,1n =-．故1A 到平面BDE的距离1n DA d n⋅== 19．相距6千米的两个观察站A ，B 先后听到远处传来的爆炸声，已知A 站听到的时间比B 站早4秒，该爆炸声速是1千米/秒，现以A ，B 所在直线为x 轴，A ，B 中点为原点（如图）建立直角坐标系.（1）判断爆炸点分布在何曲线上，并求出该曲线C 的方程；（2）求直线3333y x =+与曲线C 的交点坐标．【正确答案】（1）双曲线的右支，()221245x y x -=≥；（2）(8,53.【分析】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>，利用双曲线定义可得解；（2）联立直线与双曲线方程，化简整理得：211562560x x --=，求解即可.【详解】（1）设爆炸点为P ，由已知得4PB PA -=，又64AB =>所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 的那一支上，即P 点在双曲线的右支上，由24a =，26c =，得2a =，3c =，2225b c a =-=故双曲线C 的方程为：()221245x y x -=≥；（2）联立()22124537333x y x y ⎧-=≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简整理得：211562560x x --=解得：8x =或3211x =-（舍去），当8x =时，3y =故直线与曲线的交点坐标为(8,53.方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；20．如图所示，四面体ABCD 中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，BD DC ⊥，6BC =，43AB =30ABC ∠= ．(1)求证：AC BD ⊥．(2)若二面角B AC D --为45 ，求直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值．【正确答案】(1)证明过程见解析64【分析】（1）利用余弦定理求出23AC =AC ⊥BC ，进而利用面面垂直得到线面垂直，线线垂直；（2）先利用题干中条件得到∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，进而得到△BCD 为等腰直角三角形，32BD =BAD 为直线AB 与平面ACD 所成的角，利用求出的线段长度，求出直线AB 与平面ACD 所成的角的正弦值.【详解】（1）因为6BC =，43AB =30ABC ∠= ，所以由余弦定理得：222cos 48367223AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-=222CB AC AB +=，所以AC ⊥BC ，因为平面BCD ⊥平面ABC ，交线为BC ，AC ⊂平面ABC ，所以AC ⊥平面BCD ，因为BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，证毕.（2）由（1）知，AC ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，又AC ⊥BC ，故∠BCD 即为二面角B AC D --的平面角，所以∠BCD =45°，又因为BD DC ⊥，所以△BCD 为等腰直角三角形，因为BC =6，所以πsin 324BD BC =⋅=BD DC ⊥，AC BD ⊥，DCAC C =，所以BD ⊥平面ACD ，AD 为AB 在平面ACD 上的投影，所以∠BAD 即为直线AB 与平面ACD 所成的角，设为θ，π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则326sin 443BD AB θ==.21．棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B 类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．(1)设A 类服装单件销售价格为ξ元，B 类服装单件销售价格为η元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；(2)某服装专卖店店庆当天，全场A ，B 两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A ，B 两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A 类服装的概率均为13．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X 为该店当天所售服装中B 类服装的件数，若()0.5(N)P X n n ≤≤∈，求n 的所有可能取值．【正确答案】(1)分布列见解析，B 类服装单件收益的期望大；(2)n 可取的值为0，1，2．【分析】（1）根据给定的信息，求出ξ，η的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）求出购买了服装的顾客中购买B 类服装的概率，借助二项分布求出n 的各个值对应的概率，再比较判断作答.【详解】（1）依题意，ξ的可能值为200，170，120，(200)0.3,(170)0.5,(120)0.2P P P ξξξ======，ξ的分布列为：ξ200170120P0.30.50.2ξ的期望()2000.31700.51200.2169E ξ=⨯+⨯+⨯=，η的可能值为300，255，180，(300)0.2,(255)0.4,(180)0.4P P P ηηη======，η的分布列为：η300255180P0.20.40.4η的期望()3000.22550.41800.4234E η=⨯+⨯+⨯=，设A 类服装、B 类服装的单件收益分别为1X 元，2X 元，则1120X ξ=-，2160X η=-，()1()12049E X E ξ=-=（元），()2()16074E X E η=-=（元），()()12E X E X <，所以B 类服装单件收益的期望大.（2）依题意，X 的可能值为0，1，2，3，4，5，显然2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，511(0)3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()141521101C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，23252140(2)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32352180(3)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，41452180(4)C 33243P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，555232(5)C 3243P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为1104017(2)0.524381P X ++≤==<，1104080131(3)0.5243243P X +++≤==>，所以当()0.5(N)P X n n ≤≤∈时，n 可取的值为0，1，2．22．已知点F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆于M ，N两点．当直线l 过C 的下顶点时，ll 垂直于C 的长轴时，OMN 的面积为32．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当2MF FN =时，求直线l 的方程；(3)若直线l 上存在点P 满足2PM PN PF ⋅=，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上，并求出该直线的方程．【正确答案】(1)22143x y +=；20y ±=；(3)证明见解析，点P 在定直线52x =上．【分析】（1）根据给定条件，利用直线斜率及三角形面积列出方程组，求解作答.（2）验证直线垂直于y 轴的情况，当直线不垂直于y 轴时，设出直线方程，与椭圆方程联立求解作答.（3）按直线是否垂直于y 轴探讨，利用（2）中信息结合已知等式求解作答.【详解】（1）令点(c,0)F ，当直线l 垂直于x 轴时，由222222x c b x a y a b=⎧⎨+=⎩得2||b y a =，弦MN 长为22b a，由OMN 的面积为32得：2123··22b c a =，又b c =a =2，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 与x 轴重合时，3MF FN =，不合题意，即直线l 与x 轴不重合，设直线l 的方程为x =ty ＋1，()11,M x y ，()22,N x y ，由2213412x ty x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，由2MF FN =，得122y y =-，消去12,y y 得()22227293434t t t --=++，解得t =，所以直线l 20y ±=.（3）设00(,)P x y ，当直线l 与x 轴重合时，点P 在椭圆外，即02x +，02x -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()()2000221x x x +-=-，解得052x =，当直线l 与x 轴不重合时，由（2）知122634t y y t -+=+，122934y y t -=+，而10PM y =-，20PN y =-，0PF =，由点P 在椭圆外，得10y y -，20y y -同号，由2PM PN PF ⋅=，得()()210200y y y y y --=，整理得()120120y y y y y -+=，即02296·03434ty t t ---=++，解得032y t =，代入直线l 方程x =ty ＋1，得052x =，所以点P 在定直线52x =上．。