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材料力学教案 第4章 平面图形的几何性质

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(建筑力学二版)第4章平面图形的几何性质

(建筑力学二版)第4章平面图形的几何性质

惯性矩
定义
惯性矩是描述平面图形抵抗弯 曲变形能力的量，也称为抗弯
矩。
计算方法
通过积分或求和的方法计算平 面图形的质量分布，然后根据 质量分布和几何形状确定惯性 矩。
特性
惯性矩与平面图形的形状和质 量分布有关，不同形状的图形 可能有不同的惯性矩。
应用
在建筑结构中，惯性矩是结构 设计的重要参数，用于计算结 构的弯曲变形、应力分布和稳
定性等。
重心与惯性矩的应用
结构设计
在建筑结构设计中，需要 计算结构的重心位置和惯 性矩，以评估结构的稳定 性和承载能力。
施工安装
在施工安装过程中，需要 确定结构的重心位置，以 防止结构发生倾覆或侧翻。
抗震设计
在抗震设计中，需要计算 结构的惯性矩，以评估结 构在不同地震作用下的响 应和稳定性。
04
三角形
01
02
03
04
三角形是最简单的多边 形，具有稳定性、灵活 性和实用性。
三角形的三个内角之和 等于180度，而三条边 的长度之和等于其周长。
三角形的面积可以通过 底和高来计算，公式为： 面积=(底×高)/2。
三角形的重心位于其三 条中线的交点，同时也 是三条高线的交点。
感谢您的观看
THANKS
分类
根据形状和结构特点，平面图形可分为简单图形和组合图形。简单图形包括直 线、圆、圆弧、椭圆等；组合图形则是由两个或多个简单图形组合而成。
平面图形的几何特性
01
02
03
封闭性
平面图形是封闭的，即其 边界是完整的，没有缺口 或断裂。
大小和形状
平面图形的大小和形状是 固定的，不会因为观察角 度或位置的变化而改变。
刚度分类

材料力学(理工科课件)附录A_平面图形的几何性质()[25P][9.63MB]

材料力学(理工科课件)附录A_平面图形的几何性质()[25P][9.63MB]

z
y
所以
A.3 平行移轴公式
(Parallel-axis theorem)
一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of inertia)
y,z ― 任意一对坐标轴 C ―截面形心 (a , b ) ―形心C在 yOz坐标系下的坐标
a O C(a,b) y
yC
积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和
惯性积，则平行移轴公式
b
二、组合截面的惯性矩 、惯性积( Moment of inertia &
product of inertia for composite areas ）
组合截面的惯性矩，惯性积
￣第
i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩，惯性积.
z1
z
y1
O

y
显然
二、截面的主惯性轴和主惯性矩(principal axes &
principal moment of inertia)
主惯性轴(Principal axes )：总可以找到一个特定的角0 , 使截面 对新坐标轴y0 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴. 主惯性矩(Principal moment of inertia) ：截面对主惯性轴y0 , z0 的惯性矩. 形心主惯性轴(Centroidal principal axes) ：当一对主惯性轴的交 点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴. 形心主惯性矩( Centroidal principal moment of inertia) ：截面对 形心主惯性轴的惯性矩.
（1）主惯性轴的位置 设 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角

材料力学 附录 平面图形的几何性质

材料力学 附录 平面图形的几何性质

二、惯性积 z
y
dA z
平面图形对y、z两 轴的惯性积：
Iyz AyzdA
量纲：长度四次方
o
z
y
两个坐标轴中只要有一个轴为图形 的对称轴，则图形对这一对坐标轴 的惯性积等于零
y
例2 求图示矩形的 Iz,Iy,Iyz,iy,iz
z
dz z hc
b
h
Iy
z2dA
A
b 3
z3
2 h
1 bh 3 12
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小.
例5：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。 z A1z1 A2z2 A1 A2
0.1 4 0.0 2 0.0 8 0.10.0 2 0 0.1 4 0.0 2 0.10.02
0.046m7
z
I y C 1 1 1 0 . 0 2 0 . 1 2 3 0 4 . 0 0 . 0 8 2 4 0 . 0 6 0 . 1 2 7 7 4 . 6 1 9 6 m 4 0
tg20
2I yz Iy Iz
Imax IyIz Imin 2
Iy
Iz 2
2Iyz2
确定两个相差90度的
角度 0,0 90
1
Iy 0z0 2 (Iy Iz)s2 in 0 Iyc z 2 o0 s0
主惯性轴：惯性矩有极值，惯性积为零的轴。 主惯性矩：对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 形心主惯性轴：通过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 形心主惯性矩：对形心主惯性轴的惯性矩。
y
Iz
y2dA
A
1 12
2
hb 3
iy
Iy A
3h 6

材料力学平面图形的几何性质

材料力学平面图形的几何性质

y
c
h
b
z
例 试拟定下图旳形心。
y 10
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
80 图（a）
解：1、图形分割及坐标如图（a）
A1 700, z1 45, y1 5
A2 1200, z2 5, y2 60
2、求形心
zc
zi Ai
z 1
A1
z
2
A2
A
A1 A2
z
45 700 51200 19.7(mm) 700 1200
yc
yi Ai y1 A1 y2 A2
A
A1 A2
5 700 601200 39.7(mm)
700 1200
11
§4.3 惯性矩和惯性积 1 惯性矩
I z
y 2 dA
A
I y
z 2 dA
A
量纲：m4、mm4。 惯性矩是对轴而言。 惯性矩旳取值恒为正值。
y
dA A
y
ρ
0
z
z
已知：矩形 b h
12
64 4
24
I yc
I 矩yc
I圆yc
(1.5d )3 2d 12
d 4
64
0.513d 4
Y（对称轴）
d yc O
z1
Z（矩形旳对称轴）
2d
zc
b
25
作业 • 4.2 • 4.7
yz dA
图形对y、z两轴旳惯性积
I yz yzdA A
y z
dA
y z
惯性积则可能为正值，负值， 也可能等于零。
I yz
yzdA
A

材料力学4平面图形的几何性质

材料力学4平面图形的几何性质
分析：可用排除法分析 x "、y "为形心主惯性轴，图形为非对称图形 故有I x" ¹ I y" 依此可知正确答案为B 至于其它各项需要经过计算或分析得到
六 截面图形的几何性质部分习题及解答
【习题5-30】如图所示正方形截面，其中C点为形心，K为边界上任 一点，则过C点和K点主轴的对数为(B )。
(A)过C点有两对正交的形心主轴，过K点有一对正交主轴
五 转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
小结 设矩轴的原点为平面图形上任意点O，则其主惯性轴称 为过O点的主惯性轴 平面图形对过O点的主惯性轴有以下重要性质：
1、平面图形对主惯性轴的轴关性矩取极大（极小） 值；其中一个为极大值；另一个为极小值
2、平面图形对主惯性轴的惯性积必为零。 y
y’
x
dA
x1
y y1
α4 d D
)
=
D2 + d 2 4
Ix = iy =
πD4 64
(1 α=
α4 d D
)
IP
D2 + d 2 4
=
πD4 32
α=
(1- α4 )
d D
Ixy = 0
四 平行移轴定理
一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
y
y’
x y’ dA
a r
bC y
x’
以形心为原点，建立与原坐标轴平行
形心主惯性矩的大小为：
I y0 I z0
=
Iy
+ Iz 2
±
æ èç
Iy
2
Iz
ö ø÷
2
+
I
2 yz
58.2 = cm4

材料力学教案 第4章 平面图形的几何性质

材料力学教案 第4章 平面图形的几何性质

A1 1.4 0.86m2 1.204m2
z1
1.4 2
m
0.7m
A2 0.86 2 0.016 1.4 0.05 0.016 m2 1.105m2
z2
1 2
1.4 0.05 0.016 0.05m
0.717m
由式(5-6)，整个截面图形的形心 C 的坐标 z 为
z A1z1 A2 z2 1.204 0.7 1.105 0.717 m 0.51m
Iy
Ai
2 y
I z Aiz2
或改写为
iy
Iy A
，
iz
Iz A
式中， iy ， iz 分别称为图形对 y 轴和 z 轴的惯性半径，其量纲为长度。
4.2.2 惯性半径
如下图所示，微面积 dA 到坐标原点的距离为
定义：
I
2dA
A
(4-10)
为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度
I
64
D4
d4
4.2.3 组合图形的惯性矩
根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之 和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。 用公式可表示为
I y
Iz
n
i 1
Iy
i
n
I z i
i 1Leabharlann I yzni 1
I yz
。
图 4-8
图 4-9
例 计算圆形对其形心轴的惯性矩。 解 取 dA 为图 4-9 中的阴影部分的面积，则
dA 2ydz 2 R 2 z 2 dz
I y A z 2dA RR 2z 2
R 2 z 2 dz R 4 D 4 4 64

《材料力学》教学课件—附录A 平面图形的几何性质


I xy
xydA
A
单位：m4
其值：+、-、0
12
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
y
二、惯性矩与极惯性矩的关系
x dA
若 x 、 y 轴为一对正交坐标轴
Ip
2dA
A
x2 y2 dA
A
A
y
O
x
x2dA y2dA
A
A
即：
Ip I y Ix
性质 2 ：
平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过 该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和
8
例 1 确定形心坐标 解：
200 y
30
取参考坐标系 xy
C
200
yC
Sx A
A1 y1 A2 y2 A1 A2
30
y
C
x （参考轴）
200 30 215 200 30 100 mm 200 30 2
157.5 mm
9
附录A 平面图形的几何性质
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
2. 圆形截面
D4
I x I y Ip 32
由对称性
Ix
Iy
1 2
Ip
D4
64
y
O
x
d D
3. 环形截面
Ix
Iy
1 2
Ip
D4 d4 64
D4
64
14
15
§A.2 惯性矩 惯性积 惯性半径
三、惯性积的性质
y -x x
当 x 、 y 轴中有一轴为对称轴
A
A
I xy
xyd A
A
y
2 x

上海电机学院材料力学平面图形的几何性质


I y = ∑ I yi
i =1 =1
n

n
I z = ∑ I zi
i =1
I yz = ∑ I yzi
i =1
n
§I-5
转轴公式 主惯性轴 z
一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 z1 y y1 z dA z1 y1 y
y1 = y cos α + z sin α z1 = − y sin α + z cos α
I y1 = I y + Iz 2
α
I y − Iz + cos 2α − I yz sin 2α 2
I z1 =
I y + Iz 2
I y − Iz − 2 cos 2α − I yz sin 2α
I y1z1
I y − Iz = sin 2α + I yz cos 2α 2
主惯性轴位置 :
tg 2α 0 = −
2 I yz Iy − Iz
I y0 I y + I z Iy − Iz 2 2 主惯性矩： = ± ( ) + I yz 2 2 I z0
2.形心主轴和形心主惯性矩： 主惯性轴过形心时，称其为形心主轴 形心主轴。 形心主轴 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 形心主惯性矩. 形心主惯性矩
1.5d×(2d ) 3 πd 4 πd 2 = +3d 2 (−0.177 d ) 2 −[ + (0.5d +0.177 d ) 2 ]=0.685d 4 12 64 4
z 2d d yC O y1
I zC = I 矩yC − I圆yC
(1.5d ) 3 × 2d πd 4 = − = 0.513d 12 64

材料力学平面图形的几何性质


平面图形的剪切中心和弯曲中心
剪切中心：平面图形中，剪切中心是剪切面上各点剪切应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的剪切面称为剪切面。
弯曲中心：平面图形中，弯曲中心是弯曲面上各点弯曲应变之和为零的点，与该点距离最近的各 点组成的弯曲面称为弯曲面。
刚性特性：平面图形在剪切和弯曲变形下，其几何形状和尺寸保持不变的性质称为刚性特性。
剪切中心和弯曲中心在平面图形中的作用：在平面图形中，剪切中心和弯曲中心是确定平面图形 在剪切和弯曲变形下应力和应变分布的关键点，对于分析平面图形的受力特性和稳定性具有重要 意义。
平面图形的抗扭刚度和抗弯刚度
抗扭刚度：表示材料 抵抗扭转变形的能力， 与平面图形的几何形 状和尺寸有关。
抗弯刚度：表示材料 抵抗弯曲变形的能力， 与平面图形的几何形 状、尺寸和材料本身 的弹性模量有关。
计算方法：根据 几何学原理，可 以通过平面图形 的边长、角度等 参数计算面积和
周长
平面图形的形心、质心和重心
形心：平面图形 中所有点组成的 面积的平均位置， 表示图形的几何 中心。
质心：平面图形 中所有点组成的 物质质量的平均 位置，表示图形 的质量中心。
重心：平面图形 中所有点组成的 重力场强度的平 均位置，表示图 形的重力中心。
平面图形稳定性分析的方法：通过力学分析、数学建模、实验测试等方法，对平面图形的稳定性 进行分析。
平面图形稳定性在工程中的应用：广泛应用于桥梁、建筑、机械等领域，以确保结构的稳定性和 安全性。
平面图形失稳的临界力和临界应力
定义：临界力是 指使平面图形失 稳的最小外力， 而临界应力则是 指在该外力作用 下，平面图形达 到失稳状态时的 应力值。
平面图形的动力学特性

附录I 平面图形的几何性质.

附录I 平面图形的几何性质第一节 概述1.1研究平面图形几何性质的意义材料力学中研究的杆件，其横截面是各种形式的平面图形，如矩形、圆形、T 形、工字形等。

我们计算杆件在外荷载作用下的应力和变形时，要用到与杆横截面的形状、尺寸有关的几何量。

例如在扭转部分会遇到极惯性矩I P ，在弯曲部分会遇到面积矩S 、惯性矩I Z 和惯性积I YZ 等。

我们称这些量为杆横截面图形的几何性质。

1.2定义图I-1表示杆件横截面面积为A 的任意平面图形，若在坐标为（y ，z ）处取出一微面积d A ，则此平面图形的一些几何性质可用数学式定义如下。

图Ⅰ-1 平面图形（1）面积矩y Az A S zdA S ydA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ （I-1-1）（2）惯性矩22y Az A I z dA I y dA ⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰ （I-1-2） （3）惯性积yz AI yzdA =⎰（I-1-3）（4）极惯性矩 2p AI dA ρ=⎰（I-1-4）另外还有抗扭截面横量W P ，抗弯截面模量W z ,惯性半径r 等。

下面分别作比较详细的介绍。

第二节 面积矩和形心位置图I-2（a ）为一任意形状的平面图形，设要求其形心C 的位置（z y ，）。

若我们将平面图形看成是一极薄的匀质板，则板上各点将受到平均分布的地心引力作用。

设单位面积所受的重力为q ，则微面积A ∆上所受的重力P q A ∆=∆。

整个薄板所受重力的合力R 应为各微面积所受重力的总和，即(a )(b )图Ⅰ-2 任意平面图形的形心计算R P q A q A qA =∆=∆=∆=∑∑∑式中的A 为图形的总面积，合力R 作用在形心C 上。

根据合力矩定理，合力R 对点O 的矩等于各分力P ∆对点O 的矩的代数和，可得 ()Rz Pz =∆∑故zzPz q Az q A A z R q A q A A∆∆∆∆====∆∆∆∑∑∑∑∑∑∑ （a ） 因形心在平面图形上的位置是不变的，故将截面旋转90°到图I-2（b ）所示位置时，同样可求得形心的另一坐标为Ay y A∆=∆∑∑ （b ） 面积A ∆取得越小，用式（a ）和（b ）计算的形心坐标就越准确。

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2bh 3
Sz
A
ydA
0b yh1
y2 b2
dy
b2h 4
y Sz 3b A8
取平行于 y 轴的狭长条作为微面积如图 4-2b 所示，仿照上述方法，即可求出
Sy
4bh 2 15
，
z
2 5
h
4.1.3 组合图形的静矩和形心
组合图形：由若干个简单图形拼揍而成的图形。 简单图形：如圆形、矩形、三角形等。这些图形都有一个基本特点，就是图形的面积和 形心都是已知的。 当一个平面图形是由若干个简单图形 (例如矩形、圆形、三角形等) 组成时，由静矩的 定义可知，图形各组成部分对某一轴的静矩的代数和，等于整个图形对同一轴的静矩，即
I
64
D4
d4
4.2.3 组合图形的惯性矩
根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之 和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。 用公式可表示为
I y
Iz
n
i 1
Iy
i
n
I z i
i 1
I yz
n
i 1
I yz
Iy
Ai
2 y
I z Aiz2
或改写为
iy
Iy A
，
iz
Iz A
式中， iy ， iz 分别称为图形对 y 轴和 z 轴的惯性半径，其量纲为长度。
4.2.2 惯性半径
如下图所示，微面积 dA 到坐标原点的距离为
定义：
I
2dA
A
(4-10)
为平面图形对坐标原点的极惯性矩。其量纲仍为长度
由式(4-3)和式(4-4)可以得出以下结论：若 Sz 0 和 S y 0 ，则 y 0 和 z 0 。可见，
若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之，若某一轴通过形心，则 图形对该轴的静矩等于零。通过形心的轴称为形心轴。
例
图
4-2
中抛物线的方程为
z
h1
y2 b2
。计算由抛物线、y
微面积 dA 对 z 轴的一次矩为： dSz=ydA
zdA、ydA 分别称为微面积对 y 轴、 z 轴的静矩。 2、全面积对坐标轴的一次矩
在截面面积内做一个各分就可以 了。于是有下面的公式：
S y
zdA
A
Sz A ydA
(4-1)
图 4-1
Sy、Sz 分别定义为平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩（一次矩、静面矩）。公式(4-1)是
第 4 章 平面图形的几何性质
教学目的：掌握静矩与形心的概念；熟练掌握惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径的概念； 掌握平行移轴公式和转轴公式。 教学重点：静矩与形心的概念；惯性矩、惯性积、极惯性矩和惯性半径的概念。 教学难点：惯性矩和惯性积的平行移轴公式；惯性矩和惯性积的转轴公式。 教具：多媒体。 教学方法：通过例题、练习和作业，加强辅导，熟练掌握惯性矩和惯性积的平行移轴公式和 转轴公式。 教学内容：静矩与形心的概念；惯性矩和惯性积；惯性矩和惯性积的平行移轴公式；惯性矩 和惯性积的转轴公式。 教学学时：4 学时 教学提纲：
A1 A2
1200 700
形心 C y、z 的位置，如图 4-3 所示。
例 某单臂液压机机架的横截面尺寸如图 4-4 所示，试确定截面形心的位置。
解 截面有一个垂直对称轴，其形心必然在这一对称抽上，因而只需确定形心在对称轴
上的位置。把截面图形看成是由矩形 ABED 减去矩形 abcd，并以 ABED 的面积为 A1 ,abcd 的 面积为 A2 。以底边 EC 作为参考坐标轴 y。
A1 A2
1.204 1.105
4.2 惯性矩 惯性半径
4.2.1 惯性矩
任意平面图形如图 4-5 所示，其面积为 A，y 轴和 z 轴为图形所在平面内的一对任意直角坐 标轴。在坐标为(y，z)处取一微面积 dA，z2dA 和 y2dA 分别称为微面积 dA 对 y 轴和 z 轴的惯
性矩。
定义：微面积的惯性矩：
形心 C 在任一坐标系 yz 中的坐标为(b，a)， yc 、 0
y
z c 轴为图形的形心轴并分别与 y、z 轴平行。取微面积 dA，其在两标系中的坐标分别为 y、
z 及 yc、zc，。 由图 4—13 可见
y yc b ， z zc a (a)
平面图形对于形心轴 yc、zc 的惯性矩及惯性积为
4.1 静矩和形心
我们知道，构件在外力的作用下产生应力和变形，都与构件的截面形状有关。例如，在 构件的轴向拉伸与压缩计算中，用到的截面面积 A；在圆轴扭转计算中用到的惯性矩 IP 等。 这些反映截面形状和尺寸性质的几何量，统称为截面的几何性质。所以在本章里，我们集中 学习一下截面的其它一些几何性质（静矩、惯性矩、惯性积等）的概念和计算方法。
。
图 4-8
图 4-9
例 计算圆形对其形心轴的惯性矩。 解 取 dA 为图 4-9 中的阴影部分的面积，则
dA 2ydz 2 R 2 z 2 dz
I y A z 2dA RR 2z 2
R 2 z 2 dz R 4 D 4 4 64
z 轴和 y 轴都与圆的直径重合，由于对称性，必然有
设想有一个厚度很小的均质薄板，薄板中间面的形状与图 4-1 的平面图形相同。显然， 在 yz 坐标系中，上述均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标 y 和 z 。由静力学的 力矩定理可知，薄板重心的坐标 y 和 z 分别是
y Z
A A
yd A
A zdA
A
式(4-2)就是确定平面图形的形心坐标的公式。
利用式(4-1)可以把式(4-2)改写成
(4-2)
y
Sz A
，z
Sy A
(4-3)
所以，把平面图形对 z 轴和 y 轴的静矩，除以图形的面积 A 就得到图形形心的坐标 y 和
z 。把式(4-3)改写为
S y Az ， Sz Ay
(4-4)
这表明，平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，分别等于图形面积 A 乘图形形心坐标 z 和 y 。
由公式(4-11)，显然可以求得
D 4 I y I z 64
I
Iy
Iz
D 4 32
式中 I 是圆形对圆心的极惯性矩。这里又得出与上一章圆
轴扭转时相同的结论。
对于图 4-10 所示的环形图形，由上一章内容可知
I
32
D4
d4
又由公式(4-11)并根据图形的对称性
图 4-10
I y
Iz
1 2
一个关于静矩的定义式，它告诉我们如何去计算，当然如果知道了图形的面积，我们还是可
以计算出静矩的。由公式（4-1）可见，随着坐标轴 y、z 选取的不同，静矩的数值可能为正，
可能为负，也可能为零。静矩的量纲是长度的 3 次方。
4.1.2 平面图形的形心
平面图形的形心简单地说也就是图形的几何中心，相关问题在这里就不在讨论了。我 们在高数里学过均质薄板的质心，对于均质薄板来说，其质心与形心是重合的。如对圆来说 其形心就是圆心，正方形的形形是其几何中心。
所以，两个坐标轴中只要有一个轴为图形的 对称轴，则图形对这一对坐标轴的惯性积等于零。
图 4-12
z
4.4 平行移轴公式
z C
y
同一平面图形对于平行的两对不同坐标轴 的惯性矩或惯性积虽然不同，但当其中一对轴是 图形的形心轴时，它们之间却存在着比较简单的 关系。
b A
yC dA
z C
C
a
zyC
在图 4-13 中，设平面图形的面积为 A，图形
形的高为 h，宽为 b。
解 先求对 y 轴的惯性矩。取平行于 y 轴的狭长条作为
微面积 dA。则
dA bdzIy源自Az2dA h
2h
bz2dz
bh3 12
2
用完全相同的方法可以求得
图 4-7
Iz
hb3 12
若图形是高为
h
宽为
b
的平行四边形(图
4-8)，它对形心轴
y
的惯性矩仍然是 I y
bh3 12
dIy=z2dA
dIz=y2dA
全面积的惯性矩： (4-7)
Iy Iz
A A
z 2 dA y 2 dA
图 4-5
把卡式分别定义为平面图形对 y 轴和 z 轴的惯性矩。在式(4-7)中，由于 y2、z2 总是
正值，所以 I y 、 I z 也恒为正值。惯性矩的量纲是长度的四次方。
工程上，为方便起见，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即
矩形Ⅱ
y2
10
70 mm 2
45mm
z2
10 2
mm
5mm
A2 10 70mm2 700mm2
应用式(4-6)，得形心 C 的坐标 y、z 为
y A1 y1 A2 y2 12005 700 45 mm 19.7mm
A1 A2
1200 700
z A1z1 A2 z2 1200 60 7005 mm 39.7mm
Iy
1
Iy
2
16 3d 4
96
4.3 惯性积
在图 4-5 所示的平面图形中，定义 yzdA 为微面积 dA 对 y 轴和 z 轴的惯性积。而积分式
I yz A yzdA
(5-12)
定义为图形对 y、z 轴的惯性积。惯性积的量纲为长度的四次方。
由于坐标乘积职 y、z 可能为正或负，因此， I yz 的数值可能为正，可能为负，也可能等
轴和
z
轴所围成的平
面图形对 y 轴和 z 轴的静矩 S y 和 S z ，并确定图形的形心 C 的坐标。