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随机变量的条件分布与条件期望随机变量是概率论中十分重要的概念之一，它描述了在概率模型中可能出现的各种结果。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
在概率论中，我们经常关注的是随机变量的分布以及其与其他变量之间的关系。
本文将重点讨论条件分布与条件期望。
一、条件分布条件分布是指在给定某些条件下，随机变量满足的分布。
对于离散型随机变量，条件分布的计算可以通过条件概率来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值为y的概率。
可以表示为P(Y=y|X=x)。
这个概率可以通过联合概率分布和边缘概率分布来计算。
具体计算方法为：P(Y=y|X=x) = P(X=x,Y=y) / P(X=x)对于连续型随机变量，条件分布的计算可以通过条件密度函数来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的取值在a到b之间的概率。
可以表示为P(a <= Y <= b | X = x)。
这个概率可以通过联合概率密度函数和边缘概率密度函数来计算。
具体计算方法为：P(a <= Y <= b | X = x) = ∫[a, b] f(x, y) dy / f_X(x)二、条件期望条件期望是指在给定某些条件下，随机变量的期望值。
对于离散型随机变量，条件期望的计算可以通过条件概率和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个离散型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = Σy y * P(Y=y|X=x)其中Σ为求和符号，y为随机变量Y的取值。
对于连续型随机变量，条件期望的计算可以通过条件密度函数和随机变量的取值来进行。
假设X和Y是两个连续型随机变量，我们想要求解在给定X的取值为x的条件下，Y的期望值E(Y|X=x)。
可以表示为：E(Y|X=x) = ∫y y * f(y|x) dy其中∫为积分符号，f(y|x)为在给定X=x的条件下，Y的概率密度函数。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为：＄P(B|A)＄，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。
条件概率的计算公式为：＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＄，其中$P(AB)＄表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
例题 1一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第 2 个红球的概率。
解析首先，取出一个红球的概率为$P(A) ＝＼frac{5}｛8}＄。
然后，取出第 2 个红球的概率，即在已经取出一个红球的情况下，再取出一个红球的概率。
此时盒子里还剩下 7 个球，其中 4 个红球，所以$P(AB) ＝＼frac{4}｛7}＄。
根据条件概率公式，＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＝＼frac{4 ／ 7}｛5 ／ 8} ＝＼frac{32}｛35}＄。
知识点总结1、条件概率的本质是在缩小的样本空间中计算概率。
2、条件概率的计算要注意确定已知条件和所求事件，并准确计算相关的概率。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。
即：若$P(B|A) ＝ P(B)＄且$P(A|B) ＝ P(A)＄，则事件 A 和事件 B 相互独立。
当事件 A 和事件 B 相互独立时，＄P(AB) ＝ P(A)P(B)＄。
例题 2设事件 A 表示“明天晴天”，事件 B 表示“明天去公园”，已知$P(A) ＝ 06$，＄P(B) ＝ 04$，＄P(B|A) ＝ 04$，判断事件 A 和事件 B 是否独立。
高中数学中的随机变量与概率计算与条件概率应用在高中数学中，随机变量与概率计算以及条件概率是一个重要的内容。
随机变量是数学中用来描述随机事件结果的变量，而概率计算则是用来描述随机事件发生的可能性大小。
条件概率则是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
首先，让我们来了解一下随机变量。
随机变量可以分为离散型和连续型两种。
离散型随机变量是只能取有限个或可数个值的随机变量，比如掷骰子的点数；而连续型随机变量则是可以取任意实数值的随机变量，比如人的身高。
通过对随机变量的定义和分析，我们可以得到一系列的概率分布函数，比如离散型随机变量的概率质量函数和连续型随机变量的概率密度函数。
这些函数可以帮助我们计算出某个事件发生的概率。
接下来，让我们来看一下概率计算。
在概率计算中，我们常常使用计数原理、排列组合以及概率公式等方法来计算事件的概率。
比如，在掷硬币的实验中，我们可以使用计数原理来计算出正面朝上的概率。
在计算概率时，我们还需要注意事件的互斥性和独立性。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，比如掷硬币时出现正面和反面是互斥事件。
而独立事件是指两个事件的发生不会相互影响，比如掷硬币的结果和掷骰子的结果是独立事件。
通过使用这些方法和原理，我们可以计算出各种复杂事件的概率。
最后，让我们来讨论一下条件概率的应用。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算可以帮助我们更准确地估计事件的发生概率。
比如，在进行疾病筛查时，医生会根据患者的症状和体征来计算出患病的概率，从而更准确地进行诊断和治疗。
此外，条件概率还可以帮助我们解决一些实际问题，比如生活中的选择问题和赌博中的策略问题等。
总之，高中数学中的随机变量与概率计算以及条件概率应用是一个重要的内容。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解和分析随机事件，计算事件的概率，并且在实际生活中应用这些知识解决问题。
这些知识不仅对于数学学科的学习有着重要的意义，同时也对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力有着积极的影响。
第88讲 含有条件概率的随机变量问题一、基础知识：1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A2、条件概率的计算方法：（1）按照条件概率的计算公式：()()()|P AB P B A P A =（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率 例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A ==，()45P A =，所以()()()1|4P AB P B A P A ==按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。
那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为143、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算4、处理此类问题要注意以下几点：（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。
二、典型例题：例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和” （1）求X 的分布列 （2）求X 的数学期望及方差思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X 的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X 的值为3,5，所以可知X 可取的值为1,3,5，当1X =时，意味着直接取到了1号球（概率为13）；当3X =时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为13），另一种为取到了2（概率为13），改完数字后再取到1（概率为23）；当5X =时，为取到了2（概率为13），改完数字后再取到3（概率为13），从而可计算出概率。
进而得到分布列与期望方差解：（1）X 可取的值为1,3,5()113P X ∴==()112533339P X ==+⋅= ()1115339P X ==⋅=X ∴的分布列为：（2）1353999EX =⨯+⨯+⨯= 222123523123176135********DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（1）思路：第一次训练时所取得球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可判断出ξ服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望 解：ξ可取的值为0,1,2()2326105C P C ξ=== ()113326315C C P C ξ⋅=== ()2326125C P C ξ===ξ∴的分布列为：0121555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=（2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。
所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可解：设事件i A 为“第一次训练取出了i 个新球”，则()23326i i i C C P A C -= 设事件B 为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球” 事件C 为“第二次恰好取出一个新球”()()()()012P C P A B P AB P A B ∴=++()()()21133300022663|25C C C P A B P A P B A C C ⋅=⋅=⋅= ()()()1111334211122668|25C C C C P A B P A P B A C C ⋅=⋅=⋅= ()()()213522222661|15C C P A B P A P B A C C =⋅=⋅=()()()()0123875P C P A B P A B P A B ∴=++=例3：若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为45，取到次品的概率为15，在3次试验中2次取到次品，1次取得合格品，所以考虑利用公式求解取到次品的概率 解：设事件A 为“2次取到次品”()223141255125P A C ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）思路：因为只有2个次品，所以最多用掉3个灯泡，X 可取的值为1,2,3，1X =时，意味着取到的是合格品，概率为45，2X =是取到一个次品（概率为15）之后在9个灯泡中取到一个合格品（概率为89），3X =是连续取到2个次品（概率为1159⋅），之后一定拿到合格品，分别计算概率即可 解：X 可取的值为1,2,3()415P X ∴==()18825945P X ==⋅= ()11135945P X ==⋅= X ∴的分布列为：123545459EX ∴=⨯+⨯+⨯= 例4：一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了ξ次才停止取出卡片，求ξ的分布列和数学期望．（1）思路：本题可用古典概型解决，事件Ω为“8张卡片中取出2张卡片”，所以()28n C Ω= 事件A 为“所得新数为奇数”，可知需要一奇一偶相加即可，则()1135n A C C =⋅，从而可计算出()P A解：设A 为“所得新数为奇数”()1135281528C C P A C ⋅∴== （2）思路：依题意可知ξ可取的值为1,2,3,4，题目中的要求为“取出偶数即停止”所以若要保证第n 次能继续抽卡片，则在前()1n -次需均抽出奇数。
所以1,2,3ξ=时，意味着抽卡片中途停止，则必在最后一次取到了偶数，以3ξ=为例，中途停止说明在第三次抽到偶数，前两次抽到奇数。
所以()3253876P ξ==⋅⋅（第二次受第一次结果的影响，只剩7张卡片，含有2张奇数卡片，所以是前两次是奇数的概率为3287⋅）。
当4ξ=时，只要在前三次将奇数卡片抽完即可。
解：ξ可取的值为1,2,3,4()518P ξ∴==()351528756P ξ==⋅= ()3255387656P ξ==⋅⋅= ()3211487656P ξ==⋅⋅=ξ∴的分布列为：123485656562E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=例5：某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1个小时走出迷宫；若是2号，3号通道，则分别需要2小时，3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止，令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列和数学期望思路：迷宫的规则为只有进入1号通道才能走出迷宫，如果是其他通道（以2号为例），则可能打开1通道然后走出迷宫，或者打开另一个通道，通过第三轮进入1通道走出迷宫，所以ξ可取的值为1（1号），3（2号+1号），4（3号+1号），6（3号+2号+1号或2号+3号+1号）。
根据ξ的取值便可判断出走迷宫的情况，从而列出式子计算概率，得到分布列 解：ξ可取的值为1,3,4,6()113P ξ== ()1113326P ξ==⨯=()1114326P ξ==⨯= ()11111632323P ξ==⨯+⨯=ξ∴的分布列为：134636632E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=例6：某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为12，第二次参加考试合格的概率为23，第三次参加考试合格的概率为45，若第四次抽到可要求调换项目，其它选项小李均可一次性通过 （1）求小李第一次考试即通过的概率P （2）求小李参加考核的次数ξ分布列（1）思路：由题意可知，小李能够通过考试的概率取决于是否能够抽到“引体向上”这个项目，如果没有抽到，则必能通过；若抽到“引体向上”则通过的概率为12。
后面通过测试的概率受到前面抽签的影响，要利用条件概率进行解决解：（1）若没有抽到“引体向上”，则3813923C P C == 若抽到“引体向上”，则282391126C P C =⋅= 12215366P P P ∴=+=+= （2）思路：依题目要求可知ξ可取的值为1,2,3,4，在参加下一次考核时，意味着前几次考核失败，所以当ξ取2,3,4时，要考虑前面考核失败的情况与该次考核成功两个方面同时成立。
解：ξ可取的值为1,2,3,4()516P ξ== ()3288339912426327C C P C C ξ⎛⎫==⨯+⋅= ⎪⎝⎭()23288833399911473635405C C C P C C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2288339911114635810C C P C C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξ∴的分布列为：例7：袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是3，从B 中摸出一个红球的概率是23，现从两个袋子中有放回的摸球（1）从A 中摸球，每次摸出一个，共摸5次，求 ① 恰好有3次摸到红球的概率② 设摸得红球的次数为随机变量X ，求X 的期望（2）从A 中摸出一个球，若是白球则继续在袋子A 中摸球，若是红球则在袋子B 中摸球；若从袋子B 中摸出的是白球则继续在袋子B 中摸球，若是红球则在袋子A 中摸球，如此反复摸球3次，计摸出红球的次数为Y ，求Y 的分布列和期望（1）思路：①题目中说“有放回的摸球”，所以本题为独立重复试验模型，在A 中摸出红球的概率为13，代入独立重复试验模型公式即可计算出概率；② 随机变量X 指摸出红球发生的次数，所以符合二项分布15,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭，直接可计算期望 解：① 设事件M 为“恰好有3次摸到红球”()3235124033243P M C ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭② X 的取值为0,1,2,3,4,5，依题意可知15,3XB ⎛⎫⎪⎝⎭15533EX ∴=⋅=（2）思路：有放回的摸球三次，所以Y 可取的值为0,1,2,3，因为下一次在哪个袋子里摸球取决于上一次的结果：若是白球则在本袋继续摸，若是红球则要换袋子摸，所以在计算概率的过程中要监控每一次摸球的结果，并按红球个数进行安排。
