利用数学思想解决综合题

初中数学思想方法大全一、观察法：1.通过观察数的规律，找出数列或图形的特点，进而解决问题。

2.观察题目中的条件，找出规律，推断出解题的方法和步骤。

二、分类法：1.将题目中的条件进行分类，分别求解，再综合得出最终结果。

2.将复杂问题进行分解，分别解决每个小问题，再将结果合并。

三、逆向思维法：1.从结果出发，逆向推断出题目中的条件和方法。

2.通过反证法，假设题目中的条件不成立，然后推出矛盾，得出正确答案。

四、抽象化方法：1.将具体问题抽象成数学模型，通过代数符号和方程式进行求解。

2.通过建立几何图形的模型，求解几何问题。

五、归纳法：1.通过观察和分析已有的具体例子，总结出规律，推导出一般结论。

2.通过已知结论，推导出未知的结论。

六、对称性思想：1.利用图形的对称性质，简化问题的求解过程。

2.利用函数的奇偶性，简化函数的计算。

七、假设法：1.假设未知数的值，通过代入验证是否满足题目中的条件。

2.假设结论成立，通过逻辑推理得出结果。

八、递推法：1.利用数列或图形中前一项与后一项的关系，递推出未知项的值。

2.利用已知条件，递推出问题的解决步骤。

九、化繁为简法：1.将复杂问题简化为简单问题，逐步解决，最后得出最终结果。

2.利用等价变形，将复杂计算简化为简单计算。

十、分而治之法：1.将大问题拆分成若干个小问题，分别解决，再将结果合并得出最终答案。

2.将复杂的问题分解成几个简单的部分，分别求解。

十一、反证法：1.假设题目中的条件不成立，通过推理和逻辑推断得出矛盾，进而得出正确结论。

2.利用反证法证明一个结论的真实性。

以上是初中数学常用的思想方法，通过灵活运用这些思想方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

《数学思想方法》综合练习一、填空题1.《九章算术》思想方法的特点是开放的归纳体系算法化的内容模型化的方法。

2.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。

3.在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。

4.《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。

5.推动数学发展的原因主要有两个：①实践的需要，②理论的需要：数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。

6.变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。

7.数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。

&随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。

9.等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。

10.学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段、①潜意识阶段，②明朗化阶段,③深刻理解阶段。

11.数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。

12.抽象的含义：取其共同的本质属性或特征，舍去其非本质的属性或特征的思维过程13.强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。

14.菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去,使平行四边形概念得到了强化。

15.演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

16.所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有该属性的一种推理方法：常称这种方法为类比法，也称类比推理。

17.反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。

18.在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件（1）反例满足构成猜想的所有条件（2）反例与构成猜想的结论矛盾。

第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、把点A (－2,1)向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到B ，点B 的坐标是（ ）.A ．(－5,3)B ．(1,3)C ．(1,－3)D ．(－5,－1)2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是《算经十书》中最重要的一种，大约成书于公元前200﹣前50年《九章算术》不仅最早提到分数问题还详细记录了《方程》等内容的类型及详细解法，是当时世界上最为重要的数学文献．公元263年，为《九章算术》作注本的数学家是（ ）A ．欧拉B ．刘微C ．祖冲之D ．华罗庚 3、()62121110121110102x x a x a x a x a x a --=+++++，则12108642a a a a a a +++++=（ ） A ．32- B ．0 C ．32 D ．644、《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想5、某景区乘坐缆车观光游览的价目表如下：某班20名同学一起来该景区游玩，都想坐缆车观光游览，且每辆缆车必须坐满，那么他们的费用最低为（）A．530元B．540元C．580元D．590元6、由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（）A．9种B．20种C．10种D．72种7、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大．现想将这三个圆片移动到B柱上，要求每次只能移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至少要移动圆片的次数是（）A．6 B．7 C．8 D．98、昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（）A．（－2，－3）B．（－2，－2）C．（－3，－3）D．（－3，－4）9、某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为( )A．6米B．7米C．8.5米D．9米10、我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A．分类思想B．方程思想C．转化D．数形结合第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某农户2008年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2010年年收入增加到7.2万元，则平均每年的增长率是▲____．2、勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图（单位：km）．笔直铁路经过A，B两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．3、若三个互不相等的有理数既可表示为1，a ，+a b 的形式，又可表示为0，b ，b a的形式，则a =____________，b =____________．4、观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球________个．5、多项式432511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，则m =_________，n =_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（定义）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形华为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.例如：可将多项式2x 2x 3++通过恒等变形化为()222x 2x 3x 2x 12x 12++=+++=++的形式，这个变形过程中应用了配方法. （理解）对于多项式2x 4x 5-+，当x ＝ 时，它的最小值为 .（应用）若22a 2ab 2b 4b 40++++=，求a b 的值.（拓展）a 、b 、c 是△ABC 的三边，且有22a b 4a 10b 29+=+-.（1）若c 为整数，求c 的值.（2）若△ABC 是等腰三角形，直接写出这个三角形的周长.2、图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离．3、腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图所示）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1 1.73）．4、阅读下列两则材料，回答问题）22-＝a﹣b＝2解：25﹣x）﹣（15﹣x）＝10，2，5，材料二：如图1，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1）AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|．所以AB作点A（x1，y1）到点B（x2，y2＝x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x＝5，其中x≤10；（2y与x的函数关系式，写出x的取值范围；（3）在（2）的条件下，设该式子取得最小值时的图形端点为M、N，直接写出将y与x的函数图象向左平移_____个单位时恰好经过点Q（﹣2，2），并直接判定此时△MNQ的形状是______三角形．75、请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形．-参考答案-一、单选题1、B【详解】∵A（-2，1）向上平移2个单位，再向右平移3个单位后得到B，∴1+2=3，-2+3=1；点B的坐标是（1，3）．故选B．2、B【分析】为《九章算术》作注本的数学家是刘微.【详解】为《九章算术》作注本的数学家是刘微.故选B．【点睛】本题考查数学常识；掌握教材阅读材料中的数学常识是解题的关键．3、C【分析】将x=1代入可知a12+a11+a10+…+a1x+a0的值，将x=-1代入可求得a12-a11+a10-a9+…-a1x+a0的值，然后将两式相加可求得a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0的值，最后将x=0代入可求得a0的值．【详解】解：将x=1代入得：a12+a11+a10+…+a1x+a0=64①，将x=-1代入得：a12-a11+a10-a9+…-a1x+a0=0②，①+②得：2×（a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0）=64．∴a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=32．将x=0代入得：a0=64．∴a12+a10+a8+a6+a4+a2=32-64=-32．故选：C．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，特殊值法的应用是解题的关键．4、D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．5、A【分析】由题意可知六人车每个人的价格最低，故费用最低时，六人车三辆，两人车一辆，以此进行分析计算即可.【详解】解：由表格可知，六人车每个人的价格最低，故费用最低时，六人车三辆，两人车一辆，150×3+80＝450+80＝530（元），即最低费用为530元．故选：A．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．6、A【详解】共需制作的车票数为：4+3+2+1，=2×10，=10（种）．故选A．7、B【分析】应先把最小的移动到B，较大的移动到C，然后把最小的移动到C上，把最大的移动到B，把较小的移动到A，把较大的移动到B，最后把最小的移动到B共需7次．【详解】解：需分两步完成：（设最大的圆片为3，较小的为2，最小的为1）①先将最小的圆片移动到B柱上：1⇒B，2⇒C，1⇒C，3⇒B，此时完成了第一步，移动了4次；②将最大圆片放到B柱后，再将剩下两个，按序排列：1⇒A，2⇒B，1⇒B；此时完成了第二步，移动了3次，因此一共移动了3+4=7次．故选B．【点睛】解决本题需注意第一步就应把最小的圆片移动到最终要到达的位置上．8、B【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案．【详解】如图所示：弘文阁所在的点的坐标为：（-2，-2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．9、D【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴=，即=，∴AC=6×1.5=9米．故答案为9．【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．10、D【分析】根据题意选出数学思想方法即可．【详解】解：就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是数形结合思想，故选D ．【点睛】本题考查数学思想方法的运用，熟练掌握各种数学思想方法是解题的关键．二、填空题1、20%【分析】通过理解题意可知本题的等量关系，即2008年的收入×（1+增长率）2=2010年的收入，根据这个等量关系，可列出方程，再求解．【详解】解：设平均每年的增长率是x，则：5（1+x）2=7.2，即1+x=±1.2，解c：x1=0.2或x2=-2.2（不合题意，应舍去）．答：平均每年的增长率是20%．点评：本题考查了一元二次方程应用中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．2、20 13【分析】（1）由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；（2）根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD=x，根据勾股定理即可求出x的值．【详解】（1）由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB=12﹣（﹣8）=20；（2）过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，设CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．故答案为（1）20；（2）13．【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据A 、B 、C 三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型．3、-1 1【分析】 根据题意得到b a 中a 不能等于0，a 又不能等于b ，可以得到b a a=，1b =，0a b +=，求出a 、b 即可．【详解】解：三个互不相等的有理数表示为①1，a ，+a b ②0，b ，b a∵b a中a 不能等于0，a 又不能等于b ， ∴b a a=， ∴1b =，0a b +=∴1a =-．【点睛】本题考查了代数式的求值，关键是根据两个数组的数分别对应相等确定a ，b 的值．4、602【分析】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．【详解】解：这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔10个球循环一次，循环节是●○○●●○○○○○．每个循环节里有3个实心球．我们只要知道2004包含有多少个循环节，就容易计算出实心球的个数．∵2004÷10＝200……4，∴2004个球里有200个循环节，还余4个球．200个循环节里有200×3=600个实心球，剩下的4个球里有2个实心球．所以，一共有602个实心球．5、-11 4【分析】设多项式432511x x x mx n -+++和多项式221x x -+的商为2x bx c ++，通过221x x -+和2x bx c ++乘积与原多项式各项系数对比可求出b 和c 的值，从而得到m 和n.【详解】解：∵多项式432511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，设（432511x x x mx n -+++）÷（221x x -+）=2x bx c ++，则（2x bx c ++）（221x x -+）=()()()4322212x b x c b x b c x c +-+-++-+，∴可得252111b c b -=-⎧⎨-+=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴m=-3-2c=-11，n=c=4，故答案为：-11，4.【点睛】本题考查了多项式的乘除法，解题的关键是掌握运算法则.三、解答题1、【理解】2，1；【应用】4a b =；【拓展】（1）c 的值为4，5，6；（2）12.【解析】【试题分析】【理解】2x 4x 5-+=2(2)1x -+ ，得当x ＝2时，它的最小值为1.【应用】2222440a ab b b ++++=，变形得：2222440a ab b b b +++++=．配方得：()()2220a b b +++=． 则0a b +=，20b +=．解得2a =，2b =-． 则()224a b =-=．【拓展】（1）2241029a b a b +=+-，22410290a b a b +--+=．配方得：()()22250a b -+-=．则20a -=，50b -=．解得2a =，5b =．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得：37c <<．因为c 为整数，则c 的值为4，5，6．（2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.【试题解析】【理解】2 1【应用】∵2222440a ab b b ++++=，∴2222440a ab b b b +++++=．∴()()2220a b b +++=．∴0a b +=，20b +=．解得2a =，2b =-．∴()224a b =-=．【拓展】（1）∵2241029a b a b +=+-，∴22410290a b a b +--+=．∴224410250a a b b -++-+=．∴()()22250a b -+-=．∴20a -=，50b -=．解得2a =，5b =．∴37c <<．∵c 为整数，∴c 的值为4，5，6．（2）2,2，5（舍去）与5，5,2两种情况，得：等腰三角形的周长为12.【方法点睛】本题目是一道新定义题目，涉及知识点有，利用配方法，根据完全平方式的非负性求最值，三角形的三边关系，等腰三角形的周长，难度适中.2、（1）点D′到BC 的距离为（）厘米；（2）E 、E′两点的距离是【分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H ，交AD 于点F ，利用旋转的性质可得出AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′=∠BHD′=90°，在Rt△AD′F 中，通过解直角三角形可求出D′F 的长，结合FH=DC=DE+CE 及D′H=D′F+FH 可求出点D′到BC 的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′=AE，∠EAE′=60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′=AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′=AE可得出E、E′两点的距离．【详解】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′=AD=90厘米，∠DAD′=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′=∠BHD′=90°．在Rt△AD′F中，D′F=AD′•sin∠DAD′=90×sin60°=453厘米．又∵CE=40厘米，DE=30厘米，∴FH=DC=DE+CE=70厘米，∴D′H=D′F+FH=（453+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（453+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′=AE，∠EAE′=60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′=AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE=90°．在Rt△ADE中，AD=90厘米，DE=30厘米，∴AE=答：E、E′两点的距离是【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．3、雕塑AB的高度约为6.8米【分析】利用题目中的仰俯角将其转化为题目直角三角形的内角，分别在Rt ACE中和Rt BCE中求得AE和BE的长，两者相加即为雕塑的高．【详解】解：过点C作CE⊥AB于E．∵∠D ＝90︒－60︒＝30︒，∠ACD ＝90︒－30︒＝60︒，∴∠CAD ＝180︒－30︒－60︒＝90︒．∵CD ＝10，∴AC ＝12CD ＝5．在Rt ACE 中， AE ＝AC ·sin ACE ∠＝5×sin 30︒＝52，CE ＝AC ·cos ACE ∠＝5×cos 30︒ 在Rt BCE 中，∵∠BCE ＝45︒，∴BE =CE • tan 45︒∴551)22AB AE BE =+==≈6.8（米）． ∴雕塑AB 的高度约为6.8米．【点睛】此题主要考查了仰角和俯角的应用，本题要求学生借助仰关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．4、（1）x ＝9；（2）y ＝﹣7x+11（1≤x≤2）；最小值为（3）17349，锐角． 【分析】（125﹣x ﹣10+x ＝155，推3（2，的最小值，可以转化为找一点P（x，y），使得点P到M（1，4）和N（2，﹣3）的距离之和最小，这个最小值是线段MN的长，点P在线段MN 上，由此即可解决问题．（3）设平移后的直线的解析式为y＝﹣7x+m，把点Q（﹣2，27）代入，可得平移后的直线的解析式为y＝﹣7x﹣967，求出两直线与x轴的交点坐标，即可求出平移的距离，再利用两点间距离公式，结合勾股定理的逆定理即可解决问题．【详解】解：（125﹣x﹣10+x＝15，5，3，41，∴x＝9．（2P（x，y），使得点P到M（1，4）和N（2，﹣3）的距离之和最小，这个最小值是线段MN的长，点P在线段MN上，设直线MN的解析式为y＝kx+b，则有k b42k b3+=⎧⎨+=-⎩，解得k7b11=-⎧⎨=⎩，∴此时y与x的函数关系式：y＝﹣7x+11（1≤x≤2）．（3）设平移后的直线的解析式为y＝﹣7x+m，把点Q（﹣2，27）代入得到：27＝14+m，m＝﹣967，∴平移后的直线的解析式为y＝﹣7x﹣967，∵直线y＝﹣7x+11交x轴于（117，0），直线y＝﹣7x﹣967交x轴于（﹣9649，0），∴平移的距离＝117+9649＝17349，∵M（1，4），N（2，﹣3），Q（﹣2，27），∴MN2＝50，MQ2＝32+（267）2，NQ2＝42+（237）2，∴MN＞MQ，MN＞NQ，∵MQ2+NQ2＝25+120549＜50，∴∠MQN＜90°，∴△MNQ是锐角三角形．故答案为17349，锐角．【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解定义内容是解题关键．5、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．。

北京中考27题解题思路
北京中考数学27题解题思路
一、题目概述
北京中考数学27题通常是一道综合题，考察学生的数学综合能力，包括代数、几何、函数等多个方面。

题目难度较大，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的思维。

二、解题思路
1. 仔细审题：在开始解题之前，一定要仔细审题，弄清楚题目要求和条件。

对于题目中给出的信息，要进行整理和分析，以便更好地解决问题。

2. 寻找突破口：在解题过程中，要善于寻找突破口。

对于一些复杂的问题，可以从简单的问题入手，逐步深入，最终解决问题。

同时，要注意利用已知条件和结论，寻找它们之间的关系，从而找到解题的方法。

3. 运用数学思想：在解题过程中，要善于运用数学思想。

例如，数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等。

这些思想可以帮助我们更好地理解问题，简化问题，最终解决问题。

4. 练习和反思：要想在中考中取得好成绩，平时的练习和反思非常重要。

对于一些经典的题目，可以进行反复练习，总结解题方法和技巧。

同时，也要注意反思自己的解题思路和方法，发现自己的不足之处，以便更好地提高自己的数学能力。

三、注意事项
1. 不要轻视题目：虽然题目难度较大，但是不要轻视它。

要认真对待每一个细节，尽可能地找到所有的已知条件和结论，以便更好地解决问题。

2. 不要盲目猜测：在解题过程中，不要盲目猜测答案。

要根据已知条件和结论，运用数学思想和方法，逐步推导和证明答案。

同时，也要注意检查和验证自己的答案是否正确。

数学思想与数学方法的重要性和应用指导老师徐国东（南阳师范学院数学与统计学院 473003）摘要本文是在中学教材中发现和总结，从理论的角度提出了中学教学不能只注重对数学知识的传授，而应在整个教学中贯穿数学方法，体现数学思想，使学生提高掌握分析问题，解决问题的能力，提高学习效果．关键词中学数学；数学；思想；方法引言人类的知识是不断发展的，不断更新的．人类对自然界的认识日新月异，各种数学的新分支层出不穷，边缘性、交叉性学科越来越多，形成了人类知识结构的综合化和整体化的新趋向．因此，为了适应现在社会的需要，培养具有新的知识结构的科技人才，成为当前教育目的，本文将介绍数学中深层的数学思想方法，对我们数学学习者将具有深远的意义．一数学思想方法重要性我国的数学课程标准规定：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：（1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技术；（2）初步学会应用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；（3）体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；（4）具有初步的创新精神和实践能力在情感态度和一般能力方面都能得到充分的发展．可见，义务教育阶段的数学课程致力于使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能．中学数学内容是由数学知识（概念、法则、性质、公式、公理以及数学技能）和蕴藏于其中的数学方法和数学思想等组成的．从教材的构成体系来看，数学方法可以认为是表层知识，数学思想则为深层知识．数学思想是对数学知识的理性的、本质的高度抽象和概括的认识，对于开发学生智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果十分重要的意义．数学思想方法蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程中，数学思想方法是中学数学的重要组成部分，如果把数学学习过程比喻成珍珠项链，那么数学知识点就是珍珠，而数学思想方法则是将珍珠穿起来的线．有了数学思想和数学方法，数学知识点不再是孤立的、零散的东西，它能将处于零散状态的数学知识点凝聚成优化的数学知识结构．二数学方法我在中学时期，对老师所说的数学方法总感到不可琢磨，变化多端，而且是无处不在不可把握．其实呢，中学数学所蕴涵的数学方法主要有：（1）数形结合方法；（2）函数与方程思想方法；（3）把实际问题转化为数学问题的模型化方法；（4）分类思想方法；（5）特殊到一般的数学思想方法；（6）优化思想方法（是指在一定条件下力求获得最优化结果的思想与观念．数学中，诸如求最大（小）值生产中降低消耗，提高效率等问题的解决都要用到优化思想）；（7）符号化思想方法；（8）概率与统计思想方法．未来社会的公民只有具有一定的处理信息的能力才能在信息社会中立于不败之地．我们在学习数学时重视这些数学思想方法，那么如何培养学生掌握这些数学思想方法呢？下面对几种重要的数学思想方法简单介绍：1数形结合方法数形结合就是“形中觅数，数中思形”，是把重要研究的数量关系与空间图形结合起来的思想．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，即“数”是“形”的深刻表达，“形”是“数”的直观反映，数形结合既是一种思想，也是一种方法．众所周知，《解析几何》是数形结合的结晶．其实，许多数学问题都可以巧妙地利用数形结合的方法来使问题简单化． 如，求11112482n +++++的值[1]．一般地，思路可用: 11(1)12211212n n s -==-- lim 1n n s →∞= 即:111112482n +++++= 事实上，我们可以建立一个边长为1的正方形，它的面积为1，如图，我们取正方形的一半，面积为12，再取正方形的1148，，，依次相加，则结果为正方形的面积(1)s =，即11112482n +++++1=1s =2 函数与方程思想方法哪里有数学，那里就有方程，方程是从已知探索未知的桥梁，方程使已知与未知得到辩证的统一；驾驭方程思想方法就是遇到等量关系问题时，要增强列方程求解的观念；碰到与方程理论有联系的问题时，要注重构造方程求解的意识．例： 关于x 的方程2cos sin 0x x a -+= 在(0]2π，上有解，求a 的取值范围[4]．分析： 原方程可化为2sin sin 10x x a --++=，令s i n t x =，问题可转化为一元二次方程210t t a --++=在区间(0,1]上有解的问题，如此处理较为烦琐，如果把问题转化为2sin a x xos x =-在(0]2π，上有解，可进一步把问题转化求函数2sin cos y x x =-，(0,]2x π∈的值域． 解：把方程变为2sin sin 1a x x =+-，因此原方程有解当且仅当a 属于函数2sin sin 1(0)2y x x x π=+-<≤的值域． 因为 215(sin )24y x =+- 而(0,]2x π∈，从而sin (0,1]x ∈， 所以函数的值域为(1,1]-即a 的取值范围是(1,1]-．点评，通过上面的例题我们可以看出，方程有解的问题转化为求值域的问题往往很简捷．3 构造法（构造主义方法）利用数学结构之间特殊的类比关系，构造相应的数学模型解决数学问题，这就是我们常说的构造法．构造法是从题设条件或从求解结论中得到的某些信息，根据问题的需要，设想出一个模型，通过这个模型实现由条件向结论的转化，它是一种创造性的教学方法，不仅能达到另辟蹊径，难题巧解的目的，还能丰富学生的想象力，培养学生的创造性思维能力．用这种方法解决数学问题，解题思路清晰，方法新颖简洁．比如，试证方程753252x x x x x -+-+=在(0,1)内一定有根[2]．分析： 此方程为一元七次方程，不能直接求解，但我们可以构造函数=)(x F 753252x x x x x -+-+-则()F x 为多项式函数，它在[0,1]内连续，且有(0)20F =-< (1)30F =>因此，由闭区间上连续函数的性质——介值定理，可知()F x 在区间(0,1)内至少存在一点ξ使得()0F ξ=即7532520ξξξξξ-+-+-=也就是说753252ξξξξξ-+-+=即方程753252x x x x x -+-+=在(0,1)内一定有根．4 转化与化归思想方法转化与化归思想是数学高考明确要求考查的数学思想方法之一．它是在处理问题时把那些待解决的或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思想．它在数学中的应用比比皆是，如未知向已知的转化，新知识向旧知识的转化，实际问题向数学问题的转化等等．例： 已知函数2328()log 1mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[0,2]，求,m n 的值[2]．分析： 把对数函数问题转化为分式函数问题解决，然后再用判别式法解决．解： 设2281mx x n u x ++=+，其定义域为R ，值域由题设知应为[1,9]． 由2281mx x n u x ++=+得 2()80u m x x u n --+-=因为 x R ∈且设0u m -≠所以 2(8)4()()0u m u n ∆=----≥，即 2()(16)0u m n u m n -++-≤ 由19u ≤≤知，关于u 的一元二次方程2()(16)0u m n u mn -++-=的两根为1和9．由韦达定理得1910169m n mn +=+=⎧⎨-=⎩ 所以 5m n ==若0u m -=即5u m ==时，对于0x =符合条件所以 5m n ==为所求．点评：从本题的解法中体现了等价转化的数学思想方法，它是解决数学综合题的桥梁．数学方法还有很多很多，就不再一一举例，随着题型转变解题方法也各有不同，但解同一类型题的数学方法有时间也是固定．总之解题过程中有了明确的方法，就是有了解题的具体思路，问题也就可以迎刃而解．既然数学方法是在解题过程中体现出来，那么想掌握好数学方法，只有在解题中认真体味和思考，最终理解应用．三 数学思想介绍了数学方法，更要说说数学中的灵魂——数学思想．所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识．首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻．其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点．而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段．中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想．数学思想是一类科学思想，但科学思想不单单指数学思想，在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的．基本数学思想包括：符号与变元表现的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、化归的思想、对立统一的思想、整体思想、函数与方程思想、抽样统计思想、极限思想（或说无限逼近思想）等．它有两大“基石”：即符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”：即对应思想和公理化与结构思想．有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程思想”就是从符号与变元表示的思想、集合思想和对应思想所衍生出的．所以我们说基本数学思想是体现或应该体现与基础数学的具有奠基性和总结性的思维成果．基本数学思想及衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络．中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想．这些思想现在说起来简简单单，但是每种思想都是很多人智慧的结晶，而且作用也非常的大．拿最常见的数形结合思想来举例，它在解析几何形成的过程中就起了重要作用．解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质．在这个过程中有几为著名的数学家有很大的贡献，他们是费马、笛卡儿和拉格朗日等人．他们都是把数与形结合起来，在几何图形中引入坐标观念，这样就把数和形联系起来，通过对代数的研究把几何曲线的性质体现出来．这种把数与形的结合，不但可以研究简单的曲线，还可以研究复杂的曲线，对数学的研究和发展具有重要的深远意义．在数与形结合里，形是可以用数来表示，形的目标，可以通过数达到；反过来，给数以形的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论．欧拉通过坐标变换把一般二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F+++++=所表示的二次曲线化归为以下九种标准形状之一：222210x ya b+-=（椭圆）（1）222210x ya b++=（虚椭圆）（2）22220x ya b+=（二虚直线交叉的实点）（3）222210x ya b--=（双曲线）（4）22220x ya b+=（二相交直线）（5）220y px-=（抛物线）（6）220x a-=（二平行直线）（7）220x a+=（二平行虚直线）（8）20x=（二重合直线）（9）一般二次曲线的上分类，使我们能够借助形来研究某些数问题．例如，考察下面的有趣例子：已知实数,x y满足方程22220x x y-+=，求22z x y=+的最大值和最小值．因满足题给方程的,x y应在椭圆22221x ya b+=上，如图，x 2a = o而22z x y =+为椭圆上一点(,)x y 到原点的距离的平方，故2max 24z ==，min 0z =，此题就轻易解决了．由上所述，数学课堂教学的本质是教学活动，数学活动的本质是思维活动，有效的数学活动不是单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流也不能完全体现课堂学习的内容要求，这就要求我们正确认识表层知识和深层知识的关系，合理的设计教学单元，用数学思想方法这条主线贯穿学习单元，来构建中学数学课程体系，使不同的学生在数学活动中均得到发展．当前新一轮数学课程改革已经在全国展开，保证“双基”的落实和能力的培养，关注学生在活动中的感受和成长，是新课程对学生发展的三维目标要求，而数学教师所持有的数学观念和教学观念将直接影响到数学模式的有效性和新课程的实施．参考文献[1]廖学军. 图形语言在初中函数数学中的运用[J]: 中学数学教学参考, 2000年4月[2]邬云德. 新课程、新理念、新方法——教学教育实践反思录[J]: 中学数学教学参考[3] 覃善群. 过程性原则在设计教学程序中的应用[J]: 中学数学教学参考 1999，1-2[4]章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社， 1999.The Importance and Application of Mathematical Ideology and ApproachQiu JianxinInstructor ordinator XuGuodong(Nanyang Normal University Mathematics and Statistics Institutation 473003)Abstract:The thesis is derived from the study of the textbooks in secondary school. It is theoretically concluded that mathematical ideology and approach should be run through the entire education in stead of purely focus on the teaching of mathematical knowledge,so that the students could master the capacity of analysis and problem-solving by conditional thinking mode, and that the effect of education could be enhanced.Keyword:Secondary Mathematics; Mathematics; Ideology; Approach。

利用数形结合思想解决数学问题摘要：数形结合思想作为一种将代数知识与几何知识紧密结合起来的思想被学生广泛的应用到数学解题中。

本文围绕数形结合思想应用于初中数学解题中的有效方法进行分析，以期为其他同学运用数形结合思想成功解题提供参考和帮助。

关键词：数形结合初中数学数学思想数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想。

在近几年中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。

数学中的数量关系很多都可以用直观的图像来表示，所有图形当中也都包含了一定程度的数量关系，“数”与“形”都是组成数学的重要基础。

因此，将“数”“形”结合起来更能全面直观的解决数学问题，数形结合是一种重要的解题思想，主要方法是将“数”与“形”联系在一起，以数解形，以形助数。

在《义务教育数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等.”所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。

利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。

数与形是密切相关的两个数学表象，在解决数学问题时，我们要把它们有机的结合起来，并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论, 或者把数量关系问题转化为图形问题, 借助几何知识加以解决, 使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”，最终达到优化解题途径的目的。

一、以形助数，化难为易。

“形”具有直观、形象等优点，同时能简便的表达复杂的思维，能将枯燥的数学理论趣味化，能将算理变清晰，能把复杂的数学问题变得简单化，但数学图形在平面几何中，要画出想要的图形则必须借助数值的变化和计算，因而要真正的认识形的变化，必须联系到数中来认识形，借助数理，找出图形中所包含的相应的数量关系，即用数学的方法放在图形上去解决几何问题，特别是对于题型比较复杂的“形”，我们不仅要能正确的把图形进行数字化，同时还必须要仔细的观察图形的结构特点，找出所给题目中隐含的已知条件，利用好题目中数与形之间的关系，把“形的问题”正确的转化为“数的问题”，具体的把图形的位置关系转化为数量关系，再对所得的数进行分析和计算，达到解决图形问题的目的。

第二十六章综合运用数学知识解决实际问题专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、把3米长的绳子剪7次，剪成相等的长度，则（）A．每段占3米长的17B．每段是1米的38C．每段是全长的38D．B．每段是1米的1 72、有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（）A．12 B．28 C．36 D．423、对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取13n=．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x倍时就可移转过去；结果取13n=．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对4、有n个人报名参加甲、乙、丙、丁四项体育比赛活动，规定每人至少参加1项比赛，至多参加2项比赛，但乙、丙两项比赛不能同时兼报，若在所有的报名方式中，必存在一种方式至少有10个人报名，则n的最小值等于（）A．91 B．90 C．82 D．815、几何中研究物体时不研究它的（）．A．形状B．大小C．位置关系D．颜色6、我区面积3424平方公里（1公里=1千米），请你估计，它的百万分之一大约相当于（）A．一间教室的面积B．一块操场的面积C．一张黑板的面积D．一张课桌的面积7、一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A．42个B．36个C．30个D．28个8、图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij＝1，否则a ij＝0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14＝1，否则a14＝0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是（）A．当a21+a51+a61＝3时，选择B1这本书B．当a22+a52+a62＜3时，不选择B2这本书C．当a2j，a5j，a6j全是1时，选择B j这本书D．只有当a2j+a5j+a6j＝0时，才不能选择B j这本书9、如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.710、《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、某快餐店外卖促销，佳佳和点点想点外卖，每单需支付送餐费5元，每种餐食外卖价格如下表：促销活动：（1）汉堡套餐5折优惠，每单仅限一套；（2）全部商品（包括打折套餐）满20元减4元，满40元减10元，满60元减15元，满80元减20元．佳佳想要汉堡套餐、鸡翅、冰激凌、蔬菜沙拉各一份；点点想要汉堡套餐、鸡块、冰激凌各一份，若他们把想要的都买全，最少要花____________元（含送餐费）．2、为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在使用过A 、B 、C 三款软件后进行评分，统计结果如下：（说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星）． 李老师选择_________（填“A”、“B”或“C”）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即评价不低于四星）的可能性最大．3、某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k 棵树种植在点k x 处，其中11x =，当2k ≥时，11255k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(26)2T .=，(02)0T .=．按此方案，第6棵树种植点6x 为 ________；第2016棵树种植点2016x 为_______．4、一根绳子长5米，先用去15，再用15米，这时还剩余________米. 5、国庆期间，小明和妈妈去上海海洋水族馆参观，共用了344小时，其中坐车用了1小时20分钟，吃午饭用了13小时，那么他们实际参观用了________小时． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度OM 为 12 米．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD﹣DC ﹣CB ，使 C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面 OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？2、为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%，实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元.今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水.（1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？（2）请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案；（3）若两种设备的使用年限都为10年，请你说明在（2）的所有方案中，哪种购买方案的总费用最少？（总费用＝设备购买费＋各种维护费和电费）3、（阅读材料）我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x 的正方形，乙种纸片是边长为y 的正方形，丙种纸片是长为y ，宽为x 的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．（理解应用）（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式． （拓展升华）（2）利用（1）中的等式解决下列问题．①已知2210a b +=，6a b +=，求ab 的值；②已知(2021)(2019)2020c c --=-，求22(2021)(2019)c c -+-的值．4、用三种方法将如图所示的等边三角形分成三个全等的图形．5、请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形．（1）图1是矩形ABCD ，E ，F 分别是AB 和AD 的中点，以EF 为边画一个菱形；（2）图2是正方形ABCD ，E 是对角线BD 上任意一点（BE ＞DE ），以AE 为边画一个菱形．-参考答案-一、单选题1、B【详解】试题分析：把3米长的绳子剪7次后将绳子剪成了相等的8段，所以每段应该是全长的18，即长度为38米，所以是1米的38，故选B2、B【分析】售票员能顺利找开钱，即买票过程中可以直接找零．【详解】解：由题意可知：第一个人一定拿了5元，最后一个人一定拿了10元，才会使售票员顺利找钱，否则一定不能，（1）前5个人都拿5元，（2）前4个人拿5元，第5个人拿5元的人插空，则有15C=5种，（3）前3个人拿5元，第4，5个拿5元的人插空，则有25C=10种，C=10种，（4）前2个人拿5元，第3，4，5个拿5元的人插空，则有35C=5种，（5）前1个人拿5元，第2，3，4，5个拿5元的人插空，则有45分别减去（2）（3）（4）中放在所有10前面的一种情况，即减去3种，则共有1+5+10+10+5-3=28种，故选B．【点睛】本题考查了排列组合，解题的关键是根据题意合理分情况讨论，并排除重合的情况，做到不重不漏．3、B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．【详解】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n==乙的思路与计算都正确，n=丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6故选B．【点睛】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．4、C【分析】先计算出一个人报名的选择有9种，然后根据必存在一种方式至少有10个人报名，可以让每一种方式都有9个人，然后只要任意一种再加一个人，继而可得出n的值．【详解】解：对于一个人来说，他的报名方式有两种：报一项或两项，报一项比赛的方式有4种，报两项比赛的方式有5种，故可得：每个人报名方式有9种，又题目要求有10人相同，故可以让每一种方式都有9个人，然后只要任意一种再加一个人即可，所以n min=9×9+1=82．故选：C．【点睛】此题考查了计数方法的问题，根据题意得出每人的报名方式有9种是解答本题的关键，要注意仔细理解题意，难度较大．5、D【分析】根据数学学科常识即可解答，几何中我们不研究物体的颜色、质量和材质等．【详解】几何中研究物体的形状、大小和位置关系，不研究它的颜色、质量和材质等．故选D．【分析】本题主要考查几何基本知识，理解几何研究的内容是解题关键．6、B【分析】首先算出3424平方公里的百万分之一大约是多少，然后与选择项比较即可．【详解】3424平方公里=3424平方千米=3424000000平方米，3424000000×=3424平方米，应是一块操场的面积．故选B【点睛】解决本题的关键是把我区面积进行合理换算，得到相应的常见的值．7、D【详解】试题解析：设盒子里有白球x 个， 根据黑球个数摸到黑球的次数＝黑白球总数摸球总次数得： 8888400x =+ 解得：x=28．经检验得x=28是方程的解．答：盒中大约有白球28个．故选D ．8、D【分析】根据题意a ij 的值要么为1，要么为0，当关键词A i 出现在书B j 中时，元素a ij ＝1，否则a ij ＝0（i ，j 为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可．【详解】解：根据题意a ij 的值要么为1，要么为0，A 、a 21+a 51+a 61＝3，说明a 21＝1，a 51＝1，a 61＝1，故关键词“A 2，A 5，A 6”同时出现在书B 1中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A 2，A 5，A 6”的书，故A 表述正确；B 、当a 22+a 52+a 62＜3时，则a 22、a 52、a 62时必有值为0的，即关键词“A 2，A 5，A 6”不同时具有，从而不选择B 2这本书，故B 表述正确；C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j＝1，a5j＝1，a6j＝1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B j中，则选择B j这本书，故C表述正确；D、根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j＝3时，才能选择B j这本书，而a2j+a5j+a6j的值可能为0、1、2、3，故D表述错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．9、C【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C【点睛】本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．10、D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D ．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．二、填空题1、93【分析】分合买和单买两种情况讨论【详解】两人合买：40400.516151429128+⨯+++⨯+=（元），128520113+-=（元）两人单买：佳佳买汉堡套餐，鸡翅，鸡块，冰激凌花费：400.516141551555⨯++++-=（元）点点买汉堡套餐，冰激凌，蔬菜沙拉花费：400.514951038⨯+++-=（元）总花费为：553893+=（元）∵11393>，故两人单买花费最少故答案为：93．【点睛】知道需要分合买和单买两种情况讨论，同时记得满减是解题的关键．2、B【分析】分别求出三款软件评价不低于四星的比例，然后再进行比较即可得到结论．A 软件的综合评价不低于四星的比例为：（52+30）÷100=0.82；B 软件的综合评价不低于四星的比例为：（49+36）÷100=0.85；C 软件的综合评价不低于四星的比例为：（35+30）÷100=0.65；0.65＜0.82＜0.85故李老师选择B 款网上授课软件，能更好的开展线上学习的可能性最大．故答案为：B ．【点睛】考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．3、2 404【解析】试题解析：11x =，2110()()55x x T T =+-， 3221()()55x x T T =+-， 4332()()55x x T T =+-， …，11255k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12341234111()5k k k x x x x x x x x x x T --∴++++⋯+=+++++⋯++， 1()15k k x T -∴=+，当k =6时,()611112x T =+=+=，当k =2016时,20162015()14031404.5x T =+=+= 故答案为：2，404.4、195【详解】 试题分析：一根绳子先用去15则还剩5×（1-45） =4米，在用去15 米，还剩4-15=195米，故答案为195米． 【点睛】解答本题的关键是把绳子长度看作单位“1”，依据分数乘法的意义，求出第一次用去的长度，依据是等量关系式：剩余长度=总长度-第一次用去长度-第二次用去长度．此为易考点．5、1312【分析】用总时间减去坐车和吃午饭的时间即为实际参观的时间．【详解】1小时20分钟113=小时， 31132981414141343343121212⎛⎫-+=-=-= ⎪⎝⎭（小时）． 故答案为1312． 【点睛】 本题考查分数加减法的应用，根据题意正确列出算式并注意单位的统一是解题关键．三、解答题1、（1） M （12，0） ，P （6，6）；（2）2126y x x =-+； （3）当m=3时，AD+DC+CB 有最大值为15米.【分析】（1）根据所建坐标系易求M 、P 的坐标；（2）可设解析式为顶点式，把O 点（或M 点）坐标代入求待定系数求出解析式；（3）总长由三部分组成，根据它们之间的关系可设A 点坐标为（m ，0），用含m 的式子表示三段的长，再求其和的表达式，运用函数性质求解．【详解】(1)易知底部宽度为12米所以OM=12.则M(12，0)，最大高度为6米，所以P(6，6).(2)设此函数关系式为：2(6)6y a x =-+.∵函数2(6)6y a x =-+经过点(0，0)，∴20(06)6a =-+，即16a =-.∴此函数解析式为：2211(6)6266y x x x =--+=-+. (3)设A(m ，0)，则B(12-m ，0)，C 26112,2m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，D 21,212m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB =22112(122)266m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=213212m m -++.21(3)153m =--+ ∵此二次函数的图象开口向下.∴当m=3米时，AD+DC+CB 有最大值为15米．点评：本题难度在第（3）问，要分别求出三部分的表达式再求其和．关键在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解．2、（1）一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元；（2）案一:甲型1台，乙型7台； 方案二:甲型2台，乙型6台；方案三:甲型3台，乙型5台； 方案四:甲型4台，乙型4台；（3）方案四甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少．【详解】解：（1）设一台甲型设备的价格为x 万元，由题3275%54x x +⨯=，解得x ＝12，∵ 12×75%＝9 ，∴ 一台甲型设备的价格为12万元，一台乙型设备的价格是9万元（2）设二期工程中，购买甲型设备a 台，由题意有129(8)84200160(8)1300a a a a +-≤⎧⎨+-≥⎩， 解得：142a ≤≤， 由题意a 为正整数，∴a＝1，2，3，4∴所有购买方案有四种，分别为方案一:甲型1台，乙型7台； 方案二:甲型2台，乙型6台；方案三:甲型3台，乙型5台； 方案四:甲型4台，乙型4台．（3）设二期工程10年用于治理污水的总费用为W 万元129(8)110 1.510(8)w a a a a =+-+⨯+⨯-化简得: w =－2a ＋192，∵W 随a 的增大而减少 ∴当a ＝4时， W 最小（逐一验算也可）∴按方案四甲型购买4台，乙型购买4台的总费用最少．【点睛】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，关键是弄清题意，设出未知数，找出关键语句，列出不等式组．3、（1）222()2x y x y xy +=+-；（2）①13；②4044．【分析】（1）方法一是直接求出阴影部分面积22x y +，方法二是间接求出阴影部分面积，即()x y +为边的正方形面积减去两个x 为宽、y 为长的矩形面积，即2()2x y xy +-；（2）①将2210a b +=，6a b +=代入上题所得的等量关系式求值；②可以将2021c -看作A ，将2019c -看作B ，代入（1）题的等量关系式求值即可．【详解】（1）222()2x y x y xy +=+-． （2）①由题意得：()222()2a b a b ab +-+=，把2210a b +=，6a b +=代入上式得：2610132ab -==． ②由题意得：22(2021)(2019)c c -+-()()()220212019220212019c c c c =-+---- 2222020=+⨯4044．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景及应用．此题为阅读材料型，也是近几年经常考查的题型，熟练掌握完全平方公式并根据条件特点灵活应用是解决此题的关键．4、见解析【解析】试题分析：先找等边三角形的中心，连接中心和各顶点可把等边三角形分为3个全等的三角形；可从等边三角形的中心向对边引垂线可把等边三角形分成三个全等的四边形；把中心和前两个分法中得到的三条直线继续旋转与等边三角形的三条边相交，可得另一种分法．试题解析：如解图所示(答案不唯一)．5、（1）作图见解析；（2）作图见解析.【详解】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形；（2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形．。