2017年江西省赣州市高考数学二模试卷(理科)

2017届南昌市高三第二次模拟测试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{lg(32)}A x y x ==-,2{4}B x x =≤,则A B =U （）A.3{2}2x x -≤< B.{2}<x x C.3{2}2x x -<< D.{2}≤x x 2．若ii 12ia t +=+（i 为虚数单位，,a t R ∈），则t a +等于（）A.1-B.0C.1D.23．已知随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，若(2)(6)P P ξξ<=>0.15=，则(24)P ξ≤<等于（）A.0.3B.0.35C.0.5D.0.74．已知函数()f x 在R 上可导，则“0'()0f x =”是“0()f x 为函数()f x 的极值”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5．执行如右图程序框图，输出的S 为（）A.17B.27C.47D.676．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，7825a a -=，则11S 为（）A.110B.55C.50D.不能确定7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时,按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）8．《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈（如图）．问它的体积是多少?”这个问题的答案是（）A.5立方丈B.6立方丈C.7立方丈D.9立方丈9．已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（）A.83B.833 C.163D.163310．函数22sin 33([,0)(0,1441x y x xππ=∈-+ 的图像大致是（）A.B. C. D.11．若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（）A.4a ≤- B.46a -≤≤ C.4a ≤-或6a ≥ D.6a ≥12．已知递增数列{}n a 对任意*n N ∈均满足*,3nn a a N a n ∈=，记123(*)n n b a n N -⋅=∈，则数列{}n b 的前n 项和等于（）A.2nn+ B.121n +- C.1332n n +- D.1332n +-第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分.第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知向量(3,4)a = ，(,1)b x = ，若()a b a -⊥，则实数x 等于．14．设2521001210(32)x x a a x a x a x -+=++++ ，则1a 等于．15．已知等腰梯形ABCD 中AB //CD ，24,60AB CD BAD ==∠=︒，双曲线以,A B 为焦点，且与线段CD (包括端点C 、D )有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．16．店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足231x t =-+函数关系式．已知店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是万元．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数()2sin sin(+3f x x x π=⋅．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）锐角ABC ∆的角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，角A 的平分线交BC 于D ，直线x A =是函数()f x 图像的一条对称轴，2AD ==，求边a ．18．（本小题满分12分）近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科学技术得到迅猛发展,国内企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓，国内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设30多个分支机构，需要国内公司外派大量70后、80后中青年员工.该企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度，按分层抽样的方式从70后和80后的员工中随机调查了100位，得到数据如下表：愿意被外派不愿意被外派合计70后20204080后402060合计6040100（Ⅰ）根据调查的数据，是否有90%以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，拟安排6名参与调查的70后、80后员工参加.70后员工中有愿意被外派的3人和不愿意被外派的3人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为x；80后员工中有愿意被外派的4人和不愿意被外派的2人报名参加，从中随机选出3人，记选到愿意被外派的人数为y，求x y<的概率．参考数据：2()P K k>0.150.100.050.0250.0100.005k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879（参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）.xyF 2F 1PNMB AO19．（本小题满分12分）已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，5,7SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且SF SC λ=，SA //平面BEF ．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求二面角S BE F --的余弦值．20．（本小题满分12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为(2,0)A ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点1F （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于,M N 两点（||||PM PN >），若:PAM PBN S S λ∆∆=，求实数λ的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)f x x x ax bx =--+(,,,a b R a b ∈为常数，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间1(1,1)e e++上极值点的个数；（Ⅱ）当1a =，2b e =+时，对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x ke <成立，求正实数k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为24cos sin 40ρρθθ--+=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求||||OA OB ⋅．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|23||21|f x x x =+--．（Ⅰ）求不等式()2f x <的解集；（Ⅱ）若存在x R ∈，使得()|32|f x a >-成立，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案DAB CABBABAD D二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．714．240-15．1,)+∞16．37.5三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解析】（Ⅰ）因为213()2sin (sin cos )cos sin 22f x x x x x x x =+=+3111sin 2cos 2sin(2)22262x x x π=-+=-+…………3分令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k z ππππ-≤≤+∈，所以递增区间是[,()63k k k Z ππππ-+∈；…………6分（Ⅱ）直线x A =是函数()f x 图像的一条对称轴，则2,6223k A k A k z πππππ-=+⇒=+∈，由02A π<<得到3A π=，…………8分所以在ABD ∆中，6BAD π∠=,由正弦定理得2sin sin sin 2BD AD B BAD B =⇒=∠，由(0,2B π∈，所以4B π=，53412C ππππ=--=，5561212CDA ππππ∠=--=，…10分所以2AC AD ==，所以在ABC ∆中，有322sin 60sin 4522BC AC a BC ︒︒⨯=⇒===．…………12分18．【解析】（Ⅰ）222()100(20204020)()()()()60406040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯400400100 2.778 2.7065760000⨯⨯=≈>所以有90%以上的把握认为“是否愿意外派与年龄有关”…………5分（Ⅱ）“x y <”包含：“0,1x y ==”、“0,2x y ==”、“0,3x y ==”、“1,2x y ==”、“1,3x y ==”、“2,3x y ==”六个互斥事件…………6分且0312334233664(0,1)400C C C C P x y C C ===⨯=，03213342336612(0,2)400C C C C P x y C C ===⨯=0330334233664(0,3)400C C C C P x y C C ====，122133423366108(1,2)400C C C C P x y C C ===⨯=12303342336636(1,3)400C C C C P x y C C ===⨯=，21303342336636(2,3)400C C C C P x y C C ===⨯=所以：412410836362001()4004002P x y +++++<===．…………12分19．【解析】（Ⅰ）连接AC ，设AC BE G = ，则平面SAC 平面EFB FG =，SA //平面EFB ，SA ∴//FG ，…………3分GEA ∆ ∽GBC ∆，12AG AE GC BC ∴==，1123SF AG SF SC FC GC ∴==⇒=，13λ∴=；…………6分（Ⅱ）5,,2SA SD SE AD SE ==∴⊥= ，又2,60AB AD BAD ==∠=︒ ，3BE ∴=222SE BE SB ∴+=，SE BE ∴⊥，SE ∴⊥平面ABCD ，…………8分以,,EA EB ES 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(1,0,0),3,0),(0,0,2)A B S ，平面SEB 的法向量(1,0,0)m EA ==，设平面EFB 的法向量(,,)n x y z =，则(,,)3,0)00n EB x y z y ⊥⇒⋅=⇒=，(,,)(1,0,2)02n GF n AS x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1z =，得(2,0,1)n = ，5cos ,5||||m n m n m n ⋅∴<>==⋅255．…………12分20．【解析】（Ⅰ）因为1BF x ⊥轴，得到点2(,)b B c a--，…………2分所以22222213()21a a bb a ac c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪=⎩⎪=+⎩，所以椭圆C 的方程是22143x y +=．…………5分（Ⅱ）因为1sin 22(2)112sin 2PAM PBN PA PM APMS PM PM S PN PN PB PN BPN λλλ∆∆⋅⋅∠⋅===⇒=>⋅⋅⋅∠……6分所以2PM PN λ=-．由（Ⅰ）可知(0,1)P -，设MN 方程:1y kx =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立方程221143y kx x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(43)880k x kx +--=．即得122122843843k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩（）又1122(,1),(,1)PM x y PN x y =+=+ ，有122x x λ=-，…………7分将122x x λ=-代入（）可得：222(2)1643k k λλ-=+．…………8分因为12k >，有2221616(1,4)3434k k k =∈++，…………9分则2(2)14λλ-<<且2λ>44λ⇒<<+．(没考虑到2λ>扣1分)………11分综上所述，实数λ的取值范围为(4,4+．…………12分注：若考生直接以两个极端位置分析得出答案，只给结果2分.21．【解析】（Ⅰ）1a =-时，'()ln(1)2+1xf x x x b x =-++-，记('()g x f x b =-），则2232()112'()21(1)(1)x x g x x x x ⋅-=-+=---，3'()02g x x =⇒=，…………2分当13(1,2x e ∈+时，'()0g x <，3(,1)2x e ∈+时，'()g x 0>，所以当32x =时，()g x 取得极小值6ln 2-，又12(1)2g e e e +=++，1(1)24g e e e+=++，'()0()f x g x b =⇔=-，所以（ⅰ）当6ln 2b -≤-,即ln 26b ≥-时，'()0f x ≥，函数()f x 在区间1(1,1)e e++上无极值点；（ⅱ）当26ln 22b e e -<-<++即22ln 26e b e---<<-时，'()0f x =有两不同解，函数()f x 在区间1(1,1)e e++上有两个极值点；（ⅲ）当21224e b e e e ++≤-<++即12242e b e e e---<≤---时，'()0f x =有一解，函数()f x 在区间1(1,1)e e ++上有一个极值点；（ⅳ）当124b e e -≥++即124b e e ≤---时，'()0f x ≤，函数()f x 在区间1(1,1)e e++上无极值点；(每错一个讨论扣1分)…………6分（Ⅱ）当1,2a b e ==+时，对任意的(1,)x ∈+∞都有12()x f x k e<⋅，即22ln(1)(2)x x x x e x ke --++<，即2ln(1)2x e x x e k x--++<⋅…………7分记()ln(1)2h x x x e =--++，2()x e x k xφ=⋅，由12'()111xh x x x -=-=--，当12x <<时'()0h x >，2x >时，'()0h x <，所以当2x =时，()h x 取得最大值(2)h e =，…………9分又222221(2)22'()xxxk e x e e x x k x xφ--==，当12x <<时'()0x φ<，2x >时，'()0x φ>，所以当2x =时，()x φ取得最小值2ke，…………11分所以只需要2kee <2k ⇒>，即正实数k 的取值范围是(2,)+∞．…………12分22．【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程是1)y x =-即y =…………2分曲线C的直角坐标方程是22440x y x +--+=即22(2)(3x y -+=…5分（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是3πθ=，代入曲线C 的极坐标方程得：2540ρρ-+=，所以||||||4A B OA OB ρρ⋅==．…………10分23．【解析】（Ⅰ）不等式()2f x <等价于32(23)(21)2x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或3122(23)(21)2x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩或12(23)(21)2x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩，解得32x <-或302x -≤<，所以不等式()2f x <的解集是(,0)-∞；…………5分（Ⅱ）()|(23)(21)|4f x x x ≤+--= ，max ()4f x ∴=，…………7分|32|4a ∴-<，解得实数a 的取值范围是2(,2)3-．…………10分。

2017.5江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考数学（理科）试卷第Ⅰ卷 （选择题 共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2(1)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合2{|560}A x x x =--≤，集合2{|log (3)1}B x x =-≤，则()U A C B I =（ ）A ．[1,3](5,6]-UB ．[1,3)(5,6]-UC ．(5,6]D ．∅3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. 1y x=B. tan y x =C. 1lg1x y x+=- D. 2xy = 4. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且满足20172018a a π+=，2204b =，则24033139tana ab b +=（ ）A ．－1B ．C ．1D5.将x y cos =的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象向左平移4π个单位长度，则最后所得图象的解析式为（ ） A. cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B. cos 24x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. sin 2y x =D. x y 2sin -= 6. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线将圆222440x y x y +--+=平分，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．3D ．27．如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为3m ，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，33m ,则绕圆锥表面爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为圆锥底面圆的半径等于（ ）A ． 1mB ．32m C ．43m D ．2m 8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（ ） A ．34 B ．78 C ．1516D ．49. 给出下列四个命题：①若样本数据1210,,,x x x L 的方差为16，则数据121021,21,,21x x x ---L 的方差为64；②“平面向量,a b v v夹角为锐角，则a b ⋅v v ＞0”的逆命题为真命题；③命题“(,0)x ∀∈-∞，均有1x e x >+”的否定是“0(,0)x ∃∈-∞，使得0xe ≤01x +”；④1a =-是直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行的必要不充分条件．其中正确的命题个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A.28π B. 32πC.112π3D.36π11．记“点(,)M x y 满足22x y a +≤（0a >）”为事件A ，记“(,)M x y 满足105240220x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩”为事侧视图俯视图234442244正视图件B ，若(|)1P B A =，则实数a 的最大值为（ ） A ．12B ．45C ．1D ．1312．定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足2()()f x f x '+=,1()2f =，其中)(x f '是函数()f x 的导函数，若对任意正数a ，b 都有22211(sin )64abf a e b θ≤++，则θ的取值范围是（ ） A ．7[2,2]66k k ππππ-+ （k Z ∈） B ．5[2,2][2,2]66k k k k πππππππ+++U （k Z ∈）C ．[2,2]62k k ππππ++ （k Z ∈）D ． 5[2,2]66k k ππππ++ （k Z ∈）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．13.设121(3sin )m x x dx -=+⎰，则6()m x x -的展开式中的常数项为 . 14．在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =u u u v u u u v ，2CE EA =u u u v u u u v ，则AD BE ⋅=u u u v u u u v__________．15．过抛物线2:2(0)C y px p = >的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若||5||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF =__________． 16．已知数列{}n a 的首项1a t =，其前n 项和为n S ，且满足212n n S S n n ++=+，若对n N +∀∈，1n n a a +<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知向量cos ,1)m x x ωω=-u v ，1(cos ,)2n x ω=v，设函数()f x m n =⋅u v v， 若函数()f x 的图象关于直线3x π=对称且[]0,2ω∈．(Ⅰ) 求函数()f x 的单调递减区间；(Ⅱ) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若a =()1f A =，求b c +的最大值．18．（本小题满分12分）高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B ，从学生群体B 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率； （Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目 数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2Y ≥”的概率．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ；（Ⅱ）若AD ＝2，直线CA 与平面ABD 求二面角E －AD －C 的余弦值．DAABD20．（本小题满分12分）已知⊙1F ：22(3)27x y ++=与⊙2F ：22(3)3x y -+=，以1F ，2F 分别为左右焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b += >>经过两圆的交点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，M ，N ，P 是椭圆C 上非顶点的三点，若OM ∥AP ， ON ∥BP ，试问OMN ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知a R ∈，函数2()2ln(2)(2)f x x a x =---． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个相异零点1x ，2x ，求证：121242()x x x x e +>++．(其中e 为自然对数的底数)请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C的参数方程为12cos 2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为2)3π． （Ⅰ）求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△P AB 的面积．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()243f x x a x =-++． （Ⅰ）若a ＝2时，解不等式：()22f x >；（Ⅱ）对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考数学（理）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 BACCD 6—10 BABBC 11—12 A D12．【解析】由2()()f x f x '+=222()()xx x ef x e f x '+=，即2[()]xx ef x '=，令2()()xg x e f x =，则2()()xg x f x e=，且()xg x '=，所以22()2()2()()x xxg x g x g x f x ee '--'==，令()2()xh x g x =-，所以())2())x x x x xh x g x '''=-=-= 当1[0,]2x ∈时，()0h x '≥，()h x 单调递增，当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以，111222max 111()()2()2()0222h x h g ef ==-=-== 所以，()0f x '≤，即()f x 在[0,)+∞上单调递减。

2017年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数=（）A.1-3iB.1+3iC.-1+3iD.-1-3i【答案】A【解析】解：=．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.已知集合＜，，则（∁R M）∩N=（）A.（0，2]B.[0，2]C.∅D.[1，2]【答案】B【解析】解：∵＜1，即-1＜0，即＜0，等价于x（x-2）＞0，解得x＞2或x＜0，则M=（-∞，0）∪（2，+∞），∴（∁R M）=[0，2]，∵N={y|y=}=[0，+∞），∴（∁R M）∩N=[0，2]，故选：B先化简集合M，N求出M的补集，找出M补集与N的交集即可本题考查分式不等式的解法，考查集合的交、补运算，属于中档题．3.已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，，成等差数列，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，，成等差数列，∴，则，化简得，q2-q-1=0，解得q=，则q=，∴====，故选A．设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD，作出图形，可得结论．本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．5.在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，2]要求这两个数的平方和也在区间[0，2]内，即要求0≤x2+y2≤2，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤2在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为=；故选：D．首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，2]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A.6B.-6C.5D.-5【答案】C【解析】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=-1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=-2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=-3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=-4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=-5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=11；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，p=10，S==≤=8，∴此三角形面积的最大值为8．故选B．由题意，p=10，S==，利用基本不等式，即可得出结论．本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．8.设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=-k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】解：由f（x）=-k=0得=k，若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时＜，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=-k有且仅有三个零点，即函数g（x）=k有且仅有三个零点，则由图象可知＜k≤，故选：C．由f（x）=0得=k，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．9.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A.24B.32C.48D.84【答案】A【解析】解：根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，有C 32A 22=6种情况； ②、剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班，有2种情况， ③、将2个文科班学生全排列，安排检查剩下的2个理科班，有A 22=2种情况； 则不同安排方法的种数6×2×2=24种； 故选：A ．根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，②、剩余的1个理科班的学生去检查其他的2个理科班，③、将2个文科班学生安排检查剩下的2个理科班，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列、组合的综合运用，涉及分步和分类计数原理，关键是依据题意，进行分步分析．10.倾斜角为的直线l 过抛物线y 2=ax （a ＞0）的焦点F ，且与抛物线交于点A 、B ，l 交抛物线的准线于点C （B 在A 、C 之间），若，则a =（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 D【解析】解：过A 和D 做AD ⊥l ，BG ⊥l ，垂足分别为D 和G ，准线l 交x 轴于E ， 由抛物线的焦点（，0），准线方程x =-，则丨EF 丨=，且丨BG 丨=丨BF 丨， 由∠AF x =，则∠FCD=， sin ∠FCD=丨 丨丨 丨=丨 丨丨 丨=，，则丨BG 丨=，由2丨EF 丨=丨CF 丨，即2×=丨BC 丨+丨BF 丨=+=4，故a =4， 故选：D ．求得焦点即准线方程．根据三角形的相似关系，求得2丨EF 丨=丨CF 丨，根据抛物线的定义，即可求得a 的值． 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．11.设P 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角面BDD 1B 1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC 、平面ABA 1、平面ADA 1的距离相等，则符合条件的点P （ ） A.仅有一个 B.有有限多个 C.有无限多个 D.不存在 【答案】 A【解析】解：设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选A．设P是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12.若关于x不等式xlnx-x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[e，+∞）B.[0，+∞）C.，∞D.[1，+∞）【答案】B【解析】解：x∈R时，e x＞0恒成立，∴关于x不等式xlnx-x3+x2≤ae x化为a≥；设f（x）=，其中x∈（0，+∞）；则f′（x）=，设g（x）=lnx+1-xlnx+x3-4x2+2x，其中x∈（0，+∞）；则g′（x）=-lnx-1+3x2-8x+2=3x2-8x+1+-lnx＜0，∴g（x）是单调减函数，且g（1）=0，∴x=1时，f（x）取得最大值0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故选：B．x∈R时，e x＞0恒成立，把不等式xlnx-x3+x2≤ae x化为a≥；设f（x）=，x∈（0，+∞）；求出f（x）的最大值即可得出a的取值范围．本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知||=1，||=，且⊥（-），则向量与向量的夹角是______ ．【答案】【解析】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（-）=-=1-1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．14.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是______ ．【答案】27万元【解析】则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．15.已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++t•a n≥0恒成立，则实数t的取值范围是______ ．【答案】[-9，+∞）【解析】解：由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：-=1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n-1）=n+1，∴a n=．不等式++t•a n≥0化为：t≥-．∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．∵-≤-9．∵实数t的取值范围若不等式++t•a n≥0恒成立，∴t≥-9．则实数t的取值范围[-9，+∞）．故答案为：[-9，+∞）．由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：-=1．利用等差数列的通项公式即可得出a n．不等式++t•a n≥0化为：t≥-．再利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.函数＜的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α-β）的值为______ ．【答案】【解析】解：函数＜的图象向左平移个单位长度后，得到y=2sin （2x++Φ）的图象；∵对应的函数是奇函数，∴+Φ=kπ，k∈Z，即Φ=kπ-，∴Φ=-，即f（x）=2sin （2x-）．∵函数，关于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即2sin（2x-）+（2+）cos2x=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin2x+cos2x=-1在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin（2x+θ）=-1（其中，cosθ=，sinθ=，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin（2x+θ）=-在[0，π）内有两个不同的解α，β．∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）=-，sin（2β+θ）=-，∴sinθ=-sin（2α+θ）=-sin（2β+θ），∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，∴2α-2β=-π+2θ，α-β=θ-，∴cos（α-β）=cos（θ-）=sinθ=，故答案为：．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角函数的图象，可得sin（2α+θ）=-，sin（2β+θ）=-，从而得到2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，进而得到cos（α-β）=cos（θ-）=sinθ的值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．三、解答题(本大题共7小题，共84.0分)17.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，，，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sin B+sin C=1，求△ABC的面积S．【答案】解：（1）∵，∴（sin C，sin B cos A）•（b，2c）=0，∴bsin C+2csin B cos A=0…（2分）由正弦定理得bc+2cbcos A=0…（4分）∵b≠0，c≠0∴…（5分）∵0＜A＜π∴…（6分）（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C即…（8分）又sin B+sin C=1，解得…（9分）∵∴b=c=2…（11分）∴△ABC的面积…（12分）【解析】（1）根据，可得bsin C+2csin B cos A=0，由正弦定理得bc+2cbcos A=0，进而得出．（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，了由正弦定理可得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C，化简整理再利用三角形面积计算公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．【答案】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）又由，BC=2，AC=1，得BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分）故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）连接FC，则∠ECF=30°，∴…（9分）又∠BAD=∠BCD=90°，所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分）故四面体ABCD的外接球的表面积=…（12分）（向量解法酌情给分）【解析】（1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，，，，其中p1＞p3，又，，成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．【答案】解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，∴…（1分）联立方程组，…（3分）由p1＞p3，解得，．…（5分）（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）…（10分）∴X的分布列为：…（12分）【解析】（1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，列出方程组，能求出p1，p3的值．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和EX．本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．20.过点P（a，-2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以′．所以直线PA的斜率为．因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线PA的方程为．…（1分）因为点P（a，-2）在直线PA上，所以，即．…（2分）同理，．…（3分）所以x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两个根．所以x1x2=-8．…（4分）又，…（5分）所以x1x2+y1y2=-4为定值．…（6分）法2：设过点P（a，-2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x-a），…（1分），消去y得x2-4kx+4ka+8=0，由△=16k2-4（4ak+8）=0，化简得k2-ak-2=0．…（2分）所以k1k2=-2．…（3分）由x2=4y，得，所以′．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=-8．…（4分）又，…（5分）所以x1x2+y1y2=-4为定值．…（6分）（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…（7分）由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…（8分）同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分）由①②解得，，所以点，．…（10分）抛物线C的焦点为F（0，1），则，，，．由于，…（11分）所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分）把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x-m）2+（y-n）2=（m-a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1-x2）（x1+x2-2m）+（y1-y2）（y1+y2-2n）=0，①…（7分）由（Ⅰ）知，，，，代入上式得，…（8分）当x1≠x2时，得8a-4m+a3-2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（-m，n-1）•（-a，-3）=0，得ma-3（n-1）=0，③…（9分）由②③解得，，…（10分）所以点，．…（11分）当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）【解析】（Ⅰ）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=-2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，则．则以PM为直径的圆恒过点F．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理的应用，考查利用导数求抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=lnx+x2-2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（I）f（x）=lnx+x2-2ax+1，f'（x）=+2x-2a=，令g（x）=2x2-2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（-2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2-2a，对任意的a∈（-2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（-2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a（a+1）-a2+-4a-2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）-a2+-4a-2，由h（0）＞0得m＞1，且h（-2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（me a-1）=0，∴a=-2或a=-lnm，∵a∈（-2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，-lnm∈（-2，0），且a∈（-2，-lnm）时，h'（a）＜0，a∈（-lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（-lnm）=lnm-（2-lnm）＞0，所以a∈（-2，-lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2-1），因为a∈（-2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（-2）=0，所以a∈（-2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．【解析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；（2）根据（1），得出f（x0）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（-2，0]，不等式2me a（a+1）-a2+-4a-2＞0都成立，构造函数h（a）=2me a（a+1）-a2+-4a-2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（-2）≥0得m≤e2，利用导函数，对m 进行区间内讨论，求出m的范围．考查了导函数的应用和利用构造函数的方法，对存在问题进行转化，根据导函数解决实际问题．22.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ-）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【答案】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y-4=0，∴直线l的普通方程为x+y-4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x-1）2+（y-1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=-4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【解析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ-）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．23.已知函数f（x）=|x+a-1|+|x-2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【答案】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1-2a|＜3．①当a≤0时，得-a+（1-2a）＜3，解得＞，所以＜；②当＜＜时，得a+（1-2a）＜3，解得a＞-2，所以＜＜；③当时，得a-（1-2a）＜3，解得＜，所以＜；综上所述，实数a的取值范围是，．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a-1|+|x-2a|≥|（x+a-1）-（x-2a）|=|3a-1|=3a-1≥2．【解析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．。

江西省赣州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·伊春月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·河南期中) 若在复平面内，复数所对应的点落在直线上，则A .B .C .D .3. （2分）在一个游戏中，有两枚大小相同、质地均匀的正四面体骰子，每个面上分别写着数字1，2，3，5．同时投掷一次，记x为两个朝下的面上的数字之和，则x不小于6的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线的标准方程为， F为其右焦点，A1 ， A2是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于A1 ， A2的任意一点，直线A1P，A2P与直线x=a分别交于两点M，N，若，则a的值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高三上·东莞期末) 执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）A . n＞6？B . n＞7？C . n＞8？D . n＞9？6. （2分）(2018·海南模拟) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）A . 81盏B . 112盏C . 114盏D . 162盏7. （2分） (2015高一下·济南期中) 用五点作图法作y=2sin4x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（）A . 0，，π，，2πB . 0，，，，πC . 0，，，，D . 0，，，，π8. （2分） (2016高二下·安吉期中) 已知x，y满足条件则z= 的最大值（）A . 3B .C .D . ﹣9. （2分） (2019高三上·深州月考) 在长方体中，，点为棱上的点，且，则异面直线与所成角的正弦值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高三上·重庆期中) 函数f（x）= +ln|x|的图象大致为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二上·唐山期中) 若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），则这个椭圆的离心率等于（）A .B .C .D .12. （2分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知点A（1，2），B（2，5）， =2 ，则点C的坐标为________．14. （1分）（展开式的常数项为________．15. （1分）已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，则S2016=________16. （1分） (2018高三上·河北月考) 对任意实数，min（）表示中较小的那个数，若，，则的最大值是________三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分）(2018·虹口模拟) 已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根， .（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.18. （5分）(2017·宁化模拟) 如图，等腰三角形ABC中，E为底边BC的中点，△AEC沿AE折叠，将点C 折到点P的位置，使二面角P﹣AE﹣B为60°，设点P在平面ABE上的射影为H．（Ⅰ）证明：点H为EB的中点；（Ⅱ）若AB=AC=2 ，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．19. （10分） (2016高二下·邯郸期中) 在10件产品中，有2件一等品，4件二等品，4件三等品，从这10件产品中任取3件，求（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；（2）取出的3件产品中至多有1件一等品的概率．20. （5分） (2017高二上·海淀期中) 某隧道的拱线段计为半个椭圆的形状，最大拱高为（如图所示），路面设计是双向四车道，车道总宽度为．如果限制通行车辆的高度不超过，那么隧道设计的拱宽至少应是多少米（精确到）？21. （10分）已知函数f（x）=x2﹣alnx（常数a＞0）．（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）讨论函数f（x）在区间（1，ea）上零点的个数（e为自然对数的底数）．22. （5分）(2017·安庆模拟) 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线l的极坐标方程是ρsin（θ+ ）=2 ，且点P是曲线C：（θ为参数）上的一个动点．（Ⅰ）将直线l的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求点P到直线l的距离的最大值与最小值．23. （10分） (2018高二下·石嘴山期末) 已知函数 .（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数 .当时，，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。

2017年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i2．（5分）已知集合，，则（∁R M）∩N＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．∅D．[1，2]3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．5．（5分）在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6B．﹣6C．5D．﹣57．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．8．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]＝1，[0.5]＝0，已知函数f（x）＝﹣k （x＞0），若方程f（x）＝0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．24B．32C．48D．8410．（5分）倾斜角为的直线l过抛物线y2＝ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若，则a＝（）A．1B．2C．3D．411．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在12．（5分）若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知||＝1，||＝，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*），若不等式++t •a n≥0恒成立，则实数t的取值范围是．16．（5分）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sin B+sin C＝1，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC＝2，AC＝1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．19．（12分）春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D 获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．20．（12分）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△P AB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数＝（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【解答】解：＝．故选：A．2．（5分）已知集合，，则（∁R M）∩N＝（）A．（0，2]B．[0，2]C．∅D．[1，2]【解答】解：∵＜1，即﹣1＜0，即＜0，等价于x（x﹣2）＞0，解得x＞2或x＜0，则M＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴（∁R M）＝[0，2]，∵N＝{y|y＝}＝[0，+∞），∴（∁R M）∩N＝[0，2]，故选：B．3．（5分）已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，∵a3，成等差数列，∴，则，化简得，q2﹣q﹣1＝0，解得q＝，则q＝，∴＝＝＝＝，故选：A．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．5．（5分）在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，2]要求这两个数的平方和也在区间[0，2]内，即要求0≤x2+y2≤2，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤2在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为＝；故选：D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6B．﹣6C．5D．﹣5【解答】解：当i＝1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝﹣1，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝1，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝﹣2，i＝4；当i＝4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝2，i＝5；当i＝5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝﹣3，i＝6；当i＝6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝3，i＝7；当i＝7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝﹣4，i＝8；当i＝8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝4，i＝9；当i＝9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝﹣5，i＝10；当i＝10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S＝5，i＝11；当i＝11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C．7．（5分）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，p＝10，S＝＝≤＝8，∴此三角形面积的最大值为8．故选：B．8．（5分）设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]＝1，[0.5]＝0，已知函数f（x）＝﹣k （x＞0），若方程f（x）＝0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）＝﹣k＝0得＝k，若x＞0，设g（x）＝，则当0＜x＜1，[x]＝0，此时g（x）＝0，当1≤x＜2，[x]＝1，此时g（x）＝，此时，当2≤x＜3，[x]＝2，此时g（x）＝，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]＝3，此时g（x）＝，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]＝4，此时g（x）＝，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）＝﹣k有且仅有三个零点，即函数g（x）＝k有且仅有三个零点，则由图象可知＜k≤，故选：C．9．（5分）某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．24B．32C．48D．84【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，有C32A22＝6种情况；②、剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班，有2种情况，③、将2个文科班学生全排列，安排检查剩下的2个理科班，有A22＝2种情况；则不同安排方法的种数6×2×2＝24种；故选：A．10．（5分）倾斜角为的直线l过抛物线y2＝ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若，则a＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：过A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分别为D和G，准线l交x轴于E，由抛物线的焦点（，0），准线方程x＝﹣，则丨EF丨＝，且丨BG丨＝丨BF丨，由∠AFx＝，则∠FCD＝，sin∠FCD＝＝＝，，则丨BG丨＝，由2丨EF丨＝丨CF丨，即2×＝丨BC丨+丨BF丨＝+＝4，故a＝4，故选：D．11．（5分）设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在【解答】解：设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选：A．12．（5分）若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）【解答】解：【方法一】设f（x）＝xlnx﹣x3+x2，x＞0，则f′（x）＝lnx+1﹣3x2+2x，且f′（1）＝ln1+1﹣3+2＝0，∴1是f（x）的极值点，也是最值点；∴f（x）＜0恒成立，又x＞0时，e x＞1恒成立，∴a的取值范围是[0，+∞）．【方法二】不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x可化为lnx﹣x2+x≤，设f（x）＝lnx﹣x2+x，g（x）＝，其中x＞0；∴f′（x）＝﹣2x+1＝，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣（舍去），∴x＝1时f（x）取得极大值，也是最大值，为0；又g′（x）＝a•，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴x＝1时g（x）取得极值，也是最值，a≥0时g（x）取得最小值为a；由题意知实数a的取值范围是a≥0．故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知||＝1，||＝，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）＝﹣＝1﹣1××cosθ＝0，求得cosθ＝，可得θ＝，故答案为：．14．（5分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z＝5x+3y，且，联立，解得x＝3 y＝4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z＝5×3+3×4＝27（万元）．故答案为：27万元．15．（5分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*），若不等式++t •a n≥0恒成立，则实数t的取值范围是[﹣9，+∞）．【解答】解：由数列{a n}满足a1＝，a n+1＝（n∈N*），两边取倒数可得：﹣＝1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴＝2+（n﹣1）＝n+1，∴a n＝．不等式++t•a n≥0化为：t≥﹣．∵+5≥2＝4，当且仅当n＝2时取等号．∵﹣≤﹣9．∵实数t的取值范围若不等式++t•a n≥0恒成立，∴t≥﹣9．则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．故答案为：[﹣9，+∞）．16．（5分）函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到y＝2sin（2x++Φ）的图象；∵对应的函数是奇函数，∴+Φ＝kπ，k∈Z，即Φ＝kπ﹣，∴Φ＝﹣，即f（x）＝2sin（2x﹣）．∵函数，关于x的方程f（x）+g（x）＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即2sin（2x﹣）+（2+）cos2x＝﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin2x+cos2x＝﹣1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin（2x+θ）＝﹣1（其中，cosθ＝，sinθ＝，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin（2x+θ）＝﹣在[0，π）内有两个不同的解α，β．∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）＝﹣，sin（2β+θ）＝﹣，∴sinθ＝﹣sin（2α+θ）＝﹣sin（2β+θ），∴2α+θ＝π+θ，2β+θ＝2π﹣θ，∴2α﹣2β＝﹣π+2θ，α﹣β＝θ﹣，∴cos（α﹣β）＝cos（θ﹣）＝sinθ＝，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sin B+sin C＝1，求△ABC的面积S．【解答】解：（1）∵，∴（sin C，sin B cos A）•（b，2c）＝0，∴b sin C+2c sin B cos A＝0…（2分）由正弦定理得bc+2cb cos A＝0…（4分）∵b≠0，c≠0∴…（5分）∵0＜A＜π∴…（6分）（2）由（1）及余弦定理得a2＝b2+c2+bc，得sin2A＝sin2B+sin2C+sin B sin C即…（8分）又sin B+sin C＝1，解得…（9分）∵∴b＝c＝2…（11分）∴△ABC的面积…（12分）18．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC＝2，AC＝1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD外接球的表面积．【解答】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）又由，BC＝2，AC＝1，得BC2＝AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分）故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）连接FC，则∠ECF＝30°，∴…（9分）又∠BAD＝∠BCD＝90°，所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分）故四面体ABCD的外接球的表面积＝…（12分）（向量解法酌情给分）19．（12分）春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D 获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．【解答】解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，∴…（1分）联立方程组，…（3分）由p1＞p3，解得．…（5分）（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）…（10分）∴X的分布列为：…（11分）…（12分）20．（12分）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2＝4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△P AB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2＝4y，得，所以．所以直线P A的斜率为．因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线P A的方程为．…（1分）因为点P（a，﹣2）在直线P A上，所以，即．…（2分）同理，．…（3分）所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8＝0的两个根．所以x1x2＝﹣8．…（4分）又，…（5分）所以x1x2+y1y2＝﹣4为定值．…（6分）法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2＝k（x﹣a），…（1分），消去y得x2﹣4kx+4ka+8＝0，由△＝16k2﹣4（4ak+8）＝0，化简得k2﹣ak﹣2＝0．…（2分）所以k1k2＝﹣2．…（3分）由x2＝4y，得，所以．所以直线P A的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2＝﹣8．…（4分）又，…（5分）所以x1x2+y1y2＝﹣4为定值．…（6分）（Ⅱ）法1：直线P A的垂直平分线方程为，…（7分）由于，，所以直线P A的垂直平分线方程为．①…（8分）同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分）由①②解得，，所以点．…（10分）抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…（11分）所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分）把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）法2：设点M的坐标为（m，n），则△P AB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2＝（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）＝0，①…（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，…（8分）当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an＝0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）＝0，得ma﹣3（n﹣1）＝0，③…（9分）由②③解得，…（10分）所以点．…（11分）当x1＝x2时，则a＝0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）＝lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）＝+2x﹣2a＝，令g（x）＝2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）＝2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）＝2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）＝2（a+2）（me a﹣1）＝0，∴a＝﹣2或a＝﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）＝lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m＝e2时，h'（a）＝2（a+2）（e a+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）＝0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4＝0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4＝0．由＝．得ρ2＝2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为＝＝当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b＝0．当直线l'与圆C 相切时，得，解得b＝0或b＝﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y＝0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l 的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a 的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）＝|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|＝|3a﹣1|＝3a﹣1≥2．第21页（共21页）。

-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。

2017年江西省重点中学盟校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1）A．i B．﹣i C．﹣1 D．12．已知集合M={x|x2＞4}，N={x|1＜x＜3}，则N∩∁R M=（）A．{x|﹣2≤x＜4}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}3．下列命题中真命题的个数是（）①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；③若p：x≤1，q1，则￢p是q的充分不必要条件．④设随机变量X服从正态分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），则C=3．A．1 B．2 C．3 D．44．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（）A．3πB．5πC．10πD．20π5．“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如框图中若输入的a、b分别为198、90，则输出的i为（）A．3 B．4 C．5 D．66．如图，在边长为2的正方形ABCD中，M是AB的中点，过C，M，D三点的抛物线与CD围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）A B C D7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|g（x）=cos（ωf（x）的图象（）A BC D8．如果实数x，y c恒成立，则c的取值范围为（）A．B．（﹣∞，3]C．+∞）D．[3，+∞）9．将A，B，C，D，E这5名同学从左至右排成一排，则A与B相邻且A与C 之间恰好有一名同学的排法有（）A．18 B．20 C．21 D．2210θ“同余”“同余”）A B C D11．已知O为坐标原点，F是双曲线C（a＞0，b＞0）的左焦点，A，B分别为左、右顶点，过点F做x轴的垂线交双曲线于点P，Q，连接PB交y 轴于点E，连结AE交QF于点M，若M是线段QF的中点，则双曲线C的离心率为（）A．2 B C．3 D12．已知函数f（x）=x3+1，g（x）=2（log2x）2﹣2log2x+t﹣4，若函数F（x）=f（g（x））﹣1在区间[1上恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围（）A．4] B．C．[4D．[4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数f（x）f[f（﹣3）]=．14．在多项式（1+2x）6（1+y）5的展开式中，xy3项的系数为．15．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC距离分别为m，n的最小值为．=3a n+1（n∈N*），若b n n，16．已知数列{a n}中，设a1=1，a n+1T n是{b n}的前n项和，若不等式2nλ＜2n﹣1T n+n对一切的n∈N+恒成立，则实数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=a2+c2（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．18．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间50分钟到100钟的n人进行统计，按照租车时间[50，50），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分组做出频率分布直方图如图1，并作出租用时间和茎叶图如图2（图中仅列出了时间在[50，60），[90，100）的数据）．（1）求n的频率分布直方图中的x，y（2）从租用时间在80分钟以上（含80分钟）的人数中随机抽取4人，设随机变量X表示所抽取的4人租用时间在[80，90）内的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．19．如图，在正四面体ABCD中，O是△BCD的中心，E，F分别是AB，AC上的=（1﹣λ（1）若OE∥平面ACD，求实数λ的值；（2）若ABCD的棱长为DEF和平面BCD所成的角余弦值．20．已知椭圆C（a＞0，b＞0）右顶点A（2，0），离心率（1）求椭圆C的方程；（2）设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理。

江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考 2017年高考模拟数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位,a ∈R ,若11i a a +-+（）（）是纯虚数,则a 的值为（ ） A.1-或1B.1C.1-D.32．已知全集=U R ,集合2}6{|0A x x x =+->,2{}2|1,x B y y x -==≤,则()A B =U ð（ ）A.[]3,3-B.[]1,2-C.[]3,2-D.(]1,2-3．已知函数2()af x x x=+,则“02a ＜＜”是“函数()f x 在(1,)+∞上为增函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．设,a b 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则（ ）A.若a b αα∥，∥，则a b ∥ B.若,a a αβ∥∥，则αβ∥ C.若,a b a α⊥∥，则b α⊥D.若,a ααβ⊥∥，则αβ⊥5．运行如图所示框图的相应程序,若输入,a b 的值分别为4log 3和3log 4,则输出M 的值是（ ）A.0B.1C.3D.1-6．如图，正方形中,点E 是DC 的中点,点F 是BC 的一个三等分点.那么EF =（ ）A.1123AB AD - B.1142AB AD - C.1132AB DA +D.1223AB AD - 7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升,其三视图（单位：寸）如图所示,若π取3,其体积为12.6（立方寸）,则图中x 的为（ ）A.2.5B.3C.3.2D.48．设,x y 满足约束条件430,0x yy x x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩,若目标函数22(0)z x ny n =+＞,z 的最大值为2,则πtan 6y nx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6后的表达式为（ ） A.πtan 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.πtan 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.tan2y x =9．直线1:10l ax y a+-=与,x y 轴的交点分别为,A B ,直线l 与圆22:1O x y +=的交点为,C D .给出下列命题：:0p a ∀＞,12AOB S =△,:0q a ∃＞,||||AB CD ＜.则下面命题正确的是（ ）A.p q ∧B.p q ∧￢￢C.p q ∧￢D.p q ∧￢10．函数21ex x y +=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A B C D11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为()()12e,0e,0F F -,,以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ,若直线2PF 与圆222:216c b E x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切,则双曲线的渐近线方程是（ ）A.y x =±B.y =C.y =D.2y x =±12．已知函数101,0()e ,0xx x f x x -≤⎧=⎨>⎩（e 为自然对数的底）.若函数()()g x f x kx =-恰好有两个零点,则实数k 的取值范围是（ ） A.(1,e)B.(e,10]C.(1,10]D.(10,)+∞二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13．已知直线210x y +-=与直线240x my ++=平行,则它们之间的距离是__________.14．对于函数()()sin π,2,()22,(0,2]x x g x g x x ⎧∈+∞⎪=⎨+∈⎪⎩,若关于x 的方程()0g x n n =（＞）有且只有两个不同的实根12,x x ,则12x x +=___________.15．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯,26⨯,34⨯三种,其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*pq ∈N ,）是正整数n 的最佳分解时,我们定义函数()f n q p =-,例如(12)431f =-=.数列{}(3)nf 的前100项和为___________.16．已知双曲线2222:1x y C a b-=,实轴为AB ,平行于AB 的直线与双曲线C 交于点,M N ,则直线,AM AN 的斜率之积为___________.三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知由实数组成的等比数列{}n a 的前项和为n S ,且满足478a a =,7254S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对*n N ∈,()()2222121log log n n n n b a a ++=∙,求数列{}n b 的前n 项和n T .18．在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(2)c a AB BC cBC AC -∙=∙ （1）求B 的大小；（2）已知()()cos sin 2cos 1f x x a x x =-+,若对任意的x ∈R ,都有()f x f B ≤（）,求函数()f x 的单调递减区间. 19．已知三棱台111ABC A B C -中,平面11BB C C ⊥平面ABC ,90ACB ∠=,11112BB CC B C ===,46BC AC ==，.（1）求证：1BC ⊥平面11AA C C（2）点D 是11B C 的中点,求二面角11A BD B --的余弦值.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b -=>>的离心率e ,右顶点、上顶点分别为,A B ,直线AB 被圆22:1O x y +=. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点B 且斜率为k 的动直线l 与椭圆C 的另一个交点为M ,()ON OB OM λ=+,若点N 在圆O 上,求正实数λ的取值范围.21．已知2()ln(1)f x a x bx =++存在两个极值点12,x x . （1）求证：12|2|x x +＞；（2）若实数λ满足等式12()()0f x f x a b λ+++=,试求λ的取值范围. [选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中,曲线()221:11C x y -+=,曲线2C 的参数方程为：sin x y θθ==⎧⎪⎨⎪⎩,（θ为参数）,以O为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）射线()0y x x ≥与1C 的异于原点的交点为A ,与2C 的交点为B ,求||AB . [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|()5|f x x a x a =-++-（1）若不等式|(|)2f x x a --≤的解集为[5,1]--,求实数a 的值；（2）若0x ∃∈R ,使得20()4f x m m +<,求实数m 的取值范围.江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考 2017年高考模拟数学试卷（理科）（2）答 案1~5．BDAC D 6~10．DBCC A 11~12．DB1314．115．5031- 16．2-17．解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由478a a =，可得3748a q a ==，解得2q =。

江西省赣州市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分） (2020高二下·大庆月考) 已知i是虚数单位，若，复数，为虚数单位，是的共轭复数，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·抚顺期末) 2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会第二次会议的了解程度，抚顺市拟采用分层抽样的方法从三所不同的中学抽取60名教师进行调查。

已知学校中分别有180、270、90名教师，则从学校中应抽取的人数为（）A . 10B . 12C . 18D . 244. （2分）(2019·惠州模拟) 若、满足约束条件，则的最大值为（）A . 2B . 6C . 7D . 85. （2分）(2017·腾冲模拟) 某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一下·韶关期末) 如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：① 与平行；② 与是异面直线；③ 与成60°角；④ 与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A . ①②③B . ②④C . ③④D . ②③④7. （2分） (2016高一下·南市期末) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）图象的一部分如图所示，函数g（x）=f（x+ ），则下列结论正确的是（）A . 函数g（x）的奇函数B . 函数f（x）与g（x）的图象均关于直线x=﹣π对称C . 函数f（x）与g（x）的图象均关于点（﹣，0）对称D . 函数f（x）与g（x）在区间（﹣，0）上均单调递增8. （2分）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数f（x）=﹣lnx+x+h，在区间上任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣∞，e﹣3）C . （﹣1，+∞）D . （e﹣3，+∞）二、填空题 (共5题；共5分)10. （1分）下面的程序框图中，若输入n=40，则输出的结果为________．11. （1分） (2020高二上·遂宁期末) 两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为________12. （1分） (2019高二上·宾县月考) 双曲线的两条渐近线的方程为________.13. （1分）(2018·茂名模拟) 设椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，为椭圆下半部分上一点，若椭圆在处的切线平行于，且椭圆的离心率为，则直线的斜率是________．14. （1分） (2017高二下·长春期末) 若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x ，则f（﹣）+f（2）=________．三、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2020高一下·吉林期中) 在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且（1）求角C的大小；（2）若，，求的面积.16. （5分）(2017·浙江模拟) 设an=xn ， bn=（） 2 ， Sn为数列{an•bn}的前n项和，令fn（x）=Sn﹣1，x∈R，a∈N*．（Ⅰ）若x=2，求数列{ }的前n项和Tn；（Ⅱ）求证：对∀n∈N* ，方程fn（x）=0在xn∈[ ，1]上有且仅有一个根；（Ⅲ）求证：对∀p∈N* ，由（Ⅱ）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．17. （10分） (2020高二下·栖霞月考) 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；（2） X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求的分布列．（注：若三个数，，满足，则称为这三个数的中位数）18. （10分） (2016高二上·安徽期中) 如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2 ．M 是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC．（1）证明：PQ∥平面BCD；（2）若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°，求∠BDC的大小．19. （5分）(2017·泉州模拟) 已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M 过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．20. （10分）(2017·赣州模拟) 已知函数f（x）=x2﹣x，g（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．（1）讨论函数g（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共5题；共5分)10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共50分)15-1、15-2、17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、。

2017年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数=（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i2．已知集合，，则（∁R M）∩N=（）A．（0，2] B．[0，2]C．∅D．[1，2]3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（）A．B．C．D．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．5．在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣57．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．8．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=﹣k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．9．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．24 B．32 C．48 D．8410．倾斜角为的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．411．设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在12．若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．14．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是．15．已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++t•a n ≥0恒成立，则实数t的取值范围是．16．函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD 外接球的表面积．19．（12分）春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．20．（12分）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A （x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．2017年江西省五市八校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数=（）A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知集合，，则（∁R M）∩N=（）A．（0，2] B．[0，2]C．∅D．[1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，N求出M的补集，找出M补集与N的交集即可【解答】解：∵＜1，即﹣1＜0，即＜0，等价于x（x﹣2）＞0，解得x ＞2或x＜0，则M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴（∁R M）=[0，2]，∵N={y|y=}=[0，+∞），∴（∁R M）∩N=[0，2]，故选：B【点评】本题考查分式不等式的解法，考查集合的交、补运算，属于中档题．3．已知等比数列{a n}的各项都为正数，且a3，成等差数列，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，∵a 3，成等差数列，∴，则，化简得，q 2﹣q ﹣1=0，解得q=， 则q=，∴====，故选A ． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于基础题．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．【点评】本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．5．在区间[0，2]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，2]内的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】首先分析题目求这两个数的平方和也在区间[0，2]内的概率，可以联想到用几何的方法求解，利用面积的比值直接求得结果．【解答】解：将取出的两个数分别用x，y表示，则x，y∈[0，2]要求这两个数的平方和也在区间[0，2]内，即要求0≤x2+y2≤2，故此题可以转化为求0≤x2+y2≤2在区域内的面积比的问题．即由几何知识可得到概率为=；故选：D．【点评】此题考查等可能时间概率的问题，利用几何概型的方法解决本题，概率知识在高考中难度有所下降，对利用古典概型和几何概型的基本方法要熟练掌握．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣2，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣3，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=3，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣4，i=8；当i=8时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=9；当i=9时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=﹣5，i=10；当i=10时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=5，i=11；当i=11时，不满足进行循环的条件，故输出S值为5，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．【考点】EL：秦九韶算法．【分析】由题意，p=10，S==，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：由题意，p=10，S==≤=8，∴此三角形面积的最大值为8．故选B．【点评】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．8．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=﹣k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=0得=k，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣k=0得=k，若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=﹣k有且仅有三个零点，即函数g（x）=k有且仅有三个零点，则由图象可知＜k≤，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g （x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．9．某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（）A．24 B．32 C．48 D．84【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，②、剩余的1个理科班的学生去检查其他的2个理科班，③、将2个文科班学生安排检查剩下的2个理科班，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、在3个理科班的学生中任选2人，去检查2个文科班，有C32A22=6种情况；②、剩余的1个理科班的学生不能检查本班，只能检查其他的2个理科班，有2种情况，③、将2个文科班学生全排列，安排检查剩下的2个理科班，有A22=2种情况；则不同安排方法的种数6×2×2=24种；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及分步和分类计数原理，关键是依据题意，进行分步分析．10．倾斜角为的直线l过抛物线y2=ax（a＞0）的焦点F，且与抛物线交于点A、B，l交抛物线的准线于点C（B在A、C之间），若，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】求得焦点即准线方程．根据三角形的相似关系，求得2丨EF丨=丨CF 丨，根据抛物线的定义，即可求得a的值．【解答】解：过A和D做AD⊥l，BG⊥l，垂足分别为D和G，准线l交x轴于E，由抛物线的焦点（，0），准线方程x=﹣，则丨EF丨=，且丨BG丨=丨BF丨，由∠AFx=，则∠FCD=，sin∠FCD===，，则丨BG丨=，由2丨EF丨=丨CF丨，即2×=丨BC丨+丨BF丨=+=4，故a=4，故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．11．设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P 到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，即可得出结论．【解答】解：设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P是正方体的中心，故选A．【点评】本题考查点面距离，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．12．若关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[e，+∞）B．[0，+∞）C．D．[1，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】x∈R时，e x＞0恒成立，把不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x化为a≥；设f（x）=，x∈（0，+∞）；求出f（x）的最大值即可得出a的取值范围．【解答】解：x∈R时，e x＞0恒成立，∴关于x不等式xlnx﹣x3+x2≤ae x化为a≥；设f（x）=，其中x∈（0，+∞）；则f′（x）=，设g（x）=lnx+1﹣xlnx+x3﹣4x2+2x，其中x∈（0，+∞）；则g′（x）=﹣lnx﹣1+3x2﹣8x+2=3x2﹣8x+1+﹣lnx＜0，∴g（x）是单调减函数，且g（1）=0，∴x=1时，f（x）取得最大值0，∴实数a的取值范围是[0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了利用导数研究函数的单调性与求最值问题，是综合题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知||=1，||=，且⊥（﹣），则向量与向量的夹角是．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得向量与向量的夹角θ的值．【解答】解：设向量与向量的夹角是θ，则由题意可得•（﹣）=﹣=1﹣1××cosθ=0，求得cosθ=，可得θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．14．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是27万元．【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可．【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且，联立，解得x=3 y=4，由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故答案为：27万元．【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．=（n∈N*），若不等式++t•a n 15．已知数列{a n}满足a1=，a n+1≥0恒成立，则实数t的取值范围是[﹣9，+∞）．【考点】8H：数列递推式．【分析】由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出a n．不等式++t•a n≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=．不等式++t•a n≥0化为：t≥﹣．∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．∵﹣≤﹣9．∵实数t的取值范围若不等式++t•a n≥0恒成立，∴t≥﹣9．则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．故答案为：[﹣9，+∞）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角函数的图象，可得sin（2α+θ）=﹣，sin（2β+θ）=﹣，从而得到2α+θ=π+θ，2β+θ=2π﹣θ，进而得到cos（α﹣β）=cos（θ﹣）=sinθ的值．【解答】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到y=2sin（2x++Φ）的图象；∵对应的函数是奇函数，∴ +Φ=kπ，k∈Z，即Φ=kπ﹣，∴Φ=﹣，即f（x）=2sin（2x﹣）．∵函数，关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即2sin（2x﹣）+（2+）cos2x=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin2x+cos2x=﹣1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，即sin（2x+θ）=﹣1（其中，cosθ=，sinθ=，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，即方程sin（2x+θ）=﹣在[0，π）内有两个不同的解α，β．∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）=﹣，sin（2β+θ）=﹣，∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π﹣θ，∴2α﹣2β=﹣π+2θ，α﹣β=θ﹣，cos（α﹣β）=cos（θ﹣）=sinθ=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2017•江西二模）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，已知，且．（1）求∠A的大小；（2）若，sinB+sinC=1，求△ABC的面积S．【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据，可得bsinC+2csinBcosA=0，由正弦定理得bc+2cbcosA=0，进而得出．（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，了由正弦定理可得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC，化简整理再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵，∴（sinC，sinBcosA）•（b，2c）=0，∴bsinC+2csinBcosA=0…（2分）由正弦定理得bc+2cbcosA=0…（4分）∵b≠0，c≠0∴…∵0＜A＜π∴…（6分）（2）由（1）及余弦定理得a2=b2+c2+bc，得sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC即…（8分）又sinB+sinC=1，解得…（9分）∵∴b=c=2…（11分）∴△ABC的面积…（12分）【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•江西二模）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，，BC=2，AC=1．（1）求证：AB⊥AD；（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30°，求四面体ABCD 外接球的表面积．【考点】MI：直线与平面所成的角；LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】（1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可．【解答】解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）又由，BC=2，AC=1，得BC2=AB2+AC2，所以AB⊥AC…（4分）故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）连接FC，则∠ECF=30°，∴…（9分）又∠BAD=∠BCD=90°，所以四面体ABCD的外接球的半径…（11分）故四面体ABCD的外接球的表面积=…（12分）（向量解法酌情给分）【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）（2017•甘肃二模）春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，列出方程组，能求出p1，p3的值．（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）∵A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是，∴…（1分）联立方程组，…（3分）由p1＞p3，解得．…（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，…（6分）…（7分）…（8分）…（9分）…（10分）∴X的分布列为：…（11分）…（12分）【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，解答本题的关键是正确理解离散型随机变量的分布列的性质，是中档题．20．（12分）（2017•江西二模）过点P（a，﹣2）作抛物线C：x2=4y的两条切线，切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）证明：x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）记△PAB的外接圆的圆心为点M，点F是抛物线C的焦点，对任意实数a，试判断以PM为直径的圆是否恒过点F？并说明理由．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）求导，求得直线PA的方程，将P代入直线方程，求得，同理可知．则x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根，则由韦达定理求得x1x2，y1y2的值，即可求证x1x2+y1y2为定值；设切线方程，代入抛物线方程，由△=0，则k1k2=﹣2，分别求得切线方程，代入即可求证x1x2+y1y2为定值；（Ⅱ）直线PA的垂直平分线方程为，同理求得直线PB的垂直平分线方程，求得M坐标，抛物线C的焦点为F（0，1），则，则．则以PM为直径的圆恒过点F．【解答】解：（Ⅰ）证明：法1：由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为．因为点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线C上，所以，．所以直线PA的方程为．…（1分）因为点P（a，﹣2）在直线PA上，所以，即．…（2分）同理，．…（3分）所以x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两个根．所以x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分）法2：设过点P（a，﹣2）且与抛物线C相切的切线方程为y+2=k（x﹣a），…（1分），消去y得x2﹣4kx+4ka+8=0，由△=16k2﹣4（4ak+8）=0，化简得k2﹣ak﹣2=0．…（2分）所以k1k2=﹣2．…（3分）由x2=4y，得，所以．所以直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．所以，即x1x2=﹣8．…（4分）又，…所以x1x2+y1y2=﹣4为定值．…（6分）（Ⅱ）法1：直线PA的垂直平分线方程为，…（7分）由于，，所以直线PA的垂直平分线方程为．①…（8分）同理直线PB的垂直平分线方程为．②…（9分）由①②解得，，所以点．…（10分）抛物线C的焦点为F（0，1），则．由于，…（11分）所以．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）另法：以PM为直径的圆的方程为．…（11分）把点F（0，1）代入上方程，知点F的坐标是方程的解．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）法2：设点M的坐标为（m，n），则△PAB的外接圆方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=（m﹣a）2+（n+2）2，由于点A（x1，y1），B（x2，y2）在该圆上，则，．两式相减得（x1﹣x2）（x1+x2﹣2m）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2n）=0，①…（7分）由（Ⅰ）知，代入上式得，…（8分）当x1≠x2时，得8a﹣4m+a3﹣2an=0，②假设以PM为直径的圆恒过点F，则，即（﹣m，n﹣1）•（﹣a，﹣3）=0，得ma﹣3（n﹣1）=0，③…（9分）由②③解得，…（10分）所以点．…（11分）当x1=x2时，则a=0，点M（0，1）．所以以PM为直径的圆恒过点F．…（12分）【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点坐标公式，韦达定理的应用，考查利用导数求抛物线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•江西二模）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；3E：函数单调性的判断与证明；7E：其他不等式的解法．【分析】（1）求出函数的导函数，对二次函数中参数a进行分类讨论，判断函数的单调区间；（2）根据（1），得出f（x0）的最大值，问题可转化为对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，构造函数h（a）=2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，根据题意得出m的范围，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，利用导函数，对m进行区间内讨论，求出m的范围．【解答】解：（I）f（x）=lnx+x2﹣2ax+1，f'（x）=+2x﹣2a=，令g（x）=2x2﹣2ax+1，（i）当a≤0时，因为x＞0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（ii）当0＜a时，因为△≤0，所以g（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（iii）当a＞时，x在（，）时，g（x）＜0，函数f（x）单调递减；在区间（0，）和（，+∞）时，g（x）＞0，函数f（x）单调递增；（II）由（I）知当a∈（﹣2，0]，时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=2﹣2a，对任意的a∈（﹣2，0]，都存在x0∈（0，1]，使得不等式a∈（﹣2，0]，2me a（a+1）+f（x0）＞a2+2a+4成立，等价于对任意的a∈（﹣2，0]，不等式2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2+﹣4a﹣2，由h（0）＞0得m＞1，且h（﹣2）≥0得m≤e2，h'（a）=2（a+2）（me a﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm，∵a∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，①当1＜m＜e2时，﹣lnm∈（﹣2，0），且a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0，a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，所以h（a）最小值为h（﹣lnm）=lnm﹣（2﹣lnm）＞0，所以a∈（﹣2，﹣lnm）时，h（a）＞0恒成立；②当m=e2时，h'（a）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a∈（﹣2，0]，所以h'（a）＞0，此时单调递增，且h（﹣2）=0，所以a∈（﹣2，0]，时，h（a）＞0恒成立；综上，m的取值范围是（1，e2]．【点评】考查了导函数的应用和利用构造函数的方法，对存在问题进行转化，根据导函数解决实际问题．请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（2017•江西二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ=2 cos（θ﹣）．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）将直线l的参数方程消去t参数，可得直线l的普通方程，将ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，带入ρ=2cos（θ﹣）可得曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）法一：设曲线C上的点为，点到直线的距离公式建立关系，利用三角函数的有界限可得最大值．法二：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0，当直线l'与圆C相切时，得，点到直线的距离公式可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t参数，得x+y﹣4=0，∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0．由=．得ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ．将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入上式，得：曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）法1：设曲线C上的点为，则点P到直线l的距离为==当时，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为；法2：设与直线l平行的直线为l'：x+y+b=0．当直线l'与圆C相切时，得，解得b=0或b=﹣4（舍去）．∴直线l'的方程为x+y=0．那么：直线l与直线l'的距离为故得曲线C上的点到直线l的距离的最大值为．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•成都四模）已知函数f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|．（Ⅰ）若f（1）＜3，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a≥1，x∈R，求证：f（x）≥2．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的范围得到关于a的不等式，解出取并集即可；（Ⅱ）基本基本不等式的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（1）＜3，所以|a|+|1﹣2a|＜3．①当a≤0时，得﹣a+（1﹣2a）＜3，解得，所以；②当时，得a+（1﹣2a）＜3，解得a＞﹣2，所以；③当时，得a﹣（1﹣2a）＜3，解得，所以；综上所述，实数a的取值范围是．（Ⅱ）因为a≥1，x∈R，所以f（x）=|x+a﹣1|+|x﹣2a|≥|（x+a﹣1）﹣（x﹣2a）|=|3a﹣1|=3a﹣1≥2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．。