高三数学二轮专题复习极限突破 函数与方程思想

高考二轮数学考点突破复习2021年高考二轮数学考点突破复习：数学思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着紧密的联系，方程f(x)=0的解确实是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

有的小孩说“乌云跑得飞速。

”我加以确信说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。

雨后，我又带幼儿观看晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”如此抓住特点见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观看的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活体会联系起来，在进展想象力中进展语言。

专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理3)如图,在平行四边形OABC 中,顶点O ,A ,C 在复平面内分别表示复数0,3+2i,-2+4i,则点B 在复平面内对应的复数为( ) A.1+6i B.5-2i C.1+5iD.-5+6i2.(2020山东聊城二模,2)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a1+i=( )A.1-iB.-1+iC.2iD.2+i3.(2020河北武邑中学三模,5)已知f (x )是定义在区间[2b ,1-b ]上的偶函数,且在区间[2b ,0]上为增函数,f (x-1)≤f (2x )的解集为( ) A.[-1,23] B.[-1,13] C.[-1,1]D.[13,1]4.(2020广东江门4月模拟,理6)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则小满日影长为( ) A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺5.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD 中,若DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE 交BD 于点F ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.(2020安徽合肥二模,文7)若函数F (x )=f (x )-2x 4是奇函数,G (x )=f (x )+(12)x为偶函数,则f (-1)= ( )A.-52B.-54C.54D.527.(2020河北衡水中学月考,文12)已知关于x 的方程[f (x )]2-kf (x )+1=0恰有四个不同的实数根,则当函数f (x )=x 2e x 时,实数k 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(2,+∞)B.(4e 2+e 24,+∞) C.(8e 2,2)D.(2,4e 2+e 24)8.(2020福建福州模拟,理10)已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点,则PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为 ( )A.-1B.-3C.-12D.-32二、多项选择题9.已知实数a ,b 满足等式a 12=b 13,则下列五个关系式中可能成立的是( ) A.0<b<a<1 B.a=b C.1<a<bD.-1<b<a<010.关于x 的方程ax 2-|x|+a=0有四个不同的实数解,则实数a 的值可能是( ) A.12B.13C.14D.1611.已知向量m =(sin x ,-√3),n =(cos x ,cos 2x ),函数f (x )=m ·n +√32,下列命题,说法正确的选项是( ) A.y=f (x )的最小正周期为π B.y=f (x )的图象关于点(π6,0)对称 C.y=f (x )的图象关于直线x=π对称D.y=f (x )的单调递增区间为2k π-π12,2k π+5π12(k ∈Z )12.已知函数f (x )=x-2x,g (x )=a cos πx 2+5-2a (a>0).给出下列四个命题,其中是真命题的为( ) A.若∃x 0∈[1,2],使得f (x 0)<a 成立,则a>-1 B.若∀x ∈R ,使得g (x )>0恒成立,则0<a<5C.若∀x 1∈[1,2],∀x 2∈R ,使得f (x 1)>g (x 2)恒成立,则a>6D.若∀x 1∈[1,2],∃x 2∈[0,1],使得f (x 1)=g (x 2)成立,则3≤a ≤4三、填空题13.(2020河南开封三模,理14)若平面向量a ,b 满足|a+b |=√2,|a-b |=√3,则a ·b = . 14.(2020广东江门4月模拟,理16)已知函数y=|sin x|的图象与直线y=m (x+2)(m>0)恰有四个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),其中x 1<x 2<x 3<x 4,则2+x4tanx 4= .15.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若C=π3,a=6,1≤b ≤4,则sin A 的取值范围为 .16.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”:自上而下,第一层1件,以后每一层比上一层多1件,最后一层是n 件.已知第一层货物单价1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的78,若这堆货物总价是64-112(78)n万元,则n 的值为 .专题突破练2 函数与方程思想、数形结合思想1.A 解析由已知,得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4),则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2)+(-2,4)=(1,6), ∴点B 对应的复数为1+6i .故选A . 2.B 解析将1+i 代入方程,得a+b+(a+2)i =0,所以{a +b =0,a +2=0,解得a=-2,所以-21+i =-2(1-i )2=-1+i . 3.B 解析∵f (x )是定义在区间[2b ,1-b ]上的偶函数,∴2b+1-b=0,∴b=-1.∵f (x )在区间[-2,0]上为增函数,∴f (x )在区间[0,2]上为减函数,距离对称轴越远,函数值越小. 由f (x-1)≤f (2x )可得|x-1|≥|2x|,即(x-1)2≥4x 2,且-2≤x-1≤2,-2≤2x ≤2,求得-1≤x ≤13,且-1≤x ≤3,-1≤x ≤1,可得-1≤x ≤13.故选B .4.C 解析从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,其日影长依次成等差数列{a n },冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴{a 1+(a 1+3d )+(a 1+6d )=31.5,S 9=9a 1+9×82d =85.5,解得{a 1=13.5,d =-1.∴小满日影长为a 11=13.5+10×(-1)=3.5(尺).故选C.5.D 解析如图,∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴E 为CD 的中点.设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ .又B ,F ,D 三点共线,∴λ2+λ=1,解得λ=23,∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选D .6.C 解析∵函数F (x )=f (x )-2x 4是奇函数,∴F (1)+F (-1)=0,即f (1)-2+f (-1)-2=0,则f (1)+f (-1)=4, ①∵G (x )=f (x )+(12)x为偶函数,∴G (1)=G (-1),即f (1)+12=f (-1)+2,则f (1)-f (-1)=32, ②由①②解得f (-1)=54.故选C .7.B 解析f'(x )=2x e x +x 2e x =x (x+2)e x ,令f'(x )=0,解得x=0或x=-2,∴当x<-2或x>0时,f'(x )>0;当-2<x<0时,f'(x )<0,∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增,在(-2,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,∴当x=-2时,函数f (x )取得极大值f (-2)=4e 2;当x=0时,函数f (x )取得极小值f (0)=0. 作出函数f (x )的大致图象如图所示,令f (x )=t ,则当t=0或t>4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 只有一个解;当t=4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 有两个解; 当0<t<4e 2时,关于x 的方程f (x )=t 有三个解.∵g (x )=[f (x )]2-kf (x )+1恰有四个零点,∴关于t 的方程h (t )=t 2-kt+1=0在(0,4e 2)上有一个解,在(4e 2,+∞)∪{0}上有一个解, 显然t=0不是方程t 2-kt+1=0的解,∴关于t 的方程t 2-kt+1=0在(0,4e 2)和(4e 2,+∞)上各有一个解,∴h (4e 2)=16e 4−4ke 2+1<0,解得k>4e 2+e 24,即实数k 的取值范围是4e 2+e 24,+∞.故选B.8.A 解析建立如图所示平面直角坐标系,设P (x ,y ),则A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2),所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,-y )+(-x ,2-y )=(2-2x ,2-2y ),故PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(2-x )(2-2x )+(2-y )(2-2y )=2(x -32)2−12+2(y -32)2−12=2x-322+2y-322-1.所以当x=y=32时,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为-1.故选A .9.ABC 解析画出y=x 12与y=x 13的图象(如图),设a 12=b 13=m ,作直线y=m.从图象知,若m=0或1,则a=b ;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是ABC .故选ABC .10.BCD 解析方程ax 2-|x|+a=0中,a=0时,只有一个解x=0,因此方程ax 2-|x|+a=0有四个不同的解,则a ≠0,x ≠0,因此方程可变为1a=x 2+1|x |=|x|+1|x |.作出函数y=|x|+1|x |的图象和直线y=1a ,如图,函数y=|x|+1|x |的最小值为2,因此当1a >2时,直线y=1a 与函数y=|x|+1|x |的图象有四个不同的交点,即原方程有四个解,满足1a >2的有BCD .故选BCD .11.AB 解析f (x )=m ·n +√3=sin x cos x-√3cos 2x+√3=1sin2x-√3cos2x=sin (2x -π),其最小正周期是T=2π2=π,故A 正确;sin 2×π6−π3=0,因此f (x )图象关于点π6,0对称,故B 正确;由2x-π3=k π+π2得x=kπ2+5π12(k ∈Z ),因此x=-π12是f (x )图象的一条对称轴,故C 错误;由2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,即单调递增区间为k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ),故D 错误.故选AB .12.ACD 解析对于选项A,只需f (x )在[1,2]上的最小值小于a ,因为f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )min =f (1)=1-2=-1,所以a>-1,故A 正确;对于选项B,只需g (x )的最小值大于0,因为a cos πx2∈[-a ,a ], 所以g (x )min =-a+5-2a=5-3a>0,所以0<a<5,故B 错误;对于选项C,只需f (x )在[1,2]上的最小值大于g (x )的最大值,f (x )min =-1, g (x )max =a+5-2a=5-a ,即-1>5-a ,a>6,故C 正确;对于选项D,需g (x )在[0,1]上的最小值小于f (x )在[1,2]上的最小值,且g (x )在[0,1]上的最大值大于f (x )在[1,2]上的最大值,f (x )max =f (2)=2-22=1,所以x 1∈[1,2],f (x 1)∈[-1,1],当x ∈[0,1]时,πx2∈[0,π2],所以g (x )在[0,1]上单调递减,g (x )min =g (1)=5-2a ,g (x )max =g (0)=5-a ,所以g (x )∈[5-2a ,5-a ],由题意得{5-2a ≤-1,5-a ≥1,解得3≤a ≤4,故D 正确.故选ACD .13.-14 解析由|a+b |=√2,得a 2+2a ·b +b 2=2,① 由|a-b |=√3,得a 2-2a ·b +b 2=3,②①-②,得4a ·b =-1,所以a ·b =-14. 14.1 解析由题意画出图象如下,很明显,在点D 处直线与函数y=|sin x|的图象相切,点D 即为切点.则有,在点D 处,y=-sin x ,y'=-cos x.而-cos x 4=m ,且y 4=m (x 4+2)=-sin x 4,∴x 4+2=-sinx 4m=-sinx 4-cosx 4=tan x 4.∴x 4+2tanx 4=tanx4tanx 4=1.15.3√9331,1 解析C=π3,a=6,1≤b ≤4,由余弦定理可得,c 2=a 2+b 2-2ab cos C=36+b 2-6b=(b-3)2+27,∴c 2=(b-3)2+27∈[27,31].∴c ∈[3√3,√31].由正弦定理可得,asinA =csinC , 即sin A=asinC c=6×√32c=3√3c ∈3√9331,1.故答案为3√9331,1.16.6 解析由题意可得第n 层的货物的价格为a n =n (78)n -1.这堆货物总价是S n =1×(78)0+2×(78)1+3×(78)2+…+n ×(78)n -1,① 则78S n =1×(78)1+2×(78)2+3×(78)3+…+n ×(78)n ,②由①-②可得18S n =1+(78)1+(78)2+(78)3+…+(78)n -1-n ×(78)n=1-(78)n 1-78-n ×(78)n=8-(8+n )×(78)n ,∴S n =64-8(8+n )×(78)n.∵这堆货物总价是64-112(78)n万元,∴8(8+n )=112,∴n=6.。

数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0<x 1<x 2<1，则( ) A.21e e x x->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x-<ln x 2－ln x 1 C.1221e >e xxx x D.1221e <e xxx x[答案] C[解析] 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x.令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y 1＝e x 与y 2＝1x 的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2.又0<x <1，∴g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，1)上是减函数. 又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)， ∴1221e >e xxx x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )e x >1的解集为________.[答案] (－∞，0)[解析] ∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1. 设f (x )＝g (x )ex ，则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x .又g ′(x )－g (x )<0，∴f ′(x )<0， ∴f (x )在R 上单调递减.又f (0)＝g (0)e0＝1，∴f (x )>f (0)，∴x <0.3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. [答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析] ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2. 令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3. 问题转化为g (m )在⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0， 解得x >2或x <－1.4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. [答案] [－6，－2][解析] 当－2≤x <0时，不等式转化为a ≤x 2－4x －3x 3.令f (x )＝x 2－4x －3x 3(－2≤x <0)，则f ′(x )＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－(x －9)(x ＋1)x 4，故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3－1＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立. 当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3，则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－31＝－6.综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决.5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23[答案] D[解析] 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×92d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝10，2a 1＋9d ＝14， 解得d ＝23.6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a na n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1 [答案] C[解析] 当n ≥2时，S n ＝n ＋23a n ，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得a n ＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，即a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1. 由函数y ＝1＋2x －1在(1，＋∞)上是减函数，可得a n a n －1在n ＝2时取得最大值3.7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. [答案] 12[解析] 由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. [答案] －9[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝－2，6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，所以S n ＝n 2－5n 2 ，故nS n ＝n 3－5n 22.令f (x )＝x 3－5x 22，则f ′(x )＝32x 2－5x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝103， ∴ f (x )在⎝⎛⎭⎫0，103上单调递减，在⎝⎛⎭⎫103，＋∞上单调递增. 又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9. 三、函数与方程思想在[解析]几何中的应用[解析]几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答. 9.(2016·全国Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 [答案] B[解析] 不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，①点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4(负值舍去)，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.10.如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，若∠P AQ ＝60°，且OQ →＝3OP →，则双曲线C 的离心率为( )A.233B.72C.396D. 3[答案] B[解析] 因为∠P AQ ＝60°，|AP |＝|AQ |， 所以|AP |＝|AQ |＝|PQ |，设|AQ |＝2R ， 又OQ →＝3OP →，则|OP |＝12|PQ |＝R .双曲线C 的渐近线方程是y ＝ba x ，A (a ，0)，所以点A 到直线y ＝bax 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪b a ·a －0⎝⎛⎭⎫b a 2＋(－1)2＝aba 2＋b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a 2＋b 22＝(2R )2－R 2＝3R 2，即a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)， 在△OQA 中，由余弦定理得，|OA |2＝|OQ |2＋|QA |2－2|OQ ||QA |cos 60°＝(3R )2＋(2R )2－2×3R ×2R ×12＝7R 2＝a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝3R 2(a 2＋b 2)，a 2＝7R 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝7R 2，b 2＝214R 2，所以双曲线C 的离心率为e ＝c a＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝1＋214R 27R 2＝72.11.设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.若ED →＝6DF →，则k 的值为________. [答案] 23或38[解析] 依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知，x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由点D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝21＋2k. 所以21＋2k ＝1071＋4k2，化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.12.已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于不同的两点A ，B ，且以AB 为直径的圆过抛物线C 的焦点F ，则k ＝________. [答案]22或－22[解析] 点F 的坐标为(1，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝k (x 1＋1)，y 2＝k (x 2＋1)，当k ＝0时，l 与C 只有一个交点，不合题意，因此k ≠0. 将y ＝k (x ＋1)代入y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0，① 依题意知，x 1，x 2是①的不相等的两个实根，则⎩⎨⎧Δ＝4(k 2－2)2－4k 4>0， ②x 1＋x 2＝2(2－k 2)k2，x 1x 2＝1.由以AB 为直径的圆过F ，得AF ⊥BF ， 即k AF ·k BF ＝－1，所以y 1x 1－1·y 2x 2－1＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，所以x 1x 2＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)－(x 1＋x 2)＋1＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，③把x 1＋x 2＝2(2－k 2)k 2，x 1x 2＝1代入③得2k 2－1＝0，解得k ＝±22， 经检验k ＝±22适合②式.综上所述，k ＝±22.一、数形结合思想在解方程或函数零点问题中的应用讨论方程的解(或函数零点)的问题一般可以构造两个函数，将方程解的个数转化为两条曲线的交点个数.构造函数时，要先对方程进行变形，尽量构造两个比较熟悉的函数. 1.(2018·咸阳模拟)函数f (x )＝2x －1x 的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3 [答案] B[解析] 在同一平面直角坐标系下，作出函数y 1＝2x 和y 2＝1x的图象，如图所示.函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y 1＝2x 和y 2＝1x图象的交点个数.由图可知只有一个交点，所以有一个零点.故选B.2.若关于x 的方程||x x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为________.[答案] ⎝⎛⎭⎫14，＋∞[解析] x ＝0是方程的一个实数解；当x ≠0时，方程||x x ＋4＝kx 2可化为1k ＝(x ＋4)|x |，x ≠－4，k ≠0，设f (x )＝(x ＋4)|x |(x ≠－4且x ≠0)，y ＝1k ，则两函数图象有三个非零交点.f (x )＝(x ＋4)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x >0，－x 2－4x ，x <0，x ≠－4的大致图象如图所示，由图可得0<1k <4， 解得k >14.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (－x －1)＝f (x －1)，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，则关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解之和为________. [答案] －7[解析] 因为函数f (x )为偶函数，所以f (－x －1)＝f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )的周期为2.又当x ∈[－1，0]时，f (x )＝－x 3，由此在同一平面直角坐标系内作出函数y 1＝f (x )与y 2＝|cos πx |的图象如图所示.由图象知关于x 的方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的实数解有7个. 不妨设x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7，则由图得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 5＝－2，x 4＝－1，x 6＋x 7＝0，所以方程f (x )＝|cos πx |在⎣⎡⎦⎤－52，12上的所有实数解的和为－4－2－1＋0＝－7. 4.(2018·石嘴山模拟)已知函数f (x )⎩⎪⎨⎪⎧x 4＋1，x ≤1，ln x ，x >1，则方程f (x )＝ax 恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是________. [答案] ⎣⎡⎭⎫14，1e[解析] 画出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，要使直线y ＝ax 与函数f (x )有两个交点，当y ＝ax 与y ＝x 4＋1平行时，显然有两个交点，此时a ＝14.当a >14时，只需求出当直线y ＝ax和曲线y ＝ln x 相切时的斜率即可.由于相切时交点只有1个，故结合图象知，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，1e .二、数形结合思想在求解不等式或参数范围中的应用构建函数模型，分析函数的单调性并结合其图象特征研究量与量之间的大小关系、求参数的取值范围或解不等式.5.(2018·全国Ⅰ )设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)[答案] D[解析] 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1. 因此不等式的解集为(－∞，－1].②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1，0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0). 故选D.方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x . 此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1，满足f (x ＋1)＜f (2x ). 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0).故选D.6.设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m 的取值范围是________. [答案] [2－1，＋∞)[解析] 集合A 是圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的左下方)，而当直线与圆相切时，有|m ＋1|2＝1，又m >0，所以m ＝2－1，故m 的取值范围是[2－1，＋∞).7.若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.[答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，12 [解析] 作出y 1＝|x －2a |和y 2＝12x ＋a －1的简图，如图所示.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤2－2a ，a －1<0，故a ≤12.8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2ax ，x ≥1，2ax －1，x <1，若存在两个不相等的实数x 1，x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________. [答案] [0，＋∞)[解析] 根据题意知f (x )是一个分段函数，当x ≥1时，是一个开口向下的二次函数，对称轴方程为x＝a；当x<1时，是一个一次函数.当a>1时，如图(1)所示，符合题意；当0≤a≤1时，如图(2)所示，符合题意；当a<0时，如图(3)所示，此时函数在R上单调递减，不满足题意.综上所述，可得a≥0.三、数形结合思想在[解析]几何中的应用在[解析]几何的解题过程中，通常要数形结合，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，构建[解析]几何模型并应用模型的几何意义求最值或范围；常见的几何结构的代数形式主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.9.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4[答案] B[解析]根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3，4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，可知|OP|＝12|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离.因为|OC|＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.10.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为()A. 2B.3C.2D. 5[答案] D[解析]如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.在Rt△F1PF2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得4a2＋16a2＝20a2＝4c2，即e＝ca＝ 5.11.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P 的坐标为________. [答案] ⎝⎛⎭⎫－2，12 [解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部， 如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，连接AQ ， 由抛物线的定义可知，△APF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PQ |＋|P A |＋|AF |≥|AQ |＋|AF |≥|AB |＋|AF |，当且仅当P ，B ，A 三点共线时，△APF 的周长取得最小值，即|AB |＋|AF |. 因为A (－2，4)，所以不妨设△APF 的周长最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12.故使△APF 的周长最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12. 12.已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________. [答案] 2 2[解析] 连接PC ，由题意知圆的圆心C (1，1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，Rt △P AC 的面积S △P AC ＝12|PA ||AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形P ACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形P ACB有唯一的最小值，此时|PC|＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A|＝|PC|2－|AC|2＝22，所以(S四边形P ACB)min＝2×12×|P A|×|AC|＝2 2.1.(2018·咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>1，设a＝f(2)－1，b＝e[f(3)－1]，则a，b的大小关系为()A.a<bB.a>bC.a＝bD.无法确定[答案] A[解析]令g(x)＝e x f(x)－e x，则g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0， 即g (x )在R 上为增函数. 所以g (3)>g (2)， 即e 3f (3)－e 3>e 2f (2)－e 2，整理得e[f (3)－1]>f (2)－1，即a <b .2.(2018·宣城调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有( )A.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14B.f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 C.f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14 D.f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14 [答案] C[解析] 因为f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又T ＝4，作图，由图知f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14.3.在三棱锥A －BCD 中，△ABC 为等边三角形，AB ＝23，∠BDC ＝90°，二面角A －BC －D 的大小为150°，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为( ) A.7π B.12π C.16π D.28π [答案] D[解析] 满足题意的三棱锥A －BCD 如图所示，设三棱锥A －BCD 的外接球的球心为O ，半径为R ，△BCD ，△ABC 的外接圆的圆心分别为O 1，O 2，可知O ，O 1，O 2在同一平面内，由二面角A －BC －D 的大小为150°，得∠OO 1O 2＝150°－90°＝60°.依题意，可得△BCD ，△ABC 的外接圆的半径分别为 r 1＝BC 2＝232＝3，r 2＝23×sin 60°×23＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋r 21，R 2＝OO 22＋r 22，sin ∠OO 1O 2＝OO2OO1，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2＝OO 21＋3，R 2＝OO 22＋4，OO 2＝32OO 1，解得R ＝7，所以三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为4πR 2＝28π.4.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直线y ＝－ba x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若FB →＝2F A →，则该双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C. 5 D.7 [答案] C[解析] 设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝a b (x －c )，代入双曲线渐近线方程y ＝－ba x ，得A ⎝⎛⎭⎫a 2c ，－ab c .由FB →＝2F A →，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2－c 2c ，－2ab c ，把B 点坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c2＝1，∴c 2＝5a 2， ∴离心率e ＝ca＝ 5.5.记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 [答案] C[解析] 在同一坐标系中作出三个函数y 1＝x 2＋1，y 2＝x ＋3，y 3＝13－x 的图象如图.由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y 2＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC 与直线y 3＝13－x 在点C 下方的部分的组合体.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ＋3，y 3＝13－x ，得点C (5，8).所以f (x )max ＝8.6.已知函数f (x )＝|lg(x －1)|，若1＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为( ) A.(3＋22，＋∞) B.[3＋22，＋∞) C.(6，＋∞) D.[6，＋∞)[答案] C[解析] 由图象可知b ＞2，1＜a ＜2，∴－lg(a －1)＝lg(b －1)， 则a ＝b b －1， 则a ＋2b ＝b b －1＋2b ＝2b 2－b b －1＝2(b －1)2＋3(b －1)＋1b －1＝2(b －1)＋1b －1＋3，由对勾函数的性质知，当b ∈⎝⎛⎭⎫22＋1，＋∞时，f (b )＝2(b －1)＋1b －1＋3单调递增， ∵b ＞2，∴a ＋2b ＝bb －1＋2b ＞6.7.(2018·东莞模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥1，x 2－3x ＋2，x <1，若不等式f (x )≥mx 恒成立，则实数m的取值范围为( ) A.[－3－22，－3＋22] B.[－3＋22，0] C.[－3－22，0]D.(－∞，－3－22]∪[－3＋22，＋∞) [答案] C[解析] 函数f (x )及y ＝mx 的图象如图所示，由图象可知，当m >0时，不等式f (x )≥mx 不恒成立，设过原点的直线与函数f (x )＝x 2－3x ＋2(x <1)相切于点A (x 0，x 20－3x 0＋2)，因为f ′(x 0)＝2x 0－3，所以该切线方程为y －(x 20－3x 0＋2)＝(2x 0－3)(x －x 0)，因为该切线过原点，所以－(x 20－3x 0＋2)＝－x 0(2x 0－3)，解得x 0＝－2，即该切线的斜率k ＝－22－3.由图象得－22－3 ≤m ≤0.故选C.8.(2018·德阳诊断)已知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x ，若存在x ∈[－2，1]，使得f (x 2＋x )＋f (x －k )<0成立，则实数k 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(3，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－∞，－1)[答案] A[解析] 由题意知函数f (x )＝3x －13x ＋1＋x ＋sin x 的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＋(－x )＋sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x ＋1＋x ＋sin x ＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，且f ′(x )＝2ln 3·3x(3x ＋1)2＋1＋cos x >0在R 上恒成立，即函数f (x )在R 上单调递增.若∃x 0∈[－2，1]，使得f (x 20＋x 0)＋f (x 0－k )<0成立， 即f (x 20＋x 0)<－f (x 0－k )，所以f (x 20＋x 0)<f (k －x 0)，即x 20＋x 0<k －x 0，则问题转化为∃x 0∈[－2，1]，k >x 20＋2x 0，令g (x )＝x 2＋2x ，x ∈[－2，1].则k >g (x )min ＝g (－1)＝－1故实数k 的取值范围是(－1，＋∞).9.已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.[答案] 2 3[解析] 如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h .则其侧棱长为l ＝⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2，令f ′(h )＝0，解得h ＝2.当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增， 所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12，故l min ＝12＝2 3.10.若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________. [答案] (0，2)[解析] 由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点， 可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y 1＝|2x －2|的图象与函数y 2＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0<b <2.11.已知椭圆C 1：x 29＋y 24＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________. [答案] (0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞ [解析] 方法一 联立C 1和C 2的方程，消去x ， 得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0，①方程①可变形为r 2＝－54y 2＋2y ＋10，把r 2＝－54y 2＋2y ＋10看作关于y 的函数.由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2，2]的情况下，求函数r 2＝f (y )＝－54y 2＋2y ＋10的值域.由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝⎛⎭⎫45＝545，可得f (y )的值域为⎣⎡⎦⎤1，545，即r ∈⎣⎡⎦⎤1，3305， 它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0.①两条曲线没有公共点，等价于方程－54y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2，2].若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝⎛⎭⎫－54×(10－r 2)<0， 解得r >3305或r <－3305⎝⎛⎭⎫由于r >0，则r <－3305舍去. 若两个根y 1，y 2∉[－2，2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－2，2].则⎩⎪⎨⎪⎧φ(2)＝9－r 2>0，φ(－2)＝1－r 2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫3305，＋∞.12.若关于x 的不等式e x－x 22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立，则实数a 的取值集合为________. [答案] {2e}[解析] 关于x 的不等式e x －x22－1－⎝⎛⎭⎫a －94x ≥0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x－x 22－1x在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的值域为⎣⎡⎭⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x(x －1)－x 22＋1x2， 令φ(x )＝e x(x －1)－x 22＋1，x ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞， 则φ′(x )＝x (e x －1). 因为x ≥12，所以φ′(x )>0，故φ(x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫12＝78－e2>0. 因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝⎛⎭⎫12＝12e －18－112＝2e －94，所以a －94＝2e －94，解得a ＝2e ，所以a 的取值集合为{2e}.。

高中数学函数与方程思想考前突破一、思想解析函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决．二、方法解析方法一：运用函数相关概念的本质解题在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题．常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质．例1 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 批注：在函数的第一段中，虽然没有x ＝0，但当x ＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值f (0)，这是解题的一个易忽视点．究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体．解答本题，首先要明确分段函数和减函数这两个概念的本质，分段函数是一个函数，根据减函数的定义，两段函数都是减函数，但这不足以说明整个函数是减函数，还要保证在两段的衔接处呈减的趋势，这一点往往容易被忽视．方法二：利用函数性质求解方程问题函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题．例2 (1)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2(2)设x ，y 为实数，满足(x －1)3＋2 020(x －1)＝－1，(y －1)3＋2 020(y －1)＝1，则x ＋y ＝________. 批注：通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系．函数与方程的相互转化：对于方程f (x )＝0，可利用函数y ＝f (x )的图象和性质求解问题.方法三：构造函数解决一些数学问题在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果.例3 求使不等式2x －1>m (x 2－1)对于|m |≤2的一切实数m 都成立的x 的取值范围．例4 如图，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，P A ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ，AP ＝AB ＝2，∠AEF ＝θ，当θ变化时，求三棱锥P －AEF 体积的最大值．批注：θ的变化是由AC，BC的变化引起的．三棱锥P－AEF的高PE为定值，只要S△AEF最大即可．在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的变量，揭示函数关系，使问题明晰化.。

高考数学二轮复习极限重点知识点总结① ( 为常数)③对于任意实常数，当时，当时，若a = 1，则 ;若，则不存在当时，不存在⑶数列极限的四则运算法则：⑷数列极限的应用：求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 .(化循环小数为分数方法同上式)注：并不是每一个无穷数列都有极限.3. 函数极限;⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， .注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.⑵函数极限的四则运算法则：4. 函数的连续性：⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续.⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件：①函数f(x)在点处有定义;② 存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即 .⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定：如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点.①f(x)在点处没有定义，即不存在;② 不存在;③ 存在，但 .5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且 .那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点 ( )使 .⑵介值定理：设函数在闭区间上连续，且在这区间的端点取不同函数值，，那么对于之间任意的一个数，在开区间内至少有一点，使得 ( ).⑶夹逼定理：设当时，有，且，则必有注：：表示以为的极限，则就无限趋近于零.( 为最小整数)。

集体备课——函数典例分析：1、记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围. （难度：★）解：(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1,∴1≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[1,1) 2、已知函数0()(2≠+=x xx x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值范围． 解：（1）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-， )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． （2）解法一：设122x x <≤，22212121)()(x a x x a x x f x f --+=-[]a x x x x x x x x -+-=)()(21212121， 要使函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须0)()(21<-x f x f 恒成立．121204x x x x -<>，，即)(2121x x x x a +<恒成立．又421>+x x ，16)(2121>+∴x x x x ． a ∴的取值范围是(16]-∞，．解法二：当0=a 时，2)(x x f =，显然在[2)+∞，为增函数．当0<a 时，反比例函数xa在[2)+∞，为增函数， xax x f +=∴2)(在[2)+∞，为增函数． 当0>a 时，同解法一． （难度★★★） 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：（I ）设函数()y f x =的图象上任一点00(,)Q x y 关于原点的对称点为(,)P x y ,则 000202x xy y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 即 00x x y y =-⎧⎨=-⎩.∵点00(,)Q x y 在函数()y f x =的图象上.∴22,y x x -=- 即22,y x x =-+ 故g(x)＝22x x -+.(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得：2|2|1|0x x --≤当x ≥1时，221|0x x -+≤此时不等式无解。

1．函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决.在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系.应用1 目标函数法求最值【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (2,0)，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，则AE →·BF →的最小值为________．(2)已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为________．(1)－3 (2)4105 [(1)∵E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF →|＝2，不妨设E (0，t )，F (0，t ＋2)，则AE →＝(0，t )－(－1,0)＝(1，t )．BF →＝(0，t ＋2)－(2,0)＝(－2，t ＋2)， AE →·BF →＝t 2＋2t －2.令f (t )＝AE →·BF →＝(t ＋1)2－3≥－3，当且仅当t ＝－1时取等号．即AE →·BF →的最小值为－3.(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0.则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5，∴|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝4255－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.]目标函数法即是把所谓目标写成函数形式，然后再求其值域、最值的方法. (1)有关长度、面积、体积以及数量积等的计算经常采用目标函数法. (2)求值域、最值的方法，一般涉及换元法、配方法和均值不等式法以及单调性法.【对点训练1】 已知在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝120°，C 是OB 的中点，P 为弧AB 上任意一点，且OP →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的最大值为________．2213[建立如图所示的平面直角坐标系，则O (0,0)，A (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，则OA →＝(2,0)，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，设P (2cosθ，2sin θ)，则λ(2,0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝(2cos θ，2sin θ)，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－12μ＝2cos θ，32μ＝2sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝43sin θ，λ＝cos θ＋13sin θ，则λ＋μ＝53sin θ＋cos θ＝2213sin(θ＋φ)，其中tan φ＝35，据此可知，当sin(θ＋φ)＝1时，λ＋μ取得最大值2213.]【对点训练2】 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为________．23 [如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1为正三棱柱．AB ＝2，三角形ADE 为直角三角形，∠ADE ＝90°.设BD ＝x ，CE ＝y ，则AD 2＝4＋x 2，AE 2＝4＋y 2， ED 2＝4＋(y －x )2. ∵AE 2＝AD 2＋DE 2，∴4＋y 2＝4＋x 2＋4＋(y －x )2， 解得y ＝x ＋2x .∵AE 2＝4＋y 2＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2≥4＋(22)2＝12.∴AE ≥23，当且仅当x ＝2时取等号． 即直角三角形斜边的最小值为2 3.] 应用2 分离参数法求参数范围【典例2】 (1)若方程cos 2x －sin x ＋a ＝0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上有解，则实数a 的取值范围为________．(2)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．(1)(－1,1] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ [(1)由cos 2x －sin x ＋a ＝0，得a ＝sin 2x ＋sin x －1.问题变成求函数a ＝sin 2x ＋sin x －1在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2上的值域问题．∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，而0<sin x ≤1，∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为(－1,1]． (2)由f (x )＝x －1x ＋1得f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0.∴f (x )在[0,1]上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝－1，∴存在x 2∈[1,2]使－1≥x 2－2ax ＋4，即2a ≥x ＋5x 在[1,2]上有解，∴2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ，易知y ＝x ＋5x 在(0，5]上递减，∴y ＝x ＋5x 在[1,2]上递减．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5x min ＝2＋52＝92，∴2a ≥92，a ≥94，∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.](1)在求参数的取值范围时，应该先建立关于参数的等式或不等式，然后利用函数的定义域、值域或解不等式求解.在对式子变形的过程中，应优先选择分离参数的方法.(2)①对于方程有解、不等式的恒成立问题或存在性问题，往往可以分离参数，然后再构造函数，把问题转化成求函数的值域或最值.②不等式有解、恒成立求参数的方法：g (a )>f (x )恒成立，则g (a )>f (x )max . g (a )<f (x )恒成立，则g (a )<f (x )min ， g (a )>f (x )有解，则g (a )>f (x )min ， g (a )<f (x )有解，则g (a )<f (x )max .(3)分离参数法是求参数范围的常用方法，但应明确，不是万能方法，恰当又合理的参变分离有助于问题的解决，有时需要讨论！【对点训练3】 对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．[－2，＋∞) [当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.]【对点训练4】 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋4x ·aa 2－a ＋1，其中a 为常数，若当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞ [参数a 深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a 的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a 分离出来，重新认识a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．由1＋2x ＋4x ·a a 2－a ＋1＞0，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，得1＋2x ＋4x ·a ＞0，故a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x .当x ∈(－∞，1]时，y ＝14x 与y ＝12x 都是减函数， 因此，函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x 在(－∞，1]上是增函数，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋12x max ＝－34，a ＞－34，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.]应用3 构造函数解不等式、比较大小【典例3】 (1)已知函数f (x )满足f (x )＞f ′(x )，在下列不等式关系中，一定成立的是( )A ．e f (1)＞f (2)B ．e f (1)＜f (2)C ．f (1)＞e f (2)D ．f (1)＜e f (2)(2)已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )＜－2f (x )，则使f (x )＞0成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(1)A (2)B [(1)∵f (x )＞f ′(x )，∴f ′(x )－f (x )＜0. ∴令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x ＜0，∴g (x )单调递减，又1＜2.∴g (1)＞g (2)， 即f (1)e 1＞f (2)e 2，∴ef (1)＞f (2)．选A.(2)令F (x )＝x 2f (x )，则F ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]．当x ＞0时，由题设可得F ′(x )＜0，即函数F (x )＝x 2f (x )是单调递减函数，当x ＜0时，函数F (x )＝x 2f (x )是单调递增函数．又由题设可知F (1)＝F (－1)＝0，所以不等式F (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)，则不等式f (x )＞0的解集是(－1,0)∪(0,1)．故选B.](1)根据式子结构构造指数函数、对数函数或幂函数. (2)根据式子的结构构造相应函数： ①(x m f (x ))′＝x m －1(mf (x )＋xf ′(x ))；②⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2；③(e x f (x ))′＝e x (f (x )＋f ′(x ))； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝f ′(x )－f (x )e x ；⑤(x ·ln x )′＝ln x ＋1.【对点训练5】 若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2C [设f (x )＝e x －ln x (0＜x ＜1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x .令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象可知两函数图象的交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A 、B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0＜x ＜1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0＜x ＜1，∴g ′(x )＜0. ∴函数g (x )在(0,1)上是减函数． 又0＜x 1＜x 2＜1，∴g (x 1)＞g (x 2)， ∴x 2e x 1＞x 1e x 2，故选C.]【对点训练6】 定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )＞f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f (x )e x ＜1的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)B [构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝e x·f ′(x )－e x·f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x .由题意得g ′(x )＜0恒成立，所以函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．又g (0)＝f (0)e 0＝1，所以f (x )e x ＜1，即g (x )＜1，解得x ＞0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．故选B.]应用4 利用方程思想求值【典例4】 (1)函数f (x )＝x ln x 在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．(2)(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝________，y ＝________.(1)(1,0) (2)8 11 [(1)∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1， 由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1， ∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0， 即P (1,0)．(2)法一：由题意，得⎩⎨⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11. 法二：100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元)．假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元)． 因为95－73＝22(元)， 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只)．]方程思想无处不在，只要涉及含有等量关系的条件或结论时，均可考虑到通过列方程或方程组求解.【对点训练7】 (2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．[解] (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列．∴(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6)，∴(－2＋2d )2＝d (－4＋3d )，解得d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋2n －2＝2n －12. (2)法一：由a 1＝－10，d ＝2，得：S n ＝－10n ＋n (n －1)2×2＝n 2－11n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1122－1214，∴n ＝5或n ＝6时，S n 取最小值－30. 法二：由(1)知，a n ＝2n －12.所以，当n ≥7时，a n ＞0；当n ≤6时，a n ≤0.所以，S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.应用5 方程思想与不等式【典例5】 关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为( )A ．(－3,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 D ．(－1,2)C [由关于x 的一元二次不等式x 2＋ax ＋b ＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x 2＋ax ＋b ＝0的两实数根分别为－3,1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝－3＋1，b ＝－3×1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，所以不等式ax 2＋bx －2＜0可化为2x 2－3x －2＜0，即(2x ＋1)(x －2)＜0，解得－12＜x ＜2，即所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.]方程的根是对应不等式解集区间的端点值，所以不等式与方程是紧密联系的！【对点训练8】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．9 [由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )＜c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＜c ，即－a 2－c ＜x ＜－a 2＋c .所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2－c ＝m ， ①－a 2＋c ＝m ＋6. ②②－①得2c ＝6，所以c ＝9.]。

第19讲 函数与方程思想1. 已知函数f(x)＝log a [x 2－(2a)2]对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞都有意义，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析：x 2－(2a)2＞0对x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，又由题知，a ＞0，a ≠1，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－(2a)2＞0，∴ 0＜a ＜14. 2. 在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8.设S 3n 为该数列的前3n 项和，T n 为数列{a 3n }的前n 项和．若S 3n ＝tT n ，则实数t 的值为________．答案：73. 已知f(x)＝log 2(x －2)，若实数m 、n 满足f(m)＋f(2n)＝3，则m ＋n 的最小值是________．答案：7解析：由f(m)＋f(2n)＝3，得log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝3，解得m ＝2（n ＋1）n －1.m ＋n ＝n ＋2（n ＋1）n －1＝3＋(n －1)＋4n －1≥7，当且仅当n ＝3时取等号． 4. 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案：6解析：设P(x ，y)，F(－1，0)，OP →＝(x ，y)，FP →＝(x ＋1，y)，OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2.又x 24＋y 23＝1，∴ y 2＝3－34x 2，x ∈[－2，2]，则OP →·FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋12＋2∈[2，6]． 5. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －2)2＋(y －4)2＝1，由圆外一点P(a ，b)作两圆的切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，满足PA ＝PB ，则实数a 、b 满足的等量关系是________． 答案：a ＋2b －5＝0解析：PA ＝PB ，则PA 2＝PB 2，PA 2＝PO 2－1，PB 2＝PC 2－1，∴ a 2＋b 2＝(a －2)2＋(b －4)2，整理得a ＋2b －5＝0.6. 已知a∈R ，若关于x 的方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0有实根，则a 的取值范围是________．答案：[－1，0]解析：方程x 2－2x ＋|a ＋1|＋|a|＝0可化为|a ＋1|＋|a|＝－x 2＋2x ，函数f(x)＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴ |a ＋1|＋|a|≤1，解得－1≤a≤0.(本题也可用判别式来解决)7. 设曲线y ＝x n ＋1(n∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99＝________．答案：－2解析：y′＝(n ＋1)x n ，切线斜率为n ＋1，切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，x n ＝n n ＋1，a n ＝lg n n ＋1，a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg(x 1x 2x 3…x 99)＝lg(12×23×…×99100)＝lg 1100＝－2. 8. 已知正实数x 、y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．答案：26－39. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54＝2 014，且存在正整数k ，使a 1、a 54、a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为____________．答案：126解析：因为a 54＝2 014，所以a 1＋53d ＝2 104，所以a 153＋d ＝38，d ＞0且为正整数，所以a 1是53的倍数， 因为a 1、a 54、a k 成等比数列，所以a 254＝a 1a k ＝2×2×19×19×53×53.若a 1＝53，则53＋53d ＝2 014，d ＝37；若a 1＝2×53，则106＋53d ＝2 014，d ＝36；若a 1＝4×53，则212＋53d ＝2 014，d ＝34；若a 1＝1 007，则1 007＋53d ＝2 014，d ＝19；所以公差d 的所有可能取值之和为37＋36＋34＋19＝126.10. 设函数f(x)＝x －1x，对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)解析：因为对任意x∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)＝2mx －1mx －m x＜0恒成立，显然m≠0.当m ＜0时，有2m 2x 2－1－m 2＞0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，即2m 2×1－1－m 2＞0，解得m2＞1，即m ＜－1；当m ＞0时，有2m 2x 2－1－m 2＜0对任意x∈[1，＋∞)恒成立，m 无解．综上所述，实数m 的取值范围是m ＜－1.11. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边分别是a 、b 、c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1) 若△ABC 的面积等于3，求a 、b ；(2) 若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2) 由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，即sinBcosA ＝2sinAcosA ，当cosA ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233， 当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233. 12. 设数列{a n }，a 1＝1，a n ＋1＝a n 3＋13n ；数列{b n }，b n ＝3n －1a n ；正数数列{d n }，d 2n ＝1＋1b 2n＋1b 2n ＋1.(1) 求证：数列{b n }为等差数列；(2) 设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n 、D n ，求数列{b n D n ＋d n B n －b n d n }的前n 项和S n .(1) 证明：由a n ＋1＝a n 3＋13n ，得3n a n ＋1＝3n －1a n ＋1. 又b n ＝3n －1a n ，所以b n ＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2) 解：由(1)得b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，B n ＝n （n ＋1）2.因d 2n ＝1＋1b 2n ＋1b 2n ＋1， 故d 2n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋2n （n ＋1）＋1n 2（n ＋1）2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n （n ＋1）2. 由d n >0，得d n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1. 于是，D n ＝n ＋1－1n ＋1. 又当n≥2时，b n D n ＋d n B n －b n d n ＝(B n －B n －1)D n ＋(D n －D n －1)B n －(B n －B n －1)(D n －D n －1)＝B n D n －B n －1D n －1， 所以S n ＝(B n D n －B n －1D n －1)＋(B n －1D n －1－B n －2D n －2)＋…＋(B 2D 2－B 1D 1)＋B 1D 1＝B n D n .因S 1＝b 1D 1＋d 1B 1－b 1d 1＝B 1D 1也适合上式，故对于任意的n∈N *，都有S n ＝B n D n .所以S n ＝B n D n ＝n （n ＋1）2·⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1－1n ＋1 ＝12(n 3＋2n 2)． 13. 设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过点P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1) 求a 、b 的值；(2) 证明：f(x)≤2x－2.(1) 解：f′(x)＝1＋2ax ＋b x. 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2， 解得a ＝－1，b ＝3.(2) 证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x －x 2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x －2)＝2－x －x 2＋3lnx ，则g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x. 当0＜x ＜1时，g ′(x)＞0；当x ＞1时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，1)单调增加，在(1，＋∞)上单调减小．所以x ＝1时，g(x)取极大值即为最大值．而g(1)＝0，故当x ＞0时，g (x)≤0，即f(x)≤2x－2.。