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九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题及答案（人教版）班级姓名学号一、单选题1．p -3x+ -p=0是关于x的一元二次方程，则（）A．p=1 B．p＞0 C．p≠0 D．p为任意实数2．把一元二次方程(2x﹣1)2＝x﹣5化为一般形式后，一次项的系数是( )A．﹣5 B．﹣3 C．4 D．63．关于x的方程(m−2)x|m|+mx−1=0是一元二次方程，则m值为（）A．2或−2B．2C．−2D．m≥0且m≠2=1 ④x2﹣2xy=5 ⑤√x2+4x 4．下列方程：①3x2+1=0 ②√2 x2﹣√3 x+1=0 ③2x﹣1x=1 ⑥ax2+bx+c=0其中是一元二次方程的个数（）A．2 B．3 C．4 D．55.已知实数a是一元二次方程x2+x−7=0的根，则a4+a3+7a−1的值为( )A．48B．49C．50D．516.已知x=0是关于x的一元二次方程(m−1)x2+mx+4∣m∣−4=0的一个根，那么直线y=mx 经过的象限是( )A．第一，三象限B．第二、四象限C．第一、二象限D．第三、四象限7．下列说法正确的是（）A．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根B．方程3x2=4的常数项是4C．方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解8．若关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2022，则一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为（）B．2023 C．2022 D．2021A．12022二、填空题9．方程x= √4−3x的根是．10．已知x＝1是方程x2＋x＋c＝0的解，则c的值是．11．方程（m﹣2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= ．12．当k满足条件时，关于x的方程（k-3）+2x-7=0是一元二次方程．13．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a= ，b=三、解答题14．x=2是下列方程的解的吗？（1）3x+（10﹣x）=20（2）2x2+6=7x．15．已知a、b、c是等腰三角形ABC的三条边的长，其中a=3，如果b、c是关于x的一元二次方程x2 -9 x +m=0的两个根，求m的值.16．学了一元二次方程后，学生小刚和小明都想出个问题考考对方．下面是他们俩的一段对话：聪明的你能替小刚或小明解决问题吗？（要求任选一人回答）17．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．（2）当m为何值时原为一元一次方程．18．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y=2 √x−5 +3 √5−x﹣2．求2x﹣3y的值．19．已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1=0，②x2+x﹣2=0，③x2+2x﹣3=0，④x2+3x﹣4=0…⑪…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．参考答案1．C2．A3．C4．A5．A6．A7．A8．B9．x=110．-211．﹣212．k≠313．1；201414．解；将x=2代入3x+（10﹣x）=20，得方程左边=3×2+（10﹣2）=6+8=14，方程右边=20∵左边≠右边∴x=2不是3x+（10﹣x）=20的解；将x=2代入2x2+6=7x，得方左边程=2×22+6=8+6=14，方程右边=7×2=14∵左边=右边∴x=2是2x2+6=7x的解．由上可得，x=2不是（1）3x+（10﹣x）=20的解，x=2是（2）2x2+6=7x的解．15．解：①若b、c为腰时∵b、c是关于x的方程x2 -9 x +m=0的两个根故此方程有两个相等的实数根∴Δ=0即81-4m=0解得m=814代入方程，并化简得将m=814x2 -9 x + 81=04解方程得b=c=4.5与3能构成三角形故m=81.4②若3为腰时，c=3或b=3∵b、c是关于x的方程x2 -9 x +m=0的两个根∴3是x2 -9 x +m=0的根代入并解得m=18将m=18代入原方程得：x2−9x+18=0解得两根为3和6，此时构不成三角形，故不成立..综上所述：m=81416．解：我替小刚解答问题；根据题意，得x=0满足关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2=0，∴0﹣0+m2=0，解得m=0；∴x²-2x=0，即x2=2．故小刚的问题中m的值为0，另一个根为2．17．解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程解得m≠±1所以当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程解得m=±1，且m≠﹣1m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．所以当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．18．（1）解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根代入得：n2+mn﹣2n=0∵n≠0∴方程两边都除以n得：n+m﹣2=0∴m+n=2．（2）解：由题意得：x﹣5≥0，5﹣x≥0∴x=5，y=﹣2∴2x﹣3y=10+6=16．19．（1）x1=1，x2=﹣1；x1=1，x2=﹣2；x1=1，x2=﹣3；x1=1，x2=﹣4（2）x2+（n﹣1）x﹣n=0；x1=1，x2=﹣n（3）解：这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数； a+b+c=0； b2﹣4ac=（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号。
21. 1一元二次方程1.已知关于x 的方程x 2+bx+a ＝0有一个根为－a （a ≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A ．abB ． abC ．a+bD ．a －b2.有x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（ ）A ． 1(1)452x x -=B ． 1(1)452x x +=C ．x(x －1)＝45D ．x(x+1)＝453．如果(m －2)x |m|＋m x －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为( )． A.2或－2 B.2 C.－2 D.以上都不正确4．若(m －2)22-m x＋x －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______．5．如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个根1和－1，那么a ＋b ＋c ＝______，a －b ＋c ＝______．6.关于x 的一元二次方程x 2－2mx －m+2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项的和为0，则m 的值是_____________.7.一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根是－1，且a ，b ，c 满足5c =，则a+b+c ＝_____________.8.关于x 的一元二次方程(a －1)x 2+x+a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值为_____________.9．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋m 2－1＝0有一个根是0，求m 的值． 10．已知m 是方程x 2－x －1＝0的一个根，求代数式5m 2－5m ＋2004的值． 11.将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成a bcd，定义a b ad bc c d =-，上述记号叫做二阶行列式.那么12122x x x x++=-表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式.12.请你用一张长方形的纸片，做一个容积为750cm3，高为6cm ，底面的长比宽多5cm 的无盖长方体粉笔盒.若设这个粉笔盒的底面宽为xcm ，请根据题意列出方程，并将其化为一般形式.13.已知m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，求代数式(m+1)2+(m+1)·(m －1)的值. 14.方程1、方程2、方程3是按一定规律排列的一元二次方程：x （1）请你根据以上规律，写出第四个方程；（2）若某方程的形式为x 2+mx+n ＝0，且它是上述方程中的一个，请写出m ，n 的函数关系式.参考答案1.D 解析 把x ＝－a 代入方程x 2+bx+a ＝0，得a 2－ab+a ＝0.∵a ≠0，∴a －b ＝－1. 2.A 解析 有x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛()112x x -场，根据题意可得()11452x x -=.3．C ． 4．－2．5．a ＋b ＋c ＝0，a －b ＋c ＝0．6.1 解析 由题意可得1－2m －m+2＝0，解得m ＝1.7.－2 解析 由二次根式有意义的条件可得a ＝4，∴c ＝－5. 由一元二次方程ax2+bx+c ＝0的一个根是－1， 可得a －6+c ＝0，∴b ＝－1， ∴a+b+c ＝4－1－5＝－2.8.－1 解析 把x ＝0代入(a －1)x 2+x+a2－1＝0得a 2－1＝0，解得a ＝±1. 同时，由一元二次方程的定义可得a －1≠0，∴a ≠1， ∴a ＝－1.9．m ＝1不合题意，舍去，m ＝－1． 10．2009．11.解：由题意可得(x+1)×2x－(x+2)(x －2)＝1，它是一元二次方程，写成一般形式为x2+2x+3＝0.12.解：长方体底面宽为xcm ，则长为(x+5)cm ， 依据题意，得(x+5)×x×6＝750. 化为一般形式为6x 2+30x －750＝0. 13.解：把x ＝m 代入方程得m 2+m －1＝0， ∴m 2+m ＝1.∴(m+1)2+(m+1)(m －1) ＝m 2+2m+1+m2－1 ＝2(m 2+m)＝2，∴代数式(m+1)2+(m+1)(m －1)的值为2.14.思路建立 （1）要写出第四个方程，需找到前三个方程之间的变化规律，观察可以发现方程的二次项系数并没有随序号的改变而改变，而一次项系数随序号1，2，3变化而变化为－1，－2，－3，常数项也变为－1×2，－2×2，－3×2，依次类推，我们可以得出其中的规律.（2）由（1）中得出的规律直接写出即可.解：（1）x2－4x－8＝0；（2）n＝2m.点拨：本题是规律探索题，主要考查系数与序号的联系.。
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程1.下列方程化为一般形式后,常数项为零的是( )A.5x-3=2x2B.(2x-1)(2x+4)=-4C.(3x-1)(2x+4)=1D.(x+3)(x+2)=-62.有x 支球队参加篮球比赛,共比赛了45 场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )A.1x(x-1)=45B.1x(x+1)=452 2C.x(x-1)=45D.x(x+1)=453.已知关于x 的方程x2-kx-6=0 的一个根为x=3,则实数k 的值为( )A.1B.-1C.2D.-24.已知关于x 的方程kx2+2x-1=3x2 为一元二次方程,则k 的取值范围是( )A.k≠0B.k≠-3C.k≠3D.k 可以取任何实数5.在方程x2+x=y, 5x-7x2=8,x2+y2=1,(x-1)(x-2)=0,x2-1=6 中,一元二次方程的个数是.�6.一元二次方程2x2+4x-1=0 的二次项系数、一次项系数及常数项之和为.7.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)8x2-2x=1+2x;(2)(y-1)(y-2)=1.2 � 8. 小刚在写作业时,一不小心,方程 3x 2- x-5=0 的一次项系数被墨水盖住了,但从题目的答案中,他知道方程的一个解为 x=5,请你帮助小刚求出被覆盖的数.9. 已知方程(m+4)x |m|-2+8x+1=0 是关于 x 的一元二次方程,求 m 的值.10. 若关于 x 的一元二次方程(m-1)x 2+x+|m|-1=0 有一个根为 0,则 m 的值为( )A.1B.-1C.1 或-1D.111. 已知关于 x 的方程 x 2+bx+a=0 有一个根为-a (a ≠0),则下列代数式的值恒为常数的是() A .abB .�C .a+bD .a-b12. 关于 x 的方程(m 2-16)x 2+(m+4)x+2m+3=0,当 m时,是一元一次方程;当 m 时,是一元二次方程.13. 根据下列问题,列出关于 x 的方程,并将其化成 ax 2+bx+c=0(a ≠0)的形式:(1)一个长方形的宽比长少 3,面积是 75,求长方形的长 x ;(2) 两个连续偶数的积为 168,求较小的偶数 x ;(3) 一个直角三角形的两条直角边的长的和是 20,面积是 25,求其中一条直角边的长 x.14. 已知关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0,且 a ,b ,c 满足 �-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,求满足条件的一元二次方程的一般形式.2 1 2 2 15.已知 m ,n 都是方程 x 2+2 018x-2 019=0 的根,试求代数式(m 2+2 018m-2 018)(n 2+2 018n+1)的值.★16.某教学资料中出现了一道这样的题目: 1x 2-x=2 化为一元二次方程的一般形式,并写出它 把方程 2的二次项系数、一次项系数和常数项.现在把上面的题目改编成下面的两道小题,请回答问题:(1) 下列式子中有哪些是方程 x -x=2 化为一元二次方程的一般形式?.(填序号)①1x 2-x-2=0,②-1x 2+x+2=0,③x 2-2x=4,④-x 2+2x+4=0,⑤ 3x 2-2 3x-4 3=0.2 2(2) 方程1x 2-x=2 化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系?参考答案夯基达标1.B2.A3.A4.C 由原方程得(k-3)x 2+2x-1=0,结合题意可知 k-3≠0,即 k ≠3.5.26.57. 解 (1)一般形式:8x 2-4x-1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为 8,-4,-1.(2)一般形式:y 2-3y+1=0,二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1,-3,1.8. 解 设=a.∵x=5 是关于 x 的方程 3x 2-ax-5=0 的一个解,∴3×52-5a-5=0,解得 a=14,即被覆盖的数是 14.9. 分析 根据一元二次方程的二次项系数不为零和未知数的最高次数为 2 确定 m 的值.�+ 4 ≠ 0,|�|-2 = 2,解得m=4.培优促能10.B 对于含字母系数的一元二次方程,要注意除了满足未知数的最高次数是2 以外,还要保证二次项系数不为0.由题意,得(m-1)×02+0+|m|-1=0,且m-1≠0,解得m=-1.故选B.11.D 把x=-a 代入方程x2+bx+a=0,得a2-ab+a=0,∵a≠0,∴a-b=-1.故选D.12.=4 ≠±413.解(1)x(x-3)=75,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2-3x-75=0.(2)x(x+2)=168,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2+2x-168=0.(3)1x(20-x)=25,化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式为x2-20x+50=0.214.分析关键是理解算术平方根、完全平方数和绝对值的非负性,即�-10,(b-2)2≥0,|a+b+c|≥0.只有使各项都为0 时,其和才为0.�-1 = 0, 解由�-1+(b-2)2+|a+b+c|=0,得�-2 = 0,� = 1, 解得� = 2,� + � + � = 0, � = -3.由于 a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,故所求方程的一般形式为x2+2x-3=0. 15.解∵m,n 都是方程x2+2 018x-2 019=0 的根,∴m2+2 018m-2 019=0,n2+2 018n-2 019=0.∴m2+2 018m=2 019,n2+2 018n=2 019.∴原式=(2 019-2 018)×(2 019+1)=2 020.创新应用16.解(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或者说:这个方程的二次项系数∶一次项系数∶常数项=1∶(-2)∶(-4)).解由题意,得。
21.2.2 公式法解一元二次方程1．方程mx 2－4x ＋1＝0(m ≠0)的根是( )． A.4121==x xB.m mx -±=422,1 C.mmx -±=4222,1 D.mm m x -±=422,1 2．方程03322=++x x ( )． A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的有理根 C.没有实数根D.有两个相等的无理根3．若关于x 的方程3kx 2＋12x ＋k ＋1＝0有两个相等的实数根，则k 的值为( )． A.－4 B.3 C.－4或3D.21或32- 4.定义：如果一元二次方程ax 2+6x+c ＝0(a ≠0)满足a+b+c ＝0，那么我们称这个方程为凤凰方程，已知ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＝cB ．a ＝bC ．b ＝cD ．a ＝b ＝c5.用求根公式解得的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两根互为相反数，则（ ） A ．b ＝0 B ．c ＝0 C ．b 2－4ac ＝0 D ．b+c ＝06.下列选项中，能使关于x 的一元二次方程ax 2－4x+c ＝0一定有实数根的是（ ） A ．a>0 B ．a ＝0 C ．c ＝0 D ．c>07.对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a ≠0)，有下列说法： ①若a+c ＝0，则方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根；②若方程ax 2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根，则方程cx 2+bx+a ＝0也一定有两个不相等的实数根；③若c 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若m 是方程ax 2+bx+c ＝0的一个根，则一定有b 2－4ac ＝(2am+b)2成立. 其中正确的有（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8．若关于x 的方程x 2－2x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m ______．9．若方程2x2－(2m＋1)x＋m＝0根的判别式的值是9，则m＝______．解答题(用公式法解一元二次方程)10．x2＋4x－3＝0．11．3x2－8x＋2＝0．12.已知关于x的一元二次方程mx2－2(2m+1)x+4m－1＝0.（1）当m为何值时，方程有两个相等的实数根？（2）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（3）当m为何值时，方程无实数根？13.已知关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+k2+k＝0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长分别是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值.参考答案1．B ． 2．D ． 3．C ． 4.A 5.A 6.C 7.D8．＞－1． 9．m ＝2或m ＝－1．10．.72,7221--=+-=x x 11．⋅-=+=3104,310421x x 12.解：b 2－4ac ＝4(2m+1)2－4m(4m －1)＝20m+4.（1）当20m+4＝0，即15m =-时，方程有两个相等的实数根.（2）当15m >-且m ≠0时，方程有两个不相等的实数根.（3）当15m <-时，方程无实数根.13.（1）证明：∵∆＝(2k+1)2－4(k 2+k)＝1>0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）解：一元二次方程x 2－(2k+1)x+k 2+k ＝0的解为x =，即x 1＝k ，x 2＝k+1. 当AB ＝k ，AC ＝k+1，且AB ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k ＝5；当AB ＝k ，AC ＝k+1，且AC ＝BC 时，△ABC 是等腰三角形，则k+1＝5，解得k ＝4.∴k 的值为5或4.。
九年级数学上册《第二十一章一元二次方程》同步练习题及答案（人教版) 班级姓名学号一、单选题1．方程x2=4x的根是（）A．4 B．-4 C．0或4 D．0或-42．下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c=0B．1x2+1x=2C．x2+2x=x2−1D．3(x+1)2=2(x+1)3．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一个根，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．34．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程可以是（）A．x2＝4 B．x2＋4＝0C．x2＋4x＋4＝0 D．x2－4x＋4＝05．已知关于x的方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（）A．-1 B．0 C．1 D．1或-16．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜5 B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1 D．k＞57．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或108．定义：cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程.则下列四个结论：①如果x＝2是x2+2x+c=0的倒方程的解，则c=−54；②如果ac<0，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；③如果一元二次方程ax2−2x+c=0无实数根，则它的倒方程也无实数根；④如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根. 其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．写一个以5，﹣2为根的一元二次方程（化为一般形式）．10．一元二次方程x2-3x=0的较大的根为。
11．把方程3x （x ﹣1）＝2﹣2x 化成一元二次方程的一般形式为12．若一元二次方程ax 2﹣bx ﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．13．已知 {x =−2y =3是方程x ﹣ky=1的解，那么k= ． 三、解答题14．已知x=1是方程x 2﹣5ax+a 2=0的一个根，求代数式3a 2﹣15a ﹣7的值．15．若关于x 的二次方程（m+1）x 2+5x+m 2﹣3m=4的常数项为0，求m 的值．16．已知关于x 的方程（k ﹣1）（k ﹣2）x 2+（k ﹣1）x+5=0．求：（1）当k 为何值时，原方程是一元二次方程；（2）当k 为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解．17．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错，若有错误，请你写出正确的m 值．已知m 是关于x 的方程mx 2﹣2x+m=0的一个根，求m 的值．解：把x=m 代入原方程，化简得m 2=m ，两边同除以m ，得m=1把m=1代入原方程检验，可知m=1符合题意．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+k ＝0有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+m ﹣3＝0与方程x 2﹣3x+k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．19．已知关于x 的一元二次方程x 2＋（m ﹣2）x ＋m ﹣3＝0.（1）求证：无论m 取何值，方程总有实数根.（2）设该方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且2x 1＋x 2＝m ＋1，求m 的值.1．C2．D3．B4．D5．C6．B7．B8．C9．x2-3x-10=0(不唯一)10．x=311．3x2−x−2=012．201513．k=﹣114．解：∵x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根∴1﹣5a+a2=0．∴a2﹣5a=﹣1∴3a2﹣15a﹣7=3（a2﹣5a）﹣7=3×（﹣1）﹣7=﹣10，即3a2﹣15a﹣7=﹣10．15．解：∵关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4=0的常数项为0∴m2﹣3m﹣4=0，即（m﹣4）（m+1）=0解得：m=4或m=﹣1当m=﹣1时，方程为5x=0，不合题意；则m的值为4．16．解：（1）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）≠0解得k≠1且k≠2；（2）依题意得：（k﹣1）（k﹣2）=0，且k﹣1≠0所以k﹣2=0解得k=2所以该方程为x+5=0解得x=﹣5．17．解：错误，由于关于x的方程不一定是一元二次方程此时，方程为﹣2x=0∴x=0，符合题意当m ≠0时∴m 3﹣2m+m=0∴m （m 2﹣1）=0∴m 2﹣1=0∴m=±1综上所述，m=0或±1．18．（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k ≥0，解得k ≤ 94（2）解：满足条件的k 的最大整数为2，此时方程变形为方程x 2-3x+2=0，解得x 1=1，x 2=2 当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m= 32当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0 不符合题意，舍去，所以m 的值为 3219．（1）证明：∵Δ=(m −2)2−4(m −3)=m 2−4m +4−4m +12=m 2−8m +16=(m −4)2≥0 ∴无论m 取何值，此方程总有实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根分别为x 1，x 2∴{x 1+x 2=−(m −2)=2−m 2x 1+x 2=m +1，且 x 1x 2=m −3 解得 {x 1=2m −1x 2=3−3m∴(2m −1)(3−3m)=m −3∴6m −3−6m 2+3m =m −3 即 6m 2−8m =0∴m(6m −8)=0∴解得 m =0 或 m =43。
第二十一章 一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时 传播问题与一元二次方程学习目标：1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.3.会找出实际问题（传播问题）中的相等关系并建模解决问题.重点：分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程来解决问题.难点：正确分析问题（传播问题）中的数量关系.一、知识1.解一元二次方程的四种解法是什么？2.列方程解应用题的一般步骤是什么？二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?想一想如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感?例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支?讨论1在分析探究1和例1中的数量关系时它们有何区别？讨论2解决这类传播问题有什么经验和方法？方法归纳：运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？(1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．(2)“设”是指设未知数；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程；(4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“验”就是对所得的解进行检验，得到实际问题的解．例2某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？练一练某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？方法总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了一次，所以要在总数的基础上除以2.【变式题】某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，采用主客场赛制(即每两个班之间都进行两场比赛)，计划安排72场比赛，则共有多少个班级参赛？方法总结：关键是抓住主客场赛制，即每两个班之间都进行两场比赛，就可以根据班级数乘每个班级要进行的场数等于总场数列等量关系.例3一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？方法总结：解决这类问题关键要设数位上的数字，并能准确的表达出原数.三、课堂小结1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980X，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A. x2=1980B. x(x+1)=1980C. 12x(x-1)=1980 D. x(x-1)=19802.有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）A. 1+x+x(1+x)=73B. 1+x+x2=73C. 1+x2=73D. (1+x)2=733.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 74.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.5.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，则初三有几个班？6.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？7.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.参考答案自主学习知识1.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.2.设未知数，找等量关系，列方程，解方程，检验作答.课堂探究二、要点探究探究点1：传播问题与一元二次方程探究1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，得(1+x)2=121.解方程，得x1=10, x2=-12（不符合题意，舍去）. 答：平均一个人传染了10个人.想一想第1种做法：以1人为传染源,3轮传染后的人数是：(1+x)3=(1+10)3=1331（人）.第2种做法：以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是：121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.例1 解：设每个支干长出x个小分支，则 1+x+x2=133，即x2+x-132=0.解得x1=11, x2=-12（不合题意，舍去）.答：每个支干长出11个小分支.讨论1 每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.讨论2 （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.例2解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛，但每两班之间只比赛一场，故根据题意得(1)15,2x x解得x1=6, x2=-5（舍去）.∴x=6, 答：共有6个班级参赛．练一练解：设共有x人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手x(x－1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得(1)10,2x x解得x1=5, x2=-4（舍去）.∴x=5.答：共有5个人参加聚会．【变式题】解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，根据题意得(1)72,x x解得x 1=9, x2=-8（舍去）.∴x=9.答：共有9个班级参赛．例3解：设这个两位数个位数字为x，则十位数字为(x－3)，根据题意得x2=10(x-3)+x,解得x1=5, x2=6.∴x＝5时，十位数字为2，x＝6时，十位数字为3.答：这个两位数是25或36.当堂检测1.D2.B3.D4.105.解：初三有x个班，根据题意列方程，得1(1)6,2x x化简，得x2-x-12=0,解得x1=4, x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.6.解：（1）设每个有益菌一次分裂出x个有益菌,60+60x+60(1+x)x=24000,∴x1=19, x2=-21（舍去）.∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.（2）三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000（个）.7.解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位数的数字为(5－x)，依题意得(10x+5－x)[10(5－x)+x]=736，解得x1=2, x2=x＝2时，5－x=3；当x＝3时，5－x=2.答：原来的两位数是23或32.。
九年级数学上册《第二十一章 一元二次方程》同步练习题附带答案（人教版）姓名 班级 学号一、选择题：1．下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ）A ．20ax bx c ++=B ．2112x x +=C ．2221x x x +=-D ．()23(1)21x x +=+2．要使方程(a-3)x 2+(b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．a ≠0B ．a ≠3C ．a ≠3且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03．一元二次方程22(1)(1)1x a x x x -+=--化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．“读万卷书，行万里路.”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．()21001121x +＝B ．()21001%121x +＝C ．()10012121x +＝D ．()()210010*********x x ++++＝5．若 1x =- 是关于x 的一元二次方程 ()2200ax bx a ++=≠ 的一个根，则202122a b -+= （ ）A ．2025B ．2023C ．2019D ．20176．方程230x +=的二次项系数与一次项系数及常数项之积为（ ）A ．3B ．CD ．9- 7．若0x 是方程()2200ax x c a ++=≠的一个根，设2M ac =-，20(1)N ax =+则下列关于M与N 的关系正确的为（ ）A ．M N =B ．1M N =+C ．3M N +=D ．2M N = 8．若关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠满足0a b c -+=，称此方程为“月亮”方程．已知方程()221999100a x ax a -+=≠是“月亮”方程，则22199919991a a a a +++的值为（ ） A ．－1B ．2C ．1D ．－2 二、填空题： 9．将方程 22143x x x -+=- 化为一般形式为 .10．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1=0是一元二次方程，则a 的取值范围是11．若关于x 的一元二次方程()221210m x x m -++-=的常数项为0，则m 的值是 . 12．某市从2020年开始大力发展旅游产业.据统计，该市2020年旅游收入约为2亿元.预计2022年旅游收入约达2.88亿元，设该市旅游收入的年平均增长率为x ，根据题意列出方程为 .13．若关于 x 的一元二次方程 ()2100mx nx m +-=≠ 的一个解是 1x = ，则 m n + 的值是 .三、解答题：14．若（m+1）x |m|+1+6x ﹣2=0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．15．学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：①它的一般形式为ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）②它的二次项系数为5③常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？16．把方程（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．17．一元二次方程化为一般式后为 ，试求 a 2+b 2-c 2的值的算术平方根．18．完成下列问题：（1）已知x ，y 为实数，且 2y = ，求 23x y - 的值.（2）已知 m 是方程 2202110x x -+= 的一个根，求代数式 2120202m m m-++ 的值.参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．B 8．D9．230x x +-=10．a ≠111．-112．()221 2.88x +=13．114．解：由题意，得|m|+1=2，且m+1≠0解得m=115．解：由①知这是一元二次方程，由②③可确定 a c 、 ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．这个方程是5x 2－2x － 15=0. 16．解：（3x+2）（x ﹣3）=2x ﹣63x 2﹣9x=0所以它的二次项系数是3，一次项系数是﹣9，常数项是017．解：a （x+1）2+b （x+1）+c=0化作一元二次方程的一般形式为ax 2+(2a+b)x+a+b+c=0又一般形式为3x 2+2x-1=0∴a=3，2a+b=2，a+b+c=-1解得，a=3，b=-4，c=0∴a 2+b 2-c 2=25，则其算术平方根是5．18．（1）解：由题意得， 5050x x --，∴52x y ==-，∴2310616x y -=+=（2）解：∵m 是方程 2202110x x -+= 的一个根∴2202110m m -+=∴220211m m =-211202022021120202m m m m m m -++=--++21111202112022m m m m +=++=+=+=。
人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、把方程x2-3=-3x转化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.0，-3，-3B.1，-3，-3C.1，3，-3D.1，-3，32、已知一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长为（）A.13B.11C.13或11D.153、数是数和数的比例中项，若，，则数的值为（）A.5B.±5C.4D.±44、某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场（）A.5个B.6个C.7个D.8个5、已知关于x的一元二次方程x2-kx-4=0的一个根为2，则另一根是（）A.4B.1C.2D.－26、三角形两边长分别为3和6,第三边是方程x 2-6x+8=0的解，则这个三角形周长是（）A.11B.13C.11或16D.11和137、某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛A.10个B.6个C.5个D.4个8、下列方程是一元二次方程的是（）。
A. B. C. D.9、已知关于x的方程x 2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为（）A.１B.－1C.0D.210、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( )A.b 2－4ac>0B.b 2－4ac＝0C.b 2－4ac<0D.b 2－4ac≤011、关于x的一元二次方程﹣x2+3x+2＝0，下列说法正确的是（）A.有两个不等实数根B.没有实数根C.有一个实数根D.有两个相等的实数根12、当时，关于的一元二次方程的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定13、已知关于x的一元二次方程3x2+4x-5=0，下列说法正确的是( )A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根。
