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高等数学教案word版篇一：高等数学上册教案篇二：《高等数学》教案《高等数学》授课教案第一讲高等数学学习介绍、函数了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函数的分解。
函数概念、性质（分段函数）—基本初等函数—初等函数—例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像）授课提要：前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。
高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。
一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。
2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。
（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。
[见教材“序言”]二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。
（用变化的观点定义函数），记：y?f(x)（说明表达式的含义）(1)定义域：自变量的取值集合（D）。
(2)值域：函数值的集合，即{yy?f(x),x?D}。
例1、求函数y?ln(1?x2)的定义域？2、函数的图像：设函数y?f(x)的定义域为D，则点集{(x,y)y?f(x),x?D} 就构成函数的图像。
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种规则，将一个非空数集（定义域）中的每一个元素对应到另一个非空数集（值域）中的唯一元素。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个确定的值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、传递性、夹逼性等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代数法、几何法、泰勒公式等。
极限的运算法则：加减法、乘除法、复合函数的极限等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于0，称f(x)为无穷小。
无穷大的概念：当自变量x趋近于某个值a时，如果函数f(x)趋近于正无穷或负无穷，称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或df/dx，表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的几何意义：函数图像在某点处的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等的导数。
导数的运算法则：和差法、乘法法、链式法则等。
2.3 微分的概念与计算微分的定义：函数f(x)在点x处的微小变化量，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式df(x)=f'(x)dx，以及微分的运算法则。
2.4 微分方程的概念与解法微分方程的定义：含有未知函数及其导数的方程。
微分方程的解法：分离变量法、积分因子法等。
第三章：积分与面积3.1 不定积分的概念与计算不定积分的定义：函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx，表示f(x)与x轴之间区域的面积。
基本积分公式：幂函数、指数函数、对数函数等的不定积分。
3.2 定积分的概念与计算定积分的定义：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx，表示f(x)在[a,b]区间上的累积面积。
2024年高等数学电子教案word一、教学内容本教案依据《高等数学》教材，涉及第三章“一元函数微分学”的3.1节至3.3节。
详细内容包括导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数求导、微分中值定理及导数的应用等。
二、教学目标1. 理解并掌握导数的定义，能熟练运用导数求解实际问题。
2. 掌握求导法则，能对常见函数求导。
3. 了解导数与函数图形的关系，能运用导数分析函数的性质。
三、教学难点与重点重点：导数的定义及求导法则，导数的应用。
难点：高阶导数的求法，隐函数求导，微分中值定理的理解与应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、《高等数学》辅导书、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中的优化问题，如最短路径、最大利润等，引导学生思考如何解决这类问题，从而引出导数的概念。
2. 理论讲解（10分钟）详细讲解导数的定义、几何意义、物理意义等，让学生对导数有一个全面的认识。
3. 例题讲解（15分钟）讲解例题，涵盖求导法则、高阶导数、隐函数求导等，让学生掌握求导方法。
4. 随堂练习（10分钟）设计针对性强的练习题，让学生及时巩固所学知识。
5. 课堂小结（5分钟）六、板书设计1. 黑板左侧：导数的定义、求导法则、高阶导数公式。
2. 黑板右侧：例题及解答，随堂练习。
七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列函数的导数：y=x^3, y=sin(x), y=e^x。
（2）已知函数f(x)=x^2+3x+1，求f(x)在x=2时的导数。
（3）求隐函数y=x^2+2x^3的导数。
2. 答案：（1）y'=3x^2, y'=cos(x), y'=e^x。
（2）f'(x)=2x+3，所以f'(2)=7。
（3）y'=2x+6x^2。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对导数的定义和求导法则掌握较好，但在高阶导数和隐函数求导方面存在一定困难，需要在课后加强练习。
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学电子教案（大专版）《高等数学》教案第一讲函数与极限1.函数的定义设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
函数两要素：对应法则、定义域，而函数的值域一般称为派生要素。
例1：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x).解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2∴f(x)=2x 2 – x – 2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
因此，求函数定义域需注意以下几点：①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0例2 求函数y=6—2x －x +arcsin712x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有：1|712|062≤-≥--x x x ? 4323≤≤--≤≥x x x 或?4323≤≤-≤≤-x x 或于是，所求函数的定义域是：[-3，-2]Y [3，4].例3 判断以下函数是否是同一函数，为什么？（1）y=lnx 2与y=2lnx (2)ω=u 与y=x解（1）中两函数的定义域不同，因此不是相同的函数. （2）中两函数的对应法则和定义域均相同，因此是同一函数. 2. 初等函数（1）基本初等函数常数函数：y=c(c 为常数) 幂函数：y=μx （μ为常数）指数函数：y=xa (a>0，a ≠1，a 为常数) 对数函数：y=x a log (a>0，a ≠1，a 为常数)三角函数：y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx（2）复合函数设),(u f y =其)(x u ?=中，且)(x ?的值全部或部分落在)(u f 的定义域内，则称)]([x f y ?=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.例4：若y=u ，u = sinx ，则其复合而成的函数为y=x sin ，要求u 必须≥0，∴sinx ≥0，x ∈[2k π，π+2k π]例5：分析下列复合函数的结构（1）y=2cotx （2）y=1sin 2+x e解：（1）y=u ，u=cosv ，v=2x（2）y=ue ，u=sinv ，v=t ，t=x 2+1例6：设f(x)=2x g(x)=x 2 求f[g(x)] g[f(x)]解：f[g(x)]=f(x 2)=(x 2)2=4x g[f(x)]=g(2x )=22x3. 极限（1）定义函数y=f(x)，当自变量x 无限接近于某个目标时（一个数x 0，或+∞或—∞），因变量y 无限接近于一个确定的常数A ，则称函数f(x)以A 为极限。
高等数学电子教案一、前言1.1 教案简介本教案主要针对高等数学课程，内容包括极限、导数、积分、级数、常微分方程等基本概念和运算方法，适合高等院校理工科专业学生使用。
1.2 教学目标通过本教案的学习，使学生掌握高等数学的基本概念、运算方法和应用技巧，培养学生分析问题和解决问题的能力。
二、极限2.1 极限的概念引入极限的概念，解释函数在一点邻域内的极限意义，举例说明极限的存在与不存在。
2.2 极限的运算讲解极限的基本性质和运算规则，引导学生掌握极限的求解方法。
三、导数3.1 导数的定义介绍导数的定义，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率，举例说明导数的计算。
3.2 导数的运算讲解导数的四则运算规则，引导学生掌握常见函数的导数公式。
四、积分4.1 积分概念引入积分的概念，解释积分表示函数图像与x轴所围成的面积，举例说明积分的计算。
4.2 积分的运算讲解积分的基本性质和运算规则，引导学生掌握常见函数的积分公式。
五、级数5.1 级数概念介绍级数的基本概念，解释级数表示函数的和，举例说明级数的前n项和与收敛性。
5.2 级数的收敛性讲解级数收敛性的判定方法，引导学生掌握常见级数的收敛性判断。
六、常微分方程6.1 微分方程的定义解释常微分方程的概念，即含有未知函数及其导数的等式。
引导学生理解微分方程描述的是函数的导数与函数本身之间的关系。
6.2 微分方程的解法介绍常微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
通过实例演示各种方法的运用。
七、线性代数7.1 向量空间与线性方程组定义向量空间，解释线性方程组的解集及其性质。
介绍高斯消元法求解线性方程组。
7.2 矩阵与行列式讲解矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法。
介绍行列式的定义及其性质，演示行列式在解线性方程组中的应用。
八、概率论与数理统计8.1 随机事件与概率定义随机事件，解释概率的基本性质，包括加法原则和乘法原则。
通过实例让学生理解概率的意义。
高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，对于每一个自变量值，都有唯一确定的因变量值与之对应。
函数的性质：奇偶性、单调性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的值，这个确定的值称为极限。
极限的性质：保号性、传递性等。
1.3 极限的计算基本极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{sin x}{x} = 1\), \(\lim_{x \to \infty} e^x = \infty\) 等。
极限的运算法则：加减乘除、乘方等。
1.4 无穷小与无穷大无穷小的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于0。
无穷大的概念：当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于正无穷或负无穷。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。
2.2 导数的计算基本导数公式：\( (x^n)' = nx^{n-1} \), \( (sin x)' = cos x \), \( (cos x)' = -sin x \) 等。
导数的运算法则：和差、乘积、商、复合函数等。
2.3 微分微分的定义：微分是导数的一个线性近似。
微分的计算：对函数进行微分，即将自变量的增量转化为微分的形式。
2.4 应用求函数的极值：求导数，令导数为0，解出x值，再代入原函数求出极值。
求函数的单调区间：求导数，判断导数的正负，确定函数的单调性。
第三章：泰勒公式与导数的应用3.1 泰勒公式泰勒公式的定义：用函数在某一点的导数信息来近似表示函数本身。
泰勒公式的应用：求解函数在某一点的近似值。
3.2 洛必达法则洛必达法则的定义：当函数在某一点的导数为0时，可以用该点的其他导数信息来求解函数值。
洛必达法则的应用：求解函数在某一点的极限值。
3.3 泰勒展开泰勒展开的定义：将函数在某一点的泰勒公式展开，得到函数在该点的多项式近似。
【最新整理，下载后即可编辑】第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、教学目的与要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
二、重点：复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。
难点: 复合函数及分段函数.自学:集合,映射三、主要外语词汇: Function and mapping四、辅助教学情况:多媒体课件第四版（修改）五、参考资料(资料):同济大学《高等数学》第五版一、集合1. 集合概念 集合(简称集): 具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A ={a , b , c , d , e , f , g }.描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n },M ={x | x 具有性质P }.例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅}. N +={1, 2, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z ={⋅⋅⋅, -n , ⋅⋅⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n , ⋅⋅⋅}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B (读作A 包含于B )或B ⊃A .如果集合A与集合B互为子集, A⊂B且B⊂A, 则称集合A 与集合B相等, 记作A=B.若A⊂B且A≠B, 则称A是B的真子集, 记作A≠⊂B. 例如, N≠⊂Z≠⊂Q≠⊂R.不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A⋃B, 即A⋃B={x|x∈A或x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C⇔x∈A C ⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域 U(a, δ): U(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D→R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D =D.f注:（1）记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x 和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x∈D”或“y=f(x), x∈D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .（2）函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “ϕ”等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).（3）函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（4）函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例: 求函数412--=x x y 的定义域.解：要使函数有意义, 必须x ≠0, 且x 2 -4≥0. 解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D ={x | | x |≥2}, 或D =(-∞,2]⋃[2, +∞]).(5)表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P (x , y )|y =f (x ), x ∈D }称为函数y =f (x ), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域.2.单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r , r ]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.3.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.注：（1）分段函数是一个函数，而不是两个函数。
（2）对分段函数要求会求定义域会画图像，会求函数值。
例: 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=1110 2x x x x y .这是一个分段函数, 其定义域为D =[0, 1]⋃(0, +∞)= [0, +∞). 当0≤x ≤1时, x y 2=; 当x >1时, y =1+x . 例如2212)21(==f ; 2 1 2)1(==f ; f (3)=1+3=4.4. 几个特殊函数的例子:例. 绝对值函数⎩⎨⎧<-≥==0 0 ||x x x x x y . 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y .其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例 取整函数 设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ].函数y = [ x ]，其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z .0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.5. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使对任一x ∈X , 有f (x )≤K 1, 则称函数f (x )在X 上有上界, 而称K 1为函数f (x )在X 上的一个上界. 图形特点是y =f (x )的图形在直线y =K 1的下方.如果存在数K 2, 使对任一x ∈X , 有f (x )≥ K 2, 则称函数f (x )在X 上有下界, 而称K 2为函数f (x )在X 上的一个下界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线y =K 2的上方.如果存在正数M , 使对任一x ∈X , 有| f (x ) |≤M , 则称函数f (x )在X 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数f (x )在X 上无界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线y = -M 和y = M 的之间.函数f (x )无界, 就是说对任何M , 总存在x 1∈X , 使| f (x ) | > M .例如(1)f (x )=sin x 在(-∞, +∞)上是有界的: |sin x |≤1.(2)函数xx f 1)(=在开区间(0, 1)内是无上界的. 或者说它在(0, 1)内有下界, 无上界.这是因为, 对于任一M >1, 总有x 1:1101<<<M x , 使 M x x f >=111)(,所以函数无上界.函数xx f 1)(=在(1, 2)内是有界的. (2)函数的单调性设函数y = f (x )的定义域为D , 区间I ⊂D . 如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1<x 2时, 恒有f (x 1)< f (x 2),则称函数f (x )在区间I 上是单调增加的.如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1<x 2时, 恒有 f (x 1)> f (x 2),则称函数f (x )在区间I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数y=x2在区间(-∞, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +∞)上是单调减少的, 在（-∞, +∞）上不是单调的.(3)函数的奇偶性设函数f(x)的定义域D关于原点对称(即若x∈D, 则-x∈D). 如果对于任一x∈D, 有f(-x) =f(x),则称f(x)为偶函数.如果对于任一x∈D, 有f(-x) =-f(x),则称f(x)为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称, 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例:y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x都是奇函数, y=sin x+cos x是非奇非偶函数.(4)函数的周期性设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个正数l, 使得对于任一x∈D有(x±l)∈D, 且f(x+l) =f(x)则称f(x)为周期函数, l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区间上, 函数的图形有相同的形状.6．反函数与复合函数反函数:设函数f : D→f(D)是单射, 则它存在逆映射f-1: f(D)→D, 称此映射f-1为函数f的反函数.按此定义, 对每个y∈f(D), 有唯一的x∈D, 使得f(x)=y, 于是有f-1(y)=x.这就是说, 反函数f-1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的.一般地, y=f(x), x∈D的反函数记成y=f-1(x), x∈f(D).若f是定义在D上的单调函数, 则f : D→f(D)是单射, 于是f的反函数f-1必定存在, 而且容易证明f-1也是f(D)上的单调函数.相对于反函数y=f-1(x)来说, 原来的函数y=f(x)称为直接函数. 把函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y=x 是对称的. 这是因为如果P(a, b)是y=f(x)图形上的点, 则有b=f(a). 按反函数的定义, 有a=f-1(b), 故Q(b, a)是y=f-1(x)图形上的点; 反之, 若Q(b, a)是y=f-1(x)图形上的点, 则P(a, b)是y=f(x)图形上的点. 而P(a, b)与Q(b, a)是关于直线y=x对称的.复合函数:复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合函数的概念可如下表述.设函数y=f(u)的定义域为D1, 函数u=g(x)在D上有定义且g(D)⊂ D, 则由下式确定的函数1y=f[g(x)], x∈D称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量.函数g与函数f构成的复合函数通常记为g f , 即(g f )=f[g(x)].与复合映射一样, g与f构成的复合函数g f 的条件是: 是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域D f内, 即g(D)⊂D f. 否则, 不能构成复合函数.注：不使任何两个函数都可以复合成一个复合函数，内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内。
