河南省天一大联考(豫东豫北十所名校)2015届高三阶段测试(二)数学(文)调研试卷(扫描版)_精校完美版

河南省天一大联考(原豫东、豫北十所名校联考)2015届高三阶段性测试(四)安阳一中郸城一高扶沟高中鹤壁高中淮阳中学济源一中开封高中灵宝一高洛阳一高林州一中内黄一中南阳一中南阳五中平顶山一中濮阳一高商丘一高太康一高温县一中新乡一中夏邑高中信阳高中(学校名称按其拼音首字母顺序排列)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)若(a-i)i=-b+2i(a，b∈R)，则a+b=A.-2B.2C.-1D.1(2)Q是有理数集，集合M={-1，0，1}，N={0，1，4}，则M∩(∁Q N)=A.{0}B.{-1}C.{1}D.{4}(3)对一个容量为50的总体抽取容量为10的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是p1，p2，p3，则A．p1=p2=p3 B.p1=p2＜p3 C.p1=p3＜p2D.p2=p3＜p1(4)“x＜1”是“log2(x+)＜1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(5)过点M(1向抛物线C:y2=ax的准线作垂线，垂足为D，若|MD|=|MO|(其中O是坐标原点)，则a=A.8B.4C.6D.-8或8(6)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+2-x，则f(2)+g(2)=A.4B.-4C.2D.-2(7)已知实数x，y满足21010x y mx yy+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≤≥≥,若目标函数z=x-y的最小值是-2，则此目标函数的最大值是A．2 B.3 C.4 D.5(8)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A.225B.75C.275D.300(9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.12+πB.8+πC.12-πD.6-π(10)以原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线C，有一条渐近线的倾斜角为60°，点F是该双曲线的右焦点.位于第一象限内的点M在双曲线C上，且点N是线段MF的中点.若||||1ON NF=+，则双曲线C的方程为A.2213yx-= B.2219yx-= C.221412x y-= D.2231x y-=(11)下列关于函数()2tan()4f x x xπ=+-的图象的叙述正确的是A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线4xπ=对称(12)已知函数2()1xf xx=+，且方程2(cos)3f x=(x＞0)的根从小到大依次为a1，a2，a3，…，a n，则数列{a n}的前n项和S n=A.22n πB.22(31),62n n n n ππ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为正奇数，为正偶数C.22(1),22n n n n ππ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为正奇数，为正偶数D.22(31),22n n n n ππ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩为正奇数，为正偶数第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22—24题为选考题，考生根据要求作答， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)已知向量a = ，(1)b t = ，,若向量a ，b 的夹角为4π，则实数t=_______. (14)三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB=BC=2，则球O 的表面积为_______.(15)若数列{a n }对任意的正整数n 和常数 ( ∈N *)，等式22n n n a a a λλ++=⨯都成立，则称数列{a n }为“ 阶梯等比数列”，n na a λ+的值称为“阶梯比”，若数列{a n }是3阶梯等比数列且a 1=1，a 4=2，则a 10=_________.(16)已知定义域为R 的函数f(x)既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当3(0,)2x ∈时，f(x)=sin πx ，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，且sinAsinC=34.(Ⅰ)若a,b,c成等比数列，求角B的大小；(Ⅱ)若cosB=23，求tanA+tanC的值.(18)(本小题满分l2分)为备战某次运动会，市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.(I)经过备战训练，从6人中随机选出2人进行成果检验，求选出的2人中至少有1个女运动员的概率；(Ⅱ)检验结束后，甲、乙两名运动员的成绩茎叶图如图所示，请问哪位运动员的成绩更稳定，并说明理由.(19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，△ABC是等边三角形，D为AC的中点.(I)求证:平面C1BD⊥平面A1ACC1；(Ⅱ)已知E为线段AB1上的动点，求证:几何体E-BC1D的体积为定值.(20)(本小题满分12分)已知函数21()(1)ln 12f x x a x a x =-+++. (I)若x=3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间； (II)若f(x)≥1恒成立，求a 的取值范围.(21)(本小题满分12分)定圆2+y 2=16，动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E. (Ⅰ)求轨迹E 的方程；(Ⅱ)设点A,B,C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图所示，⊙O 的直径为AB,AD 平分∠BAC,AD 交⊙O 于点D,BC ∥DE ，且DE 交AC 的延长线于点E,OE 交AD 于点F. (Ⅰ)求证：DE 是⊙O 的切线； (Ⅱ)若AB=10，AC=6求DF 的长.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为=10,曲线C′的参数方程为35cos45sinxyαα=+⎧⎨=-+⎩( 为参数).(I)判断两曲线C和C′的位置关系；(Ⅱ)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程。

2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(二)语文·答案1.C2.B3.C4.C5.B6.D7.（1）中官李兴擅自砍伐皇陵的树木被判决死罪，李兴让家人用四十万两银子行贿请求变更对他的判决。

杨守随坚持原判，案件不能缓解。

（关键词“论”、第一个“狱”、“解”的翻译各1分，大意2分）（2）刘瑾心中的怨恨仍然没有消除。

正德三年四月以复审案件存在过失定罪，逮捕杨守随送入京城关进监狱，并且罚米一千石输往边塞。

（关键词“憾”“坐”“覆谳”的翻译各1分，大意2分）【参考译文】杨守随，字维贞，浙江鄞县人，他是侍郎杨守陈的弟弟。

成化二年，考中进士，被授予御史的官职。

杨守随巡视漕运，查核大同军饷，巡行按察江西，所到的地方都因其风采而被人敬畏。

成化六年，上疏陈述六件事，（皇帝）当时没有采纳。

太常少卿孙广安母丧期间被起用任职，杨守随与给事中李和等人连续上奏章议论这件事，于是朝廷命令孙广安继续在家守孝。

成化八年冬，朝廷议论因四方遭受灾害，决定停止派遣刷卷御史。

会昌侯孙继宗请求同时停止在京的刷卷御史，杨守随说：“孙继宗等人任意做坏事，担心自己的罪行被揭露，想借这个机会逃脱。

”皇帝没有追查孙继宗的罪行，而刷卷御史也依然派遣如故。

山东遭逢饥荒，朝廷议论决定官吏缴纳银两免除考绩。

杨守随极言这种做法不可取，皇帝就废除了这项制度。

杨守随被提拔为应天府丞，没有上任，因为母亲去世而回家守丧。

守丧期满没有空缺的官职，等候委任而照常处理事物。

当初，李孜省被授予太常寺丞，因为杨守随向皇帝上书而被改任上林监副，李孜省因此对杨守随心怀怨恨。

这个时候就在皇帝面前诬陷杨守随，皇帝下旨斥责杨守随不能等候委任，将之调为南宁知府。

弘治初年，杨守随又被召见担任应天府尹，调查南京守备中官蒋琮的罪行。

蒋琮唆使他的党羽郭镛弹劾杨守随审查给事方向案不公平，杨守随被贬谪为广西右参政。

过了一段时间，杨守随被提拔为按察使。

弘治八年，又被召见担任南京右佥都御史。

杨守随担任两京大理卿。

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{A x y ==，{}2,1,1,2B =--，则A B I =（ ）A ．{}1,2B ．()1,2C ．{}1,2--D ．[)1,+∞ 2.在等比数列{}n a 中，若45627a a a =，则19a a =（ ） A ．3 B ．6 C ．27 D ．93.已知命题200:,460p x R x x ∃∈++<，则p ⌝为（ ）A ．2,460x R x x ∀∈++≥ B ．200,460x R x x ∃∈++> C ．2,460x R x x ∀∈++> D ．200,460x R x x ∃∈++≥4.已知函数()1lg ,03,0x x x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则()()1f f =（ ）A ．13 B ．3 C.1 D ．195.已知向量,a b r r 的夹角为23π，且()3,4a =-r ，2b =r ，则2a b +r r =（ ）A ．．2 C.．846.函数()13f x x x =-的图象大致是（ ）7.将函数()()sin 0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<<⎪⎝⎭图象上所以点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到函数sin y x =的图象，则,ωϕ的值分别为（ ） A ．1,26π B ．2,3π C.2,6π D ．1,26π- 8.曲线cos 16y ax x =+在2x π=处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）A ．2π-B ．2π C.2πD ．2π-9.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的双曲线与双曲线交于,A B 两点，与双曲线的渐近线交于,C D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C.51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦10.设函数()()()[]22,1,1,1,1f x x f x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-⎪⎩，若关于x 的方程()()()log 100,1a f x x a a -+=>≠在区间[]0,5内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）A．( B．)+∞C.)+∞ D．11.对于正整数k ，记()g k 表示k 的最大奇数因数，例如()11g =，()21g =，()105g =.设()()()()()12342nn S g g g g g =+++++L ，给出下列四个结论：①()()3410g g +=；②*m N ∀∈，都有()()2g m g m =；③12330S S S ++=；④1*14,2,n n n S S n n N ---=≥∈.则其中正确结论的序号为（ ）A ．①②③B ．②③④ C.③④ D ．②④12.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线()220y px p =>，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，AOB ∆的面积是16，抛物线的焦点为F ，()1,0N -，若M 是抛物线上的动点，则MNMF的最大值为（ ）A B D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知1sin cos 2θθ+=，则()sin 2πθ-= ．14.已知圆M 与圆22:3O x y +=+x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程为 ．15.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a +，21a +，41a +成等比数列，且2312a a +=-，则n a = ．16.在ABC ∆中，若32AB AC =，点,E F 分别是,AC AB 的中点，则BECF的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知函数()22cos 2f x x x m =--. （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若53,244x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为0，求实数m 的值. 18. （本小题满分12分）已知圆()22125x y -+=，直线50ax y -+=与圆相交于不同的两点,A B .（1）求实数a 的取值范围；（2）若弦AB 的垂直平分线l 过点()2,4P -，求实数a 的值. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()()()()()*1223121n n a a a a a a n n n N +++++++=+∈L .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n a a b +=，求证：121111nb b b +++<L . 20. （本小题满分12分）已知函数()()()2log 1f x g x k x =+-. （1）若()2log 1g x x =+且()f x 为偶函数，求实数k 的值；（2）当1k =时，()()21g x ax a x a =+++时，若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率12e =，且椭圆C 经过点()2,3P ，过椭圆C 的左焦点1F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求1PF G ∆的面积S 的取值范围. 22. （本小题满分12分）已知函数()ln f x b x =.（1）当1b =时，若函数()()2F x f x ax x =+-在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）若在[]1,e 上存在0x ，使得()0001bx f x x +-<-成立，求实数b 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ADAAC 6-10:DBABC 11、12：BC 二、填空题 13.34-14.()()22111x y -+-= 15.21n -- 16.17,48⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 17.（1）()21cos 212cos 2sin(2)262x f x x x m x m x m π+=--=--=---，……3分则函数()f x 的最小正周期T π=.………………………………………………………………………4分则当262x ππ-=是，函数取得最大值0，………………………………………………………………9分即1102m --=，解得12m =.……………………………………………………………10分 18.（1）把直线50ax y -+=代入圆的方程， 消去y 整理，得()()22125110a x a x ++-+=. 由于直线50ax y -+=与圆交于,A B 两点， 故()()22451410a a ∆=--+>，即21250a a ->，解得512a >或0a <， 所以实数a 的取值范围是5(,0)(,)12-∞+∞U .………………………………………………………6分（2）由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为1a-， 直线l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=， 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()1,0M 比在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =， 由于35(,)412∈+∞，所以34a =符合题意.……………………………………………12分 19.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩， (2)分即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，……………………4分所以21n a n =-.……………………………………………………………………………………5分（2）由（1）得()()22121n b n n =-+，……………………………………………………………6分 所以()()121121212121n b n n n n ==--+-+，………………………………………8分所以1211111111111(1)()()()1133557212121n b b b n n n +++=-+-+-++-=-<-++L L ， 所以121111nb b b +++<L .…………………………………………………………………………………12分20.（1）令2lo g t x =，则2tx =，代入()2log 1g x x =+，得()21t g t =+，即()21x g x =+，()()()2log 211x f x k x ∴=++-，…………………………………………………………2分Q 函数()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=，()()()()22log 211log 211x x k x k x -∴++-=+--，即()221log 2121x xk x +=---，()2log 221x k x =--， ()21x k x ∴=--对一切x R ∈恒成立，()211k ∴-=-，即12k =.………………………………6分 （2）设当1k =时，()()22log 1f x ax a x a ⎡⎤=+++⎣⎦，当0a =时，函数()2log f x x =的值域为R ，…………………………8分当0a ≠时，要使函数()f x 的值域为R ，则00a >⎧⎨∆≥⎩，即()220140a a a >⎧⎪⎨+-≥⎪⎩，解得01a <≤， 综上所述，a 的取值范围为[]0,1.…………………………………………………12分21.（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则2212491c a c a b⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩2分解得221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为2211612x y +=.……………………………………4分（2）设直线AB 的方程为()()20y k x k =+≠，由()22234480y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩，消去y 得，()()222234161630k x k x k +++-=，……………………5分 易知0∆>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221643k x x k -+=+，2122164843k x x k -=+，设()00,M x y 是AB 的中点，则()20220028436243k x k k y k x k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=+=⎪+⎩，……………………………………6分线段AB 的垂直平分线MG 的方程为()001y y x x k-=--，……………………………………8分令0y =，得20022823434G k x x ky k k-=+==-++，…………………………………………10分因为0k ≠，所以102G x -<<， 因为1113222PF G P GS S FG y x ∆==⋅=+，102G x -<<，………………………………………11分所以S 的取值范围是9(,3)4.………………………………………………………………………12分22.（1）当1b =时，()()()22ln 0F x f x ax x x ax x x =+-=+->，()1210F x ax x'=+-≥在()0,+∞上恒成立，……………………………………………………2分则2211111224a x x x ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭在()0,+∞上恒成立，………………………………3分所以124a ≥，18a ≥.……………………………………………………………………………4分 （2）设()1ln bh x x b x x+=-+，若在[]1,e 上存在0x 使得()0001b x f x x +-<-，即0001ln 0bx b x x +-+<成立， 则只需要函数()1ln bh x x b x x+=-+在[]1,e 上的最小值小于零，………………………………6分又()()()()222211111x x b x bx b b b h x x x x x+-+⎡⎤--++⎣⎦'=--==，……………………………8分令()0h x '=得1x =-（舍去）或1x b =+，①当1b e +≥，即1b e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由()10bh e e b e +=+-<，可得211e b e +>-， 因为2111e e e +>--，所以211e b e +>-.……………………………………………………………9分 ②当11b +≤，即0b ≤时，()h x 在[]1,e 上单调递增， 故()h x 在[]1,e 上的最小值为()1h ，由()1110h b =++<，可得2b <-（满足0b ≤），…………………………………………………………10分 ③当11b e <+<，即01b e <<-时，()h x 在()1,1b +上单调递减，在()1,b e +上单调递增，故()h x 在[]1,e 上的最小值为()()12ln 1h b b b b +=+-+， 因为()0ln 11b <+<，所以()0ln 1b b b <+<，所以()2ln 12b b b +-+>，即()12h b +>，不满足题意，舍去.…………………………………11分综上可得2b <-或211e b e +>-，所以实数b 的取值范围是221(,2)(,)1e e +-∞-+∞-U .……………………………12分。

天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014---2015学年高中毕业班阶段性测试（一）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.(1)已知集合A={}(){}33,40,x x B x x x -<<=-<则AB=()0,4A ()3,4B - ()0,3C ()3,4D(2)已知复数512iz i=-，则z 对应的点在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 （3）下列叙述中正确的是A 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” B “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 （4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A8 B14 C12 D9(5)双曲线221xym-=的焦点到渐近线的距离为A2 B3 C 1 D12(6)设变量,x y满足约束条件25020x yx yx+-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y=++的最大值为A9 B10 C8 D6（7）执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是A15 B105 C120 D720(8)已知定义在R上的奇函数()f x满学科网足()()1f x f x+=，当12x<<时，()4x f x =，则54f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=A 2-B 22-C 1-D 22（9）已知函数①sin cos y x x =+，②22sin cos y x x =，则下列结论正确的是（ ） A.两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位即得②的图像 C.两个函数在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D.两个函数的最小正周期相同（10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11433,,122k a a S =-==-，则正整数k = A10 B11 C12 D13（11）如图所示，直线y m =与抛物线28y x =交与点A,与圆()22216x y -+=的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则∆ABF 的周长的取值范围是 A(6,8) B(4,6) C(8,12) D(8,10)(12)已知()x f x x e =⋅，方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为A 21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C 21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D 212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13---21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22---24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)平行四边形ABCD 中，()()1,0,2,2AB AC ==,则AD BD ⋅=----------.(14)从集合{}2,1,1--中随机选取一个数记为k ，从集合{}1,1,3-中人随机选取一个数记为b,则直线y kx b =+不经过第四象限的概率为------------.(15)已知正四棱棱锥P-ABCD 的底面边长和高都为2，O 是底面ABCD 的中心，以O 为球心的球与四棱锥P-ABCD 的各个侧面都相切，则球O 的表面积为---------.（16）已知函数()()[)()[)11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩()n N ∈，则 ()()()()()()()1234201320142015f f f f f f f -+-++-+=----------.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且()cos 3cos b C a c B =-。

河南省开封高级中学等22校2015届高三天一大联考(一)文科数学试卷【试卷综析】试题遵循了考查基础知识和基本技能为主体的原则，着重体现了对“双基”的考查。

试卷考查了中学数学尤其是考试说明中的大部分知识点，选择题、填空题着重考查了集合、复数、函数的定义域、图象、单调性、初等函数、三角函数、不等式、程序框图、立体几何、排列组合、圆锥曲线、统计初步等常规知识点；解答题也着眼于常规的基本知识和基本技能的考查，考查了三角函数和解三角形、概率统计、立体几何等考生感觉熟悉、容易入手的内容，梯度设计合理。

整份试卷中大部分是基础题目，这些题目的设计回归教材和中学教学实际，以自然但不俗套的形式呈现，既保证了高考试题的创新性，又让考生能以一种平和的心态面对试题，在有限的时间内尽力发挥出自己的最佳水平，保证了考生的“基础得分”，从而保证了考试较高的信度和效度。

一、选择题：本大题共12小题每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.【题文】(1)已知集合A={}(){}33,40,x x B x x x -<<=-<则AB=()0,4A()3,4B -()0,3C()3,4D【知识点】集合运算. A1 【答案解析】B 解析：()()()3,3,0,4,3,4A B A B =-=∴=-,故选B.【思路点拨】化简两已知集合，再利用数轴求它们的并集.【题文】(2)已知复数512iz i =-，则z 对应的点在A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案解析】C 解析：()()()()512512*********i i i i iz i i i i ++====-+--+，则2z i =--所以z 对应的点在第三象限，故选C.【思路点拨】将已知复数分母实数化得2z i =-+，所以2z i =--，所以z 对应的点在第三象限.，【题文】（3）下列叙述中正确的是A 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠” B “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题【知识点】四种命题及关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定. A2 A3【答案解析】D 解析：对于A ：命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”所以A 不正确；对于B ：“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以B 不正确；对于C ：命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥”，所以C 不正确；只有D 是正确的，故选D.【思路点拨】根据四种命题及关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定，确定各选项的正误. 【题文】（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A8 B14 C12 D9【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】C 解析：由三视图知此几何体是四棱柱，其高为2，底面是上底2、下底4、高为2的等腰梯形，所以该几何体的体积()12422122V =+⋅⋅=，故选C.【思路点拨】由三视图知此几何体是四棱柱，其高为2，底面是上底2、下底4、高为2的等腰梯形，所以该几何体的体积()12422122V =+⋅⋅=.【题文】(5)双曲线221x y m -=的焦点到渐近线的距离为2312【知识点】双曲线及其几何性质；点到直线的距离. H2 H6 【答案解析】C 解析：焦点)1,0Fm +到渐近线0x m ±=的距离()21011m d m +±==+，故选C.【思路点拨】求得焦点坐标及渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得距离.【题文】(6)设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为A9 B10 C8 D6【知识点】线性规划问题. E5【答案解析】B 解析：画出可行域，平移直线23y x=-，可得最优解为两直线 20,250x y x y --=+-=的交点A(3，1), 目标函数231z x y =++的最大值为：2331110⨯+⨯+=故选B.【思路点拨】画出可行域，利用平移法确定最优解，进而求得目标函数的最大值.【题文】（7）执行如图所示的程序框图，如果输入的N 值是6，那么输出p 的值是 A15 B105 C120 D720【知识点】程序框图的应用. L1 【答案解析】B 解析：依据程序框图得：循环过程依次为①k=3,p=3②k=5,p=15③k=7,p=105 此时不满足k N ≤了，所以输出p=105,故选B.【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果，从而确定输出结果.【题文】(8)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=，当102x <<时，()4xf x =，则54f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=AB2-C 1-D 2【知识点】函数的奇偶性与周期性. B4【答案解析】A 解析：551114444f ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=144-=故选A.【思路点拨】利用函数的奇偶性与周期性化简求值.【题文】（9）已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是（ ）A.两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称B. ①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位即得②的图像C.两个函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调递增函数D.两个函数的最小正周期相同【知识点】三角函数的化简；三角函数对称中心；三角函数的单调区间；三角函数的图像的移动.C3,C4.【答案解析】C 解析：解：由题可知sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭；①cos 2y x x x ==，②，由函数的性质可知,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭为①的对称中心，不是②的对称中心，①的图像的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向右平移4π个单位24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，与②不同，①的周期为2π，②的周期为π.所以只有C 为正确选项.【思路点拨】根据三角函数的性质进行求解.【题文】(10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11433,,122k a a S =-==-，则正整数k =A10 B11 C12 D13【知识点】等差数列. D2【答案解析】D 解析：由114133,133132a a a d d =-=+=-+=得：926d =，由()()11191312226k S ka k k d k k k =++=-++=-12得，k=13.故选D. 【思路点拨】利用等差数列的通项公式、前n 项和公式求得结果.【题文】（11）如图所示，直线y m =与抛物线28y x =交与点A,与圆()22216x y -+=的实线部分交于点B ，F 为抛物线的焦点，则∆ABF 的周长的取值范围是 A(6,8) B(4,6) C(8,12) D(8,10)【知识点】直线与圆；直线与抛物线. H4 H8【答案解析】 C 解析：易得(22,,2168m A m B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以∆ABF 的周长=2222216488m m m ⎛⎫⎛⎫+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21684,00,4m m =-∈-，所以∆ABF 的周长的取值范围是(8,10)，故选D.【思路点拨】根据题设求得A 、B 用m 表示的坐标，从而得∆ABF 的周长()()()21684,00,4m m =-∈-，所以∆ABF 的周长的取值范围是(8,10).【题文】(12)已知()xf x x e =⋅，方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则t的取值范围为A 21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B 21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭ C 21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ D 212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【知识点】函数与方程. B9【答案解析】B 解析：设(),x h x xe =则由()()10x h x x e '=+=得1x =-，可判断函数()h x 在1x =-处有最小值1e -，且x>0时()h x >0, x<0时()h x <0, ()h x 的图像以x 轴为渐近线，因为()()f x h x =，所以()f x 的图像大致为:所以方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根，则()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭各取一个值，令()m h x =，()21q m m tm =++，因为()010q =>，所以只需10q e ⎛⎫< ⎪⎝⎭即21110t e e ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得21e t e +<-，故选B. 【思路点拨】根据()f x 的图像分析得方程()()()210f x tf x t R ++=∈有四个实数根的条件是：()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭各取一个值，为此 令()m h x =，()21q m m tm =++，因为()010q =>，所以只需10q e ⎛⎫< ⎪⎝⎭即21110t e e ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得21e t e +<-. 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13---21题为必考题，每个试题考生都必需作答，第22---24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 【题文】(13)平行四边形ABCD 中，()()1,0,2,2AB AC ==,则AD BD ⋅=----------.【知识点】向量的线性运算. F1 F3 .【答案解析】4 解析：因为()()1,0,2,2AB AC ==，且四边形ABCD 是平行四边形，所以()1,2AD BC AC AB ==-=,()0,2BD AD AB =-=,所以AD BD ⋅=()()1,20,24⋅=.【思路点拨】利用向量的线性运算及坐标运算求得向量,AD BD 的坐标,再求它们的数量积.【题文】(14)从集合{}2,1,1--中随机选取一个数记为k ，从集合{}1,1,3-中人随机选取一个数记为b,则直线y kx b =+不经过第四象限的概率为------------. 【知识点】古典概型. K2【答案解析】29 解析：有序实数组（k,b ）的所有结果是（-2，-1）、（-2,1）（-2,3）、（-1，-1）、（-1,1）、（-1,3）、（1，-1）、（1,1）、（1,3）共9个，其中不经过第四象限的有（1，1）、（1,3）两个，所以直线y kx b =+不经过第四象限的概率为：29【思路点拨】写出所有基本事件，及事件“直线y kx b =+不经过第四象限”包含的基本事件，从而求得所求概率.【题文】(15)已知正四棱棱锥P-ABCD 的底面边长和高都为2，O 是底面ABCD 的中心，以O 为球心的球与四棱锥P-ABCD 的各个侧面都相切，则球O 的表面积为---------. 【知识点】几何体的结构. G1【答案解析】165π 解析：设O 到平面PAB 的距离为h ，由1243O PAB P ABCD V V --==得5h =，所以球O的表面积为21645ππ=⎝⎭.【思路点拨】记O 到平面PAB 的距离为h ，由1243O PAB P ABCD V V --==得h =，所以球O的表面积为216455ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.【题文】（16）已知函数()()[)()[)11sin 2,2,2121sin 22,21,222n n x n x n n f x x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=⎨⎪-++∈++⎪⎩()n N ∈，则 ()()()()()()()1234201320142015f f f f f f f -+-++-+=----------.【知识点】函数及其表示.归纳法. B1 M1 【答案解析】1008 解析：由题设条件得:()()()()11,22,33,44,f f f f ====由此归纳得()f n n=，所以所求= ((1)(2))((3)(4))((2013)(2014))(2015)f f f f f f f -+-++-+= 100720151008-+=.【思路点拨】由已知函数得()f n n=，再用并项求和求解.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【题文】(17)(本小题满分12分)在ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且()cos 3cos b C a c B=-。

天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014—2015学年高中毕业班阶段性测试(二)数学(文科)·答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.（1）C （2）A （3）D （4）C （5）B （6）D（7）A （8）A （9）D （10）B （11）D （12）B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）22 （14）3（15）35- （16）1012- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.（17）解：（Ⅰ）设公差为(0)d d ≠，由已知得：2111(3)()(8),a d a d a d +=++整理得13d a =.………………………………………………………………………………………（2分）又因为37a =，即127a d +=，所以11,3a d ==，故3 2.n a n =-……………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得322,n n b -=所以1 2.b =当2n …时，有323(1)2128,2n n n n b b ----==所以{}n b 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以2(18)2(81).187n n n S -==--…………………………（10分）（18）解：（Ⅰ）因为π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭任意两个零点之间的最小距离为π2， 所以()f x 的最小正周期为π，故2ππ||ω=，又0ω>，故2ω=．………………………（3分） 由1()2f α=，得1cos 22α=， 所以π22π3k α=±，k ∈Z ，即ππ,6k k α=±∈Z ， 又[π,π]α∈-. 所以5πππ5π,,,6666α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭.………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）函数πcos 2cos 23y x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ πcos 2cos 2cos 3x x =-+πsin 2sin 3x =13cos 2sin 222x x +πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………………………………………………（9分） 由2πππ2π2262k k x π-++剟，k ∈Z ，解得ππππ36k k x -+剟，k ∈Z ． 所以函数π()cos 3y f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为ππππ,.36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,……（12分） （19）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos ,=A B A B A B C ⋅-=+=-m n ……………（2分）所以cos cos 2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， 故1cos 2C =或cos 1C =-（舍去），………………………………………………………（4分）又0πC <<，所以π3C =.…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）因为18,CA CB ⋅=所以36CA CB ⋅=. ①………………………………………（8分） 由余弦定理得222π2cos ,3AB AC BC AC BC =+-⋅⋅ 及6AB =得，0AC BC -=. ②…………………………………………………………（11分）由①②解得,6,6AC BC ==.……………………………………………………………（12分）（20）解：（Ⅰ）解法一：依题意得2n n S r =+.…………………………………………（1分）当1n =时，1112a S r ==+，当2n …时，111222.n n n n n n a S S ---=-=-=………………………………………………（4分）又因为{}n a 为等比数列，所以11221r -+==，所以 1.r =-…………………………………………………………………………………（6分） 解法二：2nn S r =+，………………………………………………………………………（1分）当1n =时，1112,a S r ==+ 当2n …时，111222,n n n n n n a S S ---=-=-=……………………………………………（4分）232,4a a ==，由2213a a a =⋅，解得1r =-.…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得12n n a -=.…………………………………………………………………（7分） 则21222(1)log 2log 2log 2122n n n n b a a a n +=+++=+++=，…………………（9分）所以1221n b n n =-+， 所以1111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭.……………………………………（12分） （21）解：（Ⅰ）2222()2a x a f x x x x+'=+=， 由已知(2)1f '=，解得 3.a =-……………………………………………………………（2分）所以26()6ln ,()2f x x x f x x x'=-=-，因为(1)4,(1)1,f f '=-=所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为14(1),y x -=--即450x y +-=.…………………………（6分）（Ⅱ）由22()2l n g x x a x x =++得222()2a g x x x x'=-++，…………………………（7分） 因为函数()g x 为[]1,2上的单调减函数，则()0g x '…在[]1,2上恒成立，即22220a x x x -++…在[]1,2上恒成立. 即21a x x -…在[]1,2上恒成立.………………………………………………………………（9分）令21()h x x x =-，在[]1,2上2211()220,h x x x x x ⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭所以()h x 在[]1,2上为减函数，min 7()(2),2h x h ==-所以7.2a -……………………（12分） （22）解：（Ⅰ）由()e 22x f x x a =-+知，()e 2,x f x x '=-∈R .……………………（2分）令()0f x '=，得ln 2x =，于是，当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表 x(,ln 2)-∞ ln 2 (ln 2,)+∞ ()f x ' -0 + ()f x 单调递减 22ln 22a -+单调递增 故函数()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，()f x 在ln 2x =处取得极小值，极小值为(ln 2)22ln 22.f a =-+………………………………………………（6分）（Ⅱ）设2()e 21,x g x x ax x =-+-∈R ，于是()e 22,x g x x a x '=-+∈R .由（Ⅰ）知，对任意x ∈R ，()22ln 2222ln 22ln 220g x a '-+>-+-=…，所以()g x 在R 上单调递增.………………………………………………………………………………（9分）于是，当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)0g x g >=，即2e 210x x a x -+->，故2e 2 1.x x ax >-+………………………………………………………………………（12分）。

天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）【试卷综述】本次数学试卷的特点是具有一定的综合性，很多题目是由多个知识点构成的，这有利于考查考生对知识的综合理解能力，有利于提高区分度，在适当的规划和难度控制下，效果明显。

通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求，提高了试题的区分度，这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的.【题文】第I 卷【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】(1)已知全集U=R ，集合 {}{}2|02,|0A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为(A)(-∞,1]U(2,+∞) (B) ()(),01,2-∞ (C)[1，2) (D)(1，2]【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】A 解析：图中的阴影部分表示的集合为()()(](),12,A B C AB =-∞+∞, 故选 A .【思路点拨】根据题中韦恩图得阴影部分表示的集合为()()A B C A B ，再结合 {}{}2|02,|0A x x B x x x =≤≤=->得结论.【题文】(2)已知i 是虚数单位，则复数213(1)i i -++在复平面内所对应的点位于 (A)第四象限 (B)第三象限 (C)第二象限 (D)第一象限【知识点】复数运算；复数的几何意义. L4【答案】【解析】D()1122i i -+==+-，所以 此复数在复平面内所对应的点位于第一象限.【思路点拨】先把复数化为a+bi 形式，再由复数的几何意义得结论.【题文】(3)已知数列{}n a 的通项为22n a n n λ=-,则“ 0λ<”是“ 1,n n n N a a *+∀∈>” 的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件. A2【答案】【解析】A 解析：因为22n a n n λ=-，所以1210n n a a n +-=->对于n ∈N +恒成立，所以0λ<”是“ 1,n n n N a a *+∀∈>”的充分不必要条件 .【思路点拨】先求出10n n a a +->的条件，再根据充分性、必要性的判定方法确定结论.【题文】(4)已知圆 222:(1)C x y r ++=与抛物线 2:16D y x =的准线交于A ，B 两点，且 8AB =，则圆C 的面积为( A)5 π (B)9 π (C)16π (D)25π【知识点】抛物线的性质；直线与圆的位置关系；勾股定理. H7 H4【答案】【解析】 D 解析：设抛物线准线交x 轴于E ，则CE=3，所以2223425r =+=， 所以圆C 的面积为25π，故选 D.【思路点拨】结合图形可知，利用勾股定理求得圆C 半径得平方. 【题文】(5)已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x>0对， 2cos ,08,()6log ,8,x x f x x x π⎧<≤⎪=⎨⎪>⎩ ((16))f f -= (A) 12-(B) (C)12【知识点】奇函数的性质；分段函数的应用. B4 B1【答案】【解析】C 解析：因为2(16)log 164f ==，所以((16))f f -=(16)(4)ff f -=- 421cos cos 632ππ=-=-=，故选 C. 【思路点拨】根据奇函数的性质，以及分段函数的函数值的意义求解.【题文】(6)高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课如果甲、乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为( A)36 (B)24 (C)18 (D)12【知识点】排列与组合；计数原理. J2 J1【答案】【解析】A 解析：第一节从除甲、乙、丙以外的三人中任选一人上课，由3种方法；第二、三节从除上第一节课的教师和丙教师外的四名教师中，任选两名分别上第二、三节课，由24A 种方法. 根据分步计数原理得不同的安排方案种数为24336A =种. 故选 A.【思路点拨】完成把六名教师中安排4人各上一节课这个事件，需分两步：第一步，安排上第一节课的教师；第二步，安排上第二、三节课的教师，(第四节丙教师上).求得完成每步方法数后，由分步计数原理得结论.【题文】(7)设 331sin(810),tan(),lg 85a b c π=-==，则它们的大小关系为 (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<c<a (D)c<a<b【知识点】数值大小的比较. E1 【答案】【解析】B 解析：∵()11,0,lg 1,085a b tan c π=-=>=∈-，∴a<c<b,故选B. 【思路点拨】先求出各数值或确定其大致范围，从而得到它们的大小顺序.【题文】(8)函数 33()xx f x e -=的大致图象是【知识点】函数图像得确定. B8【答案】【解析】C 解析：因为f(0)= -3,所以排除选项A 、B ；又因为33x ≥()0f x ≥,所以排除选项D,故选 C.【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项.【题文】 (9)如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分，其中113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为(A 211cm π (B) 222cm π211223( D)21122cm π【知识点】几何体的结构. G1【答案】【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体1111ABCD A B C D -的外接球，而若长方体 1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，则长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ，所以2222211(2)332222R R =++=⇒=，所以该几何体的外接球的表面积222cm π，故选 B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D -的外接球的关系，进而得结论.【题文】(10)执行如图所示的程序框图，输出的S 为(A)1 006 (B)1 007 ( C)1 008 (D)1 009【知识点】算法与程序框图. L1【答案】【解析】B 解析：根据程序框图得执行的结果是计算：()()()()2342014112131412014S =-+-+-+-++-()()()()12345620132014=-++-++-+++-+=1007，故选B .【思路点拨】根据程序框图描述的意义，得其运行结果是计算()()()()2342014112131412014S =-+-+-+-++-的值.【题文】(11)双曲线 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0垂直， 12,F F 为C 的焦点，A 为双曲线上一 点，若 又122F A F A =，则 21cos AF F ∠=(D) 14【知识点】双曲线及其性质. H6【答案】【解析】C 解析：因为双曲线的一条渐近线与直线 x+2y +1 =0垂直，所以b=2a, 又122F A F A =，且122F A F A a -=，所以212,4F A a F A a ==，而2252c a c =⇒=，所以21cos AF F ∠=22222212211222F F AF AF F F AF +-== C. 【思路点拨】根据题意得a,b,c 关系，以及1212,,F A F A F F 关于a,b,c 的表达式，然后用余弦定理求得结论. 【题文】(12)设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的 取值范围是(A) 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) ln 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ( C) ln 21,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【知识点】函数的零点；数形结合法确定参数范围；导数的几何意义. B9 B12 【答案】【解析】C 解析：即方程ln x ax =区间(0，4)上有三个根，令()()1ln h x x h x x '=⇒=，由h(x)在()00,ln x x 处切线()0001ln y x x x x -=-过原点得0x e =，即曲线h(x)过原点得切线斜率为1e ，而点()4,ln 4与原点确定的直线的斜率为ln 22所以实数a 的 取值范围是ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭，故选 C.【思路点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，方程的根与两函数图像交点的关系，采用数形结合法，结合导数的几何意义，确定参a 的取值范围.【题文】 第Ⅱ卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分【题文】(13)设 2010sin n xdx π=⎰，则 n-展开式中的常数项为_________（用数字作答）【知识点】定积分；微积分基本定理；二项式定理. B13 J3【答案】【解析】210 解析：2010sin n xdx π=⎰=2010cos |10x π-=，又n -展开式的通项()1510536110101r r r r r r r T C x C x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由55066r r -=⇒=，所以展开式中的常数项为()66101210C -=.【思路点拨】由微积分基本定理得n=10，由二项展开式的通项公式得展开式中的常数项为第七项()6661101210T C +=-=. 【题文】14某天，小赵、小张、小李、小刘四人一起到电影院看电影，他们到达电影院之后发现，当天正在放映A ，B ，C ，D ，E 五部影片，于是他们商量一起看其中的一部影片： 小赵说：只要不是B 就行；小张说：B ，C ，D ，E 都行；小李说：我喜欢D ，但是只要不是C 就行；小刘说：除了E 之外，其他的都可以据此判断，他们四人可以共同看的影片为____【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：小赵可以看的电影的集合为：{A,C,D,E,}，小张可以看的电影的集合为{B,C,D,E}，小李可以看的电影的集合为：{A,B,D,E}，小刘可以看的电影的集合为： {A,B,C,D}，这四个集合的交集中只有元素D ，故填D .【思路点拨】分别找出小赵、小张、小李、小刘四人各自可以看的电影的集合，然后求这些集合的交集即可.【题文】(15)△ABC 中， 2,1,120AB AC BAC ==∠=，若 2BD DC =，则 AD BC ⋅= =______________.【知识点】平面向量的线性运算；向量的数量积. F1 F3【答案】【解析】13- 解析：因为2,3BD BC BC AC AB ==-,所以AD BC ⋅= ()212333AB BC BC AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫+⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211333AC AB AC AB =-⋅- 21121cos120333=--⨯⨯⨯=-. 故填13-. 【思路点拨】先把,AD BC 用,AB AC 表示，再用向量数量积的运算性质求解.【题文】(16)已知数列{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列 {}n x 满足 11233,39,x x x x =++= 1212n n n a a a n n n x x x ++++==，则 n x =__________.【知识点】等差数列；等比数列；数列通项公式的求法. D2 D3【答案】【解析】3n 解析：设1212n n n a a a n n n x x x ++++===k ，则1log log n n x k n na k x a =⇒=， 同理121211log ,log k n k n n n x x a a ++++==，因为数列{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以212122log log log k n k n k n n n n x x x x x x ++++=+⇒=，所以数列 {}n x 是等比数列，把13x =代入12339x x x ++=得公比q=3(负值舍去)，所以1333n n n x -=⨯=.【思路点拨】设1212n n n a a a n n n x x x ++++===k ，利用指数与对数互化及对数换底公式得1log k n nx a =， 121211log ,log k n k n n n x x a a ++++==，再由{}n a 的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，以及对数运算性质得212n n n x x x ++=，所以数列 {}n x 是等比数列，又因为{}n x 各项都是正数且11233,39,x x x x =++=得公比q ,从而求得nx . 【题文】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 【题文】(17)（本小题满分10分）已知向量 2,1),(cos ,cos )444x x x m n ==，记 ()f x m n =⋅ (I) 若 3()2f a =，求 2cos()3a π-的值； (Ⅱ)将函数 ()y f x =的图象向右平移 23π个单位得到 ()y g x =的图象，若函数()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，求实数k 的取值范围 【知识点】向量的数量积；三角函数的求值；三角函数的图像. F3 C3 C7【答案】【解析】(I)1(II) 302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 解析：()21cos cos sin 444262x x x x f x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ (I)由已知()32f a =得13sin 2622απ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，于是22224,cos cos 413333k k Z k ππππαπαπ⎛⎫⎛⎫=+∈∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(II)将函数()y f x =的图象向右平移23π个单位得到函数()11sin 262g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，当x ∈70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，1626x πππ-≤-≤，所以11sin 1226x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以1130sin 2622x π⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，若函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则k ∈302⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的取值,从而求得使函数 ()y g x k =-在 70,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点得k 范围. 【题文】(18)（本小题满分12分）设等差数列 {}n a 的前n 项和为 n S ， 561124,143a a S +==数列 {}n b 的前n 项和为n T 满足112(1)()n a n T a n N λ-*=--∈(I)求数列 {}n a 的通项公式及数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和； (Ⅱ)是否存在非零实数 λ，使得数列 {}n b 为等比数列？并说明理由【知识点】等差数列、等比数列的性质；数列求和. D2 D2 D4【答案】【解析】(I) 69n n + (II)见解析. 解析：(I)设数列{}n a 的公差为d,由11665611143,13,a 24S a a a ==∴=+=又，解得511,d 2a ==,因此{}n a 的通项公式是()()*55221n a a n n n N =+-⨯=+∈ 所以1111122123n n a a n n +⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，从而前n 项的和为 ()()11111111113557212323557212369n n n n n n ⎛⎫+++=-+-+-= ⎪⨯⨯+++++⎝⎭(II)因为1113,2(1)(),42n a n n n a T a n N T λλ-*==--∈∴=-124n n T λλ⇒=+ 当1n =时，16b λ=；当2n ≥时，1134n n n n b T T λ--=-=.所以()142n n b b n +=≥，若{}n b 是等比数列，则有214b b =而12612,b b λλ==，所以221124b b b b ==与矛盾，故数列{}n b 不是等比数列. 【思路点拨】根据数列的已知条件可求出前n 项和，再通过项的关系判定{}n b 不是等比数列.【题文】(19)（本小题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：该景区对3月份的游客量作出如图的统计数据：(1)某人3月份连续2天到该景区游玩，求这2天他遇到的游客拥挤等级均为良的概率；(2)从该景区3月份游客人数低于10 000人的天数中随机选取3天，记这3天游客拥挤等级为优的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望【知识点】古典概型；离散型随机变量分布列；数学期望. K2 K6 K8【答案】【解析】（1）215；（2），()1516E ξ=. 解析：(1)记“这两天他遇到的游客拥挤等级为良”为事件A ,此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以42()3015P A ==. （2）由题意知ξ的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，所以213115113316163355(0),(1)112112C C C P P C C ξξ====== 1231155331616111(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======,所以ξ的分布列为：故335511115()0123112112565616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【思路点拨】（1）此人3月份连续2天到景区游玩的所有结果共有30种，其中这两天他遇到的游客拥挤等级均为良的结果有4种，所以所求概率为423015=；（2）由题意得ξ的可能取值为0,1,2,3，因为该景区3月份游客人数低于10000人的天数为16，其中游客拥挤等级为优的天数为5，根据组合数公式求得ξ取每个值的概率，从而写出ξ的分布列，进一步求得ξ的期望.【题文】(20)（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥DB ，其中三棱锥P- BCD 的三视图如图所示，且3sin 5BDC ∠=(1)求证：AD ⊥PB(2)若PA 与平面PCD 所成角的正弦值为121365，求AD 的长 【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6. 解析：由三视图可知ABCD PD AD ABCD AD PD ⊥⊂∴⊥平面，而面又,,,PBD AD AD DB PD BD D PD BD PBD ⊥⋂=⊂∴⊥且平面，平面，又PBD AD PB PB ⊂∴⊥平面，。

天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）2014-2015学年高中毕业班阶段性测试（三）语文本试题卷分第I卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I卷阅读题必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成l -3题。

技术与人的关系，是一个不断演变的历史过程。

在手工劳动中，原始技术同劳动者不可分离。

手工劳动的技术，是最原始的技术，表现为劳动者的技能，即手控制手工工具的能力，亦称手工技能。

这种原始技术本质上是人的体能。

人的体能有两种功能：一是改变物体状态的能力，即体力。

二是控制物体的能力，在手工劳动中就表现为控制手工工具的能力。

这就是最早的技术——体技或手技。

所有的技术都是人对自己的超越。

人的双手的动作不准确、不精确，而手工技术追求的就是一准二精。

这种准确性和精确性的提高，不是通过工具，而是通过劳动者的苦练得来的。

“熟能生巧”，这“巧”是手之巧，靠的是熟练。

手工技能是由双手的动作的准和精表现出来的，它在一定程度上超越了人的生理局限，提高了人的生理功能，是“生理性技术”。

手工技能很难用语言文字来表达，它本身也不是知识，也不需要知识作为前提务件。

它只可意会，不可言传。

别人要学习这种技能，主要靠动作的模仿和用，心去领悟。

这种技术的传授必须面对面进行。

这种手工技能是劳动者的身体所具有的，存在于劳动者体内，离开了劳动者的双手，这种技能就不再存在。

这种技能与其说是“社会的”，不如说是个人的，它不可能在空间上大规模传播，也不可能在时间上世代相传。

由于人具有高度的个性，所以手工技能也具有一定的个性。

为什么古代的许多手工技术品、手工艺术品，使现代人都觉得望尘莫及？这是因为令人的双手没有练到那种程度。

这说明手工技术是会失传的。

近代技术的特点，是机器取代了手工工具。

近代机器一般由三个部分组成：动力机、传动机和工作机。

2015年河南省天一大联考（原豫东、豫北十所联考）高考数学模拟试卷（二）（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1．已知集合11M x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭≤，(){}lg 1N x y x ==-，则下列关系中正确的是______.A ．()R C M N φ=B ．M N =RC ．M N ⊇D ．()R C M N =R答案：B考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合．分析：求出M 中不等式的解集确定出M ，求出N 中x 的范围确定出N ，即可做出判断． 解答：解：M 中的不等式，当0x >时，解得：1x ≥；当0x >时，解得：1x ≤，即0x >， ()[),01,M ∴=-∞∞ +，[)0,1R C M =， 由N 中()lg 1y x =-，得到10x ->，即1x <，(),1N ∴=-∞，[)N 1,R C =∞+，则M N =R ，()[)0,1R C M N = ，故选：B ．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．将函数πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再将所得函数的图象向左平移π3个单位，则最终所得函数图象对应的解析式为_____. A ．1cos 2y x = B ．sin 2y x = C ．1sin 2y x = D ．cos2y x =答案：D考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换．菁优网版权所有专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论．解答：解：函数πsin 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数的图象向左平移π3个单位，得到πππsin 2sin 2cos2362y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦++，故选：D点评：本题主要考查函数解析的求解，根据函数关系和函数解析式之间的关系是解决本题的关键． 3．已知等差数列{}n a 满足244a a =+，3510a a =+，则它的前10项的和10S =____.A ．138B ．135C ．95D ．23 答案：C考点：等差数列的性质；等差数列的前n 项和．菁优网版权所有 专题：计算题．分析：本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据244a a =+，3510a a =+我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解．解答：解：()()352426a a a a d -== ++，3d ∴=，14a =-，()1011010110952dS a ⨯-∴==+．故选C点评：在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．4．在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ，c ，且3a =，8c =，60B =︒则ABC △的周长是_____A ．18B ．19C ．16D ．17 答案：A考点：余弦定理． 专题：解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，把a ，c ，cosB 的值代入求出b 的值，即可确定出三角形ABC 周长． 解答：解：ABC △中，3a =，8c =，60B =︒， 2222cos 9642449b a c a B ∴=-=-=++，即7b =， 则ABC △周长为38718=++， 故选：A ．点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．正项等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=，则57aa =_________A ．56 B ．65 C ．23 D ．32答案：D考点：等比数列的性质． 专题：计算题．分析：通过已知条件，求出4a ，6a ，通过等比数列的性质推出57a a 的值． 解答：解：因为正项等比数列{}n a 中，1n n a a +<，286a a ⋅=，465a a +=， 所以466a a ⋅=，465a a +=，解得43a =，62a =，547632a a a a ==． 故选D ．点评：本题考查等比数列的基本运算，性质的应用，考查计算能力．6．与向量)1,1a = 夹角角为π4的单位向量是__________A．1,2⎛-⎝⎭或1,2⎫⎪⎪⎝⎭ B．1,2⎛- ⎝⎭或12⎛ ⎝⎭， C．1,2⎛- ⎝⎭或1,2⎛- ⎝⎭ D．1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭答案：A考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：平面向量及应用．分析：设出单位向量(),b x y = ，列出方程组1πcos 4b a b a b ⎧=⎪⎪⎨⋅=⎪⨯⎪⎩，求出解即可．解答：解：设(),b x y = ，则1πcos4b a b a b ⎧=⎪⎪⎨⋅=⎪⨯⎪⎩，即22111x y x y ⎧+=⎪⎪+=， 化简得))221112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或12x y ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1,2b ⎛∴=- ⎝⎭ ，或1,2b ⎫=⎪⎪⎝⎭ ． 故选：A ．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应设出向量的坐标表示，列方程组求解，是基础题．7．已知()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩≥为偶函数，则()log 452a y x -x =-的单调递增区间为_________A ．(),1-∞-B ．(),2-∞C ．()2,+∞D ． ()5,+∞答案：D考点：复合函数的单调性；函数奇偶性的判断． 专题：函数的性质及应用．分析：首先根据偶函数的性质求才2a =，然后根据复合函数的内外同增则增的原则，因为2log y t =是定义域上的递增函数，只要求245t x x =--的递增区间即可，但要注意定义域．解答：解：()2220x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨+<⎪⎩ ≥为偶函数，()()11f f ∴-=，112a ∴-=-，2a ∴=则函数()log 452y a x x =--即()2log 452y x x =--，令245t x x =--，2x =是对称轴 由452x x >0--，得1x <-或5x >，由复合函数的单调性，知()5,+∞是所求函数 的递增区间．故答案选：D点评：本题考查复合函数的单调区间，属于基础题． 8．已知等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，其前n 项和为n S ，则n S 的最大值为________ A ．34 B ．23C ．43D ．32答案：D考点：等比数列的前n 项和． 专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n 项和公式112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对n 分奇数偶数讨论即可得出．解答：解： 等比数列{}n a 的首项为32，公比为12-，31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，当n 取偶数时，1112nn S ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；当n 取奇数时，11311222nn S ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭≤．n S ∴的最大值为32．故选：D ．点评：本题考查了等比数列的前n 项和及其分类讨论思想方法，属于基础题．9．已知函数()2221x x y b a +=++（,a b 是常数）在区间3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有max min 53,2y y ==，则22a b +=____A ．2B ．10C ．8D ．5 答案：D考点：函数的最值及其几何意义． 专题：函数的性质及应用．分析：转化为函数()21ty b a =++，[]1,0t ∈-（,a b 是常数），根据函数的单调性求出最大值，最小值，解方程即可．解答：解：211a +> ，()23x 2,,02t x x x ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦，∴根据二次函数的性质得出：[]1,0t ∈-函数()2221x xy b a +=++（a ，b 是常数）∴函数()21ty b a =++，[]1,0t ∈-（a ，b 是常数）单调递增max 13y b ∴=+=，min 21512y b a =+=+， 2b =，21a = 225a b ∴+=， 故选： D点评：本题考查了指数函数的单调性，换元法求解复合函数的最值问题，属于中档题．10．已知()e x f x =，x ∈R ，a b <，记()()A f b f a =-，()()()()12B b a f a f b =-+，则A ，B 的大小关系是__________ A ．A B > B ．A B ≥ C ．A B < D ．A B ≤ 答案：C考点：指数函数单调性的应用．专题： 计算题．分析：利用特殊值验证，推出A ，B 的大小，然后利用反证法推出A B =不成立，得到结果． 解答：解：考查选项，不妨令1b =，0a =，则1A e =-，()1e 12B =+． 3,e < ()12211e 12e e e ⇒-<+⇒-<+． 即A B <．排除A 、B 选项．若A B =，则()()1b e e 2b a b a e e a -=-+， 整理得：()()2e 2e b a b a b a -+=-+观察可得a b =，与a b <矛盾，排除D ． 故选：C ．点评：本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．11．若平面向量a ，b 满足31a b -≤，则a b ⋅ 的最小值是___________A ．16-B ．112-C ．118-D ．124-答案：B考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．分析：由平面向量a ，b 满足31a b -≤，知22916a b a b ++⋅ ≤，故22926a b a ba b +-⋅≥≥，由此能求出a b ⋅的最小值．解答：解： 平面向量a ，b 满足31a b -≤，22916a b a b ∴++⋅≤，22966a b a b a b +-⋅ ≥≥，166a b a b ∴+⋅⋅ ≥， 112a b ∴⋅ ≥-．故选B ．点评：本题考查平面向量数量积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 12．已知函数()()sin cos x f x a x b x e -=+⋅在π6x =处有极值，则函数sin cos y a x b x =+的图象可能是_______A ．B ．C ．D ．答案：A考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对()f x 求导，再利用极值的性质求出a ，b 的关系式，代入sin cos y a x b x =+，再利用函数的性质（特殊点、单调性等）进行筛选．解答：解：()()()()()'cos sin sin cos cos sin x x x f x a x b x e a x b x e e a b x a b x ---=-⋅-+⋅=--+⎡⎤⎣⎦ ， 又()()sin cos x f x a x b x e -=+⋅ 在π6x =处有极值， ∴()()π6πππ'e cos sin 0666f a b a b -⎛⎫⎡⎤=--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，整理得a =，代入sin cos y a x b x=+后得(2sin cos y b x x ⎡⎤=++⎣⎦①，('2cos sin y b x x ⎡⎤∴=-⎣⎦②，对于A 项，()00f < ，所以0b <，此时将π6x =分别代入①②，经计算π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，π'06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，与图象相符，所以A 选项符合题意；对于B 项，()00f > ，所以0b >，此时将π6x =分别代入①②，经计算π'06f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，与图象在π6x =处是减函数不符，所以B 选项不符合题意； 对于C 项，()00f < ，所以0b <，此时将π6x =分别代入①②，经计算π'06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，与图象在π6x =处是增函数不符，所以C 选项不符合题意； 对于D 项，()00f < ，所以0b <，此时将π6x =代入①，经计算π06f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，与图象不符，所以D 选项不符合题意． 故选A点评：由函数式确定图象的问题，一般从函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、渐近线等）分析入手，注意结合特殊点、极值点的应用． 二、填空题13．在平面直角坐标系中A点坐标为)1，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则OA OB +的最大值是 ． 答案：3考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意可知向量1OB = 的模是不变的，当OB 与OA 同向时，OA OB + 的最大，所以OA OB +的最大值OA OB =+．解答：解：由题意可知向量1OB = 的模是不变的，当OB 与OA 同向时，OA OB +的最大，OA OB +的最大值1213OA OB =+==+= ．故答案为：3．点评：本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题．14．直线3y x =和圆221x y +=交于A 、B 两点，以Ox 为始边，OA 、OB 为终边的角分别为α，β，则()sin αβ+的值为 ．答案：35-考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有 专题：计算题；三角函数的求值．分析：联立直线方程和圆的方程，解出交点，得到A ，B 的坐标，再由任意角的定义，得到α，β的正弦和余弦，再由两角和的正弦公式，即可得到所求值． 解答：解：联立直线方程和圆的方程，得2231y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即有,A ⎝⎭，B ⎛ ⎝⎭，则sin α=,cos α=，sin β=cos β=则()sin sin cos cos sin αβαβαβ⎛⎛+=+ ⎝⎭⎝⎭35=-．故答案为：35-．点评：本题考查三角函数的求值，考查任意角的正弦、余弦的定义和两角和的正弦公式的运用，考查运算能力，属于中档题．15．若[]1,100x ∈，则函数()2lg x f x x -=的值域为 ． 答案：[]1,10考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由于[]1,100x ∈，则()0y f x =>，两边取常用对数，再由对数的运算法则，得到()lg 2lg lg y x x =-，令()lg 0t 2t x =≤≤，则()()2lg 211y t t t =-=--+，再由二次函数的值域，即可得到所求值域． 解答：解：由于[]1,100x ∈，则()0y f x =>， 则有2lg lg lg x y x -=， 即lg (2lg )lg y x x =-， 令()lg 02t x t =≤≤，则()()2lg 211y t t t =-=--+， 由于[]10,2t =∈，则lg y 的最大值为1，即有max 10y =，当0t =或2时，lg y 取最小值0，即有min 1y =． 故值域为：[]1,10． 故答案为：[]1,10．点评：本题考查函数的值域的求法，考查对数函数的性质以及换元法，考查运算能力，属于中档题． 16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()112n n n S na =--，*n ∈N ，则45a a 等于 ． 答案：1012-考点：数列的求和.专题：等差数列与等比数列． 分析：由于()112nn n n S a =--，*n ∈N ，可得当2n ≥时，()()1111111122n n n n n n n n n a S S a a ----=-=----+，分别令3n =，4，5，6即可得出． 解答：解：()112nn n n S a =--，*n ∈N ， 1112a a ∴=--，解得114a =-．当2n ≥时，()()1111111122nn n n n n n n n a S S a a ----=-=----+， 32128a a ∴=-，3116a =-，214a =．541232a a =-，5164a =-，4116a =．451012a a ∴=-．故答案为：1012-．点评：本题考查了递推式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题17．公差不为零的等差数列{}n a 中，37a =，又2a ，4a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式；等比数列的前n 项和． 专题：综合题．分析：（1）设数列的公差为d ，根据37a =，又2a ，4a ，9a 成等比数列，可得()()()27=776d d d +-+，从而可得3d =，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）先确定数列{}n b 是等比数列，进而可求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解答：解：（1）设数列的公差为d ，则 37a = ，又2a ，4a ，9a 成等比数列．()()()27776d d d ∴+=-+ 23d d ∴= 0d ≠ 3d ∴=()73332n a n n ∴=+-⨯=-即32n a n =-；（2）2n a n b = 322n n b -∴=31132282n n n n b b ++-∴== ∴数列{}n b 是等比数列，1122a b ==∴数列{}n b 的前n 项和()2817n n S -=．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列的通项，等比数列的求和公式，属于中档题．18．已知函数()πsin (0)2f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭任意两个零点之间的最小距离为π2．（Ⅰ）若()12f α=，[]π,πα∈-，求α的取值集合；（Ⅱ）求函数()πcos +3y f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质． 分析：（Ⅰ）首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期，进一步确定α的集合． （Ⅱ）通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求单调区间．解答：解：（Ⅰ）因为()πsin cos 2f x x x ωω⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，任意两个零点之间的最小距离为π2，所以：()f x 的最小正周期为π，故2ππT ω==，又0ω>， 故2ω=由()12f α=，得1cos22α=， 所以π22π3k α=±，()k ∈Z ，即ππ6k α=±又[]π,πα∈-，所以5πππ5π,,,6666α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）函数π1πcos 2cos 2cos 22sin(2)326y x x x x x ⎛⎫=-+==+ ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π()262k x k k -++∈Z ≤≤， 解得：ππππ36k x k -+≤≤所以函数的单调递增区间为：()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ． 点评：本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调区间．19．已知向量π(cos ,sin )A A =- ，(cos ,sin )n B B =，πcos2n C ⋅= ，其中A 、B 、C 为ABC △的内角． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求AC 、BC 的长．考点：数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用． 专题：计算题；平面向量及应用．分析：（I ）πcos2n C ⋅=，由向量数量积公式，结合二倍角的余弦公式化简得22cos cos 10C C +-=，解出1cos 2C =，结合(0,π)C ∈可得角C 的大小；（II ）由18CA CB ⋅= 利用向量的数量积公式算出36CA CB ⋅=，根据余弦定理2222cos 36AB AC BC AC BC C =+-⋅=，化简得12AC BC +=，两式联解即可算出AC 、BC 的长．解答：解：（Ⅰ）π(cos ,sin ),(cos ,sin )A A n B B =-=， πcos2n C ∴⋅=，即cos cos sin sin cos()cos cos2A B A B A B C C -=+=-=，化简得：22cos cos 10C C +-=，故1cos 2C =(cos 1C =-舍去) (0,π)C ∈ ，π3c ∴=．（Ⅱ）18CA CB ⋅= ，πcos 363CA CB ∴⋅= ，即36CA CB ⋅= ①由余弦定理得2222cos6036AB AC BC AC BC ︒=+-⋅=，化简得：12AC BC += ② 联解①②，可得6AC BC ==．点评：本题给出向量含有三角函数的坐标，在已知数量积的情况下解三角形ABC ．着重考查了向量的数量积公式、解三角形等知识，属于中档题． 20．已知函数()22ln ,f x x a x a =+∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在()()2,2f 处的切线斜率为1，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()()2g x f x x=+在[]1,2上是减函数，求a 的取值范围． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）()2222'2a x af x x x x+=+=，由()'21f =，能求出a ，再求出()1f ，()'1f ，由点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由()222ln g x x a x x =++得()222'2ag x x x x=-++，建立新函数，求出其最小值，解出即可． 解答：解：（Ⅰ）()2222'2a x af x x x x+=+=， 由已知()'21f =，解得3a =-．所以()26ln f x x x =-，()6'2f x x x=-，因为()'14f =-，()11f =， 所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=．（Ⅱ）由()222ln g x x a x x =++得()222'2ag x x x x=-++， 因为函数()g x 为[]1,2上的单调减函数，则()'0g x ≤在[]1,2上恒成立，即22220a x x x-++≤在[]1,2上恒成立． 即21a x x-≤在[]1,2上恒成立． 令()21h x x x =-，在[]1,2上()2211'220h x x x x x ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在[]1,2上为减函数，()()min 722h x h ==-，所以72a -≤．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，渗透了数形结合思想，是一道综合题，属于中档题．21．数列{}n a 满足1π6a =， ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()*1tan cos 1n n a a n +⋅=∈N ．（Ⅰ）证明数列{}2tan n a 是等差数列，并求数列{}2tan n a 的前n 项和； （Ⅱ）求正整数m ，使得1211sin sin sin 1m a a a ⋅⋅⋅= ． 考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由于对任意正整数n ，ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()*1tan cos 1n n a a n +⋅=∈N ．可得22121tan 1tan cos n n na a a +==+，即可证明数列{}2tan n a 是等差数列，再利用通项公式及其前n 项和公式即可得出．（II ）由cos 0n a >，1tan 0n a +>，1π0,2n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．可得tan n a ，cos n a ，利用同角三角函数基本关系式可得()()()()()122132111sin sin sin tan cos tan cos tan cos tan cos tan cos m m m m m a a a a a a a a a a a a a -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅ ，即可得出．解答：（Ⅰ）证明： 对任意正整数n ，ππ,22n a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()*1tan cos 1n n a a n +⋅=∈N ．故22121tan 1tan cos n n na a a +==+， ∴数列{}2tan n a 是等差数列，首项211tan 3a =，以1为公差．∴()2132tan 1133n n a n -=+-⨯=． ∴数列{}2tan n a 的前n 项和()211113226n n n n n -=+=-． （Ⅱ）解： cos 0n a >，1tan 0n a +∴>，1π0,2n a +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．tan n a ∴=cos n a = ()()()121122sin sin sin tan cos tan cos tan cos m m m a a a a a a a a a ∴⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅()()()()213211tan cos tan cos tan cos tan cos m m m a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()1tan cos m a a =⋅==，111=，得40m =． 点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．已知()f x 的定义域为()0,∞，满足()0f x >， ()'f x 为其导函数， ()()'1f x f x <-． （Ⅰ）讨论函数()()x F x e f x =的单调性；（Ⅱ）设01x <<，比较函数()xf x 与11f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小． 考点：利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导，利用导数即可得出函数的单调性；（Ⅱ）由题意得即证当01x <<，有()11xf x f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由（Ⅰ）可得()11x xe f x e f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()11x x f x e x -⎛⎫> ⎪⎝⎭，证明121x x e x ->即证12ln 0x x x -+>，构造函数设函数()12ln g x x x x=-+，利用导数可得()()10g x g >=，即有()12111x x f x e f f x x x -⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得出结论． 解答：解：（Ⅰ）因为()()()()()'''x x x F x e f x e f x e f x f x =+=+⎡⎤⎣⎦．由()()'1f x f x <-知()()'0f x f x +<，所以()()()()()'''0x x x F x e f x e f x e f x f x =+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 在()0,+∞上单调递减．（Ⅱ）当01x <<时，有()11xf x f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 证明如下：当01x <<时，1x x <，故由（Ⅰ）可得()11x x e f x e f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()11x x f x e f x -⎛⎫> ⎪⎝⎭， 下面证明121x x e x ->即证12ln 0x x x-+>，设函数()12ln g x x x x=-+， 当01x <<时，有()()222111'102x g x x x -=--+=<， 所以()g x 在()0,1上单调递减． 故()()10g x g >=，所以121ex x x ->，于是()11e x f x ->,211f x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即01x <<,()()1xf x f x x>． 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，比较大小等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于中档题．。