江苏省徐州市201X年中考数学总复习第四单元三角形第23课时锐角三角函数课件(1)

典型例题
【例7】 （6分）（2021•北京22/28）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD ＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB = 4 ，求BF和AD的长．
5 【分析】（1）证AD∥CE，再由AE∥DC，即可得出结论； （2）先由锐角三角函数定义求出BF＝4，再由勾股定理 求出EF＝3，然后由角平分线的性质得EC＝EF＝3，最后 由平行四边形的性质求解即可．
l 用i表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα． 坡度越大，α角越大，坡面 越陡 ．
知识点2：解直角三角形
知识点梳理
（3）方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
知识点2：解直角三角形
典型例题
【例6】（4分）（2021•云南4/23）在△ABC中，∠ABC=90°．若AC =100，
∴ 257 3AH AH ，
tan 40
所以 AH 257 tan 40 ，
tan 40 3
∴ AB 2 257 tan 40 2 257 0.84 168 （海里），
tan 40 3
1.73 0.84
答：AB的长约为168海里．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
∴EM EF 2 FM 2 1.94 ≈1.4．
【考点】解直角三角形的应用—仰角俯角问题 【分析】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出 BD=CD，AD 3CD ，再由AB=AD- BD，即可求解．
知识点2：解直角三角形
典型例题
【解答】解：连接AC、BC，如图所示：

[答案]
3 （3 , ） 2 2
. 图 23-10
[解析] 作点 N 关于 OA 的对称点 N' ,连接 MN'交 OA 于点 P,则点 P 为所求.显然 ON=ON',∠NON'=2∠AOB= 2×30° =60° ,∴△ONN'为等边三角形,MN' ⊥ON,
∵OM=2,则 PM=OM · tan30° = × = ,∴点 P 的坐标 2 3 2
∴AC=tan ������ =2 3,
则 EF=AC=2 3.
������������
∵∠E=45° , ∴FC=EF· sinE= 6, ∴AF=AC-FC=2 3- 6.
图 23-9
高频考向探究
拓考向
[答案] B
1
1. [2017· 聊城] 在 Rt△ABC 中,cosA=2,那么 sinA 的值是( A. 2
;
;
(6)tanA· tanB=1
课前双基巩固
对点演练
题组一 必会题
1. [九下 P106 习题第 1(1)题改编] sin30° 的值等于 ( A ) A.
1 2
B.
3 3
C.
3 2
D. 3
2.[九下 P103 习题第 1②题改编] 如图 23-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=3,AC=4,那么 cosA 的值等于 ( D )
������������ sin∠ ������������������
=2x.
图 23-11
∵∠C=45° ,BF⊥CD,∴∠FBC=45° , ∴∠DBF=∠ABC-∠ABD-∠CBF=30° , ∴DF=BD· sin30° =x,BF=BD· cos30° = 3x, ∴CF=BF= 3x,∴CD= 3x+x. ∴AB+CD=(2 3+2)x=2 3+2.∴x=1. ∴AB= 3+1.

BC AC
与
B A
C C
具有怎样的关系?
思考:
(1)根据已知,你能证明这两个直角三角形 相似吗?
(∵∠A=∠A',∠C=∠C'=90°, ∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C')
(2)由三角形相似的性质可以得到
BC AC
与B C A C
之间的关系吗?
（Rt△ABC∽Rt△A'B'C', ∴
BC B C
tan A随着∠A的大小变化而变化 (3)tan A有单位吗? tan A是一个比值,没有单位
∠B的正切怎么表示?tan A与tan B之间有怎 样的关系?
tanB=
AC b BC a
,
tanA·tanB=1
在Rt△ABC中,∠C=90°.
例题解析
(1)如图(1)所示,∠A=30°,求tan A,tan B的值.
多少千米?(结果北保留两位小数)
350
东
该实际问题中的已知和所求为图中的哪 些角和线段?
求轮船距灯塔的距离,就是在Rt△ABC中,已知 ∠C=90°,∠BAC=55°,AC=5 km,求BC长度的问
题
= .
观察思考
1.如图，在Rt△ABC中和Rt△ ABC中，
C =C =90°. 当 A=A时，
倍,则锐角A的正切值( A )
A.不变
B.缩小为原来的
C.扩大为原来的100倍 D.不能确定
3.已知Rt△ABC中,∠C=90°,
tan A=
4 3
,BC=12,则AC等于
9
.
4.计算：(1)2tan300-3tan600
(2) tan2450+tan600. tan300

4.计算：(1)|1－ |＋
−

解：原式＝ －1＋9－4×
－4sin 45°；


＝ －1＋9－2 ＝8－ .
(2) ×(2cos 45°－sin 60°)＋
解：原式＝ ×(2×
＝2－

+ ＝2.



- )+



.

3.解直角三角形：
在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即3条边和2个锐角，由
线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB．
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
解：(1)如图，连接BD，设BC的垂直平分线交BC于点F.
∴BD＝CD，C△ABD＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC．
∵AB＝CE，∴C△ABD＝AC＋CE＝AE＝1.∴△ABD的周长为1.

(2)若AD＝ BD，求tan
B．b＝c·sin B
C．a＝b·tan B
D．b＝c·tan B
4．(2023南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，
再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距（ B ）

A．

米

B．

米
C．x·sin α米
D．x·cos α米
5．(2023益阳)如图，在平面直角坐标系中，有三点A(0，1)，B(4，

解：原式＝2－1＋2×

＝1＋1
＝2.
解直角三角形(5年2考)
6．(盐城中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝
平分线BD交AC于点D，CD＝ ，求AB的长．

何关系？
定义:A锐角(与2)A余同的弦角正b的的弦平正、方弦余C 弦平、方于和1 等
正函切数、. 都和叫等做于∠？A的锐角三角
5
cosB=__13___5_，
(3)同角的正弦 和余弦,与正切
正弦值 与余弦值 的比等于
tanA = ____1_2_
有何关系？
正切值
锐角三角函数(复习)
二、几个重要关系式
450
300
C
A
300 450┌
B 4cmC
D
随堂练习
３ 如图,根据图中已知 数据,求△ABC其余各边 A
20
的长,各角的度数和 B 550 △ABC的面积.
250
C
A
４ 如图,根据图中已 知数据,求AD.
250 550┌
B 20 C
D
随堂练习
５ 如图,根据图中已
知数据,求△ABC其余各 A 边的长,各角的度数和 a
△ABC的面积.
Bα
β
C
A
６ 如图,根据图中
已知数据,求AD.
α β┌ Ba C D
斗图表情包 biaoqing888/ 斗图表情包
第28章 锐角三角形（复习）
锐角三角函数(复习)
一、基本概念练 习 1
如AB右C图中1.所正∠弦示C=的90sRi°ntA⊿，= bac a=5，2b.余=1弦2， c5osA= c
那么si3n.正A切= __11_2t3a_n_A，=
a b
cosA=__13____ ,
B
思考
(正1)弦互c与余余两弦角有的a 相 等
2 3
,
3
思
考
在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角 边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。

【详解】解：∵ tan − 3 + 2cos − 3 ＝0，
∴ tan − 3 = 0， 2cos − 3
2
= 0，
∴ tan = 3，2cos − 3 = 0，
∴ ∠ = 60°，cos =
3
，∠
2
= 30°，
在△ 中，∠ = 180° − 60° − 30° = 90°，且∠ ≠ ∠，
−2
．
考点一 锐角三角函数
题型09 求特殊角的三角函数值
3
【例9】（2023·山东淄博·统考一模）在实数 2，x0（x≠0），cos30°， 8中，有理数的个数是（
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【变式9-1】（2023·广东潮州·二模）计算|1 − tan60°|的值为（
A．1 − 3
B．0
C． 3 − 1
3
∴tan∠ABE＝tan30°＝ 3 ，
3
故答案为： 3 ．
．
考点一 锐角三角函数
题型05 已知正弦值求边长
3
【例5】（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ 中，∠ = 90°，若 = 100, sin = 5，则的长是
（
）
500
3
A．
503
5
B．
C．60
D．80
【变式5-1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
∠A的邻边
斜边
cos A =
b
c
正切
tanA =
∠A的对边
∠A的邻边
tan A =
a
b
3. 锐角三角函数的关系：

锐角α的正切值随着α的增大而增大.
(3)sinA+cosA_＞___1；sin2A+cos2A_＝___1, sinα=cos(_9_0_º_-_α_)；cosα=sin(_9_0_º_-_α_)；
典例精讲
锐角三角函数
知识点一
【例1】(1)式子2cos30º-tan45º- （1 tan 60 )2 的值是__0__.
5.已知△ABC中,AB=10,AC= 2 7,∠B=30º,则△ABC的面积等于_1_5__3_或__1_0__3_.
6.四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90º,tan∠ABD=
3 4
,AB=20，
BC=10,AD=13,则线段CD=1_7__或___8_9__.
A
A A
E F
B
DC
B
C´
02
解直角三角形
精讲精练
03 解直角三角形应用
考点聚焦
解直角三角形的应用
知识点三
1.视角,2.方向角(方位角),3.坡度(坡比),坡角:i=tanα=h:l.
在测量高度,宽度,距离等问题中,常见的构造的基本图形如下：
③利用反射构造相似. ②同一地点看不同点 ①不同地点看同一点
典例精讲
直角三角形应用
A
K
I
H
N
M
D
A
K
I
NH M
D
A
K
I
H N
M
D
E
O
B 图1 G
FE O
CB 图2 G
FE
O
C B 图3 G
F C
B. 1
c os2
1
C.sin2α+1 D.cos2α+1

13．在△ABC 中，∠C＝90°，如果 sinA＝35，那么 tanA 的值为( A )
353 4 A.4 B.4 C.5 D.3
14．若α 为锐角，且 sin2α ＋cos230°＝1，，则α ＝_3_0__度．
15．计算：sin215°＋cos215°－cos30°tan60°. 解：原式＝－12
∠CAD＝∠BCE， ∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△CBE(AAS)．∴CD＝BE＝1.在 AC＝BC，
Rt△ACD 中，AC＝ AD2＋CD2＝ 5，在等腰直角三角形 ABC 中，AB
＝
AC2＋BC2＝
10，∴sinα＝sin∠ABF＝AABF＝
1＝ 10
10 10
类型之五：利用同角三角函数的关系求锐角三角函数值
解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，∴∠A＋∠B＝ 90°，∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠A， ∴tan∠BCD＝tanA＝ABCC＝34
11．如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠A＝36°，∠ABC的平分线 BD交AC于点D.
(1)求AD的长； (2)求cos∠DBC的值．
AOB 的值等于( A )
5
5
3
1
A. 5 B. 2 C. 2 D.2
3．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，求 cosB 的值． 解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝ AB2－AC2＝ 52－32
＝4，∴cosB＝BACB＝45
类型之二：巧设参数求锐角三角函数值
4．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 sinA＝45，则 tanB 的值为( B )
23.1.2 30°，60°，45°角的三角函数值

初三数学上册 7.6.2 锐角三 角函数的应用课件（2） 苏
科版
➢概念引入
•视线
•
•仰角 •俯角
•水平线
•视线 •1、当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成 的锐角称为仰角.
• 2、当从高处观测低处的目标时,视线与水平线所 成的锐角称为俯角.
••变式如:如图图,飞,飞机机在在距一地定面高9度km上高飞空行上,先飞在行A,先处在测A得处正测
•C
•E •F
•G
•A •B
•D
•1、如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A点处 测得P在它的北偏东60度的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45度方向. 问客轮 不改变方向继续前进有无触礁的危险?
•2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米．为测 量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得 大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家 所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
•A
• C •37°
•D
•48°
•B
得前正方前某方小某岛小C的岛俯C的角俯为角30为°3,0航°行,飞10行k一m段后距,在离B后处，测在
B得处该测小得岛该的小俯岛角的为俯6角0°为.6求0飞°机.求的飞高机度的。飞行距离。
•A
•B •D
•C
•怎样测量停留在空中的气球高度呢？ • 仪器：卷尺，测角仪
➢例题讲解
• 小明先站在地面上A点处观测气球C,测得仰角 为27°,然后他向气球方向前进了50m到达点B,此 时观测气球,测得仰角为40°.若小明的眼睛离地面 1.6m, 如何计算气球的高度呢？

易得四边形BEFG是矩形,∴EF=BG,
∴AF=AE+EF=AE+BG=576+469=1 045(m).
答:水平距离AF的长约为1 045 m.
（第四章 三角形）
考点2 解直角三角形的实际应用(10年9考)
2-1 [2024黔东南州模拟]随着传统能源的日益紧缺,太阳能的应用将会越来
越广泛,如图(1)是一款太阳能路灯实物图,图(2)是某校兴趣小组测量太
点拨
tan D=tan A
5
2
.
（第四章 三角形）
考点2 解直角三角形的实际应用(10年9考)
2 [2023贵州22题10分]贵州旅游资源丰富.某景区为给游客提供更好
的游览体验,拟在如图(1)景区内修建观光索道.设计示意图如图(2)
所示,以山脚A为起点,沿途修建AB,CD两段长度相等的观光索道,最

方向角:如图(3),点A,B,C关于点0的方向角分别是北偏东 30°、
的实际
⑰ 南偏东60°
、北偏西45'(也称西北方向)
解直角
应用
【注意】通常需
要作辅助线构造
直角三角形解题
（第四章 三角形）
2 [人教九下P19第9题变式]如图,水库某段横截面迎水坡AB的坡度
i=1∶2,若坡高BC=20 m,则坡面AB的长为 20 5


∠A的正切:tan A=③



（第四章 三角形）
【规律记忆】30°,45°,60°角的正弦值的分母都是2,
分子依次为1, 2, 3;30°,45°,60°角的余弦值分别是
60°,45°,30°角的正弦值
特殊角的三角函数值
α
30°