2018年中考数学《锐角三角函数》专题练习有答案

2018中考数学专题练习《锐角三角函数》(时间:100分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.下列各数是有理数的是( )A. B. 4πC. sin 45︒D.1cos60︒ 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( )A.斜坡AB 的坡度是10ºB.斜坡AB 的坡度是tan10︒C. 1.2tan10AC =︒米D. 1.2cos10AB =︒米3.在ABC ∆中，A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，cos 2B =，则ABC ∆三个角的大小关系是( )A. C A B ∠>∠>∠B. B C A ∠>∠>∠C. A B C ∠>∠>∠D. C B A ∠>∠>∠4.如图2，在R t A B C ∆中，90A ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( )A. 32B. 23C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点E ，30A ∠=︒，则s sin E 的值为( )A. 12B. 2C.D.6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30º，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60º，若学生的身高忽略不计，1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( )A.47 mB.51 mC.53 mD.54 m7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33º，测得圆心O 的仰角为21º，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65︒≈，tan 210.38︒≈)( )图 5A.169米B.204米C.240米D.407米8.如图6，在ABC ∆中，已知90ABC ∠=︒，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( )A.不变B.增大C.减小D.先变大，再变小9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30º方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75º的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60º的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( )A. B.C. 50海里D. 25海里10.某数学兴趣小组的同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图8，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36º，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)1:2.4i =，那么大树CD 的高度约为(参考数据:sin360.59︒≈，cos360.81︒≈，tan360.73︒≈)( )A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11.若θ为三角形的一个锐角，且2sin 0θ=，则tan θ= .12.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4tan 3A =，8BC =，则ABC ∆的面积为 . 13.在平面直角坐标系中，已知点P 在第一象限内，点P 与原点O 的距离2OP =，点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为60º，则点P 的坐标是 .14.如图9，某景区从游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC .若56B ∠=︒，45C ∠=︒，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长度约为 米.(参考数据:sin560.8︒≈，tan56 1.5︒≈ )15.如图10，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱的一个角(O ∠)为60º，A ，B ，C 都在格点上，则tan ABC ∠的值是 .16.如图11，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30º方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55º方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为 海里.(结果取整数，参考数据:sin550.8︒≈，cos550.6︒≈，tan55 1.4︒≈)17.如图12，以边长为20 cm 的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4 cm 长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形，把它们沿图中的虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为 cm 3.18.图13是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD 的面积是小正方形EFGH 面积的13倍，那么tan ADE ∠的值为 .三、解答题(本大题共6小题，共66分)19. ( 8分)计算2145cos 302sin 602tan 60︒+︒-+︒︒.20.(10分)在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，2a b -=，试解该直角三角形.21. (10分)如图14，物理实验室有一个单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C 处测得E ，F 两点的俯角分别为60ACE ∠=︒，45BCF ∠=︒，这时点F 相对于点E 升高了3cm ，求该摆绳CD 的长度.(参考数据 1.7≈ 1.4≈)22. (12分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B.C.1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B.C.D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B在同一条直线上）（）A. B.C.D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

锐角三角函数练习卷1.tan 60︒的值等于（ ）（A ）1（B 2（C 3（D ）22.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC ∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.3.设α、β为锐角，若sin α=23，则α=________；若tan β=33，则β=_________. 4.已知α是锐角，且sin α=54，则cos(90°－α)=( ) A.54 B.43 C.53 D.51 5.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是( ) A.43 B.34 C.53 D.546.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径23=r ，AC=2，则cosB 的值是( )A.23 B.35 C.25 D.327．如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m8.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=31，则BC=() BA.45B.5C.51 D.451 9.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos ∠BCD=( ) A.53 B.43 C.34 D.5410．计算：(02cos 45-38+2=︒ ．11.计算：()102 3.142sin 6012133.3π-︒⎛⎫+--+- ⎪⎝⎭12.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=21，∠CAD=30°. (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长.13．计算：2sin60º＋12-－02008–|1–3|14．计算：101(2013)832452-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭15.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？O16.如图，在△中，∠=90°，sin=，=15，求△的周长和tan的值．参考答案 1 .C 2 .21，3 3 .60°,30° 4 . A 5. C 6. B 7. B 8 . B 9 .D 10. 521-+ 11 .3212答案思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA ，证∠OAD=90°.由sinB=21可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO 是等边三角形，由此∠OAD=90°.AD 是Rt △OAD 的边，有三角函数可以求出其长度.(1)证明：如图，连接OA. ∵sinB=21，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°. ∵OA=OC ，∴△ACO 是等边三角形. ∴∠OAC=60°.∴∠OAD=90°.∴AD 是⊙O 的切线. (2)解：∵OD ⊥AB ∴ OC 垂直平分AB. ∴ AC=BC=5.∴OA=5.在Rt △OAD 中，由正切定义，有tan ∠AOD=OAAD. ∴ AD=35. 13.2114. 2 15.（1）∵OE ⊥CD 于点E ，CD =24（m ），∴ED ==12（m）．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE = =，∴OD =13（m）．（2）OE== （m）∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．16.在中, ∠=90°, =15==, ∴∴周长为36,BC124 tan A.AC93===。

2018-20佃学年初三数学专题复习 锐角三角函数一、单选题1.在 命厶一:中，•〔二•，一上二「， 二二 那么 i ：：［i 〕、J 、的值是（）D.2.如图，已知在 Rt A ABC 中，/ C = 90° BC = 1, AC=2,贝U tanA 的值为A. A. 2B.3.sin30的值等于（A.24.cos30 =()B.D.5D. 1C.2B.2/ C=90° AB=3, BC=2,则 cosB 的值是(C.a 的位置如图所示，则 tan a 的值是（A.B.C.7.在 Rt A ABC 中，/ C=90° BC=4, sinA=茅，则 AB 的长为(s A.B. 6C. 12 B8.如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为下i=3：2,顶宽是7米，路基高是6米，则路基的底宽是（）14•如图，钓鱼竿 AC 长6m ,露在水面上的鱼线 BC 长3 m ,某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'为3 m ，则鱼竿转过的角度是（）A. 7米B. 1米 9.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则C. 1米 sin a 的值是（D. 1米 B.C.D.10.在三角形ABC 中，/ C 为直角，sinA=,则tanB 的值为（B.C.11.游客上歌乐山山有两种方式：一种是如图，先从 是沿着盘山公路开车上山到C,已知在A 处观铡到A 沿登山步道走到B ,再沿索道乘座缆车到C ,另一种C ,得仰角/ CAD=3°，且A 、B 的水平距离 AE=430米,A 、B 的竖直距离 BE=210米，索道 BC 的坡度i=1: 米；（参考数据：tan310.6cos3l °~）.91.5, CD 丄AD 于D , BF 丄CD 于F ,则山篙 CD 为（） C. 686D. 69312.在 Rt A ABC 中，/ C=90° 如果/ A=a, BC=a,那么AC 等于（）A. a • tan aB. a • cot aC. 13.化简等于（ A. sin28 — °cos28 °B. 0C. cos28— sin28D.以上都不对A. 60 °B. 45 °C.15 °D. 9015.如图在 Rt A ABC 中，/ C=90° AB=15,sinA=g ,贝U BC 等于（）16•如图1,是工人将货物搬运上货车常用的方法，把一块木板斜靠在货车车厢的尾部，形成一个斜坡，货 物通过斜坡进行搬运•根据经验，木板与地面的夹角为20° （即图2中/ ACB=20 ）时最为合适，已知货车车厢底部到地面的距离 AB=1.5m ，木板超出车厢部分 AD=0.5m ，则木板CD 的长度为 ____________ •（参考数据：sin20 °~ 0.34,2Gbos20°~ 0.9397精确到 0.1m ）.17. 已知 cosB=』（,则/ B=18. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10m 的A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为60 °测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为 __________ m （结果保留根号）.■rf|FJ 1 f J 1 f *c fA. 45B. 5二、填空题C.D.A f：侧....lw ___ _ __ CD <io?«—M19. 一山坡的坡比为3: 4，一人沿山坡向上走了_ 20米，那么这人垂直高度上升了米.20•如图，如果在坡度i=1： 2.4的斜坡上两棵树间的水平距离AC 为3米，那么两树间的坡面距离 AB 是21•如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口 C 测得教学楼顶中D 的仰角为18°教学楼底部B 的俯角为20°量得实验楼与教学楼之间的距离 AB=30m.(结果精确到 0.1m 。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

锐角三角函数与特殊角一.选择题1.（2018·云南省·4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A的正切值为（）A．3 B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为==3，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．2. （2018•陕西•3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为A. B. 2 C. D. 3【答案】C【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得AD=4，在Rt△ABD 【解析】中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，从而可求得DE长，再根据AE=AD-DE即可【详解】∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=8，∴AD=4，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD•tan30°==，∴AE=AD-DE=，故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.二.填空题1．（2018·辽宁省阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为10m（结果保留根号）．【解答】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为30°，∴∠B=30°．∵BC=30m，∴AC=m．故答案为：10．2. （2018•莱芜•4分）计算：（π﹣3.14）0+2cos60°= 2 ．【分析】原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=1+2×=1+1=2，故答案为：2【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．三.解答题1. （2018·湖北荆州·10分）问题：已知α、β均为锐角，tanα=，tanβ=，求α+β的度数．探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为1），请借助这个网格图求出α+β的度数；延伸：（2）设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，求的弧长．【解答】解：（1）连结AM、MH，则∠MHP=∠α．∵AD=MC，∠D=∠C，MD=HC，∴△ADM≌△MCH．∴AM=MH，∠DAM=∠HMC．∵∠AMD+∠DAM=90°，∴∠AMD+∠HMC=90°，∴∠AMH=90°，∴∠MHA=45°，即α+β=45°．（2）由勾股定理可知MH==．∵∠MHR=45°，∴==．2．（2018·辽宁省阜新市）（1）计算：（）﹣2+﹣2co s45°；【解答】解：（1）原式=4+3﹣2×=4+3﹣=4+23. （2018•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．4.（2018·江苏常州·6分）计算：|﹣1|﹣﹣（1﹣）0+4sin30°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=1﹣2﹣1+4×=1﹣2﹣1+2=0．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．5.（2018·江苏镇江·4分）（1）计算：2﹣1+（2018﹣π）0﹣sin30°【解答】解：（1）原式=+1﹣=1；。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B.C.1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B.C.D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B.C.D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B.C.D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

2018年中考数学专题复习卷: 锐角三角函数一、选择题1.计算=（）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】：tan 45 ° =1故答案为:B。

【分析】根据特殊锐角三角函数值即可得出答案。

2.下列运算结果正确的是A. 3a3·2a2=6a6B. (-2a)2= -4a2C. tan45°=D. cos30°=【答案】D【解析】A、原式=6a5，故不符合题意；B、原式=4a2，故不符合题意；C、原式=1，故不符合题意；D、原式= ，故符合题意．故答案为：D【分析】根据单项式乘以单项式，系数的积作为积的系数，对于相同的字母，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；根据特殊锐角三角函数值即可一一得出答案，再进行判断即可。

3.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,BD=8,tan∠ABD= ,则线段AB的长为( ).A. B. 2 C. 5 D. 10【答案】C【解析】：∵菱形ABCD,BD=8∴AC⊥BD，在Rt△ABO中，∴AO=3∴故答案为：C【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得出AC⊥BD，求出BO的长，再根据锐角三角函数的定义，求出AO的长，然后根据勾股定理就可求出结果。

4.数学活动课，老师和同学一起去测量校内某处的大树的高度，如图，老师测得大树前斜坡的坡度i=1:4，一学生站在离斜坡顶端的水平距离DF为8m处的D点，测得大树顶端A的仰角为，已知，BE=1.6m，此学生身高CD=1.6m，则大树高度AB为（）m.A.7.4B.7.2C.7D.6.8【答案】D【解析】如图所示:过点C作延长线于点G,交EF于点N,根据题意可得: ,计算得出: ,,,,,设 ,则 ,故 ,即 ,计算得出: ,故 ,则,故答案为：D.【分析】将大树高度AB放在直角三角形中，解直角三角形即可求解。

即：过点C作 C G ⊥A B 延长线于点G,交EF于点N,因为斜坡 D E 的坡度i=1:4，所以,解得EF=2，而sinα=，设AG=3x,则AC=5x ,所以BC=4x ,即8+1.6=4x ,解得x = 2.4 ，所以AG=2.4×3=7.2m ,则AB=AG−BG=7.2−0.4=6.8m。

专题5.3 锐角三角形一、单选题1．如图，在中，，，，则等于（）A. B. C. D.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】A点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．2．的值等于（）A. B. C. 1 D.【来源】天津市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析：根据特殊角的三角函数值直接求解即可．详解：cos30°=．故选：B．点睛：本题考查特殊角的三角函数值的记忆情况．特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要熟练掌握．3．一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（）A. B.C. D.【来源】山东省淄博市2018年中考数学试题【答案】A点睛：本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．4．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析：在两个直角三角形中，分别求出AB、AD即可解决问题；详解：在Rt△ABC中，AB=，在Rt△ACD中，AD=，∴AB：AD=：=，故选B．点睛：本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则（）A. B. C. D.【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题【答案】D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出直角三角形的三边长是解题的关键.6．如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷（A卷）【答案】B【解析】【分析】延长AB交地面于点H，作CM⊥DE，易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58°=，求得AH长即可得.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，从图中提取相关信息是解题的关键.二、填空题7．如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行____________小时即可到达 (结果保留根号)【来源】山东省潍坊市2018年中考数学试题【答案】.详解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里），所以 BQ=PQ-90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里），所以 PQ-90=PQ，所以 PQ=45（3+）（海里）所以 MN=PQ=45（3+）（海里）在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以 BM=2MN=90（3+）（海里）所以（小时）故答案是：．点睛：本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．8．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinB=______．【来源】山东省滨州市2018年中考数学试题【答案】点睛：此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．9．如图。

锐角三角函数与特殊角一.选择题1.2018•山东烟台市•3分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a，的显示结果记为b．则a，b的大小关系为（）A．a＜b B．a＞b C．a=b D．不能比较【分析】由计算器的使用得出A.b的值即可．【解答】解：由计算器知a=（sin30°）﹣4=16.b==12，∴a＞b，故选：B．【点评】本题主要考查计算器﹣基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用．. 2（2018•金华、丽水•3分）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A.B.C.D.【解析】【解答】解：设AC=x,在Rt△ABC中，AB= ．在Rt△ACD中，AD= ，则，故答案为：B。

【分析】求AB与AD的比，就不必就求AB和AD的具体的长度，不妨设AB=x，用含x的代数式分别表示出AB，AD的长，再求比。

3. （2018·黑龙江大庆·3分）2cos60°=（）A．1 B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．【解答】解：2cos60°=2×=1．二.填空题1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：18【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键．2.（2018•江苏宿迁•3分）如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为（1，0），将三角板ABC 沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+π【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.【详解】在Rt△AOB中，∵A（1，0），∴OA=1，又∵∠OAB＝60°，∴cos60°=，∴AB=2，OB=，∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，∴点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积：S==π，故答案为：π.【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.3. （2018•广西北海•3分）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是 45°.已知甲楼的高 AB 是 120m ，则乙楼的高 CD 是 m （结果保留根号）。

2018年数学全国中考真题锐角三角函数（试题一）解析版一、选择题1. （2018浙江金华丽水，8，3分）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ． tan tan αβB ． sin sin βαC ． sin sin αβD ． cos cos βα【答案】B ．【解析】由锐角三角函数的定义，得AB = sin AC α，AB =sin AC α，∴AB 与AD 的长度之比为sin sin βα，故选B ． 【知识点】锐角三角函数2. （2018浙江衢州，第9题，3分）如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面直径，已知BC=6cm ，圆锥的面积为15πcm 2，则sin ∠ABC 的值为（ ） A ．34 B ．35 C ．45 D ．53第9题图 【答案】C【解析】本题考查了圆锥的计算、锐角三角函数的定义．因为已知圆锥侧面积，从而可计算出母线长，利用勾股定理得到高线长，结合正弦函数的概念即可得到。

∵圆锥侧面积为15π，则母线长L=2×15π÷6π=5，利用勾股定理可得OA=4，故sina ∠ABC=45故选C 。

【知识点】圆锥的计算、锐角三角函数的定义第8题图βαFE D CBA3. （2018江苏无锡，9，3分）如图，已知点E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上，若AB=3，BC=4，则tan ∠AFE 的值（ ） A.等于37 B.C.等于34D. 随点E 位置的变化而变化【答案】A【思路分析】利用平行线的性质将∠AFE 转化为∠GAF ，然后利用相似三角形的对应边成比例确定GF 、AG 的关系，进而得到tan ∠AFE 的值.【解题过程】∵E 是矩形ABCD 的对角线AC 上的一动点，AB=3，BC=4，∴EH AH =tan ∠EAH=tan ∠ACB=AB BC =34, ∴4=3AH EH .∵正方形EFGH 的顶点G 、H 都在边AD 上， ∴FG=EH=HG ，EF ∥HG ， ∴∠AFE=∠GAF ， ∴tan ∠AFE=tan ∠GAF=FG AG =EH AH EH +=43EH EH EH +=73EHEH =37. 【知识点】矩形的性质、正方形的性质、平行线的性质、锐角三角函数值的定义4. （2018年山东省枣庄市，11，3分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，BD AE ⊥，垂足为F ，则BDE ∠tan 的值为（ ）A ．42 B ．41 C ．31D ．32 【答案】A【思路分析】设EF=a ，由平行和点E 是边BC 的中点得到AF 与EF 的关系以及BF 、DF 的关系，利用△BEF 与△ABF 相似，得到BF 、EF 、AF 的关系，表示出BF ，从而表示出DF ，求得BDE ∠tan 的值． 【解题过程】设EF=a ，在矩形ABCD 中，A D ∥BC ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF BF BEAF DF AD==，又∵点E是边BC 的中点，∴12EF BF BE AF DF AD ===，∴AF=2EF=2a ，又∵BD AE ⊥，∴△BEF ∽△ABF ，∴EF BFBF AF=，∴2a BFBF a =，∴，∴DF=，BDE ∠tan=4EF DF ==，故选A. 【知识点】矩形；相似三角形；锐角三角函数5. （2018山东省淄博市，6，4分）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米，在科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（A（B（C（D 【解析】利用计算器的按键要求选取合理选项. 【知识点】利用计算器计算6.（2018天津市，2，3）的值等于（ ） A ．B C ．1 D 【答案】B【解析】分析：本题查了特殊角的三角函数值．熟记锐角三角函数值，即可得结果. 解： 故选B.【知识点】特殊角的三角函数值1. （2018湖北黄冈，2题，3分）下列运算结果正确的是 A.326326a a a ⋅= B.()2224a a -=- C.2tan 452=D.3cos302= 【答案】D【解析】A.原式=6a 5，错误；B.原式=4a 2,错误;C.原式=1,错误;D.正确.故选D 【知识点】同底数幂的乘法，积的乘方，特殊三角函数值（第6题图）cos30︒2cos30︒2.（2018湖南益阳，8，4分）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）A．300sinαB．300cosαC．300tanαD．300tanα【答案】A【思路分析】上升的高度为BC，为∠α的对边，AB是斜边，故用正弦求解．【解析】解：∵sinBCABα=，∴BC＝AB sinα＝300sinα，故选择A．【知识点】锐角三角形函数，解直角三角形的应用3.（2018湖北宜昌，14，3分）如图，要测量小河两岸相对的两点P A,的距离，可以在小河边取PA的垂线PB 上的一点C，测得100PC=米，35PCA∠=，则小河宽PA等于( )(第14题图)A.100sin35米B.100sin55米C.100tan35米D.100tan55米【答案】C【解析】∵100PC=米，35PCA∠=，∴在Rt△P A C中，PA=100tan35，故选择C.【知识点】正弦，正切.4.（2018山东省日照市，10，3分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠BED的正切值等于（）A.552B.552C.2D.21【答案】D300α【解析】如图，在RtABC 中，AB =2，BC =1，∴tan ∠BAC =AB BC =21.∵∠BED =∠BAD ，∴tan ∠BED =21.故选D . 【知识点】正方形网格 三角函数5. （2018广东广州，12，3分）如图，旗杆高AB ＝8m ，某一时刻，旗杆影子长BC ＝16m ，则tan C ＝_______．【答案】12【解析】根据锐角三角函数的定义可知，在直角三角形中，锐角C 的对边与邻边的比叫做∠C 的正切，所以tan C ＝AB BC ＝816＝12． 【知识点】锐角三角函数的定义6.（2018山东德州，16，4分）如图，在44⨯的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC ∆的顶点都在格点上,则BAC ∠的正弦值是 ．【答案】55【解析】因为25AC =，5BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以90ACB ∠=︒，所以5sin 5BC BAC AB ∠==. 【知识点】网格，直角三角形的边角关系7. （2018湖北荆州，T10，F3）如图，平面直角坐标系中，P 经过三点800006A O B （，），（，），（，），点D 是P 上的一动点当点D 到弦OB 的距离最大时，tan BOD ∠的值是（ ）A ．2B ．3 C.4 D ．5 【答案】B【思路分析】ABC第16题图【解析】如图所示，当点D 到弦OB 的距离最大时，DE ⊥OB.连接AB ，由题意可知AB 为⊙P 的直径， ∵A （8，0），∴OA=8，B （0，6）∴OB=6，∴OE=BE=OB 21=3，在Rt ∆AOB 中，AB=22OB OA +=10，∴BP=2121=AB ×10=5，在在Rt ∆PEB 中，PE=22BE BP -=4，∴DE=EP+DP=4+5=9， ∴tan ∠DOB=339==OE DE ，故选B 【知识点】圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数、垂径定理.8. （2018湖北省孝感市，4，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．43【答案】A【解析】根据勾股定理可得22ABAC -22108-=6. 根据三角函数的定义可得sinA=BC AB =610=35.故选A.【知识点】勾股定理. 锐角三角函数的定义.9.（2018四川凉山州，10，4分）无人机在A 处测得正前方河流两岸B 、C 的俯角分别为70 =40αβ=、，此时无人机的高度是h ，则河流的宽度BC 为（ ）A. ()5020h -tan tan B. ()5020h +tan tanC.117040h-⎛⎫⎪⎝⎭tan tanD.117040h+⎛⎫⎪⎝⎭tan tan【答案】A【解析】设过A作AD⊥BC的直线交CB的延长线于点D，则Rt△ACD中，∠CAD=50°，AD=h∴CD= AD tan50° =htan50°．又∵Rt△ABD中，∠BAD=20°，可得BD= AD tan20° =h tan20°∴CB=CD-BD=h tan50°-h tan20°=h(tan50°-htan20°) .故答案为A.(第10题答图)【知识点】余角定义，锐角三角函数——余弦的应用.10.（2018陕西，6，3分）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A 423B．22C823D．32【答案】C【解析】∵BE平分∠ABD，∠ABC=60°，∴∠ABE=∠EBD=30°，∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°．∴DE =12BE ． ∵∠BAD =90°－60°=30°． ∴∠BAD =∠ABE =30°． ∴AE =BE =2DE ∴AE =23AD ． 在Rt △ACD 中， sinC =ADAC,AD =ACsinC =82⨯=．∴AE =23⨯=C ． 【知识点】解直角三角形二、填空题1. （2018山东滨州，15，5分）在△ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin B ＝__________．【解析】设BC ＝x ,则AC ＝2x ,根据勾股定理可知AB ＝x ,故sin B ＝ACAB ．【知识点】勾股定理和三角函数2. （2018年山东省枣庄市，14，4分）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为031，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度为 米.（结果保留两个有效数字） 【参考数据：601.031sin ,857.031cos ,515.031sin 0===】【答案】6.2【解析】运用锐角三角函数：sin BC BAC AB =∠，即sin 3112BC=︒，BC=12×0.515=6.18≈6.2米，故填6.2. 【知识点】解直角三角形3.（2018年山东省枣庄市，16，4分）如图，在正方形ABCD中，32AD，把边BC绕点B逆时针旋转030得到线段BP ，连接AP并延长交CD于点E ，连接PC，则三角形PCE的面积为.【答案】9－53．【思路分析】如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．先证明△ABP是等边三角形，再应用特殊角的三角函数值求出PF、CE的长，即可解得△PCE的面积．【解题过程】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，过点P作PG⊥BC于点G．则BP=32，在Rt△BGP中，∵∠PBC＝30°，∴PG＝BP·sin∠PBG＝3，BG＝BP·cos∠PBG＝3，∴CG＝BC－CG＝32－3，则PF＝32－3，∵∠PBC＝30°，∴∠ABP＝60°，又∵AB＝BP，∴△ABP是等边三角形，∴∠BAP＝60°，∴∠P AD＝30°，∴DE＝AD·tan∠P AD＝2，∴CE＝DC－DE＝32－2，∴S△PCE＝12P F·CE＝12((32－3)((32－2)＝9－53．【知识点】正方形的性质；等边三角形的判定；特殊角三角函数值4.（2018浙江湖州，13，4）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC＝31，AC＝6，则BD的长是．【答案】2【解析】∵菱形的对角线互相垂直，∴AB⊥CD．∵tan∠BAC＝31，∴AOBO＝31．∵AC＝6，∴AO＝3．∴BO＝1．∴BD＝2BO＝2．故填2.第13题图ABCDO【知识点】菱形的对角线，正切5.（2018宁波市，18题，4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点连结MD，ME,若∠EMD=90°，则cosB的值为．【答案】√3−12【解析】解：延长EM，交DA的延长线与点G，连接ED∵M是AB中点，∴AM=BM又∵菱形ABCD∴GD∥BC∴∠GAB=∠ABC∴易证△ACD≌△BCE(SAS)∴GM=EM；AG=BE又∵MD⊥GE；GM=EM∴DG=DE设BE=x∴DE=x+2在RT△ABE中，AE2=AB2-BE2在Rt△ADE中，AE2=DE2-AE2∴AB2-BE2=DE2-AE2，即22-x2=(x+2)2-22解得：x=√3−1在Rt△ABE中cosB=BEAB =√3−12【知识点】勾股定理、锐角时间函数、等腰三角形1.（2018甘肃天水，T12，F4）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=1213，则tanB的值为____.【答案】512.【解析】在Rt△ABC中，由sinA=1213，令a=12，c=13，根据勾股定理，得b=5.∴tanB=ba =512.【知识点】锐角三角函数2. （2018广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD 的取值范围是_______第17题图【答案】2<AD<8【解析】由题，∠A=60°，AB=4，已确定，AD 的长度可以变化，如下图（1），是AD 最短的情况，此时AD=ABcos60°=2，如下图（2），是AD 最长的情况，此时AD=AB/cos60°=8，而这两种情况四边形ABCD 就变成了三角形，故都不能达到，故AD 的取值范围是2<AD<8第17题图（1） 第17题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值3. （2018山东省泰安市，15，3）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，10BC =，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在'A 处，若'EA 的延长线恰好过点C ，则sin ABE ∠的值为 ．【解析】根据折叠的性质得到Rt △AEB ≌Rt △A’EB ，即可得到结论AE A E '=，AB A B '=，90A BA E '∠=∠=︒，在Rt △CBA’中利用勾股定理求得：8A C '=，在Rt △CDE 中，设10AE x DE x ==-，则，根据勾股定理得到关于x 的方程222(8)(10)6x x +=-+，解方程求出x ．在Rt △ABE 中，利用勾股定理求出BE 的长，从而求出sin ABE ∠的值【解答过程】解：∵矩形ABCD 沿沿BE 折叠，使点A 落在'A 处，∴Rt △AEB ≌Rt △A’EB∴AE A E '=，6AB A B '==，90A BA E '∠=∠=︒在Rt △CBA’中，由勾股定理求得：8A C '==∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝10，CD ＝AB ＝6，在Rt △CDE 中，设AE ＝x ，则EC ＝8+x ，ED ＝10﹣x ，在Rt △CDE 中，CE 2＝CD 2+DE 2，即222(8)(10)6x x +=-+，解得x ＝2，在Rt △AEB 中，==∴sin10AE ABE BE ∠=== 【知识点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；直角三角形的性质；三角函数.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. （2018江苏无锡，17，3分） 已知△ABC 中，AB=10，AC=，∠B=30°，则△ABC 的面积等于 .【答案】或【思路分析】先画出△ABC 的草图，确定对应元素的位置和大小，再利用三角形的面积公式求解.【解题过程】分两种情况求解：（1）如图1所示，作AD ⊥BC 于点D ，∵AB=10，∠B=30°，∴AD=12AB=12×10=5，BD ===又∵AC=，∴CD ===∴BC=BD+CD==，∴△ABC的面积为11522BC AD⋅=⨯=（2）如图1所示，作AD⊥BC于点D，∵AB=10，∠B=30°，∴AD=12AB=12×10=5，BD===又∵AC=，∴CD===∴BC=BD-CD==∴△ABC的面积为11522BC AD⋅=⨯=综上所述，△ABC的面积等于【知识点】含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、解直角三角形、三角形的面积公式、分类讨论思想2.（2018四川省成都市，24，4）如图，在菱形ABCD的中，tan A＝43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段AB的对应线段EF经过顶点D．当EF⊥AD时，BNCN的值为．【答案】27【思路分析】延长NF交DC于H．根据翻折得∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，利用菱形中邻角互补，可得到∠A＝∠DFH，且∠DHF＝90°，在Rt△EDM中，根据tan A＝tan E＝43，得到△EDM三边的关系，求出菱形边长，在解Rt△DHF和Rt△NHC，求出CN，BN，即可求出BNCN的值．【解题过程】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∵∠DFN＋∠DFH＝180°，又∵MNCFDBEA AEBDFCNHM∠B ＝∠DFN ，∴∠A ＝∠DFH ，∵AB ∥CD ，∴∠A ＋∠ADC ＝180°，又∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDC ＝90°，∴∠DFH ＋∠FDC ＝90°，∴∠DHF ＝90°，∵∠A ＝∠E ，∴tan A ＝tan E ＝DM DE ＝43，设DM ＝4x ，DE ＝3x ，∴EM5x ，∴AM ＝5x ，∴AD ＝AM ＋DM ＝9x ，∵EF ＝AB ＝AD ＝9x ，∴DF ＝EF －DE ＝6x ，在Rt △DFH 中∠A ＝∠DFH ，∴tan A ＝tan ∠DFH ＝DH FH ＝43，∴DH ＝45DF ＝245x ，∴CH ＝DC －DH ＝215x ，在Rt △CHN 中∠A ＝∠C ，∴tan A ＝tan C ＝HN HC ＝43，∴CN ＝53CH ＝7x ，∴BN ＝BC －CN ＝2x ，∴BN CN ＝27． 【知识点】菱形性质；锐角三角函数；翻折变换1. （2018四川自贡，22，8分）如图，在⊿ABC 中，3BC 12,tan A ,B 304==∠=；求AC 和AB 的长.【思路分析】通过作高构造直角三角形，在Rt△BCD 和Rt△ACD 中利用特殊角的三角比和勾股定理即可求解.【解题过程】如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，在Rt△BCD 中， 30=∠B ，12=BC ， ∴2130sin 12sin ====CD BC CD B ，∴6=CD . 2330cos 12cos ==== BD BC BD B ，∴36=BD . 在Rt△ACD 中，43tan =A ,6=CD ， ∴436tan ===AD AD CD A ，∴8=AD . 10682222=+=+=CD AD AC ，36+8=BD +AD =AB综上所述，AC 长为10，AB 长为36+8.【知识点】解直角三角形A。

1.（2016·怀化中考）在△Rt ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AC＝6cm，则BC的长度为A.sin B＝B.sin B＝C.sin B＝D.sin B＝1251313A.米2B.米2C.⎝4＋tanθ⎭米2D.（4＋4tanθ）米26.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A＝，BE＝2，则tan∠DBE的值是（）225专项训练四锐角三角函数一、选择题45（）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm2.（2016·乐山中考）如图，在△Rt ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）AD AC AD CDAB BC AC AC第2题图第4题图△3.在ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值为（）512512A. B. C. D.△4.数学活动课上，小敏、小颖分别画了ABC和△DEF，尺寸如图.如果两个三角形的面积分别记作△SABC，△SDEF，那么它们的大小关系是（）A.△SABC＞△SDEFB.△SABC＜△SDEFC.△SABC＝△SDEFD.不能确定5.（2016·金华中考）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知C A＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）44sinθcosθ⎛4⎫第5题图第6题图35155A. B.2 C. D.7.（2016·长沙中考）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（）A.1603mB.1203mC.300mD.1602m2455在△9.ABC中，∠A，∠B都是锐角，且⎝cos A－2⎭＋|1－tan B|＝0，则∠C＝于点E，BC＝6，sin A＝，则DE＝.15.（2016·盐城中考）已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足第7题图第8题图8.（2016·攀枝花中考）如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值为（）1343A. B. C. D.二、填空题⎛1⎫2.10.（2016·岳阳中考）如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米.第10题图第11题图第12题图11.（2016·娄底新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C ＝.12.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值为.13.如图，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC35第13题图第14题图14.（2016·西宁中考）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC.若∠B＝56°，∠C＝45°，BC＝100米，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为米（参考数据：sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）.23为点D，且满足BD∶CD＝2∶△1，则ABC的面积为.三、解答题（1）2（2cos45°－sin60°）＋2417.如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝ 2.求：16.计算：4；（2）（－2）0－3tan30°＋|3－2|.1232（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值.18.（2016·衡阳中考）在某次海上军事演习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O，B，C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）.（△1）若三艘军舰要对OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？（3）若敌舰A沿最短距离的路线以202海里△/时的速度靠近OBC海域，我军军舰B 沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？＝5.连接 CD ，如图所示．∵∠OBD ＝∠OCD ，∴sin ∠OBD ＝sin ∠OCD ＝ ＝ .故选 D.9．75° 10.100 11. 12. 13.14.60×6× ＝ 8 ；如图②，△ ABC 为钝角三角形时，∵ BC ＝ 6 ， BD ∶CD ＝ 2∶1 ，∴ BD ＝8 ，∴CE ＝AC ·cos C ＝ ＝1，∴AE ＝CE ＝1.在 △Rt ABE 中，∵tan B ＝ ，∴BE ＝ ＝3×1＝3，∴BC ＝BE (2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝ BC ＝2，∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE＝1，∴∠DAE ＝∠ ADC ＝45°，∴sin ∠ADC ＝ 2.OB 2＋BC 2＝ 802＋602＝100( 海里)．∵ OC ＝ ×100＝50(海里)，∴雷达的有效探测半径(2)作 AM ⊥BC 于 M .∵∠ACB ＝30°，∠CBA ＝60°，∴∠CAB ＝90°，∴AB ＝ BC ＝30 海里．在 △Rt ABM 中，∵∠AMB ＝90°，AB ＝30 海里，∠BAM ＝30°，∴BM ＝ AB ＝15 海里，参考答案与解析1．C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.A8．D 解析：∵D (0，3)，C (4，0)，∴OD ＝3，OC ＝4.∵∠COD ＝90°，∴CD ＝ 32＋42OD 3CD 52 5 1 155 2 415． 或 24 解析：可分两种情况：如图①，△ABC 为锐角三角形时，∵BC ＝6，BD ∶CD2 2 8 1 1＝2∶1，∴BD ＝4.∵AD ⊥BC ，tan B ＝3，∴AD ＝BD ·tan B ＝4×3＝3，∴△S ABC ＝2BC · AD ＝2832 2 1 112.∵ AD ⊥BC ，tan B ＝3，∴AD ＝BD ·tan B ＝12×3＝8，∴△S ABC ＝2BC · AD ＝2×6×8＝24.综上所述，△ABC 的面积为 8 或 24.16．解：(1)原式＝2； (2)原式＝3－2 3.17．解：(1)过点 A 作 AE ⊥BC 于点 E .在 △Rt ACE 中，∵cos C ＝222× 2 1 AE 23 tan B＋CE ＝4；12218．解：(1)在 Rt △OBC 中，∵BO ＝80 海里，BC ＝60 海里，∠OBC ＝90°，∴OC ＝1 12 2r 至少为 50 海里；121 2AM ＝AB ·cos ∠BAM ＝15 3海里，∴此时敌舰 A 离△OBC 海域的最短距离为 15 3海里；a20 2(3)假设 B 军舰在点 N 处拦截到敌舰．在 BM 上取一点 H ，使得 HB ＝HN .设 MN ＝x 海 里．∵∠HBN ＝∠HNB ＝15°，∴∠MHN ＝∠HBN ＋∠HNB ＝30°，∴HN ＝HB ＝2x 海里，MH ＝ 3x 海里．∵BM ＝15 海里，∴15＝ 3x ＋2x ，x ＝30－15 3，∴AN ＝AM －MN ＝(30 3 －30)海里， B N ＝ MN 2＋BM 2＝15( 6－ 2) 海里．设 B 军舰速度为 a 海里/时，由题意15（ 6－ 2） 30 3－30≤ ，解得 a ≥20.∴B 军舰速度至少为 20 海里/时，才能在此方向上拦截到敌舰 A .。

中考数学复习《锐角三角函数》专题训练-附带有答案一、选择题1．已知α是锐角，若sinα= 12，则α的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．如图，在Rt△ABC中，BC＝3，斜边AC＝5，则下列等式正确的是（）A．sinC＝35B．cosC＝43C．tanA＝34D．sinA＝453．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 513，则tanB的值为（）A．1213B．512C．1312D．1254．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：2，堤高BC=4m，则坡面AB的长度是（）mA．8 B．16 C．4√5D．4√35．如图，在正方形网格中.每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正切值是（）A．√55B．15C．2√55D．126．如图，河堤的横断面迎水坡AB的坡比是1：√2，堤高BC=6m，则坡面AB的长度是（）A．10m B．12√2m C．6√3m D．6√2m7．如图，在菱形ABCD中，延长AB于E并且CE⊥AE，AC=2CE，则∠CBE的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．60°8．如图，在▱ABCD中AB=8，∠ABC=60°，BE平分∠ABC，交边AD于点E，连接CE，若AE=2ED，则CE的长为（）A．6 B．4 C．4√3D．2√6二、填空题9．计算：2sin30°−tan45°=．10．如图，在平面直角坐标系内有一点P(5，12)，那么OP与x轴正半轴的夹角α的正弦值．11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA= 15，则AB= ．812．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面20√3米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80米，教学楼BC的高度米．（注：点A、B、C、D都在同一平面上，参考数据：√3≈1.7结果保留整数）．13．如图，在△ABC中AB=AC，D是△ABC外一点，连接BD和DC，BD=AB，∠BDC+12∠BAC=180°，DC=1，tan∠ABC=2√33则线段BC的长为.三、解答题14．计算：2sin45°+tan30°·cos30°−√2.15．已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，4sin5B=求：(1)线段DC的长；(2)tan∠EDC的值．16．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）17．如图1，在等腰三角形ABC中AB=AC，O为底边BC的中点，AB切⊙O于点D，连接OD，⊙O交BC于点M，N.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）∠B=42°，①若OD=4，求劣弧DM的长；②如图2，连接DM，若DM=4，直接写出OD的长.（参考数据：sin24°取0.4，cos24°取0.9，tan24°取0.45）18．如图，在边长为9的正方形ABCD中，等腰Rt△CEF的直角顶点与正方形ABCD的顶点C重合，斜边EF与正方形ABCD的对角线交于点E，射线FE与AD交于点P，与BC交于点Q且BQCQ =45．(1)求证：△CDE≌△CBF；(2)求CF的长；(3)求tan∠BCF的值．参考答案1．A2．C3．D4．C5．D6．C7．D8．C9．010．121311．1712．1413．2√314．解：原式=2×√22+√33×√32-√2 =√2+12-√2=1215．（1）解：在△ABC 中，∵AD 是边BC 上的高∴AD ⊥BC ．∴sin B =45AD AB =． ∵AD ＝12 ∴5154AB AD ==． 在Rt △ABD 中，∵222215129BD AB AD --∴CD ＝BC ﹣BD ＝14﹣9＝5．（2）解：在Rt △ADC 中，E 是AC 的中点∴DE ＝EC∴∠EDC ＝∠C ．∴tan EDC ∠＝tan C ∠＝125AD CD =．16．（1）由题意可知：154560ACD ∠=︒+︒=︒ 180454590ADC ∠=︒-︒-︒=︒ 在Rt ADC 中 ∴tan 1003tan 6010033300AD DC ACD =⨯∠=︒==（米）答：点D 与点A 的距离为300米．（2）过点D 作DE AB ⊥于点E ．∵AB 是东西走向∴45,60ADE BDE ∠=︒∠=︒在Rt ADE △中 ∴2sin 300sin 453001502DE AE AD ADE ==⨯∠=⨯︒==在Rt BDE 中 ∴tan 1502tan 60231506BE DE BDE =⨯∠=︒==∴26AB AE BE =+=答：隧道AB 的长为(15021506)米17．（1）证明：过点 O 作 OE ⊥AC 于点 E ，连接 OA ，如图∵AB =AC ， O 为底边 BC 的中点∴AO 为 ∠BAC 的平分线∵OD ⊥AB∴OD =OE∵OD 为 ⊙O 的半径∴OE为⊙O的半径∴直线AC到圆心O的距离等于圆的半径∴AC是⊙O的切线（2）解：①∵AB切⊙O于点D∴∠ODB=90°∵∠B=42°∴∠BOD=48°∵OD=4∴劣弧DM的长为48×π×4180=16π15；②过点O作OF⊥DM于点F，如图∵OF⊥DM∴DF=MF=12DM=2∵OD=OM∴OF为∠DOM的平分线∴∠DOF=12∠BOD=24° .在Rt△ODF中∵sin∠DOF=DFOD∴sin24°=2OD∴OD=2sin24°≈20.4=5 .18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△CEF是等腰直角三角形∴∠BCD=∠ECF=90°，CD=CB，CE=CF∴∠DCE=∠BCF在△CDE与△CBF中∵{CD=CB∠DCE=∠BCFCE=CF∴△CDE≌△CBF；（2）解：∵∠CEQ=∠CBE=45°，∠ECQ=∠BCE∴△CEQ∽△CBE∴CECB=CQCE∵BQCQ=45，BC=9∴BQ=4，CQ=5∴CE=3√5∵CF=CE∴CF=3√5；（3）解：过点F作FR⊥BC于R∵△CDE≌△CBF∴∠FBR=∠EDC=45°∴△BRF是等腰直角三角形∴RF=RB在Rt△CRF中∵CF2=CR2+FR2∴(3√5)2=RF2+(9−RF)2∴RF=3∴BR=3∴CR=6∴tan∠BCF=RFCR =12．。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。