高考数学二轮复习 规范滚动训练5 文

专题一、二 滚动训练(一)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·辽宁师大附中测试)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，若集合A ，B 满足A ∩B ＝{2}，(∁U A )∩B ＝{4}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5}，则下列结论正确的是( )A ．3∉A 且3∉B B ．3∈A 且3∉BC ．3∉A 且3∈BD ．3∈A 且3∈B解析：选B.画出韦恩图，可知B 正确．2．(2016·河南洛阳期中)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x 2≥1，则x ≤－1或x ≥1”B ．命题“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∀x ∈R ，e x ≤0”C ．“a ＞0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(－∞，0)上单调递减”的充要条件D ．若“p ∨q ”为真命题，是p ，q 中至少有一个为真命题解析：选D.对于A ，若“x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是“若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1”；对于B ，“∀x ∈R ，e x ＞0”的否定是“∃x 0∈R ，e x 0≤0”；a ＝0时函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，所以选项C 错误；D 正确．3．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．1＋i B ．2－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选A.2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 4．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为( )A ．a 1＋x 0[a 3＋x 0(a 0＋a 2x 0)]的值B ．a 3＋x 0[a 2＋x 0(a 1＋a 0x 0)]的值C ．a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]的值D ．a 2＋x 0[a 0＋x 0(a 3＋a 1x 0)]的值解析：选C.由程序框图知，输出的S ＝a 0＋x 0[a 1＋x 0(a 2＋a 3x 0)]，故选C.5．已知命题p ：|x ＋1|＞2，命题q ：5x －6＞x 2，则綈q 是綈p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：基本法：选B.由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，所以綈p ：－3≤x ≤1；由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以綈q ：x ≤2或x ≥3，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．速解法：由|x ＋1|＞2得x ＜－3或x ＞1，由5x －6＞x 2得2＜x ＜3，所以p 是q 的必要不充分条件，所以綈q 是綈p 的必要不充分条件．6．为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析：选C.∵y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1，∴为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y＝lg x 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．7．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3,4]时，f (x )＝ln x ，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12＜f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 12 B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)＜f (cos 1)。

目录穿插滚动练(一) ...................................................................................................... 1 穿插滚动练(二) .................................................................................................... 10 穿插滚动练(三) .................................................................................................... 22 穿插滚动练(四) .................................................................................................. 31 穿插滚动练(五) . (40)穿插滚动练(一)1．(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析 方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二 因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)} ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， 取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ； 取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立， 故可排除A ，选B.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3答案 C解析 命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．(2013·湖南改编)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 由f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象有两个交点． 因此方程f (x )－g (x )＝0有两个不相等的实根． 5．已知a ＝5log 23.4.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝.log 5342，b ＝.log 5362，c ＝(15).log 5033＝5log 3103，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .6．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ，ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.7．函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 将函数零点转化为两函数图象的交点问题来求解．在同一平面直角坐标系内作出y 1＝12x 与y 2＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点． 因此函数f (x )＝12x －⎝⎛⎭⎫12x 只有1个零点． 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎦⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]．因为当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，所以f (x ＋1)＝x ＋1. 因为函数f (x )＋1＝1f (x ＋1)，所以f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1,1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1,1]内有两个根．令y ＝m (x ＋1)，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点．9．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8答案 B解析 根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数且0≤x ≤1时，f (x )＝x 3， 则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|， 所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝cos πx .再根据函数性质画出⎣⎡⎦⎤－12，32上的图象，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以总共有6个．10．设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤MM ，f (x )>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2 B ．1 C. 2 D ．－ 2答案 B解析 由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1. ∴f M (0)＝1.11．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，x 13， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时， 13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．12．(2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.13．设函数f (x )＝1＋(－1)x2(x ∈Z )，给出以下三个结论：①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x2＝1，③正确．14．(2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.15．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数， ∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0.∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3. ∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.16．已知点P (x ，y )在曲线y ＝1x 上运动，作PM 垂直于x 轴于M ，则△OPM (O 为坐标原点)的周长的最小值为________． 答案 2＋ 2解析 三角形OPM 的周长为|x |＋1|x |＋x 2＋1x2≥2·|x |·1|x |＋2·x 2·1x2＝2＋ 2(当且仅当|x |＝1|x |时，即|x |＝1时取等号)．17．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3，g (6)>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.18．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．19．某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入的函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)(0≤x ≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百台)． (1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所得的利润最大？解 (1)利润y 是指生产数量为x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x )之差，由题意得，当0≤x ≤5时，产品能全部售出．当x >5时，只能销售500台，所以y ＝⎩⎨⎧5x －12x 2－(0.5＋0.25x )(0≤x ≤5)，(5×5－12×52)－(0.5＋0.25x )(x >5)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5).∴把利润表示为年产量的函数关系是 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4.75x －12x 2－0.5(0≤x ≤5)，12－0.25x (x >5). (2)当0≤x ≤5时，y ＝－12x 2＋4.75x －0.5.当x ＝4.75时，y max ＝10.781 25. 当x >5时，y <12－0.25×5＝10.75.∴年产量为475台时，企业所得的利润最大． 20．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．21．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台， 则共需分36x 批，每批价值为20x 元．由题意得f (x )＝36x ·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x ＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)． 当且仅当144x ＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．22．某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解 (1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米．则总造价f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x ＋12 960＝1 296(x ＋100x )＋12 960≥1 296×2x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)，即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38 880元．x(2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<162x ≤16，∴1018≤x ≤16，设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)，g (x )在⎣⎡⎦⎤1018，16上是增函数， ∴当x ＝1018时⎝⎛⎭⎫此时162x ＝16， g (x )有最小值，即f (x )有最小值，即为1 296×⎝⎛⎭⎫1018＋80081＋12 960＝38 882元． ∴当长为16米，宽为1018米时总造价最低，总造价最低为38 882元．穿插滚动练(二)1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点， 则cos θ＝t 5|t |. 当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55. 因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.2．定义：|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，则|a ×b |等于( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8 D ．6答案 B解析 由|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6， 可得2×5cos θ＝－6⇒cos θ＝－35.又θ∈[0，π]，所以sin θ＝45.从而|a ×b |＝2×5×45＝8.3．(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 C解析 当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x ，x ≥4f (x ＋1)，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124 B.112 C.16D.13答案 A解析 因为2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23＞4， 所以f (2＋log 23)＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23＝18×13＝124.5．设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 6．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足P A →＋xPB →＋yPC →＝0.设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记S 1S ＝λ1，S 2S ＝λ2，S 3S ＝λ3，则λ2·λ3取最大值时，2x ＋y 的值为( )A ．－1B ．1C ．－32D.32答案 D解析 由题意知S 1S ＝λ1＝12，即S 1＝12S .所以S 2＋S 3＝S －S 1＝12S ，两边同除以S ，得S 2＋S 3S ＝12，即λ2＋λ3＝12，所以12＝λ2＋λ3≥2λ2λ3，所以λ2·λ3≤116，当且仅当λ2＝λ3＝14，此时点P 位于EF 的中点，延长AP 交BC 于D ，则D 为BC 的中点，由P A →＋xPB →＋yPC →＝0， 得xPB →＋yPC →＝－P A →＝AP →， AP →＝PD →＝12(PB →＋PC →)＝12PB →＋12PC →， 所以x ＝12，y ＝12，所以2x ＋y ＝32，选D.7．设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( ) A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0 B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0 C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0 D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 答案 B解析 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2， 因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0， 当a >0时，x 2>0， ∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0， ∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.8.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,0) 答案 D解析 依题意，由点D 是圆O 外一点， 可设BD →＝λBA →(λ>1)， 则OD →＝OB →＋λBA → ＝λOA →＋(1－λ)OB →.又C ，O ，D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)， 则OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ.故m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1,0)．故选D.9．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2答案 B解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25， a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小， 所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B.10．(2014·福建)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )答案 B解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称．显然不符合．故选B.11．已知A ，B ，C 三点的坐标分别是A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)，若AC →·BC →＝－1，则1＋tan α2sin 2α＋sin 2α的值为________．答案 －95解析 由AC →＝(cos α－3，sin α)， BC →＝(cos α，sin α－3)，得AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23，∴2sin αcos α＝－59，1＋tan α2sin 2α＋sin 2α＝1＋sin αcos α2sin 2α＋2sin αcos α ＝12sin αcos α＝－95.12．(2014·安徽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －2＝0，x ＋2y －4＝0， 得A (8，－2)．由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝12×2×2＋12×2×2＝4.13．(2014·辽宁)对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c 的最小值为________． 答案 －1解析 由题意知，c ＝4a 2－2ab ＋b 2＝(2a ＋b )2－6ab ， ∴(2a ＋b )2＝c ＋6ab . 若|2a ＋b |最大，则ab >0. 当a >0，b >0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3×2a ·b ≤c ＋3(2a ＋b 2)2，∴(2a ＋b )2≤c ＋34(2a ＋b )2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ，当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c 2，b ＝c 时取等号． 此时1a ＋2b ＋4c ＝2c ＋2c ＋4c >0.当a <0，b <0时，(2a ＋b )2＝c ＋6ab ＝c ＋3(－2a )·(－b ) ≤c ＋3(－2a －b 2)2，∴(2a ＋b )2≤4c ，|2a ＋b |≤2c ， 即－2a －b ≤2c .当且仅当b ＝2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－c 2，b ＝－c时取等号．此时1a ＋2b ＋4c ＝－2c －2c ＋4c ＝4c －4c ＝4(1c －12)2－1≥－1，当1c ＝12，即c ＝4时等号成立．综上可知，当c ＝4，a ＝－1，b ＝－2时，(1a ＋2b ＋4c)min ＝－1.14．设函数f (x )＝x 2＋2x (x ≠0)．当a >1时，方程f (x )＝f (a )的实根个数为________．答案 3解析 令g (x )＝f (x )－f (a )，即g (x )＝x 2＋2x －a 2－2a ，整理得：g (x )＝1ax (x －a )(ax 2＋a 2x －2)．显然g (a )＝0，令h (x )＝ax 2＋a 2x －2. ∵h (0)＝－2<0，h (a )＝2(a 3－1)>0，∴h (x )在区间(－∞，0)和(0，a )各有一个零点．因此，g (x )有三个零点，即方程f (x )＝f (a )有三个实数解．15．已知函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈(－π2，3π2)，若集合A ＝{x |f (x )＝k }中至少有两个元素，则实数k 的取值范围是________． 答案 [0,2)解析 函数化为f (x )＝⎩⎨⎧2cos x ，x ∈(－π2，π2]，0，x ∈(π2，3π2)，画出f (x )的图象可以看出，要使方程f (x )＝k 至少有两个根，k 应满足0≤k <2.16．曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4与直线y ＝12在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|＝________. 答案 π解析 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π2＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝1＋sin 2x ， |P 2P 4|恰为一个周期的长度π.17．如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin (w x ＋φ)(ω>0)图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，则ω等于________．答案 π4解析 点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 面积最大时PM →·PN →＝0，此时PM ⊥PN ，如图，△PMN 是等腰直角三角形，由题意可知PQ ＝2，故MQ ＝QN ＝PQ ＝2， 由T ＝2MN ＝4PQ ＝8，故ω＝2πT ＝π4，18．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和点(2π3，－2)．(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3，－2)，所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin(2φ＋π6)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .19．已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6. (1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC ＝3，求a 的值． 解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1， 即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .(2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.20．云南鲁甸抗震指挥部决定建造一批简易房(房型为长方体状，房高2.5米)，前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算(即钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格)，每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32 000元以内．(1)设房前后墙的长均为x ，两侧墙的长均为y ，所用材料费为p ，试用x ，y 表示p ； (2)简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ 解 (1)p ＝2x ·450＋2y ·200＋xy ·200 ＝900x ＋400y ＋200xy . (2)S ＝x ·y ，且p ≤32 000，由题意，可得p ＝200S ＋900x ＋400y ≥200S ＋2900×400S ⇒200S ＋1 200S ≤p ≤32 000 ⇒(S )2＋6S －160≤0 ⇒0<S ≤10⇒S ≤100，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧900x ＝400y xy ＝100⇒x ＝203时取最大值．故简易房面积S 的最大值为100平方米，此时前面墙的长度设计为203米．21．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )， 所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4⎝⎛⎭⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根．①当a ＝1时，则t ＝－34，不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1<0，解得a >1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．22．某厂生产某产品的年固定成本为250 万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )．当年产量不足80 千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80 千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)，每件商品售价为0.05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)由题意可得L (x )＝⎩⎨⎧0.05×1 000x －(13x 2＋10x ＋250)，0<x <80，0.05×1 000x －(51x ＋10 000x－1 450＋250)，x ≥80，即L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－(x ＋10 000x)，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值，且L (60)＝950. 当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，∴当且仅当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值，且L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．穿插滚动练(三)1．已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x |0<x <c ，其中c >0}．若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案 D解析 A ＝{x |0<x <2}，由A ∪B ＝B ，得A ⊆B . 所以c ≥2，故选D.2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)，1x (x <0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A ．±1B ．－1C ．－2或－1D ．±1或－2答案 B解析 当a ≥0时，f (a )＝12×a －1＝a ，a ＝－2，不合题意，舍去；当a <0时，f (a )＝1a ＝a ，a＝－1(a ＝1舍去)，故选B.3．某电视新产品投放市场后第一个月销售100 台，第二个月销售200 台，第三个月销售400 台，第四个月销售790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( ) A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100答案 C解析 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型． 4．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b .则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )(x ∈[－2,2])的最大值等于(“·”和“－”仍为通常的乘法和减法)( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．12答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2(x ∈[－2，1])，x 2－2(x ∈(1，2])，x ＝2时有最大值，所以函数最大值是2.5．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D. 3答案 C解析 依题意可知角α的终边在第三象限， 点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34， 得－4a a 2＋16＝34，即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.7．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )答案 D解析 函数定义域为{x |x ∈R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x ，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，其底数0<a <1， 所以函数递减；当x <0时，函数图象与指数函数y ＝a x (x <0)的图象关于x 轴对称，函数递增，所以应选D. 8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能是()答案 B解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.9．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2)B ．[－1,2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 A解析 直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x ＝2(x >m )共有三个根． ∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1， ∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案 D解析 先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图． 此时可行域为△AOB 及其内部， 交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B 时，a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1， 且当0<a ≤1时可行域也为三角形． 故0<a ≤1或a ≥43.11．已知集合A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x |12<2x <8，x ∈R }＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.12．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，14，…的前100项的和等于________．答案19114解析 S 100＝1×1＋2×12＋3×13＋4×14＋…＋13×113＋9×114＝19114.13．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－22，2 2 ]解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题， 则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题． 因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0， 故－22≤a ≤2 2.14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________________. 答案 sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6解析 据已知两个相邻最高及最低点距离为22，可得⎝⎛⎭⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，故f (2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋π6. 15．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }________(填“是”或“不是”)“和等比数列”． 答案 是解析 由题意2b n ＝22n －1，即b n ＝2n －1，从而S 2n ＝4n 2，S n ＝n 2，S 2nS n＝4(常数)．16．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ，∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1.S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，②①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.17．已知数列{a n}满足：a 1＝1，a n＝⎩⎨⎧1＋2a n2， n 为偶数，12＋2a n －12， n 为奇数，n ＝2,3,4，…，设b n ＝a 2n －1＋1，n ＝1,2,3，…，则数列{b n }的通项公式是________． 答案 b n ＝2n解析 由题意，得对于任意的正整数n ，b n ＝a 2n －1＋1，∴b n ＋1＝a 2n ＋1，又a 2n ＋1＝(2a 2n2＋1)＋1＝2(a 2n －1＋1)＝2b n ，∴b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝a 1＋1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴b n ＝2n .18．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB →＝p m ，AC →＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0，∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝(34，32)，n ＝(1，－32)．∴|AB →|＝214p ，|AC →|＝72q .∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0，∴p ·q ≤p ＋q2.∴p ·q ≤3，∴0<p ·q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132×9＝18932.19．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，点(n ，S n )在以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线上，数列{b n }满足b n ＝2a n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为以F (0，14)为焦点，坐标原点为顶点的抛物线方程为x 2＝y ，又点(n ，S n )在抛物线上，所以S n ＝n 2. 当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2，两式相减，得S n －S n －1＝a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，满足上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． 故b n ＝2a n ＝22n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，知c n ＝(2n －1)·22n －1，所以T n ＝1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n －1)·22n －1，①则4T n ＝1·23＋3·25＋5·27＋…＋(2n －1)·22n ＋1，②①－②，得－3T n ＝21＋2·23＋2·25＋…＋2·22n －1－(2n －1)·22n ＋1＝4n ＋1－103－(2n －1)·22n ＋1＝4·4n －103－(4n －2)·4n＝(10－12n )4n －103，所以T n ＝10＋(12n －10)4n9(n ∈N *)．20．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1)解 2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)解 当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋12×3＋13×4＋…＋1n (n －1)＝1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝54＋12－1n ＝74－1n <74， 所以对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.21．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)．(1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列？且公比小于0.若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)在(1)的条件下，求数列{a n }的前n 项和S n . 解 (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)， 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)， 得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1.与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1，qλ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1q ＝2(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，q ＝－1. 所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列． (2)由(1)知当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1， 则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． ∴b n ＝(－1)n ＋1.∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝(－1)n ＋12n ＋1＝(－12)n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋(a 222－a 121)＋(a 323－a 222)＋…＋(a n 2n －a n －12n －1)＝12＋(－12)2＋(－12)3＋…＋(－12)n ＝12＋(－12)2[1－(－12)n －1]1－(－12)＝12＋16[1－(－12)n －1]． 因为a 121＝12也适合上式，所以a n 2n ＝12＋16[1－(－12)n －1](n ≥1)．所以a n ＝13[2n ＋1＋(－1)n ]．则S n ＝13[(22＋23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]＝13[4(1－2n )1－2＋(－1)(1－(－1)n)1－(－1)] ＝13[(2n ＋2－4)＋(－1)n －12]． 22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )(x >0)，－f (x )(x <0).若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(a －1)2≤0， ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1(x >0)，－x 2－2x －1(x <0).(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2，或k －22≥2，解得k ≤－2，或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．穿插滚动练(四)1．设全集U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A 等于( )A ．{x |1≤x <3}B ．{x |1<x ≤3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |x ≥1}答案 A解析 因为U ＝{x |x <3}，A ＝{x |x <1}，则∁U A ＝{x |1≤x <3}，选A.2．“θ≠π3”是“cos θ≠12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为“cos θ＝12”是“θ＝π3”的必要不充分条件，所以“θ≠π3”是“cos θ≠12”的必要不充分条件，选B.3．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：（ⅰ）1*1=1,(ⅱ)(n+1)*1=n*1+1,则n*1等于( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2 答案 A解析 由(n+1)*1=n*1+1,得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1*1+(n-1).又∵1*1=1，∴n*1=n.4．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2 013项a 2 013满足( )A ．0<a 2 013<110B.110≤a 2 013<1 C ．1≤a 2 013≤10D ．a 2 013>10 答案 A解析 数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2 013＝460＝115.。

穿插滚动练(五)内容：不等式、函数与导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何 一、选择题1． 若集合A ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝B ，则集合B 可能是( )A ．{1,2}B ．{x |x ≤1}C ．{－1,0,1}D ．R答案 A解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为{1,2}⊆A ，所以答案为A. 2． 设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “a 1＜a 2＜a 3”⇔“数列{a n }是递增数列”．3． 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象 ( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位答案 D解析 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，只需将函数y ＝sin 2x 中的x 减去π6，即得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 4． 已知各项都是正数的等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得a m a n ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋4n的最小值是 ( )A.32B.43C.23D.34答案 A解析 记等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，依题意有a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，由a 5≠0，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2， 又(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21，即2m ＋n －2＝24，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6， ∴1m ＋4n ＝161m ＋4n (m ＋n )＝165＋n m ＋4m n ≥ 16(5＋4)＝32，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立． 5． 已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0与到y 轴的距离之和的最小值是 ( )A. 3B.5C ．2D.5－1答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋(－1)2＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.6． 已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定答案 C解析 依题意得，p2＝c ，F 的坐标为(0，c )，两条曲线交点的连线垂直y 轴，将y ＝c 代入双曲线方程得交点横坐标为±b 2a ，代入抛物线方程得b 4a 2＝2·2c ·c ，b 2＝2ac ，c 2－a 2＝2ac ，e 2－2e －1＝0，e ＝1±2，由e >1得e ＝1＋2，故选C.7． 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确的命题 ( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④答案 C解析 对于①，由l ⊥α，α∥β⇒l ⊥β，又因为直线m ⊂平面β，所以l ⊥m ，故①正确，同理可得③正确；②与④不正确，故选C.8． 已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈[12，2]恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析 设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈[12，1)时，f ′(x )<0，故函数f (x )在[12，1)上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.9． 已知函数f (x )＝sin x －12x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π上是减函数C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f (π3)D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f (π3)答案 D解析 注意到f ′(x )＝cos x －12，当x ∈(0，π3)时，f ′(x )>0；当x ∈(π3，π)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，π3)上是增函数，在(π3，π)上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f (π3)，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f (π3)，因此D 项正确．10．以双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定答案 C解析 左焦点F 为(－c,0)，渐近线方程为y ＝ba x 即bx －ay ＝0，∴圆心到直线的距离为|－bc |a 2＋b 2＝b ，所以相切．11．在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010D.35答案 C解析 连接BA 1，因为CD 1∥BA 1，所以∠A 1BE 即为异面直线BE 与CD 1所成的角，令AA 1＝2AB ＝2，则EB ＝2，A 1E ＝1，A 1B ＝5，故由余弦定理得cos ∠A 1BE ＝31010，即异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为31010.12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为 ( )A.19B.14C.13D.12 答案 A解析 由于M (1，m )在抛物线上，∴m 2＝2p ，而M 到抛物线的焦点的距离为5，根据抛物线的定义知点M 到抛物线的准线x ＝－p 2的距离也为5，∴1＋p2＝5，∴p ＝8，由此可以求得m ＝4，双曲线的左顶点为A (－a ，0)，∴k AM ＝41＋a，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x a ，根据题意得，41＋a ＝1a ，∴a ＝19.二、填空题13．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝px (p ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A .若△OAF (O为坐标原点)的面积为1，则p ＝________. 答案 4解析 设直线l 的方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p4， 令x ＝0，得y ＝－p2，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∴S △OAF ＝12|OF |×|OA |＝12×p 4×p 2＝p 216＝1， ∴p ＝4.14．长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为π3，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的最大值是________．答案 233解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC →＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3.由OC →＝mOA →＋nOB →，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )，即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ，解得m ＝cos α－13sin α，n ＝23sin α.故m ＋n ＝cos α＋13sin α＝233sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3≤233. 15．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 依题意知△OFG (G 为垂足)为等腰直角三角形，则bc 2a ＝c2，即a ＝b ，故双曲线为等轴双曲线，离心率为 2.16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，P A ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 如图，连接AQ ，∵P A ⊥平面AC ， ∴P A ⊥QD ，又PQ ⊥QD ，PQ ∩P A ＝P ， ∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，使得QD ⊥AQ ， 等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点， ∴a2≥1，a ≥2. 三、解答题17．设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(π＋x )cos x (x ∈R )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象按b ＝⎝⎛⎭⎫π4，32平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值． 解 (1)f (x )＝12sin 2x ＋3cos 2x＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＋32＝sin(2x ＋π3)＋32.故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)依题意g (x )＝f (x －π4)＋32＝sin [2(x －π4)＋π3]＋32＋32＝sin (2x －π6)＋ 3.当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )为增函数，所以g (x )在[0，π4]上的最大值为g (π4)＝32 3. 18．如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH是四棱锥的高，E 为AD 的中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值．(1)证明 以H 为原点，HA ，HB ，HP 分别为x ，y ，z 轴，线段HA 的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A (1,0,0)，B (0,1,0)， 设C (m,0,0)，P (0,0，n )(m <0，n >0)，则D (0，m,0)，E (12，m2，0)．可得PE →＝(12，m 2，－n )，BC →＝(m ，－1,0)．因为PE →·BC →＝m 2－m 2＋0＝0，所以PE ⊥BC .(2)解 由已知条件可得m ＝－33，n ＝1， 故C (－33，0,0)，D (0，－33，0)， E (12，－36，0)，P (0,0,1)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面PEH 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·HE →＝0，n ·HP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x －36y ＝0，z ＝0因此可以取n ＝(1，3，0)， 由P A →＝(1,0，－1)． 可得|cos 〈P A →，n 〉|＝24，所以直线P A 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 19．已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，b 4＝54，a 1＋a 2＋a 3＝b 2＋b 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由b 4＝b 1q 3，得q 3＝542＝27，从而q ＝3，因此b n ＝b 1·q n －1＝2·3n －1，又a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝b 2＋b 3＝6＋18＝24，∴a 2＝8， 从而d ＝a 2－a 1＝6，故a n ＝a 1＋(n －1)·6＝6n －4.(2)c n ＝a n b n ＝4·(3n －2)·3n －1，令T n ＝1×30＋4×31＋7×32＋…＋(3n －5)·3n －2＋(3n －2)·3n －1. 3T n ＝1×31＋4×32＋7×33＋…＋(3n －5)·3n －1＋(3n －2)·3n . 两式相减得－2T n ＝1＋3×31＋3×32＋3×33＋…＋3×3n －1－(3n －2)·3n ＝1＋3×3(3n －1－1)3－1－(3n －2)·3n＝1＋9(3n －1－1)2－(3n －2)·3n ，∴T n ＝74＋3n(6n －7)4，故S n ＝4T n ＝7＋(6n －7)·3n .20．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值的点P 的坐标． 解 (1)将圆C 配方得：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得：y ＝(2±6)x .②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x ＋y －a ＝0，由直线与圆相切得：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (2)由|PO |＝|PM |，得：x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2⇒2x 1－4y 1＋3＝0.即点P 在直线l ：2x －4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时即|OP |取得最小值，直线OP ⊥l . ∴直线OP 的方程为：2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0.得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 21．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间；(2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝3－2a ＋b ≤2，f ′(1)＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2，即b a －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)． 22．如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b ＜t 1＜a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b ＜t 2＜a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．(1)解 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)， 又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2， 代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x ＜－a ，y ＜0)．(2)证明 设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。

滚动测试卷五(第一~十一章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第17页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集U=R,A={x|x≥1},B={x|0≤x<5},则(∁U A)∪(∁U B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x<1,或x≥5}C.{x|x≤1,或x≥5}D.{x|x<0,或x≥5}答案:B解析:由题意可得,∁U A={x|x<1},∁U B={x|x<0,或x≥5},则(∁U A)∪(∁U B)={x|x<1,或x≥5},故选B.2.(2015湖北,文2)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为()A.134石B.169石C.338石D.1 365石答案:B解析:米内含谷的概率约为,故这批米内夹谷约为×1 534≈169(石).3.(2015辽宁五校联考)对于一组数据x i(i=1,2,3,…,n),如果将它们改变为x i+C(i=1,2,3,…,n),其中C≠0,则下列结论正确的是()A.平均数与方差均不变B.平均数变,方差保持不变C.平均数不变,方差变D.平均数与方差均发生变化答案:B解析:由平均数的定义,可知每个个体增加C,则平均数也增加C,方差不变,故选B.4.某一几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A.54B.58C.60D.63答案:B解析:由三视图可知,该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1,1,3的长方体,几何体的表面积为:大正方体的表面积+长方体的两个侧面的面积-长方体的两个底面的面积,即S=6×32+2×1×3-2×12=58.5.设不等式组表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A. B. C. D.答案:D解析:不等式组表示坐标平面内的一个正方形区域,设区域内点的坐标为(x,y),则在区域内取点,此点到坐标原点的距离大于2表示的区域就是圆x2+y2=4的外部,即图中的阴影部分,故所求的概率为.6.已知数列{a n}满足a1=2,a2=1,,则a10=()A. B. C. D.答案:D解析:由等差中项可知是等差数列,且首项为,公差d=,所以+(n-1)×,所以a n=,所以a10=.7.(2015江西景德镇模拟)在样本频率分布直方图中,共有五个小长方形,这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{a n}.已知a2=2a1,且样本容量为300,则小长方形面积最大的一组的频数为() A.100 B.120 C.150 D.200答案:A解析:设公差为d,则a1+d=2a1,所以a1=d,所以d+2d+3d+4d+5d=1,所以d=,所以面积最大的一组的频率等于×5=.所以小长方形面积最大的一组的频数为300×=100.8.(2015北京,文4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90B.100C.180D.300答案:C解析:方法一:由题意,总体中青年教师与老年教师的比例为.设样本中老年教师的人数为x,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即,解得x=180.故选C.方法二:由已知分层抽样中青年教师的抽样比为,由分层抽样的性质可得老年教师的抽样比也等于,所以样本中老年教师的人数为900×=180.故选C.9.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0答案:C解析:把直线方程化为(-x-y+1)+a(x+1)=0,令∴直线过定点C(-1,2).∴圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,化为一般式为x2+y2+2x-4y=0.10.(2015合肥二检)从两名男生和两名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为()A. B. C. D.答案:A解析:设两名女生为a1,a2,两名男生为b1,b2,则所有可能如下:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),(b1,a1),(b1,a2),(b2,b1),(b2,a1),(b2,a2 ),共12种,其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况,所以其概率为P=,故选A.11.下列四个图中,函数y=的图像可能是()答案:C解析:∵y=是奇函数,其图像向左平移1个单位所得图像对应的函数解析式为y=, ∴y=的图像关于(-1,0)中心对称,故排除A,D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.12.已知向量的夹角为θ,||=2,||=1,=t=(1-t),||在t=t0时取得最小值,当0<t0<时,夹角θ的取值范围为()A. B. C. D.答案:C解析:由题意得=2×1×cos θ=2cos θ,=(1-t)-t,∴=(1-t)2+t2-2t(1-t)=(1-t)2+4t2-4t(1-t)cos θ=(5+4cos θ)t2+(-2-4cos θ)t+1.由二次函数知当上式取最小值时,t0=.由题意可得0<,解得-<cos θ<0,∴<θ<,所以C正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知实数x,y满足则z=2x+y的最小值为.答案:-1解析:作出可行域,如图可知当直线y=-2x+z经过点(-1,1)时,z取得最小值-1.14.(2015南京、盐城模拟)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析、随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩,并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[300,350)内的学生人数共有人.答案:300解析:由频率分布直方图可得成绩在[300,350)的频率是1-(0.001+0.001+0.004+0.005+0.003)×50=1-0.7=0.3,所以成绩在[300,350)的学生人数是0.3×1 000=300.15.(2015辽宁锦州二模)已知函数f (x )=且函数g (x )=f (x )+x-a 只有一个零点,则实数a 的取值范围是 . 答案:(1,+∞)解析:∵函数g (x )=f (x )+x-a 只有一个零点,∴只有一个x 的值,使f (x )+x-a=0, 即f (x )=a-x.令h (x )=a-x ,则函数f (x )与h (x )只有一个交点,如图所示:当a ≤1时,h (x )=a-x 与f (x )有两个交点, 当a>1时,h (x )=a-x 与f (x )有一个交点; ∴实数a 的取值范围是(1,+∞).16.某单位为了制定节能减排的计划,随机统计了某4天的用电量y (单位:度)与当天气温x (单位: ℃),并制作了对照表(如表所示).由表中数据,得线性回归方程y=-2x+a ,当某天的气温为-5 ℃时,预测当天的用电量约为 度.x18 13 10 -1 y24 34 38 64答案:70解析:气温的平均值×(18+13+10-1)=10,用电量的平均值×(24+34+38+64)=40,因为回归直线必经过点(),将其代入线性回归方程得40=-2×10+a ,解得a=60,故回归方程为y=-2x+60.当x=-5时,y=-2×(-5)+60=70.所以当某天的气温为-5 ℃时,预测当天的用电量约为70度. 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)(2015辽宁锦州一模)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,q =(2a ,1),p =(2b-c ,cos C ),且p ∥q . 求:(1)sin A 的值;(2)三角函数式+1的取值范围.解:(1)∵p ∥q ,∴2a cos C=1×(2b-c ).根据正弦定理,得2sin A cos C=2sin B-sin C , 又∵sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C ,∴2cos A sin C-sin C=0,即sin C(2cos A-1)=0.∵C是三角形的内角,∴sin C≠0,∴2cos A-1=0,可得cos A=.∵A是三角形的内角,∴A=,得sin A=.(2)∵+1=+1=2cos C(sin C-cos C)+1=sin 2C-cos 2C,∴+1=sin.∵A=,得C∈,∴2C-,可得-<sin≤1,∴-1<sin,即三角函数式+1的取值范围是(-1,].18.(12分)(2015南昌三模)已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d≠0,等比数列{b n}满足a1=b1,a2=b2,a5=b3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对任意n∈N+均有+…+=a n+1,求数列{c n}的前n项和S n.解:(1)由题意a2=1+d,a5=1+4d,且a1,a2,a5成等比数列,∴(1+d)2=1+4d,又d≠0,∴d=2.∴a n=1+(n-1)d=2n-1.又b2=a2=3,∴q=3,b n=3n-1.(2)∵+…+=a n+1,①∴=a2,∴c1=3.又+…+=a n(n≥2),②①-②得=a n+1-a n=2,∴c n=2b n=2·(n≥2),∴c n=当n=1时,S n=c1=3,当n≥2时,S n=c1+c2+…+c n=3+2·(31+32+…+3n-1)=3+2·=3n.所以S n=3n.19.(12分)(2015河北保定调研)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,(1)能否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?(2)用分层抽样的方法从喜欢“应用统计”课程的学生中抽取6名学生做进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1名男生和1名女生的概率.下面的临界值表供参考:解:(1)由公式χ2=≈11.978>7.879,所以有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关.(2)设所抽样本中有m个男生,则,得m=4,所以样本中有4个男生,2个女生,分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),( B4,G1),(B4,G2),(G1,G2),共15个,其中恰有1个男生和1个女生的事件有(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),共8个.所以恰有1名男生和1名女生的概率为.20.(12分)如图,在四棱锥S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且P为AD的中点,Q为SB 的中点,M为BC的中点.(1)求证:CD⊥平面SAD;(2)求证:PQ∥平面SCD;(3)若SA=SD,在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?并证明你的结论.证明:(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,所以CD⊥平面SAD.(2)连接PM,QM.因为Q,P,M分别为SB,AD,BC的中点,所以QM∥SC,PM∥DC.因为QM∩PM=M,QM,PM⫋平面PQM,SC∩DC=C,所以平面PQM∥平面SCD,又PQ⫋平面PQM,所以PQ∥平面SCD.(3)存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD.连接PC,DM交于点O,连接SP.因为SA=SD,P为AD的中点,所以SP⊥AD.因为平面SAD⊥平面ABCD,所以SP⊥平面ABCD,SP⊥PC.在△SPC中,过O点作NO⊥PC交SC于点N,此时N为SC的中点,则SP∥NO,则NO⊥平面ABCD.因为NO⫋平面DMN,所以平面DMN⊥平面ABCD,所以存在满足条件的点N.21.(12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率;(2)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程y=bx+a;(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?参考公式:b=,a=-b解:(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的.其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种,所以P(A)=.(2)由数据求得=11,=24.由公式求得b=,再由a=-b=-,所以关于x的线性回归方程为y=x-.(3)当x=10时,y=<2,同样,当x=6时,y=<2,所以,该小组所得线性回归方程是理想的.22.(12分)(2015辽宁丹东二模)平面直角坐标系xOy中,经过椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点的直线x-y-=0与C相交于M,N两点,P为MN的中点,且OP斜率是-.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l分别与椭圆C和圆D:x2+y2=r2(b<r<a)相切于点A,B,求|AB|的最大值.解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则=-=1,=1,=1,由此可得=-,即a2=4b2.又由题意知,C的右焦点是(,0),故a2-b2=3.因此a2=4,b2=1,故椭圆C的方程是+y2=1.(2)设A,B分别为直线l与椭圆和圆的切点,A(x0,y0),直线l的方程为y=kx+m,代入+y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由判别式Δ=0,得m2=1+4k2①,x0=-=-,y0=kx0+m=-.直线l与x2+y2=r2相切,r=,即m2=r2(1+k2),再由①得k2=,m2=,|AB|2=|OA|2-r2=-r2=-r2=-r2=5-.∵+r2≥2=4,当r=∈(1,2)时取等号,∴5-≤1.因此当r=∈(1,2)时,|AB|的最大值是1.。

滚动检测五(1～8章)(规范卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x2>x，x∈R}，B＝，则?R(A∩B)等于( )A. B.C. D.答案 C解析∵A＝＝，B＝，∴A∩B＝{x|1<x<2，x∈R}，则?R(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．2．若z1＝(1－i)2，z2＝1＋i，则等于( )A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案 D解析∵z1＝(1－i)2＝－2i，z2＝1＋i，∴＝＝＝＝－1－i.3．设向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，则“a⊥b”是“x＝2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a⊥b?x＝2，由x＝2?a⊥b，故选B.4．实数x，y，k满足z＝x2＋y2，若z的最大值为13，则k的值为( )A．1B．2C．3D．4答案 B解析作出满足约束条件的平面区域如图阴影部分所示，z＝x2＋y2的最大值为13，即|OA|2＝13，而A(k，k＋1)，所以k2＋(k＋1)2＝13，解得k＝2或k＝－3(舍去)．5．某几何体的三视图如图所示，数量单位为cm，它的体积是( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案 C解析如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，V＝Sh＝××(2＋4)×3×＝(cm3)．6．设a＝20.1，b＝ln，c＝log3，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a答案 A解析a＝20.1>20＝1，b＝ln<lne＝1，即0<b<1，c＝log3<log31＝0，∴c<b<a.7．若a>0，b>0，ab＝a＋b＋1，则a＋2b的最小值为( )A．3＋3 B．3－3C．3＋D．7答案 D解析当b＝1时，代入等式a＝a＋2不成立，因而b≠1，所以ab－a＝b＋1.a＝＝1＋，所以a＋2b＝1＋＋2b＝3＋＋2(b－1)≥3＋2＝3＋2×2＝7，当且仅当b＝2时，取等号，即最小值为7.8．设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )A.＝－＋B.＝－C.＝－D.＝－＋答案 A解析由平面向量基本定理可得，＝－＝－＝(＋)－＝－＋，故选A.9.如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，点E为棱AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B.C. D.答案 A解析方法一取AB中点G，连接EG，CG.∵E为AD的中点，∴EG∥BD.∴∠GEC为CE与BD所成的角．设AB＝1，则EG＝BD＝，CE＝CG＝，∴cos∠GEC＝＝＝.方法二设AB＝1，则·＝(－)·(－)＝·(－)＝2－·－·＋·＝－cos60°－cos60°＋cos60°＝.∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.10．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x的图象在区间和上均单调递增，则正数a的取值范围是( ) A. B.C. D.答案 B解析f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，因为函数f(x)在区间和上均单调递增，解得≤a<.11.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下列命题错误的是( )A．异面直线C1P和CB1所成的角为定值B．直线CD和平面BPC1平行C．三棱锥D－BPC1的体积为定值D．直线CP和平面ABC1D1所成的角为定值答案 D解析选项A：∵在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，易得CB1⊥平面ABC1D1，∵C1P?平面ABC1D1，∴CB1⊥C1P，故这两个异面直线所成的角为定值90°，故A正确；选项B：直线CD和平面ABC1D1平行，∴直线CD和平面BPC1平行，故B正确；选项C：三棱锥D－BPC1的体积等于三棱锥P－DBC1的体积，而平面DBC1为固定平面且大小一定，∵P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，∴三棱锥的体积为定值，故C正确；选项D：由线面夹角的定义，令BC1与B1C的交点为O，可得∠CPO即为直线CP和平面ABC1D1所成的角，当P移动时这个角是变化的，故D错误．12．若曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于( ) A．1B.C．－1D．2答案 A解析曲线y＝x2的导数为y′＝，在P(s，t)处的切线斜率为k1＝.曲线y＝alnx的导数为y′＝，在P(s，t)处的切线斜率为k2＝.由曲线y＝x2与曲线y＝alnx在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得＝，并且t＝s2，t＝alns，即∴lns＝，∴s2＝e.可得a＝＝＝1.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝__________________.答案解析由正弦定理，得＝，即＝，所以sinB＝，又因为b<a，所以B<A，所以∠B＝.14．完成下面的三段论：大前提：两个共轭复数的乘积是实数．小前提：x＋yi与x－yi(x，y∈R)互为共轭复数．结论：________________________________________________________________________.答案(x＋yi)·(x－yi)(x，y∈R)是实数解析“三段论”可表示为①大前提：M是P；②小前提：S是M；③结论：所以S是P，故该题结论可表示为(x＋yi)·(x－yi)(x，y∈R)是实数．15．甲乙两地相距500km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120km/h.已知汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是y＝__________________，当汽车的行驶速度为________km/h时，全程运输成本最小．答案18v＋(0<v≤120) 100解析∵甲乙两地相距500 km，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为小时，又由汽车每小时运输成本为元，则全程运输成本与速度的函数关系是y＝·＝18v＋(0<v≤120)，由基本不等式得18v＋≥2＝3 600,当且仅当18v＝，即v＝100时等号成立．16．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b.答案②解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b. 三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝－x＋1；当x>1时，f(x)＝log2x.(1)在平面直角坐标系中直接画出函数y＝f(x)在R上的草图；(2)当x∈(－∞，－1)时，求满足方程f(x)＋log4(－x)＝6的x的值；(3)求y＝f(x)在[0，t](t>0)上的值域．解(1)(2)当x∈(－∞，－1)时，f(x)＝log2(－x)，∴f(x)＋log4(－x)＝log2(－x)＋＝log2(－x)＝6，即log2(－x)＝4，即－x＝24，得x＝－16.(3)当0<t≤1时，值域为[－t＋1,1]；当1<t≤2时，值域为[0,1]，当t>2时，值域为[0，log2t]．18．(12分)如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的动点(含端点)，记∠BAD＝α，∠ADC＝β.(1)求2cosα－cosβ的最大值；(2)若BD＝1，cosβ＝，求△ABD的面积．解(1)由△ABC是等边三角形，得β＝α＋，0≤α≤，故2cos α－cos β＝2cos α－cos＝sin，故当α＝，即D为BC中点时，原式取最大值.(2)由cos β＝，得sin β＝，故sin α＝sin＝sin βcos－cos βsin＝，由正弦定理得＝，故AB＝·BD＝×1＝，故S△ABD＝AB·BD·sin B＝××1×＝.19．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋1＝1＋Sn对一切正整数n恒成立．(1)试求当a1为何值时，数列{an}是等比数列，并求出它的通项公式；(2)在(1)的条件下，当n为何值时，数列的前n项和Tn取得最大值？解(1)由an＋1＝1＋Sn得，当n≥2时，an＝1＋Sn－1，两式相减得，an＋1＝2an，因为数列{an}是等比数列，所以a2＝2a1，又因为a2＝1＋S1＝1＋a1，所以a1＝1，所以an＝2n－1.(2)由于y＝2n－1在R上是一个增函数，可得数列是一个递减数列，所以lg >lg >lg >…>lg >0>lg >…，由此可知当n＝9时，数列的前n项和Tn取最大值．20．(12分)设函数f(x)＝x2－3x.(1)若不等式f(x)≥m对任意x∈[0,1]恒成立，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，当m取最大值时，设x>0，y>0且2x＋4y＋m＝0，求＋的最小值．解(1)因为函数f(x)＝x2－3x的对称轴为x＝，且开口向上，所以f(x)＝x2－3x在x∈[0,1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝1－3＝－2，所以m≤－2.(2)根据题意，由(1)可得m＝－2，即2x＋4y－2＝0.所以x＋2y＝1.因为x>0，y>0，则＋＝(x＋2y)＝3＋＋≥3＋2 ＝3＋2，当且仅当＝，即x＝－1，y＝1－时，等号成立．所以＋的最小值为3＋2.21．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2，且△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心．(1)求证：GF∥平面PDC；(2)求三棱锥G—PCD的体积．(1)证明方法一连接AG并延长交PD于点H，连接CH.由梯形ABCD中AB∥CD且AB＝2DC知，＝.又E为AD的中点，G为△PAD的重心，∴＝.在△AHC中，＝＝，故GF∥HC.又HC?平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PDC.方法二过G作GN∥AD交PD于N，过F作FM∥AD交CD于M，连接MN，∵G为△PAD的重心，∴＝＝，∴GN＝ED＝.又ABCD为梯形，AB∥CD，＝，∴＝，∴＝，∴MF＝，∴GN＝FM.又由所作GN∥AD，FM∥AD，得GN∥FM，∴四边形GNMF为平行四边形．∴GF∥MN，又∵GF?平面PCD，MN?平面PCD，∴GF∥平面PDC.方法三过G作GK∥PD交AD于K，连接KF，由△PAD为正三角形，E为AD的中点，G为△PAD的重心，得DK＝DE，∴DK＝AD，又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC，知＝，即FC＝AC，∴在△ADC中，KF∥CD，又∵GK∩KF＝K，PD∩CD＝D，∴平面GKF∥平面PDC，又GF?平面GKF，∴GF∥平面PDC.(2)解方法一由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PE ⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，∴＝＝＝×PE×.又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC＝2，知DF＝BD＝，又△ABD为正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°，∴S△CDF＝×CD×DF×sin∠CDF＝，得＝×PE×S△CDF＝，∴三棱锥G—PCD的体积为.方法二由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD与△ABD均为正三角形，E为AD的中点，知PE⊥AD，BE⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，且PE＝3，连接CE，∵PG＝PE，∴V三棱锥G—PCD＝V三棱锥E—PCD＝V三棱锥P—CDE＝××PE×S△CDE，又△ABD为正三角形，得∠EDC＝120°，得S△CDE＝×CD×DE×sin∠EDC＝.∴V三棱锥G—PCD＝××PE×S△CDE＝××3×＝，∴三棱锥G—PCD的体积为.22．(12分)已知函数f(x)＝ax＋1－xlnx的图象在x＝1处的切线与直线x－y＝0平行．(1)求函数f(x)的极值；(2)若?x1，x2∈(0，＋∞)，>m(x1＋x2)，求实数m的取值范围．解(1)f(x)＝ax＋1－xln x的导数为f′(x)＝a－1－ln x，可得f(x)的图象在A(1，f(1))处的切线斜率为a－1，由切线与直线x－y＝0平行，可得a－1＝1，即a＝2，f(x)＝2x＋1－xln x，f′(x)＝1－ln x，由f′(x)>0，可得0<x<e，由f′(x)<0，可得x>e，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，可得f(x)在x＝e处取得极大值，且为e＋1，无极小值．(2)可设x1>x2，若?x1，x2∈(0，＋∞)，由>m(x1＋x2)，可得f(x1)－f(x2)>mx－mx，即有f(x1)－mx>f(x2)－mx恒成立，设g(x)＝f(x)－mx2在(0，＋∞)为增函数，即有g′(x)＝1－ln x－2mx≥0在(0，＋∞)上恒成立，可得2m≤在(0，＋∞)上恒成立，设h(x)＝，则h′(x)＝，令h′(x)＝0，可得x＝e2，h(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，即有h(x)在x＝e2处取得极小值－，且为最小值，可得2m≤－，解得m≤－.则实数m的取值范围是.。

1河南省信阳高级中学2023届高三年级二轮复习滚动测试5文数试题一、单选题 1.已知集合 2230A x x x ∣，{3,}B x x x N ∣，则A B A. 1,3 B. 1,0,1,2,3C. 0,1,2,3D.1,2,32.若21)1z iz i i ,则复数z 可能为 A.1i B.1i C.2i D.12i3.已知向量(cos ,2)a ,(sin ,1)b ,且//a b,则2sin cos 等于A.45B.3C.3D.454.若 f x 为偶函数,满足()(3)2020f x f x ,f(-1)=1 ,则 2020f 的值为 A.0 B.1 C.1010 D.20205.若事件,A B 为两个互斥事件,且P(A)>0, P(B)>0,有以下四个结论,其中正确的结论是 ①P(AB)=0 ③()1P A B②()[1()]()P AB P A P B ④()()()P A B P A P B A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③6.赵爽是我国古代数学家,大约在公元222年,赵爽在为(周髀算经)作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称为“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形,由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形,设2DF FA,若AB DF 的长为 A.2C.3D.47.已知13m ,则23244m mm m m 的取值范围为A.31,134 B.11,54 C.31,134 D.11,54 8.已知 x 表示不超过实数x 的最大整数.执行如图所示的程序框图，则输出的n A.3 B.4 C.5D.69.记数列 n a 是等差数列，下列结论中一定成立的是 A.若120a a ，则230a a C.若130a a ，则4120a aB.若12a a，则2a D.若10a，则221230a a a a 10.在正方体1111ABCD A B C D 中，,E F 分别为棱11,AD A B 的中点，则异面直线EF 与1AD 所成角的余弦值为A.6B.3C.2D.311.已知函数 y f x 对 0,πx 均满足1()sin ()cos 1f x x f x x x，其中 f x 是 f x 的导数，则下列不等式恒成立的是64fC.π2π33f fB.ππ322f fD.2π23f f12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左、右焦点分别为12,F F .若椭圆C 上存在一点M ，使得21212F F MF MF ，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.152B.1,102C.,110D.10,2第I 卷(非选择题)二、填空题13.写出同时满足下列条件①②的直线l 方程: (写出一个满足条件的答案即可).①在y 轴上的截距为22143x y 只有一个交点.14.已知函数2()log (1)||f x x x ，则不等式 0f x 的解集是 . 15.某学校为落实"双减"政策,在课后服务时间开展了“绘画、书法,围棋、舞蹈、武术”五项兴趣拓展活动,小明计划从这五项活动中选择三项,则书法、舞蹈这两项活动至多有一项被选中的概率为 . 16.若函数432222()32a a f x x x x ax 的极小值点为1，则实数a 的取值范围是 .三、解答题17.记数列 n a 的前n 项和为n T ,且111,(2)n n a a T n . （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设m 为整数,且对任意*n N ,1212nnm a a a ，求m 的最小值.318.随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变,消费层次不断提升, “银发经济”成为社会热门话题之一,被各企业持续关注,某企业为了解该地老年人消费能力情况,对该地年龄在 60,80的老年人的年收入按年龄 60,70，70,80分成两组进行分层抽样调查,已知抽取了年龄在 60,70的老年人500人,年龄在 70,80的老年人300人.现作出年龄在 60,70的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)（1）根据频率分布直方图,估计该地年龄在 60,70的老年人年收入的平均数； （2）已知年龄在 60,70的老年人年收入的方差为3,年龄在 70,80的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4,试估计年龄在 60,80的老年人年收入的方差.19.如图，在四棱锥A BCDE 中，已知底面BCDE 为直角梯形，CB DE ，CB CD ，又棱AB AC ，侧面ABC BCDE 底面.（1）求证：ACD ABE 平面平面；（2）若1AB AC DC DE ，求平面ABC 与平面ADE 所成的锐二面角的余弦值.20.已知函数()ln ()f x x ax a R . （1）求函数 f x 的单调区间.（2）是否存在正整数a ，使不等式 32()x e a x x x f x 对任意(0,)x 恒成立？若存在，求出正整数a 的最大值；若不存在，请说明理由.21.如图所示,过原点O 作两条互相垂直的线,OA OB 分别交抛物线22x y 于,A B 两点,连接AB ,交y 轴于点P.4（1）求点P 的坐标；（2）证明：存在相异于点P 的定点T ，使得||||||||PA TB PB TA 恒成立，请求出点T 的坐标，并求出TAB 面积的最小值.四.选考题：共10分.请考生在22~23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分.22.在根坐标系Ox 中，若点A 为曲线l ：cos 233上一动点，点B 在射线AO 上，且满足||||16OA OB ，记动点B 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的极坐标方程：（2）若过极点的直线1l 交曲线C 和曲线l 分别于不同的两点,P Q ，且线段PQ 的中点为M ，求OM 的最大值.23.已知 a b c R ,x R 、、，不等式|1||2|x x a b c 恒成立.（1）求证：22213a b c ；.。

专题一～七 滚动训练(六)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |－2＜x ≤2，x ∈Z }，B ＝{x |x ≤0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．{x |0＜x ≤2} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{0,1,2}D ．{1,2}解析：选D.由已知可得A ＝{－1,0,1,2}，又因为B ＝{x |x ≤0}，所以∁R B ＝{x |x ＞0}，则A ∩(∁RB )＝{1,2}，故选D.2．若复数z 满足(3＋4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A ．－45iB ．－45C.45i D.45解析：选B.∵(3＋4i)z ＝5，∴z ＝53＋4i＝－＋－＝35－45i.故选B. 3．为阻击埃博拉病毒入侵，我国各口岸已加强防控措施，对出入境人员进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．其中10月20号这一天某口岸出入境的人员有2 000人，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女性人员比男性人员少6人，则这一天出入境的女性人员有( ) A ．97人 B ．950人 C ．970人D ．1 030人解析：选C.抽样比为2002 000＝110，设样本中女生有x 人，则x ＋(x ＋6)＝200，解得x ＝97，所以女性人员共有970人，故选C.4．执行如图所示的程序框图，若输出的s 为16，则输入的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B.程序执行过程中，i ，s 的值依次为i ＝1，s ＝1，执行“是”；s ＝1，i ＝2，执行“是”；s ＝2，i ＝3，执行“是”；s ＝4，i ＝4，执行“是”；s ＝7，i ＝5，执行“是”；s ＝11，i ＝6，执行“是”；s ＝16，i ＝7，执行“否”；输出s 的值为16，所以输入的n＝7.5．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8D ．1解析：选B.设5件产品中合格品分别为A 1，A 2，A 3,2件次品分别为B 1，B 2，则从5件产品中任取2件的所有基本事件为：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10个，其中恰有一件次品的所有基本事件为：A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，共6个．故所求的概率为P ＝610＝0.6.6．下列函数中既是奇函数，又是定义域内的减函数的是( ) A ．f (x )＝x lg 2 B ．f (x )＝－x |x | C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝ln xx解析：选B.A 中，函数f (x )＝x lg 2是增函数；B 中，画图可知函数f (x )＝－x |x |是奇函数，且是减函数；C 中，函数f (x )＝sin x 不单调；D 中，函数f (x )＝ln xx的定义域是(0，＋∞)，是非奇非偶函数．故选B.7．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2 3 B.433 C. 3D.233解析：选B.由该几何体的三视图，借用长方体可得该几何体的直观图如图所示(由俯视图→侧视图→正视图→直观图)，该几何体为四棱锥P ­ABCD ，所以V P ­ABCD ＝13S ABCD ×3＝433.故选B.8．如图是某工厂对一批新产品长度(单位：mm)检测结果的频率分布直方图．估计这批产品的中位数为( )A ．20B ．25C ．22.5D ．22.75解析：选 C.产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x ，则由0.1＋0.2＋0.08·(x －20)＝0.5，得x ＝22.5，故选C.9．在区间[0,1] 上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.14解析：选D.因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0＜4x －3≤1，即34＜x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 10．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：选D.因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则a c ＝12，所以经过第一象限的渐近线的倾斜角为60°，故这条渐近线的方程为y ＝3x .抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线C 1的渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 21＋3＝p4＝2，所以p ＝8.故选D.11．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )的递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 B.⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3解析：选D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，因为f (x )的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，所以ω＝2，又将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝2sin 2x 代入检验知减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3.故选D.12．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x 2；②y ＝e x＋1；③y ＝2x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为( ) A ．①③ B ．②③ C ．①②④D ．②③④解析：选B.因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， 所以x 1(f (x 1)－f (x 2))＋x 2(f (x 2)－f (x 1))＞0，即(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))＞0，可知f (x )在R 上为增函数．可判断得②③为增函数．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．解析：“甲获胜”记为事件A ，“两人下成和棋”记为事件B ，易知A 与B 互斥，所以甲不输的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.3＋0.5＝0.8.答案：0.814．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为________． 解析：4人参加活动共有C 36A 33种方法，其中甲连续3天参加活动共有4A 33种方法，所以P ＝4A 33C 36A 33＝15. 答案：1515．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：法一：当x 0＝0时，M (0,1)，由圆的几何性质得在圆上存在点N (－1,0)或N (1,0)，使∠OMN ＝45°.当x 0≠0时，过M 作圆的两条切线，切点为A 、B . 若在圆上存在N ，使得∠OMN ＝45°， 应有∠OMB ≥∠OMN ＝45°， ∴∠AMB ≥90°，∴－1≤x 0＜0或0＜x 0≤1. 综上，－1≤x 0≤1.法二：过O 作OP ⊥MN ，P 为垂足，OP ＝OM ·sin 45°≤1， ∴OM ≤1sin 45°，∴OM 2≤2，∴x 20＋1≤2，∴x 20≤1，∴－1≤x 0≤1.答案：[－1,1]16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是________． 解析：由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2知〈OA →，OB →〉＝π3.设OA →＝(2,0)，OB →＝(1，3)，OP →＝(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝y 3，λ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －y 3.由|λ|＋|μ|≤1得|3x －y|＋|2y |≤2 3. 作出可行域，如图．则所求面积S ＝2×12×4×3＝4 3.答案：4 3。

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(江苏专用)2018版高考数学专题复习阶段滚动检测五文1．设集合M＝｛x｜－1≤x＜2｝，N＝{x｜x－k≤0}，若M⊆N，则k的取值范围是______________．2．（2016·吉林吉大附中第一次摸底）若命题“∃x0∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题,则实数m的取值范围是______________．3．偶函数f（x)满足f(x－1）＝f(x＋1），且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则关于x的方程f(x）＝(错误!）x在x∈［0，4］上解的个数是________．4．在等差数列{a n}中，a7＝8，前7项和S7＝42,则其公差d＝________.5．函数f(x)＝错误!sin x－cos x（x∈[0，π])的单调递减区间是______________．6．(2016·南京三模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，错误!＝2错误!.若错误!·错误!＝－3，则错误!·错误!＝______。

7．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0），则称x0是f(x）的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________．①f(x)＝x2；②f(x)＝e－x;③f（x）＝ln x；④f（x)＝tan x；⑤f(x)＝错误!。

阶段滚动练2(对应1～5练)(建议时间：90分钟)一、选择题1.(2017·天津)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A.{2}B.{1，2，4}C.{1，2，4，6}D.{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}.又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}， 故选B.2.设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 由“x ≥2且y ≥2”可得“x 2＋y 2≥4”，但“x 2＋y 2≥4”不一定能够得到“x ≥2且y ≥2”，比如“x ＝1，y ＝3”，故选A.3.若a ＜b ＜0，则下列不等式中不成立的是( ) A.||a >||b B.1a －b >1a C.1a >1b D.a 2>b 2 答案 B解析 两个负数中，最小的其绝对值最大，所以选项A 正确； 函数f (x )＝1x 在(－∞，0)上单调递减，因为a ＜b ＜0，所以f (a )＞f (b )，即1a ＞1b，所以选项C 正确；两个负数，越小的其平方越大，所以选项D 正确；因此选B.4.设e 1，e 2，e 3为单位向量，且e 3＝12e 1＋k e 2(k ＞0)，若以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为( )A.32 B.22 C.52 D.72答案 A解析 设e 1，e 2的夹角为θ，则由以向量e 1，e 2为邻边的三角形的面积为12，得12×1×1×sin θ＝12，得sin θ＝1，所以θ＝90°，所以e 1·e 2＝0.从而对e 3＝12e 1＋k e 2两边同时平方得1＝14＋k 2，解得k ＝32或－32(舍去). 5.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则AC →在AB →方向上的投影为( ) A.14 B.12 C.1 D.2 答案 C解析 由平面几何知识，得|AC →|＝2，∠BAC ＝60°， 则AC →在AB →方向上的投影为|AC →|cos 60°＝2×12＝1，故选C.6.复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为( )A.－1B.1C.－75D.75答案 B解析 ∵i (－6＋i )|3－4i|＝－15－65i ，∴－15－⎝⎛⎭⎫－65＝1， 即复数i (－6＋i )|3－4i|的实部与虚部之差为1.7.已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且(x －2)i －y ＝－1＋i ，则1(1＋i )x ＋y －3i 的虚部为( ) A.－325i B.－325 C.325i D.325答案 D解析 ∵(x －2)i －y ＝－1＋i ， ∴x ＝3，y ＝1， ∴1(1＋i )x ＋y －3i ＝1(1＋i )4－3i ＝1[](1＋i )22－3i ＝1－4－3i ＝－4－3i (4＋3i )(4－3i )＝－425＋325i ，故选D.8.非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是( ) A.a ∥b B.a ＋b ＝0 C.a ||a ＝b ||b D.a ＝b答案 B解析 非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的充要条件为a ，b 反向，由选项，得非零向量a ，b 使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是a ＋b ＝0，故选B.9.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( ) A.－1 B.－2 C.1 D.2答案 A解析 由题意，得BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ， 因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBD →，即2a ＋p b ＝2t a －t b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝2，p ＝－t ，解得p ＝－1，故选A. 10.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 由题意得lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )， 即ab ＝a ＋b ⇒1a ＋1b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，故选B. 11.已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是( ) A.[－2，－1] B.[－2，1] C.[1，2] D.[－1，2]答案 D解析 由题意画出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，平移直线0＝x －y 过点A (0，1)时，z 有最小值－1；平移直线0＝x －y 过点B (2，0)时，z 有最大值2，所以z ＝x －y 的取值范围是[－1，2].12.设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°.定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积.若f (M )＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( ) A.8 B.9 C.16 D.18 答案 D解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°可得|AB →|·|AC →|＝4， 所以S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝1，所以x ＋y ＝12，则1x ＋4y ＝2(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝2⎝⎛⎭⎫1＋4x y ＋y x ＋4≥2⎝⎛⎭⎫5＋24x y ·y x ＝18， 当且仅当4x y ＝yx 时等号成立，故选D.二、填空题13.已知A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2＜x ＜π2，B ＝{x |1＋tan x ＞0}，则A ∩B ＝________________. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2 解析 由于tan x ＞－1，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，π2＋k π，k ∈Z ，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π4＜x ＜π2. 14.(2017·北京)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎡⎦⎤12，1解析 方法一 由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 又x ≥0，y ≥0，所以0≤x ≤1，x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12. 由0≤x ≤1，得0≤⎝⎛⎭⎫x －122≤14， 即12≤x 2＋y 2≤1.所以x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1. 方法二 x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ，已知x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝1－2xy .因为1＝x ＋y ≥2xy ， 所以0≤xy ≤14，所以12≤1－2xy ≤1，即x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.方法三 依题意，x 2＋y 2可视为原点到线段x ＋y －1＝0(x ≥0，y ≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x 2＋y 2)min ＝⎝⎛⎭⎪⎫|－1|22＝12，(x 2＋y 2)max＝|OA |2＝|OB |2＝1，故x 2＋y 2∈⎣⎡⎦⎤12，1.15.(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3 解析 方法一|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3. 方法二(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.16.在△ABC 中，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________.(填“重心”“垂心”“内心”“外心”) 答案 垂心解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥CA ，即OB 为△ABC 底边CA 上的高所在直线. 同理OA →·BC →＝0，OC →·AB →＝0，故O 是△ABC 的垂心.三、解答题17.若当a ∈[1，3]时，不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0恒成立，求实数x 的取值范围. 解 设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，则当a ∈[1，3]时f (a )＞0恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2＞0，f (3)＝3x 2＋x －2＞0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，得x ＞2或x ＜－1.∴实数x 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).18.已知集合A ＝{}x ∈R | 0＜ax ＋1≤5且a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪－12＜x ≤2. (1)若A ＝B ，求实数a 的值；(2)若命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B 且p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ， ∴⎩⎨⎧－1a ＝－12，4a ＝2⇒a ＝2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，显然A ≠B ， 故A ＝B 时，a ＝2.(2)p 是q 的充分不必要条件⇒A B ， 0＜ax ＋1≤5⇒－1＜ax ≤4，当a ＞0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a＜x ≤4a ，则 ⎩⎨⎧－1a ＞－12，4a ≤2或⎩⎨⎧－1a ≥－12，4a ＜2，解得a ＞2；当a ＜0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪4a≤x ＜－1a ，则 ⎩⎨⎧4a ＞－12－1a ≤2⇒a ＜－8.综上，实数a 的取值范围是a >2或a ＜－8.19.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，求在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值.解 设生产产品A 、产品B 分别为x ，y 件，利润之和为z 元，那么⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，①故z ＝2 100x ＋900y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图)，即可行域.将z ＝2 100x ＋900y 变形，得y ＝－73x ＋z 900，平移直线y ＝－73x ，当直线y ＝－73x ＋z900经过点M 时，z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，所以当x ＝60，y ＝100时，得点M 的坐标为(60，100).z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元.20.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即当x ＝1810时，上述不等式中等号成立.故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元.。