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MED CBA等腰三角形一、选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33（C ）34（D ）362. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是A ．15cmB ．16cmC ．17cmD ．16cm 或17cm 二、填空题1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________.2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ．4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80º ，则∠EGC 的度数为5. 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6，则AD=_______.6．如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
7. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝ 度．三、解答题1. 如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G ，H 点，如图(2)（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有 及 ；（2）设CG=x ，BH=y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由） （3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形.题1图(1)B HFA （D ）GCEC （E ）BFA （D ）题1图(2)2、如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ． (1)求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．3. 如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ．（1）求证：DE 平分∠BDC ； （2）若点M 在DE 上，且DC=DM ， 求证： ME=BD ．ABC EDO4. 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且ED=EC，如图．试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．等腰三角形答案一、选择题 BDD二、填空题 1、3√3 2、4或6 3、-------- 4、80 5、4 6、80 7、15 三、解答题1. 1（2011广东东莞，21，9分）【答案】解：（1）△HAB ，△HGA 。
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。
等腰三角形的判定与性质练习题1、已知：BE 平分∠ABC ，DE ∥BC 求证：DE=DB2、已知：AE ∥BC ,AE 平分∠DAC 求证：AB=AC3、已知：EF ∥BC ， AB 平分∠EAD ，AC 平分∠FAD ， 求证：BD=DC4、已知：DE ∥BC ， BF 平分∠ABC ，CF 平分∠ACB ， 求证：DE=BD+CE5、已知：MF ∥BC ， BF 平分∠ABD ，CF 平分∠ACD ， 求证：①MB=MF ②NC=NF③MN=MB-NC6、已知：BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，DE ∥AB ，DF ∥AC求证：△DEF 的周长=BCEAB DCBC BA DB7、已知：AB=AC，D E⊥BC,求证：DA=FA8、已知：AF=AE，AB=AC,D为BC的中点求证：AD∥EF9、已知：△ABC中，BA=BE, CA=CD,∠BAC=130°.求：①∠DAE的度数（答案25°）②探究∠DAE与∠B、∠C的关系10、已知：△ABC中，BF垂直平分AE,CG垂直平分AD,∠BAC=100°.求：∠DAE的度数11、已知：AB=AC,AD=AE, ∠CDE=32°，求：∠BAD的度数B ECB CBC B12、已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，A D⊥DE，BE⊥DE。
判断DE、AD、BE有怎样的关系，请证明你的结论①②③13、已知：△ABD和△CED都是等腰直角三角形。
判断AC、BE有怎样的关系，请证明你的结论①②③EAAA14、已知：△ABC 和△DCE 都是等边角三角形。
判断BD 、AE 有怎样的关系，请证明你的结论 ① ②③15、已知：C 在BE 上，△ABC 和△CED都是等边三角形。
求证：①BD=AE ②图中有几对全等三角形③∠BPE= 度④连结MN,则M N ∥BE ⑤连接PC ，则PC 平分∠BPC。
八年级数学上册《第二章等腰三角形的判定定理》练习题及答案-浙教版一、选择题1.在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶3B.a∶b∶c＝2∶2∶3C.∠B＝50°，∠C＝80°D.2∠A＝∠B＋∠C2.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°3.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )A.3 cmB.4 cmC.1.5 cmD.2 cm4.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A.3条B.4条C.5条D.6条5.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E.已知∠BAE＝10°，则∠C的度数为( )A.30°B.40°C.50°D.60°6.如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN ＝44°，则∠P的度数为( )A.102°B.100°C.88°D.92°7.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB ＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°.则∠BCE 的度数为( )A.55°B.50°C.40°D.35°二、填空题9.△ABC中其周长为7，AB＝3，当BC＝时，△ABC为等腰三角形.10.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形.你添加的条件是 .11.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是海里.12.如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF的周长是 cm.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝.14.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数是．三、解答题15.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG∥AD，找出图中的等腰三角形，并给出证明.16.如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)若AE＝8cm，AB＝10cm，GC＝2BGcm，求△ABC的周长.17.如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线OB与∠ACB的角平分线OC相交于点O，过点O作MN ∥BC，分别交AB、AC于点M、N.(1)请写出图中所有的等腰三角形，并给予证明；(2)若AB＋AC＝14，求△AMN的周长.18.如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD．(1)求∠BDA的度数；(2)若AD＝2，求BC的长．19.如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E.(1)求证：△ABE为等腰三角形；(2)已知AC＝11，AB＝6，求BD长.20.如图，E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB＝900，设AD＝x，BC＝y，且(x﹣3)2＋|y﹣4|＝0；(1)求AD和BC的长；(2)认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；(3)能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由。
第04讲等腰三角形的判定定理（2个知识点+12大题型+18道强化训练）知识点01：等腰三角形的判定等腰三角形的判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（简称“等角对等边”）总结：【即学即练1】已知等腰三角形的一边长为5cm ，另一边长为11cm ，则它的周长为（ ）A ．16cmB ．27cmC ．21cmD ．21cm 或27cm【即学即练2】如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BD =，DE AB ^于点E ，若4BC =，BDC D 的周长为10，则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．4知识点02：等边三角形的判定1、判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
2、等腰三角形和等边三角形的判定【即学即练3】下列四个说法中，正确的有（ ）①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练4】若一个三角形有两条边相等，且有一内角为60°，那么这个三角形一定为（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．正三角形题型01 格点中画等腰三角形1．如图，在33´的网格中，以AB 为一边，点P 在格点处，使ABP V 为等腰三角形的点P 有（ ）个A ．2个B ．5个C．3个D ．1个2．在正方形网格中，网格线的交点成为格点，如图，A 、B 分别在格点处，若C 也是图中的格点，且使得ABC V 是以AB 为腰的等腰三角形，则符合条件的点C 有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、B 是网格中的两个格点，如果C 也是网格中的格点，且使ABC V 为等腰三角形，那么符合条件的点C 有 个．4．如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A ，B ，请在此点阵中找一个阵点C ，使得以点A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C 有 个．5．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．(1)在图1中画一个以AB 为直角边且面积为3的直角三角形．(2)在图2中画一个以AC 为腰的等腰三角形．题型02 找出图中的等腰三角形1．如图，在ABC V 中，AB AC =，72B Ð=°，CD 平分ACB Ð交AB 于点D ，DE AC ∥交BC 于点E ，则图中共有等腰三角形（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．如图，已知线段AB 的端点B 在直线l 上（AB 与l 不垂直）请在直线l 上另找一点C ，使ABC V 是等腰三角形，这样的点能找（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图，在ABC V 中，已知边AB 的垂直平分线与边BC 的垂直平分线交于点P ，连接PA PB PC 、、，则图中有 个等腰三角形．4．如图，已知ABC V 中，37AB BC ==，，在ABC V 所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1=∠2，DB=DC ．（1）求证：AB+BE=CD ．（2）若AD=BC ，在不添加任何补助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．题型03 根据等角对等边证明等腰三角形1．一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）A ．40°，70°B ．30°，90°C ．60°，50°D ．40°，20°2．在ABC V 中，36A Ð=°，72B Ð=°，则ABC V 是（ ）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形3．在ABC V 中，若50B Ð=°，65C =°∠，则ABC V 等腰三角形．（填“是”或“不是”）4．在ABC V 中，90A Ð=°，当B Ð= 度时，ABC V 是等腰三角形．5．如图，在ABC V 中，60,40,BAC C ABC Ð=°Ð=°Ð的平分线BD 交AC 于点D ．判断BCD △是否为等腰三角形?请说明理由．题型04 根据等角对等边证明边相等1．如图，在ABC V 中，6BC =，边AB 的垂直平分线交BC 于M ，点N 在MC 上，连接AM ，AN ，C NAC Ð=Ð，则MAN △的周长为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．122．在ABC V 中，AD 平分235BAC B ADB AB CD ÐÐ=Ð==，，，，则AC 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93．如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若8BM CN +=，则线段MN 的长为 ．4．如图，在ABC V 中，4AB =，6AC =，ABC Ð和ACB Ð的平分线交于O 点，过点O 作BC 的平行线交AB 于M 点，交AC 于N 点，则AMN V 的周长为 ．5．如图，ABC V 中，CA CB =，点D 在BC 的延长线上，连接AD AE ，平分CAD Ð交CD 于点E ，过点E 作EF AB ^，垂足为点F ，与AC 相交于点G ．．(1)求证：CG CE =；(2)若30B Ð=°，40CAD Ð=°，求AEF Ð和D Ð的度数；(3)求证：2D AEF Ð=Ð．题型05 根据等角对等边求边长1．如图，在ABC V 中，B C Ð=Ð，4AB =，则AC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，在ABC V 中，ABC Ð的平分线交AC 于点D ，6AD =，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若AED △的周长为16，则边AB 的长为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．163．如图，在ABC V 中，12AB =，9AC =，沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若12ADE C Ð=Ð，则BD 的长是 ．4．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，10AC =，12BC =，点D 是AC 边的中点，点E 是BC 边上一动点，将CDE V 沿DE 折叠得到C DE ¢V ，连接BC ¢，当BEC ¢△是直角三角形时，BE 的长为 ．5．如图，100,40203BAC B D AB Ð=°Ð=°Ð=°=，，，求CD 的长．题型06 直线上与已知两点组成等腰三角形的点1．点A ，B 在直线l 同侧，若点C 是直线l 上的点，且ABC V 是等腰三角形，则这样的点C 最多有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(3,4)，点P 是坐标轴上的一点，使OAP V 为等腰三角形的点P 的个数有（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．如图，点O 在直线l 上，点A 在直线l 外.若直线l 上有一点P 使得APO △为等腰三角形，则满足条件的点P 位置有 个.4．如图，已知Rt ABC △中，90,30Ð=°Ð=°C A .在直线BC 或AC 上取一点P ，使得PAB V 是等腰三角形，则符合条件的P 点有 个.5．如图，在直线EF 上有一点A ，直线外有一点B ，点C 在直线EF 上，ΔABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形．（1）在图中画出ΔABC（2）已知40BAF Ð=°，求BCAÐ题型07 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点1．已知ABC V 中，AB AC =．108A Ð=°，在平面内找一点P ，使得PAB V ，PAC V ，PBC V 都是等腰三角形，则这样的P 点有（ ）个A ．4B ．6C ．8D ．102．已知：如图ABC V 中，=60B а，80C Ð=°，在直线BA 上找一点D ，使ACD V 或BCD △为等腰三角形，则符合条件的点D 的个数有（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个3．如图，在ABC V 中，25,100B A Ð=°Ð=°，点P 在ABC V 的三边上运动，当PAC V 成为等腰三角形时，其顶角的度数是 ．4．如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t = s时，POQ △是等腰三角形？5．如图，在ABC V 中，AB AC BC ==，ABC V 所在的平面上有一点P （如图中所画的点1P ），使PAB V ，PBC △， PAC V 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P 有几个（包括点1P ）？在图中画出来．题型08 作等腰三角形（尺规作图）1．如图，已知直线m n P ，线段AC 分别与直线m ，n 相交于点B 、点C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交直线m 于点B 、点D ．若70A Ð=°，则a 的度数为（ ）A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°2．如图，已知直线l 及直线l 外一点P ，过点P 作直线l 的平行线，下面四种作法中错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝50°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，连接CD ，则∠ACD 的度数是 ．4．如图，直线a b ，相交于点O ，150а＝，点A 是直线上的一个定点，点B 在直线b 上运动，若以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，则OAB Ð的度数是 ．5．已知：线段a ，h ，求作等腰ABC V ，使底边BC a =，高AD h =，（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．题型09 等腰三角形的性质和判定1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC EF ^，垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为166AC =，，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，16AB AC ==，点E 是BC 边上任意一点，过点E 分别作AB AC ，的平行线，交AC 于点F ，交AB 于点D ，则四边形ADEF 的周长是（ ）A ．32B ．24C ．16D ．83．如图，在ABC V 中，BD 和CD 分别是ABC Ð和ACB Ð的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若，BE CF ==34，则EF 的长为 ．4．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，30C Ð=°，作边BC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．若3AD =，则DE 的长为 ．5．如图，在ABC V 中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE Ð=Ð，AD 与CE 相交于点F ．(1)证明：BA BC =；(2)求证：AFC V 为等腰三角形．题型10 三角形边角的不等关系1．若等腰三角形的一边长等于2，另一边长等于3，则它的周长等于（ ）．A ．7B ．8C ．9D ．7或82．如图，ABC V 中，5,9,10,AB AC BC EF ===垂直平分BC ，点P 为直线EF 上的任一点，则ABP V 周长的最小值是（ ）A ．10B ．14C ．15D ．193．等腰三角形周长为20，一边长为4，则另两边长为 ．4．等腰三角形的一边是7，另一边是4，其周长等于 .5．已知a 、b 、c 为ABC V 的三边长，a 、b 满足2(2)|3|0a b -+-=，且c 为方程|6|3x -=的解，求ABC V 的周长并判断ABC V 的形状.题型11 等边三角形的判定1．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．在ABC V 中，60A Ð=°，添加下列一个条件后，仍不能判定ABC V 为等边三角形的是（ ）A ．AB AC =B ．AD BC ^C ．B C Ð=ÐD ．A CÐ=Ð3．在ABC V 中，B C Ð=Ð，若添加一个条件使ABC V 是等边三角形，则添加的条件可以是 ．（写出一个即可）4．已知a ，b ，c 为ABC V 三边的长，当222222ab a b c bc +=++时，则ABC V 的形状是 ．5．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，B D Ð=Ð，点E 在BA 的延长线上，连接CE ．(1)求证：E ECD Ð=Ð；(2)若60E Ð=°，CE 平分BCD Ð，请判断BCE V 的形状并说明理由．题型12 等边三角形的判定和性质1．如图，30AOB Ð=°，点P 在AOB Ð的内部，点C ，D 分别是点P 关于OA OB 、的对称点，连接CD 交OA OB 、分别于点E ，F ；若PEF !的周长的为9，则线段OP =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．112．若一个等腰三角形一腰上的高等于腰的一半，则这个等腰三角形的底角为（ ）A ．75°B ．15°C ．30°或150°D ．15°或75°3．如图，已知30AOB Ð=°，P 是AOB Ð内部的一个定点，且1OP =，点E 、F 分别是OA 、OB 上的动点，则PEF !周长的最小值等于 ．4．如图，等边ABC V 的边长为4cm ，点Q 是AC 的中点，若动点P 以2cm /秒的速度从点A 出发沿A B A ®®方向运动设运动时间为t 秒，连接PQ ，当APQ △是等腰三角形时，则t 的值为 秒．5．如图，D 是等边ABC V 外的一点，3BC =，DB DC =，120BDC Ð=°，点E 、F 分别在AB 和AC 上．(1)求证：AD 是BC 的垂直平分线(2)若ED 平分BEF Ð，①证明：FD 平分EFC Ð；②求AEF △的周长．1．如图，ABC V 中，AB AE =，且AD BC ^，EF 垂直平分AC ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，若ABC V 周长为16，6AC =，则DC 为（ ）A ．5B ．8C ．9D ．102．如图，在ABC V 中，AB AC =，45BAC Ð=°，AD BC ^于点D ，BE AC ^于点E ，交AD 于点F ，若10AF =，则BD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．103．如图，在ABC V 中，AB AC =，120A Ð=°，6cm BC =，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm4．如图，D 为ABC V 内一点，CD 平分ACB Ð，BD CD ^，A ABD Ð=Ð，若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55．如图，在AOB V 和COD △中，OA OB =，OC OD =，OA OC <，36AOB COD Ð=Ð=°．连接AC BD 、交于点M ，连接OM ．下列结论：①BOM COM Ð=Ð；②AC BD =；③OM 平分AMD ∠；④144AOD Ð=°，⑤MOC MOD V V ≌其中正确的结论个数有（ ）个．A ．5B ．4C ．3D ．26．如图，在四边形OAPB 中，120AOB Ð=°，OP 平分AOB Ð，且2OP =，若点M 、N 分别在直线OA OB 、上，且PMN V 为等边三角形，则满足上述条件的PMN V 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．3个以上7．如图，ABC V 中，BO 、CO 分别平分ABC Ð和ACB Ð，过点O 平行于BC 的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，已知9cm AB =，8cm AC =，ADE V 的周长为 ．8．如图，60AOB Ð=°，C 是BO 延长线上一点，12cm OC =，动点M 从点C 出发沿射线CB 以2cm /s 的速度移动，动点N 从点O 出发沿射线OA 以1cm /s 的速度移动，如果点M 、N 同时出发，设运动的时间为s t ，那么当t = s 时，MON △是等腰三角形．9．已知，在ABC V 中，AB AC =，BD AC ^于点D ，AE BC ^于点E ，若50BAC Ð=°，则DCO Ð= °．10．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的中线，点E 在AC 上，且AE AD =，连接DE ，若20CDE Ð=°，则B Ð的度数为 °．11．定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，ABC V 中，36,A B Ð=°Ð为钝角，则使得ABC V 是特异三角形所有可能的B Ð的度数为 ．12．已知在ABC V 中，40A Ð=°，D 为边AC 上一点，ABD △和BCD △都是等腰三角形，则C Ð的度数可能是 ．13．如图，在ABC V 中，AB AC D =，是BC 边上一点，以AD 为边在AD 右侧作ADE V ，使AE AD =，连接108CE BAC DAE Ð=Ð=°，(1)求证：BAD CAE V V ≌；(2)若DE DC =，求CDE Ð的度数．14．如图，点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AD AE =，BD CE =．(1)求证：AB AC =．(2)若108,2180BAC DAE BAC Ð=°Ð+Ð=°，直接写出图中除ABC V 与ADE V 外所有等腰三角形．15．如图，在等边ABC V 中，点D 在边BC 上，过点D 作DE AB ∥交AC 于点E ，过点E 作EF DE ^，交BC 的延长线于点F ．(1)求F Ð的度数；(2)求证：DC CF =．16．如图，已知ABC V 中，D 为BC 上一点，AB AD =，E 为ABC V 外部一点，满足AC AE =，连结DE ，与AC 交于点O ，且CAE BAD Ð=Ð．(1)求证：ABC ADE △≌△；(2)若25BAD Ð=°，求EDC Ð的度数．17．如图，已知在ABC V 中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点，点P 在线段BC 上以3厘米/秒如果点P 在线段BC 上以3厘米每秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．(1)若点Q 的运动速度与点p 的运动速度相等，经一秒后，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；(2)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？18．（1）【问题提出】如图1，在Rt ABC △和Rt CDE △，已知90ACE B D Ð=Ð=Ð=°，AC CE =，B 、C 、D 三点在一条直线上，5AB =， 6.5DE =，则BD 的长度为______．（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，4BC =，过点C 作CD AC ^，且CD AC =，求BCD △的面积．（3）【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境．如图3所示，在河流BD 的周边规划一个四边形ABCD 巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形ABCD 中，45ABC CAB ADC Ð=Ð=Ð=°，AC BC =，ACD V 面积为212km ，且CD 的长为6km ，则河流另一边森林公园BCD △的面积为______2km ．。
等腰三角形的性质及判定一．选择题（共30小题）1．如图，已知AB＝AC＝BD，那么（）A．∠1＝∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°2．如图，△ABC中，CA＝CB，∠A＝20°，则三角形的外角∠BCD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．140°3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如果某等腰三角形的两条边长分别为4和8，那么它的周长为（）A．16B．20C．20或16D．不确定5．△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，则一个底角等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°6．已知等腰三角形ABC的两边满足+|6﹣BC|＝0，则此三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．3个C．2个D．1个8．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．8C．10D．8或139．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．11cm或7.5cmC．7.5cm D．以上都不对10．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．15C．12或15D．911．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD 为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或1613．若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（）A．70°或55°B．55°C．70°D．65°14．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB 交BE于D，图中等腰三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个17．如图，直线l1，l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1，l2上找一点C，使△ABC 为一个等腰三角形，满足条件的点C有（）A．2个B．4个C．6个D．8个18．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形20．等腰三角形的边长为2和3，那么它的周长为（）A．8B．7C．8或7D．以上都不对21．等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°22．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个23．三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．不能确定24．小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．8D．11或1325．如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A ＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（）A．15°≤a＜18°B．15°＜a≤18°C．18°≤a＜22.5°D．18°＜a≤22.5°26．已知等腰△ABC中，∠A＝120°，则底角的大小为（）A．60°B．30°或120°C．120°D．30°27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，点D是边BC上任意一点，则点D分别到边AB，AC的距离之和等于（）A．5B．6.5C．9D．1028．如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．40°C．35°D．70°29．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°30．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（）A．5、5B．2、8C．5、5或2、8D．以上结果都不对二．填空题（共15小题）31．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为______．32．已知AD是△ABC的高，若AB＝AC，BC＝4，则CD＝______，33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有______个．34．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有______．35．若等腰三角形的两边的长分别为3和10，则它的周长为______．36．如果等腰三角形的两边长分别是6、8，那么它的周长是______．37．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AE＝AO，BF＝BO，则∠EOF的度数是______．38．等腰△ABC的边长分别为6和8，则△ABC的周长为______．39．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是______．40．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是______．41．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为______cm．42．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上两点，AD＝AE，BE＝6，DE＝4，则EC ＝______．43．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C═30°，DA⊥BA于点A，BC＝16cm，则AD＝______．44．如图，AB＝AC＝CD，∠BAC＝56°，则∠B＝______，∠D＝______．45．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．三．解答题（共5小题）46．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．47．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．49．已知等腰三角形的周长为24cm，其中两边之差为6cm，求这个等腰三角形的腰长．50．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．（1）求∠A的度数；（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．等腰三角形的性质及判定参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，∵∠1＝∠C+∠2，∴∠BAD＝∠1＝∠C+∠2，∵∠B+∠1+∠BAD＝180°，∴∠C+2∠1＝180°，∵∠C＝∠1﹣∠2，∴∠1﹣∠2+2∠1＝180°，即3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，∴∠B＝∠A＝20°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°，故选：B．3．解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．4．解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，综上三角形的周长为20．故选：B．5．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，∴∠B＝∠C，∠A＝120°∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝＝30°，故选：D．6．解：∵+|6﹣BC|＝0，∴AB﹣3＝0，6﹣BC＝0，解得AB＝3，BC＝6，（1）若AB是腰长，BC为底，则三角形的三边长为：3、3、6，不能能组成三角形，（2）若AB是底边长，BC为腰，则三角形的三边长为：3、6、6，能组成角形，周长为3+6+6＝15．故此三角形的周长为15．故选：B．7．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：B．8．解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，1+1＝2＜6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为1+6+6＝13．故选：A．9．解：∵11cm是底边，∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，故选：C．10．解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．故选：B．11．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，①如图1，当AB＝AD＝10时，CD＝CB＝6时，CD＝CB＝6，得△ABD的等腰三角形．②如图2，当AB＝BD＝10时，△ABD是等腰三角形；③如图3，当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．故选：B．12．解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．13．解：∵等腰三角形的顶角为70°，∴它的一个底角度数为（180°﹣70°）＝55°，故选：B．14．解：如图所示：由勾股定理得：AB＝＝，①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故选：D．15．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣30°）÷2＝75°；②当这个角是底角时，底角＝30°；故选：C．16．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形．∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于E，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∵∠A＝∠ABE＝36°，∴△ABE是等腰三角形．∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴△BEC是等腰三角形．∵∠DBC＝∠DCB＝36°，∴△BCD是等腰三角形，∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．17．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D．18．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．19．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．20．解：分两种情况讨论：当这个三角形的底边是2时，三角形的三边分别是2、3、3，能够组成三角形，则三角形的周长是8；当这个三角形的底边是3时，三角形的三边分别是2、2、3，能够组成三角形，则三角形的周长是7．故等腰三角形的周长为8或7．故选：C．21．解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：B．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠B＝36°，∴△ABD是等腰三角形，∵∠CAE＝∠C＝36°，∴△AEC是等腰三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝72°，∴△ADC是等腰三角形，同理，△ABE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴△ADE是等腰三角形，故选：D．23．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．24．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，能构成三角形，周长＝2×3+5＝11；（2）当腰长为5时，能构成三角形，周长＝2×5+3＝13．故选：D．25．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4B＝5α°，由题意，∴18°≤α＜22.5°．故选：C．26．解：∵在等腰△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠A为等腰三角形的顶角，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°；故选：D．27．解：连接AD，∵在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，∴三角形ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝AB•DN+AC•DM＝AB•（DN+DM）＝×13×（DN+DM）＝65，解得：DN+DM＝10．故选：D．28．解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．29．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．30．解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．故另两条边的长是5、5或2、8．故选：C．二．填空题（共15小题）31．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．故答案为75°、75°或30°、120°．32．解：∵AD是△ABC的高，AB＝AC，∴CD＝BD＝BC＝4＝2，故答案为：2．33．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P．③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P．综上所述：符合条件的点P共有4个．故答案为：434．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2＝4，故答案为：435．解：（1）若3为腰长，10为底边长，由于3+3＜10，则三角形不存在；（2）若10为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为10+10+3＝23．故答案为：23．36．解：当6是腰长时，周长＝6+6+8＝20；当8是腰长时，周长＝6+8+8＝22．故周长是20或22．故答案为：20或22．37．解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∴∠A+∠B＝90°，∵AE＝AO，BF＝BO，∴∠AOE＝∠AEO＝，∠BOF＝∠BFO＝，∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣（+）＝（∠A+∠B）＝45°，故答案为45°．38．解：当6为底时，三角形的三边为6，8、8可以构成三角形，周长为6+8+8＝22；当8为底时，三角形的三边为8，6、6可以构成三角形，周长为8+6+6＝20．则△ABC的周长为22或20．故答案为：22或20．39．解：设底角为x°，则顶角为3x°，根据题意得：x+x+3x＝180解得：x＝36；故答案为：36°．40．解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），解得x＜10，∴x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．41．解：设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，①若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x＝20，解得x＝4，此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；②若较短的边为腰，较长的边为底边，则x+x+2x＝20，解得x＝5，此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，∵5+5＝10，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长8cm，故答案为8．42．证明：∵BE＝6，DE＝4，∴BD＝BE﹣DE＝2，过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴CE＝BD＝2，故答案为：2．43．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝16cm，∴AD＝cm，故答案为：cm．44．解：∵AB＝AC，∠BAC＝56°∴∠B＝∠ACB＝＝62°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠D＝∠ACB＝31°，故答案为：62°，31°．45．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三．解答题（共5小题）46．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．47．①证明：∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；②AB＝PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∵，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，∴AB＝PC．48．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC．49．解：设三角形的腰为x，底为y，根据题意得或，解得或，又知6+6＜12，不能构成三角形，即等腰三角形的腰长为：10cm．50．解：（1）∵EA＝EC，∴设∠A＝∠2＝x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x，在△ABC中，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）∵∠A＝∠2，∴∠2＝36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，∴∠1＝∠DFC＝54°．第1页（共1页）。
第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图〔1〕，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，那么AB 的长为 。
2．在△ABC 中，∠A=90°，BD 为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E 恰为BC 中点，那么∠ABC 等于 。
3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两局部之差为3cm ，那么腰长为 。
4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。
5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，那么∠A= ，∠B= 。
6．等腰三角形底角的一个外角为100°，那么它的顶角为 。
7．如图〔2〕，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，假设∠D=136°，那么∠DCA= 。
8．如图〔3〕，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、E在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，那么∠E= ， ∠D= ，∠DAE= 。
9．如图〔4〕，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，那么∠MAB 的度数为 。
10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，那么另外两条边为 。
二、解答题1．如图〔5〕，△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。
AB CDE 图〔1〕D AB C图〔2〕A图〔3〕OAB M图〔4〕ABFE 图〔5〕2．如图〔6〕，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。
求证：BD=CF 。
3．如图〔7〕，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。
求证：CF=2BF 。
