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树及二叉树

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第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念

第7章-树和二叉树第2讲-二叉树的概念
（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限子集 T1、T2、…、Tm，而每个子集本身又是一棵树，称为根结点 root的子树。 树中所有结点构成一种层次关系！
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系

二叉树,树,森林遍历之间的对应关系一、引言在计算机科学中，数据结构是非常重要的知识点之一。

而树这一数据结构，作为基础的数据结构之一，在软件开发中有着广泛的应用。

本文将重点探讨二叉树、树和森林遍历之间的对应关系，帮助读者更加全面地理解这些概念。

二、二叉树1. 二叉树的定义二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

二叉树可以为空，也可以是一棵空树。

2. 二叉树的遍历在二叉树中，有三种常见的遍历方式，分别是前序遍历、中序遍历和后序遍历。

在前序遍历中，节点的访问顺序是根节点、左子树、右子树；在中序遍历中，节点的访问顺序是左子树、根节点、右子树；在后序遍历中，节点的访问顺序是左子树、右子树、根节点。

3. 二叉树的应用二叉树在计算机科学领域有着广泛的应用，例如用于构建文件系统、在数据库中存储有序数据、实现算法中的搜索和排序等。

掌握二叉树的遍历方式对于理解这些应用场景非常重要。

三、树1. 树的定义树是一种抽象数据类型，由n(n>0)个节点组成一个具有层次关系的集合。

树的特点是每个节点都有零个或多个子节点，而这些子节点又构成了一颗子树。

树中最顶层的节点称为根节点。

2. 树的遍历树的遍历方式有先根遍历、后根遍历和层次遍历。

在先根遍历中，节点的访问顺序是根节点、子树1、子树2...；在后根遍历中，节点的访问顺序是子树1、子树2...，根节点；在层次遍历中，节点的访问顺序是从上到下、从左到右依次访问每个节点。

3. 树的应用树广泛用于分层数据的表示和操作，例如在计算机网络中的路由算法、在操作系统中的文件系统、在程序设计中的树形结构等。

树的遍历方式对于处理这些应用来说至关重要。

四、森林1. 森林的定义森林是n(n>=0)棵互不相交的树的集合。

每棵树都是一颗独立的树，不存在交集。

2. 森林的遍历森林的遍历方式是树的遍历方式的超集，对森林进行遍历就是对每棵树进行遍历的集合。

3. 森林的应用森林在实际编程中经常用于解决多个独立树结构的问题，例如在数据库中对多个表进行操作、在图像处理中对多个图形进行处理等。

第6章树和二叉树

第6章树和二叉树
2.孩子表示法 孩子表示法 在结点中设置指向每个孩子的指针域， 在结点中设置指向每个孩子的指针域，利用指针 指向该结点的所有孩子结点。 指向该结点的所有孩子结点。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。 大多采用按树的度设置结点的指针域的个数。
9
6.1.4 树的存储结构
3.孩子兄弟表示法 孩子兄弟表示法 在结点中设置两个指针域， 在结点中设置两个指针域，一个指针域指向该结 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。 点的第一个孩子，另一个指针域指向其右兄弟。
2
6.1.1树的定义 树的定义
结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 结点的度：结点所拥有子树的个数称为结点的度。 子树 称为结点的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 最大值称为树的度 树的度：树中所有结点的度的最大值称为树的度。 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点 终端结点或 叶结点：度为零的结点称为叶结点。也称终端结点或叶 子 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 分支结点：度不为零的结点称为分支结点。也称非终端 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 结点。除根结点以外，分支结点也称为内部结点。 孩子结点和双亲结点： 孩子结点和双亲结点：树中一个结点的子树的根结点称 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 为孩子结点。该结点就称为孩子结点的双亲结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 兄弟结点：具有同一双亲的孩子结点互为兄弟结点。 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点， 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点，称 为结点的祖先。 为结点的祖先。
17
6.2.2 二叉树的性质
性质4 具有n（ 性质 具有 （n>0）个结点的完全二叉树的深度 ）个结点的完全二叉树的深度h= log 2 n + 1 证明： 证明： 根据完全二叉树的定义可知深度为h-1层及以上的结点构成 根据完全二叉树的定义可知深度为 层及以上的结点构成 满二叉树，因此由性质2得深度为 得深度为h的完全二叉树满足 满二叉树，因此由性质 得深度为 的完全二叉树满足 n>2h-1-1和n≤2h-1 和 整理后得到 2h-1≤n<2h 不等式两边取对数， 不等式两边取对数，得 h-1≤log2n<h 由于h为正整数 为正整数， 由于 为正整数，因此 h= log 2 n + 1

数据结构PPT树和二叉树

数据结构PPT树和二叉树

(c)
L
R
R
(d)
(e)
(a) 空树
(b) 只含根结点
(d) 左右子树均不为空树
(c) 右子树为空树 (e) 左子树为空树
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质1 在二叉树的第 i 层上至多有 2i - 1个结点。(i ≥ 1)
[证明用归纳法]
证明：当i=1时，只有根结点，2 i-1=2 0=1。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
树构成(即不存在度大于2的结点)，并且左、右子树本身也
是二叉树。 说明： 1. 二叉树中每个结点最多有两棵子 树，二叉树每个结点度小于等于2；
A
B
D
E
C F
2. 左、右子树不能颠倒——有序树；
G
3. 二叉树是递归结构，在二叉树的定
义中又用到了二叉树的概念。
安
徽 理
二叉树的形态
工
大
学
φ
L
(a)
(b)
例1. 家族族谱
设某家庭有13个成员A、B、C、D、E、F、G、H、I、J
、K、L、M，他们之间的关系可如图所示的树表示。
例2. 单位行政机构的组织关系

树和二叉树的实验报告

树和二叉树的实验报告

《数据结构》实验报告题目: 树和二叉树一、用二叉树来表示代数表达式（一）需求分析输入一个正确的代数表达式, 包括数字和用字母表示的数, 运算符号+ - * / ^ =及括号。

系统根据输入的表达式建立二叉树, 按照先括号里面的后括号外面的, 先乘后除的原则, 每个节点里放一个数字或一个字母或一个操作符, 括号不放在节点里。

分别先序遍历, 中序遍历, 后序遍历此二叉树, 并输出表达式的前缀式, 中缀式和后缀式。

（二）系统设计1.本程序中用到的所有抽象数据类型的定义；typedef struct BiNode //二叉树的存储类型{char s[20];struct BiNode *lchild,*rchild;}BiTNode,*BiTree;2.主程序的流程以及各程序模块之间的层次调用关系, 函数的调用关系图:3. 列出各个功能模块的主要功能及输入输出参数void push(char cc)初始条件: 输入表达式中的某个符号操作结果: 将输入的字符存入buf数组中去BiTree Create_RTree()初始条件: 给出二叉树的定义表达式操作结果：构造二叉树的右子树, 即存储表达式等号右侧的字符组BiTree Create_RootTree()初始条件: 给出二叉树的定义表达式操作结果：构造存储输入表达式的二叉树, 其中左子树存储‘X’, 根节点存储‘：=’void PreOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：先序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次void InOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：中序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次void PostOrderTraverse(BiTree T)初始条件: 二叉树T存在操作结果：后序遍历T, 对每个节点调用函数Visit一次且仅一次int main()主函数, 调用各方法, 操作成功后返回0（三）调试分析调试过程中还是出现了一些拼写错误, 经检查后都能及时修正。

树和二叉树习题及答案

树和二叉树习题及答案

树和二叉树习题及答案一、填空题1. 不相交的树的聚集称之为森林。

2. 从概念上讲，树与二叉树是两种不同的数据结构，将树转化为二叉树的基本目的是_树可采用孩子-兄弟链表（二叉链表）做存储结构，目的是利用二叉树的已有算法解决树的有关问题。

3. 深度为k的完全二叉树至少有2 k-1个结点。

至多有2 k-1个结点，若按自上而下，从左到右次序给结点编号（从1开始），则编号最小的叶子结点的编号是2 k-2+1。

4. 在一棵二叉树中，度为零的结点的个数为n，度为2的结点的个数为n2，则有n= n2+1。

5. 一棵二叉树的第i（i≥1）层最多有2 i-1个结点；一棵有n （n>0）个结点的满二叉树共有（n+1）/2个叶子和（n-1）/2个非终端结点。

6.现有按中序遍历二叉树的结果为abc，问有5种不同形态的二叉树可以得到这一遍历结果。

7. 哈夫曼树是带权路径最小的二叉树。

8. 前缀编码是指任一个字符的编码都不是另一个字符编码的前缀的一种编码方法，是设计不等长编码的前提。

9. 以给定的数据集合{4，5，6，7，10，12，18}为结点权值构造的Huffman树的加权路径长度是 165 。

10. 树被定义为连通而不具有回路的（无向）图。

11. 若一棵根树的每个结点最多只有两个孩子，且孩子又有左、右之分，次序不能颠倒，则称此根树为二叉树。

12. 高度为k，且有个结点的二叉树称为二叉树。

2k-1 满13. 带权路径长度最小的二叉树称为最优二叉树，它又被称为树。

Huffman14. 在一棵根树中，树根是为零的结点，而为零的结点是结点。

入度出度树叶15. Huffman树中，结点的带权路径长度是指由到之间的路径长度与结点权值的乘积。

结点树根16. 满二叉树是指高度为k，且有个结点的二叉树。

二叉树的每一层i上，最多有个结点。

2k-1 2i-1二、单选题1. 具有10个叶结点的二叉树中有 (B) 个度为2的结点。

(A)8 (B)9 (C)10 (D)112．对二叉树的结点从1开始进行连续编号，要求每个结点的编号大于其左右孩子的编号，同一结点的左右孩子中，其左孩子的编号小于其右孩子的编号，则可采用_（3）次序的遍历实现编号。

树与二叉树的关系

右的次序顺序编号，即把树看作为有序树。
将一棵树转换为二叉树的方法： ⑴ 树中所有相邻兄弟之间加一条连线。 ⑵ 对树中的每个结点，只保留其与第一个 孩子结点之间的连线，删去其与其它孩子结 点之间的连线。 ⑶ 以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针 旋转一定的角度，使之结构层次分明。
树转换为二叉树示意图
A
A
B
E
CF G
DH
I
A
B
E
CF G
DH
I
J
J
A
BC D EG FH I J
用递归的方法描述其转换
若B是一棵二叉树，T是B的根结点，L是B的 左子树，R为B的右子树，设B对应的森林F（B） 中含有的n棵树为T1,T2, …,Tn，则有： （1）B为空，则：F（B）为空的森林（n＝0）。
（2）B非空，则：
树
森林
二叉树
先根遍历 先序遍历 先序遍历
后根遍历 中序遍历 中序遍历
3、森林的后序遍历*
若森林非空，则遍历方法为：
（1）后序遍历森林中第一棵树的根结点的子 树森林。 （2）后序遍历除去第一棵树之后剩余的树构 成的森林。 （3）访问第一棵树的根结点。
6.5 哈夫曼树及其应用
6.5.1 哈夫曼树
哈夫曼树最典型、最广泛的应用是在 编码技术上，利用哈夫曼树，可以得到 平均长度最短的编码。这在通讯领域是 极其有价值的。
权值 双亲序号 左孩子序号 右孩子序号
静态三叉链表结构定义
#define N 20 #define M 2*N-1 typedef struct { int weight ;
int parent，Lchild，Rchild ; }HTNode, HuffmanTree[M+1];

树和二叉树知识考点整理

树和二叉树知识考点整理●树的基本概念●树的定义●n个结点的有限集●n=0代表空树●满足条件●只有一个根的结点●其余结点是互不相交的有限集，每个集合本身是一棵树，是根的子树●树是一种递归的数据结构●树的根结点没有前驱，其余结点只有一个前驱●树中所有结点可以有零个或多个后驱●基本术语●双亲、兄弟、孩子、祖先●度：孩子个数●分支结点：度大于0●叶子结点：度为0●深度：从下往上；●高度：从上往下；●有序树：从左到右是有次序的●路径和路径长度：路径是从上往下的●森林：m棵互不相交的树的集合。

●树的基本性质●结点数=所有结点度数之和+1●度为m的树中第i层上至多有m的i-1次分个结点●高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点●具有n个结点的m叉树的最小高度为「logm（n（m-1）+1）]●二叉树的概念●定义●一种树形结构，特点是每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点）并且二叉树的子树有左右之分，次序不可颠倒●二叉树与度为2的有序树区别●度为2的可以有三个结点，二叉树可以是空树●度为2的有序树的孩子左右之分是根据另一个孩子而言的；二叉树无论有没有，都要确定左右●特殊的二叉树●满二叉树●树中每一层都含有最多的结点●完全二叉树●高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当，每个结点都与高度为h的满二叉树中的编号一一对应●二叉排序树●用途：可用于元素的排序、搜索●左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字；左子树和右子树又是一棵二叉排序树●二叉树的性质●非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点树加1，即n0=n2+1●非空二叉树上第k层至多有2^（k-1）个结点●高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点●具有n个结点的完全二叉树的高度为log2（n+1）取顶或者log2n取底+1●二叉树的存储结构●顺序存储结构●只适合存储完全二叉树，数组从0开始●链式存储结构●顺序存储的空间利用率太低●至少三个指针域：数据域、左指针域、右指针域●增加了指向父结点后，变为三叉链表的存储结构●在含有n个结点的二叉链表中，含有n+1个空链域●二叉树的遍历和线索二叉树●二叉树的遍历●先序遍历●根左右●应用：求树的深度●中序遍历●左根右●后序遍历●左右根●应用：求根到某结点的路径、求两个结点的最近公共祖先等●三个遍历时间复杂度都是O(n)●递归算法和非递归算法的转换●层次遍历●需要借助队列●步骤●二叉树根结点入队，然后出队，访问出队结点，若有左子树，左子树根结点入队●遍历右子树，有右子树，右子树根结点入队。

第六章-树和二叉树


之
树 和 二 叉 树 13
1 2 3 A B C
4 5 6 7 0 D E F
8 0
9 10 0 G
¾ 二叉树顺序存储的算法描述
数 据 结 构
¾ 初始化二叉树
之
树 和 二 叉 树 14
#define Max_Size 100 typedef int TElemType; typedef TElemType SqBT[Max_Size+1]; void InitBT(SqBT bt){//设置空树 int i; for(i=1;i<=Max_Size;i++) bt[i]=0; }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 19
¾ 后序遍历顺序二叉树算法 void PostBT(SqBT bt,int i){ if(i>Max_Size||!bt[i]) return; PostBT(bt,2*i); PostBT(bt,2*i+1); printf("%3d ",bt[i]); }
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 4
5. 孩子结点、双亲结点、兄弟结点、堂兄弟 结点、祖先结点、子孙结点…… 6. 结点的层次从根开始，根为第一层，根的 孩子为第二层；若某结点在第L层，则其 子树的根就在第L+1层。 7. 树的深度或高度：树中结点的最大层次。 8. 有序树：如果将树中结点的各子树看成是 从左至右有次序的；反之，则是无序树。 9. 森林：是m棵互不相交的树的集合。
数 据 结 构
之
树 和 二 叉 树 25
¾ 打印一维数组 void printSq(SqBT bt){ int i; printf("\nSeqArray:"); for(i=1;i<=Max_Size;i++) printf("%3d ",bt[i]); }

二叉树和树的转换算法

二叉树和树的转换算法二叉树和树之间的转换算法涉及将一个数据结构转换为另一个数据结构的过程。

在这里，我们将讨论将树转换为二叉树和将二叉树转换为树的算法。

首先，让我们来讨论将树转换为二叉树的算法。

树是一种非线性数据结构，它包含一个根节点以及零个或多个子树，每个子树也是一棵树。

而二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点。

因此，将树转换为二叉树的算法需要考虑如何安排节点的子节点，以便符合二叉树的定义。

一种常见的将树转换为二叉树的算法是使用前序遍历。

具体步骤如下：1. 从树的根节点开始，将其作为二叉树的根节点。

2. 对于树的每个子树，将其第一个子节点作为二叉树的左子节点，将其余的子节点作为左子节点的右子节点。

3. 递归地对每个子树执行上述步骤，直到整棵树都被转换为二叉树。

接下来，让我们来讨论将二叉树转换为树的算法。

二叉树是一种特殊的树，每个节点最多有两个子节点。

而树是一种非线性数据结构，每个节点可以有任意数量的子节点。

因此，将二叉树转换为树的算法需要考虑如何将二叉树的节点重新组织成树的节点。

一种常见的将二叉树转换为树的算法是使用后序遍历。

具体步骤如下：1. 从二叉树的根节点开始，将其作为树的根节点。

2. 对于二叉树的每个节点，如果该节点有右子节点，将其右子节点作为树节点的子节点。

3. 递归地对每个节点执行上述步骤，直到整棵二叉树都被转换为树。

需要注意的是，在进行树和二叉树的转换时，可能会涉及到节点的重新连接和指针的调整，需要仔细处理节点之间的关系，确保转换后的数据结构仍然保持原始树或二叉树的结构特点。

总之，树和二叉树之间的转换算法涉及到对节点的重新组织和连接，需要根据具体的数据结构特点来设计相应的算法。

希望这些信息能够帮助你理解树和二叉树之间的转换过程。

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6
ALDS
7 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
性质5：对一棵有 n 个结点的完全二叉树按照从第一层（根所在的层次〕到最后一层，并且
每一层都按照从左到右的次序进行编号。根结点的编号为 1，最后一个结点的编号
为 n。
1：对任何一个编号为 i 的结点而言，它的左儿子的编号为 2i( 若 2i <= n) ,而右儿子的 编号为 2i+1(若 2i +1 <= n)。
BinaryTree( ) : root( NULL) { } // 构造空二叉树 BinaryTree ( const Type & value )
{ root = new BinaryNode<Type> ( value ); } ~BinaryTree ( ) { DelTree ( root ); } int IsEmpty ( ) const { return root == NULL; }
// 设置二叉树结点的数据值。
void SetLeft (BinaryNode < Type> * L ) { left = L; }
// 设置二叉树结点的左儿子地址。
void SetRight (BinaryNode < Type> * R ) { right = R; }
// 设置二叉树结点的右儿子地址。
10 L 0 0
9
ALDS
10 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
3、二叉树的存储结构： • 顺序存储结构： 特殊情况：若不是完全二叉树，许多数据场为空，不合算。如下例所示： 考虑浪费空间最多的情况，是一种什么情况？
A B D HI
0 1A 2B 3∧ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱD 5∧ 6∧ 7∧ 8H 9I
5 物料管理
2、二叉树
2、性质： •性质1：在二叉树的第 i 层上至多有 2 i-1个结点
A
Algorithms and DataStrucstures:Trees
1层：结点个数 21-1=20 个
L
C
2层：结点个数 22-1=21 个
B
E
F
D
3层：结点个数 23-1=22 个
证：k = 1 时成立，设 k = i-1 时成立 则当 k = i 时在二叉树的第 i 层上至多有
13
ALDS
14 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
·二叉树的 ADT：
template <class Type> class BinaryTree; // 二叉树类 BinaryTree 的向前说明
template <class Type> class BinaryNode { friend class BinaryTree < Type>; public:
private:
BinaryNode < Type> * left , * right ; // 结点的左、右儿子的地址
Type data;
// 结点的数据信息
};
14
ALDS
15 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
·二叉树的 ADT：
template <class Type> class BinaryTree { public:
8
ALDS
9 物料管理
2、二叉树
3、二叉树的存储结构： • 顺序存储结构： 特殊情况：
A
B
C
D
EF G
HIL
应用范围：适用于完全二叉树，且结点个数已知。
Algorithms and DataStrucstures:Trees
data left right
0 1A2 3 2B4 5 3C6 7 4D8 9 5 E 10 0 6F 0 0 7G0 0 8H0 0 9I 0 0
data left right Parent
IH
11
ALDS
12 物料管理
2、二叉树
3、二叉树的存储结构： • 链接存储结构：
A
B
C
D
E
G F
Algorithms and DataStrucstures:Trees
A
B∧
C∧
∧ D /\
E
∧F ∧
∧G ∧
12
ALDS
13 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
if ( this != &T ) { DelTree(root); // 其具体实现，见程序5.1。 if ( T.root != NULL ) root = T.root->Duplicate( ); }
10
ALDS
11 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
3、二叉树的存储结构： • 链接存储结构： 仅定义结点的类型即可。结点之间的关系通过指针实现。
A B
标准形式：（二叉链表）
data left right
L E
C
F
D
G
广义标准形式：（三叉链表）
// 二叉树为空，返回非0，否则为0。 const BinaryNode<Type> * Getroot( )const { return root; } int MakeEmpty ( ) { DelTree( root); root == NULL; } // 使二叉树为空。 const BinaryTree<Type> & operator = ( const BinaryTree<Type> & T); private:
BinaryNode<Type> * root; // 二叉树的根结点。 BinaryTree( const BinaryTree<Type> & ); void DelTree( BinaryNode<Type> * T ); }; template <class Type>
const BinaryTree<Type> & BinaryTree<Type> :: operator = ( const BinaryTree<Type> & T ) {
void PrintPreOrder( ) const; // 按前序打印二叉树的结点的数据值。
void PrintPostOrder( ) const;
// 按后序打印二叉树的结点的数据值。
void PrintInOrder( ) const;
// 按中序打印二叉树的结点的数据值。
BinaryNode<Type> * Duplicate( ) const; // 复制二叉树中的所有结点。
2：对任何一个编号为 j 的结点而言，它的父亲结点的的编号为 j/2 。根结点无父结 点。
证：
A
1
L
C
2
3
B
E
F
D
4
5
6
7
PQRSU
8 9 10 11 12
7
ALDS
8 物料管理
2、二叉树
Algorithms and DataStrucstures:Trees
3、二叉树的存储结构： • 顺序存储结构： 一般情况：
BinaryNode ( Type item, BinaryNode < Type> * L = NULL, BinaryNode < Type> *
～BinaryNode ( ) { }
R = NULL ): data(item),left(L), right( R) { }
Type GetData ( ) const { return data; } // 得到二叉树结点的数据值。
·二叉树的 ADT：
template <class Type> class BinaryTree; // 二叉树类 BinaryTree 的向前说明
template <class Type> class BinaryNode { friend class BinaryTree < Type>;
public: BinaryNode ( ) : left(NULL), right(NULL) { } // 二叉树结点的构造函数。
E、G：高度为 4 、度为 3 的树 A
其它表示方法： ( A(B(L,E),C(F),D(G(I),H))
还有其它表示方法，如：类似于书籍的目录表示法。
B
CD
高度定义为层数或层数－1，都可以；本书定义为层数。
L E FGH
I
2
ALDS
3 物料管理
1、树、森林的概念
Algorithms and DataStrucstures:Trees
E
F
证：设度为 1 的结点数为 n1，树枝的总数为 B 则：B = n-1=n0+n1+n2-1
又 B = n1+2×n2； 原命题得证。
5
ALDS
6 物料管理
2、二叉树
•满二叉树:
每层结点
A
数最多
L