巩固测试最新2018-2019学年北师大版高中数学必修五《数列》单元检测题及答案解析

北师大版高中数学必修五模块质量检测(二)(江西专用)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2asin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150° 解析： 根据正弦定理sin B ＝2sin Asin B ， 所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析： 由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0， ∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6∴d ＝a 5－a 15－1＝2∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n故n ＝6时S n 取最小值． 答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3C.2＋32D ．2＋ 3解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12acsin B ＝32∴ac ＝6又∵b 2＝a 2＋c 2－2accos B ∴b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accos 30° ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析： 由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100， ∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.7．已知△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，bsin B －csin C ＝0，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析： ∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，A ＝90°.又∵bsin B －csin C ＝0，即bsin B ＝csin C ， ∴sin 2B ＝sin 2C ，又∵A ＝90°，∴B ＝C. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 答案： C8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析： 如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎨⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A(1,5)，同理可得B(－2，2)，C(1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎨⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1)n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝an －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列． 答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a)⊗(x ＋a)＝(x －a)(1－x －a)， ∴不等式(x －a)⊗(x ＋a)＜1对任意实数x 成立， 即(x －a)(1－x －a)＜1对任意实数x 成立， 即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0， 解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析： 因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12absin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 312．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 5的值为________． 解析： 由a 3a 7＝3，知a 52＝3，所以a 5＝± 3. 答案： ± 313．设点P(x ，y)在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x＋3y的最小值为________． 解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x＋3y＝9x＋34－2x＝9x＋819x≥281＝18. 答案： 1814．若不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析： 先画部分可行域⎩⎨⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A(3,0)，B(0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)． 答案： (－∞，－3]∪[0,6)15．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是________．解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎨⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案：32≤a ＜3 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(12分)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，求AB 的长．解析： 在△ACD 中，由余弦定理，得 cos C ＝AC 2＋CD 2－AD 22AC ·CD ＝72＋32－522×7×3＝1114.∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11142＝5143. 在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin C ＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝7×5143sin 45°＝562.17．(12分)数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．解析： (1)由S n ＋1－S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1得a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1(n ∈N *)；又a 1＝13，故a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．从而，S n ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．(2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327.从而由S 1，t(S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得： 13＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫49＋1327＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋49t ， 解得t ＝2.18．(12分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋(a －1)x －a>0}，B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)>0(a ≠b)}，M ＝{x|x 2－2x －3≤0}．(1)若∁U B ＝M ，求a ，b 的值； (2)若－1<b<a<1，求A ∩B ；(3)若－3<a<－1，且a 2－1∈∁U A ，求实数a 的取值范围．解析： 由题意，得A ＝{x|(x ＋a)(x －1)>0}，∁U B ＝{x|(x ＋a)(x ＋b)≤0}，M ＝{x|(x ＋1)(x －3)≤0}．(1)若∁U B ＝M ，则(x ＋a)(x ＋b)＝(x ＋1)(x －3)， 所以a ＝1，b ＝－3，或a ＝－3，b ＝1. (2)若－1<b<a<1，则－1<－a<－b ＜1，所以A ＝{x|x<－a 或x>1}，B ＝{x|x<－a 或x>－b}． 故A ∩B ＝{x|x ＜－a 或x ＞1}． (3)若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A ＝{x|x<1或x>－a}，∁U A ＝{x|1≤x ≤－a}． 又由a 2－1∈∁U A ，得1≤a 2－1≤－a ，即⎩⎨⎧a 2－2≥0a 2＋a －1≤0，解得－1－52≤a ≤－ 2.19．(12分)已知f(x)＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－3,2)时，f(x)>0； x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求y ＝f(x)的解析式；(2)c 为何值时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.解析： (1)由x ∈(－3,2)时，f(x)>0；x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0知：－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－b －8a ，－3×2＝－a －ab a，⇒⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝5.∴f(x)＝－3x 2－3x ＋18.(2)由a<0，知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下．要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0⇔c ≤－2512.∴当c ≤－2512时，ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.20.(12分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？ 解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 12＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C.因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．21．(15分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2－a n ，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式； (3)设c n ＝n(3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜8.解析： (1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2， ∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2， ∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减：a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0. 即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0 故有2a n ＋1＝a n ，∵a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12(n ∈N ＋)，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.得b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加，得b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2. 又∵b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝1,2,3…)．(3)证明：∵c n ＝n(3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.① 而12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .② ①－②得12T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－82n －4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝8－8＋4n2n (n ＝1,2,3，…)．∴T n ＜8.。

北师大版高中数学必修五高一下学期数学期末复习（数列）一．选择题（每小题5分，共50分）1.在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ） A 11 B 12 C 13 D 142.等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 为（ ）A 66B 99C 144D 2973.等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A 81 B 120 C 168 D 1924.数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（ ）项之和等于9A 98B 99C 96D 975.在数列}{n a 中，n n ca a =+1（c 为非零常数），且前n 项和为k S n n +=3，则k 等于（ ）A ．0B ．1C ．—1D ．26.等差数列{}n a 中，50a >，470a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 中最大的为( )A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=， 则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A 12B 10C 31l o g 5+D 32l o g 5+ 8.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a ( )A. 1B. 9C. 10D. 55 9.在∆ABC 中，c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边，且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ，则（ ）A. c b a ,,成等差数列B. b c a ,,成等差数列C. b c a ,,成等比数列D. c b a ,,成等比数列10.数列{}n a 满足：11a =，221114n na a +-=，2222123,n n S a a a a =++++若2130n n mS S +-≤对于任意n N *∈都成立，则正整数m 的最小值为 ( ).A 10.B 9 .C 8 .D 7二．填空题（每小题5分，共25分）11 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则13__________.S =12．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________13．设数列{}n a 中，32,211+==+n n a a a ， 可能是则通项n a14已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是15. 定义运算符号*“”满足以下运算性质：（1） 2 *2010=1；（2）（2n+2）*2010=2[](2)2010n * (),n N *∈ 则2010*2010= 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBBBCBBADA11．156 12.1265 13．3251-⋅-n 14. )251,251(++- 15. 10042 三．解答题（每小题6分，共75分）16．（1）已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a（2）已知数列{}n a 中211=a ，n n a n a n )1()1(1+=--求n a （1）解：111132,32,2(2)n n n n n n n n S S a S S n ----=+=+=-=≥而115a S ==，∴⎩⎨⎧≥==-)2(,2)1(,51n n a n n（2）解：∵111+-=-n n a a n n ，∴)1(1+=n n a n 17 已知数列{}n a 的前n 项和210n n S n -=，（1）求已知数列{}n a 的通项公式n a（2）若n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和解：（1）①当1=n 时91=a ，②当2≥n 时1121+-=-=-n S S a n n n∴112+-=n a n（2）112,5211,6n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n nS n n n =+-=-当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=++-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n18.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ． （1）证明数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． 19.（1）已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(...139511--++-+-=-n S n n ，求312215S S S -+的值（2）设xx f 222)(+=，求和S =)2009()2010(-+-f f +……+)1()0(f f ++……+)2011()2010(f f +（1）解：(4),2,2121,(4)43,2n nnn n n S S n n n n n ⎧⨯-⎪-⎧⎪==⎨⎨--⎩⎪⨯-+-⎪⎩为偶数为偶数，，为奇数为奇数 （2）S=201120．已知数列{}n a 满足671=a ,点),2(1++n n n S a S 在3121)(+=x x f 的图像上, （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n T n a c ,)32(-=为n c 的前n 项和,求n T .解：（1）解点1(2,)n n n S a S ++在11()23f x x =+的图像上,111(2)23n n n S S a +∴=⨯++11123n n a a +∴=+)32(21321-=-∴+n n a a 21,21326732}32{1以为首项是以数列=-=--∴a a n 为公比的等比数列n n n n a a 2132,)21(21321+=⋅=-∴-即 （2）2n n n c = 231111232222n n T n ∴=+⨯+⨯++⨯…①2341111112322222n n T n +∴=+⨯+⨯++⨯.② ①-②得23411111112222222n n n n T +=+++++-11222n n n nT -∴=--21．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，101=a ，已知1091+=+n n S a （n =1， 2,3，…） （1）求证：}{lg n a 是等差数列；（2）设T n 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+))(lg (lg 31n n a a 的前n 项和，求使)5(412m m T n -> 对所有的*N n ∈都成立的最大正整数m 的值. 解：（1）依题意 ，10010912=+=a a ，故1012=a a 当2≥n 时，1091+=-n n S a ① 又1091+=+n n S a ② ②―①整理得：101=+nn a a ，故}{n a 为等比数列 且n n n q a a 1011==- ∴lg n a n = 1)1(lg lg 1=-+=-∴+n n a a n n 即}{lg n a 是是以1为首项以1为公差的等差数列（2）由（1）知，))1(1321211(3+++⋅+⋅=n n T n 1331311131212113+-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-=n n n n n 23≥∴n T 依题意有)5(41232m m ->，解得61<<-m 故所求最大正整数m 的值为5。

北师大版高中数学必修五课时作业10 数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 2、a 3、a 6成等比数列，则其公比q 为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 C【解析】 ∵等差数列{a n }中a 2、a 3、a 6成等比数列， ∴a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d)(a 1＋5d)＝(a 1＋2d)2⇒d(d ＋2a 1)＝0， ∵公差不为零，∴d ＝－2a 1， ∴所求公比q ＝a 3a 2＝a 1＋2d a 1＋d ＝－3a 1－a 1＝3.2．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为( )A ．2B ．3 C.15 D ．不存在 【答案】 A【解析】 由条件a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，∴a 1d ＋4d 2＝0， ∵d ≠0，∴a 1＝－4d ，∴S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－2d －d＝2. 3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】 C【解析】 本题主要考查等比数列等知识． 设a n ＝a 1q n －1，其中a 1>0，q>0， ∴2×12a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0，解得q ＝2＋1，q ＝－2＋1<0(舍去)， a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2. 4．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13C.19 D ．－19【答案】 C【解析】 本题考查了等比数列的前n 项和通项公式与运算能力．∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.【点评】 解答本题充分运用了等比数列的通项公式和整体代换的方法．5．已知等比数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B ．3(3n －1) C.9n －14D.39n －14【答案】 D【解析】 数列{a n }的偶数项是以a 2＝6为首项，公比为9的等比数列，故新数列的前n 项和S n ＝69n －19－1＝39n －14.6．已知正项数列{a n }为等比数列，且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312 B ．31C.314 D ．以上都不正确 【答案】 B【解析】 设{a n }的公比为q ，q>0. 由已知得a 4＋3a 3＝2×5a 2＝10a 2，即a 2q 2＋3a 2q ＝10a 2,2q 2＋6q ＝20，解得q ＝2或q ＝－5(舍去)， 则a 1＝1，所以S 5＝a 11－q 51－q＝11－251－2＝31.7．(2013·福建理)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n －1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N ＋)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 【答案】 C【解析】 b n ＝a 1q m(n －1)＋a 1q m(n －1)＋1＋…＋a 1q m(n －1)＋m －1＝a 1q m(n －1)(1＋q ＋…＋q m －1)＝a 1q m(n －1)·1－qm1－q ，∴b n ＋1b n ＝a 1q mn ·1－q m1－q a 1q m n －1·1－q m 1－q＝q m， ∴{b n }是等比数列，公比为q m ， c n ＝a 1q m(n －1)·a 1q m(n －1)＋1·…·a 1q m(n －1)＋m －1 ＝a m 1·qm 2(n －1)＋m m －12，∴c n ＋1c n＝a m 1qm 2n ＋1－1m m －12a m 1qm 2n －1m m －12＝qm 2，∴{c n }是等比数列，公比为qm 2. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．设公比为q(q>0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.【答案】 32【解析】 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2得，2q 2－q －3＝0，即q ＝32(q ＝－1舍去)．9．已知数列{x n }满足lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝1，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.【答案】 100【解析】 由lgx n ＋1＝1＋lgx n (n ∈N ＋)得lgx n ＋1－lgx n ＝1， ∴x n ＋1x n＝10，数列{x n }是公比为10的等比数列，∴x n ＋100＝x n ·10100，x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100(x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100)＝10100，∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100＝100.10．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．【答案】 3 S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.【解析】 本题是信息题，正确理解“新定义”，既要和相关知识联系又要考虑其特点．由题设a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝…＝a 17＋a 18＝…＝a 2k －1＋a 2k ＝a 2k ＋a 2k ＋1＝5.∵a 1＝2，∴a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3…当n 为奇数时a n ＝2，当n 为偶数时，a n ＝3.∴a 18＝3. 当n 是偶数时，有n 2个2，n2个3，∴S n ＝n 2·2＋n 2·3＝52n.当n 为奇数时，有n －12个3，n ＋12个2，∴S n ＝n －12·3＋n ＋12·2＝5n －12.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52n n ＝2k ，k ∈N＋5n －12n ＝2k ＋1，k ∈N＋.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5＝21. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝9，a 1＋4d ＝21，解得a 1＝5，d ＝4.所以{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1. (2)由a n ＝4n ＋1得b n ＝24n ＋1， 因为b n ＋1b n＝24，所以{b n }是首项b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．于是得{b n }的前n 项和S n ＝2524n －124－1＝3224n －115.12．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解析】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4， 从而a n ＝S n －S n －1＝92－n(n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n.(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1. 13．(20分)(2013·江西理)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N ＋，都有T n <564.【解析】 思路分析：(1)将已知S n 的关系式分解因式，先求出S n ，后求a n ；(2)化简b n 用放缩法求T n 的范围．(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得[S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n.综上，数列{a n }的通项a n ＝2n. (2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1n ＋22a 2n.则b n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116[1n 2－1n ＋22]． T n ＝116[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1n －12－1n ＋12＋1n2－1n ＋22]＝116[1＋122－1n ＋12－1n ＋22]<116(1＋122)＝564. 【点评】 本题考查了数列通项公式．裂项求和与放缩法证明不等式．考查了运算能力和逻辑思维能力．。

北师大版高中数学必修五课时作业1 数列的概念时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分) 1．下列说法错误的是( ) A ．数列4,7,3,4的第一项是4B ．在数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同D ．－1,1,2,0，－3是有穷数列 【答案】 B2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝1n ＋12 C ．a n ＝2－|sin n π2|D ．a n ＝1n －1＋32【答案】 C【解析】 由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C.3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝12n(n ＋2)，则220是这个数列的( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项【答案】 B【解析】 由a n ＝12n(n ＋2)＝220，解得n ＝20(n ＝－22舍去)．4．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第8项 D ．第9项【答案】 B【解析】 数列通项公式为a n ＝3n －1，令3n －1＝25，解得n ＝7.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．－55B ．－5C ．5D ．55【答案】 C【解析】 由{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)得a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝－4，a 4＝5，a 5＝－6，a 6＝7，a 7＝－8，a 8＝9，a 9＝－10，a 10＝11，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( )A ．20不是这个数列中的项B ．只有第5项是20C ．只有第9项是20D．这个数列第5项、第9项都是20【答案】 D【解析】令a n＝20，得n2－14n＋45＝0，解得n＝5或n＝9，故选D.7．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，由图中结构可知第n个图中有化学键( )A．6n个B．(4n＋2)个C．(5n－1)个D．(5n＋1)个【答案】 D【解析】由图形观察可得，第(1)个图中有6个化学键，第(2)个图中有(6＋5)个化学键，第(3)个图中有(6＋5＋5)个化学键，……，第n个图中有6＋5(n－1)＝(5n＋1)个化学键，故选D.二、填空题(每小题5分，共15分)8．数列－1,8，－27,64，…的通项为________．【答案】(－1)n·n3【解析】据前4项数字的规律可得a n＝(－1)n·n3.9．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 7＝12，则a 5＝________.【答案】 1【解析】 由a n ＋1＝2a n 2＋a n ，得1a n ＝1a n ＋1－12，所以1a 5＝1a 6－12＝(1a 7－12)－12＝1.所以a 5＝1.10．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．【答案】 n 2－n ＋1【解析】 第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心1个点，则图中共有点的个数为n(n －1)＋1＝n 2－n ＋1.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式．(1)－1,1，－1,1；(2)－3,12，－27,48； (3)35，12，511，37；(4)23，415，635，863. 【解析】 (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n ＝(－1)n .(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42，…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为a n ＝(－1)n 3n 2.(3)因为12＝48，37＝614，各项分母依次为5,8,11,14，为序号3n ＋2；分子依次为3,4,5,6为序号n ＋2，故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.(4)因为分母3,15,35,63可看作22－1,42－1,62－1,82－1，故通项公式为a n ＝2n 2n 2－1＝2n4n 2－1.12．(15分)已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n (1≤n ≤10，n ∈N ＋)，试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？【分析】 由于数列的通项公式已知，故可将110和1627分别代替a n ＝4n 2＋3n 中的a n ，建立关于n 的方程，然后判断n 是否是正整数即可；考虑到该数列共有10项，故也可采用列表法将数列表示出来，然后再对照即可．【解析】 令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故将n ＝－8舍去， 所以110是该数列的第5项．再令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是此数列中的项．13．(20分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1n ＋1＋n，求a n .【解析】 ∵1n ＋1＋n＝n ＋1－nn ＋1＋nn ＋1－n＝n ＋1－n.∴a n ＋1－a n ＝n ＋1－n.当n ≥2时，(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n－n－1)＝n－1. 即a n－a1＝n－1.又a1＝1，∴a n＝n.而a1＝1也适合a n＝n.∴数列{a n}的通项公式为a n＝n.。

北师大版高中数学必修五课时作业4 等差数列的性质及应用时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为( )A．5 B．6C．8 D．10【答案】 A【解析】本题考查等差数列的基本性质等差中项．由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.2．等差数列{a n}的首项为70，公差为－9，则此数列中绝对值最小的一项为( )A．a8B．a9C．a10D．a11【答案】 B【解析】a n＝70＋(n－1)·(－9)＝－9n＋79，显然当n＝9时，|a9|＝2最小．3．数列{a n}中，a3＝2，a5＝1，如果数列{1a n＋1}是等差数列，则a11＝( )A.111B．0C．－113D．－17【答案】 B【解析】∵{1a n＋1}是等差数列，设公差为d，则1 a5＋1－1a3＋1＝12－13＝16＝2d，∴d＝112，∴1a11＋1＝1a5＋1＋6d＝12＋6×112＝1，∴a11＝0.4．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )A．a1a8>a4a5B．a1a8<a4a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4·a5【答案】 B【解析】因为a1a8－a4a5＝a1(a1＋7d)－(a1＋3d)(a1＋4d)＝－12d2，且d≠0，所以a1a8－a4a5＝－12d2<0.即a1a8<a4a5，故选B.5．{a n}是首项为a1＝3，公差d＝3的等差数列，如果a n＝2 010，则序号n等于( )A．667 B．668C．670 D．671【答案】 C【解析】由通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝2 010，解得n＝670，故选C.6．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )A ．－1B ．1C ．3D ．7【答案】 B【解析】 设数列{a n }公差为d ， ∵a 1＋a 3＋a 5＝105，∴3a 3＝105. ∴a 3＝35.同理，由a 2＋a 4＋a 6＝99得a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2.a 20＝a 4＋16d ＝33＋16×(－2)＝1.7．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( )A ．－2B ．－12C.12D ．2 【答案】 B【解析】 a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1⇒d ＝－12.二、填空题(每小题5分，共15分)8．在等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝40，则a 4－a 5＋a 6＋a 7＋a 8－a 9＋a 10的值为________．【答案】 60【解析】 观察下标，利用性质即可．利用性质可得a 4＋a 10＝a 5＋a 9＝a 6＋a 8＝2a 7＝a 3＋a 11＝40⇒a 7＝20，从而a 4－a 5＋a 6＋a 7＋a 8－a 9＋a 10＝3a 7＝60.9．首项是－56的等差数列，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是________．【答案】 7<d ≤8【解析】 ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－56＋8d>0，a 8＝－56＋7d ≤0，∴7<d ≤8.10．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】 －1n【解析】 1a n －1a n ＋1＝1，1a n ＋1－1a n＝－1，1a 1＝－1，{1a n }是以1a 1为首项，以－1为公差的等差数列，1a n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，a n ＝－1n.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)在等差数列{a n }中，公差为d ，且a 15＝8，a 60＝20，求a 75.【解析】 由已知条件，根据通项公式列出关系式解方程组可得出通项公式，然后代入即可求得．解法一：∵a 15＝a 1＋14d ，a 60＝a 1＋59d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋14d ＝8，a 1＋59d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6415，d ＝415.故a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. 解法二：∵a 60＝a 15＋(60－15)d ，∴d ＝20－860－15＝415，∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.12．(15分)已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．【分析】 本题考查等差数列的性质以及等差中项公式的应用.5个数成等差数列，另有两个已知条件，可利用方程组求解．【解析】 解法一：设5个数依次为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d ，a ＋4d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＋a ＋3d ＋a ＋4d ＝25，a 2＋ a ＋d 2＋ a ＋2d 2＋ a ＋3d 2＋ a ＋4d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2d ＝5，a 2＋6d 2＋4ad ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，a ＝9.∴5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：设这5个数依次为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝25， a －2d 2＋ a －d 2＋a 2＋ a ＋d 2＋ a ＋2d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，5a 2＋10d 2＝165，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，d ＝±2.故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13．(20分)已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x 为奇数时，有f(x ＋1)－f(x)＝1，当x 为偶数时，有f(x ＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.(1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n －1)(n ∈N ＋)成等差数列； (2)求f(n)的解析式．【解析】 (1)证明：当x 为奇数时，x ＋1为偶数，代入已知等式有f(x ＋1)－f(x)＝1，①f(x ＋2)－f(x ＋1)＝3.②①＋②得f(x ＋2)－f(x)＝4为常数．又因为⎩⎪⎨⎪⎧f 1＋1 －f 1 ＝1，f 1 ＋f 2 ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝2，f 2 ＝3.所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n －1)构成首项为2，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，当n 为奇数时，f(n ＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2， 所以当n ＝2k －1时，f(n)＝f(2k －1)＝2＋(k －1)×4＝2n. 当n 为偶数时，n ＋1为奇数，f(n ＋1)－f(n)＝3，f(n ＋2)－f(n ＋1)＝1，所以f(n ＋2)－f(n)＝4.所以f(2)，f(4)，f(6)，…，f(2n)构成首项为3，公差为4的等差数列．所以当n ＝2k 时，f(n)＝f(2k)＝3＋(k －1)×4＝2n －1，综上所述，f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为正奇数，2n －1，n 为正偶数.。

第一章DIYIZHANG数列§1数列1.1数列的概念课后篇巩固探究A组1.将正整数的前5个数作如下排列:①1,2,3,4,5;②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4;④4,1,5,3,2.则可以称为数列的是()A.①B.①②C.①②③D.①②③④解析:4个都构成数列.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式为a n=1-(-1)n+1,则该数列的前4项依次为()A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.1,0,1,0D.2,0,2,0解析:把n=1,2,3,4分别代入a n=1-(-1)n+1中,依次得到0,1,0,1.答案:B3.数列1,357,…的一个通项公式是()A.a n=22n-1B.a n=22n-1C.a n=22n+1D.a n=22n+1解析:1=12,4=22,9=32,16=42,1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,故a n=22n-1.答案:A4.已知数列{a n}的通项公式a n=1n-1,若a k=1,则a2k=()A.199B.99 C.1143D.143解析:由a k=135得1k2-1=135,于是k=6(k=-6舍去).因此a2k=a12=1122-1=1.答案:C5.已知数列12,23,34,45,…,则三个数0.98,0.96,0.94中属于该数列中的数只有()A.1个B.2个C.3个D.以上都不对解析:由已知可得该数列的一个通项公式a n=nn+1.令a n=0.98,解得n=49,令a n=0.96,解得n=24,令a n=0.94,解得n=473∉N+.故只有0.98和0.96是该数列中的项.答案:B6.已知曲线y=x2+1,点(n,a n)(n∈N+)位于该曲线上,则a10=.解析:由题意知a n=n2+1,因此a10=102+1=101.答案:1017.数列3,3,15,21,33,…的一个通项公式是.解析:数列可化为3,9,15,21,27,…,即3×1,3×3,3×5,3×7,3×9,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因式为常数3,后一个因式为2n-1,故原数列的通项公式为a n=3(2n-1)= 6n-3,n∈N+.答案:a n=6n-38.已知数列{a n}的通项公式a n=n+n+1,10-3是此数列的第项.解析:令n+n+1=10-3,得n+1−n=10-3,解得n=9.答案:99.写出下列各数列的一个通项公式:(1)4,6,8,10,…(2)12,34,78,1516,3132,…(3)2,-1,10,-17,26,-37,…(4)3,33,333,3 333,…解(1)各项是从4开始的偶数,所以a n =2n+2.(2)数列中的每一项分子比分母少1,而分母可写成21,22,23,24,25,…,2n ,故所求数列的通项公式可写为a n =2n -1n. (3)所给数列中正、负数相间,所以通项中必须含有(-1)n+1这个因式,忽略负号,将第二项1写成55,则分母可化为3,5,7,9,11,13,…,均为正奇数,分子可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1,…,故其通项公式可写为a n =(-1)n+1·n 2+12n +1. (4)将数列各项写为93,993,9993,9 9993,…,分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104-1,…,所以a n =13(10n -1).10.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n 2-28n.(1)写出数列的第4项和第6项;(2)问-49是不是该数列的一项?如果是,应是哪一项?68是不是该数列的一项呢?解(1)a 4=3×16-28×4=-64,a 6=3×36-28×6=-60.(2)设3n 2-28n=-49,解得n=7或n=73(舍去),∴n=7,即-49是该数列的第7项.设3n 2-28n=68,解得n=34或n=-2. ∵34∉N +,-2∉N +,∴68不是该数列的项. B 组1.数列2,-8,4,-32,…的通项公式是( )A.a n =2n (n ∈N +)B.a n =(-2)n 2n -1(n ∈N +) C.a n =(-2)n +1n +1(n ∈N +) D.a n =2n 2n -1(n ∈N +) 解析:将数列各项改写为222,-233,244,-255,…,观察数列的变化规律,可得a n =(-2)n +1n +1(n ∈N +).答案:C2.已知数列{a n}的通项公式a n=nn+1,则a n·a n+1·a n+2等于()A.nB.nC.n+1D.n+1解析:∵a n=n,a n+1=n+1,a n+2=n+2,∴a n·a n+1·a n+2=nn+3.答案:B3.根据下列5个图形中相应点的个数的变化规律,猜测第n个图形中有()个点.A.n2-n+1B.2n2-nC.n2D.2n-1解析:观察图中5个图形点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个图形中点的个数为(n-1)n+1=n2-n+1.答案:A4.用火柴棒按下图的方法搭三角形:按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是.解析:∵a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+2+2=9,…,∴a n=2n+1.答案:a n=2n+15.在数列5,10,17,a-b,…中,有序数对(a,b)可以是.解析:从上面的规律可以看出分母的规律是:1×3,2×4,3×5,4×6,…,分子的规律是:5,5+5,5+5+7,5+5+7+9,…,所以a+b=15,a-b=26,解得a=41,b=-11.答案:41,-116.导学号33194000已知数列{a n}的通项公式a n=a·2n+b,且a1=-1,a5=-31,则a3=.解析:由已知得2a+b=-1,32a+b=-31,解得a=-1,b=1,。

北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。

单元巩固卷（3）等比数列1、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,且369S S =.则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1582、若等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为( )A.3B.4C.5D.63、已知等比数列{}n a 中, 13a =,且1234,2,a a a 成等差数列,则345a a a ++=( ) A.33B. 72C. 84D. 1894、等比数列,33,66x x x ++,…的第四项等于( ) A.-24B.0C.12D.245、等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a +++=L ( ) A.12B.10C.8D.32log 5+6、等比数列{}n a 中, 42a =,55a =,则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.37、在等比数列{}n a 中，n T 表示前n 项的积，若51T =，则下列一定正确的是（ ） A. 11a = B. 31a = C. 41a = D. 51a = 8、已知{}n a 是等比数列, 22a =,514a =,则12231n n a a a a a a ++++=L ( ) A. 16(14)n-- B. 16(12)n --C.32(14)3n -- D. 32(12)3n --9、已知数列{}n a 的首项()*111,3N n n a a S n +==∈,则下列结论正确的是( )A.数列{}n a 是等比数列B.数列23,,...,,...n a a a 是等比数列C.数列{}n a 是等差数列D.数列23,,...,,...n a a a 是等差数列10、已知等比数列{}n a 中, 12451,8a a a a +=+=-则公比q 等于( ). A.-2 B.2 C. 23- D.3211、已知等比数列{}n a 的公比0q >,22111,6n n n n a a a a a +++=++=,则{}n a 的前4项和4S =__________.12、已知一个等比数列的首项是1,项数是偶数,所有奇数项的和是85,所有偶数项的和是170,则此数列共有__________项. 13、设等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=,则12n a a a ⋯的最大值为__________. 14、设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44Sa等于__________.15、若数列{}n a 是等比数列,则①{}n ca (c 为常数),②{}1n n a a ++,③{}1n n a a +⋅,④{}3n a 四个数列为等比数列的有__________.16、已知数列{}n a 满足11a =,且*121,n n a a n N +=+∈. (1)求证:{}1n a +是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式.17、已知等差数列{}n a 满足20a =,6810a a +=-. 1.求数列{}n a 的通项公式;2.求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18、已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠. 1.证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式; 2.若53132S =,求λ. 19、已知数列{}n a 的前n 项和是n S .且2n n S a n =-.证明: 1. {}1n a +为等比数列; 2.21321111...1n na a a a a a ++++<---答案以及解析1答案及解析： 答案：C 解析：2答案及解析： 答案：B解析：111192,(),383n n n a a q --=∴=⋅Q 则128()327n -=，13n ∴-=，即4n =.3答案及解析： 答案：C解析：由题意可设公比为q ，则21344a a a =+， 又13a =，∴2q =.∴223451134124()(84)a a a a q q q ++⨯⨯++++===.4答案及解析： 答案：A解析：由题意知()()23366x x x +=+,即2430x x ++=,解得3x =-或1x =- (舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.5答案及解析： 答案：B解析：564756189a a a a a a +=∴=,()313231031210log log log log a a a a a a +++=L L ()53563log 5log 910a a ===.6答案及解析： 答案：C解析：由题意知18273645····10a a a a a a a a ====, ∴ 数列{}lg n a 的前8项和等于128lg lg lg a a a +++L454lg()4lg104a a =⋅==,故选C.7答案及解析： 答案：B解析：由题意,可得123451a a a a a ⋅⋅⋅⋅=, 即15243()()1a a a a a ⋅⋅⋅⋅=,又215243()()a a a a a ⋅=⋅=,所以531a =,得31a =8答案及解析： 答案：C解析：本小题主要考查等比数列通项的性质. 由3352124a a q q ==⋅=⋅,解得12q =. 数列{}1n n a a +仍是等比数列,其首项是128a a =,公比为14. 所以12231181432(14)1314n n n n a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++==--L .9答案及解析： 答案：B解析：当2n ≥时, 113,3n n n n a S a S -+==, 两式相减,得()113n n n n a a S S +--=-, 即13n n n a a a +-=, 又易知0n a ≠, ∴()142n na n a +=≥. 故数列23,,...,,...n a a a 是等比数列,故选B.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：152解析：由216n n n a a a +++=, 得116n n n qq q +-+=,即260,0q q q +-=>,解得2q =. 又21a =,所以()4141121152,2122a S -===-.12答案及解析： 答案：8解析：设该数列共有n 项,公比为q ,则由题意可得.又,所以12255=12n--,解得8n =.13答案及解析： 答案：64解析：设数列的公比为q ,由132410{5a a a a +=+=,得18{12a q ==.则234514,2,1,2a a a a ====所以121234...64n a a a a a a a ≤=.14答案及解析： 答案：15 解析：15答案及解析： 答案：③④解析：若{}n a 为等比数列,当0c =时, {}n ca 不为等比数列 ,①不是等比数列;若{}n a 是公比1q =-的等比数列, 则10n n a a ++=,{}1n n a a ++不为等比数列②不是等比数列,由等比数列的定义可知③④为等比数列.16答案及解析：答案：（1）证明:∵121n n a a +=+, ∴112(1)n n a a ++=+.由11a =,知1120a +=≠,可得10n a +≠. ∴*112()1n n a n N a ++=∈+. ∴数列{}1n a +是等比数列.（2）由（1）知{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列. ∴11222n n n a -+=⋅=,即21n n a =-.解析：由递推公式变形推出数列{}1n a +是等比数列.17答案及解析：答案：1.设等差数列{}n a 的公差为d, 由已知条件可得110{21210a d a d +=+=-,解得11{1a d ==-,故数列{}n a 的通项公式为2n a n =-.2.设数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则21122n n n a a S a -=++⋅⋅⋅+,故11S =,122242n n n S a a a =++⋅⋅⋅+. 所以,当1n >时,121112222n n n n n nS a a a a a a ----=++⋅⋅⋅+-1111212422n n n --⎛⎫=-++⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭1121122n n n --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭2nn=.所以12n n n S -=. 综上,数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12n n n S -=. 解析：18答案及解析：答案：1.由题意得1111a S a λ==+, 故1111,,0.1a a λλ≠=≠- 由1111,1n n n S a S a λλ++=+=+ 得11n n n a a a λλ++=-, 即1(1)n n a a λλ+-=。

北师大版高中数学必修五§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )A ．6只B ．5只C ．8只D ．7只2. 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( ) A ．1 B ．2C ．3 D ．43. 一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是( )A ．1994B ．1996C ．1998D ．20004.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n （万件）近似地满足关系式S n =90n（21n －n 2－5）（n=1，2，…，12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ ）A.5月、6月B.6月、7月C .7月、8月D.8月、9月二、填空题（每小题5分，共30分）5.一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时．6. 某市2008 2012国内生产总值平均每年增长率为p,那么该市2012年国内生产总值比2007年国内生产总值增长的倍数为.7.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成__________.8. 凸多边形的各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n 等于________．9.某纺织厂的一个车间有n(n>7，n ∈N *)台织布机，编号分别为1,2,3，…，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1,2,3，…，n.定义记号a ij ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定a ij ＝1，否则a ij ＝0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则a 17＋a 27＋a 37＋a 47＋…＋a n7＝________；若a 31＋a 32＋a 33＋a 34＋…＋a 3n ＝2，则说明__________.10.函数f(x)＝a ·b x 的图象过点A(2，12)，B(3,1)，若记a n ＝log 2f(n)(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是________．三、解答题（本大题共4小题，共50分）11.（12分）某林区由于各种原因林地面积不断减少，已知2002年年底的林地面积为100万公顷，从2003年起该林区进行开荒造林，每年年底的统计结果如下：时间该林区原有林地减少后的面积 该年开荒 造林面积 2003年年底 99.8000万公顷 0.3000万公顷 2004年年底 99.6000万公顷 0.3000万公顷 2005年年底 99.4001万公顷 0.2999万公顷 2006年年底 99.1999万公顷 0.3001万公顷 2007年年底99.0002万公顷0.2998万公顷试根据此表所给数据进行预测.（表中数据可以按精确到0.1万公顷考虑）（1）如果不进行从2003年开始的开荒造林，那么到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为多少万公顷？（2）如果从2003年开始一直坚持开荒造林，那么到哪一年年底该林区的林地总面积达102万公顷？12.（12分）为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为a n吨，试求a n的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)13.（13分）某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积为32a m2，每年拆除的数量相同．(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积S n.14.（13分）某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a 1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d ＞0)，因此，历年所交纳的储备金数目a 1，a 2，…是一个公差为d 的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定利率为r (r ＞0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a 1(1 + r)n – 1，第二年所交纳的储备金就变为a 2(1 + r)n – 2，…，以T n 表示到第n 年末所累计的储备金总额.（1）写出T n 与T n – 1(n ≥2)的递推关系式；（2）求证：T n = A n + B n ，其中{A n }是一个等比数列，{B n }是一个等差数列.§4 数列在日常经济生活中的应用（北京师大版必修5）答案一、选择题1.A 解析：依题意除去一只羊外，其余n －1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列.设a 1＝7，d>0，S n －1＝65－10＝55.∴有(n －1)a 1＋(n －1)(n －2)2d ＝55，即7(n －1)＋(n －1)(n －2)d 2＝55，∴(n －1)[7＋(n －2)d2]＝55.∵55＝11×5且(n －1)为正整数，[7＋(n －2)d2]为正整数.∴⎩⎨⎧n －1＝5，7＋n －22d ＝11.解得 n ＝6.2.A 解析：根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4，∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴ =1.3.D 解析：设出齐这套书的年份是x ，则(x －12)＋(x －10)＋(x －8)＋…＋x ＝13958，∴7x －7(12＋0)2＝13958，解得x ＝2000.4. C 解析1：由S n 可求出a n =301（－n 2+15n －9），解不等式301（－n 2+15n －9）＞1.5，得6＜n ＜9. 解析2：将选项中的月份代入计算验证.二、填空题5.5 解析：由题意，n 小时后有2n 人得知，此时得知信息的总人数为1+2+22+…+2n =2n+1－1≥55，即2n+1≥56，∴n+1≥6，∴ n ≥5．6.(1+ )5-1 解析：设2007年国内生产总值为 ，则 (1 )5为2012年国内生产总值，增长倍数为(1 )5-1.7.512 解析：由题意知a 1=1，公比q=2，经过3小时分裂9次，∴ 末项为a 10，则a 10=a 1·29=512．8. 9 解析：由条件得 (n －2)×180°＝120°×n ＋n(n －1)2×5°，解得 n ＝9或n ＝16，∵a 16＝120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，∴n ＝16(舍去)，而a 9＝160°<180°， ∴n ＝9.9. 1 a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0，即第3号工人操作了2台织布机解析：依题意，第7台织布机有且仅有一人操作，说明a 17，a 27，a 37，…，a n7中有且仅有一个值为1，其余值为0，∴a 17＋a 27＋a 37＋…＋a n7＝1. 同理，由a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝2.说明a 31，a 32，a 33，…，a 3n 中有且仅有2个值为1，其余值为0， 即第3号工人操作了2台织布机．10. －3 解析：将A 、B 两点坐标代入 ,得 解得∴ ＝18·2x ，∴f(n)＝18·2n ＝2n －3，∴a n ＝log 2 ＝n －3.令a n ≤0，即 － ≤0，∴ ≤3.∴数列前3项小于或等于零，故 3或 2最小． 3＝ 1＋ 2＋ 3＝－2＋(－1)＋0＝－3.三、解答题 11. 解 ：（1）记2003年该林区原有林地面积为 1，到2016年年底该林区原有林地减少后的面积大约变为 14，从表中看出｛a n ｝是等差数列，公差 约为 0.2，故 14 1＋（ － ） ＋（ － ） － ,所以到2016年年底，该林区原有林地减少后的面积大约变为97.2万公顷．（2）根据表中所给数据，该林区每年开荒造林面积基本是常数0.3万公顷，设2003年起， 年后林地总面积达102万公顷，结合（1）可知： ＋ － － ＋ ，解得 ，即2022年年底，该林区的林地总面积达102万公顷．12.解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9，∴a n ＝a ·0.9n －1.(2)10年出口总量S 10＝a(1－0.910)1－0.9＝10a(1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3. 故2010年最多出口12.3吨．13.解：(1)10年后新建住房总面积为a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋5a ＋4a ＋3a ＋2a ＝42a.设每年拆除的旧住房为x m 2，则42a ＋(32a －10x)＝2×32a ，解得x ＝a ，即每年拆除的旧住房面积是a m 2. (2)设第n 年新建住房面积为 ，则a n ＝⎩⎨⎧2n －1a ，1≤n ≤4，(12－n)a ，5≤n ≤10.所以当1≤n ≤4时，S n ＝(2n－1)a ；当5≤n ≤10时，S n ＝a ＋2a ＋4a ＋8a ＋7a ＋6a ＋…＋(12－n)a ＝15a ＋(n －4)(19－n)a 2＝(23n －n 2－46)a2.故S n＝⎩⎨⎧(2n－1)a ，1≤n ≤4且n ∈N ，(23n －n 2－46)2a ，5≤n ≤10且n ∈N.14.解：（1）依题设有T n = T n – 1(1 + r) + a n (n ≥2).（2）T 1 = a 1，对n ≥2反复使用上述关系式，得T n = T n – 1(1 + r) + a n = T n – 2(1 + r)2 + a n – 1(1 + r) + a n = a 1(1 + r)n – 1+a 2(1 + r)n – 2+ … + a n – 1(1 + r) + a n . ① 在①式两端同乘 (1 + r)，得(1 + r)T n = a 1(1 + r)n + a 2 (1 + r)n – 1 + … +a n – 1(1 + r)2+ a n (1 + r) . ② ② – ①，得rT n = a 1(1 + r)n+ d[(1 + r)n – 1+ (1 + r)n – 2+…+ (1 + r)] –a n =d r[(1 + r)n– 1 – r] + a 1(1 + r)n–a n ，又a n = a 1 +（n – 1）d ，则1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--.如果记1122(1),nn na r d a r d d A r B n r r r ++=+=--， 则T n = A n + B n ，其中{A n }是以12(1)a r d r r ++为首项，以1 + r(r ＞0)为公比的等比数列，{B n }是以12a r d d r r+--为首项，dr-为公差的等差数列.。

1.2数列的函数特性课后篇巩固探究A组1.数列{n2-4n+3}的图像是()A.一条直线B.一条直线上的孤立的点C.一条抛物线D.一条抛物线上的孤立的点解析:a n=n2-4n+3是关于n的二次函数,故其图像是抛物线y=x2-4x+3上一群孤立的点.答案:D2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n3n+1,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析:∵a n+1-a n=2(n+1)3(n+1)+1−2n3n+1=2[3(n+1)+1](3n+1)>0,∴a n+1>a n,∴数列{a n}是递增数列.答案:A3.若数列{a n}的通项公式a n=3n-53n-14,则在数列{a n}的前20项中,最大项和最小项分别是() A.a1,a20 B.a20,a1 C.a5,a4 D.a4,a5解析:由于a n=3n-53n-14=3n-14+93n-14=1+3n-143,因此当1≤n≤4时,{a n}是递减的,且a1>0>a2>a3>a4;当5≤n≤20时,a n>0,且{a n}也是递减的,即a5>a6>…>a20>0,因此最大的是a5,最小的是a4.答案:C4.已知{a n}的通项公式a n=n2+3kn,且{a n}是递增数列,则实数k的取值范围是()A.k≥-1B.k>-23C.k≥-23D.k>-1解析:因为{a n }是递增数列,所以a n+1>a n 对n ∈N +恒成立.即(n+1)2+3k (n+1)>n 2+3kn ,整理得k>-2n +13,当n=1时,-2n +13取最大值-1,故k>-1.答案:D 5.给定函数y=f (x )的图像,对任意a n ∈(0,1),由关系式a n+1=f (a n )得到的数列{a n }满足a n+1>a n (n ∈N +),则该函数的图像是( )解析:由a n+1>a n 可知数列{a n }为递增数列,又由a n+1=f (a n )>a n 可知,当x ∈(0,1)时,y=f (x )的图像在直线y=x 的上方.答案:A6.已知数列{a n }的通项公式是a n =an ,其中a ,b 均为正常数,则a n+1与a n 的大小关系是 . 解析:∵a n+1-a n =a (n +1)b (n +1)+1−anbn +1=a [b (n +1)+1](bn +1)>0, ∴a n+1-a n >0,故a n+1>a n .答案:a n+1>a n7.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 2-5n+2,则数列{a n }的最小值是 .解析:∵a n =2n 2-5n+2=2 n -54 2−98, ∴当n=1时,a n 最小,最小为a 1=-1.答案:-18.导学号33194002已知数列{a n }满足a n+1= 2a n 0<a n <12 ,2a n -1 12≤a n <1 ,若a 1=67,则a 2 017= .解析:a 1=67,a 2=2a 1-1=57,a 3=2a 2-1=37,a 4=2a 3=67,…,所以{a n }是周期为3的周期数列,于是a 2017=a 672×3+1=a 1=6. 答案:69.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-21n+20.(1)-60是否是该数列中的项,若是,求出项数;该数列中有小于0的项吗?有多少项?(2)n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值.解(1)令n 2-21n+20=-60,得n=5或n=16.所以数列的第5项,第16项都为-60.由n 2-21n+20<0,得1<n<20,所以共有18项小于0.(2)由a n =n 2-21n+20= n -21 2−361,可知对称轴方程为n=21=10.5.又n ∈N +,故n=10或n=11时,a n 有最小值,其最小值为112-21×11+20=-90.10.已知函数f (x )=1-2x (x ≥1),构造数列a n =f (n )(n ∈N +).(1)求证:a n >-2;(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列?为什么?(1)证明由题意可知a n =1-2n n +1=3-2(n +1)n +1=3n +1-2. ∵n ∈N +,∴3n +1>0,∴a n =3n +1-2>-2.(2)解递减数列.理由如下:由(1)知,a n =3-2. ∵a n+1-a n =3(n +1)+1−3n +1=3n +3-3n -6(n +1)(n +2)=-3(n +1)(n +2)<0,即a n+1<a n ,∴数列{a n }是递减数列. B 组1.若函数f (x )满足f (1)=1,f (n+1)=f (n )+3(n ∈N +),则f (n )是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析:∵f (n+1)-f (n )=3(n ∈N +),∴f (n+1)>f (n ),∴f (n )是递增数列.答案:A2.设函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,a x-6,x>7.数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,且数列{a n}是递增数列,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.9,3D.(1,2) 答案:B3.导学号33194003若数列{a n}的通项公式为a n=7·342n-2-3·34n-1,则数列{a n}的()A.最大项为a5,最小项为a6B.最大项为a6,最小项为a7C.最大项为a1,最小项为a6D.最大项为a7,最小项为a6解析:令t=34n-1,n∈N+,则t∈(0,1],且342n-2=34n-12=t2.从而a n=7t2-3t=7 t-3142−928.又函数f(t)=7t2-3t在0,314上是减少的,在314,1上是增加的,所以a1是最大项,a6是最小项.故选C.答案:C4.若数列{a n}的通项公式为a n=-2n2+13n,关于该数列,有以下四种说法:①该数列有无限多个正数项;②该数列有无限多个负数项;③该数列的最大值就是函数f(x)=-2x2+13x 的最大值;④-70是该数列中的一项.其中正确的说法有.(填序号)解析:令-2n2+13n>0,得0<n<13,故数列{a n}中有6项是正数项,有无限个负数项,所以①错,②正确;当n=3时,数列{a n}取到最大值,而当x=3.25时,函数f(x)取到最大值,所以③错;令-2n2+13n=-70,得n=10或n=-7(舍去),即-70是该数列的第10项,所以④正确.答案:②④5.若数列 n(n+4)2n中的最大项是第k项,则k=.解析:已知数列最大项为第k项,则有k(k+4)23k≥(k+1)(k+5)23k+1,k(k+4)23k≥(k-1)(k+3)23k-1,。