2015年秋北师大版数学选修2-2课件 第1章 推理与证明 §4

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【做一做2】 将下面用分析法证明
������2 + ������2 2
������2 + ������2 2 ≥ab的步骤,补充完整:
要证 ≥ab,只需证a2+b2≥2ab,也就是证 , 即证 ,由于 显然成立,因此原不等 式成立. 答案:a2+b2-2ab≥0 (a-b)2≥0 (a-b)2≥0
2
= .因此 A=60°.
1 2
探究一
探究二
探究三
规范解答
(2)∵由(1)知A=60°,且A+B+C=180°, ∴B+C=120°.
又 sin B+sin C=√3,
∴sin B+sin (120°-B)=√3,
即 sin B+(sin 120°cos B-cos 120°sin B)=√3.
3 ∴2sin
探究一
探究二
探究三
规范解答
证明:(1)∵2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,
������ 且 sin������
=
������ sin������
=
������ , sin������
∴2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,
即bc=b2+c2-a2.
������ +������2 -������2 ∴cos A= 2������������
§1.2 综合法与分析法
学 习 目 标 思 1.了解综合法证明问题的思考过 程和推理特点,学会运用综合法证 明简单题目. 2.了解分析法证明问题的思考过 程和推理特点,学会运用分析法证 明简单题目. 3.能根据综合法、分析法的推理 特点及问题的特征,选择适当的方 法进行数学命题的证明.

∵ PD⊥AC,PD⊥BD,AC∩BD=D,∴ PD⊥平面 ABC.
-8-
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专题探究
专题一
专题二
专题三
专题四
【例题 2】 求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大. 证明:设圆和正方形的周长均为 l,则 圆的面积为 π 立, 即证 成立. 因此,如果一个圆和一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积比正方 形的面积大.
2π 3
4π 3
+
+(4x-z2-2π)=-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]-4π+12≥0.
因为-[(x-2)2+(y-2)2+(z-2)2]≤0, 所以-4π+12≥0, 即 4π≤12,这与基本事实 4π>12 矛盾. 故 a,b,c 中至少有一个小于零.
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【例题 1】 如图,已知两直线 l∩m=O,l⫋ α,m⫋ α,l⊈ β,m⊈ β,α∩β=a.求 证:l 与 m 中至少有一条与 β 相交.
思路分析:结论中以“至少”形式出现,直接证明较困难,可考虑用反证 法.
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专题二 分析法与综合法
分析法与综合法各有其特点.有些具体的证明题,用分析法或综合法都 可以证明出来,人们往往选择比较简单的一种. 事实上,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据 条件的结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特点去转化 条件,得到中间结论 P.若由 Q 可以推出 P 成立,就可以证明结论成立.

只有一项(k＋1)2.
(2)一定要用归纳假设，不用归纳假设不是数学归纳法．
知识结构
专题研究
归纳推理
(1)将全体正整数排成一个三角形数阵： 1
23 456 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ……………… 根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3 个数为________．
即时 训 练
一、填空题
1．依次写出数列a1＝1，a2，a3，…，an(n∈N*)的法则
如下：如果an－2为自然数且未写过，则写an＋1＝an－2，否
则就写an＋1＝an＋3，则a6＝( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[答案] C
[解析] 根据题中法则，依次逐个代入，得a2＝4，a3＝ 2，a4＝0，a5＝3，a6＝6.
二、填空题 4．给出下列不等式：23＋53>22·5＋2·52,24＋54>23·5＋2·53,252 ＋552>22·512＋212·52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和 的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则 推广的不等式为____________________________． [答案] am＋n＋bm＋n>ambn＋anbm(a，b>0，a≠b，m，n>0)
2<b2n＋1.
[点评] 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表 示所要证明的结论，则综合法可用框图表示：
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
分析法证明不等式
已知函数f(x)＝tanx，x∈
0，π2，且x1≠x2. 求证：12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋2 x2.

① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
9
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
2019/8/29
最新中小学教学课件
23
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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谢谢欣赏！
棱数(E)
6 8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
立方体
6
6
10
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
截角正方体 7
尖顶塔
9
10
15
10
15

只需证明 (a b)(a b)2 0 ，
只需证明 (a b) 0且(a b)2 0 。 由于命题的条件“a，b是不相等的正数”，它保
证上式成立。这样就证明了命题的结论。
5
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使 每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要 证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为 止，这种证明的方法叫做分析法．
x 只需证明对任意的 x1> 2 >3，有
f (x1 ) f (x2 ) (2x12 12x1 16)(2x22 12x2 16)

2 x12

2
x
2 2

(12x1

12 x2
)
2(x1 x2 )(x1 x2 ) 12(x1 x2 )
2(x1 x2 )(x1 x2 6) 0
8
x x ∵ x1> 2 >3 ∴ x1- 2 >0，且
x1+ x2 >6，它保证上式成立。
这样就证明了：函数 f (x) 2x2 12x 16
在区间（3，+∞）上是增加的。
例4、如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, 求证AF⊥SC
9
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
S
F E
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以.AF⊥SC成立
10
用P表示已知条件,定义,定理, 公理等,用Q表示要证的结论,则 上述过程可用框图表示为:

4．选择综合法或分析法证明不等式 (1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件 或一些重要不等式入手，难度不大的不等式证明多直接采用综 合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结合分析法等其
他方法及技巧才能完成．
(2)对于一些条件复杂、结论简单的不等式的证明经常用综 合法；对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明常用分析 法．
__________________ 因而演绎推理是数学中严格证明的工具． 必定是正确的． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它缺少创造性，但 却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化 和系统化.
第一章
§2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·选修2-2
综合法 定义、公理、定理及运算法则 ， 从命题的 _____ 条件 出发，利用 ___________________________
2．分析法的特点
从“未知”看“需知”，再逐步靠近“已知”．
第一章
§2
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3．分析法与综合法的区别与联系 (1)区别：综合法是“由因导果”，而分析法则是“执果索 因”，它们是截然相反的两种证明方法．分析法便于我们去寻 找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解
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二、分析法 1．分析法的定义及其理解 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的
条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫分
析法．可见分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充 分条件，它与综合法是对立统一的两种方法．

A.1
B.1+a
C.1+a+a2
解:(1)令
n=2,得
S2=
2×(2+1) 2
������2,
即 a1+a2=3a2,解得 a2= 112.
令
n=3,得
S3=
3×(3+1) 2
������3,
即 a1+a2+a3=6a3,解得 a3= 210.
令
n=4,得
S4=
4×(4+1) 2
������4,
即 a1+a2+a3+a4=10a4,解得 a4= 310.
时,命题成立.
根据①②可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
(2)基本原理:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因
为根据①,验证了当n=1时命题成立;根据②可知,当n=1+1=2时命 题成立.由于n=2时命题成立,再根据②可知,当n=2+1=3时命题也
成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,…时命题成立,即命题对任 意正整数n都成立.
=2k·1·3·…·(2k-1)(2k+1)·2 =2k+1·1·3·…·(2k-1)·[2(k+1)-1]=右边, 故当n=k+1时等式成立. 根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
=
1 (1+1)(1+2)
,
结论成立.
②假设当
n=k(k≥1,k∈N+)时,结论成立,即

对象也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的 推理是「自然奧妙的参与者」和自己「最好 引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类 的老师」 比问题.”
7
类比推理的特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的 事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
复习
1.什么是归纳推理? 部分 整体
特殊
一般
2.归纳推理的一般步骤: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的 一般性命题(猜想).
3
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后 人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林 中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒 霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
4
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
北师大版高中数学选修2-2 第一章《推理与证明》
§1归纳与类比
1
一、教学目标：1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实 例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理； （3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。 2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程； 体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的 性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结 论就越可靠。3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现 中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类 比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解 决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦； 体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生 学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。 二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单 的推理。 教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 2 四、教学过程

1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝ 第1个圆环从1到3.
例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和 棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥
面数(F)
4 5 5
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
顶点数(V)
4 5 6
棱数(E)
6 8 9
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理 注意
以旧的知识为基础,推测新 的结果，具有发现的功能
类比推理的结论不一定成立
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
1
2
1
3
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.