贝努利NB模型
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贝努力不等式在中学数学中的应用
贝努利不等式在中学数学中的应用举例 数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。
现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。
贝努利不等式 设x ＞0 ,则(1)在0＜α＜1时，有x α≤1＋α(x －1),(2)在α＜0或α＞1时，有x α≥1＋α(x －1)。
两个不等式中的等号仅当x ＝1时成立。
(3) α,λ＞0，n ∈N *,n ≥1,有αn ≥n λn －1α－(n －1) λn ,当且仅当α＝λ时(3)取等号。
例1 设 a b 、是两个不等正数，则2a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫>> ⎪⎝⎭证 先证2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭∵122111a b a a a a b b a b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++⋅- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1a b a b b-=+= 同理可得: 12b a b b a b a +⎛⎫> ⎪+⎝⎭, 22aba a bab b a b a a a b b b b a b a ++⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ > ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∴a b a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2·2b b a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭＞1 ∴2a b a b a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭再证2a b b a a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭(略)例2 0,1,a a >≠设且则)1(1222--+n n a a a ＞n n 1+(n ∈N) 证 暂1,a >设由贝努利不等式知121()12(1)n a n a ---<-- ∴2111(1)2n a n a+-> 又 212122()n n n n a a ++= ＞2211(1)2n n a n++- 22111(1)(1)2n n n a a n n+=+-+- 211(1)n n a a n+>+- ∴22211(1)n n n a a a n ++>+- 222111,(1)n n a n a a a n+-+>∴>- 即在1a >时，不等式成立。
贝努利(Bernoulli)-模型
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• (1)双方各出3人，n=3 P(系队胜)= P3 (2)+ P3 (3)= P3 (2 ≤X ≤ 3) = (0.4)2(0.6)+ (0.4)3=0.3520 • (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174 P( )= • (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898 • 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
4 贝努利模型思考题
• 思考题1：用平台模型进行计算，当n较大而概率p较小时， 思考题1 计算机运行较慢，而且可能出现错误（溢出错误和舍入误 差）。这时我们应该怎么办？ • 解： 解：可以通过泊松分布 泊松分布来对二项分布进行检验 测试检验 检验。 发现很接近，n越大和P越小，近似程度越好。
4 贝努利模型思考题
5 思考题补充
• 假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各引 擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正常 运行,飞机能成功地飞行,问p至少为多大时，4引擎飞机比2 引擎飞机模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。 • 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}= • 原模型中，思考题3的解答有误，修改内容如前。
第五节 n重贝努利概型
C 20 0 . 2 0 . 8
4 4 16
0.218
例2、对同一目标进行射击，设每次射击的命 中率均为0.23，问至少需进行多少次射击， 才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？ 解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次 目标的概率不少于0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 } 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验 A = { 命中目标 } P B 1 则有
Bernoulli 试验的例子 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面” 两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验． 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心 “出现六 点”与“不出现六点”这两种情况， 故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中 目标”与“未击中目标”两种情况，则“同 一目标进行一次射击”是Bernoulli试验． 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通 过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli 试验．
A1 A2 An k An k 1 An
右边每一项都是n重贝努利试验的一个结果， 表示在某k次试验中发生，而在另外n-k次试 验中不发生，这种两两互不相容的事件共有 k Cn 个
由试验的独立性
P ( A1 A2 Ak Ak 1 A n ) P( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) P ( Ak 1 ) P ( An ) p (1 - p)
⑵ 由于新药无效，则 P A 0 .25 此时若肯定新药，只有在试验中至少有4 人痊愈．因此
P 肯定新药
i C 10 0 .25 i 0 .75 10 i i4 10
4 4 16
0.218
例2、对同一目标进行射击，设每次射击的命 中率均为0.23，问至少需进行多少次射击， 才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？ 解：设需进行n次射击，才能使至少命中一次 目标的概率不少于0.95．
B={ n次射击至少命中一次目标 } 进行n次射击，可看成是一n重Bernoulli试验 A = { 命中目标 } P B 1 则有
Bernoulli 试验的例子 掷一枚硬币，只有“出现正面”与“出现反面” 两种结果，因此“掷一枚硬币”可看作是一次 Bernoulli试验． 掷一颗骰子，有六种结果．但如果我们只关心 “出现六 点”与“不出现六点”这两种情况， 故“掷一颗骰子”也可以看作是Bernoulli试验．
对同一目标进行一次射击，若只考虑“击中 目标”与“未击中目标”两种情况，则“同 一目标进行一次射击”是Bernoulli试验． 在某一时间间隔内观察通过某路口的汽车数， 若只考虑“至少通过100辆车”与“至多通 过99辆车”这两种情况，这也是Bernoulli 试验．
A1 A2 An k An k 1 An
右边每一项都是n重贝努利试验的一个结果， 表示在某k次试验中发生，而在另外n-k次试 验中不发生，这种两两互不相容的事件共有 k Cn 个
由试验的独立性
P ( A1 A2 Ak Ak 1 A n ) P( A1 ) P ( A2 ) P ( Ak ) P ( Ak 1 ) P ( An ) p (1 - p)
⑵ 由于新药无效，则 P A 0 .25 此时若肯定新药，只有在试验中至少有4 人痊愈．因此
P 肯定新药
i C 10 0 .25 i 0 .75 10 i i4 10
伯努利概率模型
伯努利概率模型（原创实用版）目录1.伯努利概率模型的定义2.伯努利概率模型的性质3.伯努利概率模型的应用4.伯努利概率模型的局限性正文1.伯努利概率模型的定义伯努利概率模型是一种离散型概率模型，它由瑞士数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在 17 世纪提出。
该模型描述了一个试验在一次试验中成功的概率，以及在一次试验中失败的概率。
伯努利概率模型可以应用于许多实际问题，如掷骰子、抛硬币等。
2.伯努利概率模型的性质伯努利概率模型具有以下性质：（1）每次试验只有两种可能的结果，成功和失败；（2）每次试验成功的概率和失败的概率之和为 1；（3）每次试验的结果是相互独立的，即前一次试验的结果不会影响后一次试验的结果。
3.伯努利概率模型的应用伯努利概率模型在实际问题中有广泛的应用，例如：（1）掷骰子：在一次掷骰子的试验中，成功的概率为出现点数为 1、2、3、4、5、6 的概率，失败的概率为没有出现点数为 1、2、3、4、5、6 的概率；（2）抛硬币：在一次抛硬币的试验中，成功的概率为正面朝上的概率，失败的概率为反面朝上的概率；（3）检测产品合格率：在一次检测产品合格率的试验中，成功的概率为产品合格的概率，失败的概率为产品不合格的概率。
4.伯努利概率模型的局限性虽然伯努利概率模型可以解决许多实际问题，但它也有局限性，例如：（1）伯努利概率模型只能处理只有两种结果的试验，对于有多种结果的试验无法适用；（2）伯努利概率模型假设每次试验是相互独立的，但在实际问题中，试验之间的独立性可能受到很多因素的影响。
综上所述，伯努利概率模型是一种重要的概率模型，它可以帮助我们解决许多实际问题。
国科大现代信息检索第二次作业
国科大2013年秋季《现代信息检索》第二次作业(第六章到第十五章)以下1—16每题6分,第17题3分,共计100分。
1. 习题 6—10 考虑图6—9中的3篇文档Doc1、Doc2、Doc3中几个词项的tf 情况，采用图6—8中的idf 值来计算所有词项图6-9 习题 6—10中所使用的tf 值car 在三篇文档中的tf —idf 值分别：Doc1:27*1.65=44.55；Doc2：4*1.65=6.6；Doc3：24*1.65=39。
6 auto 在三篇文档中的tf -idf 值分别为：Doc1：3＊2.08=6。
24;33＊2。
08=68。
64；0*2。
08=0 insurance 在三篇文档中的tf —idf 值分别为：Doc1:0*1。
62=0;33＊1.62=53。
46;29*1.62=46。
98best 在三篇文档中的tf —idf 值分别为：Doc1:14*1。
5=21;0*1。
5=0；17＊1.5=25。
52. 习题 6—15 回到习题6—10中的tf—idf 权重计算，试计算采用欧氏归一化方式处理后的文档向量，其中每个向量有4维，每维对应一个词项。
Doc1=(44.55，6.24，0，21), Len(Doc1)=49。
6451对其长度归一化得到Doc1=(0。
897,0。
126，0，0.423） Doc2=（6。
6,68。
64，53.46，0），Len （Doc2）=87。
2524对其长度归一化得到Doc2=(0.076，0.787，0.613，0）Doc3=(39。
6，0,46。
98，25.5），Len （Doc3）=66。
5247对其长度归一化得到Doc3=(0.595，0，0。
706，0。
383） 3.习题 6-19 计算查询digital cameras 及文档digital cameras and video cameras 的向量空间相似度并将结果填入表6-1的空列中。
贝努利Bernoulli模型.ppt
独立地重复进行n次试验，在n重贝努利概型中事件A恰恰
出现K次的概率常称为二项概率，通常与实际情况相符，
这个概率常称为二项概率，记为Pn {X=K}。
Pn{X=K} =
，k=0,1,…,n. (0<p<1)
• 则有
Pn{A至少发生i次} =
=
Pn{A至多发生i次} =
=
3 贝努利模型应用及实验操作过程
6 贝努利模型完善
• 原模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。
• 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}=
• (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174
• (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898
• 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
• 解：本例为3重贝努利试验，即试验次数n=3； • p＝{灯泡可使用1000小时以上}=0.2； • 成功的次数2 ≤X ≤ 3 • 数据带入模型进行操作，点击概率计算 得：
4 贝努利模型思考题
• 思考题3：三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目 标的概率分别为0.3，0.6，0.8．若一门火炮击中目标，目 标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中目标，目标被摧毁 的概率为0.6；若三门火炮击中目标，目标被摧毁的概率为 0.9．试求目标被摧毁的概率。
贝努利不等式的证明与应用
（3）求出满足等式 3 4 …… n 2 n 3 的所有正整数 n
n n n n
n
n
m
证： （1）略
1 m （2）当 n 6 ， m n 时；由（1）知 1 >0 1 n3 n 3
n mn n m 1 1 1 < n , m 1, 2,3, ……， n 3 2 m
x R ， 0< <1 有 1 x 1 x, x> 1
3） n N , n >1, t >0 ；则有 t 1 n t 1
n
4）设 a, >0, n N , n >1 ，则 a n
n
n 1
a n 1 n 当且仅当 a 时取到“=”
n
2
3
n
n 2 n 1 3 …… <1 n 3 n 3 n 3
即 3 4 …… n 2 < n 3 ，即当 n 6 时不存在满足该等式的正整数 n，故只需
n n n n
n
n
n n n 1
x n 2 y …… xy n 2 y n 1
n n 1 n 2 1 x 1n x 1 x 1 x …… 1
当 x >0 时， 1 x >1
k
x 1 x
n
n
讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情况，经检验，可求 n 只有 n 2,3
2
推论 1） x R ， x > 1 且 x 0 1
n n n n
n
n
m
证： （1）略
1 m （2）当 n 6 ， m n 时；由（1）知 1 >0 1 n3 n 3
n mn n m 1 1 1 < n , m 1, 2,3, ……， n 3 2 m
x R ， 0< <1 有 1 x 1 x, x> 1
3） n N , n >1, t >0 ；则有 t 1 n t 1
n
4）设 a, >0, n N , n >1 ，则 a n
n
n 1
a n 1 n 当且仅当 a 时取到“=”
n
2
3
n
n 2 n 1 3 …… <1 n 3 n 3 n 3
即 3 4 …… n 2 < n 3 ，即当 n 6 时不存在满足该等式的正整数 n，故只需
n n n n
n
n
n n n 1
x n 2 y …… xy n 2 y n 1
n n 1 n 2 1 x 1n x 1 x 1 x …… 1
当 x >0 时， 1 x >1
k
x 1 x
n
n
讨论 n 1, 2,3, 4,5 的情况，经检验，可求 n 只有 n 2,3
2
推论 1） x R ， x > 1 且 x 0 1
贝努里概型
k P(B) = ∑ P( Bi ) = mP( B1 ) = Cn P k (1 − P)n −k i =1 m
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
概率论
一般地，有如下的定理： 定理1 (贝努里定理)设一次试验中事件A发生的概率
为p，(0<p<1),则n重贝努里试验中，事件A恰好发生 k次的概率Pn (k)为
k Pn ( k ) = Cn p k q n −k ,( k = 0,1,..., n )
n
n
此式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中的第 的亦称为二项概率公式。
例1 有一批棉花种子，出苗率为0.67，现每穴播六 有一批棉花种子，出苗率为 ， 求解下列问题： 粒，求解下列问题： (1) 恰有 粒种子出苗的概率； 恰有k粒种子出苗的概率 粒种子出苗的概率； (2) 至少有一粒出苗的概率； 至少有一粒出苗的概率； (3) 要保证出苗率为 要保证出苗率为98% ，应每穴至少播几粒？ 应每穴至少播几粒？ 解 恰有 粒种子出苗的概率为 恰有k粒种子出苗的概率为
4 = C3 0.630.42 + C5 0.640.4 + 0.65 =0.6826 5
在三局两胜赛制中，甲获胜的概率为 P3(2)+P3(3)
2 = C3 0.620.4 + 0.63 =0.648
甲应选择五局三胜制。
贝努里（ §1.6 贝努里（Bernoulli)概型 概型
概率论
则事件A、 相互独立 相互独立。 若P(AB) = P(A)P(B) ，则事件 、B相互独立。 在重复试验中，每次试验结果互不影响， 如果 在重复试验中，每次试验结果互不影响，也就 是说各次试验结果发生的概率互不影响， 是说各次试验结果发生的概率互不影响，称这类试验 是独立的。 是独立的。如： (1) 一枚硬币抛 n 次； (2) 一次抛 n 枚硬币； 枚硬币； (3)有放回地抽样：10件产品中有 件次品，从中任 有放回地抽样： 件产品中有 件次品， 件产品中有3件次品 有放回地抽样 取一件，取后放回，连取三次。 取一件，取后放回，连取三次。 1. n重独立性试验 若E可以在相同的条件下重复进 重独立性试验 可以在相同的条件下重复进 各次试验的结果相互独立， 行 n 次，各次试验的结果相互独立，则称这 n 次试验 是独立的， 重独立试验（独立试验序列） 是独立的，或称 n 重独立试验（独立试验序列）。
第二章 离散型随机变量.
k =1
∑
k =1
pk = 1
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量 的概率分布 为随机变量X 则称 简称分布律 分布律。 律，简称分布律。 表示为： 分布律可用概率分布表 表示为： X x1 x2 x3 … P p1 p2 p3 … xk pk … …
x1 , x2 , L xk , L 或写作:X~ p1 , p2 , L pk , L
2、（ ，1）分布 、（0， ） 、（ 若随机变量X的分布律为 的分布律为： 若随机变量 的分布律为： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0<p<1) - ， ， 则称X服从以 为参数的 分布，记为X~B(1,p)。 则称 服从以p为参数的 分布，记为 服从以 为参数的0-1分布 。 0-1分布的分布律也可写成 分布的分布律也可写成 X P 1 p 0
第二章 离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2一维离散型随机变量 一维离散型随机变量 2.3一维分布函数 一维分布函数 2.4二维离散型随机变量 二维离散型随机变量 2.5条件分布与随机变量 条件分布与随机变量 的独立性 • 2.6随机变量函数的分布 随机变量函数的分布 • • • • •
在第一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合 在第一章中，我们用样本空间的子集， 来表示随机试验的各种结果， 来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试 验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的 概念。这样， 概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计 规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随 规律性，而且可使我们用（数学分析） 机试验。 机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 即建立对应关系X，使其对试验的每个结果e， 即建立对应关系 ，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数 X(e)与之对应， 与之对应， 与之对应 对应关系X 对应关系 试验的结果e 实数X( ) 试验的结果 实数 (e) 的取值随着试验的重复而不同， 是一个变量 是一个变量， 则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在 的取值随着试验的重复而不同 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说 是一个 随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量 为随机变量。 随机取值的变量。由此，我们很自然地称 为随机变量。
∑
k =1
pk = 1
则称P(X=xk)=pk(k=1, 2, … ) 为随机变量 的概率分布 为随机变量X 则称 简称分布律 分布律。 律，简称分布律。 表示为： 分布律可用概率分布表 表示为： X x1 x2 x3 … P p1 p2 p3 … xk pk … …
x1 , x2 , L xk , L 或写作:X~ p1 , p2 , L pk , L
2、（ ，1）分布 、（0， ） 、（ 若随机变量X的分布律为 的分布律为： 若随机变量 的分布律为： P(X=k)=pk(1-p)1-k， k=0，1，(0<p<1) - ， ， 则称X服从以 为参数的 分布，记为X~B(1,p)。 则称 服从以p为参数的 分布，记为 服从以 为参数的0-1分布 。 0-1分布的分布律也可写成 分布的分布律也可写成 X P 1 p 0
第二章 离散型随机变量
2.1 随机变量 2.2一维离散型随机变量 一维离散型随机变量 2.3一维分布函数 一维分布函数 2.4二维离散型随机变量 二维离散型随机变量 2.5条件分布与随机变量 条件分布与随机变量 的独立性 • 2.6随机变量函数的分布 随机变量函数的分布 • • • • •
在第一章中，我们用样本空间的子集，即基本事件的集合 在第一章中，我们用样本空间的子集， 来表示随机试验的各种结果， 来表示随机试验的各种结果，这种表示方式对全面讨论随机试 验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 验的统计规律性及数学工具的运用都有较大的局限。在本章中， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果， 我们将用实数来表示随机试验的各种结果，即引入随机变量的 概念。这样， 概念。这样，不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在的统计 规律性，而且可使我们用（数学分析）微积分的方法来讨论随 规律性，而且可使我们用（数学分析） 机试验。 机试验。 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 在随机试验中，如果把试验中观察的对象与实数对应起来， 即建立对应关系X，使其对试验的每个结果e， 即建立对应关系 ，使其对试验的每个结果 ，都有一个实数 X(e)与之对应， 与之对应， 与之对应 对应关系X 对应关系 试验的结果e 实数X( ) 试验的结果 实数 (e) 的取值随着试验的重复而不同， 是一个变量 是一个变量， 则X的取值随着试验的重复而不同， X是一个变量，且在 的取值随着试验的重复而不同 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说X是一个 每次试验中，究竟取什么值事先无法预知，也就是说 是一个 随机取值的变量。由此，我们很自然地称X为随机变量 为随机变量。 随机取值的变量。由此，我们很自然地称 为随机变量。
几种常见的概率分布率-(1)分解
➢ 曲线与横坐标轴所夹的图形面积为1； ➢ 累积分布函数曲线从－∞到0平稳上升，围绕点(0,0.5)对称；
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）
➢ 标准正态分布的偏斜度γ1和峭度γ2均为零。
以下一些特征值很重要：
-3 -2 -1
1 23
68.27%
95.45%
99.73%
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973
4.822），求：
（1）X<161cm的概率； （2）X>164cm的概率； （3）152<X<162的概率。
x-
=
161 - 156.2 4.82
=
1.00
x
=
164 - 156.2 4.82
=
1.62
x
=
152 - 156.2 4.82
=
-0.87
x
=
162 - 156.2 4.82
=
1.20
四、 正态分布的单侧分位数和双侧分位数
x
[(1-
-1
p) ]p - p(n-x)
（当n→∞时，系数的极限为1，且nφ =μ）Βιβλιοθήκη x!= x e-x!
1
-1
e = lim (1 z) z，lim (1 - p) p = e
z0
p0
二、 服从泊松分布的随机变量的特征数
➢ 平均数：μ=λ ➢ 方差： σ2 = λ
➢ 偏斜度： 1=
1
➢
峭度：
标轴从－∞到u所夹的面积，该曲线下的面积即表示随机 变量U 落入区间（－∞，u）的概率；
➢ 标准正态分布查表常用的几个关系式：
• P（0<U <u1）=F（u1）－0.5 • P（U >u1）=F（－u1）=1－F（u1） • P（∣U∣>u1）=2F（－u1） • P（∣U∣<u1）=1－ 2F（－u1） • P（u1<U <u2）=F（u2）－F（u1）