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工科 概率统计复习题(古典概率,几何概率,条件概率,分布函数,密度函数,边缘分布,随机变量的独立性)

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第 1 页概率统计练习题一、选择题1. 设C B A ,,是三个随机事件，则事件“C B A ,,不多于一个发生”的对立事件是（B ）A ．CB A ,,至少有一个发生 Ｂ.C B A ,,至少有两个发生 C. C B A ,,都发生 Ｄ. C B A ,,不都发生2．如果（ C ）成立，则事件A 与B 互为对立事件。

(其中S 为样本空间)A ．AB f = Ｂ. A B S =U C. AB A B S fì=ïïíï=ïîU Ｄ. 0)(=-B A P 3．设,A B 为两个随机事件，则()P A B ⋃=（ D ） A ．()()P A P B - Ｂ. ()()()P A P B P AB -+C. ()()P A P AB - Ｄ. ()()()P A P B P AB +-4．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ D ）。

A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 135．设~(1.5,4)X N ，则{24}P X -<<=（ ）A ．0.8543 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 6．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。

A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 7．设2~(,)X N μσ则随着2σ的增大，2{}P X μσ≤-=（ B ）A ．增大 Ｂ. 减小 C. 不变 Ｄ. 无法确定8．设随机变量X 的概率密度21()01x x f x x θ-⎧>=⎨≤⎩，则θ=（ A ）。

A ．1 Ｂ.12 C. -1 Ｄ. 329．设随机变量X 的概率密度为21()01tx x f x x -⎧>=⎨≤⎩，则t =（ B ）A ．12 Ｂ. 1 C. -1 Ｄ. 3210．设连续型随机变量X 的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是（ A ） A ．0()1F x ≤≤ Ｂ.0()1f x ≤≤ C. {}()P X x F x == Ｄ. {}()P X x f x ==11．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。

~(0,1)i X N （1,2i =），则（ B ）。

第 2 页A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 12．设X 的分布函数为()F x ，则21Y X =-的分布函数()G y 为（ D ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛-2121y F Ｂ. ()12+y F C. 1)(2+y F Ｄ. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121y F13．设随机变量1X ，2X 相互独立，1~(0,1)X N ，2~(0,2)X N ，下列结论正确的是（ C ） A ．12X X = Ｂ.{}121P X X == C. 12()3D X X += Ｄ. 以上都不对14．设X 为随机变量，其方差存在，C 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ A ） A ．)()(X D C X D =+ Ｂ. C X D C X D +=+)()( C. C X D C X D -=-)()( Ｄ. )()(X CD CX D =15．设~(01)X N ,，~(11)Y N ,，Y X ,相互独立，令2Z Y X =+，则~Z （B ） A ．)5,2(-N Ｂ. )5,1(N C. )6,1(N Ｄ. )9,2(N 16．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ B ）A ．)()()(Y D X D XY D = Ｂ. )()()(Y D X D Y X D +=+ C. Y X ,相互独立 Ｄ. Y X ,不相互独立17．设总体()2~,X N μσ，其中μ未知,2σ已知,12,,,n X X X 为一组样本， 下列各项不是．．统计量的是（ B ）A ．11n i i X X n ==∑ Ｂ. 142X X μ+- C. 2211()n i i X X σ=-∑ Ｄ. 11()3n i i X X =-∑18设总体X 的数学期望为μ，123,,X X X 是取自于总体X 的简单随机样本，则统计量（ C ）是μ的无偏估计量。

A ．123111234X X X ++ Ｂ. 123111235X X X ++ C. 123111236X X X ++ Ｄ. 123111237X X X ++二、填空题1．设,A B 为互不相容的随机事件,5.0)(,2.0)(==B P A P 则()P AB = 0.72．设有10件产品，其中有2件次品，今从中任取1件为正品的概率是 0.83．袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的7张卡片，今从袋中任取3张卡片，则所取出的3张卡片中有“6”无“4”的概率为______第 3 页4．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B = 0.8 5．设,A B 为独立的随机事件，且()0.2,()0.5,P A P B ==则()P AB = 0.66．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.3P X >= 0.77．设离散型随机变量X 的分布律为)5,4,3,2,1(,5}{===k akk X P ，则a =___1/3_______. 8．设随机变量则()D X = ______________9．设随机变量X 的概率密度660()00.xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩ 则}61{>X P ＝ e 的-1次方10．设2~(10,0.02)X N ，则{}9.9510.05P X <<= 11．已知随机变量X 的概率密度是2()x f x -=，则()E X = ___0___12．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。

则()D X Y += 13 13．设()9D X =, ()16D Y =, 0.5XY ρ=，则()D X Y += 3714、设随机变量X 服从正态分布N （2，9），则Z=~32-X ______________分布15、设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.3P X >=16、设随机变量1X 与2X 相互独立，且1~[0,2]X U ，2X 服从参数为2的泊松分布，则12()E X X = ，12(23)D X X +=三、计算题1．某种电子元件的寿命X 是一个随机变量，其概率密度为21010()010x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩ 。

某系统含有三个这样的电子元件（其工作相互独立），求：（1）在使用150小时内，三个元件都不失效的概率； （2）在使用150小时内，三个元件都失效的概率。

2．有两个口袋。

甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。

由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?第 4 页3．假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。

现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求： （1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

4．某厂有三台机器生产同一产品，每台机器生产的产品依次．．占总量的0.3，0.25，0.45，这三台机器生产的产品的次品率依次．．为0.05，0.04，0.02。

现从出厂的产品中取到一件次品，问这件次品是第一台机器生产的概率是多少？5．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％，25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。

现从三个厂生产的一批产品中任取一件，求恰好取到次品的概率是多少？6．设连续型随机变量X 的密度为50()0xke x f x x -⎧>=⎨≤⎩(1)确定常数k ； (2)求{0.3}P X > (3)求分布函数()F x .（4）求()E X7．设连续型随机变量X 的密度函数为()sin 00A x x f x π<<⎧=⎨⎩其它求:（1）系数A 的值 （2）X 的分布函数 （3）{0}4P X π<<。

8．若随机变量X 的分布函数为：()arctan (-)F x A B x x =+∞<<+∞ 求：（1）系数,A B ；（2）X 落在区间（-1，1）内的概率；（3）X 的密度函数。

9．设某种电子元件的寿命X 服从指数分布，其概率密度函数为10(,)00xex f x y x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中0θ>，求随机变量X 的数学期望和方差。

10．设连续型随机变量X 的概率密度为： (1)01()0kx x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它1）求常数k ；2）设2Y X =，求Y 的概率密度()Y f y ；3）求()D X11．设连续型随机变量X 的概率密度110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，求(),()E X D X 。

12．设随机变量X 的数学期望()0E X >，且21122E X ⎛⎫-=⎪⎝⎭，11122D X ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求：()E X 13．设随机变量X 和Y 相互独立，且()E X =()E Y =1，()D X =2，()D Y =4，求：2)(Y X E +14．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y Cx y x f第 5 页求：（1）确定常数C ；（2）求边缘概率密度。

15．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为401,01(,)0xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其它， （1） 求边缘密度函数(),()X Y f x f y ；（2）问X 与Y 是否独立？（3）求2{}P Y X ≤16．设二维随机变量(,)X Y 的联合分布密度26,01(,)0x y x x f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它分别求随机变量X 和随机变量Y 的边缘密度函数。

17．设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度函数为-0,(,)0ye x y xf x y ⎧>>=⎨⎩其他求（1）X 、Y 的边缘分布密度；（2）问X 与Y 是否独立18．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为： 4.8(2)0,01(,)0y x y x x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它求：（1）求X 、Y 的边缘概率密度；（2）X 与Y 是否独立？19．设总体()~1X B p ,其中p 是未知参数,12345,,,,X X X X X 是总体的样本。

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工程数学复习-概率统计

工程数学复习-概率统计

（1）A,B,C,D至少有一个发生；
（2）都不发生；（3）都发生；
（4）A,B,C,D恰有一个发生； （5）至多一个发生。
解:（1）A∪B∪C∪D或 A B C D （2）A B C D 或 A B C D （3）ABCD或 A B C D
（4）
ABCD
ABCD
ABCD
ABCD
1/4
连续型随机变量：
4．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系：
(1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分 布函数为 F ( x ) x f (t )dt


(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率 密度为f(x)=F′(x).
例1: 设随机变量X具有概率密度
解: 将Ａ,Ｂ,Ｃ表示集合形式为Ａ＝｛１,２,３,４｝, Ｂ＝｛２,４,６,８｝,Ｃ＝｛１,３,５,７｝所以 Ａ∪Ｂ＝｛１,２,３,４,６,８｝ (Ａ∪Ｂ)Ｃ＝｛１,３｝
ＡＢ＝｛２,４｝;Ａ-Ｂ＝｛１,３｝ Ｂ-Ａ＝｛６,８｝ Ｂ∪Ｃ＝｛１,２,３,４,５,６,７,８｝
例2:A,B,C,D四个事件，用运算关系表示：
f ( x)
1
e

, x


定义2：当μ=0，σ=1时称X服从标准正态分布，记为 XN(0，1)，其概率密度为
1 ( x) e 2
x2 2
(2) 正态密度函数f(x)的几何特征
驻点：x=μ,为函数的极大值点； 拐点：x=μ±σ.作图如下
④如果固定σ，改变μ的值，则图形沿着Ox轴平移，而 不改变其形状，可见正态分布的概率密度曲线y=f(x)的 位置完全由参数μ所确定，μ称为位置参数。 如果固定μ，改变σ，由于最大值 f ( ) 知当σ越小时图形变得越尖，因而X落在μ附近的概率
工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案

工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案

工程数学“概率论与数理统计”测试题参考答案工程数学期末复习要点邹斌现在主要讨论工程数学这门课程的考核要求，08秋工程数学考试形式为半开卷，行考比例占30%，我们将分章节复习。

本课程分线性代数和概率统计两部分共7章内容。

分别是行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础。

第一部分线性代数一、行列式复习要求（1）知道n阶行列式的递归定义；（2）掌握利用性质计算行列式的方法；（3）知道克莱姆法则。

考核要求：行列式性质的计算（选择或填空）二、矩阵复习要求（1）理解矩阵的概念，了解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义；（2）熟练掌握矩阵的加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算；（3）掌握方阵乘积行列式定理；（4）理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件；（5）熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，掌握求解简单的矩阵方程的方法；（6）理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法；（7）会分块矩阵的运算。

考核要求：（1）矩阵乘法（选择或填空）（2）求逆矩阵（3阶）初等行变换法（计算题）（3）求矩阵的秩（等于阶梯形矩阵的非零行数）三、线性方程组复习要求（1）掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的线性相关性；（2）会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法；（3）理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的存在性和惟一性；（4）熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法；（5）了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

考核要求：（1）线性相关性（选择或填空）（2）会求向量组的极大线性无关组（计算题）（3）线性方程组的判定定理（选择或填空）（4）熟练掌握齐次和非齐次方程组的基础解系和通解的求法（计算题）四、矩阵的特征值及二次型复习要求（1）理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法；（2）了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质；（3）知道正交矩阵的定义和性质；（4）理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形，掌握用配方法化二次型为标准形的方法；（5）了解正定矩阵的概念，会判定矩阵的正定性。

概率论与数理统计复习汇总

概率论与数理统计复习汇总

3 个患者的治疗中，至少有一个是有效的概率. 设对各个患者的治疗效果是相 互独立的.
第二章：随机变量及其相关内容
基本概念：随机变量、分布律、概率密度、分布函数 随机变量：设随机试验的样本空间为 S = {e}, X = X (e) 是定义在样本空间 S 上的
实值单值函数，称 X = X (e) 为随机变量. ( 样本点到数的对应法则) 随机变量的分类：离散型随机变量和连续型随机变量(基于 r.v. 的取值类型) 离散型随机变量 取值为有限个或者无限可列个的随机变量 分布律 若 r.v. X 的取值为 x1, x2 , , xn , 对应概率值为 p1, p2 , , pn , ，即
(1) 任取一件产品为次品的概率是多少？ (2) 已知取得的产品为次品，求此次品来自甲厂生产的概率是多少？ 2. 人们为了了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票 价格的基本因素，比如利率的变化. 现假设人们经分析评估知利率下降的概率为 60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该
一个划分.或者 B1, B2 , , Bn 为一个完备事件组.
全概率公式：设设 S 为随机试验 E 的样本空间， B1, B2, , Bn 为一个完备事件组，
则有 P( A) = P(B1)P( A B1) + P(B2 )P( A B2 ) + + P(Bn )P( A Bn )
Bi 称为原因， A 称为结果；全概率公式由原因找结果； 贝叶斯公式： 由结果找造成的原因
运算规律：德摩根律 AB = A ∪ B; A ∪ B = AB
加法原理： n1 + n2 + + nm (分类)，乘法原理： n1 ⋅ n2 ⋅ ⋅ nm (分步)
《概率论与数理统计》期末复习题

《概率论与数理统计》期末复习题

验，对于假设检验，要求会区分并进行单侧或双侧检验。
《 概率论与数理统计 》复习
一、填空题
1.设A、B、C为三事件，则事件“A发生B与C都不发生”
可 表示为_A__B_C _____; 事件“A、B、C不都发生”可表示为_A __B __C________
事件“A、B、C都不发生”可表示为__A _B__C_________。
2
0

（3）P(1 X 2
1
1
3) 2
x2
3
1
2 1
f
(
x)dx

1 xdx
2
2

1
x2
3
2 (2
x)dx

x2
1

(2x

x2 )
3 2

3
1
21
24 1
2
（4）EX

1 x2dx
0
2
1
x
2

x
dx

1 3
x3
1 0

x2
2 1

1 3
x3
2 1
1
DX EX 2 EX 2
EX2
1 x3dx
0
2 x2
1
2x
dx

1 x4 4
1 0

2 x3 3
2 1

1 4
x3
2 1

7 6
7 1 1
6
6
6. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信
号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首