2019年重庆一中高2021级高一下期期中考试数学测试试题卷5.22(含答案)

重庆高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在等差数列中，，公差，则等于（）A．B．C．D．2.平行四边形ABCD中，E是CD的中点，且，，则=（）A．B．C．D．3.已知向量＝(3,4)，＝(k，2-k)，且∥，则实数k＝（）A．8B．－6C．D．4.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是（）A．511B．1023C．1533D．30695.在中，角的对边分别是，已知，则的外接圆半径是（）A．B．C．D．6.已知等比数列的首项公比，则（）A．50B．44C．55D．467.设，是两个夹角为120º的单位向量，若向量，，且，则实数m的值为（）A．-2B．2C．D．不存在8.等比数列中，已知，则数列的前16项和为（）A．20B．C．D．9.已知内角的对边分别是，若，b=3，，则的面积为（）A．B．C．D．10.甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时8千米的速度向正北航行，同时乙船自B以每小时12千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．小时C．10.75分钟D．2.15分钟11.△ABC中,根据下列条件,能确定△ABC有两解的是（）A．a="18," b="20," A=120°B．a="60," c="48," B=60°C．a=6, b="12," A=30°D．a="7," b=8, A=45°12.已知为的三个内角的对边，向量，，若夹角为，则，则角（）A．B．C．D．二、填空题1.在中，角所对的边分别为，若，则＝．2.设等差数列的前项和为，若，则＝．3.设三个非零向量，若，那么的取值范围为______．4.在数列中，已知，则_____．三、解答题1.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．2.已知数列的通项公式为，前n项和记为．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求．3.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．4.已知锐角的三内角所对的边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若a=5，，求的AB边上中线CD的长．5.已知内角的对边分别是，且．（1）求角A；（2）当取最大值时，求的值．6.有个首项都是1的等差数列，第个数列的第项表示为，公差为，并且成等差数列．若取．（1）求数列的通项公式；（2）数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列),设前组中所有数之和为，求数列的前项和．重庆高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.在等差数列中，，公差，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等差数列的通项公式可得，故选A．【考点】等差数列的通项公式．2.平行四边形ABCD中，E是CD的中点，且，，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据平面向量的三角形法则可知，故选C．【考点】向量的线性运算．3.已知向量＝(3,4)，＝(k，2-k)，且∥，则实数k＝（）A．8B．－6C．D．【答案】C【解析】由题意得，则，解得，故选C．【考点】共线向量的坐标运算．4.已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是（）A．511B．1023C．1533D．3069【答案】D【解析】在等比数列中，由，可得，得，又，所以，解得，所以，故选D．【考点】等比数列通项公式及前项和．5.在中，角的对边分别是，已知，则的外接圆半径是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理可得，所以，由正弦定理得，所以，故选C．【考点】正弦定理与余弦定理的应用．6.已知等比数列的首项公比，则（）A．50B．44C．55D．46【答案】C【解析】由题意得，，故选C．【考点】对数的运算及等比数列的通项公式．7.设，是两个夹角为120º的单位向量，若向量，，且，则实数m的值为（）A．-2B．2C．D．不存在【答案】C【解析】由题意得，，又因为是两个夹角为的单位向量，所以，又，，所以，解得，故选C．【考点】向量的运算．8.等比数列中，已知，则数列的前16项和为（）A．20B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，则，根据等比数列的性质可知构成公比为等比数列，，且，故选B．【考点】等比数列的性质．9.已知内角的对边分别是，若，b=3，，则的面积为（）A．B．C．D．【解析】由，根据正弦定理，由余弦定理得，即，所以，又，所以三角形的面积为，故选D．【考点】正弦定理、余弦定理与面积公式．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等基础知识的综合应用，其中牢记正弦定理和余弦定理，并灵活、合理使用定理是解答本题的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于基础试题，本题的解答中先利用正弦定理得，再利用余弦定理，建立方程，求得的值，即可利用三角形的面积公式求解三角形的面积．10.甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时8千米的速度向正北航行，同时乙船自B以每小时12千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（）A．分钟B．小时C．10.75分钟D．2.15分钟【答案】A【解析】由题意得，假设经过小时两船相距最近，甲乙分别行至，如图所示，可知，所以，当时，即小时时，两船相距最近，故选A．【考点】解三角形的实际应用．11.△ABC中,根据下列条件,能确定△ABC有两解的是（）A．a="18," b="20," A=120°B．a="60," c="48," B=60°C．a=6, b="12," A=30°D．a="7," b=8, A=45°【答案】D【解析】A中，，所以，这与三角形的内角和矛盾，此时三角形无解；B中，由于，再由余弦定理可得是唯一的，故三角形只有一解；C中，由正弦定理解得，故三角形有唯一的解；D中，由正弦定理可得，所以可能是锐角，也可以是钝角，所以三角形有两解，故选D．【考点】解三角形；三角形个数的判定．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，其中正确掌握判断三角形的解的个数的方法，以及三角形中大边对大角，求出相应边或角是解答本题的关键，着重于考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中利用题设条件求解出相应边或角，利用三角形的角、大边对大角、三角函数值求解等知识，即可作出正确的判定．12.已知为的三个内角的对边，向量，，若夹角为，则，则角（）A．B．C．D．【解析】由题意得，根据与夹角为，得，即，又，即，又，由正弦定理得，即，所以，所以，故选B．【考点】向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理、平面向量的数量积的应用、向量的夹角公式及两角和的正弦公式额额那个知识的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，先根据向量的夹角公式，得，求解，进而利用解三角形的正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，即可求解的大小．二、填空题1.在中，角所对的边分别为，若，则＝．【答案】【解析】由余弦定理得，所以．【考点】余弦定理的应用．2.设等差数列的前项和为，若，则＝．【答案】【解析】由题意得，，所以，所以，即，又，所以，所以．【考点】等差中项公式及前项和公式．3.设三个非零向量，若，那么的取值范围为______．【答案】【解析】由题意得，，所以．【考点】向量的数量积的运算及向量的模．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算及向量的模的求解，其中根据平面向量模的平方等于向量的平方和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力的配用，属于中档试题，本题的解答中，利用向量模的平方等于向量的平方，求出的平方，利用基本不等式即可求解的取值范围．4.在数列中，已知，则_____．【答案】【解析】由题意得，，即，所以，两式相减，得，即，即，令，解得，所以数列从第二项起构成首项为公比为的等比数列，所以．【考点】等比数列的定义及等比数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了等比数列的定义及等比数列的通项公式、等比数列的前和与通项的递推关系等知识的综合应用，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，本题的解答中，利用题设中数列的递推关系，可推得，得到数列从第二项起构成公比为的等比数列是解答的关键．三、解答题1.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．2.已知数列的通项公式为，前n项和记为．（1）求证：数列是等差数列；（2）若，求．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由，利用等差数列的定义即可证明数列为等差数列；（2）利用等差数列的求和公式，得，可得，再利用裂项法求解数列的和．试题解析：（1）证明：∵＝3是常数，∴是等差数列．（2）.∴∴．【考点】等差数列的的定义；数列求和．3.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．4.已知锐角的三内角所对的边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若a=5，，求的AB边上中线CD的长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理即可，求得，即可求解的大小；（2）由三角形的面积公式求得，再利用余弦定理得，利用，利用余弦定理，即可列出方程，求解的长．试题解析：（1）由正弦定理得：，又，，又是锐角三角形，（2）由得，由得由∠ADC+∠BDC=180º得cos∠ADC +cos∠BDC =0，设CD=x则，解得：∴AB边上中线CD的长为．本小题也可用余弦定理求，再用余弦定理求CD的长．【考点】正弦定理与余弦定理的应用．5.已知内角的对边分别是，且．（1）求角A；（2）当取最大值时，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理得，∴，即可求解角的值；（2）由（1）知，可化简，即可求解当时有最大值，此时可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，∴，∴（2）由得，，又∴当时，取最大值1，此时【考点】余弦定理的应用；三角恒等变换的应用．【方法点晴】本题主要考查了三角形中的正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角函数的最值等知识的综合应用，其中熟记三角恒等变换的公式和三角函数的性质是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，本题的解答中化简，确定时有最大值是解答本题的一个难点．6.有个首项都是1的等差数列，第个数列的第项表示为，公差为，并且成等差数列．若取．（1）求数列的通项公式；（2）数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列),设前组中所有数之和为，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意知，可利用递推关系得，又因为成等差数列，化简整理得，得到数列是公差为的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）按分组规律，第组中有个奇数，所以第组到第组共有个奇数，得，从而得到，即可利用乘公比错位相减法求解数列的和．试题解析：（1）由题意知．，同理，，，…，．又因为成等差数列，所以.故，即是公差为的等差数列．当时，．（2）数列分组如下：．按分组规律，第组中有个奇数，所以第1组到第组共有个奇数．所以前个奇数的和为，即前组中所有数之和为，所以．从而．所以..故.所以．【考点】等差数列通项公式与性质的应用；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了学生灵活运用等差数列的通项公式及数列的性质和前项和的公式化简求值，会利用乘公比错位相减法求解数列的和，着重考考查了利用函数思想解答与数列相关的实际问题的能力及推理与运算能力，其中正确利用数列通项公式和定义判断是解答问题的关键，同时认真、细致运算是解答的一个易错点和难点．试题有一定的难度，属于难题．。

重庆一中 高一下期半期考试数 学 试 题 卷一、选择题.(共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.已知等差数列}{n a 满足682=+a a ，则=5a （ ）A.3B.6C. 8D. 12 2.已知向量)3,(),1,2(x b a =-=，若⊥，则实数x 的值是（ ）A. 6B. 6-C.23 D. 23- 3.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+01042y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.2B. 27C. 7D.8 4.若1->x ，则14++x x 的最小值是（ ） A.4 B.3 C.2 D.15.（原创）在圆O 内随机任取一点，则取到的点恰好落在该圆的内接正方形内的概率是（ ）A. π2B. π1C. 4πD. 5π6.（原创）有些同学考试时总是很粗心. 某数学老师为了研究他所教两个班学生的细心情况，在某次数学考试后，从他所教的甲、乙两个班级里各随机抽取了五份答卷并对解答题第16题（满分13分）的得分进行统计，得到对应的甲、乙两组数据，其茎叶图如下图所示，其中}3,2,1,0{,∈y x ，已知甲组数据的中位数比乙组数据的平均数多59，则y x +的值为（ ）A.5B.4C.3D.17.（原创）b a ,为非零实数，已知0>ab 且b a >，则下列不等式不一定．．．成立的是（ ） A. a b b 2> B. 2ln )ln(>+b a a b C. ba 11)21()21(> D. 11++<a b a b8.（原创）执行如图所示的程序框图，若输出20152014=s ，则判断框内应填入的条件是（ ）甲组乙组9 6 0 7 8 3 3 x 1 1 y 3（第6题图）80 90 100 110 120 130 0.0300.025 0.020 0.015 0.010 底部周长 cm （第12题图）A. 2015<nB. 2015≤nC. 2014<nD. 2013<n9.（原创）已知ABC ∆的三个内角,,A BC 满足B A C 2sin 220142cos 2cos 2015-=-，则=⋅+⋅B A B A C tan tan )tan (tantan （ ）A. 22015B. 20152C. 20141D. 1007110.（原创）已知平面向量βα,满足32=-，且βα+与βα2-的夹角为 150，则)()(R t t ∈-+βα的最小值是（ ）. A.43 B. 33 C. 23 D. 3 二．填空题.(本大题共5 小题，共25分，将正确答案填写在答题卡上的相应位置)11.运行下面的伪代码，输出的T 的值为 ；12.对大量底部周长]130,80[∈（单位：cm ）的树木进行研究，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如上图所示，则在抽测的200株树木中，有 株树木的底部周长小于100cm ；13.（原创）“丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合. 若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟；若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独地爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是 （用数字作答）；14.（原创）已知+∈R y x ,且32=+y x ，若不等式a y x xy ⋅+≤)2(对任意+∈R y x ,恒成立，则实数a 的取值范围是 ；15.（原创）已知*,12N n n a n ∈-=，将数列}{n a 的项依次按如图的规律“蛇形排列”成一（第11题图）1 7,5,3 9,11,13,15,17 31,29,27,25,23,21,19 33,35,37,39,41,43,45,47,49 ……………………………………ABCDNM个金字塔状的三角形数阵，其中第m 行有12-m 个项，记第m 行从左到右．．．．的第k 个数为),,121(,*,N k m m k b k m ∈-≤≤，如29,152,44,3==b b ，则=k m b , （结果用k m ,表示）.三．解答题.(共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)16.（13分）（原创）学生“如花姐”是2015年我校高一年级“校园歌手大赛”的热门参赛选手之一，经统计，网络投票环节中大众对“如花姐”的投票情况是：喜爱程度 非常喜欢 一般 不喜欢 人数 500 200 100现采用分层抽样的方法从所有参与对“如花姐”投票的800名观众中抽取一个容量为n 的样本，若从不喜欢“如花姐”的100名观众中抽取的人数是5人. （1）求n 的值；（2）若从不喜欢“如花姐”的观众中抽取的5人中恰有3名男生（记为321,,a a a ）2名女生（记为21,b b ），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果； （3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率.17.（13分）（原创）若数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是等比数列，且5221,a b a b ==.（1）求n a 及n b ；（2）记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（13分）（原创）如图，已知菱形ABCD 的边长为2，120=∠BAD ，N M ,分别为CDBC ,上的点，)1,0(,,,∈==μλμλ，记==,.（1） 当21==μλ-；（2） 若2-=⋅b a ，求μλ11+的值.19.（12分）（原创）ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若边2=c ，且B bC B a A a sin sin 2sin sin -=-.（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，求ABC ∆的面积；（2）记AB 边的中点为M 的最大值，并说明理由.20.（12分）（原创）已知二次函数0,,,,)(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f .（1）是否存在R c b N a ∈∈,,*使得1)(22+≤≤x x f x 对任意R x ∈恒成立？若存在，求出相应的c b a ,,的值；若不存在，请说明理由.（2）当1=a 时，若关于x 的方程x x f 2)(=的两根满足)2,1(),1,0(21∈∈x x ，试求)1(4)12()1(22+--++bc c b 的取值范围.21.（12分）（原创）已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，满足2),(65111≥-=+--+n b S S S n n n n ，*N n ∈，且5,121==b b ，数列}{n a 满足,11=a *121,2),111(N n n b b b b a n n n ∈≥+++⋅=- . （1）证明：数列}3{1n n b b -+是等比数列； （2） 求证：*21,)11()11()11(N n e a a a n∈<+⋅⋅+⋅+（e 是自然对数的底数， 71828.2=e ）.数 学 参 考 答 案一、选择题：ACDBA DBCDA提示：10题：记=+βα，=-βα2，则,的夹角为 1503=配凑可得：)21()(=+-=-+m t t==令R u t u ∈-=21(，则上式43163)43(432322≥+-=+-=u u u .二．填空题：6 ，80 ，7247， ),31[+∞， ⎪⎩⎪⎨⎧+-++-=为偶数为奇数m k m m k m m b k m ,122,124222,.三．解答题.16.（13分）解：（1）抽样比例为1005，故40510052001005500=+⨯+⨯=n ； （2）},,,,,,,,,{21231322122111323121b b b a b a b a b a b a b a a a a a a a =Ω，共10种可能的结果； （3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为A ，则},,,,,,{21231322122111b b b a b a b a b a b a b a A =，其含有7种结果，故107)(=A P （或解：A 表示两个都是男生，包含3个结果，1071031)(1)(=-=-=A P A P ）17.（13分）解：（1）2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，又111==S a 满足此式， 故*,12N n n a n ∈-=，于是9,321==b b ，而{}n b 等比，故n n b 3=； （2）n n n n n b a c 3)12(⋅-=⋅=，由错位相减法，有：n n n n n T 3)12(3)32(353331132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=- ………………………①=n T 31323)12(3)32(3331+⨯-+⨯-++⨯+⨯n n n n …………②两式相减，得：()1323)12(333232+⨯--+++⨯+=-n n n n T1123)12(31]311[323+-⨯----⨯⨯+=n n n 63)22(1-⨯-=+n n ，因此*1,33)1(N n n T n n ∈+⨯-=+.18.（13分）解：（1）当21==μλ时，N M ,分别为CD BC ,的中点，3==且b a ,的夹角为 60，3===；32=321===-=-BD ；（2）=⋅b a )()(DN AD BM AB AN AM +⋅+=⋅⋅+⋅+⋅+⋅=)21(222222)21(222-⨯⨯+⨯+⨯+-⨯⨯=-⇒μλλμλμμλλμμλ=+⇒=+⇒)(22)(4，故2111=+=+λμμλμλ. 19.（12分）解：因为2=c ，故ab c b a B b C c B a A a =-+⇒-=-222sin sin sin sin ，由余弦定理可得 60212cos 222=⇒=-+=C ab c b a C ； （1）A A A B A B A A B C cos sin 2)sin()sin(2sin )sin(sin =-++⇒=-+A B A A A A B sin sin 0cos cos sin cos sin ==⇒=⇒或，即 90=A 或B A =当 90=A 时， 30=B ，332=b ，33221==∆bc S ABC ， 当B A =时，ABC ∆为等边三角形，360sin 2221=⨯⨯⨯=∆ ABC S ；（2）由于)(21CB CA CM +=)(41)(41222ab b a CB CA ++=+=因为 60,2==C c ，故由余弦定理知422+=+ab b a 121+=ab而42422≤⇒≥+=+ab ab b a ab 3≤3=，（当且仅当c b a ===2）时取等.20.（12分）解：（1）1)(22+≤≤x x f x 中令1=x 得2)1(2)1(2=⇒≤≤f f故b a c --=2，于是b a bx ax x f --++=2)(2，由题知02)2()(22≥--+-+⇔≤b a x b ax x f x 对R x ∈恒成立，有0448440)2(4)2(222≤+--++⇒≤----=∆b a b ab a b a a b ，整理得 220)22(04)2(4)2(22=+⇒≤-+⇒≤++-+b a b a b a b a ，又⇔+≤1)(2x x f 01)1(2≤--++-b a bx x a 对R x ∈恒成立，故必有1≤a 而*N a ∈，于是1=a ，而22=+b a 故0=b ，此时12=--=b a c ，1)(2+=x x f ，显然满足1)(2+≤x x f 对R x ∈恒成立，故存在0,1==b a 满足题意；（2）当1=a 时，方程⇔=x x f 2)(0)2(2=+-+c x b x ，令c x b x x g +-+=)2()(2，其两个零点为21,x x ，则⇔∈∈)2,1(),1,0(21x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>⇔⎪⎩⎪⎨⎧><>020100)2(0)1(0)0(c b c b c g g g而4414412)1(4)12()1(2222--+-+++=+--++bc c c b b bc c b 2)2(2)2(2--+-=c b c b令c b t 2-=，在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+>02010c b c b c 下，由线性规划知识易求得)1,5(2-∈-=c b t故)13,3[222)2(2)2(22-∈-+=--+-t t c b c b ， 也即：)13,3[)1(4)12()1(22-∈+--++bc c b . 21.（12分） 解：（1）由⇒-=+--+)(65111n n n n b S S S ⇒--=---+1116)(5n n n n n b S S S S 1165-+-=n n n b b b 2),3(2311≥-⋅=-⇒-+n b b b b n n n n ，且其首项02312≠=-b b ，故}3{1n n b b -+等比，公比为2；（2）先求n b ，由（1）知n n n n b b 222311=⋅=--+21223211+⋅=⇒++n n n n b b}12{12231211+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=+⇒++nn n n n n b b b 等比，其首项为23121=+，公比为23, 于是nn n n nn b b 23)23(12-=⇒=+；（或用特征根法求得） 由题可得51,11221=⋅==b b a a ， 由于)2(,)111()111(11211211≥=+++⋅+++⋅=++++n b b b b b b b b b b a a n n nn n n n n ，故)1(1111)11()11()11()11(143322121+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=+⋅⋅+⋅+-n nn n a a a a a a a a a a a a =)111(2)111(52)111(52212122114332n n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b +++=+++⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅⋅⋅⋅⋅-因此所证⇔211121eb b b n <+++ ， 而3≥n 时，113121)23(211)23(212311--⋅=⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅=-=n n nn n n n n b ，保留前两项不动，从第三项开始利用上面的放缩公式，有：121511)311(12151131313121511111213221++<-⋅++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅++≤+++--n n n b b b ， 而=++121511235.135.0160171e<=+<+，。

重庆市重庆一中高一下学期期中考试（数学）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一.选择题.(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.已知角θ满足sin 0θ>,tan 0θ<,则角θ为( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知sin (,)2πααπ=∈,则tan α=( ) A.12 B.2 C.12- D.2- 3.已知2AC CB =u u u r u u u r ,则B 分AC u u u r所成的比为( )A.12-B.2C.32- D.3- 4.已知点(2,1),(1,3),(2,5)A B C ----,且2OD OA OB OC =-+u u u r u u u r u u u r u u u r,则D 点坐标为( )A.(2,12)-B.(2,10)-C.(1,9)-D.(2,12) 5.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈,下面结论错误的是( )A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间[0,]2π上为增函数C.函数()f x 为奇函数D.函数()f x 的图象关于直线0x =对称 6.2225log sinlog sinlog sin12612πππ++=( ) A.3- B.1- C.1 D.37.已知向量,a b u u r u r可作为平面向量的一组基底,若12,AB a b AC a b λλ=+=+u u u r u u r u r u u u r u u r u r ,12(,)R λλ∈,则A,B,C 三点共线的充要条件为( )A.121λλ==B.121λλ==-C.121λλ=D.121λλ=-8.将函数()y f x =的图象F 沿(2,2)a =-u u r 平移至F′,所得F′的函数解析式为22(2)2y x =-+,则()y f x =的解析式为( )A.22(4)4y x =-+ B.224y x =+ C.22(4)y x =- D.22y x =9.在△ABC 中,AB=6, AC=8, ∠BAC=90°,AD,BE 分别为边BC,AC 上的中线,则向量,AD BE u u u r u u u r间夹角的余弦值为( )A.65B.2C.65-D.12- 10.数列{}n a 的通项222(cossin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S =( ) A.470 B.490 C.495 D.510二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知(2,1),(3,2)a x b =+=-u u r u r ,且a b ⊥u u r u r,则x = .12.已知函数3()sin 1,(,,)f x ax bx c x a b c R =+++∈若(2)4f =,则(2)f -= .13.arcsinarctan 23+＝ . 14.设D 为△ABC 的边AB 上一点,P 为△ABC 内一点,且满足:34AD AB =u u u r u u u r , AP =u u u r25AD BC +u u u r u u u r ,则APD ABC SS ∆∆= .15.已知函数()f x =若对任意实数,x ()f x 均有意义,则θ的取值范围为 . 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=u u r u r u u r u r u u r u r. (1)求a u u r 与b u r的夹角θ; (2)求||a b +u u r u r .17.(13分)求函数2()2sin cos 1()f x x x x x R =+⋅+∈的值域,最小正周期及单调递增区间.18.(13分)在△ABC 中,A,B,C 所对的边的长分别为,,a b c ,设,,a b c 满足条件222b c bc a +-=和72c b =,求A 和tan B .19.(13分)已知函数()sin(),(0,0,||)2y f x A x x R A πωϕωϕ==+∈>><其中的图象在y 轴右侧的第一个最值点(最高点或最低点)为(2,M ,与x 轴在原点左侧的第一个交点为N (2,0)-. (1)求函数解析式;(2)若()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点,解不等式()2f x ≤.12分)已知向量2(2sin ,1),(sin (),cos 2)42x a x b x π==+u u r u r ,设()f x a b =⋅u u r u r ,当2[,]63x ππ∈时,不等式|()|2f x m -<恒成立.求实数m 的范围.21.(12分)已知一列非零向量n a u u r 满足:11111111(,),(,)(,)2n n n n n n n a x y a x y x y x y ----===-+u r u u r ,(2)n ≥.(1)求证:{||}n a u u r为等比数列; (2)求向量1n a -u u u r 与n a u u r的夹角(2)n ≥;(3)设1(1,2)a =u r ,记12...n n OB a a a =+++u u u u r u r u u r u u r ,设点4n B 为(,)n n t r ,则当n 为何值时22n n r t +有最小值,并求此最小值.参考答案二.填空题.(本大题共5个小题,每小题5分,共25分) 11. 2 12. 2- 13. 2π 14. 31015. 3(2,2][2,2),44k k k k k Z πππππππ+++∈U三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.解:由已知22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=u u r u r u u r ur u u r uu r u r u r∴6ab ⋅=-u u r u r(1)61cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯⋅u u r u r u u r u r ∴120θ=︒(2)||a b +====u u r u r17.解:已知:()1cos 2212cos 22f x x x x x =-++=-+ 2sin(2)26x π=-+∴值域为[0,4] 最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-≤-≤+∴[,],63x k k k Z ππππ∈-+∈ ∴函数的单调增区间为[,],63k k k Z ππππ-+∈.18.解:由已知2221cos 22b c a A bc +-== ∴60A =︒ 由正弦定理:sin sin(180)sin()sin sin sin cC A B A B b B B B︒--+=== 1sin sin(60)1722sin sin 22B BB B B +︒+==== ∴tan B =19.解:(1)(注意两种情况)sin()84y x ππ=+或3sin()84y x ππ=-(2)当()f x 的图象在M,N 之间与x 轴有交点可知3()sin()284f x x ππ=⋅-≤∴3sin()842x ππ-≤ ∴53224844k x k ππππππ-≤-≤+∴168164[,],3333k k x k Z ∈-+∈:由已知2()2sin sin ()1cos 242x f x a b x x π=⋅=⋅++⋅u u r u rsin [1cos()]cos 22x x x π=⋅-++2sin (1sin )12sin x x x =⋅++- 2sin sin 1x x =-++设sin t x = ∵2[,]63x ππ∈ ∴1sin [,1]2x t =∈ ∴25()1[1,]4f x t t =-++∈∵|()|2f x m -< 恒成立 ∴2()2m f x m -<<+恒成立∴21524m m -<⎧⎪⎨<+⎪⎩ ∴334m -<<21.解:(1)由已知:1||||n n a a -===u u r u u u r ∴{||}n a u u r为等比数列(2)11111(,)(,)n n n n n n n n n n a a x y x y x x y y -----⋅=⋅=⋅+⋅u u u r u u r11111111()()22n n n n n n x x y y x y ------=-+⋅+222111111()||||||222n n n n n x y a a a ----=+==⋅u u u r u u r u u u r∴cos 2θ=∴4πθ= (3)由已知:(,)n n n a x y =u u r , 则11(,)(,)222n n n nn n n n n x y x y a x y x y +-+=-+=u u u r21(,)(,)2222222n n n n n n n n n n n x y x y x y x y y x a +-+-+=-+=-u u u u r3(,)44n n n n n x y x y a ++-=-u u u r , 41(,)4n n n a x y +=-u u u u r∴159261037114812,,,......;,,,......;,,......;,,,......a a a a a a a a a a a a u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r.构成公比为14-的等比数列 ∴12345678,a a a a a a a a ++++++u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r,……亦构成公比为14-的等比数列由条件可知1(1,2)a =u r ,23131(,),(1,)222a a =-=-u u r u u r ,431(,)44a =--u u r∴1234515(,)44a a a a +++=-u r u u r u u r u u r∴51151[1()][1()]1144441(),3[1()]11441()1()44n n n n n n t r -⋅--⋅--==-+-==------ ∴2219[1()]4121()4n n n n r t --=++-设11()4n u =+- ∴229(2)2n n r u t u-+=+49(4)u u =+- 显然4()9(4)g u u u =+-在(0,2)上], 在(2,)+∞Z 且11()24n u =+-< ∴当2n =时, 2max1171()416u =+-=时 2min 2025()2272n n r t =+。

秘密★启用前2017年重庆一中高2019级高一下期半期考试数学试题卷 2017.5（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.2.设平面向量，，若，则等于( )A．B．C．D．3.在中，若，则（）A． B． C． D．4.在各项均为正数的等比数列中，，则（） A．4 B．6 C．8 D．5.数列前项的和为（）A． B．C． D．6.如右图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内①处和执行框中的②处应填的语句分别是（）A. B.C. D.7.已知平面上一条直线上有三个不同的点，是直线外一点，满足，则的最小值为（）A． B． C． D. 38.若实数满足约束条件，目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.9.在中，角所对的边分别是，若，且，，则的面积为（）A. B. C. D.10．已知数列的前和为，，当时，，则（）A.1006B．1007C．1008 D. 100911.（原创）已知平面直角坐标系中点，，，平面区域由所有满足（，）的点组成的区域，若区域的面积为8，则的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 612.（原创）已知，则的最小值是（）A. B. 16 C. D. 17第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上对应题号后的横线上.）13.已知为单位向量，其夹角为，则_________.14.右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的分别为495, 135,则输出的__________.15.已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为___________.16.（原创）在非直角中，为上的中点，且，为边上一点，，，则的面积的最大值为 (其中表示的面积).三.解答题:（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知等比数列的各项均为正数，且，. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.（原创）（本小题满分12分）已知函数（为常数）.（1）当，时，解关于的不等式；（2）当，时，若对于恒成立，求实数的取值范围.19．(本小题满分12分)已知点分别在射线(不含端点)上运动，，在中，角所对的边分别是.（1）若是和的等差中项，且，求的值；（2）若，求周长的最大值.20.（本小题满分12分）设分别为三个内角的对边，若向量，且，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值(其中表示的面积).21．（本小题满分12分）已知数列中，，.(Ⅰ)求证：是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.22.（改编）（本小题满分12分）已知数列满足，. （Ⅰ）若，，，求实数的取值范围；（Ⅱ）设数列满足：，. 设，若，，求的取值范围；（Ⅲ）若成公比的等比数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公比.命题人涂勇审题人谢凯2017年重庆一中高2019级高一下期半期考试数学答案 2017.5一.选择题.(每小题5分,共60分)二.填空题.(每小题5分,共20分)三．解答题.（共70分）17.【解答】（1）设数列的公比为，又数列的各项均为正数，故，∴. 又∵，∴，解得.∴数列的通项公式为.（2）由（1）知.. ∴；.18.【解答】（1）当时，；讨论：①当时，原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为；④当时，原不等式的解集为.（2）当时，，；；故.19.【解答】（1）因为成等差数列，且公差为2，故，，在中，，所以，由余弦定理得；代入得，解得或；因为，故.（2）在中，，，设，由正弦定理得，所以，；设的周长为，则，因为，所以当，即时，周长取到最大值.20.【解答】（Ⅰ），，且，，即，，，，因此.（Ⅱ）与余弦定理，，在中，，，，即当且仅当时，.21.【解答】（Ⅰ），（Ⅱ）当为奇数时，，；当为偶数时，，.综上所述：.22.【解答】：（Ⅰ）依题意，，∴，又，∴，综上可得；（Ⅱ）令，则问题转化为：是公比为的等比数列，，设，若，求的范围.由已知得，又，∴当时，，，即，成立当时，，，即，∴，此不等式即，∵，∴，对于不等式，令，得，解得，又当时，，∴成立，∴当时，，，即，即，∵∴时，不等式恒成立. 综上，的取值范围为.（Ⅲ）令，则是首项为1，公差为的等差数列，满足.显然，当时，是一组符合题意的解，∴，则由已知得，∴，当时，不等式即，∴，，∴时，，解得，∴，∴的最大值为，此时公差，此时公比.。

2019-2020学年重庆市第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A ．()5,7 B ．()5,9C ．()3,7D ．()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A. 【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.2．在ABC ∆中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，如果30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ） A ．22 B．32C ．6D ．56【答案】A【解析】先求出45,A =再利用正弦定理求解即可. 【详解】30B =︒，105C =︒，45A ∴=，由正弦定理可得4sin 45sin 30b=，解得142222b ⨯==，故选：A. 【点睛】本题注意考查正弦定理的应用，属于中档题.正弦定理主要有三种应用：求边和角、边角互化、外接圆半径.3．某外卖企业两位员工今年3月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误的是（ ）A ．阿朱的日派送量的众数为76B ．阿紫的日派送量的中位数为77C ．阿朱的日派送量的中位数为76D ．阿朱的日派送外卖量更稳定【答案】C【解析】根据茎叶图的数据计算出阿朱和阿紫的日派送量的众数和中位数，可判断A 、B 、C 选项的正误，根据阿朱和阿紫的日派送量数据的分布情况可可判断D 选项的正误. 【详解】由茎叶图可知，阿朱的日派送量由小到大分别为63、64、72、76、76、77、78、84、86、94，众数为76，中位数为76.5，阿紫的日派送量由小到大分别为54、58、63、72、73、81、86、89、95、99，中位数为77，由茎叶图可知，阿朱的日派送量数据相对集中，阿紫的日派送量数据相对分散，所以，阿朱的日派送外卖量更稳定.所以，A 、B 、D 选项正确，C 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查利用茎叶图计算众数和中位数，同时也考查了利用茎叶图的数据分布来比较样本的稳定性，考查数据分析能力，属于基础题.4． 如果(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -，则直线l 的方程是( ) A ．340x y ++= B ．380x y -+= C ．340x y +-= D ．380x y -+= 【答案】A 【解析】【详解】因为已知点(1,3)A 关于直线l 的对称点为(5,1)B -， 故直线l 为线段AB 的中垂线， 求得AB 的中点坐标为(2,2)-，AB 的斜率为131513-=--，故直线l 的斜率为3-， 故直线l 的方程为23(2)y x -=-+，即340x y ++=. 故选：A.5．直线l 经过()2,1A ，()23,B t，(t ≤≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．0,C ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】A【解析】求出斜率的取值范围，然后可得倾斜角的范围．【详解】由已知直线的斜率为221132t k t -==--，∵t ≤≤11k -≤≤，记直线l的倾斜角为θ,[)0,θπ∈，即1tan 1θ-≤≤，所以3[0,][,)44ππθπ∈． 故选：A ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，直线的倾斜角的范围是[0,]π，斜率为正时，倾斜角为锐角，斜率为负时，倾斜角为钝角，因此一般要分类讨论．6．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒【答案】B【解析】由正弦定理化角为边的关系，然后由余弦定理求出cos C ，即可得． 【详解】因为3sin 5sin B A =，所以35b a =，35a b =，代入2a c b +=得75c b =， ∴22222294912525cos 32225b b b a bc C ab b b +-+-===-⨯⨯，∴120C =︒． 故选：B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，用正弦定理化角为边，用余弦定理求角，属于基础题． 7．已知12a =，121n n a a n +-=+（*n N ∈），则n a =（ ）A ．1n +B ．21nC ．21n +D ．221n +【答案】C【解析】利用累加法即可求出通项公式． 【详解】解：∵121n n a a n +-=+，则当2n ≥时，121n n a a n --=-，……325a a -=， 213a a -=，∴132212153n n a a a a a a n --+⋅⋅⋅+-+-=-+⋅⋅⋅++， 化简得()()21121312n n n a a n --+-==-，又12a =， ∴21n a n =+，经检验12a =也符合上式， ∴()2*1n n N a n =+∈，故选：C ． 【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式，考查数列的递推公式的应用，考查倒序相加法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．8．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15【答案】C【解析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果. 【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 9．直线:1x yl a b+=中，{}1,3,5,7a ∈，{}2,4,6,8b ∈.则l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10的概率为（ ） A ．716B ．732C ．1116D ．1132【答案】A【解析】记事件为(,)a b ，可用列举法列出事件空间，从而得出面积不小于10的事件的个数，计算出概率． 【详解】,a b 构成一对有序数对(,)a b ，则事件空间为{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6,),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8)}，其中使得三角形面积不小于10的事件有：(3,8),(5,4),(5,6),(5,8),(7,4),(7,6),(7,8)共7个，∴所求概率为716P =． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出事件(,)a b 构成的事件空间．列举法是解决此类问题的常用方法．10．若ABC ∆中，1cos 2A =，2BC =，则BA BC CA CB AB AC ⋅⋅+的最大值是（ ）A ．B ．1+C ．3D ．2【答案】D【解析】首先根据向量数量积运算，将原式变形为()2cos cos B C +，再根据23B C π+=化简，变形为2sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求函数的最值.【详解】cos cos BA BC BA BC B ac B ⋅==⋅ cos cos CA CB CA CB C ab C ⋅==⋅， AB c =，AC b = ，∴原式()cos cos 2cos cos a B a C B C =⋅+⋅=+，1cos 2A =，3A π∴=， 23B C π∴+= ,∴原式22cos cos 3B B π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos B B =+2sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,203B π<< ,5666B πππ∴<+<12sin 26B π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭，∴BA BC CA CB ABAC⋅⋅+的最大值是2.故选：D 【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.11．已知等差数列{}n a 满足22a =，3710a a +=，数列{}n b 满足11n nn n na ab a a ++-=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(][),21,-∞-+∞B ．(](),22,-∞-+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]22-,【答案】B【解析】由等差数列基本量法求出通项公式n a ，用裂项相消法求得n S ，求出{}n S 的最大值，然后利用关于a 的不等式是一次不等式列出t 满足的不等关系求得其范围． 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则由已知得2137122810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，11111n n n n n n n a a b a a a a +++-==-，∴122311111111111111n nn n S a a a a a a a a n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知数列{}n S 是递增数列，且1n S <，∴若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，即2231t at +-≥，又[2,2]a ∈-，∴2222312231t t t t ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得2t ≤-或2≥． 故选：B ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立．12．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值.下列说法中正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且1a b ==则max 5S =；③若4b a >，则min 0S >；④若2b a =，2min 8S a =，则a 与b 的夹角为3π. A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C【解析】首先根据题意S 有3种结果，故①错误，由12230S S S S -=->，得到3S 最小，1S 最大，再根据条件对②③④判断即可得到答案. 【详解】对①，S 有3种结果，分别是：22123S a b =+，22222S a a b b =+⋅+，234S a b b =⋅+，故①错误.因为()222221223220S S S S a b a b a b a b a b -=-=+-⋅≥+-⋅=-≥，所以S 中，3S 最小，1S 最大. 对②，若a b ⊥，且1a b ==，则2222max 123235S S a b a b ==+=+=，故②正确. 对③，若4b a >，则22222min 344cos 40S S a b b a b b a b b b b θ==⋅+=+≥-+>-+=，故③正确.对④，若2b a =，2min 8S a =，则2222348cos 48S a b b a a a θ=⋅+=+=， 所以1cos 2θ=，3πθ=，故④正确.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的综合应用，考查学生推理，分析问题的能力，属于难题.二、填空题13．已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______. 【答案】265【解析】先根据平均数计算出m 的值，再根据方差的计算公式计算出这组数的方差. 【详解】 依题意12674,45m m ++++==.所以方差为()()()()()22222114244464745⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦[]126944955=+++=. 故答案为：265. 【点睛】本小题主要考查平均数和方差的有关计算，考查运算求解能力，属于基础题. 14．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2；②直线10y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件.其中正确的是________.【答案】①④【解析】根据直线方程，直线的倾斜角的定义，方差公式，对立事件的概念分别判断各命题． 【详解】①直线()32y ax a a R =-+∈中，令3x =，则2y =，∴直线必过定点()3,2，①正确；10y ++=的斜率为k =120︒，②错误；③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差变为原来的2a 倍，③错误；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 不可能同时发生，为互斥事件，但事件3发生时，,A B 都不发生．因此它们不是对立事件，④正确． 故答案为：①④ 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握直线方程，直线的倾斜角，方差，对立事件等概念是解题关键．本题属于中档题．15．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽炫图”，可类似地构造如图所示的图形：由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF FA =，若213AB =，则EDF 的面积为________.【答案】3【解析】根据正三角形和全等三角形的性质得DB AF =，再运用余弦定理可求得DF 的长，运用三角形的面积公式可求得其值. 【详解】由题可知：在DEF 中，3EDA π∠=，则23ADB π∠=， 不妨设2DF k =，由2DF AF =知，AF k =，则3AD k =， 又因为AFC BDA ≅，所以DB AF k ==， 由余弦定理可知：()22222231cos 2232k k AB AD BD ABADB AD BDk k+-+-∠===-⋅⨯⨯，解得2213AB k =，而213AB =2k =，所以4DF =，所以144sin 4323DEF S π∆=⨯⨯⨯=故答案为：43【点睛】本题考查运用余弦定理和三角形的面积公式求解三角形，属于中档题.16．已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOBS取得最小值为1425时，a 的值为________. 【答案】32【解析】先求出点M 的坐标，然后设直线AB 的方程，得出,A B 坐标后可得三角形面积，由面积的最小值可求得a ． 【详解】由20210x y a x y +-=⎧⎨-+=⎩，得21525a x a y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即212(,)55a a M -+，M 在第一象限，则12a >，设直线l 方程为221()55a a y k x +--=-，显然k 0<， 令0x =得2(21)55B a a k y +-=-，令0y =得21255A a a x k-+=-， 所以112122(21)225555AOB A B a a a a k S x y k -++-⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△221(2)2(2)(21)(21)()50a a a a k k ⎡⎤+=+-++--⎢⎥-⎣⎦12(2)(21)50a a ⎡≥+-+⎢⎢⎣2(2)(21)25a a +-=，当且仅当22(2)(21)()a a k k+=---，即221a k a +=--时等号成立． 所以OABS最大值为2(2)(21)142525a a +-=，解得32a =或3a =-（舍去）．故答案为：32． 【点睛】本题考查求直线的交点坐标，考查求直线方程，三角形面积，考查用基本不等式求最值．本题考查了学生运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．已知向量()()2cos ,sin ,1,2a b θθ==-. （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若45,2a tb θ=-与b +垂直，求实数t 的值. 【答案】（1）2 （2）t =【解析】试题分析：（1）由//a b 得出，tan 4θ=-，由3sin 2cos 3tan 22sin cos 2tan 1θθθθθθ--=++得出结果;（2）由45θ=︒得2,2a ⎛= ⎭，利用向量坐标运算法则求出2a tb -b +，b +与2a b +垂直，能求出t .试题解析：解：（1）//sin 4cos tan 4a b θθθ⇒=-⇒=-，()()3423sin 2cos 3tan 222sin cos 2tan 1241θθθθθθ⨯----∴===++⨯-+.（2）45,2,a θ⎛=∴= ⎭,()()222,22,23,1a tb t t a b ∴-=-++=-,2a tb -b +垂直，())()3210t t ⨯+⨯-=，t ∴=18．已知直线12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=． （Ⅰ）若12l l ⊥，求实数a 的值； （Ⅱ）当12l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．【答案】（Ⅰ）32a =；. 【解析】（Ⅰ）根据两直线垂直的等价条件可得所求．（Ⅱ）先由12l l 求出3a =，然后根据两平行线间的距离公式求解． 【详解】（Ⅰ）∵12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=，且12l l ⊥， ∴13(2)0a a ⨯+⨯-=， 解得32a =． （Ⅱ）∵12:310,:(2)10l ax y l x a y ++=+--=，且12l l ，∴(2)31a a -=⨯且1a -≠，解得3a =，∴12:3310,:10l x y l x y ++=+-=，即12:3310,:3330l x y l x y ++=+-=∴直线12,l l 间的距离为3d ==． 【点睛】本题考查平面内两直线的位置关系的判定和距离公式，解答本题的关键是熟记相关公式，即：若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221l l A B A B ⇔=∥且1221A C A C ≠，或121221l l A B A B ⇔=∥且1221B C B C ≠．考查转化和计算能力，属于基础题．19．2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）.根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图.已知评分在[]80,100的居民有600人.满意度评分 [)40,60 [)60,80[)80,90[]90,100满意度等级 不满意基本满意满意非常满意（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[)40,50内的概率.【答案】（1）0.025a =，1000；（2）=0.8070.80η>，该区防疫工作不需要大的调整；（3）815P =【解析】（1）首先由频率分布直方图求出0.025a =，再设总共调查n 人，得到()6000.0350.02510n=+⨯，解方程即可得到答案. （2）计算=0.8070.80η>，即可得到答案. （3）首先利用分层抽样得到[)40,50抽取120210⨯=人， [)50,60抽取140410⨯=人，再利用古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由频率分布直方图得：()0.0020.0040.0140.0200.035101a +++++⨯=，解得0.025a =.设总共调查n 人，则()6000.0350.02510n=+⨯，解得1000n =. 故总共调查1000人.（2）由频率分布直方图知：()1450.02550.04650.14750.20850.35950.25100η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.8070.80>，所以该区防疫工作不需要大的调整.（3）0.00210100020⨯⨯=，0.00410100040⨯⨯=，抽样比616010==， [)40,50抽取120210⨯=人，设为,a b ， [)50,60抽取140410⨯=人，设为,,,A B C D .从6人中抽取2人共有：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，15个基本事件.2人中仅有一人对防疫工作的评分在[)40,50内的有aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，8个基本事件.故这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[)40,50内的概率815P =. 【点睛】本题主要考查总人数，频数，概率的求法，同时考查频率分布直方图，列举法等基础知识，属于简单题.20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+；（2）()1212nn +-⋅【解析】()1由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的定义，求出首项和公差，由此能求出21n a n =+．(2()111)2,2212n n n nn n nb b a n a ---==⋅=+⋅，由此利用错位相减法能求出数列{}n b 前n 项和n T ． 【详解】 解：(1)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．()()1121113254355022312a d a d a d a a d ⨯⨯⎧+++=⎪∴⎨⎪+=⋅+⎩， 解得132a d =⎧⎨=⎩()()1132121n a a n d n n ∴=+-=+-=+，21n a n ∴=+ (2)n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列， ()1112,2212n n n nn n nb b a n a ---∴==⋅=+⋅ ()0121325272212n n T n -∴=⨯+⨯+⨯+⋯++⋅...①()()12312325272212212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅++⋅...②两式相减得：()()12123221212n n n T n --=--⨯++⋅-()1212n n =+-⋅【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，还考查了错位相减法求和，考查计算能力，属于中档题。

重庆市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 设全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}4,2,4,3,1==B A ，则()U C A B ⋂=（ ） A ．{}2B ．{}4,2C ．{}4,2,1 D ．φ2. 函数()()1011≠>-=-a a a x f x 且的图象必经过定点（ ）A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()0,1-D ．()0,13. 在0到π2范围内，与角34π-终边相同的角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．34π4. 函数()()2lg 231++-=x xx f 的定义域是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-232， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-232， C ．()∞+-，2 D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，23 5. 已知3.0log 24.053.01.2===c b a ，，，则（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．bc a <<6. 函数()xx x f 1ln -=的零点所在的大致区间是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,1eB ．()e ,1C ．()2,e e D ．()32,e e7. 已知函数()(),03)0(log 2⎩⎨⎧≤>=x x x x f x 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛81f f 的值是（ ）A ．27-B ．271-C ．27D ．2718. 函数xx y xe ⋅=的图像的大致形状是（ ）A B C D9. 已知函数()()53log 221+-=ax x x f 在[)∞+-，1上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]6,-∞- B ．[)68，- C ．(]68--，D ．[)+∞-,8 10. （原创）已知关于x 的方程12=-m x 有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (]1,-∞-B ．()1,-∞-C ．[)∞+，1 D ．()∞+，1 11.（原创）已知函数()()()1011ln2≠>-+++=a a a a x x x f xx且，若()()313log lg 2=f ，则()()=2log lg 3f （ ）A ．0B ．31 C ．32D ． 1 12. 设函数()a x e x f x-+=2（e R a ,∈为自然对数的底数），若存在实数[]1,0∈b 使()()b b f f =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]e ，0B ．[]e 1,1+C ． []e +2,1D ．[]1,0第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13. 幂函数()()3221-+--=m mx m m x f 在()∞+，0上为增函数，则实数m =______.14. 扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为____2cm .15. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，()x x x f 22+=，则当0<x 时，()x f =__________.16. 已知函数()3||log )(31+-=x x f 的定义域是[]b a ,()Z b a ∈,，值域是[]0,1-，则满足条件的整数对()b a ,有________对．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）（原创）化简：（1）()7112log 4231123log 743π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭；（2）()5262512lg 20lg 5lg 2--+++⋅.18.（12分）(原创）已知集合A 为函数()[]2,1,122∈-+=x x x x f 的值域，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=014x x xB ，则（1）求A B I ；（2）若集合{}1+<<=a x a x C ，C C A =⋂，求实数a 的取值范围.19. （12分）（原创）已知函数()x f y =为二次函数，()40=f ，且关于x 的不等式()02<-x f 解集为{}21<<x x ，（1）求函数()x f 的解析式；（2）若关于x 的方程()0=-a x f 有一实根大于1，一实根小于1，求实数a 的取值范围.20. （12分）（原创）已知函数()xx xx a x f --+⋅-=2222是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a 的值，并求函数()x f 的值域；（2）判断函数()x f y =的单调性（不需要说明理由），并解关于x 的不等式()03125≥-+x f .21. （12分）（原创）已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤⎪⎭⎫⎝⎛-=0,1210,2122x x x x x f x，（1）画出函数()x f 的草图并由图像写出该函数的单调区间；（2）若()a x g xx -=-23，对于任意的[]1,11-∈x ，存在[]1,12-∈x ，使得()()21x g x f ≤成立，求实数a 的取值范围.22. （12分）对于在区间],[n m 上有意义的函数)(x f ，若满足对任意的21,x x ],[n m ∈，有|)()(|21x f x f -1≤恒成立，则称)(x f 在],[n m 上是“友好”的，否则就称)(x f 在],[n m 上是“不友好”的．现有函数()xaxx f +=1log 3，（1）若函数)(x f 在区间]1,[+m m ()21≤≤m 上是 “友好”的，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()[]1423log )(3=-+-a x a x f 的解集中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．2020学年重庆一中高2019级高一上期半期考试数 学 答 案2016.12一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) ADCAA BDBCD CB二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13. 2 14.4 15. x x 22+- 16.5 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019年重庆市高一数学下期中试卷含答案一、选择题1．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥2．下列命题正确的是（ ） A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面3．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ） A ．3B ．212C ．22D ．24．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256π C ．25π D ．100π5．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( ) A ．α⊥β，且m ⊂α B ．m ⊥n ，且n ∥β C ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β6．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是()A ．30oB ．60oC ．90oD ．120o7．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A ．42B ．32C ．322D ．228．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ） A ．5B ．6C ．35D ．419．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26B ．5C ．26D ．42+10．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512π B ．1259π C ．1256π D ．1253π 11．在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34aB ．33aC ．32aD ．3a 3a12．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则④若，，，则.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.14．已知一束光线通过点()3,5A -，经直线l ：0x y +=反射，如果反射光线通过点()2,5B ，则反射光线所在直线的方程是______.15．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．16．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.17．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.18．在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的坐标分别为()1,1A --，()2,0B ，()1,5C ，则BAC ∠的平分线所在直线的方程为_______19．已知PA 垂直于平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，则平行四边形ABCD 一定是___________.20．如图，在体积为1V 的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为2V ，则21V V =__________．三、解答题21．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ； (Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上．（Ⅰ）求证：1BC A B ⊥； （Ⅱ）若P 是线段AC 上一点，3,2AD AB BC ===，三棱锥1A PBC -的体积为33，求AP PC 的值.23．已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均是边长为2的等边三角形，△ABC 是腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出证明； (2)求三棱锥E －ABC 的体积.24．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点． （1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．25．在正方体1111ABCD A B C D -中，AB=3，E 在1CC 上且12CE EC =．（1）若F 是AB 的中点，求异面直线1C F 与AC 所成角的大小； （2）求三棱锥1B DBE -的体积．26．已知三角形ABC 的顶点坐标分别为A (4,1)，B (1,5)，C (3,2)-； （1）求直线AB 方程的一般式； （2）证明△ABC 为直角三角形； （3）求△ABC 外接圆方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误. 故选C.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C. 【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.3．D解析：D 【解析】 【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值. 【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1．因为PA，PB为切线，221PC PA∴=+且1 =2122PACBS PA PA⨯⨯⨯==四边形．∴当PA最小时，PACBS四边形最小，此时PC最小且PC垂直于()400kx y k++=>．又min21PCk=+，222221+1k⎛⎫∴=⎪+⎝⎭，2k∴=，故选D.【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD为等腰直角三角形，其外心为BD中点1O，设O为AD中点，则O为外接球球心，半径长度为1522AD=，所以表面积为25π.5．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立； //m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.6．C解析：C 【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果． 【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．7．B解析：B 【解析】 【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可. 【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=.又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 2223416m =+=,故32m =故选：B 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型.8．A解析：A 【解析】 【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案. 【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =.故选：A . 【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.9．A解析：A 【解析】 【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解. 【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min d ∴= 故选:A. 【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．C解析：C 【解析】 【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解. 【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积． 【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大， ∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时， 三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯V =1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ． 故选:B ． 【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．12．B解析：B【解析】【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m∥β；在②中，m与n平行或异面；在③中，m与β相交、平行或m⊂β；在④中，由n⊥α，m⊥α，得m∥n，由n⊥β，得m⊥β．【详解】由α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，知：在①中，若α∥β，m⊂α，则由面面平行的性质定理得m∥β，故①正确；在②中，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故②错误；在③中，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与β相交、平行或m⊂β，故③错误；在④中，若n⊥α，m⊥α，则m∥n，由n⊥β，得m⊥β，故④正确．故选：B．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．二、填空题13．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答解析：【解析】【分析】取正ABC的外心为M，过M作平面ABC的垂线，在上取点O，使得12OM AD=，即得O是三棱锥A BCD-外接球球心，求出球半径可得体积．【详解】如图，M是ABC∆外心，AM延长线与BC交于点E，E是BC中点，过M作MO⊥平面ABC，取12OM AD=，∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，23333AM =⨯⨯=，3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=，所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．14．【解析】【分析】计算关于直线的对称点为计算直线得到答案【详解】设关于直线的对称点为故故故反射光线为：化简得到故答案为：【点睛】本题考查了直线的反射问题找出对称点是解题的关键 解析：27310x y -+=【解析】 【分析】计算()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()15,3A -，计算直线1A B 得到答案.【详解】设()3,5A -关于直线0x y +=的对称点为()1,A x y ，故51335022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，故()15,3A -. 故反射光线为1A B ：()532525y x -=-++，化简得到27310x y -+=. 故答案为：27310x y -+=.【点睛】本题考查了直线的反射问题，找出对称点是解题的关键.15．【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得如图所示PF为三棱锥P-ABC 的外接球的直径且设正方体棱长为a 则由得所以因为球心到平面ABC 的距离为考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的【解析】正三棱锥P-ABC 可看作由正方体PADC-BEFG 截得，如图所示，PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且PF ABC ⊥平面,设正方体棱长为a ，则2312,2,a a AB AC BC =====12ABC S ∆=⨯=由P ABC B PAC V V --=，得111••222332ABC h S ∆=⨯⨯⨯⨯，所以3h =，因为球心到平面ABC 考点定位：本题考查三棱锥的体积与球的几何性质，意在考查考生作图的能力和空间想象能力16．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π【解析】 【分析】由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】∵PA PB ==AC BC ==PC =，∴222222,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．设外接球半径为R ，则2222(2)7R CA CB CP =++=，R =，球表面积为22447.S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．17．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】 【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．18．【解析】【分析】设的平分线与交于根据角平分线与面积关系求出利用共线向量坐标关系求出点坐标即可求解【详解】设的角平分线与交于解得所以的平分线方程为故答案为:【点睛】本题考查角平分线方程向量共线坐标应用 解析：0x y -=【解析】 【分析】设BAC ∠的平分线与BC 交于D ，根据角平分线与面积关系求出||||CD DB ，利用共线向量坐标关系，求出D 点坐标，即可求解. 【详解】设BAC ∠的角平分线与BC 交于(,)D a b ，1||||sin ||||221||||||||sin 2ACD ABD AC AD CAD S AC CD S AB DB AB AD BAD ⋅⋅∠∴=====⋅⋅∠V V ， 2,(1,5)2(2,)CD DB a b a b ∴=--=--u u u r u u u r ，解得55,33a b ==，55(,)33D ∴，所以BAC ∠的平分线AD 方程为0x y -=.故答案为:0x y -=.【点睛】本题考查角平分线方程、向量共线坐标，应用角平分线性质是解题的关键，属于中档题.19．菱形【解析】【分析】【详解】根据题意画出图形如图∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面∴PA ⊥BD 又∵PC ⊥BDPA ⊂平面PACPC ⊂平面PACPA∩PC=P ∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴A解析：菱形 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，画出图形如图，∵PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，∴PA ⊥BD ， 又∵PC ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，PA∩PC=P ．∴BD ⊥平面PAC 又∵AC ⊂平面PAC ∴AC ⊥BD 又ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 一定是 菱形．故答案为菱形20．【解析】分析：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 再求详解：设上下圆锥的高分别为圆柱的底面圆的半径为圆柱的高为h 则故答案为：点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算意在考查学生对这 解析：23【解析】分析：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h,再求21V V .详解：设上下圆锥的高分别为12,,h h 圆柱的底面圆的半径为r ，圆柱的高为h, 则222212222111()233.3r h r h h r h r hV V r hr hππππππ-+-===故答案为：23. 点睛：（1）本题主要考查圆锥圆柱体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)圆柱的体积为2V sh r h π==，圆锥的体积为21133V sh r h π==. 三、解答题21．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 3ABCDE V = 【解析】 【分析】（1）推导出AE ⊥CD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面ADE ，再由AB ∥CD ，能证明AB ⊥平面ADE ．（2）凸多面体ABCDE 的体积V=V B-CDE +V B-ADE ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：,AE CDE CD CDE ⊥⊂平面平面,AE CD ∴⊥又在正方形ABCD 中，CD AD ⊥AE AD A ⋂= CD ADE ∴⊥平面,又在正方形ABCD 中，//AB CD∴ //AB 平面ADE .(2) 连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ，//,,AB CD CD CDE ⊂Q 平面//AB CDE ∴平面，又AE CDE ⊥平面， ∴ h AE = 1=又11222CDE S CD DE ∆=⨯=⨯=113B CDE V -∴==又11112332B ADE ADE V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=所以ABCDE V = 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．22．（1）证明见解析；（2）3． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：（1）要证线线垂直，一般先证线面垂直，考虑直线BC ，由已知AD 与平面1A BC 垂直可得AD BC ⊥，再由直三棱柱中侧棱1AA 与底面ABC 垂直，又得1AA BC ⊥，从而可得BC 与平面1AA B 垂直，于是得证线线垂直；（2）由（1）知ABC ∆是等腰直角三角形，可得其面积，由1AD A B ⊥可通过解直角三角形得1AA ，从而可求得三棱锥1A ABC -的体积．由三棱锥1A PBC -与三棱锥1A ABC -的关系可求得PC ，从而得APPC．（也可设PC x =，求得三棱锥1A PBC -（用x 表示），再由已知列方程解得x ）．试题解析：（1）∵AD ⊥平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，∴AD BC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中易知1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA BC ⊥，∵1AA AD A =I ，∴BC ⊥平面11AA B B ， ∵1A B ⊂平面11AA B B ， ∴1BC A B ⊥.（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ，∴BC AB ⊥.∵2AB BC ==，∴AC BE ==∴122PBC S BE CP x ∆=⋅=. ∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上， ∴1AD A B ⊥∵1,2AA BA AD AB ⊥=，在Rt ABD ∆中，1BD ==，又21AD BD A D =⋅，∴13A D =，在1Rt ADA ∆中，1AA ===∴11133A PBC PBC V S AA x -∆=⋅=.又三棱锥1A PBC -的体积为2，∴32x =，解得x =∴524AP=，∴53APPC=.23．（1）取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求，证明见解析（2）6【解析】【分析】（1）取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求，证明EN∥AH，MN∥BC可得平面EMN∥平面ABC即可（2）因为点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，求三棱锥E－ABC的体积可转化为求三棱锥N－ABC的体积，根据体积公式计算即可.【详解】(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求.证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，∵△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，AH⊂平面ABC，∴AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，∴EN∥平面ABC.又M，N分别为BD，DC的中点，∴MN∥BC，∵MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，∴平面EMN∥平面ABC，又EF⊂平面EMN，∴EF∥平面ABC，即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行.(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，由(1)可知EN∥平面ABC，∴点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ， ∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC ，易知DH ，∴NG又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12×，∴V E －ABC ＝13·S △ABC ·NG . 【点睛】本题主要考查了线线平行，线面平行，面面平行的判定，面面垂直的性质，等体积法求三棱锥的体积，属于中档题.24．(1) 13+24y x = (2) 2【解析】 【分析】(1) 由圆的几何性质知CP AB ⊥,从而可先求出CP k ,可知AB 的斜率，写出直线AB 方程(2) 根据倾斜角写出斜率及直线方程，利用弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形求解. 【详解】（1）已知圆()22:14C x y -+=的圆心为()1,0C ，∵10=2112CP k -=--， ∴ 直线l 的方程为11()122y x =-+，即13+24y x = （2）当直线l 的倾斜角为45o 时，斜率为1，直线l 的方程为1+2y x =圆心C 到直线l 的距离为1104d -+==，又∵圆的半径为2，∴弦AB 的长为=. 【点睛】本题主要考查了两条垂直的直线斜率的关系，直线与圆的位置关系，弦长的求法，属于中档题. 25．(1) 4π (2) 92【解析】【分析】（1）连接AC ，11A C ，由11AC AC P 知11FC A ∠ （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角，由余弦定理解三角形即可（2）根据11B DBE D BEB V V --=，且三棱锥1D BEB -的高为DC ，底面积为1BEB ∆的面积.【详解】（1）连接AC ，11A C ，∵1111,AC AC FC A ∴∠P （或其补角）是异面直线1C F 与AC 所成角 在11FC A ∆中，111192A C A F C F ===222119()22cos 9222FC A +-∠==⨯∴异面直线1C F 与AC 所成角为4π． （2）由题意得， 1111119333=3322B DBE D BEB BEB V V S DC --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅．【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，三棱锥的体积，属于中档题.26．（1）43y-19=0x +（2）见解析（3）221325x-+y-=222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】（1）直线AB 方程为：y 1x-45-11-4-=，化简得：43y-19=0x +； （2）AB 514-1-43k -==； BC 5231--34k -==（），∴AB BC =-1k k ，则AB BC ⊥ ∴△ABC 为直角三角形（3）∵△ABC 为直角三角形，∴△ABC 外接圆圆心为AC 中点M 1322⎛⎫⎪⎝⎭，，半径为r=|AC |2，∴△ABC外接圆方程为221325 x-+y-=222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （ ） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = ab （ ） A. 1B.C.D.1-bb -5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）ADA.B. C. D.112π348π128π208π7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A. B. C. D.2π4π6π8π8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（ ）2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1 B.C.D.563423二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）l αβA. 若，则 //,//l l αβ//αβB. 若，则 //,//l αβα//l βC. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβD 若，则 //,l αβα⊥l β⊥10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（ ） π,03⎛⎫-⎪⎝⎭A. 是的一个周期 2π()f xB. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π11. 中，是角的对边，，则（ ）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（ ） G 11A B A. DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC GC. 直线与平面AB 1BC GD. 过点且与直线垂直的平面F DE α+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.14. 已知复数满足，则__________. z 24i z z +=+z =15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =16. 已知平面向量满足，则的最大值为__________. ,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==-（1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+ k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.abk 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 22. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++秘密★启用前[考试时间：5月12日14：30-16：30]重庆一中高2025届高一下期期中考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） 3i z =+4(1i)z ⋅+A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【分析】由复数代数形式的四则运算化简，再由复数的几何意义得结果. 【详解】由，则有3i z =+， ()()()()24223i 3i 3i (412i (1i)(1i)2i)4z ⎡⎤=+=+=+⨯-=⎣+⎦+-⋅-所以复数在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限. 4(1i)z ⋅+()12,4--故选：C.2. 中，是角的对边，，则此三角形有ABC A ,,a b c ,,A B C 2,30b c C === （ ） A. 一个解 B. 2个解C. 无解D. 解的个数不确定 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理得，进而利用三角形内角和进行判断即可． sin sin b CB c=【详解】∵中，，ABCA 2,30b c C === ∴根据正弦定理，得sin sin b c B C=sin sin b C B c ===∵B 为三角形的内角，，则有或， b c >60B = 120B = ∴三角形的解有两个． 故选：B ．3. 下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（ ）A. ()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B. ()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C. ()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D.()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A ，设，无解，即不共面，故可以作()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+,,a b c为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+,,a b c一个基底，故B 错误；对于C ，设，无解，即不共面，故可以作为空间向量()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+,,a b c一个基底，故C 错误；对于D ，设，解得，所以共面，故不可以()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+12λμ==,,a b c作为空间向量一个基底，故D 正确. 故选：D4. 已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为a b ()2a b b +⋅= 1b = a b （ ） A. 1 B.C.D.1-bb -【答案】C 【解析】【分析】由已知可求得，然后根据投影向量的公式，即可得出答案.1a b ⋅= 【详解】因为，，1b = ()22a b b a b b +⋅=⋅+= 所以，1a b ⋅=所以，向量在向量上的投影向量为. a b 111a b b b b bb ⋅⋅=⋅= 故选：C ．5. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ） 1V 2V 3V A.B.C.D.123V V V <<213<<V V V 312V V V <<321V V V <<【答案】B 【解析】【分析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.表示出3个几a b R S 何体的表面积，得出，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案. ,,a b R 【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为. a b R S 正方体表面积为，所以， 26S a =26S a =所以，； ()()3232321216S V aa ===如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底-P ABC D AC O ABC A PO -P ABC 面上的高.ABC 则，，所以， BD AC ⊥12AD b=BD ==所以，21122ABC S AC BD b =⨯⨯=⨯=A 所以，正四面体的表面积为，所以. -PABC 24ABC S S ==A 2b =又为的中心，所以. O ABCA 23BO BD ==又根据正四面体的性质，可知， PO BO ⊥所以，PO ==所以，22213ABC V S PO ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭A 2213⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭363117272b S ⎫==⨯=⎪⎪⎭；球的表面积为，所以， 24πS R =24πSR =所以，.2233341π336πV R S ⎛⎫== ⎪⎝⎭因为， 3333311136π144216S S S >>>=所以，，222312V V V >>所以，.213<<V V V 故选：B.6. 如图，直角梯形中，，，，梯形绕ABCD 3AB CD =30ABC ∠= 4BC =ABCD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）ADA. B. C. D.112π348π128π208π【答案】D【解析】【分析】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台，可知外接球的球心一定在线段AD 或的延长线上.取圆台的轴截面，分情况讨论，作图，分别根据几何关系求出球的半AD 径，即可得出答案.【详解】由题意可知，旋转一周得到的几何体为圆台.取圆台的轴截面由题意知，球心一定在线段或的延长线上 O AD AD如图1，当球心在线段上时.O AD过点作于点，则， C CEAB ⊥E sin 302CE BC == cos30BE BC ==所以，CD =AB =设球的半径为，，，R ()02OA x x =≤≤2OD x =-则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得（舍去）；50x +=5x =-如图2，当球心在的延长线上时.O DA 过点作于点，则，C CEAB ⊥E sin 302CE BC ==cos30BE BC == 所以，CD =AB =设球的半径为，，则，R ()0OA x x =>2OD x =+则由勾股定理可得，，即， 222222R OD CD R OA AB ⎧=+⎨=+⎩()22222327R x R x ⎧=++⎪⎨=+⎪⎩整理可得，解得.50x -=5x =所以，，227352R =+=所以，圆台外接球的表面积为.24π208πR =故选：D.7. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度2π用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）A.B. C. D.2π4π6π8π【答案】B【解析】【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果.【详解】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶π6点，因此，该正八面体的总曲率为.62π8π4π⨯-=故选：B.8. 中，，，是角，，的对边，，其外接圆半径ABC A a b c A B C ()12ABC S c a b =-A，且，则（ ） 2R =())224sin sin sin A B b B -=-()()1sin 1sin A B +-=A. 1B. C. D. 563423【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，进而可得，，可求a 4()ab a b =-a b ．(1sin )(1sin )A B +-【详解】由正弦定理得，即，，24sin sin sin a b c R A B C====4sin a A =4sin b B =， 4sin c C =又，则， 224(sin sin ))sin A B b B -=-2216sin 16sin )4sin A B b B -=-则，即，得①， 22)a b b b -=-2a =a 因为，则， 1()2ABC S c ab =-A 11sin ()22ab C c a b =-则，即②， 1()4abc c a b =-4()ab a b =-结合①②解得，， b =1)a =则， 1sin 1114a A +=+=+-=1sin 1114b B -=-=-=所以．(1sin )(1sin )1A B +-=故选：A ．【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属中档题．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设为直线，，为两个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）l αβA. 若，则//,//l l αβ//αβB. 若，则//,//l αβα//l βC. 若，则,l l αβ⊥⊥//αβD. 若，则//,l αβα⊥l β⊥【答案】CD【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.【详解】若，则与可能平行，可能相交，A 选项错误；//,//l l αβαβ若，则或，B 选项错误；//,//l αβα//l βl β⊂若，根据垂直于同一直线的两个平面平行，则，C 选项正确； ,l l αβ⊥⊥//αβ若，一条直线垂直与两个平行平面中的一个，则一定垂直与另一个，则//,l αβα⊥l β⊥，D 选项正确.故选：CD.10. 已知函数在上单调，且函数图像关于()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()y f x =点对称，则（ ） π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭A. 是的一个周期2π()f x B. 的图像关于对称 ()f x 2π3x =C. 将的图像向右平移个单位后对应函数为偶函数 ()f x π3D. 函数在上有2个零点 ()910y f x =-[]0,π【答案】BD【解析】 【分析】由题意，利用正弦函数的图像和性质，先求出函数的解析式为，从而可判断其周期、轴对称、变换后的解析式，即可判断A ，B ，()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ；依题意求得函数在上与有两个交点，进而即可判断D ． ()y f x =[]0,π910y =【详解】由函数在上单调，则，得()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12πππ22ω⨯≥+． 203ω<≤又函数图像关于点对称，则，，得． ()y f x =π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭πππ36k ω-+=k ∈Ζ132k ω=-+所以，即． 12ω=()πsin 26x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故有的最小正周期为，故A 错误；()f x 2π4π12=又为最大值，可得的图像关于对称，故B 正2ππππsin sin 13362f ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 2π3x =确；将的图像向右平移个单位后对应函数为，是一个奇函数，故C 错误； ()f x π3sin 2x y =由，则，则， []0,πx ∈ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()π1sin ,1262x f x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又，， π1sin 62=2πsin 3=9110<<所以函数在上与有两个交点，即函数在上有2()y f x =[]0,π910y =9()10y f x =-[]0,π个零点，故D 正确．故选：BD ．11. 中，是角的对边，，则（ ）ABC A ,,a b c ,,A B C 22b a ac =+A. 若，则 π2B =π4A =B. 若，则的面积为,2π6A a ==ABC AC. 若，则角的角平分线 ,2π6A a ==B BD =D. 若为锐角三角形，，则边长ABC A 2a =(b ∈【答案】ABD【解析】【分析】根据题意并结合余弦定理可得，由正弦2222cos b a c ac B =+-2cos a c a B =-定理以及三角恒等变换可得，即可判断AB 正确；由等面积2B A =可知，即C 错误；根据三角形形状可得，ABC ABD BCD S S S =+△△△BD =ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可确定，可解得，所以D 正确. ()28,12b ∈(b ∈【详解】根据题意由，结合余弦定理可得， 22b a ac =+2222cos b a c ac B =+-，又因为，所以；22cos ac c ac B =-0c ≠2cos a c a B =-利用正弦定理可得，sin sin 2sin cos A C A B =-再由可得，，()sin sin C A B =+()sin sin 2sin cos A A B A B =+-即，所以； sin sin cos cos sin 2sin cos A A B A B A B =+-()sin sin A B A =-又因为，所以，即；(),0,πA B ∈A B A =-2B A =对于A ，若，则，故A 正确； π2B =4π2B A ==对于B ，若，则，由可得， ,2π6A a ==3π2B A ==2cos a c a B =-4c =所以的面积为，即B 正确； ABC A 1sin 2ABC S ac B ==△对于C ，如下图所示：由等面积可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△由选项B 可得，所以， 3π4,c B ==π6ABD CBD ∠=∠=即，解得，所以C 错误；1π1πsin sin 2626ABC S c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅=A BD =对于D ，若为锐角三角形，，则可得， ABC A 2a =2cos 24cos c a aB B =+=+且，即，解得，所以 π0,2π0,2π0,2A BC ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩π022π02π0π22B B B B ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<--<⎪⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1cos 0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭又，所以，因此，即D 正确. 2288cos b a ac B =+=+()28,12b∈(b ∈故选：ABD12. 已知正方体的棱长为2，点，分别为面，的1111ABCD A B C D -E F 11BB C C 11CC D D 中心，点是的中点，则（ ）G 11A B A.DE BG ⊥B. 面AF ∥1BC G C. 直线与平面AB 1BC G D. 过点且与直线垂直的平面FDE α+【答案】ACD【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的性质，利用是否等于D DE BG ⋅u u u r u u u r零，即可判断A ；求出平面的法向量，与是否垂直，即可判断B ；根据直线1BC G AF 与平面所成的角的余弦值可先求出与平面的法向量的余弦值，再根据AB 1BC G AB1BC G 角的关系求出所要求的结果，即可判断C ；做出过点且与直线垂直的平面的截面F DE α图，根据几何关系即可求出其周长，即可计算出D ．【详解】以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立坐标D DA DC 1DD x y z 系，如图所示，则，，，，，，()0,0,0D ()1,2,1E ()2,2,0B ()2,1,2G ()2,0,0A ()0,1,1F ()10,2,2C ，，()2,1,2G 对于A ，由，，则，所(1,2,1)DE = (0,1,2)BG =-u u u r 102(1)120DE BG ⋅=⨯+⨯-+⨯= 以，故A 正确；DE BG ⊥ 对于B ，设平面的法向量为， 1BC G 111(,,)n x y z =由，，，1(2,0,2)BC =-u u u r (0,1,2)BG =-u u u r (2,1,1)AF =-u u u r 则即，令，则，，则， 100BC n BG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 111122020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩11z =11x =12y =(1,2,1)n = 又，所以与平面不平行，故B 错误； (2)1121110AF n ⋅=-⨯+⨯+⨯=≠ AF 1BC G 对于C ，设直线与平面所成的角为，AB 1BC G α又，结合选项B 得所以(0,2,0)AB = πsin cos()2AB n AB n αα⋅=-===⋅，故C 正确； cos α==对于D ，结合C 选项得，则平面，n DE = DE ⊥1BC G 取，的中点为，，， 11A D 1AA X T 112WD CV AU ===由几何关系可知，，，则组成一个平面，WX U ∥V WV TU ∥WXTUV 由，，，均在平面内，BG TU ∥1BC TX ∥TU TX WXTUV 则平面，即过点且与直线垂直的平面，截该正方体所得截面如DE ⊥WXTUV F DE α图所示平面，WXTUV 则截面的周长为 WXTUVWX XT TU UV VW ++++=+=，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查了立体几何的综合应用，属于难题． 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知正为水平放置的的直观图，若，则的面积为A B C '''A ABC A 2A B ''=ABC A __________.【答案】【解析】【分析】求出正的面积，再利用直观图与原图形面积间的关系计算作答.A B C '''A【详解】依题意，正的面积， A B C '''A 221πsin 223A B C S A B '''''===A所以的面积ABC A A ABC B C S '''==A A故答案为：14. 已知复数满足，则__________.z 24i z z +=+z =【答案】34i --【解析】【分析】根据已知条件，结合复数模公式，复数的四则运算，共轭复数的定义，即可求解【详解】设，()i ,R z a b a b =+∈∵，24iz z +=+，即，解得， i 24ia b ++=+24a b ==⎪⎩34a b =-⎧⎨=⎩则有，.34i z =-+34z i =--故答案为：.34i --15. 中，为边上一点，若，则__________. ABC A π3A =D BC 2CD AD BD ==sin C =【答案】1【解析】【分析】设，有，，在π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-ACD A 中，由正弦定理求出，得到，可求.θC ∠sin C 【详解】如图所示，设，由，则， π,0,3BAD ∠θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭AD BD =ABD θ∠=所以，，， 2ADC θ∠=π3DAC θ∠=-2π3ACD θ∠=-在中，由正弦定理可得， ACD A 2ππsin sin 33AD DC θθ=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以， 2AD CD =2ππsin 2sin 33θθ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，即， 1sin sin 2θθθθ-=+tan θ=π6θ=，. 2π2πππ3362C θ∠=-=-=sin 1C =故答案为：116. 已知平面向量满足，则的最大值为__________.,,a b c2,1a a b a c =-=-= b c ⋅ 【答案】12 【解析】【分析】根据向量加减法的几何意义作出图形，观察和以及两个向量夹角的变化，b c判断取最大值的位置.b c ⋅【详解】设，则,,OA a OB b OC c ===,BA a b CA a c =-=- 由，则，B 点在以A 为圆心2为半径的圆周上，C 点在2,1a a b a c =-=-=2OA = 以A 为圆心1为半径的圆周上，如图所示，，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置，cos b c OB OC OB OC ⋅=，,,A B C有最大值4，有最大值3，此时取最大值1，OBOC cos ,OB OC 所以的最大值为12.b c ⋅故答案为：12.四､解答题（共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.17. 已知向量.()()2,2,1,a b k ==- （1）若，求实数的值；()2a a b ⊥+k （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. abk 【答案】（1）1-（2） (,1)(1,1)-∞-⋃-【解析】【分析】（1）根据题意求得，结合向量垂直的数量积的表示，列出方程，22a b k ⋅=-+即可求解；（2）根据题意，利用且与不共线，结合向量的坐标表示和数量积的运算，即0a b ⋅< a b可求解. 【小问1详解】解：由向量，可得，()()2,2,1,a b k ==- 22a b k ⋅=-+因为，可得，解得.()2a a b ⊥+ ()2228440a a b a a b k ⋅+=+⋅=-+= 1k =-【小问2详解】解：由（1）知，，解得，220a b k ⋅=-+<1k <又由向量与不共线，可得，解得，a b22(1)k ⨯≠⨯-1k ≠-所以实数的取值范围是k (,1)(1,1)-∞-⋃-18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，P ABCD -ABCD .,2,4,AB CD AD CD AB AC PC ===⊥∥（1）证明：平面：AC ⊥PBC（2）若到平面的距离. ,PB BC PB ⊥=D PBC 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由勾股定理证明所以，又，可证平面.ACBC ⊥AC PC ⊥AC ⊥PBC （2）由，利用体积法求点到平面的距离. D PBC P BCD V V --=D PBC 【小问1详解】四边形为等腰梯形，， ABCD //,2,4AB CD AD CD AB ===过点C 作于E ，如图所示，CEAB ⊥则，可知，1BE =60ABC ∠= 由余弦定理知， 2222cos 164812AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=+-=则，所以，222AC BC AB +=ACBC ⊥又，平面，， AC PC ⊥,PC BC ⊂PBC PC BC C ⋂=所以平面. AC ⊥PBC 【小问2详解】 连接BD ，如图所示,由（1）可知平面，平面，所以平面平面， AC ⊥PBC AC ⊂ABCD ABCD ⊥PBC 平面平面，平面，，平面， ABCD ⋂PBC BC =PB ⊂PBC PB BC ⊥PB ⊥ABCD又，， 2sin 60CE == 12BCD S CE CD =⋅=A所以， 11433P BCD BCD V S PB -=⨯⋅==A在中，由，得PBC A PB BC ⊥12PBC S PB BC =⋅=A设点到平面的距离为d ，则，D PBC 13D PBC V -=⨯，解得到平面D PBC P BCD V V --=d =D PBC 19. 在中，对应的边分别为的外接ABC A ,,A B C ∠∠∠2π,,,,5,3,3a b c A b c ABC ===A 圆面积为. O S （1）求的值；S （2）若点在上，且直线平分角，求线段的长度. D AC BD ABC ∠BD 【答案】（1） 49π3S =（2） BD =【解析】【分析】（1）由余弦定理可求得，再利用正弦定理计算可得外接圆半径为，7a =R =即可求出； 49π3S =（2）利用角平分线定理可得，再由余弦定理计算可得. 32AD =BD =【小问1详解】由，利用余弦定理可得 2π,5,33A b c ===，所以；22212cos 259253492a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭7a =因此的外接圆的半径为，ABC AO 112sin 2a R A =⨯==所以的外接圆的面积 ABC A O 249ππ3S R ==【小问2详解】 如下图所示：由直线平分角，利用角平分线定理可得， BD ABC ∠37AD AB DC BC ==又，所以， 5b AC ==33102AD AC ==因此在中，由余弦定理可得ABD △，222931632cos 9234224BD AB AD AB AD A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以，即线段BD =BD 20. 如图所示，已知四边形和四边形都是矩形.平面平面ABCD ADEF ABCD ⊥分别是对角线上异于端点的动点，且,333,,ADEF AD AF AB M N ===,BD AE .BM AN =（1）求证：直线平面； MN A CDE （2）当时，用向量法求平面与平面夹角的余弦值. 12AN NE =AMN DMN 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用线面平行的性质与判定定理结合条件直接证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解二面角夹角余弦值. 【小问1详解】过N 作NG DE 与AD 交于G 点，连接MG ，因为NG 平面CDE ，平面CDE ，A ⊄DE ⊂所以NG 平面CDE ，因为NG DE ，所以， A A AN NG AGAE DE AD==因为，，所以，所以MG AB CD ， BM NA =AE BD =AG BMGD MD=A A 因为MG 平面CDE ，平面CDE ，所以平面CDE ， ⊄DC ⊂MG A 因为，平面MNG ，平面MNG ，⋂=MG NG G MG ⊂NG ⊂所以平面MNG 平面CDE ，因为平面MNG ，所以直线MN 平面CDE ； A MN ⊂A 【小问2详解】因为平面平面，平面平面，ABCD ⊥ADEF ABCD ⋂ADEF AD =又平面ADEF ，，所以平面ABCD ，AF ⊂AF AD ⊥AF ⊥则以A 为原点，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标，如图， 可得，，，，(0,0,0)A (0,3,0)D 2(,1,0)3M 1(0,1,3N所以，，1(0,1,3AN = 2(,1,0)3AM = 设平面AMN 的法向量为，则，所以，(,,)n x y z = 0AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 203103x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令，可得，，3x =(3,2,6)n =-设平面MND 的法向量为，，，(,,)m a b c = 1(0,2,3DN =- 2(,2,0)3DM =- 则，所以，令，可得， 0DM m DN m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 22031203a b b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩3a =(3,1,6)m = 所以，cos ,m n ==所以平面与平面夹角的余弦值.AMN DMN cos ,m n ==21. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，111ABC A B C -11BCC B 为中点.底面为等腰三角形，为1118,4,BC B C CC M ===11B C ABC A 5,AB AC O ==的中点.BC（1）证明：平面平面；ABC ⊥AOM （2）记二面角的大小为. 1A BC B --θ①当时，求直线与平面所成角的正弦值. π6θ=1BB 11AAC C ②当时，求直线与平面所成角的正弦的最大值.ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 【答案】（1）证明见解析；（2，②最大值为35【解析】【分析】（1）由三棱台性质及其边长即可证明平面，利用面111ABC A B C -BC ⊥AOM 面垂直的判定定理即可证明平面平面；ABC⊥AOM （2）①由题意可知即为二面角的平面角，，以为坐AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠O 标原点建立空间直角坐标系，可得，平面的一个()12,,BB θθ=-11AACC 法向量为，把代入可得直线与平面所成角的3,n ⎛=- ⎝ π6θ=1BB 11AAC C ；②当时，，利用的范围即ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin α=θ可求得直线与平面所成角的正弦的最大值为. 1BB 11AAC C 35【小问1详解】因为为等腰三角形，为的中点，所以， ABC A O BC BC AO ⊥又因为侧面为等腰梯形，为的中点，所以，11BCC B M 11B C BC MO ⊥又平面， ,,AO MO O MO AO ⋂=⊂AOM 因此平面，BC⊥AOM 平面，所以平面平面BC ⊂ABC ABC ⊥AOM 【小问2详解】在平面内，作， AOM ON OA ⊥由（1）中平面平面，ABC⊥AOM 且平面平面，平面，可得平面； ABC ⋂AOM OA =ON ⊂AOM ON ⊥ABC 以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：,,OB OA ON x yz又因为，，BC MO ⊥BC AO ⊥所以即为二面角的平面角，所以， AOM ∠1A BC B --=AOM θ∠在中，，易知， ABC A 8,5BC AB AC ===4,3OB OA ==又，可得； 1114,O B B C CC C M =⊥=OM =所以()()()()()10,3,0,4,0,0,4,0,0,0,,,2,,A B C M B θθθθ-，；()12,,C θθ-即，()12,,BB θθ=- ()()14,3,0,2,,CA CC θθ==设平面的一个法向量为，11AAC C (),,n x y z =所以，143020n CA x y n CC x y z θθ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+⋅+⋅=⎪⎩可令，则，即； 3x =-4,y z ==3,n ⎛=- ⎝①当时，，，π6θ=(1BB =-(3,4,n =-- 设直线与平面所成角的为， 1BB 11AAC C α所以111sin cos ,BB n BB n BB n α⋅====即时，直线与平面. π6θ=1BB 11AAC C ②当时， ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦111sin cos ,BB n BB n BB nα⋅====设，则在恒成立，ππ(),42f θθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()0f θ'=>ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以在上单调递增，， ()f θππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f θ∈-，所以；[]20,3∈时，， 0=()max3sin 5α=所以当时，直线与平面所成角的正弦的最大值为. ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1BB 11AAC C 3522. 在中，对应的边分别为，ABC A ,,A B C ∠∠∠,,a b c)2222sin sin sin sin sin sin A B C B C A =+-（1）求；A （2）奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy ，1789年-1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若是内一点，过作垂线，垂足分别为2,a P =ABC A P ,,AB BC AC ，借助于三维分式型柯西不等式：,,D E F ()2222123312123123123,,,x x x x x x y y y R y y y y y y +++∈++≥++当且仅当时等号成立.求的最小值. 312123x x x y y y ==4AB BC AC T PD PE PF=++【答案】（1）3π（2【解析】【分析】（1）先用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可以解出.A （2）将构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式T 结合余弦定理可解.【小问1详解】由正弦定理得即)2222sin bcA b c a =+-sin A=由余弦定理有，sin A A =若，等式不成立，则， cos 0A =cos 0A ≠所以. tan A =因为， ()0,πA ∈所以. π=3A 【小问2详解】.222444=AB BC ACa a T PD PE PF PD P c E PF c PD a PEb b P b Fc =++++=++又， 111,,,222PAB PBC PAC PAB PBC PAC ABC S c PD S a PE S b PF S S S S ===++=A A A A A A A.2ABC c PD a PE b PF S ∴++=A由三维分式型柯西不等式有. ()222224422ABC b c b c T c PD a PE b PF S ++⨯=++≥=A 当且仅当即时等号成立. 112PD PE PF===2=2PE PD PF 由余弦定理得， 222=2cos a b c bc A +-224=c b b c +-所以即，则()243b c bc +-=()24=3b c bc +-2T ≥令，则4t b c =++2128T t t≥=因为解得，当且仅当时等号成立.()224=322b c b c bc b c a ⎧+-+⎛⎫≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+>=⎩2+4b c <≤b c =所以.则. 68t <≤11186t ≤<令，则在上递减， 2212811111233y t t t ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭21111233y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,86111t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭当即时，有最大值，此时118t==2b c =y 316T 【点睛】要能仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解，属于难题.。

重庆一中高2022级高一（下）学期期中考试数学试题卷 2020.6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A ．()3,7 B ．()5,9 C ．()3,9 D ．()5,72．在ABC 中，a 、b 分别为内角A 、B 的对边，若30B =︒，105C =︒，4a =，则b =（ ）A ．B ．CD ．3．某外卖企业两位员工今年6月某10天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这10天的数据，下面说法错误．．的是（ ）A ．阿朱的日派送量的众数为76B ．阿朱的日派送外卖量更稳定C ．阿朱的日派送量的中位数为76D ．阿紫的日派送量的中位数为77 4．如果()1,3A 关于直线l 的对称点为()5,1B -，则直线l 的方程是（ ）A ．340x y ++=B ．380x y -+=C ．340x y +-=D ．380x y -+=5．直线l 经过()2,1A ，()23,B t ，(t ≤点，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[)0,π C ．0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,,424πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．135︒ D ．150︒ 7．已知12a =，()*121n n a a n n N +-=+∈，则n a =（ ） A ．1n + B ．21n + C ．21n + D ．221n +8．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.15 9．直线:1x yl a b+=中，{}1,3,5,7a ∈，{}2,4,6,8b ∈．则l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10的概率为（ ） A ．716 B ．732 C ．1116D ．113210．若ABC 中，cos 12A =，2BC =，则BA BC CA CBAB AC⋅⋅+最大值是（ ）A ．B ．1+C ．2D 11．已知等差数列{}n a 满足22a =，3710a a +=，数列位{}n b 满足11n nn n na ab a a ++-=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若对于任意的[]2,2a ∈-，*n N ∈，不等式223n S t at <+-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(][),21,∞-∞-+B ．(](),22,∞-∞-+C ．(][),12,∞-∞-+D ．[]2,2-12．已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量1x ，2x ，3x ，4x ，5x 和1y ，2y ，3y ，4y ，5y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，max S 表示S 所有可能取值中的最大值．下列说法中正确的个数是（ ）①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，且1a b ==则max 5S =；③若4b a >，则min 0S >；④若2b a =，2min 8S a =，则a 与b 的夹角为3π． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为________．14．以下四个命题中：①直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,210y ++=的倾斜角为60︒，③将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；④基本事件空间是{}1,2,3,4,5,6Ω=，若事件{}1,2A =，{}4,5,6B =，A ，B 为互斥事件，但不是对立事件．其中正确的是________．15．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽炫图”，可类似地构造右图所示的图形：由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设2DF EA =，若AB =EDF 的面积为________．16．已知点M 为直线1:20l x y a +-=与直线2:210l x y -+=在第一象限的交点，经过点M 的直线l 分别交x ，y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当AOB S取得最小值为1425时，a 的值为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知向量()2cos ,sin a θθ=，()1,2b =-． （1）若//a b ，求3sin 2cos 2sin cos θθθθ-+的值；（2）若45θ=︒，2a tb -b +垂直，求实数t 的值．18．（本小题满分12分）已知直线1:310l ax y ++=，()2:210l x a y +--=． （1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．19．（本小题满分12分）2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分）．根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．已知评分在[]80,100的居民有600人．（1）求频率分布直方图中a 的值及所调查的总人数；（2）定义满意度指数η=（满意程度的平均分）/100，若0.8η<，则防疫工作需要进行大的调整，否则不需要大调整．根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行大调整？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民（评分在[)40,50、[)50,60）中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[)40,50内的概率．20．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1公比为2的等比数列，求数列{}n b 前n 项和n T ． 21．（本小题满分12分）OPQ 中，2POQ π∠=，4PQ =，点M ，N 在边PQ上，且6MON π∠=．（1）求OPQ 面积的最大值；（2）当OPQ 面积取得最大值时，求OMN 面积的最小值．22．（本小题满分12分）已知数列{}()*n a n N ∈的22a =，前n 项和为n S ，且2n n nS a =对于任意的*n N ∈恒成立．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记()2n n b a n λ=+-，且前m 项和为m T ，不等式21m T m m -<+有且仅有两个不同的正整数解，求λ的取值范围．。

2019年重庆一中高2021级高一下期期中考试数学测试试题卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2,1,0,1,2A =--，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {}2,1,0,2-- B. {}2C. {}2,1,2--D. {}2,1--【答案】C 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法得到集合B ，再由集合的交集运算得到结果. 【详解】集合{}2,1,0,1,2A =--，集合{}11=|01B x x x x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭或， 根据集合的交集运算得到A B ⋂={}2,1,2--. 故答案为：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在等差数列{}n a 中，1239a a a ++=，则2a =（ ） A. 3 B. 9C. 2D. 4【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒= 【详解】等差数列{}n a 中，1239a a a ++=,根据等差数列的运算性质得到1232293 3.a a a a a ++==⇒=故答案为：A.【点睛】本题考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.3.如果0a b <<,那么下列不等式成立的是（ ）A.11a b< B. 2ab b < C. 2ab a -<- D. 2m m P UI W ==【答案】D 【解析】分析：利用作差法比较实数大小即得解. 详解：1a --（1b -）=a b ab-，因为0a b <<，所以0,0.a b ab - 所以11a b-<-.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)比较实数的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道实数是正数，可以利用作商法，否则常用作差法.4.在等比数列{}n a 中，已知2171,16a a a =⋅=，则该数列的公比q =（ ） A. 2± B. 4± C. 2 D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到217416,a a a ⋅==进而解得44a =±，由等比数列的通项公式得到结果. 【详解】等比数列{}n a 中，已知2217441,164a a a a a =⋅==⇒=±2422 2.a a q a =⇒=±故答案为：A.【点睛】这个题目考查了等比数列的性质以及通项公式的应用，属于基础题.5.下列命题正确的是（ ）A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。