线性代数第2版课件-标准正交基和正交矩阵

x1x2x30. 它的基础解系为
1 0
1 0 ,2 1 .
1 1
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a21, a32[[11,,12]]1.
其 [1 ,中 2 ] 1 ,[1 ,1 ]2 ,于是得
1 a2 0 , 1
0 1 1 1 1 a311201221.
四、正交矩阵与正交变换
rr
其中
e ieiT[, i]
６ 求规范正交基的方法
设1,2,,r是向量空V的 间一个,要 基求V
的一个规范正,就交是基要找一组两的 两单 正交
位 向 量 e1,e2,,er ,使e1,e2,,er与1,2,,r等
价,这样一个问 ,称题 为把 1,2,,r这个基
范正 . 交化 若 a 1,a2, ,ar为向 V 的 量一 空 , 个 间基
则有 [1 ,3 ] [2 ,3 ] 0
即
[[ 2 1,, 3 3]] x x1 1 2 xx 22xx 3300
解之得 x 1 x 3,x 2 0 .
若令 x31,则有 3
x1 x2
1 0
x3 1
由上可知1,2,3构成三维空间的一设n维向量 e1,e2,,er是向量空 V(V间
1 1 4
例3
设a1
2,a2
3,a31,试
用
施密
1
1
0
特正交化过程量 把规 这范 组正 .向交化
解
取 b1a1;
1 1
b2
a2 [a2,b21]b1
b1
3 1
4 6
2 1
5 3
1 1 1
;
b3a3[a3,b21]b1[a3,b22]b2
b1

… , bn)T 为 Rn 中的两个向量，则 b1
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位
向量，则称该向量组为正交单位向量组.
由正交的定义可知，Rn 中的零向量与任意向量
都正交； 又由内积的性质
内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵

1 1 n n
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1

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第三页，编辑于星期二：四点。
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，b2，b3
且b 1
，b2，b3与a1
,
a2，a3等价.
令 3 3 k11 k22 , 为使
1, 3 2, 3 0 , 则 可推出
k1
3 , 1,
1 1
,
k2
3 , 2 ,
2 2
,
于是
3
3
3 , 1,
1 1
1
3 , 2 ,
2 2
2
,
1, 2 , 3 是与1, 2 , 3 等价的正交向量组 .
１ 正交的概念 当 ( x, y) 0 时 , 称向量 x 与 y 正交. (orthogonal)
由定义知,若 x ,则 x 与任何向量都正交.
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
３ 正交向量组的性质
定理1 若 n 维向量 α1,α2 , ,αr 是一组两两正交的 非零向量 , 则 α1,α2 , ,αr 线性无关.
1 1
a2 0 , 1
a3
1 1
2
0 1
2
2 . 1
四、正交矩阵与正交变换
1. 定义 若实矩阵 A 满足 AAT=ATA=I ,则称 A 为正交矩阵 .
2. 性质 1 A1 AT,
2 A 1 ,
3 AT , A1, AB也是正交方阵
4 A 为正交矩阵 A的行列向量组
证明 设有 1,2 , ,r 使 11 22 r 0
以a1T 左乘上式两端,得 11T1 0 由 1 0 1T1 1 2 0,
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
如：a1 1，0，0，a2 0，1，0，a3 0，0，1
b1 1，0，0，b2 1，1，0，b3 1，1，1

是 R3 的一组基，
1
0
1
将其化为标准正交基. 解答见书上187页例4。
第9页/共11页
例5 设 1 , 2 , 3 , 4 是 R4 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 ,2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
2°特点: 设 1 ,2 , ,n 是 Rn 的一组标准正交基,
设 (12 n ), 则
Байду номын сангаас
T
1T 2T
1 2
nT
n
1T1 2T1
1T2 2T2
第1页/n共T111页 nT2
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 , ,n 与 1 ,2 , ,n 是 Rn 的两组标准
k
则 1, 2 , , s 是与1 ,2 ,
的向量组.
i 2, 3, , s
, s等价且两两正交
第8页/共11页
2．在一组基的基础上，求标准正交基的步骤： 1°用施密特正交化方法, 将其化为正交向量组; 2°将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).
1 1 0
例4
已知1
0
,
2
1
,
3
1
故
QTQ E.
第2页/共11页
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵. 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵 Q1 QT ;
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E, 则Q 为正交矩阵.

则称a1 , a2 , … , an 为 向量 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
二、向量的内积
1.Def .
给定Rn中向量
a1 a2 an
n i1
b1 b2 , bn
i j 0
T
1 0 0 1 2 0 0
0 0 , n 1
是两两正交的.
( i j ; i , j 1, 2 , ..., s )
则称向量组1, 2,…,s 为正交向量组. 正交向量组1,2,…,s 中无零向量.
§2.6 R 的标准正交基
n
0
向量空间的基 , 标准正交基 , 内积 , 向量的正交组， 1 基本知识点： Schmidt 正交化方法 , 正交矩阵 . 0 熟练掌握利用 Schmidt 正交化方法变换向量组 . 2 重点：
熟练掌握将向量变换为 单位向量 .
1 0 0 0 1 0 , , , n , 1 2 0 0 1
a1 a2 an
n R ,
都可由 1 , , n 线性表出 .
a1 0 0
0 0 0 a2 a 1 1 a 2 2 a n n an 0
QTQ=
sin
co s sin
1 cos 0
0 1

1
T
四、正交向量组 =0,则称 则称α α , β ∈ R n 如果 αTβ=0,则称α与β正交 定义2.20 定义2.20 设 α与β正交
αT β = 0
一般地, 一般地, 在 n 维空间Rn 中 ε 1 = ( 1 0 0 ... 0 )T 维空间R
ε 2 = ( 0 1 0 ... 0 )T
⋮
ε 3 = ( 0 0 1 ... 0)T
ε iT ε j= 0 ε i ε j i ≠ j 时, , 两两正交. 中的单位 单位向量组 Rn 中的单位向量组 ε1,ε2,…,εn 两两正交.
ε 1 , ε 2 ,..., ε n 称为Rn 中的 正交单位向量组. 称为R 正交单位向量组 单位向量组.
§2.6 Rn 的标准正交基 一、基,向量在基下的坐标 定义2.16 任意n 定义2.16 在Rn 中,任意n个线性无关的向量 α1 ,α 2 ,...,α n 称为Rn 的一组基. 称为R 的一组基 ε 1 = ( 1, 0, ..., 0 )T , ε 1 , ε 2 ,..., ε n 为Rn 的一组基. 如 的一组基. T ε 2 = ( 0, 1, ..., 0 ) , 称为Rn 的标准基, 自然基. 称为R 标准基, 自然基. 或
a1 a 2 ∈ Rn ∀α = ⋮ an
α和α的内积为 的内积为
α α = ( a1 a2
T
α Tα ≥ 0 α Tα = 0
a1 a n 2 2 2 ... an ) 2 = a1 + a2 +... + an = ∑ ai2 ⋮ i =1 ≥0 an
2 1 2 2 2 n
ka1 ka kα = 2 ⋮ kan

y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(

0 i j
③ n 维欧氏空间V中的一组基

1 , , n 为标准正交基
i , j 1,2,
1 , , n 为标准正交基

当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En .
④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用:
设 1 ,
,n
, n 为V的一组标准正交基，则
, m V 两两正交。
km m 0, ki R,
m
m
j 1
j 1
( i , k j j ) k j ( i , j ) ki ( i , i ) 0
由 i 0 知 ( i , i ) 0,
ki 0, i 1,2,
故
, m.
(1 ,2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) A
1 ,2 , ,n 也是标准正交基。
4） A Rnn 为正交矩阵
A的列向量组是欧氏空间 Rn 的标准正交基。
5） A Rnn 为正交矩阵
A1 A.
6） A Rnn 为正交矩阵
A的行向量组是欧氏空间 Rn 的标准正交基。
n
x n yn x i yi
i 1
x1 1 x2 2
xn n，
y1 1 y2 2
yn n .
| |
x12
xn 2
(2)
(3)
标 准 正 交 基
3. 标准正交基间的基变换
设
1 , 2 , , n 与 1 ,2 , , n 是 n 维欧氏空间V中的
i , j 1,2,
,n
,n
（6）
标 准 正 交 基

解： β1 = α1 = (−1, 1, 0, 0)T ,
β2
=
α2
−
α2T β1 β1T β1
β1
=
( −1,
0, 1,
0 )T
−
1 (−1, 1,
2
0,
0)T
=
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
,
−
1 2
, 1,
0
T
⎞ ⎟ ⎠
,
β3
= α3
−
α3T β1 β1T β1
β1 −
α3T β2 β2T β2
β2
=
( −1,
定义2.22 如果Rn中的n个向量α1,α2, ··· ,αn 满足以下 两个条件：
(1) α1,α2, ··· ,αn 中任意两个向量都正交． (2) α j = 1, j = 1, 2, ⋯, n. 则称α1,α2, ··· ,αn为Rn的一个标准正交基． 由定理 2.15 可知，一个向量组线性无关，是其成为 正交向量组的必要条件．那么，如何从一个线性无关的 向量组，系统地求出一个与之等价的正交向量组？
α = a1α1 + a2α2 + ⋯ + anαn
称组合系数a1, a2 , · · · , an 为α在基α1,α2 , · · · , αn下的 坐标，记作（a1, a2 , · · · , an） ．
4
例：分别求向量 α = (d1, d2,⋯, dn )T ∈ Rn在标准正交基ε1,
ε2 , …, εn和基 α1 = (1, 0, ⋯, 0)T , α2 = (1, 1,⋯, 0)T ,⋯,
证明：(1) 由于行列式
12 3 ξ1Tξ2Tξ3T = 1 1 2 = 1 ≠ 0

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——申斯基
谢谢！
正交基与标准正交基
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈