弦振动方程-数值求解02

数学物理方程之基于数值计算方法的弦振动方程求解2数学物理方法中的平行四边形法则目录摘要、关键词…………………………………………… 2页有限差分法介绍………………………………………… 3页程序描述………………………………………………… 6页计算机处理……………………………………………… 8页Matlab作图…………………………………………… 10页特别鸣谢………………………………………………… 11页摘要、关键词摘要：继上次关于弦振动方程的“平行四边形法则”求解之后，我们又从数值计算的角度入手，对弦振动方程进行计算和模拟，从而验证“平行四边形法则”解弦振动方程的正确性。

关键词：有限差分法、数值计算、弦振动方程附： 弦振动方程：4(0,)(1,)0(,0)(1),(,0)8tt xxtu uu t u tu x x x u t x =⎧⎪==⎨⎪=-=⎩211((1))()'()()''()()+()()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h -=+-+-+-……！211((1))()'()''()+()2!n n nu i h u ih u ih h u ih h u ih h +=+++ ……！()((1))'()()u ih u i h u ih o h h--=+((1))()'()()u i h u ih u ih o h h+-=+2((1))((1))'()()2u i h u i h u ih o h h+--=+有限差分法介绍以弦振动方程为例：2(,)(0,)(,)0(,0)()(,0)()tt xx t u a u f x t u t u l t u x x u x x ⎧=+⎪==⎪⎨=Φ⎪⎪=ψ⎩对于一定的u （x ，t ），我们用“差分”代替“微商”，从而将 数差值描述，可得：以及将第一个式子的右边第一项移至左边,得： ^…同理可得， 两式做差：22((1))((1))ih =h u i h u i h u +--（）(,)(,)ni u x t u i x n t u =∆∆=1122(,)n n n i i i tt tt u u u u u i n t +--+==∆1122(,)n n n i i i xx xx u u u u u i n x +--+==∆21122(,)n n n i i i tt uu u u a f i n x+--+=+∆2222ta r x∆=∆ 2122122112(1)(,)n n n n n i i i i iu r u r u r u n t f i n ---+-=+-+-+∆用中心差分的一阶导数表示二阶导数，化简： 由此引入 则 则弦振动方程 可以表示为：我们定义 为网格比则由此可知，每一个格点u （i ，11(,0)()()2i it u u u x x i t--=ψ=ψ=∆(,0)t u i 1i u 202020221121221221100,/10.5(2(1)2()(,)0,0/12(1)(,)ni i i i n n n n i i i i i l x u r u r u r u t i x t f i x n t n i l x r u r u r u n t f i x n t +----+-=∆-⎧⎪=+-++∆Φ∆+∆∆∆=<<∆-⎨⎪+-+-+∆∆∆⎩ 其他n)均由u （i+1，n+1）、u （i ，n ）、u(i-1,n-1)、 u(i,n-2)等其余四点所确定：由此我们可以采用“递归”的思想，借助计算机进行快速计算，从而得到各个格点的值.值得注意的是,①在边界上u ≡0.②在初始层上的点(即u （i ，0））无法用上述公式计算，还需借助初始条件，即：012020201211(,0)()2(1)(,1)i i i i i i u i u x u r u r u r u u t f i -+-∴==Φ=+-+-+由 和 两式相加，消去可得020*********.5(2(1)2()(,)i i i i u r u r u r u t i x t f i x n t +-=+-++∆Φ∆+∆∆∆综上：届此，我们可以将此式编入程序（采用“递归”思想），详细代码见下一节。

弦振动方程cauchy问题广义解的结构
弦振动方程，又称波动方程，是利用物理学中最基本原理——动
量定理（即动能定理）解决实际问题的通用数学工具。

它通常用来研
究一般固体的动态运动问题，常被用于弦的振动及其他振动的研究中。

处理弦振动方程的cauchy问题，其广义解的结构可表示为：解的形式:
$$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$$
其中，$f(x-ct)$与$g(x+ct)$可看作特殊定解，均是$x$和
$ct$的周期函数，其波形由所选常数决定。

比如对$x$方向上的弦有
$f(x-ct) = A\cos2\pi(x-ct)$；而$g(x+ct) = B\sin2\pi(x+ct)$，
其中$A$与$B$可自行选取，其波形即由该选取的常数决定。

弦振动方程的cauchy问题的广义解的结构可认为是$u(x,t) =
f(x-ct) + g(x+ct)$的形式。

特别的，若把$f(x-ct)$与$g(x+ct)$都
简化为特殊的周期函数，如正弦函数或余弦函数，其波形将完全受常
数决定，其解即可表示为某种特殊定解函数。

总之，弦振动方程的cauchy问题的广义解的结构可记为
$$u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct)$$
其特殊情况下，特别定解的波形可完全由常数决定，可由正弦函数或
余弦函数构成的形式来表示。

弦振动方程数值解弦振动方程数值解赵磊;王琳;宋林强【期刊名称】《金田》【年(卷),期】2015(000)005【摘要】the string vibration equation is using mathematical language to describe the laws of physics , so this article from the perspective of physics , the standard form of equation is deduced , and then on the basic theory re-search and program verification . This paper introduces the finite difference method , and use modern mathematical tool Matlab to simulate the finite differ-ence method to solve the initial -boundary value problem of string vibration e-quation for the purpose of this article mentioned theory to a certain extent of validation.%弦振动方程是用数学语言来描述的物理规律，所以本文在从物理角度出发，对其进行基础理论研究和程序验证。

本文介绍了有限差分法，并利用现代数学工具Matlab实现模拟了有限差分法求解弦振动方程的初边值问题，对于本文所提到的理论进行了验证。

【总页数】2页(261-261,213)【关键词】弦振动;有限差分;显格式【作者】赵磊;王琳;宋林强【作者单位】成都理工大学管理科学学院;成都理工大学管理科学学院;成都理工大学管理科学学院【正文语种】中文。

例1．两端固定的棒 边界条件：
初始条件： 棒的总位移：
kn

n
l
,
n

nc
l
,
由下式决定：
例2．两端自由的棒 边界条件：
初始条件：
棒的总位移：
kn

n
l
,
n

nc
l
,
待定系数由初始条件确定。
例3．一端自由一端固定的棒 边界条件：
初始条件：
棒的总位移：
n
kn
2, l
设：
取通解形式为：
则： 得到：
于是弦的振动位移可以完全确定。
例题：
求弦振动方程。
解： 初始条件为：
（如图所示）
根据初始条件求得：
因此：
振动方程确定
四、弦振动的能量 动能为：
势能为：
即： 弦的总能量：
根据： 得：
利用正余弦函数的正交性质：
弦在初始时刻从外界获得的初能量
E 2
A=0
即
如令：
则： 上式被称为：弦的固有频率。
因此，根据前面讨论可知：集中参数系 统只有一个固有频率，但分布参数系统有多 个固有频率。
最后得方成的特征解:
=
低次振动方式的振幅分布图
kn

n
c

2 n

n
l
为 n 次振动方式的波数
波节位置： 波腹位置：
方程一般解：
2. 初始条件定常数
l 0
02
dx

T 2
Байду номын сангаас
l ( 0 )2 dx
0 x
等于振动所具有的总能量。

差分法解弦振动方程引言弦振动是物理学中一个重要的研究领域，广泛应用于乐器制作、声学研究、结构工程等方面。

弦振动可以通过数学模型来描述，其中最常见的是弦振动方程。

差分法是一种数值解法，可以用于求解弦振动方程。

本文将介绍差分法的基本原理和应用，以及如何使用差分法来解决弦振动方程。

首先将介绍弦振动的基本概念和数学模型，然后详细讲解差分法的原理和步骤，并给出一个具体的例子来说明如何使用差分法求解弦振动方程。

弦振动方程在介绍差分法之前，我们先来回顾一下弦振动方程。

假设有一根长度为L的均匀弦，其横向位移u(x, t)可以通过以下偏微分方程描述：∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²其中，c是波速。

这个方程描述了弦上任意一点处位移随时间变化的规律。

求解这个方程可以得到整个弦上各点的位移随时间的变化情况，从而揭示了弦振动的特性。

差分法原理差分法是一种数值解法，其基本思想是将连续的问题离散化为有限个离散点上的近似问题。

对于弦振动方程，可以将空间和时间都离散化，然后通过逐步迭代计算得到数值解。

具体来说，差分法将空间和时间划分为一系列小区间。

设弦上的位置为x，时间为t，则可以将弦划分为一系列小段，每个小段长度为Δx；同时将时间划分为一系列小步长，每个小步长为Δt。

然后通过近似求导公式来近似表示偏微分方程中的导数项。

差分法的核心思想是使用近似导数来替代真实导数，并通过迭代计算逐渐逼近真实解。

在求解弦振动方程时，我们需要用到以下两个近似公式：1.空间二阶导数近似公式：∂²u/∂x² ≈ (u(x+Δx, t) - 2u(x, t) + u(x-Δx, t)) / Δx²2.时间二阶导数近似公式：∂²u/∂t² ≈ (u(x, t+Δt) - 2u(x, t) + u(x, t-Δt)) / Δt²通过将这两个近似公式代入弦振动方程，我们可以得到一个差分方程，即用差分形式表示的弦振动方程。

x
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程 在变换
{
ξ = x − at , η = x + =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。 于是，
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦

ρ
， f ( x, t ) =
f 0 ( x, t )
ρ
.
注意：由前面的推导，边界张力的垂直分量为：
∂u ( x, t ) Ta ⋅ i u = −T0 , ∂x x = a
u
∂u ( x, t ) Tb ⋅ i u = T0 . ∂x x =b
f0
Tax
A
Ta
Tay
αa
B
Tby
αb
Tbx
Tb
a
b
想的曲线。
∂u ( x, t ) < < 1 ,故 其 高 阶 项 可 近 似 看 着 为 0 。 微小的振动 ─ ∂x
外力── 线密度可设为 f0 ( N / m)；方向：f0 > 0向上，f0＜0向下。 拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。
4.受力分析及各物理量计算公式
①．受力分析： 如图：小段弦受外力、张力共同作用
问题的数学提法：
设 刻 ， 对 应 于 x点 处 的 位 移 为 u ( x , t ) ， 求 函 数 t 时 u = u ( x, t )
1
0.5 u 0.5 0
u 1
2
x 1 2 3 4 5 6
-0.5 -0.5 -1 -1 0
1.5 1
t
2 0.5 x 4 6 0
3．分析、假设
①．波动原因： 对 速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton 第二定律：F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。 ②．术语及假设： 柔软── 抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。 均匀── 弦的线密度为常数，可设为ρ kg/m。 细弦── 弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理
例
∂u ∂2u − 2 = u +1 ∂t ∂x

x at
(t x / a ) 1 2a
x at
x at x at

( )d
1 2a 1 2a 1 2a 1 2a

0
1 ( )d 2a 1 ( )d 2a
x at

0
( )d ( )d
x at

1 ( x) ( )d 2a
x
x x1
( x )
x
x1 x x2
x x2
1 1 ( )d 0d 2a 2a
x1
x
x
0
x
0 1 1 ( x ) ( )d 2a [ 0d 0 x 1d ] 2a ( x x1 ) 2a 1
u(0, t ) 0 ，作奇延拓：
( x ) ( x )
( x ) ( x ) ( x )
( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
( x ) ( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
1 1 u( x , t ) [( x at ) ( x at )] at ( )d 2 2a x
u 2u u ut u t ut a ( u u )
utt a 2 ( u 2u u )
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
at x

0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at

mathmaticalphysicsequationsteachingmaterials2yanmeikangschoolofmathematicalandstatisticsxianjiaotonguniversityxian710049数学物理方程电子教案2康艳梅西安交通大学数学与统计学院221弦振动方程定解问题22分离变量法例23弦振动方程定解问题??????lxxxuxxuttlututlxtxfuautxxtt0000000002???????10sinsinsincosntnnnlxndtlanfanltlananltlantxu
f (x, t) = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0
Case 2. φ(x) = 0, 0 ≤ x ≤ l; ψ (x) = x(l − x), 0 ≤ x ≤ l
f (x,t) = 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0
注： 弦乐器的发声原理 f (x,t) ≡ 0
∑∞
u(x,t) = un (x,t)
电子教案(2)
康艳梅 西安交通大学数学与统计学院
2.2 分离变量法
2.2.1 弦振动方程定解问题 例2.3 弦振动方程定解问题

utt − u(0,
a2uxx = f (x, t t) = 0, u(l,t)
), =
0< 0, t
x ≥
< 0
l
,
t
>0
u(x,0) = φ(x), ut (x,0) =ψ (x),0 ≤ x ≤ l
n =1
un (x,t)
=
φn
cos nπa t
l
+
l
nπa
ψ
n
sin

ft解弦振动方程FT解弦振动方程引言：弦振动是物理学中的一个重要问题，它涉及到弦的运动和振动特性。

弦振动方程是描述弦振动运动的数学模型，其中FT解是一种常见的解法。

本文将介绍FT解弦振动方程的原理和应用。

一、弦振动方程的基本原理弦振动方程是描述弦上各点位置随时间变化的方程。

它是基于弦上各点的受力分析得出的，并且满足弦上各点的受力平衡条件。

一维弦振动方程可以表示为：∂²y/∂t² = v²∂²y/∂x²其中，y是弦上各点的位移，t是时间，x是弦上各点的位置，v是波速。

二、FT解弦振动方程的原理FT解是一种常见的解弦振动方程的方法，它利用傅里叶变换将弦振动方程转化为频域中的解析问题。

FT解的基本思想是将弦上各点的位移函数进行傅里叶变换，将其表示为一系列正弦函数的叠加，从而得到弦振动的频谱。

具体而言，FT解将弦振动方程中的时间变量t转化为频域中的角频率ω，将位置变量x转化为频域中的波数k。

通过傅里叶变换，可以得到弦振动方程在频域中的解析形式。

然后再通过傅里叶逆变换将频域中的解析解转化为时域中的解析解，得到弦上各点的位移函数。

三、FT解弦振动方程的应用FT解弦振动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。

下面将介绍一些典型的应用场景。

1. 乐器制作乐器的音色和音质与弦的振动特性息息相关。

通过FT解弦振动方程，可以分析和优化弦乐器的共振频率和共振模态，从而改善乐器的音质和演奏性能。

2. 声学设计在音响系统和声学设计中，需要对声源和接收器之间的传输特性进行分析和优化。

通过FT解弦振动方程，可以计算和预测声波在弦上的传播特性，从而指导声学设计和优化。

3. 结构动力学在工程结构的设计和分析中，弦振动方程经常被用于描述结构的振动响应。

通过FT解弦振动方程，可以计算和预测结构的固有频率和振型，从而评估结构的稳定性和动力特性。

4. 信号处理弦振动方程是一种常见的信号处理问题，它涉及到信号的传输和变换。

弦振动频率计算公式推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：弦振动频率是指弦在振动时产生的频率，它是弦的长度、材质、张力等因素共同作用的结果。

在物理学中，弦振动频率的计算是一个重要的问题，它可以帮助我们了解弦的振动特性以及音乐乐器的原理。

为了计算弦的振动频率，我们需要首先推导出弦振动频率的计算公式。

在这里，我们将通过弦的基本原理和波动方程来推导这个公式。

我们假设一根长度为L、质量为m的弦被拉紧，并在两端固定。

弦上的振动可以被描述为横波传播，其波速v可以用张力T和线密度μ来表示：v = √(T/μ)弦的振动频率f可以用波速v和波长λ来表示：f = v/λ我们知道波长λ与弦的长度L有关系：其中n为弦的振动模态数。

当n=1时，弦的整数倍分之一波长的振动称为基频振动，也称为第一次共振；当n=2时，弦的整数倍分之二波长的振动称为第二次共振，如此类推。

将λ带入频率计算公式中，得到：将波速v的公式代入，得到：f = (1/2L)√(T/μ) * n这就是弦振动频率的计算公式。

从这个公式可以看出，弦振动频率与弦的长度L、张力T、线密度μ以及振动模态数n有关。

当我们改变这些参数时，弦的振动频率也会相应改变。

通过这个公式，我们可以更好地理解弦的振动特性，并且可以应用于乐器的设计和制作中。

通过调节张力和长度，可以改变乐器的音调，使得音乐更加美妙动听。

弦振动频率的计算公式是一个重要的物理公式，它可以帮助我们理解弦的振动原理和音乐乐器的工作原理。

希望通过本文的介绍，读者能够更加深入地了解弦振动频率的计算方法，并且能够应用于实际问题中。

【这是我对于弦振动频率计算公式的一些理解，希望能够对您有所帮助。

】第二篇示例：弦振动是物理学中常见的一种现象，例如吉他、小提琴等乐器中的琴弦就是一种典型的弦振动系统。

在弦振动中，弦线上的每一个微小的部分都在进行横向振动，形成一系列波动。

而弦振动的频率则是指每秒钟弦线振动的次数，是描述弦振动特性的重要参数之一。

2.3.2弦振动⽅程的⼀般解（ 2-3-14 ）这⾥，是仅包含位置变量的函数；是仅包含时间变量的函数。

将（ 2-3-15 ）上式等号的左边仅与有关，右边仅与有关，⽽和都是独⽴变量，因⽽如果 (2-1-15) 式对任何的 x 与 t 都成⽴，则其等号两边应恒等于⼀个与，都⽆关的常数。

如果令这⼀常数为，并且，那么 (2-1-15) 式可写成（ 2-3-16 ）于是可以分别得到两个独⽴的⽅程（ 2-3-17 ）（ 2-3-18 ）经过上⾯分离变量后，就把⼀个偏微分⽅程分解成两个具有单⼀独⽴变量的常微分⽅程。

⽽这种形式的微分⽅程我们在第 1章中⼰遇到过，因此我们可以仿照⽅程 (1-2-4) 的求解结果，直接写出 (2-1-17) 与 (2-l-18) ⽅程的解为（ 2-3-19 ）（ 2-3-20 ）式中都是待定常数。

将上⾯⼆式代⼈（ 2-3-14 ）可得（ 2-3-21 ）其中仍是待定常数。

如果弦的两端固定，可以利⽤对任意时间都满⾜的边界条件（ 2-3-8 ）式。

将代⼈ (2-1-21) 式可以定得常数，再将代⼈ (2 － 1-21) 式可得如下关系（ 2-3-22 ）这时不能为零，否则和都为零，则整个弦不振动，这显然是没有意义的。

因此要得到⾮零解就必须令（ 2-3-23 ）要正弦函数等于零。

显然应该使其宗量满⾜如下关系（ 2-3-24 ）⽤⼀新的符号来代替，于是（ 2-3-24 ）式可写成（ 2-3-25 ）或（ 2-3-26 ）从 (2-1-21) 式可知弦的位移对时间是⼀简谐函数，因⽽应该代表振动的圆频率，⽽代表弦的振动频率。

从 (2-1-26) 式知，对于两端固定的弦，振动频率具有⼀系列持定的数值，即，并且仅同弦本⾝的固有⼒学参量有关，因⽽称为弦的固有频率。

但是它与第 1 章讨论的质点振动之间有⼀明显区别，⼀个单振⼦系统仅有⼀个固有频率，旧弦的固有频率不⽌⼀个，⽽有个，亦即⽆限多个。

并且固有频率的数值不是任意的，其变化也不是连续的，⽽是以等次序离散变化的。

弦振动偏微分方程的求解(郑州航空工业管理学院数理系 田硕 450015)摘要：本文列出了不同情况下的弦振动问题的定解方程及其成立条件，给出了不同情况下偏微分方程的求解方法，对于我们的生活和学习有一定的指导意义。

关键词：数学物理方程；偏微分方程；弦振动；拉普拉斯变换Method for solving partial differential equations of string vibration （Tianshuo Department of mathematics and physics, Zhengzhou Institute ofAeronautics Industry Management, henna zhengzhou 450015）Abstract : This article lists the definite solution of the equation of string vibration problems in different situations and the establishment of conditions, given the method for solving partial differential equations under different circumstances, for our lives and learning have a certain significance. Keywords : mathematical physics equations; partial differential equations; vibrating string; Laplace transform在数学物理方程中，根据常见物理模型，可以建立求解的偏微分方程。

如在很多物理实际问题中要遇到的拉普拉斯方程，泊松方程，波动方程，热传导方程等等。

弦振动方程
演奏弦乐器（如提琴、二胡）的人用弓在 弦上来回拉动. 弓所接触的只是弦的很小一段， 似乎应该只引起这个小段的振动. 实际上，振 动总是传播到整根弦，弦的各处都振动起来. 人们力求用数学方法研究这种弦振动传播现 象.
弦振动方程
考虑一根绷紧的弦，它在不振动时是一根 直线，就取此直线作为x 轴. 在时刻t=0 将此弦 拨动一下使其振动. 令u(x,t)表示弦上对应与横 坐标x 的点在时刻t 的横向位移. 则用讨论张力 的方法可推得u(x,t)满足偏微分方程
2u 2u ξ 2u η 2u ξ 2u η = 2 + + + 2 2 x ξ x ξη x ξη x η x 2u 2u 2u = 2 +2 + 2 ξ ξη η
弦振动方程
u u ξ u η u u = + = a( ) t ξ t η t ξ η
2u 2u ξ 2u η 2u ξ 2u η = a[ 2 + 2 ] 2 t ξ t ξη t ξη t η t 2u 2u 2u = a2 ( 2 2 + 2) ξ ξη η
代入原方程得 先对 η 积分，得
2u =0 ξη u = f (ξ ) ξ
弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动方程
再对 ξ 积分，就得到通解
u = ∫ f (ξ )dξ + f 2 (η ) f1 (ξ ) + f 2 (η )
= f1 ( x + at ) + f 2 ( x at )
其中f1，f２为任意函数. 通解有很鲜明的物理意义. 事实上，凡f(x-at) 形状的函数描述的是沿x 的正方向传播的波， 其速度为a. 而f(x+at)形状的函数描述的是沿x 的负方向传播的波，其速度也为a.

第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。

常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。

以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。

假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。

2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。

假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。

3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。

假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。

二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。

常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。

以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。

假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。

2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。

假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。

实验二
弦线振动实验项目
一． 研究内容
1 根据所提供的资料或自己查阅相关资料，回答弦线频率测量仪不同标定位置的特殊意 义。 2 拨动弦线，感受音调与弦长的定性关系，及弦振动的振幅与弦长的定性关系。 3 对第 3 条弦（连接有拉力计的弦） ，根据下列表格测量数据，给出弦长--基频曲线及拉 力的方均根的倒数--基频关系曲线，结合理论公式，分析测量结果。
第一阶主振型 第二阶主振型 第三阶主振型
图3
x x , (x) sin ， 1 l l2x 2x ,1 (x) sin ， l l 3x 3x ,1 (x) sin ， l l
思考题 a．弦振动的固有频率与什么因素有关？ b．如何从实验观察中判断振型的阶次？ c．为什么利用稳态正弦激励可获得系统的各阶主振型？
另外，根据波动理论，假设弦柔性很好，波在弦上传播速度（ V ）取决于两个变量： 线密度（ ）和弦的拉紧度（ T ） ，其关系式为：
V
T

(5)
其中 为弦线的线密度，即单位长度的弦线的质量（单位： kg / m ） T 为弦线的张 力，单位： N ，或 kg m / s
2
再根据 V f 这个普遍公式可得：
y ( x, t ) H i (t )sin
i 1

i x i x H i (t )sin l l
（5）
这表明发生第 i 阶共振时，其共振振型与第 i 阶主振型一致。据此，利用图 2 所示的单 点稳态正弦激励装置， 通过信号发生器对系统进行稳态正弦扫频， 在激励频率等于各阶固有 频率时，获得各阶主振型。系统的前三阶的主振型如图 3 所示。
用 7 个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音做成各种组合就 是“曲调”。 美国著名音乐理论家珀西· 该丘斯（Percy Goetschius，1853-1943）说“对于求知心切的音 乐学习者与音乐爱好者，再没有像„音阶‟似的音乐要素，即刻而又持久地引起他们的好奇心 与惊异的了”。 7 音音阶按“高度”自低向高排列，要搞清音阶的原理，首先须知道什么是音的“高度”？ 音与音之间的“高度”差是多少？ 物体发生振动时产生声音，振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的 振动体现为声音音色的不同，而振动的快慢就体现为声音的高低。 振动的快慢在物理学上用频率表示， 频率定义为每秒钟物体振动的次数， 用每秒振动 1 次作为频率的单位称为赫兹。频率为 261.63 赫兹的音在音乐里用字母 c1 表示。相应地音 阶表示为 c, d, e, f, g, a, b 在将 C 音唱成“do”时称为 C 调。 频率过高或过低的声音人耳不能感知或感觉不舒服，音乐中常使用的频率范围大约是 16~4000 赫兹，而人声及器乐中最富于表现力的频率范围大约是 60~1000 赫兹。 在弦乐器上拨动一根空弦， 它发出某个频率的声音， 如果要求你唱出这个音你怎能知道 你的声带振动频率与空弦振动频率完全相等呢？这就需要“共鸣原理”： 当两种振动的频率相 等时合成的效果得到最大的加强而没有丝毫的减弱。 因此你应当通过体验与感悟去调整你的 声带振动频率使声带振动与空弦振动发生共鸣，此时声带振动频率等于空弦振动频率。 人们很早就发现， 一根空弦所发出的声音与同一根空弦但长度减半后发出的声音有非常 和谐的效果， 或者说接近于“共鸣”， 后来这两个音被称为具有八度音的关系。 我们可以用“如 影随形”来形容一对八度音，除非两音频率完全相等的情形，八度音是在听觉和谐方面关系 最密切的音。 18 世纪初英国数学家泰勒（Taylor，1685-1731）获得弦振动频率 f 的计算公式：

发展更多有效的数值模拟方法，以更准确地模拟和分析这些方程的解。
结合实际应用问题，进一步研究这些方程的定解条件和求解方法，为工程、物理、生物等领域的实际问题提供更好的数学模型和解决方案。
深入研究其他类型的波动方程，如非线性波动方程、色散波动方程等，探究其解的性质和行为。Biblioteka 研究展望THANKS
谢谢您的观看
有限差分法
有限差分法是一种数值求解偏微分方程的方法，它将连续的空间离散化，从而得到一组差分方程，再利用迭代法求解。
05
几类波动方程的定解条件
初始条件（Initial conditions）：在一维波动方程中，初始条件通常指在某个特定时间点上波函数的值。
边界条件（Boundary conditions）：这些条件描述波函数在空间边界上的行为。
在统计力学中的应用
07
研究结论与展望
研究结论
证明了2弦振动方程的解的存在性和唯一性，并给出了其解的表达式。
对于几类波动方程，推导并证明了它们的定解条件，包括初始条件、边界条件和物理约束条件。
通过数值模拟和分析，揭示了这些波动方程的解的性质和行为，包括传播速度、振幅和波形等。
01
02
03
进一步研究2弦振动方程和其他复杂振荡系统的动力学行为，包括多振荡模式、混沌等现象。
xx年xx月xx日
数理方程与特殊函数(钟尔杰)2弦振动和几类波动方程的定解条件
目录
contents
引言数理方程的基本概念特殊函数的基本概念弦振动方程的定解条件几类波动方程的定解条件数理方程与特殊函数在物理中的应用研究结论与展望
01
引言
数学模型在自然科学、工程技术和金融等领域有广泛应用，如物理中的弦振动方程描述了弦的振动行为，金融中的偏微分方程刻画了资产价格的演变过程。