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2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

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第二章波动方程

第二章波动方程

第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。

对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。

1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。

（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。

对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。

（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。

第七章 波动方程初值问题

第七章 波动方程初值问题
x1 a(t0 t ) x0 at0
x1 x0 at
即, f1(x - at) 表示波速为 a 的右行波
同理可知, f2(x + at) 表示波速为 a 的左行波. 因此，行波解为左行波与右行波的叠加. 三. 半无界弦的自由振动
utt a 2 uxx 0 u x0 0 u t 0 ( x ), ut
二. 行波解的物理意义 行波法的通解为：
u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
对 f1(x - at)，在 t0 时刻，x0 位置的波动位移为：
f1 ( x0 at0 )
若在t0+Δt 时刻, x1位置的波动位移也为 f1 ( x0 at0 ) 则：
t 0
a f1 ( x at ) x
f 2 ( x at ) t 0 a x
t 0
a f1 '( x ) a f 2 '( x ) y ( x )
对上式积分：
1 x x0 y ( )d [ f1 ( x ) f1 ( x0 )] [ f2 ( x ) f2 ( x0 )] (2) a
(1)
t 0
y ( x ) a f1 '( x ) a f 2 '( x )
1 x x0 y ( )d f1 ( x ) f 2 ( x ) c a
(2)
1 1 x c f1 ( x ) 2 [ ( x ) a x0 y ( )d ] 2 由 (1) (2) (x > 0) 解得： x f ( x ) 1 [ ( x ) 1 y ( )d ] c 2 2 a x0 2

弦振动方程的导出与定解条件

弦振动方程的导出与定解条件

弦的一端的运动规律已知， 以
为例，若以
表示其运动规律，则边界条件可以表达为
特别的，若
非齐次边界 条件
端被固定，则相应的边界条件为
u |x0 0.
齐次边界条件
20
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
若弦的一端（例如
）在垂直于 x 轴的直线
上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界
成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方
1、购买练习册（以小班为单位购买） 时间：本周三到周六早上8：00-12：00 下午2:00-5:30 地点：科技楼602(应用数学系办公室)
2、答疑：从第六周开始
3、综合成绩： 平时成绩:30%（考勤+作业） 卷面成绩：70%
典型的数学物理方程的导出
1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件
4
3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位 置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该 直线的方向上作微小振动。（“微小”是指 弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很 小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦 振动的情形
5
为此，选择坐标系如下
2
lx
这个方程称为弦的自由横振动方程。
15
u
1
M1 M2
T0
2
T0
O x1 x2
lx
若还有外力作用到弦上，其方向垂直于
轴，
设其力密度为
由于弦段
其上各点处的外力近似相等，
很小，
因此作用在该段上的外力近似地等于
16
u
1
M1 M2

第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解

第八章 弦振动方程初值问题的达朗贝尔解

x at
(t x / a ) 1 2a
x at
x at x at

( )d
1 2a 1 2a 1 2a 1 2a

0
1 ( )d 2a 1 ( )d 2a
x at

0
( )d ( )d
x at

1 ( x) ( )d 2a
x
x x1
( x )
x
x1 x x2
x x2
1 1 ( )d 0d 2a 2a
x1
x
x
0
x
0 1 1 ( x ) ( )d 2a [ 0d 0 x 1d ] 2a ( x x1 ) 2a 1
u(0, t ) 0 ，作奇延拓：
( x ) ( x )
( x ) ( x ) ( x )
( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
( x ) ( x ) ( x )
( x 0) ( x 0)
1 1 u( x , t ) [( x at ) ( x at )] at ( )d 2 2a x
u 2u u ut u t ut a ( u u )
utt a 2 ( u 2u u )
2 代入方程 utt a uxx
得: u 0
u c( )
u( , ) c( )d f1 ( ) f 2 ( )
at x

0
c ( )d 2
固得：
u( x , t ) f 2 ( ( x at )) f 2 ( x at ) 1 1 [ (at x ) ( x at )] x ( )d 2 2a at

波动方程模型中的初边值问题与数值解答

波动方程模型中的初边值问题与数值解答

波动方程模型中的初边值问题与数值解答波动方程是描述波动现象的重要数学模型，广泛应用于物理学、工程学等领域。

在实际问题中，我们通常需要解决波动方程的初边值问题，并通过数值解答来获得精确的结果。

本文将介绍波动方程模型中的初边值问题以及常用的数值解答方法。

一、波动方程模型波动方程是描述波动现象的偏微分方程，通常可以写为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动的幅度，t是时间，c是波速，∇²是拉普拉斯算子。

二、初边值问题初边值问题是指在给定的区域内，波动方程在一些边界条件和初始条件下的解。

通常，初边值问题可以分为两类：初值问题和边值问题。

初值问题是指在给定的初始时刻t=0时，波动方程的初始条件。

例如，我们可以给定波动方程在初始时刻的波动幅度和速度分布。

边值问题是指在给定的边界上，波动方程的边界条件。

例如，我们可以给定波动方程在边界上的波动幅度或边界上的导数。

三、数值解答方法解决波动方程的初边值问题通常需要借助数值解答方法。

以下是几种常用的数值解答方法：1. 有限差分法有限差分法是最常用的数值解答方法之一。

它将连续的波动方程离散化为差分方程，通过计算差分方程的近似解来获得波动方程的数值解。

有限差分法的精度和稳定性受到差分步长的选择和边界条件的影响。

2. 有限元法有限元法是另一种常用的数值解答方法。

它将波动方程的解空间分割成若干个小单元，通过近似表示每个小单元内的波动幅度，进而得到波动方程的数值解。

有限元法的精度和稳定性受到网格划分和插值函数的选择的影响。

3. 谱方法谱方法是一种基于特殊函数（如傅里叶级数）的数值解答方法。

它通过选取一组适当的基函数，将波动方程的解表示为这些基函数的线性组合，从而得到波动方程的数值解。

谱方法的精度和稳定性受到基函数的选择和截断误差的影响。

四、数值解答的应用波动方程的数值解答在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在声学中，我们可以通过数值解答波动方程来模拟声波的传播和反射；在地震学中，我们可以通过数值解答波动方程来模拟地震波的传播和地壳的响应。

第二章波动方程资料

第二章波动方程资料

注意：对于混合问题，情况类似。叠加原理只对线性问题成立。
定理 2.1
定解问题（2.2）和（2.4）的解可表示为
注：利用变上限积分求导公式：
证明:
2.2 解的表达式(行波法)
求解定解问题（2.3）：
利用特征线法求得：
利用定理2.1可得定解问题（2.1）的解为：
——一维非齐次波动方程初值问题解的Kirchhoff 公式
( )d
at x
1 2a
t
x a
0
xa(t )
f (s, )dsd
a(t ) x
t
t
x a
xa (t ) xa(t )
f
(s, )dsd
.
(2) 非齐次端点条件 考虑定解问题
例4. 求解初值问题
utt
a2uxx
1 2
(x t),
0 x ,t 0
u(x, 0) sin x,ut (x, 0) 1 cos x, 0 x ,
因此, 对于非齐次波动方程的初值问题
由定理2.1得 ——三维非齐次波动方程初值问题的Kirchhoff 公式
于是
例1. 求解初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3, t 0 u(x, y, z, 0) x y z,ut (x, y, z, 0) 0, (x, y, z) R3
u(0,t) 0,
t 0.
解.
把 (x) sin x, (x)
1 cos x,
f
( x, t )
1 2
(
x
t
)
关于 x 奇延拓到 (, 0),
(x) sin x,
(
x)

如何推导波动方程解答波动问题

如何推导波动方程解答波动问题

如何推导波动方程解答波动问题推导波动方程解答波动问题引言波动是物理学领域研究的一个重要部分，涉及光、声、水波等各个领域。

在解答波动问题时，推导波动方程是一个关键步骤，通过波动方程可以获取波动现象的行为规律和性质。

本文将介绍如何推导波动方程并利用它解答波动问题。

一、波动方程的推导波动方程描述了波动现象的传播和演化规律。

对于简单的一维波动，我们考虑一根细弦上的波动，将弦上任意位置的横向位移用函数y(x,t)表示，其中x为坐标，t为时间。

为了推导波动方程，我们需要考虑弦元上的受力以及受力对弦元的加速度的影响。

1.1 弦元受力分析我们考虑弦元上的张力和重力对弦元的影响。

根据牛顿第二定律，弦元上的受力为张力和重力的合力。

由于弦的垂直性质，我们将张力分解为两个分力，分别作用于水平和垂直方向上。

1.2 弦元受力对加速度的影响根据受力分析，我们可以得到弦元受力对加速度的贡献。

将受力分解为弦元上横向位移y(x,t)对x的偏导数和t的偏导数，得到加速度的表达式。

1.3 波动方程的推导将弦元受力对加速度的表达式带入牛顿第二定律的公式中，并考虑弦元长度的微元Δx趋近于0的极限情况，即可得到一维波动方程的表达式。

二、波动问题的解答得到波动方程后，我们可以基于方程进行波动问题的解答。

这里以弦上的波动为例，讨论如何利用波动方程解决弦的振动问题。

2.1 边界条件的确定在解答波动问题时，我们需要根据实际情况确定边界条件。

对于弦的振动问题，边界条件通常包括两个方面：弦的初始形状和弦的初速度。

确定了边界条件后，我们可以将其代入波动方程并进行求解。

2.2 波动方程的解法波动方程通常是一个偏微分方程，我们可以运用各种数学方法进行求解。

其中一种常见的求解方法是分离变量法。

通过将波动方程中的变量分离，并应用边界条件，我们可以获得波函数的具体表达式。

2.3 波动问题的讨论在解答完波动问题之后，我们可以从波函数中分析波的传播性质、幅度和频率等方面。

第2章波动方程

第2章波动方程
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。

第一章----波动方程

第一章----波动方程

总之：
无外力作用的一维弦振动方程：
2u t 2

a2
2u x2

0
外力作用下的弦振动方程：
(1.4)
2u t 2
a2
2u x2

f (x,t)
(1.5)
其中 a2 T , f F , f 称为非齐次项（自由项）。


注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种 振动或波动现象，后面将给出解释。
1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向 微分方程决定欧式期权的无套利价格：
f t
rS
f S

1 2S2
2
2 f S 2
rf
这里，对买入期权有 f (S,t) |tT max{ST X ,0} ；对卖出期权有
f (S,t) |tT max{X ST ,0} 。其中 r 为无风险利率， S 为股票价格，
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
1 (tan )2 dx 1 2 dx dx
（2）弦上各点的张力是常数
由于弦做横振动，弦沿 x 轴无运动，所以合力为零

T1 cos1 T2 cos2 T1 T2 T

基本波动方程的求解方法

基本波动方程的求解方法

基本波动方程的求解方法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020关于弦振动的求解方法李航一、无界弦振动1、一维齐次波动方程达朗贝尔方程解无界的定解问题⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x u ξξϕφϕ)(21)]()([21),( <达朗贝尔公式> 在常微分方程的定解问题中，通常是先求方程的通解，然后利用定解条件确定通解所含的任意常数，从而得到定解问题的解。

考虑无界的定解问题一般方程为 由达郎贝尔公式，解在点),(t x 的值由初始条件在区间],[at x at x +-内的值决定，称区间],[at x at x +-为点),(t x 的依赖区域，在t x -平面上，它可看作是过点),(t x ，斜率分别a 1± 为的两条直线在x 轴上截得的区间。

2、一维非齐次波动方程的柯西问题达朗贝尔方程解非齐次定解问题令),(),(),(t x V t x U t x u +=，可将此定解分解成下面两个定解问题： (I) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-∂∂=∂∂== ，　)(|),(|0,0022222x t u x u t x x u a t u t x φϕ(II) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=>+∞<<∞-+∂∂=∂∂== ，　0|,0|0,),(0022222t x t u u t x t x f x u a t u 其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：⎰+-+-++=at x atx d a at x at x t x U ξξϕϕϕ)(21)]()([21),(。

对于问题(II)，有下面重要的定理。

定理（齐次化原理）设),,(τωt x 是柯西问题的解)0(≥τ，则⎰=t d t x t x V 0),,(),(ττω是问题(II)的解。

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】PPT共68页

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】PPT共68页

40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
数学物理方程03_波动方程初始问题 的求解【OK】
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯

波动方程的达朗贝尔解

波动方程的达朗贝尔解

简单方式
1 x 2 x at x at t 1 2a
2.波动方程的通解
2 u0
对 积分
u C1 f
对 积分
u f1 C2 f1 f 2
2）除了少数简单的例子，多数偏微分方程很 难求出通解。
3）即使能求出通解，对于具体的问题，要确定 其中的待定函数往往也并不容易。以达朗贝尔公 式为例，处理边界条件时就不是很方便。一些简 单情况下还可采用延拓的方法进行处理，对一般 的情况处理起来较繁琐。
4.半无界弦问题
utt a 2uxx u |t 0 u ( x, 0) x , ut |t 0 ut ( x, 0) x u 0, t 0
a b
1 f1 x f 2 x x dx f1 x0 f 2 x0 a x0
x
1 1 1 f1 x x d f1 x0 f 2 x0 2 2a x0 2
x
1 1 1 f2 x x d 2 f1 x0 f 2 x0 2 2a x0
1 1 u x, t x at x at 2a 2
1 1 x at x at 2a 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at xat e d 2 2a sin( x at ) sin( x at ) 1 x at [e e x at ] 2 2a
通解法的缺点 1）以上解法类似于通常常微分方程的求解方法。 但是，对于通常的定解问题我们往往并不采用 求通解的方法来处理。

2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解

=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
= − u ( x , t ).
u ( x, 0) = 0,
∂v ∂v + a = 0, ∂t ∂x
− ∞ < x < +∞.
− ∞ < x < +∞, t > 0;
v( x, 0) = ψ ( x),
− ∞ < x < +∞.
因此，可用特征线法先求出v, 再求出 u , 就得到所求解的表达式。
解法2：①，先求方程
u = 0 的通解。
即，
∂ 2u ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 u ≡ 2 − a 2 = ⎜ − a ⎟ + a ⎜ − a ⎟ ∂t ∂x ∂t ⎝ ∂t ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂t ∂x ⎠
∂ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟u ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t
四性质推论的偶奇周期函数则由表达式8给出的函数注意这里我们只能说表达式8给出的函数而不能说定解问题1的解这是因为我们还不知道问题是否有其它解一旦证明问题之解为唯一我们可以说问题之解满足这一性质
2.2
一、问题
解的表达式

数学物理方程第二章(波动)

数学物理方程第二章(波动)
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2u u 0
u f1 ( ) f 2 ( )
数学物理方程
第二章 波动方程
代回原变量：
利用初始条件：
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
u( x,0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x)
数学物理方程
第二章 波动方程
几个相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a
t
t
P( x, t )
依赖区间
x x1 at
x x2 at
x at
t
x at
x
决定区域
当gi (t ) 0时，表示该端点处弦是固定的
第二类边界条件：已知端点处弦所受的垂直于弦线的外力，
即T sin
u 具体为： x
x a
当g(t ) 0时，表示弦在该端点处可自由滑动
x a
u T x
u x
x a
g (t )(a 0或a l )
0或
x a
g (t )(a 0或a l )
------齐次方程
数学物理方程

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】

数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) xat ( )d 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
2u 2u a2 2 , x 0, t 0 t 2 x x0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), u (0, t ) 0, t0
(3.1.3)
物理解释： 认为弦很长，考虑弦线某端附近而远离另一端在较短时 间内的振动，其中给定初始位移和速度，没有强迫外力作 用，弦线一端被固定。
s 2
x at
[e
e
( x at ) 2
] [ e
s2
x at
]
x at
e
( x at ) 2
8
数学物理方程
utt c 2u xx 0, x u |t 0 sin x, ut |t 0 cos x
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
20
数学物理方程
例子：
utt a 2u xx , x, u ( x, 0) 1 x , 0, u ( x, 0) 0， t u (0, t ) 0, x 0, t 0 x [0, 1 ] 2 x [ 1 ,1] 2 其它 xR t0
1 2a
代入通解得： ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] u

x at
x at
( s)ds

波动方程的初值问题

波动方程的初值问题

波动方程的初值问题波动方程是数学中的一个经典问题，它描述的是物理世界中的波动现象，例如光波、声波和水波等。

理解波动方程的初值问题对于深入研究物理学和数学都非常重要，本文将就这个问题进行探讨。

一、波动方程的基本概念波动方程描述了不同波动现象的变化，其一般形式可以表示为：∂^2u/∂t^2 = c^2 ∇^2u其中，u是波动的物理量，t表示时间，c表示波速，∇^2是拉普拉斯算符。

这个方程可以在不同的条件下解决不同的问题。

例如，声波和光波的问题需要在空间各向同性的情况下求解，而液体中的波浪则需要考虑流体力学的因素。

二、初值问题在实际场景中，波动方程是常见的一个偏微分方程。

为了解决这个方程，需要确定一个初始条件，也就是波的初始状态。

这个初始条件被称作“初值问题”。

初值问题的求解需要确定波的初始位置和速度。

一般来说，这些初始条件需要从实验或者实际现象中获得。

以声波为例，我们可以通过调整音源的频率和位置来确定初始条件。

三、波的传播和反射在确定初始条件之后，我们需要研究波在不同介质中的传播和反射。

在空气中，声波会向四面八方传播，而在有密度差异的介质中，声波则会出现反射。

反射现象与波的入射角度有关，这个角度被称为“入射角”。

如果入射角度等于反射角度，波会在表面上发生完全反射。

如果入射角度大于反射角度，波将会部分反射，并且部分能量将继续传播。

我们可以通过研究波的传播和反射现象来理解声波在不同环境中的传播方式。

四、波的干涉和衍射除了反射之外，波还会发生干涉和衍射现象。

干涉现象指的是两个波相遇后，将会发生相加或者相消现象。

例如，在双缝实验中，两个波会干涉产生条纹模式。

衍射现象是指，波在通过障碍物或者缝隙后，会呈现出弯曲的效应。

在缝隙很小的情况下，波将会相互干涉，形成衍射精细的图形。

这个现象称为“菲涅尔衍射”。

五、总结在本文中，我们讨论了波动方程的初值问题，并且研究了波的传播、反射、干涉和衍射现象。

这些基本概念对于理解波动现象是非常重要的，同时也对于我们学习物理学和数学理论有着重要的参考价值。

波动方程求解方法

波动方程求解方法

常用的波动方程求解方法主要有以下几种:有限差分法、有限元法和伪谱法、积分方程法等。

1、有限差分方法由于适应性强，计算快速，因此是最先发展起来而且使用范围最广的数值方法，有限差分方法最大的弱点之一就是会产生数值频散。

有限差分法采用差分算式近似逼近偏导数运算，从而使波动方程的偏导数运算问题转化成差分代数问题，最后通过求解差分代数方程组得到近似解结果。

有限差分法的差分算式本身就是一种局部点运算，不需要考虑原函数中所求点值在邻域范围上的函数的变化情况，而只需要用到所求点值附近点上的值，所以能够很好的适用于复杂情况, 但是难保模拟精度。

有限差分方法有较高的空间域分辨率，而在频率域上分辨率反而会极低，稳定性同时还受到网格间距和时间步长的影响。

同时，虽然有限差分法还伴随有数值频散的问题，但是计算速度较快。

有限差分法目前主要有以下三大类:规则网格方程、弹性方程和交错网格方程。

有限差分法的具体操作可以分为两个部分:(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式:(2)求解差分方程组。

在第一步中，通过网格剖分法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。

通常采用的是规则的剖分方式，最常用的是正方形网格。

这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。

网格线划分的交点称为节点。

若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点;反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。

在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在 所有这些节点上的离散近似值。

目前最常用的两种有限差分方法包括:基于位移 波动方程的二阶中心差分法和基于一阶速度-应力波动方程的高阶交错网格法， 前者算法简单，易于实现，但差分精度具有局限性，最后得到的是节点上z x ,分量的位移离散近似值，后者算法稍复杂，但可以提高差分精度，最终得到的是节点上的位移速度离散近似值。

波动方程初值问题

波动方程初值问题

波动方程初值问题波动方程初值问题是在物理学中经常遇到的一类问题，研究的是在给定初始条件下的波动现象。

下面将详细介绍波动方程初值问题的相关知识点。

一、波动方程初值问题的基本概念波动方程初值问题是指，在已知波动方程及其初值条件的情况下，求解波动过程中各时刻的波动状态的问题。

波动方程通常描述的是波动的传播过程，具有一定的数学形式，解析解往往难以直接求得，需要利用适当的数值方法进行逼近求解。

二、波动方程初值问题的求解方法1.分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的一种常用方法，适用于求解一类边值问题。

对于某些特定的波动方程，可以采用分离变量法，将其转化为一系列常微分方程，进而求解出波动状态函数。

2.有限差分法有限差分法是通过离散化波动方程，在网格节点处计算差分近似值，并通过求解差分方程组来求解问题。

它是一种基本且有效的数值方法，被广泛地应用于求解波动方程初值问题。

3.有限元法有限元法是将具有一定连续性的结构或介质离散成若干个有限单元，在有限单元内进行数值计算，最终求解整个问题的方法。

比起有限差分法，有限元法的适用范围更广，也更为精确，但计算量较大，在实际应用时需要考虑计算效率和求解精度之间的平衡。

三、波动方程初值问题的应用波动方程初值问题广泛应用于物理学、化学工程、机械制造等领域中，如声波、电磁波、光波、地震波等的传播与反射，可以通过波动方程初值问题来描述和计算这些物理现象。

总之，波动方程初值问题是一类具有一定难度的数学问题，求解该类问题需要掌握一定的数值计算方法和物理知识，并且需要对实际问题进行具体分析才能得出最优的求解方案。

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⎡ 1 x + a ( t −τ ) ⎤ u3 ( x, t ) = ∫ M fτ ( x, t − τ )dτ = ∫ ⎢ ∫t −τ ) fτ (s)ds ⎥ dτ ⎥ 0 0 ⎢ ⎣ 2a x − a ( ⎦
t t
⎡ x + a (t −τ ) ⎤ 1 = ∫ ⎢ x−a∫t −τ ) f (s,τ )ds ⎥ dτ . 2a 0 ⎢ ( ⎥ ⎣ ⎦
x
这就将一个二阶方程化为两个一阶方程。 再由初始条件得：
u ( x, 0) = 0,
∂u ⎤ ⎡ ∂u v( x, 0) = ⎢ − a ⎥ = ψ ( x), ∂x ⎦ t =0 ⎣ ∂t
因此，问题化为求解两个一阶线性方程的Cauchy问题：
{ {
∂u ∂u − a = v, ∂t ∂x
− ∞ < x < +∞, t > 0;
即，
∂ 2u ∂ 2u ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ∂ ⎛ ∂u ∂u ⎞ 2 u ≡ 2 − a 2 = ⎜ − a ⎟ + a ⎜ − a ⎟ ∂t ∂x ∂t ⎝ ∂t ∂x ⎠ ∂x ⎝ ∂t ∂x ⎠
∂ ⎞ ⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟ ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟u ∂x ⎠ ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t
注意，这里
a
是常数。
令
∂u ∂u v= −a ∂t ∂x
则由方程 得，
∂t
∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛∂ ≡ ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟ u = 0 u ∂x ⎠⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂t t ∂u ∂u − a = v, u=0 ∂t ∂x
∂v + a ∂v = 0. ∂x
u=0 ut = ψ
证毕。
作 业
1，Page 109, 4；（提示：作变换 v = (h − x) u ） 2，Page 109, 8； （提示：分解为三个一维问题 ）
{
}
定理证明思路： 1.计算函数 u 的二阶导数，从而证明函数 u 具有连续的 二阶导数。 2.证明函数 u 满足方程及初始条件。 四、性质
ψ f 推论 若 ϕ、 、 为 x 的偶(奇，周期)函数，则由表达式 (8)给出的函数 u 也必为 x 的偶(奇，周期)函数。
注意 这里我们只能说表达式(8)给出的函数，而不能说 定解问题(1)的解，这是因为我们还不知道问题是否有其 它解，一旦证明问题之解为唯一，我们可以说问题之解 满足这一性质。
u ( x, 0) = 0,
∂v ∂v + a = 0, ∂t ∂x
− ∞ < x < +∞.
− ∞ < x < +∞, t > 0;
v( x, 0) = ψ ( x),
− ∞ < x < +∞.
因此，可用特征线法先求出v, 再求出 u , 就得到所求解的表达式。
解法2：①，先求方程
u = 0 的通解。
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
= − u ( x , t ).
(5)
= −aF '( x) + aG '( x) = ψ ( x),
(6)对 x 在 [0, x ] 积分得：
x
(6)
− aF ( x) + aG ( x) = ∫ψ ( s )ds − aF (0) + aG (0), (7)
0
由(5)(7)解得：
1 F (0) − G (0) F ( x) = − ∫ψ ( s )ds + , 2a 0 2
证明：以奇函数为例加以证明。
ψ f 当 ϕ、 、 为 x 的奇函数，则
ϕ ( − x + at ) + ϕ ( − x − at ) 1 u (− x, t ) = +
2
⎡ 1 − x + a ( t −τ ) ⎤ +∫ ⎢ ∫(t −τ ) f (s,τ )ds ⎥ dτ ⎥ 0 ⎢ ⎣ 2a − x − a ⎦
1 = ∫atψ (s)ds, 2a x −
x + at
即：
1 u2 ( x, t ) = M ψ ( x, t ) = 2a
∂M (x,t)
x + at
x − at
∫
ψ ( s ) ds ,
x + at ⎤ ∂ ⎡ 1 ϕ u1 ( x , t ) = = ⎢ ∫a t ϕ ( s ) d s ⎥ ∂t ∂t ⎣ 2 a x− ⎦ ϕ (x + at) + ϕ (x − at) = 2
∂ 2u ∂ 2u u = 2 − a 2 2 = 0, x ∈ R, t > 0, ∂t ∂x
(2) (3) (4)
u ( x, 0) = 0,
x ∈ R,
ut ( x, 0) = ψ ( x),
x ∈ R.
我们这里介绍两种解法： 解法1：特征线法（这是教材上的解法。） 第一步：将算子 分解。
∂2 ∂2 ⎛ ∂ ∂ ⎞⎛ ∂ ∂ ⎞ 2 2 − a 2 = ⎜ + a ⎟⎜ − a ⎟, ≡ ∂t ∂x ⎝ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ∂∂x ⎠
t
因此得问题(1)之解为：
u ( x , t ) = u1 ( x , t ) + u 2 ( x , t ) + u 3 ( x , t )
=
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
t
1 + 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
(8)
⎡ x + a ( t −τ ) ⎤ 1 + ∫ ⎢ x−a∫t −τ ) f (s,τ )ds ⎥ dτ . 2a 0 ⎢ ( ⎥ ⎣ ⎦
x
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程 在变换
{
ξ = x − at , η = x + at ;
或
{
x=
u =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。 于是，
2.2
一、问题
解的表达式
求解一维波动方程的Cauchy问题：
∂ 2u ∂ 2u = 2 − a 2 2 = f ( x, t ), x ∈ R, t > 0, u ∂t ∂x
u ( x, 0) = ϕ ( x),
x ∈ R,
(1)
ut ( x, 0) = ψ ( x),
二、求形式解
x ∈ R.
由上节讨论，我们只须求解以下问题：
2
u = F ( x − at ) + G ( x + at ),
总
方程
2
结
u =utt − a u xx = 0 的通解为：
u = F ( x − at ) + G ( x + at ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。
2
②，由通解求Cauchy问题的解。
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ),
三、验证
前面所得的解表达式仅仅为问题(1)的形式解， 是我们在不 考虑各种运算合理性情况下推得的， 其合法性尚需验证。 定理2.2 若 ϕ ∈ C ( −∞ , ∞ ), ψ ∈ C ( −∞ , ∞ ), f ∈ C ( Q )
2 1 1
这里 Q = ( x , t ) − ∞ < x < ∞ , t > 0 , 则由表达式(8)给 出的函数 u 必为C 2 (Q ) ，且是定解问题(1)之解。
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
t
− x + at
2 a − x − at
∫
ψ ( s ) ds
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
t
1 − 2a
x − at
x + at
∫ ψ (− s )ds
⎡ x − a (t −τ ) ⎤ 1 − ∫ ⎢ ∫ f (− s,τ )ds ⎥ dτ . 2a 0 ⎢ x + a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦