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数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第五章 Fourier 变换法§5 . 0 引言在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。
如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。
（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。
所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量x 的积分()()(),baF f t k t dt αα=⎰实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞--∞=⎰（ω为实变量）------------Fourier 变换(),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则()()0tF f t dt e σσ∞-=⎰ （σ为实变量）-------------Laplace 变换()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。
积分变换可用来求解方程（如微分方程）。
原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。
这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。
积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。
§5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变5 .1 .0 引言研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。
Fourier变换的几何意义及其应用技巧Fourier变换是一种基础的数学工具，有着广泛的应用。
在工程学、物理学以及数学中，它常常被用于分析周期函数讯号。
但是，对于许多人来说，这一概念仍然有些抽象。
本文将讨论Fourier变换的几何意义及其应用技巧，帮助读者更好地理解这一数学工具。
一、Fourier变换的物理意义在物理学中，Fourier变换是一种解析周期函数讯号的工具，它代表了周期函数讯号中各个频率对应的振幅。
一个周期性信号可以被表示为若干个正弦和余弦函数相加的形式，这些正弦和余弦函数被称为基本频率。
基本频率可以依次加起来，通过线性组合就能表示出任何类型的周期性信号。
设一个长度为L、周期为T的函数为f(x)，它可以表示为以下形式：f(x) = a0/2 + Σa_n cos(nπx/L) + Σb_n sin(nπx/L)其中，a0/2表示频率为0的项，a_n为正弦项的系数，b_n为余弦项的系数。
如果将每个频率对应的振幅看做一个向量的话，那么这些向量可以组成一个向量空间。
以周期函数讯号为例，这个向量空间可以被看作是起始点位于原点的一堆向量。
它们的长度代表了对应频率的振幅，从而可以捕捉到周期性信号的变化。
这个向量空间被称为Fourier空间。
二、Fourier变换的几何意义得到频域上的向量空间之后，我们就可以进行Fourier变换了。
实际上，这个变换可以被视为将周期性信号从时间域转化为频域的过程。
在Fourier变换中，我们称原始周期函数讯号的向量空间为时域，而将其转换后得到的向量空间为频域。
也就是说，时域和频域是相互对应的。
每一个频率都对应着一个向量空间，它们在Fourier变换中是互相独立的。
这意味着我们可以在这些向量空间之间任意转化，而不会影响它在其他向量空间中的表示。
为了更好地理解Fourier变换的几何意义，我们可以从以下两个方面来考虑：1. 旋转变换在二维空间中，我们可以通过旋转来改变一个向量的表示。
应用偏微分方程与科学计算讲义（六）Lecture Notes onApplied Partial Differential Equations andScientific ComputingNo. 6马 石 庄2010．09．27．北京第6讲 Fourier方法教学目的：Fourier方法，又称分离变量法，是求解偏微分方程定解问题的一个重要方法，本质是把偏微分方程的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题，并把它的解表示成按特征函数展开的级数形式。
Fourier的思想影响深远。
主要内容：§1 Fourier方法 (4)1.1热传导问题 (4)1.2 Fourier方法 (7)1.3 Fourier要解决的困难 (11)§2．弦振荡问题 (13)2.1 世纪争论 (13)2.2 Fourier解法 (17)2.3 驻波法 (20)§3 运用Fourier方法 (22)3.1 二维热稳态问题 (22)3.2 非齐次问题 (25)3.3 特征函数法 (29)习题6 (33)1822年法国数学家、物理学家Fourier1的热的数学理论（TheorieAnalytique de la Chaleur）一书的出版，是应用数学发展中最重要的一个里程碑．该书不仅为一般类型边值问题提供了一种示范性的形式处理、也开拓了一类具有很大普遍性的数学方法的理论．在他的著作中写道；“深入研究自然是数学发现最丰富的泉源”，这也许是被人引用得最多的Fourier名言．虽然Fourier于热的分析理论的经典著作中缺乏显然的严格性，Kelvin爵士还是称它为“一首伟大的数学诗篇”。
Fourier的工作，更广泛地展现了函数究竟是什么的问题．动摇了18世纪的这样一个信念，即所有函数无论它们怎么坏，总都是代数函数的推广．代数函数、甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了．由于代数函数的性质不再能搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、可微性、可积性以及其它性质的真实意义究竟是什么的问题就提出来了。
数学物理方程 李明奇主编 电子科技大学出版社习题2.14.一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L 端，使之获得冲量I 。
试写出定解问题。
解：由Newton 定律： tt x x Sdxu t x YSu t dx x SYu ρ=-+),(),(，其中，Y 为杨氏模量，S 为均匀细杆的横截面积，x u 为相对伸长率。
化简之后，可以得到定解问题为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==========)(|,0|0|,0|)/(0002L x I u u u u u a u Y u t t t L x x x xx xx tt δρρ。
习题2.23.设物体表面的绝对温度为u ，它向外辐射出去的热量，按斯特凡-波尔兹曼定律正比于4u ，即dSdt ku dQ 4=，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传导，周围介质的绝对温度为已知函数),,,(t z y x ϕ，。
试写出边界条件。
解：由Fourier 热传导实验定律dSdt n uk dQ ∂∂-=1，其中1k 称为热传导系数。
可得dSdt u k dSdt nuk )(441ϕ-=∂∂-， 即可得边界条件：)(441ϕ--=∂∂u k k nu s。
习题2.34.由静电场Gauss 定理⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅VsdV dS E ρε01，求证：0ερ=⋅∇E ，并由此导出静电势u 所满足的Poisson 方程。
证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=⋅VVsdV dV divE dS E ρε01，所以可以得到：0ερ=divE 。
由E divE ⋅∇=与u E -∇=，可得静电势u 所满足的Poisson 方程：2ερ-=∇u 。
习题2.42.求下列方程的通解：（2）：;032=-+yy xy xx u u u （5）：;031616=++yy xy xx u u u解：（2）：特征方程：03)(2)(2=--dx dy dx dy解得：1-=dx dy 和3=dxdy。
利用傅氏变换求解弦振动方程的柯西问题傅里叶变换是一种重要的数学工具，可用于求解许多与波动和振动有关的问题，包括弦振动方程的柯西问题。
弦振动方程描述了一根弦在时间和空间上的振动，其柯西问题涉及到在某个初始时刻下，弦的位置和速度的已知。
利用傅里叶变换求解弦振动方程的柯西问题的基本思路是将方
程转化为傅里叶空间中的代数方程组，然后通过求解该方程组获得原始问题的解。
具体步骤如下：
1.将弦振动方程表示为傅里叶变换的形式，即将其表示为频率和空间变量的函数。
2.应用傅里叶变换的性质将方程转化为傅里叶空间中的代数方
程组。
3.求解代数方程组，从而得到原始问题的解。
需要注意的是，傅里叶变换是一种复杂的数学工具，需要对其基本的概念和性质有深入的理解，才能正确地应用到实际问题中。
同时，还需要具备一定的数学推导和计算技巧，以保证求解的正确性和有效性。
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一般弦振动方程GAUCHY问题的Fourier级数解法
龚跃
【期刊名称】《长春光学精密机械学院学报》
【年(卷),期】1990(013)002
【摘要】本文对弦振动方程CAUCHY问题的解法进行了讨论.通过固定方程系数构造出新的方程,再以Fourier展开偏微分方程求解为常微分方程求解,进而给出弦振动方程的解,本方法也可用于其它偏微分方程的求解问题.
【总页数】6页(P55-60)
【作者】龚跃
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O32
【相关文献】
1.Fouerier变换法求解弦振动方程Cauchy问题 [J], 张翔宇;孟宪瑞
2.基于达朗贝尔解法的一维有界弦振动方程的求解 [J], 叶松;王向贤;余建立
3.特解法求解无界弦的受迫振动方程 [J], 许湘
4.相对论弦振动方程带Neumann边界条件的初边值问题 [J], 魏凤伦;刘见礼
5.一维非齐次弦振动方程cauchy问题的解法 [J], 张丹丹
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一、引言
在物理学和工程学中，弦振动方程是一个重要且常见的定解问题，它描述了弹性绳或弦体在一定条件下的振动现象。
而Fourier变换则是一种有效的数学工具，能够帮助我们求解这类定解问题。
本文将对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行深入探讨。
二、弦振动方程的描述
弦振动方程是描述弦体在振动过程中的运动规律的数学模型。
假设一根质量可忽略不计的均匀弹性绳，长度为L，固定在两端，并且在t=0时刻有初始位移和初速度，那么弦振动方程可以描述为：
∂^2y/∂t^2 = c^2 * (∂^2y/∂x^2)
其中，y(x,t)是弦的位移函数，c是振动速度。
三、Fourier变换在弦振动方程中的应用
1. Fourier级数展开
为了求解弦振动方程的定解问题，我们首先可以利用Fourier级数展开的方法，将位移函数y(x,t)进行分解。
假设y(x,t)可写为一个无穷级数的形式：
y(x,t) = Σ(A_n * sin(nπx/L) * cos(ω_nt + φ_n))
其中，A_n、φ_n是待定系数，ω_n是频率参数。
将y(x,t)代入弦振动方程，经过计算和比较系数，可以得到A_n和φ_n的表达式。
这样，我们就成功地利用Fourier级数展开解决了弦振动方程的定解问题。
2. Fourier变换
除了Fourier级数展开，Fourier变换也是另一种有效的方法，能够帮助我们求解弦振动方程。
利用Fourier变换的性质和定理，我们可以将原始的弦振动方程转化为一个更加简单的形式，例如常微分方程或偏微分方程。
进而，我们可以更方便地对方程进行求解。
通过逆Fourier变换，我们最终可以得到弦振动问题的解析解，为实际问题的分析和应用提供了重要的理论支持。
四、个人观点和理解
在我看来，Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中具有非常重要的作用。
它能够将原始的复杂问题转化为更简单的形式，从而减少了求解难度。
Fourier变换也能将原始问题的解析解表达为一种更加优美和清晰的数学形式，有利于我们深入理解弦振动问题的本质。
我认为掌握Fourier变换在弦振动方程中的应用是非常重要的，对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有重要的意义。
五、总结
通过本文对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用进行了深入探讨，我们能够更深入地理解和掌握这一重要的数学工具。
本文
首先介绍了弦振动方程的描述和Fourier变换的基本概念，接着详细讨论了Fourier级数展开和Fourier变换在弦振动方程中的具体应用方法。
本文共享了个人的观点和理解，强调了Fourier变换的重要性。
相信通过本文的阅读，读者能够对Fourier变换在求解弦振动方程定解问题中的应用有更加全面、深刻和灵活的理解。
在本文章中让读者通过精心构思、分析、撰写而不断深入地思考文章内容，具有深度和广度的内容是每一篇有价值文章所必备的。
希望在我指导下，你可以撰写出一篇符合要求的优质中文文章，达到你所期望的效果。
关于弦振动方程和Fourier变换的应用在物理学和工程学中具有广泛的实际应用。
不仅可以用于解决理论问题，还可以应用于各种领域的工程实践中，例如声学、光学、电磁学等领域。
在声学中，弦振动方程和Fourier变换的应用非常广泛，特别是在音乐和乐器制作中。
通过对弦振动方程的分析，可以更好地理解不同乐器的音色产生机制，从而设计出更加优质的乐器。
在音频处理领域，Fourier变换也被广泛应用于音频的压缩、滤波和特征提取等方面，为音频处理技术的发展提供了重要的数学基础。
在光学领域，Fourier变换的应用同样非常重要。
在光学成像中，Fourier变换可以帮助我们对光学信号进行分析和处理，从而提高成像质量和分辨率。
在光学通信中，Fourier变换也被广泛应用于光信号的调制和解调过程，为光通信技术的发展做出了重要贡献。
在电磁学领域，弦振动方程和Fourier变换的应用同样不可或缺。
在天线设计和电磁波传播中，我们可以利用Fourier变换对电磁信号进行分析和处理，从而提高通信系统的性能和可靠性。
电磁场的分布和辐射也可以通过弦振动方程和Fourier变换进行精确的建模和分析，为电磁学理论研究提供了重要的数学工具和方法。
弦振动方程和Fourier变换在物理学和工程学中的应用具有广泛的实际意义和价值。
通过对这些数学工具的深入理解和应用，我们可以更好地理解和解决各种实际问题，推动相关领域的发展和进步。
希望本文的内容能够对读者有所帮助，激发更多人对物理学和工程学的兴趣和热情，共同推动科学技术的创新和发展。
