《7.3.1 组合与组合数公式》教案新部编本

高中数学组合教案一、教学目标1.让学生理解组合的概念及其应用。

2.培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和数学素养。

二、教学内容1.组合的概念2.组合的计数方法3.组合的应用三、教学重点与难点1.重点：组合的概念及其计数方法。

2.难点：组合的应用。

四、教学过程1.导入新课（1）回顾排列的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列。

（2）提问：排列与组合有什么区别？（3）引导学生思考：如何定义组合？2.讲解组合的概念（1）定义：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合。

（2）举例说明：如从5个学生中选出3个学生参加比赛，不考虑顺序，这就是一个组合问题。

3.讲解组合的计数方法（1）组合数公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]（2）推导过程：通过排列数公式推导出组合数公式。

（3）讲解组合数的性质：C(n,m)=C(n,n-m)4.讲解组合的应用（1）典型例题：如从5个学生中选出3个学生参加比赛，求不同的选法。

（2）解题步骤：确定n和m，代入组合数公式计算。

（3）引导学生发现：组合问题在实际生活中的应用，如抽奖、彩票等。

5.课堂练习（1）练习1：从4名男生和3名女生中选出2名男生和1名女生参加比赛，求不同的选法。

（2）练习2：某商店有5种不同的商品，顾客从中选取3种购买，求不同的购买方式。

（2）反思：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？五、作业布置1.必做题：教材P45第1、2、3题。

2.选做题：教材P46第4、5题。

六、教学反思本节课通过讲解组合的概念、计数方法和应用，使学生掌握了组合知识。

在教学过程中，注意引导学生思考，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

课堂练习环节，让学生在实际问题中运用组合知识，提高解决问题的能力。

但部分学生对于组合数公式的推导和应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。

组合与组合数教案（优秀）第一章：组合概念的引入1.1 组合的定义教学目标：了解组合的定义，理解组合是一种从多个不同元素中选取一部分元素的方法，不考虑元素的顺序。

教学内容：引导学生回顾排列的概念，引出组合的概念。

通过具体的例子，让学生理解组合的意义。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的定义。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合定义的理解程度。

1.2 组合的表示方法教学目标：学习组合的表示方法，如排列号和组合号。

教学内容：介绍排列号和组合号的表示方法，以及它们之间的关系。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合的表示方法。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合表示方法的掌握程度。

第二章：组合数的计算2.1 组合数的计算公式教学目标：学习组合数的计算公式，理解组合数与排列数的关系。

教学内容：介绍组合数的计算公式，以及组合数与排列数的关系。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算公式。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数计算公式的掌握程度。

2.2 组合数的计算方法教学目标：学习组合数的计算方法，如递推法、倍数法等。

教学内容：介绍组合数的计算方法，以及它们的适用场景。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的计算方法。

教学评价：通过课堂练习，检查学生对组合数计算方法的掌握程度。

第三章：组合数的性质3.1 组合数的性质教学目标：学习组合数的性质，如组合数的对称性、组合数的单调性等。

教学内容：介绍组合数的性质，以及它们的证明方法。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的性质。

教学评价：通过课堂提问，检查学生对组合数性质的掌握程度。

3.2 组合数的应用教学目标：学习组合数的应用，如组合数的在概率论中的应用、组合数在图论中的应用等。

教学内容：介绍组合数在概率论中的应用，以及组合数在图论中的应用。

教学方法：采用讲解法，结合具体例子，让学生理解和掌握组合数的应用。

组合与组合数教案（优秀）教学目标：1. 理解组合的概念和性质。

2. 掌握组合数的计算方法。

3. 能够应用组合数解决实际问题。

教学重点：1. 组合的概念和性质。

2. 组合数的计算方法。

教学难点：1. 理解组合的性质和计算方法。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入组合的概念，引导学生思考在日常生活中遇到的组合问题。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解组合的定义和性质，通过示例解释组合的概念。

2. 介绍组合数的计算方法，包括排列组合公式和递推公式。

3. 通过PPT展示组合数的计算过程和应用实例。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固组合的概念和计算方法。

2. 引导学生思考如何应用组合数解决实际问题。

四、总结与拓展（5分钟）1. 总结组合的概念和计算方法，强调组合在实际生活中的应用。

2. 提出拓展问题，引导学生进一步思考组合数的性质和应用。

五、作业布置（5分钟）1. 布置练习题，要求学生巩固组合的概念和计算方法。

2. 鼓励学生思考生活中的组合问题，培养学生的应用能力。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、总结与拓展等环节，使学生理解组合的概念和性质，掌握组合数的计算方法，并能够应用组合数解决实际问题。

在教学过程中，要注意引导学生思考和讨论，激发学生的学习兴趣和主动性。

通过练习题和实际问题的解决，巩固学生的知识，提高学生的应用能力。

六、组合与组合数在几何中的应用（15分钟）教学目标：1. 理解组合数在几何中的应用。

2. 学会使用组合数解决几何问题。

教学重点：1. 组合数在几何中的应用。

教学难点：1. 如何将几何问题转化为组合问题。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 几何问题示例。

教学过程：1. 通过PPT展示组合数在几何中的应用实例，如平面几何中的区域划分、线段组合等。

2. 引导学生思考如何将几何问题转化为组合问题，并利用组合数解决。

3. 分析几何问题中的组合规律，引导学生总结解决几何问题的方法。

高中高三数学上册《组合》教案教案目标：1.让学生理解组合的概念及性质；2.使学生掌握组合数的计算公式及组合数的性质；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1.组合的概念及性质；2.组合数的计算公式及性质。

教学难点：1.组合数公式的推导；2.组合数性质的运用。

教学准备：1.教材：高中高三数学上册；2.教学工具：PPT、黑板、粉笔。

教学过程：一、导入1.引导学生回顾排列的概念，让学生举例说明排列的特点；2.提问：排列与组合有什么区别？二、新课讲解1.讲解组合的概念（1）定义：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；（2）表示：用符号C(n,m)表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数；（3）性质：组合中的元素是无序的。

2.讲解组合数的计算公式（1）排列数公式：A(n,m)=n!/(n-m)!；（2）组合数公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[m!(n-m)!]；（3）推导过程：通过排列数公式推导组合数公式。

3.讲解组合数的性质（1）性质1：C(n,m)=C(n,n-m)；（2）性质2：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)。

4.举例讲解（1）例1：从5个男生和4个女生中，任选3人参加比赛，求不同的选法有多少种？（2）例2：某班级有10名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？三、课堂练习1.练习1：从6个男生和5个女生中，任选4人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.练习2：某班级有8名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？四、课堂小结2.强调组合与排列的区别。

五、课后作业1.作业1：从7个男生和6个女生中，任选5人参加比赛，求不同的选法有多少种？2.作业2：某班级有9名学生，其中甲必须参加，乙、丙两位同学至多参加一位，不同的站队方法一共有多少种？教学反思：本节课通过讲解组合的概念、组合数的计算公式及性质，让学生掌握了组合的基本知识。

组合与组合数教案（优秀）一、教学目标1. 让学生理解组合的概念，掌握组合的计算方法。

2. 培养学生运用组合知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生发现数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。

二、教学内容1. 组合的定义及计算方法。

2. 组合数的计算公式。

3. 组合在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：组合的概念，组合的计算方法，组合数的计算公式。

2. 难点：组合在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究组合的概念和计算方法。

2. 用实例讲解组合在实际问题中的应用，提高学生的实践能力。

3. 利用多媒体辅助教学，直观展示组合的图形和计算过程。

五、教学准备1. 课件：组合的定义、计算方法、组合数的计算公式及相关实例。

2. 教学素材：相关实际问题，用于引导学生运用组合知识解决。

3. 学生作业：布置相关的练习题，巩固所学知识。

六、教学过程1. 导入：通过一个简单的实际问题引入组合的概念，激发学生的兴趣。

2. 新课导入：讲解组合的定义，引导学生理解组合的意义。

3. 组合的计算方法：讲解组合的计算方法，让学生通过实例体会组合的计算过程。

4. 组合数的计算公式：推导组合数的计算公式，让学生理解组合数与排列数的关系。

5. 练习与讨论：让学生分组讨论，互相解答疑惑，巩固所学知识。

七、课堂练习1. 布置适量的课堂练习题，让学生运用组合知识解决问题。

2. 引导学生互相批改，讨论解题思路，提高解题能力。

3. 对学生的练习情况进行点评，指出优点和不足，给予鼓励和建议。

八、组合在实际问题中的应用1. 通过实例讲解组合在实际问题中的应用，让学生体会数学的价值。

2. 引导学生运用组合知识解决实际问题，培养学生的实践能力。

3. 让学生分组讨论，分享各自的解题过程和心得，互相学习。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结组合的概念、计算方法和组合数的计算公式。

2. 强调组合在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时组合与组合数公式[对应学生用书P10][例1](1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？[思路点拨] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关．[精解详析] (1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题；(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题；(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．[一点通] 区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题．要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题．(1)设集合A＝{a，b，c，d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(3)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(4)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3个客人入座，又有多少种方法？(5)把4本相同的数学书分给5个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (6)4个人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解：(1)组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”．(2)组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关．(3)排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． (4)第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5)组合问题，由于4本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从5个学生中选择哪4个人，这和顺序无关．(6)排列问题，因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关．[例2] 1073100200(3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .[思路点拨] 用组合数公式和组合数的性质解决． [精解详析] (1)原式＝C 410－A 37 ＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝4 950＋200＝5 150.(3)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5.∵n ∈N ＋，∴n ＝10.∴C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131 ＝30×292×1＋31＝466. [一点通] (1)对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算．(2)有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证明．2．若C 2n ＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：∵C 2n ＝n ！2！n －！＝n n －2＝28，∴n (n －1)＝56，即n ＝8. 答案：B3．若C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，则C 12n 的值为________． 解析：由已知，得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ， 所以2·n ！5！n －！＝n ！4！n －！＋n ！6！n －！， 整理，得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14. 要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14， 于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91.答案：914．证明：C mn ＝n mC m －1n －1. 证明：∵n m·C m －1n －1＝n m·n －！m －！n －－m －！＝n ！[mm －！n －m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ，∴C mn ＝n mC m －1n －1成立.[例3] (12分) (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？[思路点拨] 先判断是不是组合问题，再用组合数公式写出结果，最后求值． [精解详析] (1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝分)(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 11C 27＝7×62×1＝21.分)(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35.分)[一点通] 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成．5．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有( )A ．C 310种 B ．A 310种 C ．A 27A 13种D ．C 27C 13种解析：每个被选的人员无角色差异，是组合问题．分两步完成： 第一步，选女工，有C 13种选法； 第二步，选男工，有C 27种选法． 故有C 13C 27种不同选法． 答案：D6．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10个人中选4人作为甲组，剩下的6人为乙组，共有C 410＝210种分组方法． 答案：2107．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法有C 210＝45种．(2)从6名男教师中选2名有C 26种选法，从4名女教师中选2名有C 24种选法．根据分步乘法计数原理，共有选法C 26C 24＝90种．1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m 个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式时，一是要注意组合数本身的有意义的未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算C mn 时，若m ＞n2，通常使用C m n ＝C n －mn 转化；求多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .[对应课时跟踪训练四1．给出下面几个问题：①10人相互通一次电话，共通多少次电话？②从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ ③从10个人中选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？ ④由1,2,3组成无重复数字的两位数． 其中是组合问题的有( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②D ．①②④解析：①是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别；②是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；③是排列问题，因为三个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的；而④中选出的元素还需排列，有顺序问题是排列．所以①②是组合问题．答案：C2．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4解析：∵A 3n ＝12C 2n ，∴n (n －1)(n －2)＝12×n n －2.解得n ＝8.答案：A3．下列四个式子中正确的个数是( ) (1)C m n＝A mn m ！；(2)A m n ＝n A m －1n －1；(3)C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m ；(4)C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为C m n＝n ！m ！n －m ！＝1m ！·n ！n －m ！＝A mnm ！，故(1)正确；因为n A m －1n －1＝n ·n －！n －m ！＝n ！n －m ！＝A mn ，故(2)正确；因为C mn ÷C m ＋1n ＝n ！m ！n －m ÷n ！m ＋！n －m －！＝n ！m ！n －m ！×m ＋！n －m －！n ！＝m ＋1n －m， 故(3)正确． 因为Cm ＋1n ＋1＝n ＋！m ＋！n －m ！，n ＋1m ＋1Cmn＝n ＋1m ＋1·n ！m ！n －m ！＝n ＋！m ＋！n －m ！，所以C m ＋1n ＋1＝n ＋1m ＋1C m n ，故(4)正确．答案：D4．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1， 所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 答案：C5．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m 个不同的积，任取两个不同的数相除，有n 个不同的商，则m ∶n ＝________.解析：∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝12.答案：126．方程C x 28＝C 3x －828的解为________．解析：当x ＝3x －8，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8，解得x ＝9. 答案：4或97．计算：(1)C 58＋C 98100C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55.解：(1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006.(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 8．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加． 解：(1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步：第一步从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法；第二步从另外的9人中选4人有C 49种选法．共有C 13C 49＝378种不同的选法．。