高中数学2.1.3两条直线的平行与垂直(1)教案苏教版必修2

两直线的垂直教学目标：1． 掌握用斜率判定两直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形性质的思想。

2． 通过分类讨论，数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性、辩证性。

重点：用斜率来判定两直线垂直的方法。

难点：数形结合求垂直直线的斜率和方程教学过程：通过上一节课的学习，我们已经知道与直线Ax+By+C ＝0平行的所在直线的方程可以表示为Ax+By+m ＝0（m ∈R ）那么：与直线Ax+By+C ＝0垂直的所有直线的方程又如何表示呢？ 我们来看：若l 1⊥ l 2（l 1、l 2都不与x 轴垂直）如图：作出两个直角三角形。

（直角边分别平行于坐标轴）设l 1、l 2的斜率为k 1、k 2，则：1k =PS ST ，2k =QR PQ 由于Rt ⊿PST ∽Rt ⊿PQR （因为∠TPS=∠RPQ ）故PQQR =PS ST 从而k 1=－2k 1 即k 1k 2=－1反过来，若k 1k 2=－1，则l 1⊥ l 2。

因此，我们得到：当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。

反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。

即：l 1⊥ l 2 k 1k 2=－1（k 1、k 2均存在）若l 1、l 2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？若一条直线的斜率不存在，且l 1⊥ l 2，则另一条直线的斜率为0。

逆命题同样成立。

例1：(1) 已知四点A(5,3)， B(10,6) ，C(3,-4)，D(-6,11) 求证：AB ⊥CD(2) 已知直线l 1的斜率43=k 1，直线l 2经过点A(3a ，－2) ， B （0,a 2＋1），且l 1⊥ l 2，求实数a 的值例2如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1, -2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

回到引入：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥l2，则A1A2+ B1B2＝0例3在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）练习：1.过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为 .2.直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0垂直，则a= .3.已知△ABC顶点坐标为A（1，2），B（-1，1），C（0，3），求BC边上的高所在直线的方程小结：1.掌握两直线垂直的条件（1）若斜率存在，则k1k2=－1（2）若一条直线斜率不存在，则另一直线的斜率必为02.数形结合求含垂直条件的直线方程作业：p87.1,2评价p56－57。

让学生学会学习 第６课时 两条直线的平行与垂直(1) 【学习导航】知识网络两条直线（斜率都存在）：1l ：11,y k x b =+2l ：22,y k x b =+学习要求1．掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性． 自学评价判定直线1l 与2l 平行的前提是____________________________________； 如果1l 、2l 斜率都存在，则直线平行能得到_________，反之，_____________________；如果1l 、2l 斜率都不存在，那么两直线都垂直于x 轴，故它们___________．【精典范例】例1：已知直线方程1l ：,0742=+-y x 2l ：052=+-y x ，证明：1l //2l ．例2：求证：顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形． 例3：（1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 ． （2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为 ． 例4：求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程． 两条直线位置关系（特殊）平行 垂直 12k k = 12b b ≠ 121k k =-g追踪训练一1.若过两点(6,)P m 和(,3)Q m 的直线与直线250x y -+=平行，则m 的值为（ ）()A 5 ()B 4 ()C 9 ()D 02. 直线0mx y n +-=和10x my ++=平行的条件是（ ） ()A 1m = ()B 1m =±()C 11m n =⎧⎨≠-⎩ ()D 11m n =⎧⎨≠-⎩或11m n =-⎧⎨≠⎩ 3. 平行于直线38250x y -+=，且在y 轴上截距为2-的直线方程是__________________．４. 若直线2(23)1y a a x =-+-与直线(7)4y a x =++平行，则a 的值为____________． 思维点拔： 课本中是在两条直线的斜率都存在的前提下，得出两直线平行的等价条件的.在具体解题时，应注意考虑直线斜率不存在的情形(如例3(2)、追踪训练一第２题)．另外，在判定两直线平行时，还要注意出现两直线重合的情况． 追踪训练二 1．若直线mx+4y-1=0与直线x+my-3=0不平行,求实数m 的取值范围是________________．2．与直线3410x y ++=平行且在两坐标轴上截距之和为73的直线l 的方程为_________________.3．求与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程．学生质疑教师释疑。

两条直线的垂直
建湖县第一中学 王文勇
一、学习目标
1、掌握用斜率判定两条直线垂直的方法，感受数形结合思想。

2、通过分类讨论，数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性，辩证性。

二、学习重点、难点
重点：用斜率判定两条直线垂直的方法，难点：用斜率相乘判定两条直线垂直
三、学习过程
一复习回顾
两条直线平行的判定方法
二合作探究
当两条直线垂直时，斜率具有何种关系？
三教学建构
1、12121l l k k ⊥⇔=-1、2均存在
思考：如果两条直线1、2中的一条斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？反之呢？
练习：判断下列两条直线是否垂直
（1）83
11321+-=+=x y l x y l ：，：；（2）3821-==y l x l ：，：． （3）73464321=+ =- y x l y x l ：，：
； 2、如果1、2的一般式方程为1：A 1B 1C 1=0，2：
A 2
B 2
C 2=0，那么判断两条直线垂直与否只需判断A 1A 2B 1B 2=0是否成立。

四教学运用
例1．已知直线1l ：05)3()2(=-+++y a x a 和直线2l ：05)12(6=--+y a x ，
当实数为何值时，（1）1l ⊥2l ，（2）1l ∥2l ，（3）重合
例2．求过点A2,1且与直线2-10=0垂直的直线的方程。

例3．已知三角形的顶点为A2，4，B1，－2，C－
四．作业。

两直线的位置关系一．知识梳理1．判定两条直线的位置关系1两条直线的平行①若1：＝1＋b1，2：＝2＋b2，则1∥2⇔且②当1，2都垂直于轴时，则1∥2⇔若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1∥2⇔________________2两条直线的相交垂直问题①若1：＝1＋b1，2：＝2＋b2，则1⊥2⇔②两条直线中，一条斜率不存在，则1⊥2⇔____________若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1⊥2⇔相交直线1：＝1＋b1，2：＝2＋b2相交的条件是直线1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0相交的条件是3两条直线的重合若1：A1＋B1＋C1＝0，2：A2＋B2＋C2＝0，则1与2重合⇔________________2．点到直线的距离点P0，0到直线A＋B＋C＝0A、B不同时为零的距离二．知识运用目标一：求直线方程1求经过两直线25020x y x y--=++=和的交点且与直线310x y+-=平行的直线方程。

2求经过两直线3210210x y x y+-=++=和5的交点且与直线3560x y-+=垂直的直线方程。

＋3＋1＝0上，P点到A1,3和B－1，－5的距离相等，求点P的坐标。

目标二：运用点到直线的距离1正方形中心为点(1,0),M-一条边所在直线方程为：350x y+-=，求其它三边所在直线方程。

2 矩形ABCD的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360,x y--=点(1,1)T-在AD边所在直线上，求直线BC的方程。

目标三：求参数的值1若经过点(3,),(2,0)a-的直线与经过点(3,4)-且斜率为12的直线垂直，求实数a的值。

2若三条直线280,4310210ax y x y x y++=+=-=和相交于一点，求实数a的值。

1：a－2＋3＋a＝0，2：a＋a－2－1＝1⊥2时，求a的值。

0,0，A4，－1两点到直线a＋a2＋6＝0的距离相等，求实数a的值。

2.1.3 两直线的平行与垂直1．两条直线平行(1)若直线l1：y＝k1x＋b1，直线l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2(k1，k2均存在)．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)思考：两平行直线的斜率是否一定相等．提示：只要斜率存在，则斜率一定相等．2．两条直线垂直(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直．即l1⊥l2⇔k1k2＝－1(k1，k2均存在)．(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直．①②思考：两直线垂直，则两直线斜率乘积是否一定为－1?提示：两直线斜率存在的前提下，斜率乘积为－1.1.思考辨析(1)若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2. ( )(2)若直线l1∥l2(两条直线的斜率存在，分别为k1，k2)，则k1＝k2.( )(3)若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行．( )[答案](1)×(2)√(3)√2．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝________．3 [k AB ＝3－03－2＝3，k l ＝k AB ＝3.]3．与直线x ＋2y ＋7＝0垂直的一条直线的斜率k ＝______．2 [直线x ＋2y ＋7＝0的斜率k ＝－12，故与其垂直的一条直线的斜率k ＝2.]4．过点(0，1)且与直线2x －y ＝0垂直的直线的一般式方程是________．x ＋2y －2＝0 [直线2x －y ＝0的斜率是k ＝2，故所求直线的方程是y ＝－12x ＋1，即x＋2y －2＝0.]12(1)l 1的斜率为1，l 2经过点P (1，1)，Q (3，3)；(2)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点C (5，－2)，D (5，5)； (3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点C (－1，3)，D (2，0)； (4)l 1：x －3y ＋2＝0，l 2：4x －12y ＋1＝0.思路探究：依据斜率公式，求出斜率，利用l 1∥l 2或l 1，l 2重合⇔k 1＝k 2或k 1，k 2不存在判断．[解] (1)k 1＝1，k 2＝3－13－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1与l 2重合或l 1∥l 2.(2)l 1与l 2都与x 轴垂直，通过数形结合知l 1∥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－（－1）＝－1，k 1＝k 2，数形结合知l 1∥l 2.(4)l 1的方程可变形为y ＝13x ＋23；l 2的方程可变形为y ＝13x ＋112.∵k ＝13，b 1＝23，k 2＝13，b 2＝112，∵k 1＝k 2且b 1≠b 2，∴l 1∥l 2.判断两条直线平行的方法1．根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2的位置关系． (1)l 1经过点A (2，1)，B (－3，5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)；(2)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (3，23)，N (－2，－33)． [解] (1)由题意知k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7－（－3）8－3＝－45.因为k 1＝k 2，且A ，B ，C ，D 四点不共线，所以l 1∥l 2. (2)由题意知k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－33－23－2－3＝ 3.因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．12(1)直线l 1：2x －4y ＋7＝0，直线l 2：2x ＋y －5＝0； (2)直线l 1：y －2＝0，直线l 2：x －ay ＋1＝0；(3)直线l 1经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，l 2经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－78，⎝ ⎛⎭⎪⎫76，0. 思路探究：利用两直线垂直的斜率关系判定． [解] (1)k 1＝12，k 2＝－2，∵k 1·k 2＝12×(－2)＝－1，∴l 1与l 2垂直．(2)当a ＝0时，直线l 2方程为x ＝－1，即l 2斜率不存在，又直线l 1的斜率为0，故两直线垂直．当a ≠0时，直线l 2的斜率为1a，又直线l 1的斜率为0，故两直线相交但不垂直．(3)k 1＝0－5453－0＝－34，k 2＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7876－0＝34.∵k 1·k 2≠－1，∴两条直线不垂直．1.判断两直线是否垂直的依据是：当这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x 轴垂直，另一条直线与x 轴平行时，两直线也垂直．2.直接使用A 1A 2＋B 1B 2＝0判断两条直线是否垂直更有优势．2．判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1，2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2，1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10，2)，B (20，3)；(3)l 1经过点A (3，4)，B (3，100)，l 2经过点M (－10，40)，N (10，40)．[解] (1)直线l 1的斜率k 1＝2－（－2）1－（－1）＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－（－1）2－（－2）＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． 直线l 2的斜率k 2＝40－4010－（－10）＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.1．如图，设直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，且α1<α2，斜率分别为k 1，k 2，若l 1⊥l 2，α1与α2之间有什么关系？为什么？[提示] α2＝90°＋α1.因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和．2．已知A (－4，3)，B (2，5)，C (6，3)，D (－3，0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定四边形ABCD 的形状．[提示] 四边形ABCD 为直角梯形，理由如下： 如图，由斜率公式得k AB ＝5－32－（－4）＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13， k AD ＝0－3－3－（－4）＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12， ∵k AB ＝k CD ，AB 与CD 不重合．∴AB ∥CD ，又k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行． 又∵k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形．【例3】 已知点A (2，2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0，求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．思路探究：利用两直线平行和垂直的条件求解或利用与已知直线平行与垂直的直线系方程求解．[解] 法一：∵3x ＋4y －20＝0，∴k l ＝－34.(1)设过点A 与l 平行的直线为l 1.∵kl 1＝k l ＝－34，∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2.∵k l kl 2＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×kl 2＝－1，∴kl 2＝43.∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.法二：(1)设与直线l 平行的直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0， 则6＋8＋m ＝0，∴m ＝－14，∴3x ＋4y －14＝0为所求．(2)设与直线l 垂直的直线方程为4x －3y ＋n ＝0， 则8－6＋n ＝0，∴n ＝－2， ∴4x －3y －2＝0为所求．两直线平行或垂直的应用(1)求与已知直线平行或垂直的直线．此类问题有两种处理方法：一是利用平行与垂直的条件求斜率，进而求方程；二是利用直线系方程求解，与已知直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D )，垂直的直线系方程为Bx －Ay ＋D ＝0.(2)由直线平行或垂直求参数的值，此类问题直接利用平行和垂直的条件，列关于参数的方程求解即可．3．(1)已知四点A (5，3)，B (10，6)，C (3，－4)，D (－6，11)，求证：AB ⊥CD ； (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．[解] (1)证明：由斜率公式得：k AB ＝6－310－5＝35， k CD ＝11－（－4）－6－3＝－53，则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－（－2）0－3a ＝－1， 解得a ＝1或a ＝3.1．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断两条直线平行的步骤．(2)利用斜率公式判断两条直线垂直的方法． (3)判断图形形状的方法步骤．3．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．1．下列说法正确的有( ) A ．若两直线斜率相等，则两直线平行 B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交D ．若两直线斜率都不存在，则两直线平行C [A 中，当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，错误；B 中，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2或两直线的斜率都不存在，错误；D 中两直线可能重合．]2．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2，0)的直线的位置关系为________． 垂直 [过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2，0)的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直．]3．已知直线(a－1)x＋y－1＝0与直线2x＋ay＋1＝0平行，则实数a＝________．2[由已知，得(a－1)a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，两直线重合，故a ＝2.]4．已知直线l1：ax＋3y＝3，l2：x＋2ay＝5，若l1⊥l2，求a的值．[解]直线l1：ax＋3y－3＝0，直线l2：x＋2ay－5＝0.∵l1⊥l2，∴a×1＋3×2a＝0，即a＝0.。

普通高中课程标准实验教科书—数学必修Ⅱ[苏教版]两条直线的平行与垂直（1）教学目标（1）掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；（2）通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性． 教学重点、难点用斜率判定两条直线平行的方法及斜率不存在时两直线平行关系的讨论．教学过程一、问题情境1．情境：复习回顾直线斜率的几何意义，平面内两条不重合的直线的位置关系．2．问题：斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？二、建构数学1．斜率存在时两直线平行的条件：如图：（1）直线12//l l ，构造两个直角三角形（直角边分别平行于坐标轴），那么ABC DEF ∆∆（两角对应相等），于是对应边的比相等，所以它们的斜率12,k k 相等；反之，若12k k =，那么ABC DEF ∆∆（对应边成比例），∴BAC EDF ∠=∠，∴//l l ，对于图（2（1）（2） （3） 12BC EF k k AC DF === 12BC EF k k AC DF===-- 结论：（1）当两条直线的斜率存在时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行．即： 2121//k k l l =⇔ （12,k k 均存在）（2）如果直线1l 和2l 的斜率都不存在，那么它们都与x 轴垂直，则1l //2l思考：当直线1l 和2l 有斜截式方程1l ：11b x k y +=，2l ：22b x k y +=时两直线平行的条件．三、数学运用1．例题：例1．已知直线方程1l ：,0742=+-y x 2l ：052=+-y x ，证明：1l //2l ．x x xx证明：把1l 和2l 的方程写成斜截式1l ：4721+=x y ，1l ：2521+=x y ， ∵21k k =，21b b ≠，∴1l //2l ．例2．求证：顺次连结7(2,3),(5,),(2,3),(4,4)2A B C D ---四点所得的四边形是梯形． 分析：判断一个四边形是梯形，不仅要判断一组对边平行，还要判断另一组对边不平行． 证明：∵7(3)12526AB k ---==--，431426CD k -==---，∴AB CD k k =，从而//AB CD 又∵73()132256BC k --==--，3472(4)6DA k --==---，∴BC DA k k ≠， 从而直线BC 与DA 不平行，∴四边形ABCD 是梯形．例3．（1）两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 平行或重合 ．（2）若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为3-． 解：当1a ≠-时，122,31l l a k k a =-=-+ 21//l l ，∴12l l k k =，∴(1)60a a +-=， 即062=-+a a ，解得3-=a 或2=a ，当时3-=a 两方程化为0133=++-y x 与0122=+-y x 显然平行，当时，2=a 两方程化为0132=++y x 与0132=++y x 两直线重合，∴2=a 不符合，当1a =-时，两直线不平行，∴3a =-．说明：1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法．例4．求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程．解：已知直线的斜率2k =-，∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为2k =-，所以，所求直线的方程为：32(2)y x +=--，即210x y +-=．另解：设与直线250x y +-=平行的直线l 的方程为：20x y m ++=，l 过点(2,3)A -，∴22(3)10m ⨯+-⨯+=，解之得1m =-，所以，所求直线的方程为210x y +-=．说明：（1）一般地与直线0=++C By Ax 平行的直线方程可设为0=++m By Ax ，其中m 待定；（2）把上题改为求与直线250x y +-=平行，且在两坐标轴上的截距之和为32的直线l 的方程．（210x y +-=）2．练习：课本第84页 练习1，2，4（1）题．四、回顾小结：1．两条不重合直线平行的条件；2．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；3．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法；4．与直线0=++C By Ax 平行的直线方程系方程．六、课外作业：课本第87页第1（1）、（3）、5、11（1）题，第117页第7题．补充：1．若直线12=-ay x 和122=-ay x 平行，则实数a 的取值为 ．2．求与直线3490x y ++=平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积是24的直线方程．。

两条直线的平行和垂直教材分析：本节内容选自苏教版高中教材必修二第二章第一节，是用坐标系研究平面内基本图形点、线之后，进一步通过坐标系，利用代数方程精确研究线与线的位置关系。

在教学中要突出坐标法思想，即建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数的工具、方法研究并获得结论；然后再解释几何现象。

学情分析：本节内容蕴含了数形结合、分类讨论、坐标法等重要的数学思想方法，对思维的严谨性有较高要求。

学生易于掌握线线平行垂直的斜率关系，但是对于直线平行问题中的重合和斜率不存在问题容易考虑全面。

教学目标：1掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，能够判断简单的线线位置关系；2让学生进一步感受坐标法思想在研究几何问题的重要作用；3通过分类讨论和数形结合的思想方法的运用，培养学生思维的严谨性教学重点：掌握两条直线平行和垂直时斜率的关系。

教学难点：直线平行时需要考虑直线重合和斜率不存在情况；直线垂直需要考虑斜率不存在。

教学过程设计：【引入】问题1：前面我们已经利用坐标系研究了平面几何中的基本图形点、线，把几何对象点、线转为代数对象有序实数对，方程表示。

研究完基本图形后，那接下来我们可以研究那些内容？（在立体几何中我们研究了点线面的位置关系，那在平面里我们可以研究什么？学生说：点线的位置关系，提醒比如点与点的位置关系）生：可以研究点与线的位置关系，线与线的位置关系。

设计意图：平面几何是学生初中研究的内容，学习完基本图形点、线后，就研究点线的位置、线线的位置关系。

学生能够类比指出可以在坐标系中研究的内容。

让学生提出本节课的课题，能够引起学生学习的兴趣。

师：这些都是我们接下来要研究的内容，本节课我们首先研究线与线的位置关系。

线与线的位置关系有哪些？生：线线平行，线线相交，线线重合。

师：本节课我们主要研究线线平行，垂直。

（书写课题：两条直线的平行与垂直）【建构概念】师：观察图像，直线AB和直线CD的位置关系是什么？生：平行。

2．1.3两条直线的平行与垂直如右图，在平面四边形ABCD中，由∠A＋∠B＝90°＋90°＝180°可知AD∥BC.或因为∠B＝90°，可知AB⊥BC；可由∠A＝90°，得到AD⊥AB，依据“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”得到AD∥BC.在平面几何中，我们可依据几何图形的性质来证明直线相交、平行、重合或垂直．那么，在解析几何中，又如何证明或判断直线的这些关系呢？1．通过初中的学习我们知道“两直线平行，则两直线的倾斜角相等”，同样，两条直线平行，如果它们的斜率都存在，则它们的斜率相等．反之也成立，即：已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2.这个结论成立的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．特别地，若两不重合直线的斜率不存在，由于它们的倾斜角都是90°，所以它们互相平行．2．当直线l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，可推得：l1∥l2，因此，两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1和l2的斜率都不存在或k1＝k2且b1≠b2.3．两直线的斜率都存在时，若两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1，反之也成立，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．两条直线l1，l2，若一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0，则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定的一般结论就是：一条直线的斜率不存在，同时另一条斜率为0或k 1k 2＝－1．,一、两条直线平行与垂直的判定设两条不重合的直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，①两条直线平行的条件为：l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；②两条直线垂直的条件为：l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；③两条直线l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2且b 1＝b 2.以上给出了已知直线的斜截式方程条件下判定两条直线位置关系的又一常用方法．判断方法仅适用于两条直线都有斜率的直线．同学们要特别谨记：同时平行于同一坐标轴的两条直线互相平行，分别平行于两坐标轴的两条直线互相垂直．若两条直线的方程是一般式l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则常有以下判定方法：①l 1与l 2平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且(B 1C 2－B 2C 1)2＋(A 2C 1－A 1C 2)2≠0或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)； ②l 1与l 2垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；③l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．基础巩固知识点一 两条直线平行1．已知过点A (－2，m )和B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为________．解析：kAB ＝4－m m ＋2，∵过AB 的直线与2x ＋y －1＝0平行，∴4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.答案：－82．已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋5＝0平行，则k ＝________．解析：∵l 1∥l 2，∴－2(k －3)－2(4－k )(k －3)＝0，解得k ＝3或5，经检验k ＝3或5时，l 1∥l 2.答案：3或53．已知点A (3，1)、B (0，－1)、C (1，3)，则点D 满足什么条件时，可以使得AB ∥CD .解析：设D (a ，b )，则kAB ＝1－（－1）3－0＝23，kCD ＝b －3a －1. ∵AB ∥CD ，∴b －3a －1＝23.∴2a －3b ＋7＝0. ∴当点D 在直线2x －3y ＋7＝0上时，AB ∥CD .知识点二 两条直线垂直4．过点A (－1，0)和B (1，－1)的直线与过M (0，k )和N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0(k ≠0)两点的直线的位置关系是________．解析：kAB ＝－1－01＋1＝－12，kMN ＝0－k －k 2－0＝2， ∴kAB ·kMN ＝－12×2＝－1，即AB ⊥MN . 答案：垂直5．已知点A (2，2)、B (1，－2)，若点P 在坐标轴上，且∠APB 为直角，则这样的点P 有________个．解析：若点P 在y 轴上，则点P 只有一个；若点P 在x 轴上，则点P 有两个．故满足条件的点p 共有3个．答案：36．已知直线l 1经过点A (－2，0)和点B (1，3a )，直线l 2经过点M (0，－1)和点N (a ，－2a )，若l 1⊥l 2，试确定实数a 的值．解析：(1)当直线l 1、l 2的斜率都存在，即a ≠0时，直线l 1、l 2的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝1－2a a. ∵l 1⊥l 2，∴a ·1－2a a＝－1. ∴a ＝1.(2)当a ＝0时，k 1＝0，k 2不存在，此时l 1⊥l 2.综合(1)(2)知，若l 1⊥l 2，则实数a 的值为1或0.知识点三 两条直线平行或垂直的判定与应用7．已知点A (－4，2)、B (6，－4)、C (12，6)、D (2，12)，下面四个结论中正确的是________(填序号)．①AB ∥CD; ②AB ⊥AD; ③AB ⊥BD; ④AC ⊥BD .解析：由题意得kAB ＝－35，kAD ＝53，kCD ＝－35，kAC ＝14，kBD ＝－4，∴kAB ＝kCD ，kAB ·kAD ＝－1，kAC ·kBD ＝－1.∴AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，①②④正确．又kAB ·kBD ≠－1，∴③错误．答案：①②④8．若已知直线l 1上的点满足ax ＋2y ＋6＝0，直线l 2上的点满足x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0(a ≠0)，当a 为何值时：(1)l 1∥l 2；(2)l 1⊥l 2.解析：k 1＝－a 2，k 2＝－1a －1. (1)l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即－a 2＝－1a －1， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1的方程为2x ＋2y ＋6＝0，即x ＋y ＋3＝0，l 2的方程为x ＋y ＋3＝0，则l 1与l 2重合．∴a ＝－1.(2)l 1⊥l 2时，由k 1k 2＝－1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1a －1＝－1，解得a ＝23. 综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2；a ＝23时，l 1⊥l 2.能力升级综合点一 平行与垂直的简单应用9．在直角坐标平面内有两个点A (4，2)、B (1，－2)，在x 轴上有点C ，使∠ACB ＝90°，则点C 的坐标是________．解析：设C (x 0，0)，由AC ⊥BC ，得0－2x 0－4·0＋2x 0－1＝－1，∴x 0＝0或x 0＝5.答案：(0，0)或(5，0)10．若点A (1，2)在直线l 上的射影为B (－1，4)，则直线l 的方程是________．解析：∵AB ⊥l ，kAB ＝4－2－1－1＝－1，∴kl ＝1.又l 过点B ，∴l ：y －4＝x ＋1，即直线l 的方程为x －y ＋5＝0.综合点二 平行与垂直的综合应用11．已知两点A (2，0)、B (3，4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．解析：由题意知，AB ⊥BC ，∴kAB ·kBC ＝－1，即4－03－2·4－y 3－0＝－1，解得y ＝194. 答案：19412．过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，73与B (7，0)的直线l 1与过点(2，1)，(3，k ＋1)的直线l 2和两坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则实数k 为________．解析：若l 1和l 2与坐标轴围成的四边形内接于一个过原点的圆，则l 1⊥l 2，而kl 1＝73－7＝－13，kl 2＝k ＋1－13－2＝k .而kl 1·kl 2＝－1，得k ＝3. 答案：3综合点三 平行直线系或垂直直线系问题13．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 1，l 2和两坐标轴围成的梯形的面积是4，求l 2的方程．解析：∵l 1∥l 2，∴设l 2的方程为x ＋y －m ＝0.设l 1与x 轴，y 轴分别交于点A 、D ，l 2与x 轴，y 轴分别交于点B 、C ，易得：A (1，0)、D (0，1)、B (m ，0)，C (0，m )．又l 2在l 1的上方，∴m ＞0.S 梯形＝S Rt △OBC －S Rt △OAD ，∴4＝12m ·m －12×1×1. ∴m 2＝9，m ＝3.故l 2的方程是x ＋y －3＝0.。

《两直线的垂直》导学活动单22 1．掌握利用斜率判定两条直线垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．【重点】理解并掌握两条直线垂直的条件【难点】理解直线垂直的解析刻画．【课时安排】2课时【活动安排】 一．自学质疑：看书P90-P92，完成下面三题1、直线12:36120;:3660l x y l x y +-=+-=的位置关系为 ；2、直线12:3210;:2360l x y l x y +-=--=的位置关系为 ；3、若12:(1)210;:360l a x y l x ay ++-=--=互相垂直，则a = ；二、互动研讨活动一：直线垂直的解析表示两条直线垂直，那么他们的斜率之间有什么关系，体现在方程有何特征？探究一：（从斜率的实际意义出发：形-数） 两条直线垂直，即倾斜角的差为直角，不妨设直线l 1，l 2（斜率存在）所对应的倾斜角分别为α1，α2，对应的斜率分别为k 1，k 2．因为α1－α2＝ ．根据倾斜角与斜率的关系，当倾斜角不是直角时，===)tan(tan 11αk = ，即k 1k 2＝ ． 当其中一条倾斜角是直角时，斜率不存在，此时另一条直线倾斜角是 ，斜率反之（数-形），如果两直线的斜率k 1k 2＝－1，根据倾斜角和斜率的关系以及正切函数的单调性可知倾斜角的差等于直角，从而说明它们互相垂直．结论： 若111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，即两条斜率存在，则1l ⊥2l ⇔ ； 若两直线中一条斜率不存在，另一斜率为0，则必有 ；探究二：（从特殊到一般的研究方法）若直线12:36120;:6360l x y l x y +-=--=， 请在右侧空白处作出直线1l 和2l ：通过观察图发现了什么？ ；再在右侧空白处作图12:320;:20l x l y -=+=，必修二：2.1. 3你又发现了什么？ ；结论：若11112222:0,:A x y 0l A x B y C l B C ++=++=，1l ⊥2l ⇔ ； 活动二：直线垂直的解析条件运用1、已知四点A （5，3），B （10，6），C （3，－4），D （－6，11），求证：AB ⊥CD ；2、过点A （2，4）且与直线23x y +=垂直的直线方程为 ；3、已知直线l 1的斜率k 1＝43，直线l 2经过点A （3a ，－2），B （0，a 2＋1），且l 1⊥l 2，求实数a 的值．4、 在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2．5m ，且与灯柱成120º角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？。