高考数学一轮总复习 第2章 函数、导数及其应用 第5节 二次函数与幂函数课件 理 新人教版

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点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
实数 a 的值.
【解析】函数 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1 的图象的对称轴为直线 x=a,且函数图象开
有助于把握数学问题的本质,发现解题思路,并且能避开复杂的推理与计算,大大简化解题过程.解决
二次函数问题时,注重“形”与“数”的有机结合.
【突破训练 2】已知函数 f(x)=x2-2x+4 在区间[0,m](m>0)上的最大值为 4,最小
值为 3,则实数 m 的取值范围是 [1,2] .
【解析】作出函数 f(x)的图象,如图所示,从图
3-2
【解析】(1)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3-2
2
2
∵0<m≤ ,∴
2
.
≥1,
∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.
又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.
解析
3-2
(2)函数 f(x)图象的对称轴为直线 x=
1
3
, 3 ,则 f
1
2
=
.
【解析】(1)设幂函数的解析式为 f(x)=xα,∵该函数的图象经过点
1
,
3
1
2
3 ,∴3-α= 3,解得 α=- ,

(4)当－2ba>n时，最小值和最大值分别是多少？
提示：(1)最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)最小值为f(－2ba)，最大值为f(n)；(3) 最小值为f(－2ba)，最大值为f(m)；(4)最小值为f(n)，最大值为f(m)．
关键能力·题型剖析 题型一 幂函数的图象与性质
p
例1 (1)已知幂函数y＝xq(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称， 如图所示，则( )
所以f(－1)＝6a＝12，a＝2，所以f(x)＝2x2－10x.
角度二 二次函数的图象 例3 (多选)设abc<0，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
答案：ABD
题后师说
识别二次函数图象应学会“三看”
巩固训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的 图象可能是( )
第五节 二次函数与幂函数
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.幂函数 (1)幂函数的概念
注意幂函数与指数函数的区别 一般地，函数__y_＝__xα___叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图像与性质
函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域 R
R
5
4
4
A．c<a<b B．c<b<a
C．a<c<b D．b<c<a
答案：A
1
1
1
3
1
解又0析<：27<因1<为16a<＝1，45y＝2＝x14在1265 (04<，1＋，∞b＝)上54单5>调1递，增c＝，34

或1a≥4， f4＝16a－8＋2≥0，
∴aa≥≥10， 或14a＜＞a12＜1，
或aa≤≥1438，.
∴a≥1 或12＜a＜1 或∅，即 a＞12；
（2）当 a＜0 时， f1＝a－2＋2≥0， f4＝16a－8＋2≥0， 解得 a∈∅； （3）当 a＝0 时， f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意．
，
增
[0，＋∞)增
(0,0)，(1,1)
[0，＋∞) 非奇非偶
增
y＝x－1
{x|x∈R且 x≠0}
{y|y∈R 且y≠0}
奇 (－∞，0)减
， (0，＋∞)减
(1,1)
2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) 的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
答案 f(x)＝ x
5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1， x2，则x1＋x2＝________.
解析 由 f(3＋x)＝f(3－x)，知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝3 对称，
应有x1＋2 x2＝3⇒x1＋x2＝6.
答案 6
考点一 幂函数的图象与性质
【训练3】 函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值为g(t)．
(1)求g(t)的解析式； 请先暂停，完成题目后继续观看！
(2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. ①当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，

第二章基本初等函数、导数及其应用第5讲二次函数与幕函数教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理,1.幕函数 _⑴定义：形如_的函数称为幕函数，其中底数兀是自变量，Q为常数•常见的五类幕函数为y=兀，y =兀，y=x , y=x\ y=x~ • ⑵性质①幕函数在(0, +8)上都有定义;②当°>0时，幕函数的图象都过点(1, 1)和(0, 0),且在(0, + 8)上单调递增；③当a<0时，幕函数的图象都过点(1, 1),且在(0, +8)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式ax 2+ftx+c(a#=0)①一般式：f(x)=a(x—m)2+n(a7^0) 顶点式：f(x)=a(x—Xj)(x —x2)(a H 0)③零点式：f(x)=⑵二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2^rbx+ c(a>0)bf(x)=ax2-\~bx+ c(avO)在(-8, 上单调性对称性单调递减; 单调递增;+°°2a_____单调递增在［一£，+8）上单调递减函数的图象关于无=—上对称1.辨明两个易误点⑴对于函数y=ax2+bx+c f要认为它是二次函数，就必须满足。

工0,当题目条件中未说明aHO时，就要讨论。

=0 和aHO两种情况.(2)幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幕函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幕函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2・会用两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法•特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路.(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等.双基自叭1.（必修1 P79习题2.3T1改编）设ael-1, 1, 3卜则使函数y=x a的定义域为R且为奇函数的所有么值为（A）A. X, 3 B. -1, 1C. -1, 3D. -1, 1, 32.已知函数/(x)=ax2+x+ 5的图象在"轴上方,a的取值范围是(c)A・@£)墙 +00)0 f«>0,解析：由题意知［△<(),«>0,即―,得轴3.已知函数J=X2-2X+3在闭区间［0,加］上有最大值3, =J最小值2,则m的取值范围为（A. [0, 1]B. [1, 2]C. (1, 2]D. (1, 2)解析：如图，由图象可知加的取值范围是［1，2].0 124.（必修1 P82复习参考题A 组T10改编）已知幕函数丿孑几劝 的图象过点C ，¥），则此函数的解析式为尸"一3 ； 在区间（°’ +°°） 上涕减.95彳（3—“）（a+6） （—6WaW3）的最大值为9解析：因为7 (3—d)(«+6) =\ll8—3a —a 2所以当*时，7（3—“）（a+6）有最大值典例剖析▼考点突破*⑴幕函数y=f(x)的图象过点(4, 2),则幕函数y的图象是(c )yI、y名师导悟以例说法考点一 幕函数的图象及性质系是h(x)>g{x)>f(x)厂、厂V0 X0 x0 X0 XA B C D⑵当0<xvl 时，/(x)=x L1, g(x)=x0,9, h(x)=x~2的大小关懈析］⑴设壽函数的解析式为尸八 因为幕函数的图象过点（4, 2）,所以2=4。