高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数的再研究与幂函数教师用书文北师大版04170131

第四节 二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1性质图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ． 1C.32D ．2C [∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12， ∴k ＋α＝1＋12＝32.]3.如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [结合幂函数的图象可知b ＞c ＞a .]4．(教材改编)已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值X 围为( )A ．a ≤－5B ．a ≤5C ．a ≥－5D ．a ≥5C [由题意可得－a 2≤52，即a ≥－5.]5．(教材改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1， 又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3，∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．] 2.幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由图象可知y ＝xm 2－4m是偶函数，且m 2－4m ＜0，∴0＜m ＜4，又m ∈Z，∴m ＝1,2,3， 经检验m ＝2符合题意．]3．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解之得－1≤a ＜23.][规律方法]1求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.(1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [(1)∵f (0)＝3，∴c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)∵f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， 又f (x )为偶函数，且值域为(－∞，4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋ab ＝0，2a 2＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，2a 2＝4.∴f (x )＝－2x 2＋4.][规律方法] 求二次函数解析式的方法已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数的最大值是8，即4a－2a －1－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a ＝－1，∴a ＝－3.]►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解]f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；(2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值X 围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，a＞2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12， 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)因为函数f (x )＝x 2＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 所以实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.] [规律方法] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键1一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.2两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f x 恒成立⇔a ≥f xmax，a ≤f x 恒成立⇔a ≤f xmin.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f －1＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]．g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1， 故k 的取值X 围是(－∞，1)．。

解析：(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)。 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于 f(x)有最小值－1，
所以必有－a>a0＝，－1， 解得 a＝1。 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x。
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(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式。 解析：(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点 P′(－x， －y)必在 f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x， 故 g(x)＝－x2＋2x。
解析：因为函数 f(x)＝4x2－mx＋5 的单调递增区间为m8 ，＋∞，所以m8 ≤2，即 m≤16。
答案：(－∞，16]
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5．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 __________。
m＜0， 解析：当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，Δ＝－m2＋4m＜0， 解得－4＜m ＜0。 综上可知，实数 m 的取值范围是(－4,0]。 答案：(－4,0]
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►名师点拨 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用两根式。
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通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根平方和等于 17。 求 f(x)的解析式。 解析：依条件， 设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15。 令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5。 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－21＋1a5＝2－3a0＝17， ∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13。

[思想与方法] 1．二次函数的三种形式的选法 (1已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小值有关的量时，常使用顶点式． (3已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x更方便．
2．研究二次函数的性质要注意 (1结合图像分析； (2含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 4．幂函数y＝xα(α∈R图像的特征α>0时，图像过原点和(1,1，在第一象限的图像上升；α＜0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．
[易错与防范] 1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论． 2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象
限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．。

第四节 二次函数的再研究与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y＝x 的图像，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图像和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图像与性质2.(1)定义：如果一个函数，底数是自变量x ，指数是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．(2)五种常见幂函数的图像与性质1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图像一定经过点(1,1)和点(0,0)．( ) (4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝x α的图像过点(4,2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A. 3 B ．± 3 C ．±9D ．9D [由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝12.所以f (x )＝x 12＝x ，故f (m )＝m ＝3⇒m ＝9.]3．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图像在x 轴上方，则a 的取值范围是( )【导学号：66482042】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1－20a ＜0，得a ＞120.]4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数 f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R )零点的个数是( )【导学号：66482043】A ．0B ．1C ．2D ．4C [因为判别式Δ＝b 2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]5．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A (－2,0)，B (4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________.【导学号：66482044】y ＝－x 2＋2x ＋8 [设y ＝a (x ＋2)(x －4)，对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y max ＝－9a ＝9，∴a ＝－1， ∴y ＝－(x ＋2)(x －4)＝－x 2＋2x ＋8.]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 2分 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图像的对称轴为x ＝2＋－2＝12. 3分∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 8分∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 12分法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，2分 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 6分 又函数的最大值是8，即4a－2a －－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 12分[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下[变式训练1] 已知二次函数f (x )的图像经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2. 2分又∵f (x )的图像被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3. 6分设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图像过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1. 10分∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 12分(1)设abc ＞0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )A B C D(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误． (2)作出二次函数 f (x )的图像，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有 f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f m ＜0，f m ＋＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋2＋m m ＋－1＜0，解得－22＜m ＜0.] ☞角度2 二次函数的最值问题(1)(2017·广西一模)若x log 52≥－1，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3的最小值为( )【导学号：66482045】A ．－4B ．－3C ．－1D ．0(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( )A ．2B ．－1或－3C ．2或－3D ．－1或2(1)A (2)D [(1)x log 52≥－1⇒log 52x ≥log 55－1⇒2x≥15，令t ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥15，则有y ＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，当t ＝1≥15，即x ＝0时，f (x )取得最小值－4.故选A.(2)函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图像的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数， ∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.②当0＜a ≤1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0，a ]上是增函数，在[a,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1，由a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1＋52或a ＝1－52.∵0＜a ≤1，∴两个值都不满足，舍去．③当a ＞1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.] ☞角度3 二次函数中的恒成立问题已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 [由题意知2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16.因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.][规律方法] 1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )⇔a ≤f (x )min .(1)幂函数y ＝f (x )的图像过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图像是( )A B C D(2)已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m 的值为________．(1)C (2)1 [(1)令f (x )＝x α，则4α＝2，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.(2)∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. 又m ∈N *，∴m ＝1或m ＝2. 由于f (x )的图像关于y 轴对称． ∴m 2－2m －3的值应为偶数， 又当m ＝2时，m 2－2m －3为奇数， ∴m ＝2舍去．因此m ＝1.][规律方法] 1.幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．2．若幂函数y ＝x α(α∈R )是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．3．若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上递减，则α＜0. [变式训练2] (1)设a ＝0.512，b ＝0.914，c ＝log 50.3，则a ，b ，c 的大小关系是( )【导学号：66482046】A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c(2)若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．(1)D (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [(1)a ＝0.512＝0.2514，b ＝0.914，所以根据幂函数的性质知b ＞a＞0，而c ＝log 50.3＜0，所以b ＞a ＞c .(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.][思想与方法]1．二次函数的三种形式的选法 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．研究二次函数的性质要注意 (1)结合图像分析；(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论． 3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．4．幂函数y ＝x α(α∈R )图像的特征α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升； α＜0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立． [易错与防范]1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要分a ＝0，a ≠0两种情况讨论．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点．。