高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时分层作业九2.6幂函数与二次函数理

第四节 幂函数、二次函数1．幂函数(1)定义：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中底数x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较：(3)常见的五种幂函数的图象和性质比较：函数 y ＝x y ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1图象性 质定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数 奇函数非奇非偶 函数奇函数单调性 在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减； 在[0，＋∞)上单调在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减递增公共点(1，1)2.二次函数 (1)解析式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)． 两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)图象与性质：解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域(－∞，＋∞) (－∞，＋∞)续表值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a上单调递减在x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减奇偶性当b ＝0时为偶函数顶点 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形1．一个易混点函数y ＝ax 2＋bx ＋c 不能盲目认为是二次函数，要注意对a 的讨论，a ＞0，a ＝0，a ＜0.2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.3．幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征(1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y ＝x 3； (2)0＜α＜1时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y ＝x 12 ；(3)α＜0时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y ＝x －1. 4．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型．1．(基础知识：幂函数定义)已知幂函数f (x )＝k ·xα的图象过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，22 ，则k ＋α＝( )A ．12 B ．1 C ．32 D ．2答案：C2．(基础知识：幂函数的单调性)幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14 ，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，0)答案：B3．(基本应用：二次函数的单调性)若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的递增区间为[－1，＋∞)，则b ＝________．答案：24．(基本能力：幂式不等式)若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：(－∞，1)5．(基本方法：数形结合法)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，1，x ＞0，则f (x )＞f (1)的x 的取值范围为________．答案：(－∞，0)题型一 幂函数的图象和性质1．(2021·河南濮阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m ＝( )A ．－1B ．2C ．3D ．2或－1解析：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 5，其图象与两坐标轴有交点，不合题意；当m ＝－1时，f (x )＝1x 4 ，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m ＝－1.答案：A2．(2021·湖北荆门模拟)已知点⎝⎛⎭⎪⎫2，12 在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：设幂函数y ＝f (x )＝xα，把⎝⎛⎭⎪⎫2，12 代入函数解析式中，得2α＝12 ，解得α＝－1，∴幂函数f (x )＝x －1，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴f (x )是定义域上的奇函数，且在定义域的每个区间内是单调递减函数． 答案：A3．若(a ＋1)－13＜(3－2a )－13，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数y ＝x －13在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数， 原不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，3－2a ＜0，a ＋1＞3－2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，3－2a ＞0， 解得23 ＜a ＜32或a ＜－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32方法总结1．待定系数法求解析式，主要待定y ＝x α中的“α”值．2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．题型二二次函数的图象与性质[典例剖析]类型 1 二次函数图象[例1] 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分如图所示，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④ C．②③D．①③解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确．对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误．结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误．由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案：B方法总结二次函数的图象要抓住解析式中a，b，c之间的关系，开口方向、对称轴及与x轴、y轴交点．类型 2 二次函数的单调性[例2] 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]. 答案：D 方法总结二次函数的单调性主要依据开口方向和对称轴位置，要结合图象注意定义域．类型 3 二次函数的最值[例3] 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]上有最大值2，则a 的值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去).当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：－1或2 方法总结二次函数在[m ，n ]上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，则二次函数在闭区间[m ，n ]上的最大、最小值有如下的分布情况：m ＜n ＜－b2am ≤－b2a ≤n ，即－b2a∈[m ，n ]－b2a＜m ＜n 图 象最 值f (x )max ＝f (m )， f (x )min ＝f (n )f (x )max ＝max{f (n )，f (m )}，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2af (x )max ＝f (n )， f (x )min ＝f (m )类型4 二次函数不等式恒成立[例4] 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22 ＜m ＜0.答案：⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0 方法总结对于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若当x ∈[m ，n ]，某不等式恒成立，可参考分离参数或讨论区间求其最值．若是对于某参数的范围下不等式恒成立求x ，可采用转换主元法求解．[题组突破]1．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选项A ，因为a ＜0，－b2a ＜0，所以b ＜0.又因为abc ＞0，所以c ＞0，由图象知f (0)＝c ＜0，故选项A 不可能；选项B ，因为a ＜0，－b2a ＞0，所以b >0.又因为abc >0，所以c ＜0，而f (0)＝c ＞0，故选项B 不可能；选项C ，因为a ＞0，－b2a＜0，所以b ＞0，又因为abc ＞0，所以c ＞0，而f (0)＝c ＜0，故选项C 不可能；选项D ，因为a ＞0，－b2a＞0，所以b ＜0.又因为abc ＞0，所以c ＜0，由图象知f (0)＝c ＜0.答案：D2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)对于一切实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则( )A ．f (2)＜f (1)＜f (4)B ．f (1)＜f (2)＜f (4)C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)解析：因为函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )成立，所以函数图象关于x ＝2对称．又a ＞0，所以f (2)最小， 由2－1＜4－2，得f (1)＝f (3)＜f (4)， 所以f (2)＜f (1)＜f (4). 答案：A3．(2020·山西太原模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：当a ＞0时，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a 2 ＋2－1a ，由f (x )＞0，x ∈(1，4)得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f （1）＝a －2＋2≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≥0 或⎩⎪⎨⎪⎧14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38，所以a ≥1或12 ＜a ＜1或∅， 即a ＞12；当a ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －2＋2≥0，f （4）＝16a －8＋2≥0，解得∅；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， 所以不合题意．综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ .法二：由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1，4)， 得a ＞－2x 2 ＋2x在(1，4)上恒成立．令g (x )＝－2x 2 ＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12 2 ＋12 ， 1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 ，g (x )max ＝12 ， 所以要f (x )＞0在(1，4)上恒成立，只要a ＞12即可． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 4．(母题变式)若将例2函数改为：f (x )的递减区间为[－1，＋∞)，则实数a 如何取值？解析：提示：⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－a －32a＝－1， ∴a ＝－3.5．(母题变式)若将例3改为：“已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1－a 在[0，a ]上的最大值记为g (a )”，求g (a )并求其最大值．解析：∵f (x )＝－(x －1)2＋2－a ，关于x ＝1对称，又∵x ∈[0，a ]，∴当a ≤1时，f (x )在[0，a ]上为增函数，f (x )max ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1－a ＝－a 2＋a ＋1，当a ＞1时，则f (x )max ＝f (1)＝g (a )＝2－a ，∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋a ＋1，a ≤1，2－a ，a ＞1， 当 a ≤1时，g (a )＝－⎝⎛⎭⎪⎫a －12 2 ＋54 ≤54 ， 当a ＞1时，g (a )＝2－a ＜1，∴g (a )的最大值为54 .再研高考创新思维(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1. 若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 ∪{1} D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 ∪{1} 解析：＝－14x ＋a 的法一：如图所示，分别画出两函数y ＝f (x )和y图象．①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况． 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时， 2＝－14 ＋a ，解得a ＝94， 所以0≤a ≤94. ②再研究当x ＞1时，直线y ＝－14 x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况．(ⅰ)相切时，由y ′＝－1x 2 ＝－14 ，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12 ，则a ＝1. (ⅱ)相交时，由图象可知直线y ＝－14 x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x的图象只有一个交点，过点A (1，1)时，1＝－14 ＋a ，解得a ＝54 ，所以a ≥54. 结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 ∪{1}． 法二：当a ＝1时，f (x )＝－14x ＋1， 即2x ＝－14x ＋1， 设y 1＝2x ，y 2＝－14x ＋1，在(0，＋∞)单调性相反， 设g (x )＝2x ＋14x －1，由于g (0)＝－1＜0，g (1)＞0， ∴y 1与y 2的交点在(0，1)，符合题意．令1x ＝－14x ＋1，得x ＝2，符合题意，排除选项AB. 当a ＝54时， 令2x ＝－14 x ＋54， 设h (x )＝2x ＋14 x －54，∴h (0)＜0，h (1)＞0， ∴方程的根在(0，1)，符合题意．令1x ＝－14 x ＋54，得x ＝4或x ＝1(舍)，符合题意． 故排除选项C.答案：D素养升华由单调性求参数已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －a .∀x 1∈[1，5)时，总存在x 2∈[1，5)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则a 的取值范围是( )A ．∅B ．a ≥7或a ≤1C ．a >7或a <1D ．1≤a ≤7解析：由已知得(m －1)2＝1，得m ＝0或m ＝2.当m ＝0时，y ＝x 2，当m ＝2时，y ＝x －2.又y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴y ＝x 2.∴f (x )在[1，5)上的值域为[1，25)，g (x )在[1，5)上的值域为[2－a ，32－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤1，32－a ≥25， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a ≤7，即1≤a ≤7. 答案：D。

第四节二次函数与幂函数2019考纲考题考情1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数。

(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。

顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。

两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。

(2)图象与性质：与二次函数有关的不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0；(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0；(3)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min 。

一、走进教材1．(必修1P 79习题T 1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A ．12B ．1C ．32D ．2 解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1。

又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32。

故选C 。

答案 C2．(必修1P 38B 组T 1改编)函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1，1]，则y 的最小值为________。

解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－32的图象的对称轴为直线x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上为单调递减函数，所以y min ＝2－6＋3＝－1。

答案 －1 二、走近高考3．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b 。

第四节 二次函数与幂函数[考纲传真] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)，顶点坐标为(h ，k )； 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象与性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 (1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质函数特征y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1性质图象定义域 R RR {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和 (0，＋∞)减公共点 (1,1)1．幂函数y ＝x α在第一象限的两个重要结论 (1)恒过点(1,1)；(2)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大． 2．研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[m ，n ](m ＜n )上的单调性与值域时，分类讨论－b2a与m 或n 的大小． 3．二次函数图象对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )(4)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案](1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ． 1C.32D ．2C [∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12， ∴k ＋α＝1＋12＝32.]3.如图是①y ＝x a；②y ＝x b；③y ＝x c在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜bD [结合幂函数的图象可知b ＞c ＞a .]4．(教材改编)已知函数y ＝x 2＋ax ＋6在⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞内是增函数，则a 的取值X 围为( )A ．a ≤－5B ．a ≤5C ．a ≥－5D ．a ≥5C [由题意可得－a 2≤52，即a ≥－5.]5．(教材改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0,3])的值域是________． [－1,3] [∵g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0,3]， ∴当x ＝1时，g (x )min ＝g (1)＝－1， 又g (0)＝0，g (3)＝9－6＝3，∴g (x )max ＝3，即g (x )的值域为[－1,3]．]幂函数的图象及性质1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．] 2.幂函数y ＝x m 2－4m(m ∈Z)的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [由图象可知y ＝xm 2－4m是偶函数，且m 2－4m ＜0，∴0＜m ＜4，又m ∈Z，∴m ＝1,2,3， 经检验m ＝2符合题意．]3．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值X 围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解之得－1≤a ＜23.][规律方法]1求解与幂函数图象有关的问题，应根据幂函数在第一象限内的函数图象特征，结合其奇偶性、单调性等性质研究.2利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.求二次函数的解析式【例1】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________．(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.(1)f (x )＝x 2－2x ＋3 (2)－2x 2＋4 [(1)∵f (0)＝3，∴c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴b2＝1，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)∵f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2， 又f (x )为偶函数，且值域为(－∞，4]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋ab ＝0，2a 2＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，2a 2＝4.∴f (x )＝－2x 2＋4.][规律方法] 求二次函数解析式的方法已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为x ＝2＋－12＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8.∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三(利用零点式)：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数的最大值是8，即4a－2a －1－－a24a＝8，解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.二次函数的图象与性质►考法1 二次函数的单调性【例2】 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值X 围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a ＝－1，∴a ＝－3.]►考法2 二次函数的最值【例3】 求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． [解]f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5；(2)当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a .综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.►考法3 二次函数中的恒成立问题【例4】 (1)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，则实数a的取值X 围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．[－4，＋∞)D ．(－4，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值X 围是________． (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)因为对一切x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，f (x )＞0都成立，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，a＞2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12， 又－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12≤12，则实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)因为函数f (x )＝x 2＋mx －1的图象是开口向上的抛物线，要使对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧fm ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0. 所以实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.] [规律方法] 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.2.由不等式恒成立求参数取值X 围的思路及关键1一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.2两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f x 恒成立⇔a ≥f xmax，a ≤f x 恒成立⇔a ≤f xmin.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值X 围．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f －1＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]．g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1， 故k 的取值X 围是(－∞，1)．。

高考数学一轮复习书目一、集合与常用逻辑用语1.1集合的概念与运算1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1.3简洁的逻辑联结词、全称量词与存在量词二．函数1.1函数及其表示2.2函数的单调性与最值2.3函数的奇偶性与周期性2.4一次函数、二次函数2.5指数与指数函数2.6对数与对数函数2.7幂函数2.8函数的图象及其变换2.9函数与方程2.10函数模型及其应用三、导数及其应用3.1导数、导数的计算3.2导数在函数单调性、极值中的应用3.3导数在函数最值及生活实际中的应用3.4 微积分基本定理四、三角函数、解三角形4.1随意角和弧度制及随意角的三角函数4.2同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式4.3三角函数的图象与性质4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质4.5简洁的三角恒等变换4.6正、余弦定理及其应用举例五、平面对量5.1平面对量的概念及其线性运算5.2平面对量的基本定理及坐标运算5.3平面对量的数量积及其应用六、数列6.1数列的概念与简洁表示法6.2等差数列及其前n项和6.3等比数列及其前n项和6.4数列的通项与求和6.5数列的综合应用七、不等式7.1不等式的概念与性质7.2一元二次不等式及其解法7.3二元一次不等式组与简洁的线性规划问题7.4基本不等式及其应用八．立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图与直观图8.2空间几何体的表面积与体积8.3空间点、直线、平面之间的位置关系8.4直线、平面平行的判定及其性质8.5直线、平面垂直的判定及其性质8.6空间向量及其运算8.7空间向量的应用九、解析几何9.1直线及其方程9.2点与直线、直线与直线的位置关系9.3圆的方程9.4直线与圆、圆与圆的位置关系9.5椭圆9.6双曲线9.7抛物线9.8直线与圆锥曲线的位置关系9.9曲线与方程十．计数原理10.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理10.2排列与组合10.3二项式定理十一、概率与统计11.1事务与概率11.2古典概型与几何概型11.3离散型随机变量及其分布列11.4二项分布及其应用11.5离散型随机变量的均值与方差、正态分布11.6随机抽样与用样本估计总体11.7变量间的相关关系十二、选修部分选修4-4坐标系与参数方程选修4-5不等式选讲十三、算法初步、推理与证明、复数12.1算法与程序框图12.2基本算法语句12.3合情推理与演绎推理12.4干脆证明与间接证明12.5数学归纳法12.6数系的扩充与复数的引入。