1随机事件与概率

第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。

2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。

解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。

两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。

解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。

随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。

统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。

概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。

（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。

（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。

2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。

在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。

样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。

样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。

3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。

事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。

基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。

两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。

空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。

①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。

事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。

（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。

第一章随机事件与概率§1.1 随机事件一、基本概念1．随机现象：预先不能断定结果的现象（有多种结果）投掷硬币、抽取牌张、观察天气、测量潮位、射击目标、顾客到来、考试排座、交通事故2．随机试验：对随机事件进行实验或观察，简称试验。

有的是人为设置，有的是必须经历。

通常所指的试验具有以下2个特征：（1）可以重复进行；（2）事先明确所有基本结果3．随机事件：试验的某种结果，事前不能确定，事后可观察到是否发生，简称事件（是个判断句）以、、，…等表示。

例1教师任取一个学号（随机），请对应的学生回答问题，站起来的可能“是男生”，“是女生”，“是戴眼镜的学生”，“是穿红衣服的学生”，“是高个子”，“是体重在60公斤以上的”“是叫张华的学生”——这些都是随机事件。

4．基本事件：不能再分解的“最简单”的事件，试验中各种最基本的可能结果。

例2在52张扑克牌中，任取一张，=“抽到◇”，=“抽到K”都是事件，其中可分解为13个最基本的结果，可分解为4个。

5．样本点：即基本事件，记为。

随机事件是某些基本事件（样本点）构成的集合。

6．样本空间：样本点的全体，即全集，记为Ω。

如投币：Ω={正，反} 抽牌：Ω=随机事件都是样本空间的子集。

例1中抽到任何一张◇，都认为已发生，类似地，抽到任何一张牌，都认为Ω已发生。

7．必然事件：试验中必然发生的事件，即Ω。

如投币：Ω=“正面朝上或反面朝上”。

抽牌：Ω=“抽到一张牌”。

8．不可能事件：试验中不可能发生的事件，是一个空集，记为。

如投币：=“正面朝上且反面朝上”。

抽牌：=“抽到一张电影票”。

例3在一批灯泡里，任取一只测试它的寿命（1000～3000小时）：（1）试述一个事件；（2）指出一个样本点；（3）指出样本空间。

二、事件的关系与运算事件是集合，可以进行集合的运算，要求除了会用集合的语言表述外，还要会用事件的语言表述，并且着重于后者。

1．包含关系（或）集合语言：A中的样本点，全在内。

随机事件与概率的计算知识点总结随机事件与概率是数学中的重要概念，在许多实际应用中得到广泛的运用。

下面将对随机事件与概率的计算知识点进行总结。

一、随机事件的基本概念随机事件指的是在一定条件下，结果具有不确定性的事件。

随机事件可以用集合论中的概念进行描述，即事件是样本空间中的一个子集。

二、事件的概率计算事件的概率是指某个事件发生的可能性大小。

概率的计算可以通过频率和几何概率方法进行。

1. 频率法频率指的是在重复实验中，某一事件发生的次数与总实验次数之比。

频率法计算概率的基本步骤是：进行大量实验，记录事件发生的次数，然后计算事件发生的频率。

2. 几何概率法几何概率是指事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。

几何概率计算的基本原理是：事件发生的可能性与事件所占的样本空间的面积成正比。

三、常用概率计算公式在概率计算中，有一些常用的公式可以帮助我们计算事件的概率。

1. 事件的互斥与对立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，对立事件则指的是两个事件中一个事件发生时，另一个事件一定不发生。

对于互斥事件，可以使用加法法则计算概率；对于对立事件，可以使用减法法则计算概率。

2. 事件的独立性与条件概率事件的独立性指的是两个事件的发生与否互不影响，可以独立计算概率。

条件概率指的是在另一个事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。

四、排列与组合的计算在随机事件与概率的计算中，常常需要用到排列与组合的计算方法。

1. 排列排列是指从若干个元素中取出一部分并按照一定的顺序排列的方式。

排列的计算可以使用阶乘的方法进行。

2. 组合组合是指从若干个元素中取出一部分并不考虑顺序的方式。

组合的计算可以使用组合数的方法进行。

五、事件的加法与乘法规则在复杂事件的计算中，我们需要使用事件的加法与乘法规则。

1. 加法规则加法规则指的是对于两个不互斥事件的概率，可以通过将两个事件的概率相加来计算它们的并集概率。

2. 乘法规则乘法规则指的是对于两个独立事件的概率，可以通过将两个事件的概率相乘来计算它们的交集概率。

概率1 随机事件与概率①有限样本空间与随机事件(1)我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示，我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为E试验的样本空间.用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果结果ω1 ,ω2 ,… ,ωn则称样本空间Ω= {ω1 ,ω2 ,… ,ωn}为有限样本空间.(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件成为基本事件.随机事件一般用大写字母A ,B ,C ,…表示.②各种事件必然事件，不可能事件，随机事件.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件.(1)“3件都是二级品”是什么事件？(2)“3件都是一级品”是什么事件？(3)“至少有一件是一级品”是什么事件？解：(1)因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.(2)“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.(3)“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品.③事件的关系和运算一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件A包含于事件B，记作A⊆B；一般地，事件A与事件B至少有一个发生，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A+B).一般地，事件A与事件B同时发生，我们称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB).一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容).一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=∅，则称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A̅.④古典概型(1) 古典概型的特点有限性：样本空间的样本点只有有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等.(2) 古典概型事件A的概率P(A)=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数⑤概率的基本性质性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；性质3 若事件A与事件B互斥时，则P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4 若事件A与事件B对立事件，则P(B)=1−P(A) ,P(A)=1−P(B)性质5 如果A⊆B那么P(A)≤P(B)性质6 设A ,B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)【题型一】对各种事件、事件的关系和运算的理解【典题1】从5位男生和2位女生共7位同学中任意选派3人，属必然事件的是()A．3位都是女生B．至少有1位是女生C．3位都不是女生D．至少有1位是男生【典题2】从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是() A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球【典题3】如果事件A，B互斥，记A ,B̅分别为事件A，B的对立事件，那么()A．A∪B是必然事件B.A⋃B̅是必然事件C. A与B̅一定互斥D. A与B̅一定不互斥【题型二】求古典概型【典题1】先后投掷两枚骰子，出现的点数记作 (m ,n)，设 X=m+n．(1)求m=n 的概率；(2)试列举出X≤6的所有可能的结果;(3)求 X≤3 或X>6的概率．【典题2】任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为.【典题3】一个正方体，它的表面涂满了红色．在它的每个面上切两刀可得27个小立方块，从中任取两个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 .【典题4】 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是 .【题型二】概率的基本性质【典题1】有一个公用电话亭，里面有一部电话，在观察使用这部电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，且P(n)与时刻t 无关，统计得到P(n)={(12)n ⋅P(0) ,1≤n ≤60 ,n ≥7，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0)的值是 ．【典题2】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？ 巩固练习1(★) 将一根长为a 的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是( ) A ．必然事件 B ．不可能事件 C ．随机事件 D ．不能判定2(★) 在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是( ) A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上选项均不正确3(★) 下列每对事件是互斥事件的个数是( )(1)将一枚均匀的硬币抛2次，记事件A ：两次出现正面；事件B ：只有一次出现正面 (2)某人射击一次，记事件A ：中靶，事件B ：射中9环(3)某人射击一次，记事件A ：射中环数大于5；事件B ：射中环数小于5． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4(★) 袋中有白球2个，红球3个，从中任取两个，则互斥且不对立的两个事件是( ) A ．至少有一个白球；都是白球 B ．两个白球；至少有一个红球 C ．红球、白球各一个；都是白球 D ．红球、白球各一个；至少有一个白球5(★) 设M 、N 为两个随机事件，如果M 、N 为互斥事件，那么( ) A ．M ∪N 是必然事件 B ．M ∪N 是必然事件 C ．M 与N 一定为互斥事件 D ．M 与N 一定不为互斥事件6(★) 已知一次试验，事件A 与事件B 不能同时发生且A ，B 至少有一个发生，又事件A 与事件C 不能同时发生．若P (B)0.6=，P (C)0.2=，则()(P A C = )A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.37(★) 先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P 1,P 2,P 3，则( )A ．P 1=P 2<P 3B ．P 3<P 2<P 1C ．P 3=P 1<P 2D ．P 3=P 1>P 28(★★) 从集合A ={－1,12,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ={12,32,2}中随机选取一个数记为a ，则a k >1的概率为( ) A ．13B ．23C ．79D ．599(★) [多选题]抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A = “至少一枚点数为1”， B = “两枚骰子点数一奇一偶”， C = “两枚骰子点数之和为8”， D = “两枚骰子点数之和为偶数”．判断下列结论，正确的有( ) A ．A B ⊆B ．B ，D 为对立事件C ．A ，C 为互斥事件D ．A ，D 相互独立10(★) 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数，设“出现3点”、“出现6点”分别为事件A 、B ，已知P(A)=P(B)=16，则出现点数为3的倍数的概率为 ．11(★) 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅰ、Ⅰ 构成，射手命中Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ的概率分别为0.25、0.20、0.35，则不命中靶的概率是 ．12(★) 事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A)= ．13(★) 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种可能性大小相同，那么三辆汽车经过这个十字路口，至少有两辆车向左转的概率为 ．14(★★) 若连掷两次骰子，分别得到的点数是m 、n ，将m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|2||2|2x y -+-内的概率是 ．15(★★) 如图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个顶点，在格点中任意放置点C ，恰好能使其构成△ABC 且面积为1的概率是 ．16(★) 抛掷一枚均匀的骰子，事件A 表示“朝上一面的点数是偶数”，事件B 表示“朝上一面的点数不超过4 ”，求P(A ∪B)．17(★★) 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：乘坐站数x0<x≤33<x≤66<x≤9票价(元)123现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的．(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．。

第一章 随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类： 一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。

这类现象称为确定性现象。

另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。

这类现象称为随机现象。

随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。

随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1 随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E 表示。

举例如下：E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果； （2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现； （3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。

样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{}ω=Ω。

上面试验对应的样本空间：{}T H ,1=Ω；{}TT TH HT HH ,,,2=Ω； {}2,1,03=Ω；{}6,5,4,3,2,14=Ω； {} ,4,3,2,1,05=Ω；{}06≥=Ωt t 。

注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件试验E 样本空间Ω的子集称为E 的随机事件，简称事件，通常用大写字母A ，B ，C ,…表示。

第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。

2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。

二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。

（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。

2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。

1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。

2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。

一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。

3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。

用Ω表示。

样本空间是必然事件。

4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。

1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。

2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。

3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。

4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。

5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。