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第十二章 实数

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第十二章 实数知识梳理1. 为什么学平方根、立方根：2. 算术平方根的概念：3. 算术平方根具有非负性：4. 平方根的概念：5. 平方根的特性：6. 开平方：7. 立方根概念：8. 立方根的特性：9. 开立方： 10. 实数的意义： 11. 实数的分类：12. 实数范围内求相反数、倒数、绝对值： 13. 实数与数轴上的点是一一对应的： 14. 分数指数幂知识归纳一.实数的概念： 1.数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x ≥0）常见的非负数有：实数无理数(无限不循环小数)0 (有限或无限循环性数) 整数分数 正无理数 负无理数 0 实数 负数整数 分数 无理数有理数正数整数 分数 无理数有理数│a │2a a (a ≥0)(a 为一切实数)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

二.实数的运算 (1)加法同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。

取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。

(2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⋅=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab(4)除法)0(1≠⋅=b b a b a (5)乘方个n na aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3=a ，那么x a =3在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面． 3．实数的运算律(1)加法交换律 a+b ＝b+a(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．一.填空题1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+b+1 ＝0，则实数（a+b ）的相反数3.数－3．14与－Л的大小关系是4.和数轴上表示数－3的点A 距离等于2．5的B 所表示的数是5.数轴上点A 表示数－1，若AB ＝3，则点B 所表示的数为6.已知x<0,y>0，且y<|x|，用"<"连结x ，－x ，－|y|，y 。

7.最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？ 8.绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？ 9.把下列语句译成式子：（1）a 是负数 ；（2）a 、b 两数异号 ； （3）a 、b 互为相反数 ；（4）a 、b 互为倒数 ；(5)x 与y 的平方和是非负数 ； （6）c 、d 两数中至少有一个为零 ； （7）a 、b 两数均不为0 。

10.0的相反数是 ，3－л的相反数是 ，3－8 的相反数是 ；－л的绝对值是 ，0 的绝对值是 ， 2 － 3 的倒数是 11.数轴上表示-3.2的点它离开原点的距离是 。

12.A 表示的数是－12 ，且AB ＝13，则点B 表示的数是 。

13.－33 ,л,(1－ 2 )º,－227 ,0．1313…,2cos60º, －3－1,1．101001000… (两1之间依次多一个0),中无理数有 ，整数有 ，负数有 。

14.若a 的相反数是27，则｜a|＝ ；5．若|a|＝ 2 ，则a=15.若实数x ，y 满足等式（x ＋3）2＋｜4－y ｜＝0，则x ＋y 的值是 16.一个正数的算术平方根与立方根是同一个数，则这个数是 .17.小红做了棱长为5cm 的一个正方体盒子，小明说：“我做的盒子的体积比你的大218 cm 3。

”则小明的盒子的棱长为 cm.1875-的绝对值是 ， 的倒数是7119一个数的平方等于49，则这个数是 . 20.16的算术平方根是 ，平方根是 .21.如果一个数的算术平方根是5，则这个数是 ，它的平方根是22.一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。

23.若53-=x ，则=x ，若，52=x 则=x24.满足73 x -的所有整数x 是 。

25.用“ ”“≤”或“＝”连接1_______316,6______27,43_____34+。

26当x 时，x 32-有意义；当x 时，352+x 有意义。

27.数轴上的点与 一一对应。

28.将坐标平面上的点()2,5-A 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，A 点的坐标为 。

29.绝对值最小的实数是 ，绝对值小于3的整数是 。

30.估计92在整数 之间。

31.在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为()3,2-、()0,5，则△OAB 的面积为 。

32.实数a 在实轴上的位置如图2，化简()()=-+-2213a a 。

33.= ； 3.1416π-的绝对值是 ；的相反数是 ；34.若a a =，则a ；若1aa=，则a ；若a =a = ；35.62-= ； = ；2= ； 36.比较下列各数的大小(填“>”、“=”或“<”)① ② 2(2)- ③；④； ⑤ ⑥ π． 37.一个正方形的面积变为原来的25倍，那么它的周长变为原来的 倍38.五块同样大小的正方形木板，总面积是11.25平方米，木板每边长 。

39.23-的相反数是 ，绝对值是 .40.写出两个无理数，使它们的和为有理数 ；写出两个无理数，使它们的积为有理数 .41.计算：=--327 ，()=-338 ，()383-= .42.若()233-=a ，则a ＝ ，若33-=x ，则x ＝43.ab 33（0<a ）的值是 ＿＿＿＿()()=-⋅+200420032323＿＿＿＿44.实数a 、b 满足.053=-+-b a 则a = ＿＿＿ ，b= ＿＿＿45.要在一块长方形的土地上做水稻田间试验，其长是宽的3倍，且面积是1323平方米，则长为 米，宽为 米.46.物体的高度h （米）与所需时间t （秒）满足)8.9(212==g gt h ,若一个物体从高度为122.5米的建筑物上落到地面上，需要 秒. 47.如果162=x ，那么_____=x ；48.144的平方根是______，64的立方根是_______； 49._____2516=±，_____814=-，____104=，_____106=-； 50.______287169=，_____8333=，_____643=--； 51.要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米； 52.5-的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________； 53. 化简:8125= , 810--= , 51= ； 54. ____________数和数轴上的点一一对应； 55.=0144.0_________;=-327102__________;=+∙632__________，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323____________，()()_______2525=+-；56.比较大小5-______6-，14.3_______π，213-______ 21； 57.如图，CA ⊥AB ，AB=12，BC=13，DC=3，AD=4，则四边形ABCD 的面积为__________；58.若492=x ，则x =______，若64)1(3=-x ，则x =______； 59.______的倒数是21-.60.如果0)6(42=++-y x ，那么=+y x ；61.若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______3=++cd b a ； 62.已知x 、y 满足0242422=+-++y x y x ，则_______16522=+y x ； 63．如右图：以直角三角形斜边为边的正方形面积是 ； 64．有理数包括整数和 ；有理数可以用 小数和 小数表示；F65． 叫无理数；66．无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数； 67．请你举出三个无理数： ；68．在棱长为5的正方体木箱中，想放入一根细长的铁丝，则这根铁丝的最大长度可能是 ；69．已知032=++-b a ，则______)(2=-b a ；70．若01)1(2=++-b a ，则_____20052004=+b a；71．当_______x 时，32-x 有意义； 72．当_______x 时，x-11有意义；73．9的算术平方根是 ，16的算术平方根是 ；74．已知0113=-++b a ，则_______20042=--ba ； 75．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 76．当10≤≤x 时，化简__________12=-+x x ; 77．当________x 时，式子21--x x 有意义； 78．计算：______1112=-+-+-x x x ；79．210-的算术平方根是 ，0)5(-的平方根是 ； 80．若a a -=-2)2(2，则a 的取值范围是 ； 81．若06432=+++-++z y x x y x ，则____=yxz； 82．如果a 的平方根等于2±，那么_____=a ；83．已知x 、y 满足0242422=+-++y x y x ，则_______16522=+y x ；84．计算：_______10_________,112561363=-=--； 85．3-是 的平方根，3-是 的立方根； 86．20041-的立方根是 ，2004)1(-的立方根是 ；87．若33-x 有意义，则x 的取值范围是 ； 88．若02733=+-x ，则______=x ；89．64的平方根是 ，64的立方根是 ；90．81-的立方根是 ，125的立方根是 ； 91．若某数的立方根是027.0-，则这个数的倒数是 ；92．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，则______322=++cd b a ； 二.选择题1.下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负； （2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；（3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值大；（4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定不等于零，其中错误的命题的个数是（ ） （A ）1 个 （B ）2 个 （C ）3个 （D ）4个 2．近似数1.30所表示的准确数A 的范围是（ ）（A ）1.25≤A ＜1.35 （B ）1.20＜A ＜1.30 （C ）1.295≤A ＜1.305 （D ）1.300≤A ＜1.305 3．设a 为实数，则|a+|a||运算的结果（ ） （A ） 可能是负数（B ）不可能是负数（C ）一定是负数（D ）可能是正数。

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第12章 《实数》小练习及答案

第12章 《实数》小练习及答案

第十二章《实数》小练习一、填空1、36的平方根是____；根号十六的算术平方根是_____；2、8的立方根是____；-27的三次根号=____；3、7的三次根号的相反数是____；绝对值等于根号三的数是____；4、2的根号三的倒数的平方是____，2的立方根的倒数的立方是____。

5、2-根号三的绝对值是________，根号131-11的绝对值是________。

6、9的平方根的绝对值的相反数是____。

7、根号2+根号三的相反数是________，根号2根号3的相反数的绝对值是________。

8、根号2-根号7的绝对值与根号7-根号2+根号6的相反数之和的倒数的平方为_______。

9、把下列各数分别填入相应的集合里负根号12,0,七分之二十二，三次根号-125，0.1010010001……，根号十的负二次方，0.3 3循环，-二分之派有理数集合：________________________________________无理数集合：________________________________________负实数集合：________________________________________二、比较数的大小（1）二的根号三与三的根号二（2）根号六-根号五与根号七-根号六三、化简（1）| 1-根号二|+|根号二-根号三|+|根号三-2|(2)（根号X平方加4X+4 ）+（根号X平方加2X加1）-（根号X平方-8X+16）四、解答题（1）已知a,b是实数，且有|a-根号3+1|+（b+根号2）²=0求a,b的值（2）若|2X+1|与根号八分之一+4X互为相反数，则-xy的平方根的值是多少？（3）已知a,b为有理数，且（3-2的根号3）²=a+b根号三，求a+b的平方根答案：填空1、±6；22、2:；-33、三次根号7；±根号三4、十二分之一5、2-根号三；根号131-116、-37、根号三- 根号二8、六分之一9、略比较大小（1）二的根号三＜三的根号二（2）根号六- 根号五＞根号七- 根号六化简（1）1 （2）3x-1解答题（1）a=根号三- 1 b= 负根号2 （2）8 （3）±3。

第12章实数章节压轴题解题思路分析(原卷版)

第12章实数章节压轴题解题思路分析(原卷版)

第12章实数章节压轴题解题思路分析模块一：实数的运算1．（2021·上海九年级专题练习）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③2．（2021·上海九年级专题练习）如图，若x=2211(1)x xx x-+÷-的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④3．（2018110311)(64)5-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭4．（2018·上海普陀区·期中）（1）把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：（2）观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：211=n -____________________________________________________ （3）利用上述规律计算下式的值：22222111111111123499100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⋯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5．（2021·上海九年级专题练习）如果把一个奇数位的自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排列，与从个位到最高位依次排列出的一串数字完全相同，相邻两个数位上的数字之差的绝对值相等（不等于0），且该数正中间的数字与其余数字均不同，我们把这样的自然数称为“阶梯数”，例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，且|1﹣2|=|2﹣3|=|3﹣2|=|2﹣1|=1，因此12321是一个“阶梯数”，又如262，85258，…，都是“阶梯数”，若一个“阶梯数”t从左数到右，奇数位上的数字之和为M，偶数位上的数字之和为N，记P（t）=2N﹣M，Q（t）=M+N．（1）已知一个三位“阶梯数”t，其中P（t）=12，且Q（t）为一个完全平方数，求这个三位数；（2）已知一个五位“阶梯数”t能被4整除，且Q（t）除以4余2，求该五位“阶梯数”t的最大值与最小值．6．（2021·上海九年级专题练习）概念学习规定：求若干个相同的实数（均不为0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，类比实数的乘方，我们把222÷÷记作2③，读作“2的圈3次方”，一般地，把n 个(0)a a ≠相除记作a ，读作“a 的圈n 次方” 初步探究计算：（1）2④；（2）1()3-③．深入思考我们知道，实数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，实数的除方也可以按照下面的方法转化为乘方运算．例如：31111112=22=()222228÷÷2÷2÷22⨯⨯⨯⨯==⑤．参考上面的方法，完成下列各题：（3）计算：=⑥ ，31()24-÷=④ ；（4）已知：2(5)105-=，求n 的值．模块二：分数指数幂1．（2018·上海杨浦区·七年级期末）用幂的运算性质计算：1112361322427-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（结果表示为含幂的形式）2．（2019·上海浦东新区·）已知11223x x -+=，求1x x -+3．（2019·全国七年级课时练习）已知x =√3y =√33，求 [x−32•y(xy −2)−12•(x −1)23]2的值 ．4．（2019·全国七年级课时练习）已知11223x x-+=求33222232x x x x --+-+-的值.5．（2019·全国七年级课时练习）已知11223a a -+=，求下列各式的值: 11a a -+（）222a a -+（），33223a a -+(）6．（2019·全国七年级课时练习）利用幂的性质计算：（1 （27．（2019·全国七年级课时练习）计算：（1 （2）1225232---+（3）1029()25- （4）111322882-⨯（5）1112444111()()()242a a a -⋅+⋅+ （6）1521116636323(2)(4)x y x y x y ÷-⨯（7）111232648()[(]27--⨯--+ （8）11222[(23)(2]-+8．（2019·全国七年级课时练习）已知：a =b =43233253343a bb a b-+的值.9．（2019·全国七年级课时练习）化简：(1)√x(√x 2)23(2)√a √a √a 43(a >0)(3) (2a −12+3b 14)(2a−12−3b 14)+9√b (4)a+ba 23−a 13b 13+b 23+a−ba 23+a 13b 13+b 23(5)x−1x 23+x 13+1+x+1x 13+1−x−x 13x 13+1（6）(x+1x )2−[x +1x−11−x−1x]2÷x 2+1x 2−x−1x+3x 2+1x 2−2x−2x +3。

七年级数学下册第十二章第3节实数的运算教案1沪教版五四制【精品教案】

七年级数学下册第十二章第3节实数的运算教案1沪教版五四制【精品教案】

实数的运算理解实数的运算法例、性质温次序并能依据有关知识进行实数运算；教课目的会利用平方根意义化简根式；掌握实数的加法、减法、乘法、除法，开方、乘方的运算；要点：实数的运算由本来的有理数的五种运算扩大到实数的六种运算；要点、难点难点：有理数的运算法例，运算次序，运算性质在实数中相同合用.教课内容一、【课前导入】问题 1：有理数的五种运算是有哪些？问题 2：实数的运算包含六种，比较划分有理数的运算与实数的运算的联系与差别？二、【实数的运算】【要点解说】实数之间不单能够进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算、并且正数及0 能够进行开平方运算，随意一个实数能够进行开立方运算；在进行实数运算时，和有理数运算相同，要从高级到初级，即先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要依据从左至右的次序进行；实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算的意义，与有理数运算的意义相同。

开方与乘方是同级运算。

例 1、不用计算器，计算：（ 1） 2 7 3 7 7 ；（ 2）2×3÷1；2（ 3）( 2)3；（ 4）(3 2 3)÷3。

【 (1) = 4 7 ；(2) 2 ×3 ÷1= 2 3 (平方根的意义)2(3) = 2 2 （幂的运算性质）；(4）= 3 2】【变式】不用计算器，计算：(1) 2 6 3 6 4 6 ;(2) 52 2 2 2 5;1(3) 5( 52) ;(4)( 5) 2 ( 13 ) 2 3 125;5【注意】关于波及无理数的实数运算，假如没有指明运算结果保存几位小数，那么往常是利用实数的运算法例和 运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式，如23，2 3 。

有理数的运算法例、运算律、运算 性质以及运算次序在进行实数运算时相同合用。

【实数运算中的常用公式】 1、设 a ＞ 0， b ＞ 0，可知( ab) 2 (a ) 2(b) 2=a ×b=ab.2、aba b ,3、a a .bb问题：这两个等式中， a 、 b 能够为 0 吗？4、平方差公式： _____________________________.5、完整平方公式： ____________________________________.例 2、不用计算器，计算：(1)( 3)2 ( 7 )2 ;(2)( 3)9( 3) 7 ;(3) ( 2 3 2 3 3 )3 ;(4)( 32) 2( 32 ) 2 .【 1)( 3)2 ( 7)2 9 7 16 4; ； 2) ( 3)9( 3)7 ( 3)9 7 (3)2 3; 3)( 2 3 2 3 3) 34)( 32 )2 (3 2 )2 ( 2 3 3 3 2) 3[( 3 2) ( 3 2)] 2( 3 2)3；[( 3 )2( 2)2 ] 2】3 3 2 3(3 2)23 2312例 3、 . 不用计算器，计算：(1) ( 36 )( 36 ) ;(2) ( 3 2 2 )2 ;(3) ( 2 )3( 23) 2 ;(4)( 1 ) 2 ( 10) 2 ;4【变式】计算： 1）(1) 1520 ;2)( 3 2)2 ( 21) 0;3 13)( 5 1) 2( 5 1) 24）(6 )2( 3)2( 3) 2 (5) 2;二、【稳固训练】1、不用计算器，计算：（ 1） 3 2 5 2 7 2 2 2（ 2）33 5 3 1 3 5 324 4 23（ 3）65 3 3 2 15（ 5）56 2 15152（ 7）2 1（ 9）310001003 0.001363（ 11）553（4）1032 10322（ 6） 102 522（ 8） 3 13 1（ 10）10 43 10310 23 1032（ 12）212 23（ 13）40 ×10（14）1255222（ 15） 15 315 3 （ 16） 25 2542、如图，在一个边长为2 3 2 的正方形内部，挖去一个长为5 1 ，宽为5 1 的长方形，求节余部分的面积。

沪教版数学七年级下册第十二章《实数》单元复习教学设计

沪教版数学七年级下册第十二章《实数》单元复习教学设计

沪教版数学七年级下册第十二章《实数》单元复习教学设计一. 教材分析沪教版数学七年级下册第十二章《实数》是学生在初中阶段首次系统接触实数的概念和相关性质。

本章主要包括实数的定义、分类、运算和实数与数轴的关系等内容。

通过本章的学习，学生需要掌握实数的基本概念，了解实数的分类和性质，能够进行实数的运算，并能够将实数与数轴相结合，从而更好地理解和应用实数。

二. 学情分析学生在进入七年级下册之前，已经学习了有理数的概念和运算，对数学中的一些基本概念和运算规则有一定的了解。

但是，对于实数这一全新的概念，学生可能存在一定的困惑和难度。

因此，在教学过程中，需要注重实数概念的引入和解释，以及实数运算的实践和应用。

三. 教学目标1.了解实数的概念和分类，掌握实数的性质。

2.能够进行实数的运算，包括加法、减法、乘法、除法等。

3.理解实数与数轴的关系，能够将实数在数轴上表示出来。

4.能够运用实数的概念和运算解决实际问题。

四. 教学重难点1.实数的概念和分类，特别是无理数和负实数的概念。

2.实数的运算规则，特别是乘除法的运算规律。

3.实数与数轴的关系，以及如何在数轴上表示实数。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和引导学生思考，激发学生的学习兴趣和主动性。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图像的展示，帮助学生更好地理解实数的概念和性质。

3.注重实践操作，通过数轴的绘制和实数的运算，让学生直观地感受实数与数轴的关系。

六. 教学准备1.多媒体教学设备，包括投影仪和计算机。

2.教学课件和教案。

3.数轴的教具和实数的运算练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题和引导学生思考，引发学生对实数的兴趣和好奇心。

例如，可以提出“你在生活中遇到过无法用整数表示的数量吗？”等问题，让学生思考和讨论。

2.呈现（10分钟）使用多媒体课件，介绍实数的概念和分类。

通过动画和图像的展示，帮助学生直观地理解实数的概念和性质。