广东省七校联合体2021届高三第一次联考数学试题 Word版含答案

2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣804．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3 C ．20√5π3D ．64√2π36．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．27．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．68．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π311．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 9＝S 17，则下列说法正确的是（ ） A ．a 8＝0B ．a 9＝0C ．a 1＝S 16D ．S 8＞S 1012．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ ．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ ．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 ．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{1a 2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD =√2，BC ＝2√2，P A ＝1． （1）求证：AB ⊥PC ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．2021-2022学年广东省东莞市七校高三（上）联考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3}B ．{0，1，2，3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}【解答】解：∵集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ．2．（5分）已知z ＝1﹣i ，则z(z +2i)=（ ） A ．2+iB ．2﹣iC ．﹣2iD ．2i【解答】解：∵z ＝1﹣i ，∴z(z +2i)=（1+i ）（1﹣i +2i ）＝（1+i ）2＝2i ． 故选：D ．3．（5分）二项式(2x −√x)5展开式中，x 3的系数等于（ ） A ．10B ．﹣10C ．80D ．﹣80【解答】解：由于二项式(2x −√x)5展开式的通项公式为T r +1＝C 5r •（2x ）5﹣r(−√x)r =（﹣1）r •25﹣r C 5r x 5−r2，令5−r2=3，解得r ＝4，∴展开式中x 3的系数是（﹣1）4•25﹣4C 54＝10．故选：A ．4．（5分）6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有（ ） A ．30种B ．144种C ．5种D ．4种【解答】解：这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的3名同学，有A 33种排法，出现4个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A 33A 43＝144种排法， 故选：B ．5．（5分）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（ ） A ．5√5π6B ．8√2π3C ．20√5π3D ．64√2π3【解答】解：圆柱的轴截面是边长为2的正方形，其外接圆的半径为√2， 则圆柱的外接球的半径为√2，可得该圆柱的外接球的体积为V =43π×(√2)3=8√2π3． 故选：B ．6．（5分）若tan α＝3，则1+cos2αsin2α=（ ）A ．−12B ．13C ．±13D ．2【解答】解：∵tan α＝3，则1+cos2αsin2α=2cos 2α2sinαcosα=cosαsinα=1tanα=13，故选：B ．7．（5分）已知双曲线C 的离心率为√3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为4√2，则双曲线C 的实轴长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6【解答】解：由题意知，点P 在右支上，则|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝3|PF 2|， ∴|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，又e =ca =√3，∴|F 1F 2|=2c =2√3a ，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=9a 2+a 2−12a 22⋅3a⋅a =−13， ∴sin ∠F 1PF 2=2√23，故S △PF 1F 2=12⋅a ⋅3a ⋅2√23=4√2，解得a ＝2， ∴实轴长为2a ＝4， 故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）={lnxx，x ＞01−x 2，x ≤0，若函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，则（ ）A ．1＜k ≤eB ．−1e＜k ＜0 C ．0＜k ＜1eD ．1e＜k ＜1【解答】解：当x ＞0时，f （x ）=lnx x ，∴f '（x ）=1−lnx x 2， 令f '（x ）＝0，得x ＝e ，∴当x ∈（0，e ）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当x ∈（e ，+∞）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减， 又f （e ）=lne e =1e ，当x ≤0时，f （x ）＝1﹣x 2单调递增，画出函数f （x ）的图像，如图所示，∵函数g （x ）＝f （x ）﹣k 有三个零点，即方程f （x ）﹣k ＝0有三个不等实根， ∴函数y ＝f （x ）与y ＝k 有三个交点， 由图像可知，0＜k ＜1e， 故选：C ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9．（5分）如图所示，在5×5的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →| C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：由图知，四边形OABC 为菱形，选项A ，由平行四边形加法法则知，OB →=OA →+OC →，即A 正确；选项B ，|OA →|＝|OC →|=√17，|OB →|=√34，所以不满足|OA →|＝|OC →|=12|OB →|，即B 错误；选项C ，AC →=OC →−OA →=OC →−（OB →+BA →）=OC →−（OB →−OC →）=−OB →+2OC →，即C 错误；选项D ，因为四边形OABC 为菱形，所以∠AOB ＝∠COB ，且|OA →|＝|OC →|，由平面向量数量积的运算法则知，OA →•OB →=OC →•OB →成立，即D 正确． 故选：AD ．10．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称B ．函数f （x ）的图象关于x =π2直线对称 C ．函数f （x ）在区间[−π3，π6]上单调递增D ．y ＝1与图象y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的所有交点的横坐标之和为8π3【解答】解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象， 可得A ＝2，14×2πω=2π3−5π12，∴ω＝2．结合五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，故f （x ）＝2sin （2x +π6）．令x =−π12，求得f （x ）＝0，可得函数f （x ）的图象关于点(−π12，0)对称，故A 正确； 令x =π2，求得f （x ）＝﹣1，不是最值，故函数f （x ）的图象关不于x =π2直线对称，故B 错误；在区间[−π3，π6]上，2x +π6∈[−π2，π2]，函数f （x ）单调递增，故C 正确；当x∈[−π12，23π12]，2x+π6∈[0，4π]，直线y＝1与图象y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的4个交点关于直线2x+π6=3π2对称．设这4个交点的横坐标分别为a、b、c、d，a＜b＜c＜d，则（2a+π6）+（2d+π6）＝2×3π2，（2b+π6）+（2c+π6）＝2×3π2，故所有交点的横坐标之和为a+b+c+d=8π3，故D正确，故选：ACD．11．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a9＝S17，则下列说法正确的是（）A．a8＝0B．a9＝0C．a1＝S16D．S8＞S10【解答】解：由{a n}是等比数列，得S17=172（a1+a17）＝17a9，又a9＝S17，得a9＝17a9，解得a9＝0，所以选项B正确；由于a8＝a9﹣d，且d≠0，所以a8≠0，选项A错误；由a9＝a1+8d＝0，得a1＝﹣8d，则S16＝16a1+16×152d＝16×（﹣8d）+15×8d＝﹣8d＝a1，所以选项C正确；若该数列a1＜0，d＞0，则当n≤8时，a n＜0，当n＝9时，a n＝0，当n≥10时，a n＞0，此时S8＜S10＝S8+a9+a10，选项D错误；故选：BC．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，下列说法正确的是（）A．对任意点P，DP∥平面AB1D1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为16C ．线段DP 长度的最小值为√62D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3【解答】解：连接DB ，由BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， 得四边形DD 1B 1B 为平行四边形，∴DB ∥D 1B 1，由DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1， 得BD ∥平面AB 1D 1，同理DC 1∥平面AB 1D 1，又BD ∩DC 1＝D ，可得平面DBC 1∥平面AB 1D 1， ∴对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确； V P−A 1DD 1=V C 1−A 1DD 1=13×12×1×1×1=16，故B 正确； 当P 为BC 1中点时，DP ⊥BC 1，此时线段DP 长度的最小值为12+(√22)2=√62，故C正确；当P 在线段BC 1上运动时，DP 长度的最小值为√62，最大值为√2， 则PC 长度的范围为[√22，1]，而P 到平面ADD 1A 1的距离为定值1， 则DP 与平面ADD 1A 1所成角的正切值∈[√22，1]． 最大值小于√3，则不存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为π3，故D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上． 13．（5分）若随机变量X ～B （n ，13），且E （X ）∈N *，写出一个符合条件的n ＝ 3 ．【解答】解：令n ＝3时，则随机变量X ～B （3，13），E （X ）=3×13=1∈N ∗， 故n ＝3，符合题意． 故答案为：3．14．（5分）已知函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，且g （1）＝3，则g （﹣1）＝ 1 ．【解答】解：函数g （x ）＝f （x ）+2，若f （x ）是奇函数，则g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）+2+f （x ）+2＝[f （﹣x ）+f （x ）]+4＝0+4＝4， 所以g （﹣1）＝4﹣g （1）＝4﹣3＝1． 故答案为：1．15．（5分）函数f(x)=1+12x +cosx 在(0，π2)上的单调递增区间是 (0，π6) ． 【解答】解：函数f(x)=1+12x +cosx ，可得f ′（x ）=12−sin x ，令12−sin x ＞0，因为x ∈(0，π2)，所以，解得x ∈(0，π6)， 故答案为：(0，π6)．16．（5分）取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 8 ．（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） 【解答】解：第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为23•13，第三次操作去掉的线段长度之和为23•23•13，……第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1•13，由题意知，(23)n−1•13≥160，则(23)n ≥130， 则nlg 23≥−lg 30＝﹣1﹣lg 3，所以n （lg 2﹣lg 3）≥﹣1﹣lg 3，即n ≤1+lg3lg3−lg2， 又lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771， 可得n ≤8，故n 的最大值为8． 故答案为：8．四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =n 2+3n ，n ∈N *． （1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{1a2n−1⋅a 2n+1}的前n 项和T n ．【解答】解：（1）当n ＝1时，2S 1＝4，∴a 1＝2，当n ≥2时，2S n−1=(n −1)2+3(n −1)，又2S n =n 2+3n ， 两式相减得2a n ＝2n +2，所以a n ＝n +1， 故{a n }的通项公式为a n =n +1(n ∈N ∗)． （2）由（1）知1a 2n−1a 2n+1=12n(2n+2)=14×1n(n+1)=14(1n−1n+1)，∴T n =14[(11−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(1n−1n+1)]=14(1−1n+1)=n 4n+4． 18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a ≥b ．（1）求角B 的值；（2）若A =π6，且△ABC 的面积为4√3，求BC 边上的中线AM 的长． 【解答】解：（1）因为a sin B cos C +c sin B cos A =12b ， 由正弦定理得sin A sin B cos C +sin C sin B cos A =12sin B ，因为sin B ≠0，整理得sin A cos C +sin C cos A =12，即sin （A +C ）=12，得sin B =12，又a ≥b ，所以0＜B ＜π2，可得B =π6．（2）由（1）知B =π6，若A =π6，可得C =2π3， 则S △ABC =12ab sin C =12a 2sin2π3=4√3，所以a ＝4，a ＝﹣4（舍），又在△AMC 中，AM 2＝AC 2+MC 2﹣2AC •MC cos 2π3，所以AM 2＝AC 2+（12AC ）2﹣2AC •12AC cos2π3=42+22﹣2×4×2×（−12）＝28，所以AM ＝2√7．19．（12分）某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投中的概率为34，三步篮投中的概率为45，测试时罚球位上投篮投中得2分，三步篮投中得1分，不中得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮2次． （Ⅰ）求“该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”的概率； （Ⅱ）求该同学的总得分X 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设该同学“罚球位上定位投中”为事件A ，“三步篮投中”为事件B ， “该同学罚球位定位投篮投中且三步篮投中1次”为事件C ， 则P （A ）=34P （B ）=45所以P （C ）=34⋅C 21⋅45⋅15=625；（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，所以P（X＝0）=(1−34)⋅C20⋅(45)0⋅(15)2=1100，P（X＝1）=(1−34)⋅C21⋅45⋅15=8100，P（X＝2）=34⋅C20⋅(45)0⋅(15)2+14⋅C22⋅(45)2=19100，P（X＝3）=34⋅C21⋅45⋅15=24100，P（X＝4）=34⋅C22⋅(45)2=48100，所以X的分布列为：X01234P11008100191002410048100故E（X）＝0×1100+1×8100+2×19100+3×24100+4×48100=3.1，则该同学得分的数学期望是3.1分．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD ＝CD=√2，BC＝2√2，P A＝1．（1）求证：AB⊥PC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为45°，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：由已知得四边形ABCD是直角梯形，由AD=CD=√2，BC=2√2，可得AB＝AC＝2，故△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又P A∩AC＝A，∴AB⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴AB⊥PC．（2）解：取BC的中点E，连接AE，则AE⊥BC，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），C(√2，√2，0)，D(0，√2，0)，P （0，0，1）， B(√2，−√2，0)，PD →=(0，√2，−1)，AC →=(√2，√2，0)， 设PM →=tPD →(0≤t ≤1)， 则点M 为(0，√2t ，1−t)， 所以AM →=(0，√2t ，1−t)，设平面MAC 的法向量是n →=(x ，y ，z)， {AC →⋅n →=√2x +√2y =0AM →⋅n →=√2ty +(1−t)z =0， 令x ＝1，n →=(1，−1，√2t1−t )，又m →=(0，0，1)是平面ACD 的一个法向量，∴|cos〈m →，n →〉|=|m →⋅n →||m →||n →|=|√2t 1−t |√2+(√2t 1−t)=cos45°=√22，解得t =12，即点M 是线段PD 的中点．此时平面MAC 的一个法向量可取n →=(1，−1，√2)，BM →=(−√2，2√2，12)， 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=2√69， ∴BM 与平面MAC 所成角的正弦值为2√69．21．（12分）设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，椭圆的右焦点恰好是直线x +y −√3=0与x 轴的交点，椭圆的离心率为√32． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，过定点N （﹣1，0）的直线与椭圆E 交于C ，D 两点（与点A ，B 不重合），证明：直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值． 【解答】解：（1）∵直线x +y −√3=0与x 轴的交点为(√3，0)，∴c =√3． 又∵e =ca =√32，∴a ＝2， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝1． ∴椭圆E 的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：由（1）可得A （﹣2，0），B （2，0）．由题知过点N （﹣1，0）的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）．联立{x =my −1x 24+y 2=1，整理，得（4+m 2）y 2﹣2my ﹣3＝0，Δ＝4m 2+12（4+m 2）＞0，∴y 1+y 2=2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． 设直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)， 联立两条直线方程，解得x =2⋅y 1(x 2−2)+y 2(x 1+2)y 2(x 1+2)−y 1(x 2−2)①， 将x 1＝my 1﹣1，x 2＝my 2﹣1代入①，得x =2⋅2my 1y 2+(y 1+y 2)−4y 1(y 1+y 2)+2y 1②， 将y 1+y 2=m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2代入②，得x ＝2.−4(m4+m 2+y 1)2(m 4+m 2+y 1)=−4，∴直线AC ，BD 的交点的横坐标为定值﹣4． 22．（12分）已知f （x ）＝lnx +ax （a ∈R ）． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当a ＝1时，若f （x ）≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立，证明：2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．【解答】解：（1）因为f ′（x ）=1x +a （x ＞0）， 当a ≥0时，f ′（x ）＞0，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，若x ∈（0，−1a）时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 若x ∈（−1a，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减， 综上，当a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＜0时，f （x ）在（0，−1a ）上单调递增，f （x ）在（−1a ，+∞）上单调递减． （2）证明：因为lnx +x ≤k （x +1）+b 在（0，+∞）上恒成立， 所以b ≥lnx +x ﹣k （x +1）在（0，+∞）上恒成立， 设g （x ）＝lnx +x ﹣k （x +1）， 所以g ′（x ）=1x +1﹣k （x ＞0），当k ≤1时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，+∞）上单调递增， 此时b ≥g （x ）不恒成立， 当k ＞1时，若x ∈（0，1k−1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，若x ∈（1k−1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减，所以g （x ）max ＝g （1k−1）＝ln1k−1+1k−1−k （1k−1+1）＝﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1，所以b ≥﹣ln （k ﹣1）﹣k ﹣1， 又因为2k+b−2k−1=2+bk−1≥2+−ln(k−1)−k−1k−1=1−ln(k−1)+2k−1， 令t ＝k ﹣1＞0， h （t ）＝1−lnt+2t， 所以h ′（t ）=lnt+1t 2， 当t ∈（0，1e）时，h ′（t ）＜0，h （t ）单调递减， 当t ∈（1e ，+∞）时，h ′（t ）＞0，h （t ）单调递增，所以h （t ）min ＝h （1e）＝﹣e +1，所以2k+b−2k−1的最小值为﹣e +1．。

广东省七校联合体2021届高三第一次联考试卷（8月）理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合，集合，则AB =（ ）A ．(2,3)B ．(1,2)-C ．(3,3)-D ．(1,3)- 2.已知i 为虚数单位，(1)3z i i +=-，则在复平面上复数z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六 大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情 况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差 4. 已知1cos(),63πα+=则sin(2)6πα-=（ ） A ．79-B ．79C ．89D ． 89-5.已知抛物线21:12C y x =与双曲线2222:13x y C a -=的焦点相同，双曲线2C 的离心率为（ ）A. 2B. 6C. 62D. 526.若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，若将其图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．1()sin()26g x x π=+ B ．1()sin()23g x x π=- C ．()sin(2)6g x x π=+D ．()cos 2g x x =7.在直角梯形ABCD 中，4,2AB CD ==，//,AB CD AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则2{|60}A x x x =+->{|13}B x x =-<<()AB AC AE ⋅+=（ ）A ．B ．C ．D ． 8.设函数21()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．9.已知长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB CC ==，长方体的体积是32，则直线1BC 和平面11DBB D 所成角的正弦值为（ ）A.32 B. 52 C. 105 D. 101010.已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（ ）A.83 B.833C.163D.163311.图中长方形的总个数中，其中含阴影部分的长方形个数的概率为（ ）A. 124 B.1235C. 115D. 3121012. 已知数列的前项和为，若为函数的最大值，且满足，则数列的前2019项之积2019A =（ ） {}n a n n S 1a ()()3sin cos f x x x x =+∈R 112n n n n n a a a S a S +-=-{}n aA ．20192B ．C ．D ． 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考数学（理）试题及答案⼴东省七校联合体2021届⾼三第⼀次联考试卷（8⽉）理科数学⼀、选择题：本题共12⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求。

1.已知集合，集合，则AB =（）A ．(2,3)B ．(1,2)-C ．(3,3)-D ．(1,3)- 2.已知i 为虚数单位，(1)3z i i +=-，则在复平⾯上复数z 的共轭复数对应的点位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 3.为⽐较甲、⼄两名⾼中学⽣的数学素养，对课程标准中规定的数学六⼤素养进⾏指标测验（指标值满分为5分，分值⾼者为优），根据测验情况绘制了如图所⽰的六⼤素养指标雷达图，则下⾯叙述正确的是（）A ．⼄的数据分析素养优于甲B ．⼄的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六⼤素养整体⽔平优于⼄D ．甲的六⼤素养中数据分析最差 4. 已知1cos(),63πα+=则sin(2)6πα-=（） A ．79-B ．79C ．89D ． 89-5.已知抛物线21:12C y x =与双曲线2222:13x y C a -=的焦点相同，双曲线2C 的离⼼率为（）A. 2B. 6C. 62D. 526.若函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最⼩正周期为π，若将其图象向左平移12π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．1()sin()26g x x π=+ B ．1()sin()23g x x π=- C ．()sin(2)6g x x π=+D ．()cos 2g x x =7.在直⾓梯形ABCD 中，4,2AB CD ==，//,AB CD AB AD ⊥，E 是BC 的中点，则2{|60}A x x x =+->{|13}B x x =-<<()AB AC AE ?+=（）A ．B ．C ．D ． 8.设函数21()ln1xf x x x+=-，则函数()f x 的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．9.已知长⽅体1111ABCD A B C D -中，14,2AB CC ==，长⽅体的体积是32，则直线1BC 和平⾯11DBB D 所成⾓的正弦值为（）A.32 B. 52 C. 105 D. 101010.已知抛物线2:4C y x =,过焦点F 3的直线与C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ?=（）A.83 B.833C.163D.163311.图中长⽅形的总个数中，其中含阴影部分的长⽅形个数的概率为（）A. 124 B.1235C. 115D. 3121012. 已知数列的前项和为，若为函数的最⼤值，且满⾜，则数列的前2019项之积2019A =（） {}n a n n S 1a ()()3sin cos f x x x x =+∈R 112n n n n n a a a S a S +-=-{}n aA ．20192B ．C ．D ． 1⼆、填空题：本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分。

广东省中山市第一中学等七校2021届高三数学第一次联考试题 理（含解析）新人教A 版【试卷综析】试题比较平稳，大体符合高考温习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，表现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和大体技术的考察，同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察，这套试题以它的知识性、思辩性、灵活性，基础性充分表现了考素养，考基础，考方式，考潜能的检测功能.试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培育学生数学素养的方向进展的作用.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题意要求的。

【题文】1设集合A={2|320x x x -+=}，那么知足A B={0，1，2}的集合B 的个数是( )A 1B 3C 4D 6 【知识点】并集及其运算 A1【答案解析】C 解析：解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，假设A ∪B={0，1，2}，那么0∈B ，那么B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，应选：C 【思路点拨】先求出集合A 元素，依照集合关系和运算即可取得结论 【题文】2.i 为虚数单位，复平面内表示复数z=(1+i )(2+i )的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义L4【答案解析】A 解析：解：复数z=（1+i ）（2+i ）=2+3i ﹣1=1+3i ，复数对应点为（1，3）．在第一象限．应选A【思路点拨】化简复数为a+bi 的形式，然后求出复数的对应点所在象限即可【题文】3．“1a =”是“函数ax sin ax cos y 22-=的最小正周期为π”的（ ） A ．必要不充分条件 B ． 充分没必要要条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件【知识点】三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判定A2,C3 【答案解析】A 解析：解：解：函数y=cos2ax ﹣sin2ax=cos2ax ，它的周期是，a=±1显然“a=1”可得“函数y=cos2ax ﹣sin2ax 的最小正周期为π”后者推不出前者，应选A ． 【思路点拨】化简y=cos2ax ﹣sin2ax ，利用最小正周期为π，求出a ，即可判定选项．【题文】4.右图是一容量为100的样本的重量的频率散布直方图，那么由图可估量样本重量的中位数为（ ） A ．11 B ．11.5 C ．12 D ．12.5 【知识点】众数、中位数、平均数K8【答案解析】C 解析：解：由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，由于[10，15]的组中值为12.5，因此由图可估量样本重量的中位数12． 应选：C【思路点拨】由题意，[5，10]的样本有5×0.06×100=30，[10，15]的样本有5×0.1×100=50，结合[10，15]的组中值，即可得出结论．【题文】5.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A ．5B ．7C ．9D ．11【知识点】程序框图L1【答案解析】C 解析：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3； 第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5； 第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7； 第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9； 现在不知足条件S ＜20，程序运行终止，输出k=9． 应选：C ．【思路点拨】依照框图的流程依次计算运行的结果，直到不知足条件S ＜20，计算输出k 的值【题文】六、由曲线23,y x y x ==围成的封锁图形的面积为（ ）A．712B．14C ．13D．112【知识点】定积分在求面积中的应用B13【答案解析】D解析：解：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封锁图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，应选D【思路点拨】要求曲线y=x2，y=x3围成的封锁图形面积，依照定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx 即可【题文】7．已知O是坐标原点，点()1,0A-，假设()y xM,为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212yxyx上的一个动点，那么OA OM+的取值范围是（）A []51，B[]52，C[]21，D[]50，【知识点】简单线性计划E5【答案解析】A解析：解：+=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），那么|+|=，设z=|+|=，那么z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，由约束条件作平面区域如图，由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=，当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，1≤z≤，即|+|的取值范围是[1，]，应选：A【思路点拨】由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M（x，y）到定点N （1，0）的距离，数形结合可得答案．【题文】8．关于集合A ，若是概念了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间知足以下4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=；（ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=；（ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕， 那么称集合A 关于运算“⊕”组成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为一般加法；②{}A =复数，运算“⊕”为一般减法；③{}A =正实数，运算“⊕”为一般乘法．其中能够组成“对称集”的有( )A ①②B ①③C ②③D ①②③ 【知识点】元素与集合关系的判定A1【答案解析】B 解析：解：①A={整数}，运算“⊕”为一般加法，依照加法运算可知知足4个条件，其中e=0，a 、a′互为相反数；②A={复数}，运算“⊕”为一般减法，不知足4个条件；③A={正实数}，运算“⊕”为一般乘法，依照乘法运算可知知足4个条件，其中e=1，a 、a′互为倒数． 应选：B【思路点拨】依照新概念，对所给集合进行判定，即可得出结论 二、填空题：此题共7小题，考生作答6小题，每题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)【题文】9. 假设a x f xx lg 22)(-+=是奇函数，那么实数a =_________。