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bfgs算法公式BFGS算法公式引言：BFGS算法是一种用于非线性优化问题的迭代算法，它通过估计目标函数的海森矩阵的逆来逼近最优解。
本文将介绍BFGS算法的公式及其原理，并通过实例说明算法的应用。
一、BFGS算法公式：BFGS算法的迭代公式如下：x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))其中，x(k)表示第k次迭代的变量值，∇f(x(k))表示目标函数f(x)在x(k)处的梯度，H(k)表示近似的海森矩阵的逆。
二、BFGS算法原理：BFGS算法的核心思想是通过逐步逼近目标函数的海森矩阵的逆来求解最优解。
具体步骤如下：1. 初始化：设定初始点x(0)，近似的海森矩阵的逆H(0)。
2. 计算梯度：计算目标函数f(x)在当前点x(k)处的梯度∇f(x(k))。
3. 更新变量：根据BFGS公式，更新变量x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))。
4. 更新海森矩阵逆：根据BFGS公式，更新近似的海森矩阵的逆H(k+1)。
5. 终止条件：判断是否满足终止条件，如目标函数值的变化小于某个阈值或梯度的范数小于某个阈值。
6. 若满足终止条件，则停止迭代，得到近似的最优解；若不满足终止条件，则返回第2步。
三、BFGS算法应用实例：下面通过一个实例来说明BFGS算法的应用。
假设我们要求解目标函数f(x) = x^4 - 3x^3 + 2，在初始点x(0) = 1处开始迭代。
1. 初始化：设定初始点x(0) = 1，近似的海森矩阵的逆H(0) = I（单位矩阵）。
2. 计算梯度：计算目标函数f(x)在当前点x(k)处的梯度∇f(x(k)) = 4x^3 - 9x^2。
3. 更新变量：根据BFGS公式，更新变量x(k+1) = x(k) - H(k)∇f(x(k))，代入上面的梯度，得到x(1) = 1 - I(4*1^3 - 9*1^2) = -4。
4. 更新海森矩阵逆：根据BFGS公式，更新近似的海森矩阵的逆H(k+1)。
数学中的非线性优化算法非线性优化算法是一类应用于非线性优化问题的算法。
这类算法的优化目标函数通常是一个非线性函数，因此，在进行非线性优化时，需要考虑到函数本身的非线性性质，而不像线性优化问题那样只简单地寻找合适的线性方案即可。
在实际应用中，非线性优化算法与线性规划算法同样具有重要的地位。
例如，在工程中，我们经常需要通过优化非线性目标函数来寻找最优的工艺流程、产品材料、资源分配和生产布局等方案。
在金融领域，也需要使用非线性优化算法来找到投资组合中最理想的比例分配，以最大化收益并降低风险。
非线性优化算法的几类基本模型在非线性优化算法中，存在着多种基本模型。
这里简要介绍其中几种：1. 无约束优化模型无约束优化模型是指当目标函数的变量不受任何约束限制时所求的最优解。
在数学中，这种模型通常用以下形式表示：min f(x)，x∈R^n其中，x是自变量向量，f(x)是目标函数。
尽管看起来这是一个简单的问题，但实际情况并非如此。
在很多情况下，目标函数都是非线性函数，而且非常复杂，无法直接求出最小值。
因此，需要使用非线性优化算法来解决这个问题。
2. 约束优化模型与无约束优化模型相比，约束优化模型多出了一些约束条件。
在数学中，它通常会表示为以下形式：min f(x)，x∈R^ns.t. g_i(x)≤0,i=1,…,m其中，g_i(x)是约束函数，表示限制x必须满足的条件。
在这种情况下，我们需要使用不同的非线性优化算法来寻找满足约束条件的最小值。
常用的算法包括SQP算法、罚函数法等。
3. 二次规划模型另一个常见的优化问题是二次规划模型。
在这种情况下，目标函数和约束条件都是二次函数。
通常，二次规划模型会用以下形式表示：min 0.5x'Qx+px，x∈R^ns.t. Gx≤h其中，Q、p、G和h是矩阵或向量，表示二次函数的系数和约束条件。
在解决二次规划问题中，最常见的算法是内点法。
这个算法的核心思想是在可行空间的内部进行搜索，而不是沿着表面“爬山”。
数学优化中的牛顿法和拟牛顿法在数学中，优化是一个非常重要的研究领域，其目的是找到使某个函数达到最大或最小值的变量集合。
在实际应用中，很多问题都可以转化为优化问题，如机器学习、经济学、物理学等。
在优化领域中，牛顿法和拟牛顿法是两种常见的方法。
本文将介绍这两种优化方法的基本原理、优缺点以及应用场景。
一、牛顿法牛顿法（Newton's method）是由数学家牛顿发明的非线性优化方法，其思想是利用函数的泰勒级数展开进行逼近。
具体来说，牛顿法先求出目标函数的一阶和二阶导数，然后使用二阶导数来逼近目标函数本身，进而得到近似最优解。
牛顿法的数学公式如下：$$\boldsymbol{x}_{k+1}= \boldsymbol{x}_{k} -{\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)^{-1}}\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$$其中，$\boldsymbol{x}_k$ 表示第 $k$ 次迭代的解，$\boldsymbol{\nabla} f(\boldsymbol{x}_k)$ 和$\boldsymbol{\nabla}^2 f(\boldsymbol{x}_k)$ 分别表示目标函数在$\boldsymbol{x}_k$ 处的一阶和二阶导数。
牛顿法的优点是收敛速度非常快，通常只需要很少的迭代次数即可达到最优解。
另外，牛顿法适用于连续可微、二阶可导的函数，因此适用范围广。
然而，牛顿法也存在一些缺点，例如无法处理不可导或一阶可导但二阶不可导的函数。
此外，牛顿法需要计算目标函数的二阶导数，因此在大规模问题上计算成本很高。
二、拟牛顿法拟牛顿法（quasi-Newton method）是一类基于牛顿法的优化算法，它通过逼近目标函数的海森矩阵来求解。
拟牛顿法没有计算海森矩阵的显式表达式，而是通过估计海森矩阵的变化来逼近。
最简单和最流行的拟牛顿法是BFGS算法和L-BFGS算法。
牛顿法、拟牛顿法、高斯-牛顿法、共轭梯度
法推导总结
一、牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代方法。
牛顿法的基本思想是：在当前点附近，用一次泰勒展开式近似原函数，然后求解近似函数的极值点。
牛顿法每次迭代所需要的计算量较大，但其收敛速度较快。
二、拟牛顿法
拟牛顿法是一种求解无约束极值问题的优化算法。
拟牛顿法是将牛顿法中Hessian矩阵用近似Hessian矩阵Bk表示的算法。
拟牛顿法的计算量比牛顿法小，但是收敛速度较牛顿法慢。
三、高斯-牛顿法
高斯-牛顿法是求解非线性最小二乘问题的一种迭代算法。
该算法假设误差服从高斯分布，利用牛顿法求解目标函数的局部极小值，以最小化残差平方和。
高斯-牛顿法在处理非线性最小二乘问题时具有很好的收敛性。
四、共轭梯度法
共轭梯度法是解决对称正定线性方程组的迭代算法。
该算法通过对一个对称正定矩阵进行迭代求解，寻找线性方程组的解。
共轭梯度法的优点是可以使用较少的内存和计算量实现高效的求解。
以上算法都是数值优化中比较常用的算法，它们各自具有不同的优缺点，可根据实际问题的特点来选择合适的算法。
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
共轭梯度法与牛顿法和最速下降法都是优化算法中常见的方法，它们各有特点。
下面我将对这三种方法的异同点进行深入探讨。
1. 共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组以及最小化二次函数的问题。
它的特点在于每一步都是沿着一个共轭方向进行搜索，这使得它在相同迭代次数下相较于最速下降法更快地收敛。
与最速下降法相比，它的收敛速度更快。
2. 牛顿法牛顿法是一种较为常见的优化算法，它利用了函数的二阶导数信息来寻找极小值点。
它的优点在于可以快速收敛并且通常具有二次收敛性，但其缺点在于需要计算二阶导数信息，在高维情况下计算量大且计算复杂。
3. 最速下降法最速下降法是一种基本的优化方法，它是一种梯度下降法的特例，每一步沿着负梯度方向进行搜索。
它的优点在于实现简单并且易于理解，但相较于共轭梯度法和牛顿法，最速下降法的收敛速度通常较慢。
从以上对三种方法的描述可以看出，共轭梯度法、牛顿法和最速下降法在优化问题中各有优缺点。
共轭梯度法具有较快的收敛速度和不需要存储二阶导数信息的优点，但其对于非二次函数问题的适应性较差；牛顿法收敛速度快，但需要计算二阶导数信息，计算量大且复杂；最速下降法实现简单，但收敛速度相对较慢。
对于不同的优化问题，我们需要根据具体情况选择合适的算法。
在实际应用中，需要综合考虑问题的特点以及算法的优缺点，来选取最适合的优化算法。
这篇文章通过对共轭梯度法、牛顿法和最速下降法的分析，使我更深入地理解了这些优化算法的特点和应用范围。
我认为，在实际应用中，应该根据具体问题的特点来选择合适的算法，综合考虑收敛速度、计算复杂度以及存储需求等因素，以达到最优的优化效果。
希望这篇文章能够帮助你更全面、深刻和灵活地理解共轭梯度法、牛顿法和最速下降法。
优化算法是在计算机科学和数学领域中非常重要的研究方向。
在实际应用中，我们常常会面临需要最小化或最大化一个函数的问题，比如在机器学习、数据分析、工程优化等领域。
而共轭梯度法、牛顿法和最速下降法作为常见的优化算法，为我们解决这类问题提供了有效的工具。
非线性回归模型的优化算法随着机器学习算法的广泛应用，非线性回归模型的优化算法也越来越受到研究者们的关注。
非线性回归模型是机器学习中常用的一种模型，例如神经网络、支持向量回归、决策树等模型都属于非线性回归模型。
而优化算法则是对这些模型进行求解的关键。
这篇文章将从非线性回归模型的定义、应用及优化算法的进展和现状等方面进行探讨。
一、非线性回归模型的定义及应用非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的回归模型。
与线性回归模型不同的是，非线性回归模型不能使用最小二乘法进行拟合，需要使用其他的优化算法，例如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法、遗传算法等。
非线性回归模型在很多领域都有广泛的应用，例如金融行业中的股价预测、医学领域中的疾病诊断、自然语言处理领域中的语音识别等。
二、非线性回归模型优化算法的进展和现状1. 牛顿法牛顿法是求解非线性方程组的一种方法。
在非线性回归模型中，利用牛顿法求解参数的方法称为牛顿法拟合。
牛顿法的优点在于收敛速度快，但它需要计算海森矩阵，计算量较大。
此外，当海森矩阵不可逆或者为负定矩阵时，牛顿法可能出现无法收敛的问题。
因此，在实际应用中，牛顿法需要根据具体情况进行选择。
2. 拟牛顿法拟牛顿法是指用数值求导或解析求导的方式来代替海森矩阵，从而减少计算量的方法。
拟牛顿法常用的算法包括DFP算法和BFGS算法。
拟牛顿法方法具有快速收敛，适用于大规模数据集，但是它的计算量也较大，需要进行多次迭代。
3. 共轭梯度法共轭梯度法是求解线性方程组的一种方法，也可以用来求解非线性回归模型中的参数。
共轭梯度法对计算机内存的需求较小，算法针对对称矩阵，迭代次数比牛顿法少。
但是，共轭梯度法的缺点在于对非对称矩阵的处理较差。
4. 遗传算法遗传算法是借鉴生物遗传进化的原理，使用基因编码和遗传操作进行搜索和优化的一种算法。
在非线性回归模型中，遗传算法可以用来搜索参数空间，从而得到最优解。
遗传算法的优点在于搜素范围广，具有较好的全局优化能力，但是计算量较大，需要进行多次迭代。
牛顿梯度算法摘要：1.牛顿梯度算法简介2.牛顿梯度算法的基本原理3.牛顿梯度算法的应用场景4.牛顿梯度算法的优缺点5.牛顿梯度算法的改进与扩展正文：一、牛顿梯度算法简介牛顿梯度算法（Newton"s Method）是一种求解非线性方程组或优化问题的数值方法。
该方法以其发明者艾萨克·牛顿命名，起源于17世纪。
它通过迭代更新变量，使目标函数值逐步逼近零，从而求解问题。
二、牛顿梯度算法的基本原理牛顿梯度算法的基本思想是利用目标函数的梯度信息，沿着梯度的反方向进行迭代搜索。
在每个迭代步骤中，计算目标函数的梯度，然后乘以一个步长因子，得到更新方向。
接着，在更新方向上计算一步长，将变量更新到新的值。
这个过程持续进行，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
三、牛顿梯度算法的应用场景1.非线性方程求解：牛顿梯度算法可以用于求解非线性方程组，例如非线性回归、非线性优化等问题。
2.函数优化：牛顿梯度算法广泛应用于优化领域，如求解无约束优化问题、带约束优化问题等。
3.机器学习：在机器学习中，牛顿梯度算法常用于优化损失函数，例如在神经网络、支持向量机等算法中。
四、牛顿梯度算法的优缺点优点：1.牛顿梯度算法具有较快的收敛速度，尤其在问题规模较小的情况下。
2.适用于非线性问题，能够很好地应对复杂场景。
缺点：1.计算梯度较为复杂，对计算机性能要求较高。
2.容易陷入局部极小值或鞍点。
3.对初始值敏感，选择不当可能导致不收敛或收敛速度慢。
五、牛顿梯度算法的改进与扩展1.拟牛顿法（Quasi-Newton Method）：通过使用一阶导数信息近似二阶导数，减少计算梯度的复杂度。
2.牛顿法结合其他优化算法：如牛顿法与遗传算法、粒子群优化算法等结合，提高收敛速度和全局搜索能力。
3.初始值选取策略：通过研究初始值对收敛速度和收敛性的影响，指导实际应用中初始值的选择。
总之，牛顿梯度算法是一种广泛应用于非线性问题和优化领域的数值方法。
(1)DFP法给定控制误差ε.Step1,给定初始点x0,初始矩阵H0(通常取单位矩阵),计算g0,令k=0. Step2,令pk=-Hkgk.Step3,由精确一维搜索确定步长ak.f(xk+akpk)=minf(xk+apk).(a>=0);Step4 令xk+1=xk+akpk.Step5 若||gk+1||<=ε,则x*=xk+1停;否则令sk=xk+1-xk, yk=gk+1-gk.Step6,由DFP修正公式(3.39)得Hk+1.令k=k+1,转Step2.返回值函数double min(double X[]){return X[0]*X[0]+X[1]*X[1]-X[0]*X[1]-10*X[0]-4*X[1]+60;}定义结构体typedef struct ARRAY{int Row,Col;double *Addr;}Array;初始化结构体变量int Init_Array(Array*pArray,int Row,int Col){pArray->Row=Row;pArray->Col=Col;if(!(pArray->Addr=(double *)malloc(Row*Col*sizeof(double)))) {printf("Faile in Initial Array!");exit(1);}return 1;}(2)BFGS法给定控制误差ε.Step1,给定初始点x0,初始矩阵H0(通常取单位矩阵),计算g0,令k=0.Step2,令pk =-Hkgk.Step3,由精确一维搜索确定步长ak.f(xk +akpk)=minf(xk+apk).(a>=0);Step4 令xk+1=xk+akpk.Step5 若||gk+1||<=ε,则x*=xk+1停;否则令s k =xk+1-xk, yk=gk+1-gk.Step6,修正公式H k+1=Hk-HkykykT Hk/(ykT Hkyk)+skskT/(ykT sk)+wkwkT .其中wk由一下公式给出.W k =(ykT Hkyk)1/2(sk/(ykT sk)-Hkyk/(ykT Hkyk))得Hk+1.令k=k+1,转Step2.修正公式与DFP法不一样,其他部份都一样.(1)共轭梯度法给定控制误差ε。
共轭梯度法,dfp bfgs实验的心得体会共轭梯度法， dfp bfgs 实验的心得体会在学习了 dfpb lg 几个实验之后，我发现 dfpb lg 实验结果与理想气体的规律并不完全符合。
而反映实际情况更加复杂，但是本着这样一种思路，即理想化只能给出定性的结论，所以通过分析实验结果，从多方面来进行讨论，希望可以给大家提供一些新的认识。
这就是我的共轭梯度法与 dfp bfgs 实验相结合的初衷。
dfpb lg 实验主要是利用空间位置和速度分布两个参量来描述系统，而在这两者中最重要的则是速度分布。
因此为了确保在观察时可以真正做到这点，使用单个分子或原子来代替整个分子来测试非常有必要。
1、选择研究对象：由于粒子数不同的原因，相同的实验中往往会采用一些不同的物质来替代对应分子或者分子团。
这也就引起了整个实验结果的差异，由此也影响到了这个实验在其他方面的应用。
因此本实验应该首先选取体积较小的物质作为研究对象。
这样既能比较清楚地反映系统内部的动态变化，又不会影响整个系统的热力学状态，这是最佳的选择。
而考虑到气体在外界环境下会自发地进行三个平衡态之间的转换，因此在本实验中还会在固体和液体两种不同形式下再次加入气体来研究。
2、理论建模：在确定了所需要研究的对象之后，通过多次实验所获得的数据不仅可以精确的绘制出粒子的速度分布曲线，还可以知道有关系统的一些简单信息。
根据这些信息便可以进行一定程度上的理论建模。
通常可以将系统看成为由许多个具有不同速度的微小粒子组成的集合，这样的话可以通过一些较为直观的图像来表示这些集合的分布情况。
3、讨论数值模拟：在实验数据经过理论建模后，一般都会通过计算机软件将实验数据转化为物理模型。
通过物理模型的数值仿真，可以真正意义上认识到原子系统中电子之间距离的随机性。
但是本文只是一个初步的探索，实际的模拟实验往往是很复杂的，所以为了真正达到这样的效果还需要结合更多的数值计算方法来共同进行。
统计学梯度下降法（SGDs）易于实现，然而它有两个主要的缺陷。
第一个缺陷是它需要手动调谐大量的参数，比如学习速率和收敛准则。
第二个缺陷是它本质上是序列方法，不利于并行计算或分布式计算。
（然而，在计算资源如RAM受限的情况下，序列方法倒是一个不错的选择。
）
这里介绍一些非线性优化算法：牛顿算法，伪牛顿算法和共轭梯度法。
其中，伪牛顿算法包括DFP、BFGS和L-BFGS算法。
考虑如下的无约束最小化问题：
min x f(x)（1）
其中x=(x1,…,x N)T∈ℝN. 为简便起见，这里假设f是凸函数，且二阶连续可导。
记（1）的解为x∗.
牛顿算法（Newton‘s Method）
基本思想：在现有的极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到下
其中g(k)=∇f(x)|
x(k)是梯度矩阵，H(k)=∇2f(x)|
x(k)
是海森矩阵。
牛顿算法是一种具有二次收敛性的算法。
对于非二次函数，若函数的二次性态较强，或迭代点已进入极小点的领域，则其收敛速度也是很快的，这是牛顿算法的主要优点。
但牛顿算法由于迭代公式中没有步长因子，而是定步长迭代，所以对于非二次函数，有时会出现f(x(k+1))>f(x(k))的情况，这表明牛顿算法不能保证函数值稳定地下降。
由此，人们提出了阻尼牛顿算法，在原始牛顿算法的第4步中，采用一维搜索（line search）算法给d(k)加一个步长因子λ(k)，其中：
λ(k)=arg minλ∈ℝf(x(k)+λd(k))（2）一维搜索算法将另作介绍。
拟牛顿算法（Quasi-Newton Methods）
基本思想：不直接计算二阶偏导数，而是构造出近似海森矩阵（或海森矩阵的逆）的正定对称阵，在拟牛顿条件下优化目标函数。
下文中，用B表示对H的近似，用D表示对H−1的近似，并令s(k)=x(k+1)−x(k)，y(k)=g(k+1)−g(k).
⒈拟牛顿条件（割线条件）
对f(x)做二阶泰勒展开可得：
y(k)≈H(k+1)×s(k)（3）或
s(k)≈(H(k+1))−1×y(k)（4）⒉DFP算法
核心：通过迭代的方法，对(H(k+1))−1做近似。
迭代的格式为：
D(k+1)=D(k)+∇D(k)（5）其中，D(0)通常取为单位矩阵I.
校正矩阵∇D(k)的构造为：
∇D(k)=s(k)(s(k))T
(k)T(k)−D(k)y(k)(y(k))
T
D(k)
(k)T(k)(k)
（6）
⒊BFGS算法
核心：通过迭代的方法，对H(k+1)做近似。
迭代的格式为：
B(k+1)=B(k)+∇B(k)（5）其中，B(0)通常取为单位矩阵I.
校正矩阵∇B(k)的构造为：
∇B(k)=y (k)(y(k))T
(k)T(k)
−B
(k)s(k)(s(k))T B(k)
(k)T(k)(k)
（6）
6步中直接给出(B(k+1))−1和(B(k))−1的关系：
(B(k+1))−1=(I−s(k)(y(k))T
(y(k))s(k))(B(k))−1(I−y(k)(s(k))
T
(y(k))s(k)
)+s(k)(s(k))
T
(y(k))s(k)
（7）
()−1
⒋L-BFGS算法
在BFGS 算法中，需要用一个N ×N 的矩阵R (k )。
当N 很大时，存储这个矩阵很浪费资源。
L-BFGS 算法对BFGS 算法做出了改进，其基本思想是：不存储完整的矩阵R (k )，而是存储计算过程中的向量序列{s (i )}, {y (i )}，需要矩阵R (k )时，利用向量序列{s (i )}, {y (i )}的计算来代替。
而且，向量序列{s (i )}, {y (i )}也只存储m 个最新值。
由（7）得：
R (k+1)
=(I −s (k )(y (k ))T (y (k ))T s (k ))R (k )
(I −y (k )(s (k ))T (y (k ))T s (k ))+s (k )(s (k ))T
(y (k ))T s (k )
令ρ(k )=
1(y (k ))T
s
(k )，V (k )=I −ρ(k )s (k )(y (k ))T
，则上式可以写成： R
(k+1)
=(V
(k ))T
R
(k )
V
(k )
+ρ
(k )s (k )
(s
(k ))T
（8）
当k +1≤m 时：
R (k+1)=[∏(V (j ))T
0j=k ]R (0)[∏V (j )
k j=0]+
∑{[∏(V (j ))T
i+1j=k ](ρ(i )s (i )(s (i ))T
)[∏V (j )k j=i+1]}k−1i=0+ρ
(k )s (k )(s (k ))T
（9） 当k +1>m ：
R (k+1)=[∏(V (j ))T
k−(
m−1)
j=k ]R (0)[∏V (j )k−(
m−1)
j=0
]+∑{[∏(V (j ))T
i+1j=k ](ρ(i )s (i )(s (i ))T
)[∏V (j )k j=i+1]}k−1i=k−(m−1)+ρ
(k )s (k )(s (k ))T
（10） 事实上，R (k )仅用来计算R (k )g (k )获取搜索方向，因此，若能利用（9）（10）给出一种快速计算R (k )g (k )的方法，L-BFGS 算法也就完成了。
最后算出的r(L)就是R(k)g(k).
共轭梯度算法
共轭梯度算法适用于特定的线性系统Ax=b，其中矩阵A必须是对称正定的。
在上述的无约束最小化问题中，利用二阶泰勒展开可得线性方程的形式为
H(0)x=H(0)x(0)−g(0)，海森矩阵满足对称正定要求。
最后求得的x(k)就是极小点。
